Инвариантные подпространства в функциональных пространствах медленного роста на световом конусе в r 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 18, 2011

УДК 517.966

С. С. Платонов

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ МЕДЛЕННОГО РОСТА НА СВЕТОВОМ КОНУСЕ В М3

В функциональных топологических векторных пространствах медленного роста на световом конусе X в К3 получено полное описание строения всех замкнутых линейных подпространств, инвариантных относительно естественного квазирегулярного представления группы К®8О0(1, 2). В частности, получено описание неприводимых и неразложимых инвариантных подпространств.

Среди рассматриваемых функциональных пространств содержится пространство Б'(Х), состоящее из всех обобщенных функций медленного роста на X.

§ 1. Введение и формулировка основных результатов

Пусть группа Ли О действует транзитивно справа на гладком многообразии X. Для любого д € О и любой функции /(ж) на X положим

(т(д)/)(ж) := /(жд). (1.1)

Топологическое векторное пространство Т, состоящее из комплекснозначных функций на X (обычных или обобщенных), будем называть т-инвариантным пространством, если из / € Т и д € О следует, что т(д)/ € Т и отображение д ^ т(д)/ является непрерывным отображением из О в топологическое векторное пространство Т. Семейство операторов т(д)\т (обычно будем обозначать их просто т(д)) определяет квазирегулярное представление группы О в топологическом векторном пространстве Т. Замкнутое линейное подпространство Н СТ

© С. С. Платонов, 2011

называется инвариантным подпространством, если оно инвариантно относительно квазирегулярного представления т.

Для каждой тройки (О, X, Т) возникает задача об описании строения всех инвариантных подпространств в пространстве Т. Эта задача является естественной задачей гармонического анализа на группах, но сложность и методы решения этой задачи сильно меняются в зависимости от тройки (С, X, Т). Здесь мы не будем рассматривать наиболее разработанные случаи, когда группа О компактная или когда Т является гильбертовым пространством и квазирегулярное представление т унитарное. Если пространство Т совпадает с пространством £(X) = СТО(Х) всех бесконечно дифференцируемых функций на X (все классические функциональные пространства рассматриваются с их обычными топологиями), то задачу об описании инвариантных подпространств часто называют задачей о спектральном синтезе на однородном многообразии X (см. [1-3]).

В работе [4] Л. Шварц решил задачу об описании инвариантных подпространств для случая О = X = М, когда К действует на себе сдвигами, а пространство Т совпадает с пространством С(М) всех непрерывных функций на М или с пространством £(М) = СТО(К) всех бесконечно дифференцируемых функций на М. В этом случае линейное замкнутое подпространство Н С Т является инвариантным подпространством, если Н инвариантно относительно преобразований /(ж) ^ f (ж + а) для любого а Є М.

Приведем более подробное описание инвариантных подпространств в этом случае, так как оно служит образцом для решения других задач по описанию инвариантных подпространств.

Для любых А Є С, г Є N обозначим через У\,г г-мерное линейное подпространство, порожденное функциями

или, эквивалентно, Уд,г есть множество всех решений дифференциального уравнения

,т — 1

і = %/—1,

(1.2)

Дополнительно обозначим

(1.3)

гЄМ

Пусть Н — инвариантное подпространство в пространстве Т, где Т =

С(М) или Т = £(М). Будем говорить, что число Л € С принадлежит спектру инвариантного подпространства Н, если У\,г С Н для некоторого т € N. Обозначим т\ := 8ир{т : Уд,г С Н}. Число т\ будем называть кратностью числа Л в спектре (т> может принимать значения из множества N и {те}). Обозначим через а = ан спектр инвариантного подпространства Н, причем будем считать, что каждое число Л входит в а с кратностью т>.

Теорема 1.1 (Л. Шварц, 1947). Пусть Т — одно из топологических векторных пространств £ (М) или С(М), Н — инвариантное подпространство в Т, а — его спектр. Тогда Н допускает спектральный синтез, т. е. совпадает с замыканием в Т линейной оболочки подпространств У\,г, где Л пробегает спектр а, а г = т\ — кратность числа Л в а.

Из теоремы 1.1 вытекает, что каждое инвариантное подпространство Н однозначно восстанавливается по его спектру а. Можно дать и полное описание всевозможных спектров инвариантных подпространств в терминах нулей некоторых целых функций экспоненциального типа (см. [4] или [31]), но здесь мы не будем приводить это описание. Отметим только, что если Н = Т, то его спектр ан не более чем счетный и все кратности т\ конечные. Если Н = Т, то его спектр а состоит из всех комплексных чисел, причем каждое число входит в а с бесконечной кратностью. Отметим также, что если Н = {0}, то его спектр а пустой.

Теорема 1.1 вместе с описанием спектров дает полное описание инвариантных подпространств в £ (М) и С(М). Гораздо более сложным оказался случай, когда X = О = М”, п > 2, (т(у)/)(ж) = /(ж + у),

ж, у € М”. Л. Шварц [4] высказал гипотезу, что любое инвариантное подпространство Н С £(М”) совпадает с замыканием линейной оболочки содержащихся в Н квазиполиномов, т. е. функций вида Р(ж)еЛх, где Л = (Л1,..., Л”) € С”, ж = (ж1,..., жп) € М”, Лж = Л1Ж1 + • • • + Лпжп, Р(ж) — полином от ж. Эта гипотеза оказалась неверной. В 1975 г. Д. И. Гуревич [5] построил пример инвариантного подпространства Н С £(М2), которое не содержит ни одного квазиполинома. Описание всех инвариантных подпространств в этом случае неизвестно, хотя имеется много работ, в которых описывается строение специальных классов инвариантных подпространств, таких как подпространства решений однородных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами или некоторых уравнений в свертках (см., например, [6-8]). Тем не менее задачу об описании всех инвариантных подпространств в пространстве £(М”) (и в некоторых других функциональных пространствах на М”) можно решить, если в качестве группы

О взять группу 1ВО(п) всех сохраняющих ориентацию изометрий пространства М” (см. [9-11]). В работах [12-16] описание инвариантных подпространств в пространстве £ (X) и в некоторых других функциональных пространствах получено для случая, когда X — произвольное риманово симметрическое пространство ранга 1, О — группа всех сохраняющих ориентацию изометрий многообразия X. В [17, 18] получено описание инвариантных подпространств для случая, когда многообразие X совпадает с группой БЬ(2, М), О = БЬ(2, М) ® БЬ(2, М) и группа О действует на X левыми и правыми сдвигами, т. е.

ж(д1,д2):= д-1жд2, ж € X = БЬ(2,М), (д1,д2) € О = БЬ(2, М) ф БЬ(2,М).

Другие случаи решения задачи об описании инвариантных подпространств см. в [19-21].

В настоящей работе рассматривается новый случай, когда можно получить решение задачи об описании инвариантных подпространств: X — верхняя пола светового конуса в М3, О = М ф БОо(1, 2), Т — произвольное функциональное пространство медленного роста на X. В частности, возможен случай, когда Т совпадает с пространством

5'(X) обобщенных функций медленного роста на X. Перейдем к более подробному описанию результатов.

Пространство М3 будем рассматривать как псевдоевклидово пространство с билинейной формой

(ж, у) := жоуо - ж1У1 - ж2У2, ж = (жо, жь ж2), у = (у1, У2, Уз) € М3. Пусть X — верхняя пола светового конуса, т. е. X := {ж € М3 : (ж, ж) = 0, жо > 0}.

Через БОо(1, 2) обозначим группу псевдоортогональных преобразований пространства М3 (точнее говоря ее связную компоненту единицы). Если

то SOo(1, 2) состоит из всех матриц u = (uj), 0 < i, j < 2, таких, что

uJu* = J, det u = 1, uoo > 0,

где u* — матрица, транспонированная к матрице u.

Пусть G = R ® SOo(1, 2). Группа G действует справа на X: если g = (t, u), t Є R, u Є SOo(1, 2), x Є X, то

xg := e*xu. (1.4)

Каждый элемент u Є SOo(1,2) будем отождествлять с элементом (0, u) Є G и тем самым считать, что SOo(1, 2) является подгруппой группы G. Элемент (t, e) (t Є R, e — единичный элемент группы SO0(1, 2)) будем обозначать Y(t). Подмножество Г := {Y(t) : t Є R} является подгруппой в группе G изоморфной R. Будем называть Г подгруппой растяжений в G. Если x = (xo, xi, X2) Є X, то

xY(t) = e*x = (e*xo, e*xi, e*X2). (1.5)

Отметим, что каждую точку x Є X можно единственным образом представить в виде

x = (xo, xo cos y>, xo sin <^>), xo > О, ^ Є R/2nZ. (1.6)

Числа (xo, y>) можно назвать полярными координатами точки x.

Через C(X), Cm(X) и E(X) = CTO(X) будем обозначать пространства непрерывных, m-раз непрерывно дифференцируемых и бесконечно дифференцируемых функций соответственно (все классические пространства рассматриваются с обычными топологиями). Пусть D(X)

— пространство бесконечно дифференцируемых функций на X с компактным носителем, D/(X) — пространство обобщенных функций на X, т. е. множество всех линейных непрерывных функционалов на D(X). Снабженное слабой топологией а(D/(X), D(X)) множество D/(X) является полным локально выпуклым пространством. Для / Є D/(X) и ^ Є D(X) будем обозначать через (/, у>) значение функционала / на функции у>. Легко видеть, что E(X) С D/(X) (вложение непрерывное), если отождествить функцию / Є E (X) с линейным функционалом на D(X) по формуле

(/,¥>) := [ /(x) ^(x) dx, (1.7)

Jx

где / Є Е(X), ^ Є Р(Х), йж — элемент О-инвариантной меры на пространстве X. Оператор т($) (см. (1.1)) естественным образом распространяется на обобщенные функции по формуле

(тЫ/,^) := </,т(3-1)^), / ЄР'(Х),<р ЄР(Х). (1.8)

Пусть 0 — алгебра Ли группы О, и (д) — универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли д. Обычным образом действие группы О на X индуцирует действие алгебры Ли на функциях на X, т. е. если / Є С"(X), £ Є 0, то по определению

(/)(x) := -^/(xexp(s£)) ds

, (1.9)

s=0

где exp : g — G — экспоненциальное отображение. При этом £f G Cm-1 (X). Действие (1.8) алгебры Ли g продолжается до действия универсальной обертывающей алгебры U (g), которое будем обозначать af, a G U(g).

Пусть £o, £i, £2, £3 — произвольный базис в алгебре Ли g (dimg = 4). Будем называть мультииндексом любой упорядоченный набор a = (ai, а2,..., an), n G N, a.j G {0,1, 2, 3}. Число |а| := n назовем длиной мультииндекса а. Дополнительно будем считать, что мультииндексом длины 0 является пустой набор. Будем использовать обозначение

df := £a £a ...£a„ f,

а при a = 0 полагаем daf := f.

Для любой точки x = (жо,Ж1,Ж2) G X определим число |x| формулой

|x| := | lnx0|. (1.10)

Для любого v G R обозначим через C(v) (X) множество всех функций f G C(X), удовлетворяющих условию

If (x)|(1 + |x|)-V — 0 при |x| —> . (1.11)

Множество C(V)(X) является банаховым пространством с нормой

llf ll(v) := sup |f(x)|(1 + |x|)-V. (1.12)

xEX

Для любого m G Z+ обозначим через C^^X) множество всех функций f G Cm(X), таких, что daf G C(V)(X) для любого мультииндекса a

с |а| < т. Множество )(Х) является банаховым пространством

относительно нормы

II/II:= ,тах ^д“/И(^). (1.13)

4 ' |а|<т

Для банаховых пространств )(Х) имеются вложения (непрерыв-

ные)

^)(X) С Ст'0(Х), т > т>' > V.

Пространство

С? )(Х):= П Ст)(Х)

тЕХ+

является полным локально выпуклым пространством с топологией, порожденной семейством норм || • ||(т)), т € ^+. Очевидно, что

С£)(Х) С £^,)(Х), V' > V,

причем вложения непрерывные. Определим пространства

5(X) := П С£)(Х), 0(Х) := С^)(Х). (1.14)

Пространства 5 (X) и 0(Х) являются полными локально выпуклыми пространствами с топологиями индуктивного и проективного пределов топологических векторных пространств )(Х). Пространство

5(X) можно назвать пространством Шварца, так как оно состоит из бесконечно дифференцируемых функций, которые стремятся к нулю вместе со всеми производными при |ж| —^ быстрее любой функции

(1 + |ж|)-1/, V > 0. Пространство ©(X) состоит из бесконечно дифференцируемых функций /(ж), которые могут расти вместе со всеми производными не быстрее некоторой функции |ж|", V = V(/) > 0.

Пусть 5'(X) — сопряженное к 5(X) пространство, т. е. множество линейных непрерывных функционалов на пространстве 5(X). Снабженное слабой топологией а (5'(X), 5(X)) множество 5'(X) является полным локально выпуклым пространством. Пространство 5'(X) естественно назвать пространством обобщенных функций на X медленного роста или пространством Шварца. Для / € 5'(X) и ^ € 5(X) будем обозначать через (/, <^>) значение функционала / на функции у>.

Легко видеть, что O(X) С S'(X) (вложение непрерывное), если отождествить функцию f € O(X) с линейным функционалом на S(X) по формуле (1.7), и что пространства O(X) и S'(X) являются т-инвариантными (доказательство этих фактов см. в § 2).

Пусть F — произвольное т-инвариантное функциональное пространство на X.

Определение 1.1. т-инвариантное функциональное пространство F на X называется функциональным пространством медленного роста, если

O(X) С F С S'(X), причем вложения непрерывные.

Примерами пространств экспоненциального роста являются пространства O(X), S'(X), а также пространства

с := U Cm), m € Z+, (1.15)

при этом пространство С” снабжается топологией индуктивного предела банаховых пространств С”). Пространство C0 будем также обозначать £*, т. е.

C := U C(v), (1.16)

при этом пространство C* снабжается топологией индуктивного предела банаховых пространств C( v). Другие примеры пространств экспоненциального роста будут приведены в § 2.

Обозначим через K следующую подгруппу в группе SOo(1, 2) С G:

00 \ 1

cos в — sin в I , в € R/2nZ >. (1.17)

sin в cos в у '

Пусть F — произвольное т-инвариантное функциональное пространство на X. Для любого n € Z обозначим через F(n) подмножество в F, состоящее из всех функций f (ж), удовлетворяющих условию:

f (ж&(в)) = ein0f (ж) У&(в) € K (i = у—Г). (1.18)

Подмножество F(n) является замкнутым линейным подпространством пространства F. Снабженное индуцированной из пространства F топологией подмножество F(n) является полным локально выпук-

K :=

*(в)

лым пространством. В частности, определены пространства £(X)(п), £*(X)(п), ©(X)(п), 5'^)(п).

Определение 1.2. Замкнутое линейное подпространство Н(п) С Т(п) назовем инвариантной ячейкой (или просто ячейкой), если существует инвариантное подпространство Н , такое, что

Н(п) = Н ПТ(и). (1.19)

Инвариантное подпространство Н, для которого выполняется (1.19), вообще говоря, не единственное. Будем говорить, что ячейка Н(п) соответствует инвариантному подпространству Н. Если Н — инвариантное подпространство в Т и известны все ячейки Н(п), п € ^, соответствующие Н, то Н однозначно восстанавливается по набору ячеек Н (">, а именно, Н совпадает с замыканием в Т суммы ячеек Н(п).

Далее описание инвариантных подпространств в Т проводится по следующей схеме:

1) для каждого п € ^ описывается строение всевозможных инвариантных ячеек в Т(п);

2) определяются условия, при которых семейство ячеек Н(п), п € ^, соответствует одному инвариантному подпространству.

Определим дифференциальный оператор £ : £ (X) — £(X) по формуле

(I

(f )(ж) := dsf(xY(s))

s=0

(1.20)

где xy(s) определено в (1.5). Для любых Л € C и r € N пусть

A,r

Vi? := {f €E(n)(X):(<* — U)rf = 0}, i = У—1. (1.21)

Множество является r-мерным линейным подпространством

в E(X)(n). Базис в пространстве VA” образуют функции

eA”)(ж) := x0A(lnжо)кeinv, k = 0,1,..., r — 1, (1.22)

где (жо,у>) — полярные координаты точки ж (см. (1.6)). В частности, dim VA(l”) = r.

При г = 0 и г = те дополнительно полагаем

4Ї := {0}, ^,1

^(Го) := {0}, ^ := У У^. (1.23)

ЙЄМ

Пусть Т — произвольное т-инвариантное функциональное пространство на X, п Є Н(п) — инвариантная ячейка в Т(п). Для любого подмножества А С Т через [А] или [А]^ будем обозначать замыкание множества А в пространстве Т.

Определение 1.3. Будем говорить, что число Л Є С принадлежит спектру инвариантной ячейки Н(п), если С Н(п) для некоторого

г Є N. Пусть гЛ := вир{г : С Н(п)}. Число гл будем называть

кратностью числа Л в спектре (гл может принимать значения из множества N и {те}).

Обозначим через а или а^ спектр инвариантной ячейки Н(п), причем будем считать, что каждое число Л входит в а с кратностью г .

Определение 1.4. Будем говорить, что инвариантная ячейка Н(п) С Т(п) допускает спектральный синтез, если

Н(п) =

/ Л,гЛ

1- Л Є о"

т. е. Н(п) совпадает с замыканием в Т(п) суммы всех подпространств ^, А € а.

Таким образом, если ячейка Н(п) допускает спектральный синтез, то она однозначно восстанавливается по своему спектру.

Далее пусть Т — произвольное функциональное пространство на X медленного роста. п € ^. Строение всевозможных инвариантных ячеек

Н(п) с Т(п) описывается следующей теоремой.

Теорема 1.2.

1) Любая инвариантная ячейка Н(п) С Т(п) допускает спектральный синтез. Спектр а инвариантной ячейки Н(п) состоит только из действительных чисел, кратности гл чисел А € а могут быть как конечными, так и бесконечными.

2) Для того чтобы подмножество а С М (каждое число А может входить в а с некоторой кратностью г л € N и {те}) было спектром некоторой инвариантной ячейки Н(п) С Т(п), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

(1) подмножество ато := {А € а : гл = те} замкнуто в М;

подмножество а^„ := а \ ато не более чем счетное, причем все предельные точки этого множества (если они существуют) принадлежат множеству ато.

Пусть в каждом пространстве Т(п), п € Ъ, фиксирована инвариантная ячейка Н(п). Пусть а(п) — спектр ячейки Н(п) и г(п) — кратность числа А в наборе а(п). Если А € а(п), то будем считать, что

(п) _

гЛ =0.

В следующей теореме приводятся условия, при которых ячейки Н (п) соответствуют единому инвариантному подпространству в Т, т. е. когда существует инвариантное подпространство Н С Т такое, что Н(п) = Н П Т(п) для любого п € Ъ. Разумеется, такое инвариантное подпространство может быть только одно (оно должно совпадать с замыканием в Т суммы всех ячеек Н(п), п € Ъ).

Теорема 1.3. Набор ячеек Н(п), п € Ъ, соответствует единому инвариантному подпространству тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) Если А = 0, то кратности г(п), п € Ъ, не зависят от п.

2) Если А = 0, то кратности г0п) будут принимать постоянные значения, когда п изменяется на промежутках

I— = (-те, -1], 1+ = [1, +те).

Обозначим эти кратности через г0 ) и г0+) соответственно (т. е. г0п) = г( ) при п < — 1 и г(п) = г(+) при п > 1). Числа г( ), г(0) и г(+) должны удовлетворять условию:

г(-) г(+^ Гг(0) г(0) 11,

г0 ,г0 € {г0 ,г0 — 1}

(если г00) = 0, то условие заменяется на г0 ) = г0+) =0).

В совокупности теоремы 1.2 и 1.3 дают полное описание инвариантных подпространств в функциональных пространствах медленного роста: каждое инвариантное подпространство описывается набором

спектров а(п), которые удовлетворяют условиям 1) и 2) теоремы 1.3. Если ввести обозначения в_ := г00) — г0 ) и := г00) — г0+), то можно также сказать, что каждое инвариантное подпространство в функциональном пространстве медленного роста описывается спектром а(0) и, если г00) = 0, те, то еще дополнительной парой чисел (в_,в+), где числа в_ и могут принимать значения 0 или ( — 1).

Доказательство теорем 1.2 и 1.3 является основной целью работы. В качестве применения этих теорем получим описание неприводимых и неразложимых инвариантных подпространств в функциональных пространствах медленного роста на X. Инвариантное подпространство Н С называется неприводимым, если любое инвариантное подпространство Нх С Н совпадает с Н или с нулевым подпространством {0}. Инвариантное подпространство Н СТ называется неразложимым, если Н нельзя представить в виде Н = [Нх + Н2], где Нх и Н2

— ненулевые инвариантные подпространства, такие, что НхПН2 = {0} (здесь [Нх + Н2] — замыкание алгебраической суммы подпространств Н и Н2).

Пусть Т — произвольное функциональное пространство медленного роста на X. А € М. Через Т(А) обозначим инвариантное подпространство, соответствующее набору спектров а(п), п € Ъ, где каждый спектр а(п) состоит из одного числа А с кратностью 1. Легко видеть, что Т(А) состоит из всех функций /(ж) € Т, удовлетворяющих условию

/(ж7(в)) = в4 л 8/(ж) Ув € М. (1.24)

Условие (1.24) можно записать в эквивалентном виде

/(аж) = агЛ/(ж) Уа > 0 (1.25)

(аж := (аж0, ажх,аж2)), откуда вытекает, что Т(А) — подпространство в Т, состоящее из всех однородных функций степени *А.

Из теоремы 1.3 вытекает, что подпространство Т(А) неприводимо при А = 0. При А = 0 в пространстве Т(0) содержится единственное неприводимое одномерное инвариантное подпространство, состоящее из всех постоянных функций на X. Обозначим это подпространство через Тэ(0). Подпространство Тэ(0) соответствует набору спектров

(п) _ Г77 (0) А 1 (п) ГК

а0 , п € Ъ, где а0 состоит из числа 0 с кратностью 1 и а0 = ю при

п = 0. Подпространствами Т(А) при А € М\{0} и Тэ(0) исчерпываются все неприводимые инвариантные подпространства в Т.

Если Н = [Нх + Н2], Нх и Н2 — инвариантные подпространства, то

(п) (п), , (п) (п) « тг(п)

тогда а(п) = а^ иа2 , где а£, —спектр ячейки Н подпространства

Н. Легко видеть, что инвариантное подпространство Н неразложимо тогда и только тогда, когда спектры а(п) удовлетворяют одному из двух условий:

(а) Каждый спектр а(п) состоит только из единственного числа А € М

(не зависящего от п) с некоторой кратностью г(п). При А = 0 эти кратности обязательно одинаковые, а при А = 0 кратности могут меняться в зависимости от п так, чтобы выполнялись условия

2) и 3) теоремы 1.3.

(б) Существует замкнутое связное подмножество а С М такое, что

а(п) = а для всех п и все точки из а(п) имеют бесконечную кратность.

Отметим также, что любое замкнутое подмножество а С М совпадает либо с отрезком [а, 6] (а < 6), либо с полуинтервалом (—те, а] или [а, +те), либо с М.

Если все спектры а(п) одинаковые и состоят из одного числа А с кратностью г, то соответствующее инвариантное подпространство (обозначим его Т(А, г)) можно описать в более явном виде. Для любого а > 0 определим оператор растяжения

(Да/)(ж) := /(аж).

Функция /(ж) называется присоединенной однородной функцией г-го порядка степени V (г € М, V € С), если для любых положительных чисел ах, а2,. .., аг

(П (Да, — а?1)) / = 0,

Ъ=1 у

где / — тождественный оператор (см., например, [22, гл. IV, § 1]). Неразложимое инвариантное подпространство Т(А, г) состоит из всех присоединенных однородных функций г-го порядка степени *А, которые принадлежат пространству Т.

§ 2. Вспомогательные результаты

Пусть группа Ли О транзитивно действует справа на гладком многообразии X. Через С (О) и £ (О) = С то(О) будем обозначать пространства непрерывных функций и бесконечно дифференцируемых

функций на группе О, а через Сс(О) и Р(О) = С^О) пространства непрерывных и бесконечно дифференцирумых функций на группе О с компактным носителем. Соответствующие пространства на многообразии X будем обозначать С(X), £(X), Сс(Х) и Р(Х). Все эти пространства снабжаются обычными топологиями и являются полными локально выпуклыми пространствами.

Пусть йд — мера Хаара на группе О. Предположим, что группа О унимодулярная (т. е. мера Хаара инвариантна относительно правых и левых сдвигов) и пусть на многобразии X существует положительная О-инвариантная мера, которую будем обозначать йх.

Через Р7^) будем обозначать пространство обобщенных функций на X соответственно, т. е. множество линейных непрерывных функционалов на пространстве £(X). Для / € Р7^)) и ^ ) пусть

(/, у>) — значение линейного функционала / на функции у>. Обычным образом пространство С(X) вкладывается в Р7^), если положить

/» :=/ /(х) ^(х) йх, / € С(X), <р ). (2.1)

X

Пространства Сс(О) и Р(О) являются ассоциативными топологическими алгебрами относительно свертки:

(^1 * ^2)(Ь) = J ^1(%-1) ^(д) йд, Ь е О. (2.2)

с

Любое представление Т группы О (представления групп Ли всегда предполагаются непрерывными) в полном локально выпуклом пространстве (ЛВП) V индуцирует действие алгебры Сс(О) в пространстве V:

^ * V := У р(д) Т(д-1> йд € Сс(О), € V, (2.3)

с

интеграл в (2.3) можно понимать как интеграл Римана от функции со значениями в ЛВП V.

Предложение 2.1. Пусть Т и То — представления группы О в полных ЛВП V и V) соответственно и пусть выполняются следующие условия:

1) V) С V и это вложение непрерывное;

2) Т(д)|Уо = То(д) Уд € О;

3) для любых V € V и <р € Р(О) вектор <р * V € V) и отображение

V ^ ^ * V из V в V) непрерывно.

Тогда между замкнутыми линейными О-инвариантными подпространствами в пространствах V и V) существует взаимно однозначное соответствие, которое получается сопоставлением каждому инвариантному подпространству Но С V) его замыкания Н = [Но] в V .То же соответствие получается, если сопоставить каждому инвариантному подпространству Н С V подпространство Но = Н П V) С V).

Доказательство. См. [14, предл. 2.1]. □

В дальнейшем предложение 2.1 будет применяться для случая, когда V и V) — т-инвариантные функциональные пространства на X, X — верхняя пола светового конуса, О = М ® БОо(1, 2), Т и То — ограничения квазирегулярного представления т на пространства V и V) соответственно.

Функциональные пространства С^)^) и С^)^) (V € М, т € М) определены в § 1. В следующих предложениях будет показано, что эти пространства являются т-инвариантными функциональными пространствами на X.

Предложение 2.2. Пространство С^)^), V € М, является т-инвариантным функциональным пространством на X.

Доказательство. 1) Чтобы доказать, что С^)^) является т-инва-риантным функциональным пространством на X, нужно показать, что для любой функции /(ж) € С^)^) и для любого д € О функция (т(д)/)(ж) = /(жд) также принадлежит пространству С^)^), и отображение д ^ т (д)/ является непрерывным отображением из топологической группы О в банахово пространство С^)^).

Для ж = (жо,ж1,ж2) € X число |ж| определено формулой (1.10). Если д = (4, и) € О, £ € М, и = (и^-) € БОо(1, 2), то определим число

|д| := |£| +1пиоо. (2.4)

Так как иоо > 1, то 1п иоо > 0 и |д| > 0. Проверим, что справедливы

неравенства

|жд| < 1п2 + |ж| + |д|, ж € X, д € О; (2.5)

|дш| < 1п2+ |д11 + |д21, д1 ,д2 € О. (2.6)

Если ж = (жо, ж1, ж2), д = (£, и), и = (и^-), 0 < г, < 2, то

(жд)о = е4(жоиоо + ж1ию + ж2и2о) <

< в^ж) + ж2 + ж2)1/2(и)о + и2о + и2о)1/2 <

< в4(2жо)1/2(2и2о)1/2 = в‘2жоиоо. (2.7)

При этом использовано неравенство Коши - Буняковского и соотношения ж2 — ж2 — ж2 =0 и и)о — и2) — и2о = 1.

Из (2.7) вытекает, что

|жд| = 11п(жд)о| < 1п2 + 11пжо| + |£| + 1пиоо = 1п2 + |ж| + |д|,

что доказывает неравенство (2.5). Неравенство (2.6) доказывается аналогично.

Отметим еще, что

|д-1| = |д|, д € О, (2.8)

и |д| =0 тогда и только тогда, когда д € К (К — подгруппа в группе О, определенная в (1.3)).

Из неравенства (2.5) вытекает, что

(1 + |жд|) < 2(1 + |ж|)(1 + |д|). (2.9)

Если в неравенство (2.9) подставить жд вместо ж и д-1 вместо д, то с

учетом (2.8) получим неравенство

(1+Ы) * ■ (210)

2) Пусть / € С^)^), тогда /(ж) — непрерывная функция на X и |/(ж)|(1 + |ж|)-" ^ 0 (2.11)

при |ж| ^ те. Из (2.9) и (2.10) легко получить неравенство

(1 + |ж|)-" < А(д, V)(1 + |жд|)-^, ж € X, д € О, V € М, (2.12)

где

А(д, V)=2|^(+|д|)И. (2.13)

Из (2.11) и (2.12) следует, что

|/(жд)|(1 + |ж|)-^ ^ 0 при |ж| ^ те,

поэтому т(д)/ € С^)^). Отметим также, что из (2.12) вытекает неравенство

||т(д)/||М < А(д, V)||/||и, / € ), (2.14)

где У • ||(^) — норма в пространстве С^)^) (см. (1.12)).

3) Пусть / € С^)^). Докажем, что отображение д ^ т(д)/ из О в банахово пространство С(^) (X) непрерывно. Так как операторы т(д) образут топологическую группу, то достаточно доказать, что

11т(д)/ — /Ни ^ 0 при д ^ e, (2.15)

где е — единичный элемент в группе О.

Пусть £ — произвольное положительное число. Из (2.11) следует, что существует число Д > 0, такое, что при |ж| > Д/2 выполняется неравенство

|/(ж)|(1 + |ж|)-" < 3£4- 1 - |. (2.16)

Так как Вд := {ж € X : |ж| < Д} является компактным подмноже-

ством в X, то существует окрестность и единичного элемента в группе О, такая, что

|/(жд) — /(ж)| < 1 £(1 + Д)-И при |ж| < Д, д € и. (2.17)

Так как |е| =0 и |жд| непрерывно зависит от ж € X и д € О, то

уменьшив, если это необходимо, окрестость и, можно считать, что выполняются следующие условия:

|д| < 1 Уд € и; (2.18)

|жд| > Д/2 при |ж| > Д и д € и. (2.19)

Из (2.17) вытекает, что

|/(жд) — /(ж)|(1 + |ж|Г" < 1 £ при |ж| < Д, д € и. (2.20)

Используя формулы (2.12), (2.13), (2.16), (2.8) и (2.19), получим, что при |x| > R и g € U справедливы неравенства

If (xg)|(1 + |x|)-V < A(g, v)|f (xg)|(1 + |xg|)-V <

<A(g,v)3£4-|v|< 3£, (2.21)

|f(x)|(1 + |x|)-V < 1 £4-|v| < 3£, (2.22)

а из (2.21) и (2.22) вытекает неравенство

2

|f(xg) - f (x)|(1 + |x|) V < з£ при |x| > R,g € U. (2.23)

Окончательно из (2.17) и (2.23) получаем, что при g € U справедливо неравенство

||т(g)f - f ||(v) < sup |f (xg) - f (x)|(1 + |x|)-V+

|x|<R

12

+ sup |f (xg) - f (x)|(1 + |x|)-V < tj£ + о£ = £,

|x|>R 3 3

что доказывает (2.5) и завершает доказательство т-инвариантности пространства C(V)(X). □

Предложение 2.3. Пространство C^^X) (v € R, m € N) является т-инвариантным функциональным пространством на X.

Доказательство. 1) Чтобы доказать, что C^^X) является т-инвариантным функциональным пространством на X, нужно показать, что для любой функции f (x) € Cm)(X) и для любого g € G функция (т(g)f)(x) = f (xg) также принадлежит пространству CV(X) и отображение g ^ т(g)f является непрерывным отображением из топологической группы G в банахово пространство C^^X).

Пусть f € C^V)(X), n € N. Тогда, по определению, daf € C(V)(X) для любого мультииндекса а с |а| < m.

Пусть g — алгебра Ли группы G, g ^ Ad(g) — присоединенное представление группы G на алгебре g. Тогда для любых £ € g и g € G справедливо равенство

£(т (g)f) = т (g)((Ad(g)£)f).

(2.24)

Пусть (г8((д)), 0 < в, 4 < 3, — матрица оператора Лё(д) в базисе £о, £1 , £2, £з. Если а = («1,. .., ап) и в = (въ. .., вп) — мультииндексы, то положим по определению

га,вЫ := га1,в1 (д)га2,в2 Ы . . . Га„,в„ Ы. (2.25)

Из (2.24) следует

3

& (т Ы/) = ^ г^(д)т (д)(£/), (2.2б)

4=0

а из (2.25) и (2.26) вытекает, что

да (т (д)/)= £ га,в (д)т (д)(дв /). (2.27)

в:|в| = Н

Если / € ), то дв/ € £(^)(Х) для любого мультииндекса в

с |в| < т и, по доказанному в предложении 2.2, т(д)дв/ € £(^)(Х). Тогда из (2.27) вытекает, что д“(т(д)/) € £(^)(Х) при |а| < т, откуда следует, что т(д)/ € С^Х). Отметим также, что из (2.27) вытекает неравенство

||т(д)/< В(д^)||/||м, (2.28)

где

В(д, V) = 4тД(д)А(д, V), Д(д) = тах |та,^(д)|, (2.29)

а,р:|а| = |р|<т

II • — норма в банаховом пространстве С^Х) (см. (1.13)).

2) Пусть / € ), т € N. Тогда, по определению, да/ € £(^)(Х)

для любого мультииндекса а с |а| < т. Чтобы доказать, что отображение д ^ т(д)/ из С в С^Х) непрерывно, достаточно доказать, что

Ь(д)/ - /|(Г)) ^ 0 при д ^ е. (2.30)

Далее заметим, что для доказательства (2.30) достаточно показать, что

IIд“(т(д)/ - /)||и ^ 0 при д ^ е (2.31)

для любого мультииндекса а с |а| < т.

Пусть в — произвольный мультииндекс, удовлетворяющий условию |в| = |а|. Из определения га,в(д) (см. (2.25)) следует, что

Так как функции та,в (д) являются непрерывными функциями от д, то из (2.32) следует, что |та,в(д)| ^ 0 при в = а и |та,а(д) — 1| ^ 0, а так как д“/ € С(^)(Х), то, по предложению 2.2, ||т(д)д“/ — д“/||(^) ^ 0 при д ^ е. Тогда из (2.33) вытекает (2.31), что завершает доказательство предложения 2.3. □

Из т-инвариантности пространств С^Х), т € М, и из определения топологий в пространствах £^)(Х), 5(X), 0(Х) и 5' (X) вытекает, что эти пространства также являются т-инвариантными функциональными пространствами на Х.

Если Т — любое функциональное пространство медленного роста на X (т. е. 0(Х) С Т С 5'(Х)), то пара пространств V) = 0(Х) и V = Т удовлетворяет условиям предложения 2.1. Условия 1) и 2) очевидны, а для проверки условия 3) достаточно показать, что для любых ^ € ^(С), / € 5'(Х) функция ^ * / принадлежит пространству £* (Х) и непрерывно зависит от у>. Это доказывается аналогично тому, как в теории обобщенных функций доказывается, что свертка обобщенной функции медленного роста и основной функции является функцией класса Сто, растущей вместе со всеми производными не быстрее некоторого полинома (см., например, [26, гл. I, п. 6]). Из предложения 2.1 вытекает, что между инвариантными подпространствами в различных функциональных пространствах медленного роста на Х имеется взаимно однозначное соответствие.

при в = а, при в = а.

(2.32)

Используя формулу (2.27), можно написать, что

да(т(д)/ - /) = ^2 Га,в(д)т(д)дв/ + га,а(д)т(д)д“/ - д/

откуда вытекает неравенство

Нд“(т(д)/ -1 )У(^} <53 |т“,в(д)| 11т(д)дв 1 Нм+

+ |та,а(д) - 1| ||т(д)д“/||и + ||т(д)д“/ - да/1|(^}. (2.33)

Приведем другие примеры функциональных пространств медленного роста. Пусть 1 < р < те, к > 0. Обозначим через (Х) множе-

ство всех измеримых функций /(ж) на Х, для которых

(во всех функциональных пространствах, не состоящих из непрерывных функций, функции рассматриваются с точностью до значений на множестве меры нуль).

Пространство Ь^(Х) является банаховым пространством относительно нормы пр,к. Пространство

снабдим топологией индуктивного предела банаховых пространств

Проверим, что из / € Ьк(Х) следует т(д)/ € (Х) для любого

д € С. Действительно, используя неравенство (2.12) и инвариантность меры йж, получим

Легко также проверить, что отображение д ^ т(д)/ из О в (X)

непрерывные, т. е. Ьр (X) и Ь|(Х) являются т-инвариантными функциональными пространствами.

Пространство (X) является функциональным пространством медленного роста, т. е. 0(Х) С Ь|(Х) С 5'(X), причем вложения непрерывные (вложение ) С 5'^) задается формулой (1.7)).

Приведем необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений групп Ли (см. [27-30]). Временно пусть О — произвольная связная группа Ли, д — ее алгебра Ли, К — компактная подгруппа в группе О, Т : О ^ ОЬ(Т) — непрерывное представление группы О в полном локально выпуклом пространстве Т.

Пр,к(/) := |/(ж)|р (1 + |ж|) к йж < те (2.34)

к>0

ЬК (X).

Пр,к(т(д)/)= |/(жд)|р(1 + |ж|) к йж <

X

X

X

Вектор V € Т называется гладким (аналитическим), если отображение д ^ Т(g)v из О в Т бесконечно дифференцируемое (соответственно аналитическое). Пусть Тто — множество гладких векторов пространства Т. На пространстве Тто определено действие алгебры Ли 0, которое задается формулой

£v := -^T(exp(s£))v ds

, v & F^ £ ^ g (2.35)

s=0

где exp : g ^ G — экспоненциальное отображение.

Вектор v & F называется K-финитным, если линейная оболочка векторов T(u)v при u & K конечномерная. Пусть Ft — множество всех гладких K-финитных векторов, а F# — множество всех аналитических K-финитных векторов пространства F. Множества Ft и F# являются линейными подпространствами (вообще говоря, не замкнутыми) пространства F. Эти подпространства g-инвариантные, т. е. инвариантны относительно действия (2.35) алгебры Ли g, а также K-инвариантные, т. е.

T(u)(F<r) с Ft, т(u)(F#) С F# Vu & K.

Если H — замкнутое линейное T-инвариантное подпространство пространства F, то подпространства Ht := H П Ft и H# := H П F# являются g-инвариантными и K-инвариантными подпространствами в Ft и F# соответственно. Подпространство Ht плотно в H. Если F — банахово пространство, то и подпространство H# плотно в H (см. [29, гл. 4, § 4]), но в общем случае, когда F — полное локально выпуклое пространство, H# может и не быть плотным в H. Отметим также, что если W — произвольное g-инвариантное линейное подпространство в F#, то его замыкание [W] будет T-инвариантным подпространством в F.

Обозначим через Л множество классов эквивалентности неприводимых конечномерных представлений группы K. Для Л & Л пусть рЛ : K ^ GL(EA) — соответствующее неприводимое конечномерное представление группы K, EЛ — пространство представления. Если р : K ^ GL(V) — произвольное представление группы K в пространстве V, то через V(Л) обозначим максимальное K-инвариантное линейное подпространство в V, представление в котором кратно рЛ. В частности, используя в качестве р ограничение представления T на подгруппу K, получаем подпространства FС F. Подпространства

Т(л) являются замкнутыми и К -инвариантными подпространствами пространства Т. Пусть

Т(л) := Т(л) П Т, Т#л) := Т(л) П Т#. (2.36)

Для любого замкнутого Т-инвариантного подпространства Н С Т полагаем:

Н(л) := Н П Т(л), Н(л) := Н П Т(л), Н#л) := Н П Т#л). (2.37)

Тогда подпространства Нст и Н# раскладываются в алгебраическую прямую сумму:

н = 0 н(л\ Н# = 0 Н#л

лел лел

а так как Но плотно в Н и Н(л) С Н(л), то Н совпадает с замыканием в Т суммы подпространств Н(л), Л € Л.

Вернемся к случаю, когда О = МфБОо(1, 2), X — верхняя пола светового конуса, Т — функциональное пространство типа 1 или типа 2, Т = т — квазирегулярное представление группы О в пространстве Т. Компактная подгруппа К определена в (1.17). В этом случае множество Л отождествляется с Z, все неприводимые представления группы К одномерные и задаются формулами р”(*(0)) := в®”0, п € ^. Для любого п € ^ пространство Т(п) состоит из всех функций /(ж) € Т, удовлетворяющих условию

/(ж*(0)) = в®”0/(ж) У*(0) € К. (2.38)

Пусть Н — инвариантное подпространство в Т. Как и ранее определяются подпространства То-, Т#, Но и У#. Подпространства Т(п), Т#”), Н(п), Н(п) и Н#”) определяются формулами (2.36) и (2.37) с заменой Л на п.

Инвариантная мера на группе К задается формулой

2п

I /(*) ^ = 2П у /(*(0)) ^0. (2.39)

к о

Оператор проектирования пространства Т на подпространство Т(п) имеет вид

П” : / в-®”0т(*)/&, * = *(0), (2.40)

к

где интеграл в правой части понимается как интеграл Римана от вектор-функции со значениями в локально выпуклом пространстве Т. Легко видеть, что

П”(То) = Т(п), П”(Т#) = Т#” (2.41)

Если Н — инвариантное подпространство в Т, то (Н) = Н(п),

П”(Но) = Н(п), П”(Н#) = Н#”.

Лемма 2.1. Пусть То и Т — функциональные пространства медленного роста, причем То С Т (вложение непрерывное). Пусть Но — произвольное инвариантное подпространство в То, а Н = [Но ] — его замыкание в Т. Тогда для любого п € ^

Н(” = [Н(п)], (2.42)

где [Ндп)] — замыкание Н(П) в пространстве Т.

Доказательство. Очевидно, что [Н(”)] С Н(п). Докажем обратное включение. Пусть / € Н(п). Так как Н(”) С Н = [Н ] , то существует направленность {/а} (а пробегает некоторое направленное множество), такая, что /а € Но и /а ^ / в пространстве Т. Так как оператор проектирования непрерывен в Т, то пп(/а) ^ (/) = /, а так как

П” переводит Но в Н(п), то пп(/а) € Н(”). Следовательно, / € [Н(”)], откуда вытекает включение Н(”) С [Н(”)]. □

Определение инвариантных ячеек в пространстве Т(”) дано в § 1 (см. определение 1.2). Пусть в(Т(”)) — множество всех инвариантных ячеек в пространстве Т(”). Если выполняются условия леммы 2.1 и Н(”) € в(Т(”)), то из леммы 2.1 вытекает, что [Н(”)] € в(Т(”)). Определим отображения а : «(Т^) ^ в(Т(”)) и в : в(Т(”)) ^ 5(Т(”))

формулами

а(Н(”)) := [Н(”)], в(Н(”)) := Н(”) П То, где Н(”) € «(т(”)), Н(”) € «(Т(”)).

Предложение 2.4. Пусть выполняются условия леммы 2.1, тогда для любого п € ^, отображения а и в являются взаимно обратными биективными отображениями.

Доказательство. Пусть Н(”) — инвариантная ячейка в Т(”), соответствующая инвариантному подпространству Н С Т , тогда, по лемме 2.1,

Н(”)

= а(Н(”)) — инвариантная ячейка, соответствующая инвариантному подпространству Н = [Н ] С Т. По предложению 2.1 Н ПТо = Но, поэтому

Н(”) П т(”) = (Н П То) П т(”) = Но П т(”) = н(”).

Следовательно, в(а(Н(”))) = Н(”), т. е. в◦ а есть тождественное отображение множества й(Т(”)) в себя.

Теперь пусть Н(”) — произвольная инвариантная ячейка в Т (”), соответствующая инвариантному подпространству Н С Т. Пусть инвариантное подпространство Н = Н П Т и Н (”) — соответствующая (”)

ему ячейка в Т , тогда

н(”) = Но П Т0(”) = Н П т(”) = (Н П Т(”)) П т(”) = Н(”) П Т0(”).

По предложению 2.1 [Но] = Н, откуда по лемме 2.1 [Н(”)] = Н(”), т. е. а (в(Н(”))) = Н(”). Следовательно, а о в является тождественным отображением множества в(Т(”)) в себя. □

В следующем предложении дается внутреннее описание инвариантных ячеек в Т(”). Определим операторы А”(д), п € ^, д € О, в пространстве Т формулой

А”(д)/ := П”(т(д)/), / €Т. (2.43)

Очевидно, что А”(д) являются непрерывными операторами в пространстве Т и А”(д)(Т(”)) С Т(”).

Предложение 2.5. Замкнутое линейное подпространство и С Т(”) является инвариантной ячейкой тогда и только тогда, когда

А”(д)(и) С и Уд € О. (2.44)

Доказательство. Если и = Н(”) для некоторого инвариантного подпространства Н СТ, то (2.44) очевидно.

Обратно, пусть и — замкнутое линейное подпространство в Т(”) и выполняется условие (2.44). Обозначим через Н замыкание линейной

оболочки всех функций вида т(д)/, / € и, д € О. Очевидно, что Н является инвариантным подпространством в Т. Так как П”(т(д)/) = А”(д)/ € и для всех / € и, д € О, то Н(”) = П”(Н) = и, т. е. и является инвариантной ячейкой, соответствующей инвариантному подпространству Н. □

Напомним, что для любых чисел Л € С, г € N подпространство Ул” С Е(”)(Х) определено в (1.21). Из явного вида базиса в пространстве у(’Т) (см. (1.22)) и из определения пространства 0(Х) (см. (1.14))

следует, что Уд” С 0(Х)(”) при Л € М. В дальнейшем будем всюду предполагать, что Л € М.

Следствие 2.1. При Л € М подпространство является инвариантной ячейкой в пространстве

Т(”)

для любого пространства Т

медленного роста.

Доказательство. Так как У^” С 0(Х)(”), то подпространство Ул(” содержится в

Т(”)

для любого пространства Т медленного роста. Так

(”)

как пространство Уд г конечномерное, то оно является замкнутым подпространством в Т(”). Из того, что оператор 5 коммутирует с операторами А”(д), следует, что

А”(д)(Ул(”)) С У(”Д

поэтому, по предложению 2.3, У^ является инвариантной ячейкой в Т(”). □

Предложение 2.6. Пусть Т — функциональное пространство медленного роста на X. Если теорема 1.2 справедлива для пространства Т, то она справедлива и для всех функциональных пространств медленного роста.

Доказательство. 1) Предположим, что теорема 1.2 справедлива для функционального пространства медленного роста Т. Докажем, что теорема 1.2 будет справедлива и для функционального пространства

0(Х).

Пусть Н (”) — произвольная инвариантная ячейка в пространстве 0(Х)(”) и пусть Н(”) = [Н(”)^ — замыкание ячейки Н(”) в пространстве Т. По предложению 2.2 Н(”) является инвариантной ячейкой в

Т(”). Так как теорема 1.2 справедлива для пространства Т, то ячейка

Н(”)

имеет вид

Н (”) = |Е Ул,ГЛ ,

-ле<т ^ ^

где а — спектр ячейки Н(”). Обозначим

ЕУл-гл

|_л^т

О(Х)

Так как каждое подпространство Ул,гл является инвариантной ячейкой в 0(Х)(”) (следствие 2.1), то и подпространство Ш будет инвариантной ячейкой в 0(Х)(”). Так как [Ш]^ = Н(”) = [Н(”)]^, то из

(”)

предложения 2.2 следует, что Ш = Н( ), т. е. теорема 1.2 справедлива для пространства 0(Х), причем спектры ячеек Н(”) и Н(”) = [Н(”)]^ совпадают.

2) Докажем теперь, что теорема 1.2 справедлива для произвольного функционального пространства Т1 медленного роста.

Пусть Н(”) — инвариантная ячейка в пространстве Т(”). Положим Н(”) := Н(”) ПО(Х)(”). Тогда Н(”) — инвариантная ячейка в 0(Х)(”) и, поскольку теорема 1.2 справедлива в пространстве 0(Х),

Н

(”)

Е ул.г

л^т

О(Х)

где а — спектр ячейки Н(”). По предложению 2.2 [Н( ”)]^1 = Н (”),

поэтому

Н(”) =

Е ул,г

л^т

•Я

Следовательно, теорема 1.2 справедлива для пространства Т1, причем спектры инвариантных ячеек Н(”) С Т1(”) и Н(”) = Н(”) П Е(”)(Х) С Е(”)(Х) совпадают. □

Предложение 2.7. Пусть Т — функциональное пространство медленного роста. Если теорема 1.3 справедлива для пространства Т, то эта теорема справедлива и для всех функциональных медленного роста на Х.

Доказательство. Пусть То и Т — функциональные пространства медленного роста, причем То С Т (вложение непрерывное). По предложению 2.1 между инвариантными подпространствами в То и Т имеется взаимно однозначное соответствие. Пусть Но С То и Н С Т — соответствующие друг другу инвариантные подпространства, тогда [Но= Н и Н П То = Но. Пусть Н°п) и Н(п) — ячейки инвариантных подпространств Но и Н. По предложению 2.2 [Н(п)]^ = Н(п) и Н(п) П Тои) = Н°п), откуда следует, что спектры ячеек Н°п) и Н(п) совпадают. Из совпадения спектров ячеек Н°п) и Н(п) легко получить, что теорема 1.3 справедлива для пространства То тогда и только тогда, когда она справедлива для пространства Т.

Если Т и Т1 — произвольные функциональные пространства медленного роста, то существует пространство Т медленного роста, такое, что То С Т и То С Т1 (вложения непрерывные). В качестве пространства То можно взять 0(Х). Если теорема 1.3 справедлива для пространства Т, то она будет справедлива и для пространства То, а из справедливости для То вытекает справедливость теоремы 1.3 для пространства Т1, что доказывает предложение 2.5. □

Из предложений 2.4 и 2.5 вытекает, что теоремы 1.2 и 1.3 достаточно доказать для какого-нибудь одного пространства медленного роста. В следующем параграфе эти теоремы будут доказаны для пространства С*(Х) (см. (1.16)).

Приведем еще один результат, который будет использоваться при доказательстве теоремы 1.2. Через (М) обозначим множество всех непрерывных функций / (ж) на М, удовлетворяющих условию

|/(ж)| (1 + ж2)-к/2 ^ 0 при ж ^ те. (2.45)

Множество (М) является банаховым пространством с нормой

II/ 1и,й := вир |/(ж)| (1 + ж2)-к/2. (2.46)

Пространство

С* (М) := и £*(М)

к>о

снабжается топологией индуктивного предела банаховых пространств (М) и становится полным локально выпуклым пространством.

Замкнутое линейное подпространство Н С С*(М) будем называть инвариантным подпространством, если оно инвариантно относительно сдвигов, т. е. из /(ж) € Н следует /(ж + а) € Н для любого а € М. В следующем предложении дается описание инвариантных подпространств в пространстве С*(М). Как и в § 1, для любых Л € М, г € N пусть У\,г — линейное подпространство, порожденное функциями (1.2). Очевидно, что Ух,г С С*(М). Дополнительно обозначим

У,то := У У,г.

Пусть Н — инвариантное подпространство в пространстве С*(М). Будем говорить, что число Л € М принадлежит спектру инвариантного подпространства Н, если У\,г С Н для некоторого г € N. Обозначим гл := вир{г : У\,г С Н}. Число гл будем называть кратностью числа Л в спектре (гл может принимать значения из множества N и {те}). Обозначим через а = ан спектр инвариантного подпространства Н, причем будем считать, что каждое число Л входит в а с кратностью гл.

В [31] получено описание инвариантных подпространств в некоторых топологических векторных функциональных пространствах на М. Среди этих пространств содержится, в частности, пространство С*(М). Следующее предложение является частным случаем теоремы 4.2 из [31].

Предложение 2.8. 1) Любое инвариантное подпространство Н С

С* (М) допускает спектральный синтез, т. е. совпадает с замыканием в С*(М) линейной оболочки подпространств У\,г, где Л пробегает спектр а, а г = гл — кратность числа Л в а.

2) Для того чтобы подмножество а С М (каждое число Л может входить в а с некоторой кратностью гл € N и{те}) было спектром некоторого инвариантного подпространства Н С Т, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия 2) из теоремы 1.2.

§ 3. Доказательства основных теорем

В группе SOo(1, 2) С G определим l-параметрические подгруппы

A := < a(t) :=

N := n(t) :=

ch t sh t О

sh t ch t О

О О 1

1 + ^ t-

1 ^ 2 2

+ 2 +2

___^ і _________ t

2 1 2

t є R

t

t

t

-t

1

t є R

Две другие 1-параметрические подгруппы группы С определены в § 1: подгруппа растяжений Г = {7(4), 4 € R} (см. (1.5)) и подгруппа К = {к(0),0 € R/2пZ} (см. (1.17)).

Каждый элемент £ из алгебры Ли д группы О будем отождествлять с дифференциальным оператором на многообразии X, определенным формулой (1.9). В качестве базиса в алгебре Ли д возьмем следующие дифференциальные операторы £о, £1, £2, £3:

С0/(x) := /(x) = dS/(x7(s))

s=0

Сі/(x) := d^/(xk(0))

0=0

С2/(x) := dS/(xa(s))

d

s=0

Сз/(x) := —/(xn(s))

s = 0

Пусть p = (1, 1, О) є X. Отображение

(t, <£>) ^ x = p07(t)k(y>) = (et, et cos <£>, et sin y>)

является диффеоморфизмом многообразия R x 8і (8і = R/2nZ) на многообразие X. Числа (t, у>) будем использовать в качестве параметров точки x на X. Легко видеть, что в параметрах (t, у>) дифференциальные операторы С0, Сі, С2, Сз имеют вид:

С0 = dt, Сі = dv, С2 = (cos^)dt-(sin<^)dv, Сз = (sin^)dt+(cos^-1)5V.

Введем еще другой базис Y0, Y., Y2, Y3 в алгебре Ли g, который немного отличается от базиса С0, Сі, С2, Сз. Пусть Yj := £? при j = 0,1, 2 и

Y3 := Сз + Сі = (sin y>)dt + (cos y>)dv.

Определим также операторы

У+ := У2 + *Уз, У- := У2 -

Пусть Т — произвольное функциональное пространство типа 1 или типа 2. Пространства Т и Т# определены в § 1. Если Н — инвариантное подпространство в Т, то Н := Н П Т-, Н# := Н П Т#. Если

£ € 0, то £(НСТ) С Нст и £(Н#) С Н#. Как в § 2, для любого п € Z

определяются пространства Т(п), Т(п), Т##^, Н(п), Н(п), Н##^.

Любую функцию /(ж) € Т(п) можно представить в виде

/ (ж) = в-/), (3.1)

где ж = Р07(^)к(^), /(4) = /(ро7^)) € Сто^).

Из (3.1) вытекает, что

Уо/(ж) = 5/(ж) = е4^/), (3.2)

У1/(ж) = те4/), (3.3)

У+/(ж) = е4(п+1)^ (/) - п/>)) , (3.4)

У-/(ж) = е4(и-1)^ (/) + п/>)) , (3.5)

откуда следует, что операторы Уо и У1 переводят пространства Т(п) и Т#’ в себя, а операторы У+ и У_ переводят пространства Т(п) и Т#’

в Т(п±1) и в Т#п±1) соответственно. Если Н(п), п € ^, — инвариантные ячейки, соответствующие одному инвариантному подпространству Н СТ, то операторы Уо = 5 и У1 переводят Н(п) и Я#Г) в себя, а

V ТЛ тг(’) тг(’) тг(’±1) тг(п± 1)

операторы У+ и У_ переводят Н- и Н# в Н- и Н# соответственно. Будем обозначать через У+п) и У(п) ограничения операторов У+ и У_ на пространство Т(п), тогда

у(п) : т(п) ^ т(”+1) У(п): Т(п) ^ т(п-1)

Из явного вида операторов 5, У+п), У_п) (см. (3.2), (3.4), (3.5)) вытекают следующие соотношения:

5У±п) = У±п)5, (3.6)

у_"+1)у+п) = 52 + 5 - п(п + 1)1, (3.7)

У+п_1)У+п) = 52 + 5 - п(п - 1)1, (3.8)

где I — тождественный оператор.

Если функция /(ж) принадлежит пространству Т(п), то ее можно представить в виде (3.1), где ж = р07(і)&(^>), / (і) = /(ро7(^)) — функция на К. Определим отображение

ап : /(ж) ^ /(і)

из пространства Т(п) на некоторое функциональное пространство ап (Т(п)), состоящее из функций на К. В следующей лемме описывается образ а„(Т(п)) для случаев, когда Т = С(X) или Т = £*(Х).

Лемма 3.1. Отображение ап является изоморфизмом топологических векторных пространств С(X )(п) на С(К) и £*(Х)(п) на С* (К).

Доказательство. Так как (і, у>) являются гладкими (и тем более непрерывными) параметрами на X, то функция /(ж) = ет/(і) непрерывна на X тогда и только тогда, когда функция /(і) непрерывна на М. Поэтому ап биективно отображает С(X)(п) на С(М) и, как легко видеть, является изоморфизмом этих топологических векторных пространств.

Пусть /(ж) Є С*^)(п). Заметим, что |ж| = |і| при ж = ро7(і)^(^) Є X, где |ж| определяется формулой (1.10). Поэтому функция /(ж) удовлетворяет условию (1.11) тогда и только тогда, когда функция /(і) удовлетворяет условию (2.45) и при этом

II/ 1Ы = ІІ/іи*.

Следовательно, отображение ап является изоморфизмом топологических векторных пространств С*^)(п) и С*(К). □

(п)

Лемма 3.2. Функции из пространства г) являются аналитически-

ми векторами квазирегулярного представления т в топологическом векторном пространстве С*^), т. е.

ул(П с С*^)#п).

Доказательство. Базис в пространстве образуют функции (1.22), которые можно также записать в виде

45(ж) := і5еЛ4еіп^ і = 0,1,... ,г - 1,

(3.9)

при ж = р07(£)&(у>) Є X.

Алгебра Ли 0 действует на пространстве С“(X) по формуле (1.9), и это действие естественным образом продолжается до действия универсальной обертывающей алгебры и (д). Будем обозначать это действие через а/ при а Є и (д), / Є С“(X). С другой стороны, алгебра Ли 0 действует на гладких функциях на группе О по формуле

£ € 0, Ф(д) € Сто(О). Это действие также продолжается до действия универсальной обертывающей алгебры и (д). Будем обозначать это действие ^аФ, а € и(д), при этом

Для любой функции / € СТО(Х) определим функцию Ф^(д) := т(д)/. Функция Ф^ является гладкой (класса Сто) функцией на группе О со значениями в топологическом векторном пространстве СТО(Х). Легко видеть, что справедливо равенство

где Уо, У ,У2,Уз — введенный ранее базис в алгебре Ли д. Если рассматривать Уо, У1, У2, Уз как дифференциальные операторы на X, то

Д/(ж)= ^2 + ^, / Є С“(X), ж = ро7(*)*Ы. (3.13)

Возьмем произвольное число й, удовлетворяющее условию Й > |А|.

(^еФ)(д) := Ф(дехр(в£))

(3.10)

^аЬФ = ^а(ЭД Уа,6 Є и(д).

(3.11)

А:=1(У2 + У2 + У22 + У2 - *0),

(3.12)

Из (3.9) и (3.13) легко получить, что каждая функция и(ж) = е1’)(ж) удовлетворяет дифференциальному уравнению

(Д — А2 + п2)5 и = 0.

(3.14)

Тогда все функции еЛ^, п Є ^, і Є ^+, принадлежат пространству

£^°(Х) и, в частности, банахову пространству £^(Х). Пусть и(ж) =

е^П^ж). Рассмотрим функцию Фи(д) := т(д)и на группе О со значениями в банаховом пространстве £^(Х). Из (3.11) и (3.14) вытекает, что

(^Д — А2 + П2)5' фи = Ф(Д-Л2+п2)з' и = 0.

Оператор ^д является эллиптическим дифференциальным оператором на группе Ли О, поэтому функция Фи удовлетворяет эллиптическому дифференциальному уравнению

(Яд - А2 + п2)^'Фи = 0.

Из теоремы регулярности для решений эллиптических дифференциальных уравнений (см., например, [32, приложения 4 и 5]) следует, что функция Фи(д) является аналитической функцией на многообразии О, т. е. функция и(ж) является аналитическим вектором представления т в банаховом пространстве £^(Х). Следовательно, и € £^(Х)#п) с С*(Х)#п). □

Доказательство теоремы 1.2. Из предложения 2.4 вытекает, что теорему 1.2 достаточно доказать для пространства £*(Х). Пусть Т = С*(Х), через Т(М) будем обозначать пространство С*(М). По лемме

3.1 для любого п € ^ отображение ап является изоморфизмом топологического векторного пространства Т(п) на Т(М).

Пусть Н(п) — некоторая инвариантная ячейка в Т(п). Если / ( ж) € Н(п), то /(ж7(в)) € Н(п) при любом в € М. Очевидно, что, если «п(/(ж|) = /(4), то а„(/(ж7(в)) = /(4 + в). Пусть Я(п) = а„(Н(п)), тогда Н (") является замкнутым линейным подпространством в Т(М), инвариантным относительно преобразований /"(4) ^ /(£ + в) для любого в € М. По теореме 1.1 и предложению 2.6 пространство Н(п) описывается своим спектром а С М, удовлетворяющим условиям (1) и (п) из теоремы 1.2, и при этом Н (П совпадает с замыканием в Т(М) суммы подпространств Ул,гл , где А пробегает а, гл — кратность числа А в а. Так как ап(У>(")) = Ул,п, то подпространство Н(п) совпадает с

замыканием в Т(п) суммы подпространств . Тем самым доказан пункт 1) теоремы 1.2.

Пусть а — произвольный набор действительных чисел, удовлетворяющий условиям (1) и (11) из теоремы 1.2. Для доказательства пункта

2) теоремы 1.2 достаточно доказать, что найдется инвариантная ячейка

Н(п) с Т(п), спектр которой совпадает с а.

Пусть и — замыкание в Т(М) суммы подпространств Ул,Гл , где А пробегает множество а, а гл — кратность числа А в а. По теореме 1.1 и предложению 2.6 и = Т(М). Пусть и = 1(?7). Тогда и явля-

ется замкнутым линейным подпространством в Т(п), совпадающим с замыканием суммы подпространств уЛ"!, А € а. Так как каждое подпространство Уд"? является инвариантной ячейкой в Т(п) (следствие 2.1), то, по предложению 2.3, и также будет инвариантной ячейкой в Т(п). Спектр инвариантной ячейки и совпадает со спектром подпространства и С Т(М), т. е. совпадает с а. □

Доказательство теоремы 1.3.

1) Из предложения 2.5 вытекает, что теорему 1.3 достаточно доказать для пространства С*(Х). Далее пусть Т = С*(Х). Операторы

тДп) . тт(п) У± : Т#

("±1)

(п)

#

(3.15)

задаются формулами (3.4), (3.5) и (3.2). Из этих формул и из явного вида базиса в пространстве У(") (см. (3.9)) легко получить, что для любых А € М, г € N выполняются равенства:

у(п) У +

уа("Л = ул("+1)

У

(п)

у,(пЛ = у(п-1)

(3.16)

если п = 0 и А = 0, а при п = 0 и А = 0 будет

У

!о) Мо)

+

о,г

(1)

о,г-1

и У(

(о) (у(о)

о,г

у

(-1)

о,г-1.

(3.17)

При этом мы по определению полагаем, что у

(п)

л,о

{0}. Из определения пространств УЛ") (см. (1.23)) и из формул (3.16) и (3.17) следует также, что

у(п) У +

У(

= у ("+1)

У

(п)

У(

= у (п-1)

(3.18)

и

и

для любых А € М и п € ^.

2) Пусть Н — инвариантное подпространство в Т, Н(п) — соответствующие ему ячейки, Н#") = Н(п) П Т#п). Так как ячейки Н!"),

п € ^, соответствуют одному инвариантному подпространству, то У±(Н#п)) С Н#"±1) и 5(Н#")) С Н#п). Пусть а(п) — спектр ячейки Н!") и пусть гЛп) — кратность числа А в а(п). Число А входит в а(п) с кратностью г тогда и только тогда, когда Уд"? С Н(п), а так как

УЛ("Г) С Т#п) (по лемме 3.2), то У^" С Н#").

Определим, как связаны кратности числа А € М в спектрах соседних ячеек Н(т) и Н(т+1), т € ^. Пусть г — кратность числа А в а(т), в — кратность числа А в а(т + 1). Так как У+т)(Н^Т^) С Н(т+1), то

тА(т)/тг(т)\ ^ Тг(т+1) /о 1 ^

У+ (Уд т ) С уЛ я , откуда с учетом (3.16) вытекает, что г < в, если

т = 0 или А = 0, и г — 1 < в, если т = 0 и А = 0. Аналогично, так как

тДт+1) / тГ(т+1) N тт(т) ^(т+1)/Т-Г(т+1)ч _ т?(га)

У- (Н# ) С Н# , то У- (ул я ) С Уд г , откуда с учетом

(3.17) вытекает, что в < г, если т = ( — 1) или А = 0, и в — 1 < г, если т = ( — 1) и А = 0. Эквивалентно можно сказать, что спектры а(т) и а(т + 1) должны полностью совпадать при т = 0, —1, а при т = 0 или т = —1 совпадать за исключением числа 0, кратности которого

(1) (о) (о)

могут отличаться: кратность го может равняться го или го — 1,

(-1) (о) (о) 1

кратность го может равняться Гд или Гд — 1.

Из полученных условий на спектры соседних ячеек Н(т) и Н (Т+1) вытекает, что при А € 0 кратности гЛ" числа А в спектрах а(п) не

Л гч (п)

зависят от п, а при А = 0 кратности Гд могут изменяться в зависимости от п, но так, чтобы выполнялись условия 2) и 3) теоремы 1.3. Тем самым доказана необходимость условий 1), 2) и 3) теоремы 1.3.

3) Пусть в каждом подпространстве Т(п), п € ^, задана инвариантная ячейка ип, которая описывается спектром а(п). Предположим, что для спектров а(п) выполняются условия 1), 2) и 3) теоремы 1.3. Докажем, что найдется единое инвариантное подпространство Н С Т, которому соответствуют все ячейки ип (т. е. ип = НПТ(п) для любого п € 2)

В каждой ячейке ип возьмем сумму (без замыкания) всех подпространств уЛ где А пробегает спектр а(п), а г — кратность числа А в

этом спектре. Обозначим это линейное подпространство Шп. Так как уЛ" С Т#п) (лемма 3.2), то Шп С Т##^. Пусть

Ш = ^ Ш",

тогда Ш является линейным подпространством в Т#. Так как выпол-

нены условия 1), 2), 3) теоремы 1.3, то из равенств (3.16) и (3.17), а также из того, что ^(У^) С V^"?, вытекает, что

Y+n)(W„) С Wn+i, Y_n)(W„) С Wn_i (3.18)

для любого n G Z.

Из (3.18), с учетом того, что операторы Y^n) представляют собой ограничения операторов Y± на F(n), вытекает, что Y+(W) С W и

Y_(W) С W. Кроме того, Yo(W) = J(W) С W и из формулы (3.3) вытекает, что Y1(W) С W. Так как базисные векторы Xo, Xi, X2, X3 алгебры Ли g являются линейными комбинациями векторов Y0, Y1, Y+, Y_, то

X(W) С W VX G g. (3.19)

Пусть H = [W] — замыкание W в пространстве F. Из того, что W С F# и из (3.19) следует, что H является инвариантным подпространством в F. Докажем, что Un совпадает с ячейкой H(n) пространства H.

Заметим, что H(n) = nn(H), где nn — оператор проектирования пространства F на F(n) (см. (2.40)). Так как Un С H, то Un = nn(Un) С H(n). С другой стороны, пусть f G H(n). Так как, в частности, f G H, то найдется направленность {fa} С W, такая, что fa ^ f в пространстве F. Если fa G W, то nn(fa) G Wn С Un. Из непрерывности проектора пп вытекает, что nn(fa) ^ nn(f) = f, а так как Un — замкнутое подпространство в F, то f G Un, т. е. H(n) С Un. Тем самым доказано, что Un = H(n) при всех n G Z, т. е. ячейки Un соответствуют одному инвариантному подпространству. □

Resume

We describe the structure of closed linear subspaces in tempered topological vector function spaces on the light cone X in R3 that are invariant with respect to the natural quasiregular representation of the group R®SO0(1, 2). In particular, we obtain a description of the irreducible and indecomposable invariant subspaces. The class of function spaces under consideration include, in particular, the space S'(X) of all tempered distributions on X.

Список литературы

[1] Berenstein C. A. Spectral synthesis on symmetric spaces // Contemp. Math. 1987. V. 63. P. 1-25.

[2] Berenstein C. A., Gay R. Sur la synthese spectrale dans les espaces

symetriques // J. Math. Pures Appl. 1986. V. 65. P. 323-333.

[3] Wawrzynczyk A. Spectral analysis and synthesis on symmetric spaces // J. Math. Ann. Appl. 1987. V. 127. P. 1-17.

[4] Schvartz L. Theorie generale des fonctions moynne-periodiques // Ann. of Math. 1947. V. 48. P. 875-929.

[5] Гуревич Д. И. Контрпримеры к гипотезе Шварца // Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т. 9, № 2. С. 29-35.

[6] Malgrange B. Existence et approximation des solution des equations aux

derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst. Fourier. 1956. V. 6. P. 271-355.

[7] Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley Interscience, 1970.

[8] Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1967.

[9] Platonov S. S. Invariant subspaces in certain function spaces on Euclidean space // Math. Scand. 1995. V. 76. P. 115-138.

[10] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на евклидовом пространстве // Труды ПетрГУ. Сер. Математика. 1995. Вып. 2. С. 92-112.

[11] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах полиномиального роста на Rn // Труды ПетрГУ. Сер. Математика. 1997. Вып. 4. С. 105-124.

[12] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на n-мерном пространстве Лобачевского // Матем. сб. 1988. Т. 137, № 4. С. 435-461.

[13] Платонов С. С. О спектральном синтезе на симметрических пространствах ранга 1 // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4, вып. 4. С. 174-187.

[14] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на симметрических пространствах: в 3 ч. Ч. I // Известия РАН. Сер. математическая. 1995. Т. 59, № 5. С. 127172.

[15] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на симметрических пространствах: в 3 ч. Ч. II // Известия РАН. Сер. математическая. 1998. Т. 62, № 2. С. 131-168.

[16] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на симметрических пространствах: в 3 ч. Ч. III // Известия РАН. Сер. математическая. 2002. Т. 66, № 1. С. 167-202.

[17] Ehrenpreis L., Mautner F. J. Some properties of the Fourier-transform on semisimple Lie groups, III // Trans. Amer. Math. Soc. 1959. V. 90. P. 431-4834.

[18] Рашевский П. К. Описание замкнутых инвариантных подпространств в некоторых функциональных пространствах // Труды Московского математического общества. 1979. Т. 38. С. 139-185.

[19] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на группе SL(2, C) // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1983. Вып. 21. С. 191-258.

[20] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на группе движений евклидовой плоскости // Сибирский мат. журнал. 1990. Т. 31, № 3. С. 135-146.

[21] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на простейшей 'разрешимой группе // Мат. заметки. 1984. Т. 35, № 1. С. 19-30.

[22] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: ГИФМЛ, 1958.

[23] Wawrzynczyk A. Spectral analysis on upper light cone in R3 and the Radon

transform // Can. J. Math. 1988. V. 40, № 6. P. 1458-1481.

[24] Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

[25] Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987.

[26] Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

[27] Warner G. Harmonic analysis on semisimple Lie groups. V. 1. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1972.

[28] Желобенко Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных

группах Ли. М.: Наука, 1974.

[29] Varadarajan V. S. Harmonic analysis on real reductive groups. Berlin;

Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1977.

[30] Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983.

[31] Платонов С. С. Спектральный синтез в некоторых функциональных топологических векторных пространствах // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22, вып. 5. С. 154-183.

[32] Ленг С. ЯЬ2(Ж). М.: Мир, 1977.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33