CC BY
19Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 4, 1997
УДК 517.518
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА НА
С. С. Платонов
Получено описание строения замкнутых линейных подпространств в функциональных топологических векторных пространствах полиномиального роста на евклидовом пространстве Мп. В частности, получено полное описание неприводимых и неразложимых инвариантных подпространств в этих пространствах.
§ 1. Введение и формулировка основных результатов
Пусть группа Ли (7 транзитивно действует на гладком многообразии М. Для д Е и любой функции f(x) на М пусть
(тг(з)/)(ж) := /(з_1ж), же М. (1.1)
Локально выпуклое пространство (ЛВП) Т, состоящее из комплекснозначных функций на М (обычных или обобщенных), будем называть 7г-инвариантным, если из /(ж) Е Т следует, что 7т(д)/ Е Т при любом д £ С и отображение д н->- 7г (g)f из в Т непрерывно. В этом случае ограничение операторов к(д) на Т определяет квазирегуляр-ное представление группы С ЛВП Т (будем обозначать это представление также тг(д)). Линейное подпространство Н С Т будем называть инвариантным подпространством (ИПП), если оно замкнуто и 7г-инвариантно.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 95-01-01391.
© С. С. Платонов, 1998
Общий вид задач, частные случаи которых рассматриваются в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом: описать в каком-нибудь смысле строение всех ИПП для различных групп Ли (?, однородных многообразий М и функциональных пространств Т. В качестве Т обычно берутся функциональные пространства, состоящие из функций, удовлетворяющих некоторым условиям гладкости и роста. Задачи такого типа являются одними из основных задач гармонического анализа на группах Ли и им посвящено большое количество работ (см., например, [1-10]).
В настоящей работе, как и в работе [10], рассматривается случай, когда М совпадает с п-мерным евклидовым пространством Ип, (7 — группа всех изометрий пространства Ип, сохраняющих ориентацию. В [10] рассматривались функциональные пространства Т двух классов. Один класс содержит функциональные пространства, состоящие из функций без ограничений на рост, но с некоторыми ограничениями на гладкость. В этом классе содержатся, например, пространства С^М77-), С0СТ0Ящие из ^ раз непрерывно дифференцируемых функций, б? = 0,1,...,оо. Более точно, в качестве Т можно взять любое полное 7г-инвариантное ЛВП, состоящее из функций на Мп и удовлетворяющее условию
£ С Т С V1
(вложения предполагаются непрерывными), где £ — пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на Мп, V — пространство всех обобщенных функций на Мп, пространства £ и V берутся с обычными топологиями. Будем называть такие функциональные пространства пространствами неограниченного роста. Другой класс функциональных пространств состоит из функциональных пространств экспоненциального роста, точное определение этого класса см. в [10]. В настоящей работе вводится новый класс функциональных пространств на 1п, в которых также удается получить полное описание строения инвариантных подпространств. Функциональные пространства из этого класса называются функциональными пространствами степенного роста. Примером функционального пространства степенного роста служит пространство обобщенных функций умеренного роста на Мп. Описание инвариантных подпространств проводится по той же схеме, что и в [10]: доказывается, что любое ИПП Н С Т однозначно определяется по набору его ячеек я<А), затем получено описание всевозможных ячеек я<А) и устано-
в лены условия, при которых из ячеек может быть построено единое ИПП. Как и в [10], каждая ячейка описывается некоторым спектром сг, но в отличие от [10] спектр обязан быть вещественным, может быть несчетным и в нем допускаются точки бесконечной кратности. В качестве следствия в §2 получено описание неприводимых и неразложимых ИПП.
Перейдем к более подробному изложению результатов. Далее в этом параграфе будем считать, что п > 2. Случай п = 1 будет отдельно рассмотрен в §3.
Пусть х = (х±,. ..,х„) е Мп, о = (0,... ,0), |ж| = (х\ + ... + х2П)1/2. Для мультииндекса г = (г1,... ,гп) Е пусть |г| = Г\ + ... + гп, дг = дх\ • • • , где дt — дифференцирование по параметру £, Z+ =
{0,1, 2,...}. Пусть (7 — группа всех изометрий пространства Мп, сохраняющих ориентацию. Для д Е (7 полагаем
|0| := 19°\-
Проверим, что справедливо неравенство
\дх\ < Ы + \х\^ х £ £ £?.
Действительно, так как д изометрия, то
\/ж,уеМп \дх-ду\ = \х-у\. (1.2)
Тогда
\дх\ = |до + дх- до\ < \до\ + \дх - до\ = \д\ + \х - о\ = \д\ + |ж|. Пусть
а(х) := 1 + \х\, а(д):=1 + \д\.
Из неравенства (1.2) следует, что
ос{дх) < а(д) а(х), (1.3)
а из (1.3) следует неравенство
а(#-1аО > а(х)/а(д). (1.4)
Обозначим через С&, к Е М, множество непрерывных функций на
М = Мп, для которых \/(х)\(а(х))~к —>• 0 при \х\ —>• оо. Множество Си является банаховым пространством (БП) относительно нормы
Як(Л ■■= йир \/(х)\(а(х))-к.
X ем
Пространство
С* := и Ск
к> О
снабдим топологией индуктивного предела БП Ск- Через (б? Е Ъ+) обозначим множество всех б? раз непрерывно дифференцируемых функций /(х) таких, что
дЧ Е Ск
для любого мультииндекса г Е с \г\ < сI. Множество является банаховым пространством с нормой
лыя := Е ^(дгл-
\г | <с?
Определим еще пространство
оо
= СГ := П С1
(1=1
Топология в Еь задается семейством полунорм (даже норм) Нк,а при б? Е й_|_, и пространство Ек становится локально выпуклым пространством. Пространство
С?:= иск. ог = 0,1,2, ...,оо,
&>0
снабдим топологией индуктивного предела ЛВП (7^. Пространство С%° будем также обозначать £*.
Пусть
5 := Р
&>0
Пространство <5 состоит из всех функций (р(х) на Мп, которые вместе со всеми производными стремятся к нулю при \х\ —У оо быстрее любой степени |ж|-1. Это пространство хорошо известно в теории обобщенных функций (см., например, [11]) и называется пространством быстро убывающих функций. Топологию в <5 можно задать счетной системой норм
\\<р\\Л := Е И-Р^г)’ <* = 0,1,2,.... (1.5)
И <Р
Обобщенной функцией медленного роста на Мп называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве <5. Множество всех обобщенных функций медленного роста, снабженное слабой топологией, является полным ЛВП (см. [11]). Значение функционала / на функции ср будем обозначать </,(/?>. Операторы 7т(д), д Е (7, распространяются на <?', если положить
< к(д)/,<р >:=< /,тг(д'1)^ > .
Будем называть полное 7г-инвариантное ЛВП Т пространством полиномиального роста, если
£* С Т С 5',
причем вложения предполагаются непрерывными.
Приведем примеры пространств полиномиального роста. Через (к,р Е М, р > 1) обозначим БП, состоящее из всех измеримых комплекснозначных функций /(ж) на Мп, для которых конечна норма
КЛ1) := 1/(ж)1Р(а(ж))_*!^
где (1х — мера Лебега на Мп. Пространство
К := 11 Ь
к> О
снабдим топологией индуктивного предела БП Ьрк. Пространства Ь* Ср > 1), с'* (<* = о,1,... , оо) и являются пространствами полиномиального роста. Отметим, что обозначения Ь*,(7*,£* и некоторые другие использовались в другом смысле в работе [10] (там рассматривались функциональные пространства экспоненциального роста).
Основным результатом настоящей работы является полное описание инвариантных подпространств в функциональных пространствах полиномиального роста на Мп (см. далее теоремы 1 и 2). Используемые в работе методы аналогичны методам работ [5 - 10].
Пусть Т — произвольное ЛВП, состоящее из функций на множестве М (если не оговорено противное, то все функции предполагаются комплекснозначными) с топологией, задаваемой системой полунорм Ра('), 01 Е /. Пусть Е — конечномерное унитарное пространство над С
с эрмитовым скалярным произведением < • >. Тензорное произведе-
ние векторных пространств Т 0 Е можно отождествить с множеством всех функций Е[х) на М, принимающих значения в Е и удовлетворяющих условию
Д(*):=<ад,е>€^.
Топология в пространстве Т ® Е задается системой полунорм
Р*Ар) :=Ра(< Р(х)^ >), ае1,
и Т 0 Е становится локально выпуклым пространством. Если Т — полное ЛВП, то и Т 0 Е будет полным пространством.
Пусть К — стационарная подгруппа точки о в группе (7. Группа К изоморфна группе Б О (п). Любое конечномерное неприводимое представление группы Б О (п) определяется своим старшим весом, который отождествляется с набором целых чисел Л = (А1,..., Лш) (ш = [п/2]
— целая часть числа п/2), удовлетворяющих условиям
А1 > Л2 > ... > Хщ-1 > |АШ| при п = 2т, (1.6)
А1 > А2 > ... > Ат > 0 при п = 2т + 1. (1.7)
Пусть Л — множество всех старших весов группы К. Через Ло обозначим множество старших весов группы К вида (/, 0,..., 0), где I Е Z при п = 2 и I Е Z+ при п > 3. Пусть Т1(и) — неприводимое представление
группы К со старшим весом (/,0,... ,0), а Е1 — пространство этого
представления. В Е1 фиксируем К-инвариантную эрмитову форму < ^ 1 >5 ^ 1 ^ Е1 - Всюду далее будет предполагаться, что I пробегает множество Z+ при п > 3 и множество Z при п = 2.
Пусть ^ — произвольное полное 7г-инвариантное ЛВП, состоящее из функций на Мп. Через обозначим множество всех функций
Е(х) Е Т ® Е1, удовлетворяющих условию
Р(их) = Т1(и)Е(х) Уи Е К. (1.8)
Множество является замкнутым линейным подпространством в Т 0 Е1 и, следовательно, является полным ЛВП. В частности, возникают пространства , (7*^, (7* ^ и т. д. Для любого ИПП Н С Т через обозначим множество всех функций / Е таких, что
для всех £ Е Е1 функции Д(ж) =< ^(ж),£ > принадлежат Н. Очевидно, что будет замкнутым линейным подпространством в т(1).
Известно (см. [11]), что ИПП Н однозначно восстанавливается по набору подпространств Н^1\ а именно Н совпадает с замыканием в Т линейной оболочки всех функций Д(ж) при F Е H^l\ £ Е Е1 и всевозможных I. Будем называть подпространства ячейками ИПП Н или просто инвариантными ячейками. Для описания ИПП достаточно описать все его ячейки.
В дальнейшем пусть Т — пространство полиномиального роста. Для любых чисел a Е М и г Е N обозначим через Va,l линейное подпространство, состоящее из всех функций F(x) Е £^1\ удовлетворяющих уравнению (A + a2)rF = 0, где А = d21 + .. - + dln — оператор
Лапласа на Мп. Так как Va,l = V^a г, то без ограничения общности можно считать, что a Е М+ :={жЕМ:ж>0}.В§3 будет показано, что dim Va}r — г ив пространстве Vajr можно выбрать жорданов базис, т. е. такой базис Fi,..., Fr, что AFi = — o?F\ и AFk = —a2Fk + Fk~ 1
при к > 2. Кроме того, vd^l Q С Дополнительно определим тИО
подпространство Va,cx> как
оо
v{l) := I I v(l{.
OL, ОО VQ!,fc
k = l
Пусть H« — произвольная инвариантная ячейка в ^(/)- Буде м говорить, что число a Е М+ принадлежит спектру ячейки , если при некотором г Е N U {оо}. Наибольшее из чисел г Е N U {оо}, для которых Va}- С Н^1\ назовем кратностью числа а в спектре, обозначим эту кратность ra. Обозначим через а спектр ячейки Н^1\ причем будем считать, что каждое число а входит в а с кратностью ra.
Теорема 1. Любая инвариантная ячейка совпадает с замыканием в ;г(0 линейной оболочки подпространств Va,l, где а пробегает спектр а, г = га — кратность числа а в а.
Можно дать и полное описание всевозможных спектров инвариантных ячеек. Пусть а — произвольное подмножество в М_|_, причем каждое число а Е сг входит в сг с некоторой кратностью ra Е NU {оо}. Пусть
Ok := {а Е сг : га = к}, к = 1, 2,..., оо.
Для того, чтобы подмножество сг было спектром некоторой ячейки С Т^1\ необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
(si) подмножество (Too замкнуто в М+;
(s2) подмножество afin := сг \ не более чем счетное, причем все предельные точки этого множества (если они существуют) принадлежат множеству СГоо.
Пусть для каждого I в пространстве зафиксирована ячейка некоторого ИПП, вообще говоря, зависящего от /, и пусть a(l) — спектр ячейки
Теорема 2. Ячейки Н{1] соответствуют одному инвариантному под-
пространству тогда и только тогда, когда при всех I спектры сг(1)
(О п
совпадают за исключением кратности r0 J числа 0 в этих спектрах, которая может изменяться в зависимости от I так, чтобы выполнялись условия:
1\ 7 G+1) (0 (0 1
1) при I > U кратность Гд может равняться Гд или гg — 1;
7 / п (г-!) (О (0 1
2) при I < U кратность гg может равняться гg или гg — 1.
Если п > 3, то нужно оставить только условие 1).
В совокупности теоремы 1 и 2 дают полное описание инвариантных подпространств в функциональных пространствах полиномиального роста. Доказательство этих теорем приводится в §3. В §2 из теорем 1 и 2 выводится описание неприводимых и неразложимых инвариантных подпространств.
§ 2. Строение неприводимых и неразложимых ИПП
Пусть Т — произвольное функциональное пространство полиномиального роста на Мп. ИПП Н С Т называется неприводимым, если в Н нет инвариантных подпространств кроме {0} и всего Н. ИПП Н называется неразложимым, если Н / Hi + Н2, где Hi, Н2 — ненулевые ИПП такие, что Hi П Н2 = {0} (здесь Hi + Н2 — замыкание алгебраической суммы подпространств). В этом параграфе при помощи теорем 1 и 2 будет получено описание строения неприводимых и неразложимых ИПП. Строение каждого неприводимого или неразложимого ИПП будет описано как в терминах спектров ячеек этого подпространства, так и в более явном виде.
Пусть Н — неприводимое ИПП в Т. Из теорем 1 и 2 следует, что для спектров a(l) неприводимого ИПП Н есть две возможности:
(а) все спектры а{1) состоят из одного числа а > 0 с кратностью 1;
(б) спектр сг(0) состоит из числа 0 с кратностью 1, остальные спектры
а{1) пустые.
В случае (а) соответствующее спектрам ИПП Н состоит из всех функций / Е £*, удовлетворяющих уравнению
(Д + а2)/ = 0.
Обозначим это ИПП через £*(а). Из теорем регулярности для эллиптических уравнений легко получить, что £*(а) замкнуто в <?', а следовательно, и в любом пространстве Т полиномиального роста. В случае (б) ИПП Н одномерно и состоит из всех констант.
Если Н = Н1 + Я2, #1 и Н2 — ИПП, то тогда а(1) = (Т\(1) и сг2(/), где сгк{1) — спектр ячейки подпространства Нк- Легко видеть, что ИПП Н неразложимо тогда и только тогда, когда спектры а{1) удовлетворяют одному из двух условий:
(а) Каждый спектр а{1) состоит из единственного числа а Е М+ (не
зависящего от I) с некоторой конечной кратностью . При а / 0 кратности должны быть одинаковые для всех /, при а = 0 кратности могут меняться так, чтобы выполнялись условия теоремы 2.
(б) Существует связное замкнутое подмножество а С М+ такое, что
а{1) = а для всех I и все точки из а{1) имеют бесконечную кратность.
Отметим также, что любое связное замкнутое подмножество а в М+ совпадает либо с отрезком [а, Ь] (0 < а < Ь < оо), либо с точкой {а} С М+, либо с полуинтервалом [а, оо).
Приведем теперь более явное описание неразложимых ИПП.
(а1) Пусть каждый спектр а{1) состоит из единственного числа а Е М+ с некоторой кратностью г, не зависящей от I. Соответствующее неразложимое ИПП Н состоит из всех функций / Е £*, удовлетворяющих уравнению
(Д + а2)7 = 0.
Обозначим это ИПП через £*(а,г). Из теорем регулярности для эллиптических уравнений следует, что £*(а,г) замкнуто в любом пространстве Т полиномиального роста.
(а2) Пусть п > 3 и каждый спектр сг(£) состоит из числа 0 с кратностью бїї Є й_|_. При п > 3 числа I пробегают множество й_|_, а кратности бїї должны удовлетворять условию 1) теоремы 2. Будем говорить, что неразложимое ИПП типа (а2) соответствует последовательности М}ієг+-
Заметим, что ИПП Н, соответствующее последовательности
Следовательно, ИПП Н совпадает с линейной оболочкой функций дг\х\2(к~1>) при г = (г1,...,гп) Е \г\ < 2 (к — 1). Обозначим это ИПП через Нк-
Для любого целого ш, удовлетворяющего условию 0 < тп < к, пусть Нк,т •= Нк П £*(0,т). Тогда ИПП Нк,т неразложимо и определяется последовательностью
Любое неразложимое ИПП типа (а2) является конечным объединением подпространств вида Нк,т и подпространства £*(0,е£), где бI = \imdi при I —У оо. Например, последовательность б?о = = 5,
<^2 = <^з = 4, б?4 = 3, б?/ = 2 при I > 5 соответствует неразложимому ИПП Н = /Те,5 и #7,4 и £*(0,2). Другой пример: пусть Н — пространство всех полиномов на Мп степени < 1, тогда Н = #2д и Н соответствует последовательности б?о = б?1 = 1, б?/ = 0 при I >2.
(аЗ) Пусть п = 2 и каждый спектр сг(£) состоит из числа 0 с кратностью б?/. В этом случае I пробегает множество й и последовательность {бдолжна удовлетворять условиям 1) и 2) теоремы 2. Перейдем в М2 к комплексной переменной z — х 1 + г = л/^1. Пусть 2 = хх - гж2, 9* := \{дХ1 + 1дХ2), дг := \{дХ1 - 1дХ2), тогда
{
к — I при 0 < I < к,
О при I > к
А = %1+92ха=4д,дг.
Легко видеть, что ячейка \ при I > 0 совпадает с линейной оболочкой функций 2г+^, ^ = 0,1,.. .,к — 1, а при I < Ос линейной
оболочкой функций £ = О,1,..., & — 1.
Пусть
£+(0,к) := {/е£* :0‘/ = О}.
Подпространство £+(0, &) является неразложимым ИПП, соответствующим последовательности
{к при I > 0,
к + I при (—к) < I < 0,
0 при I < —к.
Аналогично неразложимое ИПП
£~{0,к) := {/ £ £* : 0*/ = 0}
соответствует последовательности
{0 при к > I,
к — I при 0 < I < к,
к при I < 0.
Как и для случая пространств типа (а2), пусть — минимальное ИПП, содержащее ячейку ИПП совпадает с линейной обо-
лочкой функций <9г|ж|2^-1) при г Е й™, \г\ < 2(к — 1), и соответствует последовательности
7 Г к — \1\ при —к < I < к,
<*' = \0 при |1| >к. ~
Пусть
Кш := НкП£+(0,т), Н~т := НкП£~(0,т).
Любое неприводимое ИПП типа (аЗ) совпадает с конечным объединением некоторого числа подпространств типа Н^ш и подпространств £*+(М+) и £* (0,б?_), где d+ = \imdi при I —У +оо, d- = \imdi при
I —> —оо.
(б) Пусть сг — связное замкнутое подмножество в М+ и для любого I спектр а(1) совпадает с множеством сг, причем все точки этого спектра имеют бесконечную кратность. Пусть Н — соответствующее этим спектрам неразложимое ИПП.
Для функций /(ж) Е <5 преобразование Фурье определяется формулой
/(*) = J/(х)ег^'хЫх, г = (*1,... ,*„) е ж",
К"
где (£, ж) = Ь\Х\ + ... + Ь„хп.
Обычным образом (см. [11, 12]) преобразование Фурье продолжается на обобщенные функции / Е В частности, можно делать преобразование Фурье для функций из любого функционального пространства Т полиномиального роста, так как Т С <?'.
Неразложимое ИПП Н состоит из всех функций / Е Т, для которых носитель преобразования Фурье /(£) содержится в множестве
Та := {£ = (£1,..., tn) Е Мп : Щ Е сг}.
Отметим один частный случай, когда множество а состоит из одной точки О Е М+. В этом случае Н совпадает с множеством обобщенных функций / Е таких, что преобразование Фурье / является обобщенной функцией с носителем в точке о — (0,... ,0) Е Мп. Как известно [12], такими функциями являются полиномы на Мп, так что Н в этом случае совпадает с множеством всех полиномов.
Сравним описание неразложимых ИПП в пространствах полиномиального роста и в пространствах неограниченного роста и экспоненциального роста (см. [10]). В пространствах неограниченного роста и экспоненциального роста отсутствуют неразложимые ИПП типа (б), а есть только неразложимые ИПП типа (а), но зато в этих пространствах числа а Е ст(1) могут быть комплексными.
§ 3. Доказательства теорем 1 и 2
Доказательства теорем 1 и 2 в основном аналогичны доказательствам соответствующих теорем из [10], поэтому будем приводить только основные элементы доказательств. Из теоремы 1 в [13] сразу получаем следующее
Предложение 1. Пусть Т\ и Т'2 — функциональные пространства полиномиального роста и Т\ С Т2. Существует взаимно однозначное соответствие между инвариантными подпространствами в Т\ и Т2, которое получается сопоставлением ИПП Н С Т\ его замыкания
W = [Н] в Тъ- То же самое соответствие получается, если сопоставить ИПП W С J-2 подпространство Н = W П Т\ С Т\.
Из предложения 1, рассуждая как в [10], получаем следующее
Предложение 2. В условиях предложения 1 для любого I существует взаимно однозначное соответствие между инвариантными ячейками в пространствах и • Это соответствие получается сопоставлением ячейке
н(1) с jfW
ее замыкания [Я«] в . То же самое соответствие получается сопоставлением ячейке W(l~> С JRW ячейки
IfWnjf с т[1).
Следствие. Для доказательств теорем 1 и 2 достаточно доказать эти теоремы для какого-нибудь одного пространства Т полиномиального роста.
Действительно, если теоремы 1 и 2 справедливы для какого-нибудь пространства Т полиномиального роста, то из предложений
1 и 2 и того, что £* С Т С <S', следует, что они справедливы и для пространств £* и S', а следовательно, и для всех других пространств полиномиального роста.
Как в §1, пусть А = (Ai,...,Am) — произвольный старший вес группы К = SO(n), m = [п/2]. Обозначим через Тх(и) неприводимое представление группы К со старшим весом А, через Ех — пространство этого представления, через < •, • > — инвариантную эрмитову форму в Ех.
Пусть F(x) — функция на Мп, принимающая значения в векторном пространстве Ех и удовлетворяющая условию
F(ux) = Tx(u) F(x) \/u G К. (3.1)
Из леммы 3 в [10] следует, что если функция F(x) не равна тождественно нулю, то старший вес А должен принадлежать множеству Aq, т. е. А = (/, 0,..., 0).
Обозначим через a(t) параллельный перенос на вектор ten, где t Е М, еп = (0, ...,0,1) Е Мп. Через К\ обозначим стационарную подгруппу вектора еп в группе К. Подгруппа К\ изоморфна группе SO(n — 1). Пусть
Е$ = {£ е Ех : Тл(и)£ = £ МиеКг).
Известно (см. [10]), что dimFo = 1 при А Е Л0 и dimFg = 0 при А ^ А0.
JlEMMA 1. Пусть функция F(x) принимает значения в векторном пространстве Ех, А Е Ао, и удовлетворяет условию (3.1), £о —ненулевой вектор из Eq. Тогда существует комплекснозначная функция f(t), t Е М, для которой F(a(t)o) = /(£)£о- Функция F(x) однозначно восстанавливается по функции f(t).
Доказательство. Пусть u Е Ki, тогда ua(t) = a(t)u для любого t Е 1. Проверим, что F(a(t)o) Е Eq. Действительно,
Тх(и) F(a(t)o) = F(ua(t)o) = F(a(t)uo) = F(a(t)o).
Так как dim Eq = 1, to существует число f(t) E С, для которого F(a(t)o) = f(t)£о- Любую точку х из Мп можно представить в виде х = ua(t)o, где и Е К. Отсюда следует, что F(x) = F(ua(t)o) = Tx(u)f(t)t;о, следовательно, функция F(x) однозначно определяется по функции f(t). □
Рассмотрим случай, когда n = 1. Пусть Т — ^(М) — произвольное функциональное пространство полиномиального роста на М, в частности, такими пространствами являются пространство S1 — S'(Ж) обобщенных функций медленного роста и пространства £* = £*(М), (7* = (7*(М). Линейное подпространство И С ^(М) является инвариантным подпространством, если % замкнуто в ^(М) и инвариантно относительно сдвигов
f(x) н-» f(t + s) Vs E M.
Говорят, что ИПП И С ^(М) допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием линейной оболочки содержащихся в нем экспоненциальных одночленов
eiat, teia\ ..., f*e<at, ..., (3.2)
где i = л/—1, a Е М, fc пробегает неотрицательные числа из промежутка 0<Kra,ra ENU {°°}-
Пусть a = {a Е 1 : eiat Е И}, причем будем считать, что число а входит в набор а с кратностью га (возможно, бесконечной). Набор а называется спектром подпространства Н. Следующее предложение
дает полное описание ИПП в функциональных пространствах полиномиального роста на М.
Предложение 3. Пусть Т(Ж) — произвольное функциональное пространство полиномиального роста на Ж. Любое ИПП И С Т(Ж) допускает спектральный синтез. Для того, чтобы подмножество а С Ж было спектром некоторого ИПП в ^(М), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (si) и (s2) из §1, только в условии (si) нужно заменить М+ на Ж.
Доказательство. Так как Т(Ж) С S'(Ж), то из предложения 1 следует, что предложение 3 достаточно доказать для пространства S' (Ж), а для пространства S'(Ж) оно доказано в [14] (см. теор. 2, следств. 2 и теор. 4 из [14]). □
Будем называть функциональное пространство Т на Ж симметричным, если из f{t) £ Т следует, что f(—t) £ Т и отображение f{t) н-» f(—t) из Т в Т непрерывно. Пусть
Те = {/(*) е Т : f(-t) = fit)}, То = {/(*) е Т : f(-t) = -/(*)},
т. е. Те — подпространство всех четных функций, а Т0 — подпространство всех нечетных функций. Если Т — симметричное пространство, то Т разлагается в прямую сумму подпространств Те и То.
Замкнутое линейное подпространство И в Те или в Т0 будем называть обобщенно инвариантным подпространством ( ОИПП ), если оно инвариантно относительно преобразований
/W ^ |(/(^ + s) + /(^ — s)) Vs £ М.
Предложение 4. Пусть Т = Т(Ж) — произвольное симметричное пространство полиномиального роста. ОИПП в Т0 находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами а С М+ (каждая точка a £ а входит вас некоторой кратностью ra £ NU{oo}J, удовлетворяющими условиям (si) и (s2) из §1. При этом соответствии подмножеству о соответствует ОИПП %, которое совпадает с замыканием в Т линейной оболочки функций
sin at, t cos at = da sin at, ..., dk sin at, ..., (3.3)
где da — производная по параметру a, k пробегает неотрицательные целые числа из промежутка 0 < k < ra. При a = 0 функции (3.3)
нужно заменить на
г, г3, ь2к+1, ..., (3.4)
О < к < го. Подмножество и будем называть спектром ОИПП И. Доказательство. Введем отображение
Р : /г(£) н-» + в) + /г(£ — я)).
Если УУ — симметричное ИПП в Т, то подпространство И = Р(УУ) = УУ П Т0 будет обобщенно инвариантным подпространством в Т0. Покажем, что любое ОИПП в Т0 может быть получено таким способом. Действительно, если 'К — ОИПП в Т01 то пусть УУ — замыкание в Т линейной оболочки всех функций /г(£ + в) при й(£) Е 7/, 5 Е М. Тогда УУ — симметричное ИПП в Т и очевидно, что Р(УУ) = И.
Пусть И = Р(УУ), где УУ — симметричное ИПП в Т. По предложению 3 ИПП УУ определяется своим спектром о С М, пусть га
— кратность точки а Е а. Из симметричности УУ следует, что если а Е сг, то (—се) Е (т и га = г_а. Можно также считать, что кратность числа 0 в а четная или бесконечная, так как если го = 2с? — 1, то можно заменить ИПП УУ на ИПП УУ', которое получается из УУ увеличением кратности числа 0 в спектре на 1. При этом очевидно, что Р(УУ) = Р(УУ'). Используя предложение 3, легко видеть, что соответствие УУ и-» 7/ = Р(УУ) является взаимно однозначным соответствием между симметричными ИПП в Т, удовлетворяющими дополнительному условию четности числа го, и между ОИПП в Т0-
Для завершения доказательства предложения 4 остается заметить, что при отображении Р функции (3.2) переходят, с точностью до ненулевого числового множителя, в функции (3.3) при а ф 0 и в функции (3.4) при а = 0. Спектр а ОИПП И = Р(УУ) совпадает с множеством о П М_|_, причем число а > 0 входит в а с кратностью Г а = Га, а ЧИСЛО 0 ВХОДИТ С КраТНОСТЬЮ г(0) = Го/2. □
Замечание. Аналогично предложению 4 можно описать строение ОИПП в пространстве Те, где Т — произвольное функциональное пространство полиномиального роста на М. ОИПП в Те находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами а С М+, удовлетворяющими условиям (б1) и (б2). При этом соответствии набору а сопоставляется ОИПП совпадающее с замыканием в Т линейной
оболочки функций
cos at, da cos at, ..., dk cos at, ...,
где a E a, 0 < k < ra, если a / 0, и функций
1 j.2 j.2 k
±, 6 , . . . , 6 , . . . ,
где 0 < k < го, если a = 0.
Доказательство этих утверждений проводится аналогично доказательству предложения 4.
Как и в [10], теорему 1 будем доказывать отдельно для случая
I = 0, а затем для произвольного I. Пусть I = 0. В этом случае dimF0 = 1, представление Т°(и) единичное и пространство
уг(0)
состоит из комплекснозначных функций /(ж), х Е Мп, удовлетворяющих условию
f(ux) = f(x) \/u Е К.
Теорему 1 достаточно доказать для пространства (7*0\ Легко видеть, что отображение
D° : f{x) н->- h(t) = f(a(t)o)
является изоморфизмом топологического векторного пространства С*0^ = (7i°^(Mn) на пространство (7*(М)е. Как в [10] (см. доказательство теоремы 1), доказывается, что замкнутое линейное подпространство И С (7*(М)е имеет вид И = D°(H(°)) для некоторой инвариантной ячейки НС (7*°^ тогда и только тогда, когда 1-L инвариантно относительно обобщенных сдвигов ts (обозначения из [10]) Дельсарта— Левитана, соответствующих оператору Бесселя Vt = d2 + (n — l)t~1dt.
Рассуждая как в работе [15], получаем, что замкнутые линейные подпространства % С (7*(М)е, инвариантные относительно обобщенных сдвигов т5, находятся во взаимно однозначном соответствии с наборами а С М+, удовлетворяющими условиям (si) и (s2). При этом соответствии набору а сопоставляется подпространство, совпадающее с замыканием в (7*(М) линейной оболочки функций
jn-xiat), tj^iat), (3.5)
где a Е a, 0 < k < ra, jn-i{oct) — четная собственная функция оператора Vt, нормированная условием jn-i(0) = 1. При a = 0 функции
(3.5) должны быть заменены на
1, t2, ..., t2k, .... (3.6)
Доказательство этого результата получается аналогично доказательству теоремы 1.1 в [15], где рассматривались другие функциональные пространства, только при этом вспомогательное описание ОИПП в пространстве С* из [15] заменяется описанием ОИПП из предложения 4.
Остается заметить, что прообразы функций (3.5) и (3.6) при отображении D0 образуют базис в пространстве vi°r, г = га, а так как вектор (D°)-1 (jn-i(at)) является единственным собственным вектором для оператора А в пространстве vi°r, то в этом пространстве существует и жорданов базис, что завершает доказательство теоремы 1 для случая 1 = 0.
Доказательство теоремы 1 для I / 0 и доказательство теоремы
2 проводятся так же, как доказательства соответствующих теорем в [10].
Resume
Let G be a transitive group of transformations of a set M, T be some locally convex space consisting of complex-valued functions on M,
тгЫ : /(*) /(5_1ж), /(ж) € T,
be the quasiregular representation of G. A linear subspace H С J we call an invariant subspace if H is closed and invariant with respect to the representation 7Г. In the paper we consider the case when M is n-dimensional Euclidean space Rn, G is the group of all orientation-preserving isometries. The function spaces are spaces of polynomial growth, for example T = S' is the space of tempered distributions on Rn. The main result of the paper is the complele description of invariant subspaces of this function spaces. In particular we obtain the description of irreductible and indecomposable subspaces.
Литература
[1] Ehrenpreis L., Maytner F.J. Some properties of the Fourier transform on the semisimple Lie groups, III// Trans. Amer. Math. Soc. 1959. V. 90. P. 431-484.
[2] Рашевский П. К. Описание инвариантных подпространств в некоторых функциональных пространствах // Труды ММО. 1979. Т. 38. С. 139-185.
[3] Berenstein С. A. Spectral synthesis on symmetric spaces// Contemp. Math. 1987. V. 63. P. 1-25.
[4] Wawrzynczyk A. Spectral analisis and synthesis on symmetric spaces// J. Math. Ann. and Appl. 1987. V. 127. P. 1-17.
[5] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на симметрических пространствах. I// Известия РАН. Серия математическая. 1995. Т. 59. t 5. С. 127-172.
[6] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на п-мерном пространстве Лобачевского/ / Мат. сборник. 1988. Т. 137. I* 4. С. 435-461.
[7] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на группе движений евклидовой плоскости// Сибирский матем. журн. 1990. Т. 31. Г1 3. С. 135-146.
[8] Платонов С. С. О спектральном синтезе на симметрических пространствах ранга 1// Алгебра и анализ. 1992. Т. 4. Вып. 4. С. 182-195.
[9] Platonov S. S. Invariant subspaces in certain function spaces on Euclidean space// Math. Scandinavica. 1995. V. 76. P. 115-138.
[10] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на евклидовом пространстве// Труды ПГУ. Сер. матем. 1995. Вып. 2. С. 92-112.
[11] Владимиров В. С. Обобщенные функции и их применения в математической физике. М.: Наука, 1979.
[12] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
[13] Платонов С. С. О взаимно однозначном соответствии между инвариантными подпространствами в некоторых пространствах // Труды ПГУ. Сер. матем. Вып. 1. 1993. С. 54-60.
[14] Платонов С. С. О спектральном синтезе в одном топологическом векторном пространстве целых функций// Труды ПГУ. Сер. матем. Вып. 3. 1996. С. 132-152.
[15] Платонов С. С. Подпространства, инвариантные относительно обобщенных сдвигов// Мат. заметки. 1990. Т. 47. Вып. 6. С. 91-101.
