О взаимно однозначном соответствии между инвариантными подпространствами в некоторых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труда Петрозаводского государственного университета

Серия "Математика" Выпуск 1, 1993 г.

УЦК 517.986 Платонов С.С.

О ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОМ СООТВЕТСТВИИ МЕЖДУ ИНВАРИАНТНЫМИ ПОДПРОСТРАНСТВАМИ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Г.усть Тит- представления группы Ли G в топологических векторных пространствах. Получена теорема, дающая достаточные условия для того, чтобы можно было установить взаимно однозначное соответствие между замкнутыми Т-инввриантяыми и т-инвариантными подпространствами.

В качестве примеров применения теоремы рассмотрены случаи, когда Тит- квазирегулярные представления группы G в некоторых конкретных функциональных топологических векторных пространствах, используемых в гармоническом анализе на группах Ли.

Пусть G - произвольная группа Ли, T(g) и t(g) - представления группы G в полных локально выпуклых пространствах (ЛВП) V и Уо соответственно (представления групп Ли всегда предполагаются непрерывными). Линейное пространство HsV (или HsVQ) будем называть инвариантным подпространством (сокращенно ИПЛ), если Н замкнуто и инвариантно относительно представления Т(#) (соотв. x(g)). В некоторых случаях удается установить взаимно однозначное соответствие между ИПП в V и Vo, что позволяет свести задачу описания инвариантных подпространств в V к описанию ИПП в Vq.

Наиболее важен для гармонического анализа на группах Лп следующий случай (см.[1,с.134]): пусть группа G транзитивно

действует на гладком многообразии If, V a Vq- топологические векторные пространства, состокпще^кз функций на К (все функции

предполагаются комплекснозначными), Тит- ограничения на V и Уо квазирегулярного представления Tt(g), где

*(g): /(х) +f(g~'x), xejf, geG.

В настоящей работе получены некоторое достаточные условия для того, чтооы между ИШ в V и VQ можно было установить взаимно однозначное соответствие. В качестве приложения этих результатов установлено взаимно однозначное соответствие между ИП11 е некоторых функциональных пространствах, которые часто используются в различных задачах гармонического анализа.

Пусть G - произвольная группа Ли. Через CJG) и C^(G) обозначим множества всех непрерывных и бесконечно дифференцируемых функций на группе С с компактным носителем. Относительно свертки

Ф, *Ф2 (£)=/ф, (gh-1 )фг (1)

( dh -элемент меры Хаара на группе G, интегралы всюду берутся по всему пространству с мерой, если не указана область интегрирования) Сс(С) и C^(G) являются ассоциативными алгебрами. Любое представление Т группы G в полном ЛЕП V индуцирует действие алгебры Cc(G) в пространстве V:

<P*u=J<P(g)T(g_1)u3g *ф®Сс(С), weV; (2)

интеграл в (2) можно понимать как интеграл Римана от функции со значениями в ЛВП V.

Теорема 1. Пусть Тит -представления группы G в полных ЛВП V и VQ соответственно, а пусть выполняются следующие условия:

1) VQsV, и это вложение непрерывно;

2) Т(g)Iу =т(g) vg«G;

О

3) VDfiV, УфеС^(С) вектор <P*l*£V0 и отображение V -*ф«и из V в VQ непрерывно.

Тогда между инвариантными подпространствами в V и У0 существует взаимно однозначное соответствие, которое получеется сопоставлением ИПП H0*VQ его замыкания /ЫН0) в V. То же соответствие получается, если сопоставить ИПП Hs7 подпространство * .

Доказательство. Выберем на группе G последовательность функций Ф^(§)«С^, удовлетворяющую условиям: (1) фп(я)>0;

(2)/фп(я)йк=1; *(3) носители зирр(Фг ), нач;шая с некототзого

номера, попадают в любую, сколь угодно малую окрестность единицы группы С. Такую последовательность функций будем называть 0-образной. Стандартное рассуждение показывает, что <рп*и-*у при п-*» в пространстве 7, а при уеУ^ и в пространстве 7о.

Если И - замкнутое инвариантное подпространство в 7, то Нл7о будет инвариантным подпространством в 7 . Если уеН, то векторы фп-1>*Но и, следовательно, Но плотно е Н. В результате получаея, что отображение Но~*Шо) сюръективно.

Теперь пусть Но - произвольное ИПП в 7о, Н-[Но]. Проверим, что Кп7о*Но. Пусть 1*=Нп7о. Тогда V ->и в пространстве 7 для некоторой направленности и «Но. Из * свойства (3) следует, что Фп*и -*Фп*и в пространстве 7. для любого фиксированного п. Так как ф «Н и Н замкнуто в 7 , то ф «1^7 . Но ф при п -*<»

тп * о о о ’ » о п г

в пространстве 7о, следовательно, и и«Но. Окончательно получаем,

что отображения Н -*Н*=[Н ] и Н-*Н =Нп7 являются взаимно

* О О О О

обратными и устанавливают взаимно однозначное соответствие между инвариантными подпространствами в 7о и 7.

Пусть группа Ли С транзитивно действует на многообразии И. Через ОС°, С*1 (с1-1,2,...) и С* будем обозначать пространства всех непрерывных, б-раз непрерывно дифференцируемых и бесконечно дифференцируемых функций с обычными топологиями. В качестве пространства 7 возьмем пространство £?1(б=о,1,2,...,оо). Пусть Т(в):Г(х)—1(8"1х) - квазирегулярное представление группы С в пространстве С*. Пусть 7о=* и т(й)=Т^) 1_ . Легко видеть, что в этом случве выполняются условия теоремы 1. Следовательно, ИПП в С*1 и е находятся во взаимно однозначном соответствии. В частности, получаем, что описание ИПП в СГ* не зависит от б (6-0,1,2......®).

Другие классы функциональных пространств будут состоять из функций экспоненциального роста в некотором смысле, который н>ждается в уточнении.

Пусть М - риманово многообразие, С - транзитивная группа -¡и преобразований пространства И, причем все преобразования группы С являются изсметриями пространства М. Пусть 0 - фиксированная точка пространства К. Для через 1x1 обозначим расстояние от точки .г до фиксированной точки О. ПусЛ К - стационарная подгруппа точки 0. Для ¿*0 определим "норму”• |£|=|£01. Тогда

ОЧеВИДНО, ЧТО 1фИ XeJf, gsG

lur! = 1x1, lul«0 vитК; (3)

lu^l-lgl vu, .tig-Я; (4)

IgrUlgUlxl, lg_1xl> Ixl -Igl, lg~'*l«lgl. (6)

Через l£ (p>i) обозначим множество всех измеримых функций /(х) на М, для которых

jrp.k^)-(/l^<ar)^e’kl*,(,r)1/P<e* W)

где dr - элемент римановой меры на многообразии If, интеграл берется по пространству М. При этом в функциональных пространствах, не состоящих из непрерывных функций, функции берутся с точностью до значений на множестве меры нуль. Пространство является банаховым пространством (БП) относительно нормы Np k. Пространство

J

к>0

снабдим топологией индуктивного предела БП l£.

Отметим, что если /(X)«l£, то /(gr)«l£ для любого geG. Действительно,

Wpik(/(gr))-(/,/(gr)|Pe-kl5C,£lr)1/l>-(J|/(y)|Pe-kle'1yl d*/)1/p*

<e(k/p)l«,»Pik(/). (7)

При этом была сделана замена gr*j/, использованы шшариантность меры и (5).

Обозначит: через С пространство непрерывных функций /(х) на

kl х\

М, для которых l/(x)le"K *40 при Iх! •♦«>. Пространство Ск являетоя КП относительно нормы

Пространство

Nк(Л-зир l/(x)le-klxl гем

*и ск

к>0

снабдим топологией индуктивного предела БП Ск.

Пусть 9 - алгебра Ли группы G. Для Х*з и любой функции /(х)

пусть

(I/) (*>•<$-/(eip(tl)x) |t=0. , (8)

Выберем какой-нибудь базис Х},...Хп в алгебре 9. Через с£ ) обозначим множество d-раз непрерывно дифференцируемых функций таких, что

Xt...Xt/eC *1 lr *

для любых векторов JTt (OCr^d) из бвзиса алгебры з. с£

является банаховым пространством с нормой

VХ1 •••*« />.

1 г

где суммирование происходит по всевозможным наборам < 11,...1 )

(Ocr^d, каждый индекс в наборе пробегает значения от 1 до т). В

частности, .

к к

Пусть

d=t

Топология в порождается системой норм W* d, и с£ становится локально выпуклым пространством.

Пространство

С* = и cj <0$d«*>) k>0 к

снабдим топологией индуктивного предела ЛВП С£.

Докажем, что пространства 1Р и удовлетворяют условиям теоремы 1. Пусть 0г-замкнутый шар радиуса г на многообразии М с центром в точке О, v(Br) -его объем.

лемма 1. Для некоторых чисел C,d>0 справедливо неравенство v(Br)íCdr.

Доказательство. Рассуждение аналогично доказательству леммы 1 из работы [2]. Известно, что любое однородное риманозо многообразие является полным [3, с.117] и, следовательно, по теореме Хопфа-Ринова, шар 0г компактен и любая пара точек а.ЫМ может быть соединена кривой длины р(а,Ь), где р(а,Ь) - расстояние от а до Ь.

Для любого g«sG множество g8r является шаром радиуса г с центром в точке gü. Так как шар Вг компактен, то найдется

конечное множество /í,={g1 , . . ,gd}cG такое, что

2 «¿8,2 в 1*1 х ' *

Можно считать, что единице Пусть множес/во Аг состоит из

всевозможных произведений & ...я , где каждьй множитель g *А .

хп *к '

Индукцией по п проверим, что

“ «в1гВ»4>-

п

Для п*1 включение справедливо. Пусть х«Вп+1. Соединим точки 0 и х кривой длины Ш и на этой кривой найдем точку у, для которой ІуІ4Л и р(Х,у)<1. По предположению ИНДУКЦИИ У=Л2,

Из инвариантности расстояния следует, что р(у,х)=р(г,АГ1хК1,

следовательно, ЛГ1«В2 и h~'x=glv), Окончательно х=Л^1ш.

Так как множество Ап содержит не более чем с?1 элементов, то

г(В ) { с?Ч(В,). Если 1г) - целая часть числа г, то

П 1

у(Вг)ог(В(г) + 1 )"41г1у(В1 )^у(В1 )<Г.

Следствие 1. При к>1п{(1) интеграл

|е-к1ж1с!х

М

конечен.

Действительно,

|е~к1х1ах=^ /е_к1 ж1лг,

* П=1 Вп^п-1

в последний ряд сходится, так как

;е-к1х,(1гсе'к(п'1 ] у(Вп)^е-к(п"1 )СсГ=Секе-п(к-!п((1)).

ВпЧВп-1

Лемма 2. причем это вложение непрерывно.

Доказательство. Пусть /(х)«Ск и т>1п(й). Тогда

и у іРк4Ш</>-ф/<*>|Р

Следовательно, /в*£р+т и вложение Ссі£р+гг непрерывно.

Для любой функции ф(я) на группе С и Яез пусть

(1(Х)Ф) («)=~.ф(е;ЕрЦХ)£) I г=0.

Всюду в дальнейших формулах сф - элемент меры Хаара на груше О.

Лемма 3. Если (или /«=С^ ), феС^(С), то ф*/«С^.

Отображение /-*ф*/ из 1Р (или из С^) в непрерывно.

Доказательство. Предварительно заметим, что из

единственности (с точностью до множителя) инвариантной меры на М следует, что для некоторого числа Л>0

¡/(8~1х)с^=А^(т)с1х.

С И

Пусть /«1£ , р>1. Пользуясь неравенством Гельдера, получим 1ф*/(х)1 -1/ф(£)е(к/р)1в х1 /(в-1 Т)е_(к/р)1в х1 Сф1$ ф'/(«'1*)|р е_к1в'1х1с^),/р-(;|ф(«)1ч

^1/Р *р.к(Л е1к/р)1х, (|ф(5)|Ч е(кр/ч)1в1^|1/ч>

где р_1+д~1=1. Следовательно,

1ф*/(х)1«С Лр(1£(Л ехр(£|х1),

где С не зависит от /. Из этого неравенства следует, что Ф*/«Сг/р при г>к и непрерывно зависит от /. Так как

*(Ф«Л=(Ш)Ф)./ (*«»),

то и непрерывно зависит от /.

Случаи р=1 и /еС^ рассматриваются аналогично.

Из теоремы 1 и леммы 3 сразу получаем следующее Следствие 2. Между инвариантными подпространствами в 1? и ((1ьг+и{<»}) существует взаимно однозначное соответствие, постро енное как в теореме 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хелобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.:Наука, 1983.

2. Гординг Л. Аналитические векторы в представлениях групп Ли //

Математика. 1965. 9:5. С.78-94.

3. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.:Наука, 1982.

Труда Петрозаводского государственного университета

Серия "Математика” Выпуск 1, 1993 г.

УДК 517.54 Старков В.В.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНО КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ1

Рассматриваются классы Н(а,К) гармонических в A={z:|z|d} функций /(z) - h(z) + g?z) ( h(z) и g(z) - регуляры в А), сохраняющих ориентацию (j(z)>0), К-квазкконформных в А, причем

/(О )=0, h' (0)+grTO)=l t из 0. (а>1)

h' (0)

- универсального линейно-инвариантного семейства функций. Расширяющиеся С ростом Oe{i,co] и К«[1,«] классы Н(а,К) охватывают все сохраняющие ориентацию гармонические функции с указанной нормировкой. В статье рассмотрен случай конечных а и К. При К=1 приведенные результаты совпадают с известными результатами Х.Поммеренке в и».

л

Будем рассматривать комплекснозначные гармонические в круге A={z:|z|<l) функции /(z)=u+iv , т.е. вещественные функции и и у должны быть гармоническими в А . В 80-е годы стала активно развиваться теория однолистных и локально однолистных гармонических в А функций. При этом в основу определения и изучения классов таких гармонических функций,по аналогии с регулярными в А функциями, закладывалась сбычно геометрическая характеристика функций исследуемого класса ( выпуклость, почти

’ Настоящая статья представляет собой краткое изложение результатов.-Полный текст статьи будет опубликован в 1994 г. в журнале "Аппа1ез ЬМСЬ".