Базис в инвариантном подпространстве аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. Ш 2 (2018). С. 57-75.

УДК 517.5

БАЗИС В ИНВАРИАНТНОМ ПОДПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

O.A. КРИВОШЕЕВА

Аннотация. В работе исследуется задача представления функций из инвариантного подпространства аналитических функций в выпуклой области комплексной плоскости. Получено достаточное условие существования базиса в инвариантном подпространстве, состоящего из линейных комбинаций собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в этом подпространстве. Линейные комбинации строятся по системе экспоненциальных мономов, показатели которых разбиты на относительно малые группы. Применяется метод, использующий интерполирующую функцию А.Ф. Леонтьева. При этом дается полное описание пространства коэффициентов рядов, осуществляющих представление функций из инвариантного подпространства. Найдены также необходимые условия представления функций из произвольного инвариантного подпространства допускающего спектральный синтез в произвольной выпуклой области. Используется метод построения специальных рядов экспоненциальных многочленов, разработанный ранее автором.

Ключевые слова: Инвариантное подпространство, базис, экспоненциальный моном, целая функция, ряд экспонент.

Mathematics Subject Classification: 30D10

1. Введение

Пусть Л = [\к,Пк— последовательность различных комплексных чисел А& и их кратноетей ^.Считаем, что |А&| возрастает и |А& | ^ го, к ^ го.

Пусть W — нетривиальное замкнутое подпространство в пространстве Н(D) функций аналитических в выпуклой области D С C (с топологией равномерной сходимости на компактах из D), инвариантное относительно оператора дифференцирования. Пусть Л = (Afc ,Пк 1 — кратный спектр этого оператора в W и £ (Л) = |zra exp(Afc z)}^flk~J0 — семейство его собственных и присоединенных функций в W.

Работа посвящена вопросам существования базиса в инвариантном подпространстве, состоящего из линейных комбинаций функций из £ (Л).

Основной задачей в теории инвариантных подпространств является проблема представления произвольной функции из W при помощи элементов с истемы £ (Л). В зависимости от характера представления эта проблема разделяется на несколько задач. Самый «слабый» вариант представления приводит к одной из наиболее сложных задач в этом ряду. Это - проблема спектрального синтеза, т.е. аппроксимация всех функций из W линейными комбинациями элементов £ (Л). Критерий допустимости спектрального синтеза для произвольного инвариантного подпространства в выпуклой области был получен И.Ф. Красниковым-Терновеким в работе [1]. В работе [2] этот результат применяется к решению проблемы спектрального синтеза в некоторых частных случаях. Доказано, к примеру, что всякое пространство решений однородного уравнения свертки в выпуклой

O.A. Krivosheeva, Basis in a invariant subspace of analytical functions.

© Кривошеева O.A. 2018.

Поступила 21 декабря 2017 г.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-31-00029.

области допускает спектральный синтез. Кроме того установлено, что инвариантное подпространство в неограниченной выпуклой области всегда допускает спектральный синтез. Отметим, что инвариантные подпространства Ш С Н(И), допускающие спектральный синтез, совпадают с подпространствами Ш(Л, И), которые являются замыканиями (в Н (О)) линейной оболочки с истемы £ (Л),

Если Ш допускает спектральный синтез, то естественно возникает желание «улучшить» аппроксимацию. Безусловно, наиболее желательным является представление любой функции д € Ш в виде «чистого» ряда

— 1

д(г) = ехр(Хкг), г € О (1.1)

к=1,п=0

который сходится равномерно на компактах из И. Эта задача носит название проблемы фундаментального принципа.

При помощи преобразования Лапласа проблема фундаментального принципа сводится к двойственной задаче кратной интерполяции в пространстве целых функций экспоненциального типа. Исследования обеих задач, проводившиеся вначале независимо друг от друга, имеют богатую историю. Основные ее этапы отражены в работах [3] и [4], В [4] получены решения проблемы фундаментального принципа для инвариантных подпространств допускающих спектральный синтез и задачи интерполяции для произвольной выпуклой области Б С С при одном ограничении [тв (Л) = 0: ПкЦ)/ 1\к(з)1 ^ 0 3 ^ ж для любой подпоследовательности {Хк(^ } «сгущающейся» к направлению, где опор пая функция Н^ области В ограничена (т.е. А^-)/|А^)| ^ £ и (£) < +ж), В работе [5] это ограничение удалось снять в случае ограниченной области. Таким образом, в ней найден критерий фундаментального принципа для инвариантного подпространства в ограниченной выпуклой области И. Он состоит из двух условий. Первое связано с локальным распределением точек спектра и означает некоторую их «отделенность» друг от друга (индекс конденсации 5а = 0; он определяется в следующем параграфе). Второе условие отвечает за глобальное распределение Хк.

Если условие Б л = 0 нарушается, то становится невозможным представление всех функций д € Ш в виде ряда (1.1). В этой связи естественным образом возникла задача представления д в виде ряда (1.1) «со скобками»:

го / пк — 1 \

( ^ ехР(^) )

т=1 \Хк еит п=0 /

9(*)=>.( *П ехр(А^)| (1.2)

£ит п=0

Исследованию всех указанных задач посвящена монография А.Ф, Леонтьева [6]. В ней изложено большое количество результатов как самого автора так и его предшественников. Желание «улучшить» представление (1.2) привело к возникновению задачи о базисе в инвариантном подпространстве, которая формулируется следующим образом. При каких условиях можно осуществить разбиение и = {ит}'ГО=1 последовательности Л на группы ит и выбрать внутри этих групп фиксированные линейные комбинации ет¿, ] = 1,Мт, элементов £ (Л) так, что семейство экспоненциальных многочленов £ (Л, и) = {ет^} становиться базисом в Ш. Если указанный базис существует, то возникает еще целый ряд вопросов. Как осуществить разбиение и и можно ли описать все подходящие разбиения. Как составлять линейные комбинации внутри группы и можно ли описать все подходящие комбинации. Насколько малым можно сделать диаметр групп ит. Наконец, как описать пространство коэффициентов рядов по системе £ (Л, и). Ответ па эти вопросы в случае ограниченной выпуклой области И получен в работах [7]-[11]. В частности, найден критерий существования базиса в подпространстве Ш, построенного по разбиению и на относительно малые группы ит, т.е. группы, диаметры которых и число точек в них бесконечно малы при т ^ ж по сравнению с модулями этих точек.

Таким образом, в случае ограниченной выпуклой области исследования проблемы представления функций из инвариантного подпространства можно считать законченными. Что же касается неограниченных областей, то в этой связи исследовались по большей части только два частных случая — И является плоскостью или полуплоскостью. Полное решение проблемы представления для инвариантных подпространств целых функций получено в работе [12]. Инвариантные подпространства в полуплоскости изучались в основном в случае простого положительного спектра (см, [6], [13]) и почти вещественного спектра [14]."

Отметим, что в большинстве работ решение задачи представления как в случае одной переменной, так и в случае нескольких переменных (см., например, [15], [16]) сводится к решению двойственных задач специальной интерполяции в пространствах целых функций экспоненциального типа. Исследование этих задач представляет собой достаточно сложный процесс. При этом двойственность задач представления и интерполяции установлена в [4] лишь при дополнительном ограничении па кратность точек то (Л) = 0. Остался не выясненным вопрос о том, будет ли сохраняться двойственность без этого ограничения. А если она все же сохраняется, то совершенно непонятно как решать соответствующую интерполяционную задачу в этом случае. В связи с этим в работе [14] для решения задачи представления был применен другой метод, позволяющий обойти решение интерполяционной задачи. Он использует интерполирующую функцию А.Ф. Леонтьева (см. [6], [17]). Благодаря этому для инвариантных подпространств с почти вещественным спектром удалось найти решение задачи представления в общем случае (без дополнительного ограничения на кратность точек спектра).

Настоящая работа посвящена исследованию достаточных и необходимых условий существования базиса в инвариантном подпространстве, построенного по относительно малым группам точек спектра.

Во втором параграфе (теорема 2.2) получены достаточные условия существования базиса для произвольной выпуклой области (в том числе и неограниченной). Как и в работе [14] применяется метод, использующий интерполирующую функцию А.Ф. Леонтьева. При этом дается полное описание пространства коэффициентов рядов, осуществляющих представление функций из инвариантного подпространства.

В третьем параграфе (теорема 3.1) получены необходимые условия существования базиса для произвольной выпуклой области и произвольного инвариантного подпространства. Используется метод построения специальных рядов экспоненциальных многочленов, разработанный в [18].

2. Достаточные условия

Прежде всего, напомним некоторые понятия и приведем некоторые факты, связанные с интерполирующей функцией А.Ф. Леонтьева.

Пусть В(г,г), Б (г, г) — открытый круг и окружность с центром в точке г и радиуса г. Через п(г,г, Л) обозначим число точек А& (с учетом их кратностей щ), попавших в замкнутый круг В(г,г), а через й(Л) — верхнюю плотность последовательности Л:

п(0,г, Л) п(Л) = Ит —-.

г^+те Т

Если М — выпуклое множе ство в С, то символ ом Нм (А) обозначается опорная функция множества М (точнее говоря, комплексно сопряженного с М множества):

Нм(А) = вир Ее(А^), А е С.

тем

Функция Нм является выпуклой и положительно однородной порядка один, т.е. гнм(А) = Нм(¿А), г > 0.

Пусть / — целая функция. Говорят, что f имеет экспоненциальный тип, если для некоторых А, В > 0 выполнено неравенство 1п Ц(А)| ^ А + В|А|, А е С. Индикатором f

называется функция

н, (л) = ш !®!, л € с.

Она является выпуклой и положительно однородной порядка один, т.к. совпадает с опорной функцией некоторого выпуклого компакта, называемого индикаторной диаграммой f (см., напр., [19], гл. I, §5, теорема 5,4), Компакт Ь комплексно сопряженный к индикаторной диаграмме называется сопряженной диаграммой функции f. Таким образом,

(А) = НЬ(Х), X € С.

Пусть И — выпуклая область в С и Н* (И) обозначает сильно сопряженное к Н(И) пространство, называемое пространством аналитических функционалов. Пусть Л = {Хк ,пк }£°=1 и £ (Л) = {¿а ехр(Хк г)}Г=?га=0- Чере з № (Л, Б) обозначим замыкание в пространстве Н (И) линейной оболочки си стемы £ (Л),

Пусть /¿(А) обозначает преобразование Лапласа функционала ц € Н*(В)\ /¿(А) = ^(еХг), Функция /¿(А) является целой и имеет экспоненциальный тип. Известно (см., например, [20], гл. III, §12, теорема 12,3), что преобразование Лапласа устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между Н*(И) и Рв, где Рв — индуктивный предел банаховых пространств

Р. = {/ € Н(С) : ||/||в = вир и(А)| ехр(-НКв(А)) < ж}.

лес

Здесь К (И) = {Х,}^— последовательность выпуклых компактов, исчерпывающая И, т.е. К3 С т1К3+1.; э > 1, (т£ обозначает внутренность множества), и И = и^Хр, Множество Рв состоит го тех и только тех целых функций экспоненциального типа /, сопряженные диаграммы которых лежат в области И (т.е. (А) < Нв (А) А = 0),

Пусть система £ (Л) те толпа в Н (И). По теореме Хана-Банаха последнее равносильно существованию ненулевого функционала ^ € Н*(Д), который обращается в ноль на функциях системы £ (Л), т.е. существованию ф ункции $ € Рв = /¿), которая обращается в ноль в точках Хк с кратностью не меныней чем пк. Поскольку f имеет экспоненциальный тип, то согласно известной теореме Линделефа (см., напр., [21], гл. I, §11, теорема 15) в этом случае верхняя плотность п(Л) конечна.

Предположим, что имеется целая функция экспоненциального типа f € Рв, обращающаяся в ноль в точках Хк с кратностью не менын ей чем пк. Тогда в пространстве Н *(И) существует (см. [17], гл. IV, §1, п.2) биортогональная к £ (Л) система функционалов Е(Л,Б) = {^к,п}'го=1':г-=0- ехр( А^ г)) = 1, есл и ] = к,1 = пи ¡лк,п(г1 ехр(А^- г)) = 0 в противном случае. Она строится при помощи функции f и является частью системы £(Л, И), биорто мотальной к £ (Л), где Л — кратное нулевое множество f. Предположим, что ряд (1.2) сходится равномерно на компактных подмножествах области И. Тогда, пользуясь непрерывностью и линейностью функционалов ^к,п, получаем ¿к,п = ^к,п(д).; к > 1, п = 0, пк — 1. Таким образом, если существует указанная выше функция /, то представление рядом (1.2) обладает свойством единственности. При этом коэффициенты представления вычисляются при помощи биортогопальной системы функционалов.

Пусть И — выпуклая область, д € Н(И), а € С и $ — целая функция экспоненциального типа, сопряженная диаграмма К которой содержит начало координат, а ее сдвиг К (а) = К + а лежит в И (К (а) — сопряженная диаграмма f (А)ехр(аА)), Интерполирующей функцией для д называется (см. [6], гл. I, §2, п,1)

(Х,а,д) = ехр(—аХ)2—17) М д(£ + а — ^)ехр(А^^1 ^,

п \о /

где П — контур (простая замкнутая непрерывная спрямляемая кривая), охватывающий компакт К и лежащий в области И — а, у(£) — функция, ассоциированная по Борелю с f (см. [19], гл I, §5). Отметим некоторые свойства Шf (Х,а,д) и Е(Л,И).

1, [6], гл.1, §2, теорема 1.2.5. Пусть П — граница выпуклой окрестности компакта К и П(а) = П + а С И. Для каждого е > 0 существует А(е) > 0 такое, что

|ш/(А,а,д)1 ^ А(е)ехр(к1(А) + е|А| - Ее(аА)) тах 1д(г)1, А е С. (2.1)

2. Пусть д G W(Л, D) и dk,n = ßk,n(g) где ßk,n G £(Л, D), к > 1, п = 0,пк — 1. Тогда

- / = exp(Afcz), к> 1, (2.2)

* / /( A)

Ък

где Бк — окружность, внутри которой нет нулей /, отличных от Ак. Кроме того, если А' — нуль функции f не из числа Ак, к > 1 и Б' — окружность, внутри которой лежит А' и нет других нулей функции /, то

1 Г (А,а,Ю

2m J /( A)

S'

exp( A z )dA = 0. (2.3)

Действительно, пусть д есть предел последовательности

I пк-1

Р^) = ЕЕ ехр(А^), 1> 1,

к=1 п=0

сходящейся равномерно на компактах из И. Поскольку д е Ш(Л,И), то такая последовательность существует, если считать, что некоторые с11кп равны нулю. По теореме 1.2.4, §2, гл. I, книги [6] имеем:

1 Г (А а,р) ехр(АгШ = У" ¿1кпгп ехр(Айг), к = 1Д

27г *! /( А) ¿=о '

1 Г ш,(А а р) ехр(Аг)<гА = 0, к>1, ± \ ^А^ ехр(А,),1А = 0.

1( А) 2ттг } К А)

Зк 3'

Пользуясь непрерывностью и линейностью функционалов из биортогональной системы, получаем (если к > I, то считаем с11кп = 0):

dk,n = ßk,n(д) = lim ßk,n(pi) = lim dk n, к > 1,п = 0, пк — 1. (2.4)

Из оценки (2.1) следует, что равномерно на любом компакте плоскости Uf (A,a,Pi) ^ Wf (A,a,g) при I ^ го, Вместе с предыдущим это дает нам требуемые равенства.

3. Пусть д G W(Л, D) и dk>n = ßk,n(<7), к > 1, п = 0,пк — 1. Предположим, что ряд (1.2) сходится равномерно на компактах из D. Тогда д = д.

Действительно, если G £(Л,D) \ £(A.,D), то ß'(g) = ß'(g) = ß'(Pi)■ Отсюда с учетом (2.4) по теореме единственности (см. [6], гл.II, §1, теорема 2.1.2) получаем нужное тождество.

D

J(D) = {A G C : HD(A) = +го}.

Поскольку Hd — выпуклая и положительно однородная функция, то множество C \ J(D) является выпуклым конусом. Следовательно, возможны лишь следующие четыре случая: C \ J(D) — точка, луч, прямая или угол раствора не больше чем ж. Если D = C, то J(D) = C \ {0}. В случае когда D — полуплоскость {z G C : Re(ze%v) < а}, множество J(D) представляет го себя плоскость с разрезом по лучу {A = te%v : t > 0}. Если же D — полоса {z G C : Re(ze%v) < a,Re(z< &}, то J(D) — две полуплоскости с общей граничной прямой { A = tе: t G R}, В остальных случаях область D не содержит ни

одной прямой. Однако Д всегда содержит некоторый луч {г = г0 + 1егр > 0}, При этом множество 7(И) является углом раствора строго меньше 2п и содержит открытый угол раствора п — полуплоскость {Л = Ье1^ : — у — к/2 < ф < —р + -п/2,Ь > 0}.

Отметим еще, что в силу выпуклости функция Нв является непрерывной вне замыкания множества 7(И).

Пусть Л = {Ак,пк}"=1- Символом и = {ит}"=1 обозначим разбиение последовательности {Ак}'1 на группы ит, т = 1, 2,... Сделаем перенумерацию членов Л,

Точки Ак, попавшие в группу ит, будем обозначать \т,1, а их кратпости — пт,1. Здесь первый индекс га совпадает с номером группы, а второй - меняется в пределах от 1 до Мт, где Мт — число то чек Ак, попавших в гр уппу ит. Пуст ь Мт — число то чек \к, попавших

"т

т\Т _

1ут = 2^ г=1

Пт

в группу ит, гага = 1, 2,..., с учетом их кратности, т.е.

Символом в(Л) обозначим совокупность пределов всех сходящихся последовательностей вида {Ать1/|Ать1|}'1. Множество в(Л) является замкнутым и лежит на единичной окружности с центром в нуле.

Лемма 2.1. Пусть И — выпуклая область в С, Л = {Ак,пк} разбита на группы и = {ит}"= -у, где ит = {\т^ }МЬ система £ (Л) не полна в Н (В), и 6(Л) не пересекает границу множества 3 (И). Предположим, что для каждого выпукл ого компакта К0 С И, любого 60 > 0 и любой подпоследовательности {ит1}' 1 такой, что {Атг,1/|Атг,1|}"=1 сходится, существуют функция / € последовательность ко нтуров {71}' 1 и ном ер 10, обладающие следующими свойствами:

1) / обращается, в ноль в точках \к, к > 1, с кратностью не меньимей чем пк;

2) для, всех I > /о внутри кон тура ^ лежат все точки группы ит1, и нет то чек \к, отличных от Хт

1,М,

т1>

3) 1п |/(А)|> НКо(А), А € 7ь I > 1о;

4) с1(7г) ^ £0|Ать1|, I > 10, где с1(7г) — диаметр кон тура

5) Р(11) ^ |^тгд|2? I > 10, где р(^1) — длина, контура, Тогда, каждая функция д € Ш(Л, И) раскладывается, в ряд

9(*) =

' / Мт Пт,1 - 1

£ £ £

т=1 \'=1 п=0

С-т,',п% ехр(Ат,'%) I , % € О.

)

При этом, для, каждого выпуклого компакта К С И

' Мт Пт,, -1

£

т=1

тах

гек

^ ^ ^ ^ С-т,',п^ ехр(Ат,г;%)

=1 п=0

< + ГО.

(2.5)

(2.6)

В частности, ряд (по т) сходится абсолютно и равномерно на, компактах в области Б.

Доказательство. По условию £ (Л) те полна в Н (Б). Тогда п(Л) < и в Н *(Б) существует система функционалов £(Л,Д) = {^к,п}'Пп=о биортогопальп ая к £ (Л), Пусть д € Ш(Л, И). Рассмотрим ряд

'

£

т=

(Мт Пт,,-1 £ £ ■

v=1 п=0

пехр(А т,' г)\ , г € £

)

ГДе Ст,'ип ^к,п (#), если \т,ь = Аь Пусть К — выпуклый компакт в И. Предположим, что ряд (2,6) расходится. Тогда существует последовательность вложенных друг в друга отрезков [<р1л,<р2л], 3 > 1 с длинами, стремящимися к нулю, такая, что

£

теяа)

тах гек

Мт пт

-1

^ ^ ^ ^ С-т,',п% ехр(Ат,'

'=1 п=0

+ ] > 1,

(2.7)

где ^ ^^^^^^^^^^^^^тесть всех индексов га, для которых точка Ат,1 лежит в угле ® з = {^ег р : Ф € > 0}, Отсюда следует, что существует подпоследовательность

БАЗИС В ИНВАРИАНТНОМ ПОДПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

63

{ Umi }z=i такая, что

оо

max

zeK

i=1

Mrrii nmi ,v 1

^ ^ ^ ^ Cmi,v,nZ exp(Ami,v

v=1 n=0

(2.8)

и для каждого j > 1 при некотором номере l(j) верно включение Amu1 G Oj, I > l(j). Последнее означает, что {Ami)1/|Ami;1|}ic=1 сходится к числу егр0, где у0 — общая точка всех отрезков [ ^ij, fp2,j, ], j > 1- Рассмотрим два случая,

1) HD(егр°) < (егр0 G J(D)). Поскольку К — компакт в D, то существует / > 0 такое, что

Hk(A)+ 2/3|A| ^ Hd(A), A G C. (2.9)

По условию J(D) U {0} — замкнутое множество. Следовательно, функция HD непрерывна в окрестности точки егр0. Поэтому найдется 6 G (0,1) такое, что

|Hd (егр0) -Hd (A)| <3/6, A G В (егр0, 6). (2.10)

Кроме того, можно считать, что для некоторого компакта К0 С D выполнено неравенство

HK0 (A) +3 |A|/6 > Hd (A), A G В(егр0,5). (2.11)

0(0, /2)

maxmax80l z — <//6, (2.12)

zEK

где A — треугольник, задаваемый следующим образом:

А = {z : Re(z^1) ^ Hd К)} П {z :Re(zw2) ^ Hd (w2)} П {z : Re(ze^0) > Hk0 (егр0)},

и w1, w2 — точки пересечения окружности S(егр0, 5/2) с единичной окружностью с центром в нуле.

По условию леммы существуют функция f G PD, последовательность контуров {71 }С=1 и номер 10, обладающие свойствами 1)-4), Символом L обозначим сопряженную диаграмму функции f. По определению пространства PD компакт L лежит в области D.

0 L

L

Re( Z0eг Р0) = HL(eгр0).

Из пункта 3) леммы следует, что

Re(Z0^P0) = Hl(^p0) > HK0(егр0). (2.13)

Поскольку z0 G L С D, то

Re(z0w1) < HD(w1), Re(z0w2) < HD(w2). 0 A

Рассмотрим функцию f0(A) = exp(—z0A), Ее сопряженной диаграммой является компакт L — 20, который содержит начало координат. Положим а = z0. Сдвиг компакта L — z0 па вектор а совпадает с L и лежит в области D. Тогда, используя вычеты, равенства (2,2), (2,3) и пункты 1), 2) леммы, имеем:

1 р / л \ Mmi nmhV -1

2Т ft*) exp(A z )dA = ^ ^ cmi,v,nzn exp(Ami,vZ), l> I0. (2.14)

J j0( ) v=1 n=0

li

Кроме того, в силу неравенства (2,1) имеем (П — граница выпуклой окрестности компакта L D

l^f0( A, а, g)l ^ А(/) exp(^f0(A) + 3|A|/6 — Re(aA)) max (z)| =

z€Q

= Аexp(HL(A) — Re(Z0A) + /|A|/6 — Re(aA)), A G C.

Отсюда с учетом пунктов 3) и 5) леммы получаем (при I > Iо)

1 [ ufo (А, а, д)

2ш

/о( А)

exp(Аz)dА

11

^ |Атгд |2Аехр ( тах (Нь(\) — Ее(^А) — Нк0(А) + Ее(^А) + 3|А|/6 + Ее((г — а)А)) ) = \ Хе~л )

= ^0|Атг1|Аехр(тах(Нь(А) — НКо(А) + 3|А|/6 + Ее((г — а)Х))), г € К. (2.15)

Согласно пунктам 2) и 4) леммы контур лежит в круге В(Ат;,1, $0|Ать1|), I > 10. Поскольку последовательность {Атг,1/|Атг,1|}'=1 сходится к егр° и 60 <5, то найдется номер /1 > /0 такой, что верны вложения ^ С В(Атг,1, $0|Ать1|) С В(|Атг,1|ег1°, $0|Ать1|), I > /1. Отсюда с учетом неравенства (2,10), положительной однородности опорной функции, а также включения Ь С О получаем:

НЬ(Х) — Нк0(А) < Нв(А) — Нв(А) + 3|А|/6 = 3|А|/6, А € 1г, 1>

Следовательно, в силу (2,15) и (2,14) имеем (а = г0):

nmi 1

^ ^ ^ ^ C-mi,v,n,Z exp( Ami,v^

v=1 п=0

^ ^о|Атг мexp ( max(31А|/3 + Ee((z - а)А)) J ^ V Ae1i )

^ ¿о|Атг,1 Иexp f max (Щ'А + ® + Re((z - ¿0^,1) + Ee((z - zo)&

ец \ 3 3

для всех z G К и I > l1m Выберем номер l2 > h такой, что

|Ami;i|2A ^ exp(//|AmI>1|/7), l> h. (2.16)

Согласно пункту 4) леммы |£| ^ i0|Amb1|, где Amb1 + £ G ^i, I > l2. Тогда, учитывая предыдущее неравенство, включение z0 G Д, (2.12) и то, что < 6/2 < 1/2, получаем

max

zeK

< max exp

zeK 1

exp

^ ^ ^ ^ Cmi,v,nZ exp( Ami,v

v=1 n=0

3 |Ami,1|(1+ ¿0)

+ Ee((Z - )Ami,1) + 3 1 Ami,11 + 3 ^дП H

^ exp

+ Hk (А mi,1) R-e(^0Amj,1 ) + £ |А mi,11 I , L > l2.

^23|АтгД| , тт ,Л , Л , , 3,

Поскольку последовательность { Атг,1/|Атг,1|}"=1 сходится к егр°, то пользуясь непрерывностью и положительной однородностью опорной функции компакта, найдем номер I3 > I2 такой, что

Нк (Атг,1) — Еб( ^д) + 3 |Атг ,1| = |Атгд| (#К (^у) — Ее (*0 + 7) ^

^ |Атг,1|( Нк(егр°) — Ее(г0егр°) + 3), 1> 13.

6

Отсюда с учетом предыдущего неравенства и (2,13), (2,11), (2,9) получаем:

max

zeK

■гi "-mi,-

^ ^ ^ ^ ^mi ,v ,n% exp( Ami ,v % )

/ 531 Ami,11

v=1 n=0 1|

£ exp + |Ami,1|(Hk(eipo) - Re(z^e^^

(

6

^ ехр

(5( |Лш„1|

£ ехр( ''' '-р1 + |Лт1,1|(Як(егро) - НКо(егро))) ^

1 1 I I л \ { тт / грп\ ъ п тт / грп\ , (

6

(

+ |ЛШ1,1П Нп(егро) - 2( - Нп(егро) + 6 ) ) = ехр(-(|Лтгд|)

где I > Iз. Поскольку Л имеет конечную верхнюю плотность, то ряд ^ехр(-(|Лть 1|) сходится. Это противоречит (2,8), Таким образом, в рассматриваемом случае имеет место (2,6), Следовательно, ряд (2,5) сходится абсолютно и равномерно на компактах в области И. Поскольку ст{и>п = ^к,п(д) (если Лт^ = Лк), то согласно свойству 3 (из тех, что отмечены перед леммой) равенство (2,5) имеет место,

2) Но(егро) = (егро Е З(И)). По условию егро Е дЗ(И), Тогда существует 8 Е (0,1) такое, что

Но (Л) = Л Е В(е гро, 8). (2.17)

Пусть 8о Е (0, 8/2) П (0, 2/5) и К0 = К. По условию леммы существуют функция f Е Ро, последовательность контуров {71 }£=1 и номер 10, обладающие свойствами 1)-4), Символом Ь обозначим сопряженную диаграмму функции f. По определению пространства Ро компакт Ь лежит в области И. Пусть г0 Е Ь. Рассмотрим функцию /о(Л) = ехр(-г0Л), Ее сопряженной диаграммой является компакт Ь - г0, который содержит начало координат, В силу (2,17) и сказанного выше (перед леммой) относительно множества З(И) найдется ф0 такое, что угол

Г = {Л = Ьегф : —фо — ж/2 <ф < -фо + п/2,Ь> 0}

лежит в З(И) и содержит замыкание круга В(егро, 280). Рассмотрим компакты Ь(Ь) = Ь + Ьегфо, Ь > 0, Для каждого г Е Ь и Ь > 0 имеем:

Ее {(х + гегфо) Л) = Ее(г Л) + Же(егфоЛ) ^ Ее(гЛ) ^ НЬ(Л) < Нп(Л), Л Е Г и {0},

Ее((г + ^егф0) Л) < = Нп(Л), Л Е Г.

Следовательно, Нщ)(Л) < Но(Л) Л = 0, т.е. Ь(£) с Д 4> 0, Пусть ( > 0. Поскольку замыкание круга В(егро, 280) лежит в Г, то найдется ¿0 > 0

такое, что верно неравенство

Ше(егфоЛ) > НЬ(Л) - Ее(^Л) + 2(|Л|, Л Е В(егро, 2й). (2.18)

Положим а = г0 + ¿0егфо. Тогда имеют место соотношения (2,14) и (2,15), Из этих соот-

К0

^ ^ ^ ^ Ст1,го,п% ехр( Лт1,го^ ^ ь=1 п=0

!Лт11|2А ехр (шах (Нь (Л) - Нк0 (Л) + (|Л|/6 + Ее((г - а)Л)) ) ^ \ хе~п )

ехр ( шах ( Нь(Л) - Нк(Л) + (|Л|/3 + Ее((г - а)Л)) ) , I > V.

\ Аец )

<

Поскольку последовательность {Лт1,1/!Лти 1|}^=1 сходится к егро, то в силу (2,18) и положительной однородности опорной функции найдется номер /" > I' такой, что

Ше(егфоЛ) > НЬ(Л) - Ее(^Л) + 2(|Л|, Л Е 71, 1> Г.

0 < 2/5

имеем:

^ ^ ^ ^ Ст1,у,п% ехр( Лт1,ги

шах гек

=1 п=0

<

пт1 .V 1

^ exp ( max( HL( Л) - Нк (Л) + ß|A|/3 + HK (A) - Re(aA)) J ^ V A^7i J

^ exJ max( Hl( A) + ß|A|/3 - Re(( zo + t0e )Л)) ) ^ V A^7i J

^ exJ max(Hl(Л) + ß|A|/3 - Re(zoA) - Hl(A) + Re(zoA) - 2ß|A|) J ^ \ Aen J

= exp (max (-^ )) < exp (-+ ^^) < exp(-ß|Ami,|).

Как и в первом случае это противоречит (2,8), Таким образом, верно (2,5) и (2,6), Лемма полностью доказана.

Пусть Л = {Ak,nk} разбита на группы U = {Um}^=i; где Um = {Am,vБудем говорить, что Um, т > 1, — группы относительно малого диаметра, если

т |Am, j Am,l| «

lim max -—-.-= 0.

Заметим, что числа Am,i здесь можно заменить любыми другими представителями Amj Um

1 • | Am, 7| - V | Am, j Am, i| . • | Am, i|

lim max —-- ^ lim max -—-.--+ lim —-- = 1.

m ^^o KKMm |Am,i | m ^^o i4j4Mm | Am,i| m ^^o |Am,i|

Um

относительно малого диаметра и верно равенство

Nm lim п—I =

| Am, i|

Следуя работе [8], по системе £ (Л) = {zn exp( Ak z)}^^.'^ построим систему функций £ (Л, U) = {е m,j(z)}m'={rj=v Пусть 7m — контур, охватывающий точки группы Um, и

Mm

^m(A) = n(A -Am>l)n-1, т > 1. =1

Положим

Г wMMC) - MA)) т > 1.

2^ J (C - A)iüm(C)

Im

Эта формула определяет известный интерполяционный многочлен степени не выше Nm -1, который в точках Am,i вместе со своими производными до порядка nm,i - 1 включительно принимает значения, совпадающие с соответствующими значениями функции exp(z A) и ее производных, т.е.

Pim)(Am,i, /) = Zn exp(Am,i z), 1 = 1, 2,..., Mm, n = 0, 1,...,nm,l - 1. Разложим Pm(A, z) то степеням (A - Am,i). Имеем:

DM \ V- I \ (A - Am,iV

Pm(Л, Z) = Pm,j(Z)-^-.

3=0 J'

Положим е = Ртл(г), га > 1, ] = 1, Таким образом, функция ет^(г) совпа-

дает с (] — 1)-й производной многочлена Рт(А, г), вычисленной в точке Атд, Согласно интегральной формуле Коши имеем:

( Мт1 п (л ) = Ц — 1)! [ рт(К г)с1А

ет,](%) = / у / у Ст,],1,п% ехр( Лт,1 = 2 ■ ( ^ _ Л ,

I =i п=0 J (Л Am, i)J"

m > 1, j = l,Nm. Рассмотрим ряд по системе £(Л, U)

те Nm

9(z) = Yl Y1 °m, 3em, 3(z). (2Л9)

m=1j=1

Последовательность его коэффициентов обозначим с = {cmj}^=ij=;L-

Пусть D — выпуклая область, К(D) = {XS}^=L _ последовательность выпуклых компактов, исчерпывающая D, и Л разбита па группы U = {Um}^=L, где Um = {Amv}^=7L- Для каждого s = 1, 2,ldots введем банахово пространство комплексных последовательностей

Qs(D, Л, U) = {с = {Cmj}m=ij=1 : IML = sup(|C^-1 exp(HKs (Am,l))) < «>}.

m,j

Через Q(D, Л, U) обозначим проективный предел пространств Qs(D, Л, U),

Определим оператор Б, действующий па пространстве Q(D, Л, U), со значениями в W(Л, D) то правилу: последовательности с = {cmj} G Q(D, Л, U) поставим в соответствие ( ) H( D)

D

D(0^)) = {z G C : Re(zA) < HD(A), A G 0(Л)}.

Множество D(0^)), очевидно, также является выпуклой областью и содержит D. При этом верно равенство

Hd(A) = Hd(©(A))(A), A g 0(Л).

Как нетрудно заметить, отсюда следует, что пространства Q(D, Л, U) и Q(D(0^)), Л, U) совпадают,

Um m > 1

телъно малы. Тогда каждая функция g G W(Л, D) раскладывается, в ряд (2.19), сумма которого является, аналитической в области D(0^)) (т.е. g аналитически продолжается, в область D(0(Л))). При этом для каждого номера s существуют номера р', р и числа А, А> 0 (не зависящие от функции g G W^,D)J такие, что

те Nm

У^У^тах |Cm,jem,j(z)l ^ А||с||р/ ^ Аmax (z)|, (2.20)

m=1j=1

где с = {cmj}^re^{r"j=v Hc||p' _ норма в пространстве Qp/(D(0(K)),Л, U) и Ks,Kp G К(D(0^))). В частности, ряд (2.19) сходится абсолютно и равномерно на, компактах в области D(0^)). Кроме того, оператор

Б :Q(D(0(A)), k,U) ^W (Л, D) (2.21)

является, изоморфизмом линейных топологических пространств.

Л

группы U = {Um}^re=^- Тогда согласно теореме 3 го работы [9] система функций £ (Л, U )

D Am,1

в смысле определения из работы [7]. Кроме того, по теореме 5 работы [9] система £ (Л, U) обладает групповым свойством Кете, Это означает, что для любого компакта К G D существуют номер компакт К' С D и число А0, удовлетворяющие условию: для каждого m > 1 и каждой функции hm вида

Nm

hm(^) У (2.22)

=1

выполнено неравенство

Nm

У^ |sup |em,j(z) ^ A" sup ^m(z)l (2.23)

=i

m

zeK zeK'

Пусть функция д € Ш(Л, И). Согласно лемме 2,1 она раскладывается в ряд (2,5) и выполнено (2,6), Положим

Mm nm,v-i

^ ^ ^ ^ C-m,v,n% exp( Am,vZ).

у=1 п=0

Тогда в силу определения е(г) функция Нт(г) имеет вид (2,22), Следовательно, согласно (2,23) и (2,6) для любого компакта К С И сходится ряд

те ит

| Сш,зет,з(г)\. (2.24)

т=1 .7=1

Это означает, что ряд (2,19) сходится абсолютно и равномерно на компактах в области И. По лемме 2,1 некоторая подпоследовательность его частичных сумм сходится к функции

Так как ряд (2,24) сходится для каждого К С И, то по теореме 3,1 из работы [22] (аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных многочленов) для каждого компакта К € К(И(в(Л))) существуют номер р' и число А' > 0 (не зависящие от функции д € Ш(Л, И)) такие, что

те ит

У^тах \ст^ет^(х)\ ^ А'||с||р/, (2.25)

т=1]=1

где с = {с^С^ и ||с||р' — норма в пространстве (И(0(Л)),Л, и), Отсюда следует, что функция д аналитически продолжается в область И(в(Л)) и представляется там рядом (2,19), который сходится абсолютно и равномерно на компактах в области И(в(Л)), Это означает, в частности, что пространства Ш(Л, И) и Ш(?,И(в(Л))) совпадают и оператор (2,21) является сюръекцией.

По лемме 2,3 из работы [22] оператор (2,21) определен на всем пространстве Q(D(0(Л)), Л, и), Если система £ (Л) те полн а в Н (И), то, как отмечалось ранее, представление рядом (1.2) обладает свойством единственности. Следовательно, оператор (2,21) является инъективным. Таким образом, В является изоморфизмом линейных пространств, В силу (2,25) оператор В непрерывен. Тогда по теореме Банаха об обратном операторе для пространств Фреше (таковыми, как нетрудно заметить, являются пространства Q(D(0(Л)), Л, и) и Ш(Л, И)) оператор В — изоморфизм топологических пространств. Поэтому верно неравенство

А'||с||

р/ ^ Атах ^^^

где Кр € К(И(в(Л))) и номер р и число А > 0 те зависят о функции д. Последняя оценка вместе с (2,25) дают (2,20), Теорема доказана.

Замечание. В теореме 2,2 одновременно с представлением функций из Ш(Л, И) осуществляется и их аналитическое продолжение в более широкую (вообще говоря) выпуклую область. Задача такого продолжения функций из инвариантных подпространств имеет богатую историю. Наиболее общие результаты по этой проблеме (как в случае одной, так и в случае нескольких переменных) получены в работах [23] [25]. В этих же работах имеется исторический обзор исследований по проблеме продолжения.

Разбиение и = {ит}те=1 последовательности Л будем называть тривиальным, если каждая группа ит состоит лишь из точки \тд, т > 1, В этом случае функции системы £ (Л, и)

легко вычисляются. Имеем:

em,j(z) = z3—1 exp(\m,iz), j = 1,..., Nm(= nmA), m > 1. Относительная малость групп в этом случае равносильна равенству

ст(Л) = lim nm,i/|Am,i| = lim nk/|Aj| = 0.

Таким образом, из теоремы 2,2 в частном случае получаем решение проблемы фундаментального принципа.

Следствие 2.3. Предположим, что в условиях леммы 2.1 разбиение U тривиально и ст(Л) = 0. Тогда, каждая функция g Е W(Л,Б) раскладывается, в ряд (1.1), сумма которого является, аналитической в области Д(0(Л)) (т.е. g аналитически продолжается, в область D(®(Л))). При этом для каждого номера s существуют номера р', р и числа А', А> 0 (не зависящие от функции g Е W(Л,D)) такие, что

— 1

max ldk,nzn exp( Akz)| ^ А'||d||p/ ^ А max Ig(z)|,

Z G Ks Z G Kn

k=1,n=0

где d = {dk,n}X=nk—=o? 1И|р' _ норма в пространстве Qp>(D(O^)), Л, U) и KS,KP Е К(D(Q(K))). В частности, ряд (1.1) сходится абсолютно и равномерно на, компактах в области D(®(Л)). Кроме того, оператор В : Q(D(0^)), Л, U) ^ W(Л, D) является, изом,орфизм,ом, линейных топологических пространств.

Рассмотрим теперь случай, когда функции f Е Pd, существование которых требуется в лемме 2,1, уже построены ранее. Для этого нам понадобится одна известная характеристика последовательности Л = {Ak,nk}£=■ Пусть U = {Um}X=1, Um = {Am,v— разбиение Л

^( A'w, п (^¡j) = п (3-¡Ammvv) .

^kEB(w,S|w|) V 1 k U \miVGB(w,SH) 4 1 m,v

В случае когда круг B(w, i|w|) те содержит ни одной Ak, полагавм дл^^, 8) = 1, Модуль дл(A,w, 8) можно интерпретировать как меру сгущения точек Ak Е B(w, <5|w|) около A, Величина ln |дл(A,w, $)|/|w| аналогична по смыслу логарифму среднего геометрического (среднему арифметическому логарифмов) нормированных расстояний от точек Ak Е B(w, <51w|) до точки A,

Введем еще функции (см, [10]): Для каждого положим

«и■ « = П (У" • m > 1

Если круг B(Am,1, $|Am,;i|) не содержит точек Ak,v, k = m, то (fmu(z, Отметим, что функция q^u6) в отличие от дл^ ,w, 8) зависит от разбиения U последовательности Л, Если 8 Е (0,1), то модуль каждого сомножителя д™ u в кру re B (Am,1, i|Am,1|) оценивается сверху величиной 2(3(1 — 8)) — \ Поэтому для 8 Е (0,1/3) он не превосходит единицы. Следовательно,

| qT,U (z, 51)1 > | qm,u (z, Z Е B(Am,1, ¿2^1), (2.26)

если 0 < ^ 82 < 1/3, Положим

U ( Am,v i

S)I

^(U) = lim lim min ln-—-.-.

m^-rX GB(Xm,1,6 l\m,1 |) | Am,v |

что верно неравенство Sa(U) ^ 0, Оно вытекает из неположительности величины ln |qimu( Am,v, $)| при Am,i Е B(Am,1, i|Am,1|) и 8 Е (0,1/3) Если группы Um, m > 1, от> 0 m( )

группы Um лежат в круге B(\m,i, $|Атд |), Поэтому минимум в определении величины Sa(U) при т > т(5) можно брать не по точкам Am,v, попавшим в круг B(Am,l, i|Am,l|), а по веем v = 1,..., Mm. В случае когда разбиение U тривиально, величина Sa(U) совпадает с величиной Sa, введенной в работе [4],

Следствие 2.4. Пусть Л = {Ak,пк} разбита на относительно малые группы U = (Um}~ =i, gcte Um = {Am,v}„=i, и п(Л) < Предположим, что Sa(u) > — Тогда каждая функция g G W(Л, C) раскладывается, в ряд (2.19) nо системе £ (Л, U). При этом, для, каждого номера s существуют номера р', р и числа А', А > 0 (не зависящие от g G W(Л, C)J такие, что

те Nm

VVmax 1 Cmjemj^ ^ А'||с||р/ ^ Аmax ^^

m=lj=l

где с = {Cnj}^^, ЦсЦр/ — норма в пространстве Qp>(C, Л, U) и Ks,КР G К(C). В частности, ряд (2.19) сходится абсолютно и равномерно на, компактах в плоскости. Кроме того, оператор В : Q(C, Л, U) ^ W(Л, C) является, изоморфизмом линейных топологических пространств.

Доказательство. Покажем, что выполнены все условия теоремы 2,2, Поскольку груп-Um

2,1 для области D = C, По условию следствия верхняя плотность поеледовательноети Л конечна. Тогда по указанной выше теореме Линделефа функция

те / \ 2 \пк £ 0- Af)

является целой и имеет экспоненциальный тип. Кроме того, она обращается в ноль в точках Ак с кратностью пк. Следовательно, система £ (Л) те полна в пространстве Н (С), Множество в(Л) не пересекает границу множества 7(И), т.к. 7(И) = С \ {0},

Пусть К0 — выпуклый компакт, > 0, и {и(Шг)}г°=1 — подпоследовательность групп такая, что {Атг,1/|Атг,1|}г°=1 сходится.

По теореме 4,1 из работы [12] существует последовательность Л' = {^, 1}г°=1, не имеющая Л

1) Л = Л и Л' является нулевым множеством (с учетом кратноетей) целой функции f экспоненциального типа (т.е. f С РС);

2) Для разбиения и = и и и' последовательности Л, где и' — тривиальное разбиение Л' выполнено неравенство (и) > —го, и и — разбиение на относительно малые группы.

Тогда непосредственно из теоремы 5,1 в работе [12] следует, что существуют положительные числа {®-т,]}т=ъ удовлетворяющие условиям:

lim max = 0, (2.27)

m^те s,j^Mm |Am,s |

множества Bm = [JMl B(Am,j,amj, т > 1, попарно те пересекаются, диаметры dm мно-Bm

lim max ——. = 0, (2.28)

m^-те l<j<Mm | Am,j |

и существуют b, bl > 0 такие, что

ln |/( A)| > — bl — &|A|, A GdBm, т > 1. (2.29)

Положим f( A) = f(z) eтХ и = dBmv l > 1, Из свойства 1) поел едовательноети Л получаем пункт 1) леммы 2,1 (при любом т G C), Пункт 2) этой леммы следует из определения

Bm

4) леммы 2,1, Согласно определению множеств Bm для длины контура имеем оценку:

P(ji) ^

=l

Um

Mm

lim П-1 =

^те | Am, l|

Отсюда с учетом (2,27) получаем пункт 5) леммы 2,1, Остается показать, что при подходящем числе т G C выполнен пункт 3) этой леммы.

Пусть {Am;,l/|Am;,l|}i°=l сходится к егро, Положим т = t0e-iipo. Тогда

ln |/( A)| =ln | Л A)| + toRe(e-i™A).

С учетом непрерывности и положительной однородности опорной функции найдутся а, 5, t0 > 0 такие, что

toRe(e-VoA) — h — &\A\ > Нк0(A), A/|A| G B(eivo, S), |A| > а.

Поскольку {Am;,l/|Am;,l|}i°=l сходится к em), то в силу определения множеств Bm и соотношений (2,28), (2,29) из последнего неравенства получаем пункт 3) леммы 2,1, Следствие доказано.

Замечание. Ранее результат следствия 2,4 был получен A.C. Кривошеевым в работе [12] (§9) при помощи решения достаточно сложной специальной интерполяционной задачи в пространстве целых функций экспоненциального типа,

3. Необходимые условия

Покажем, что условие на индекс конденсации Sa(U) (подобное тому, которое приеут-етвует в последнем утверждении) является необходимым для существования базиса в самом общем случае (для произвольного инвариантного подпространства, допускающего спектральный синтез, в произвольной выпуклой области).

Пусть D — выпуклая область и последовательноеть Л = {Ak ,пк} разбита на группы U = {Um}£U (Um = {Am,v}M=l) относительно малого диаметра. Для множества Е на окружности S(0,1) символом Л(Е) обозначим подпоследовательность Л, которая состоит из всех групп Um таких, что Am,l/|Am,l| G Е. Следуя [4], положим

Sa(U, F) = sup Sa{E)(U), SA(U,D) = inf SA(U,F),

E^F ( ' F D(S(0,l)\J (D))

где супремум берется по всем открытым на S(0,1) множествам Е D F, а пнфпмум - по всем компактным подмножествам F D (S(0,1) \ J(D)),

Лемма 3.1. Пусть D — вътуклая область и последовательность Л разбита на группы, U = {илте^ (Um = {Am,v}M=l) относительно малого диаметра. Предположим, что си,стем,а, £ (Л) не полна в Н (D), и каждая функция g G W ^,D) раскладывается, в ряд (2.5), сходящийся равномерно (по т) на компактах в D. Тогда, Sa(U,D) = 0. Доказательство. Предположим, что Sa(U,D) ^ —3ß < 0, Тогда найдется компакт

F

С ( S(0,1)\ J(D)) такой, что Sa(e)(U) ^ — 2ß для ^^^^^^ткрытого на S(0,1) множества Е D F Поэтому согласно определению величины Sa(e)(U) для каждого р > 1 найдутся номера т(р), v(p) и тасло 5Р G (0,1/4р), удовлетворяющие условиям:

Am(p),l

min

\eF

A

1 Am(p),l1 ln | m

U ( Am(p),v \Am(p),v(p) \

, (3.1)

^ —ß, (3.2)

\ Лт(р+1),^(р+1)1 > 2\Лт(р),^(р) |. (3.3)

Переходя к подпоследовательности, можно также считать, что { Ат(р),1/\Лт(р),1\}^=1 сходится к е гр°. В силу (3,1) верно включение е гр° € Р. В частности, Нв (егр°) < +го. Рассмотрим функции

, ч 1 [ ехр( Лг)( Л . дР^) = — -——'-г-,-, р> 1. (3.4)

2шя,Л ¿п п (Л -Лш(р)Мр))й/^ 5р)

Ь (Лт(р) ,ъ(р) ,5 °Р1Лт(р) ^(р)!)

Найдем оценки сверху на \др \, Учитывая, что 5р < 1/4, имеем:

\<$?(Л, 6Р)\ = П

пк,у

>

Лт^&В(Лт(р)^(р) ^ р|Лт(р),щ(р)|) ,т=т(р)

Л Лт,ь

3 8 \ Лт,го \

> ( ,о г 4 Р\\ Т^С (Р) \-1 1 > 1, Л € ^(Лш(p),v(p), 5¿p\Лт(p),'u(p)\), (3.5)

\(3йр(1 + др)\Лт(р)^(р) \ ;

где в(р) — число точек Лк,У, к = т(р), с учетом их кратности, попавших в круг В (Лт(р){и(р), 8р\Лт(р),и(р)). В силу (3.5) имеем:

ехр(Лг)

\др(г)\ ^ Ъ5р\Лт(р)^(р)\ вир

ЛЕ5,(Лт(р)^(р),5 ¿р^^р),.^)!)

( Л Лт(р),ь(р)

<

^ ехр(Ее(Лт(р),ъ(р)г) + 5¿р\Лт(р)Хр))\И). (3.6)

Пусть К — произвольный компакт в области И. Тогда

Ее(ге г Р0) ^ Нв (егр0) - 2г, г € К, (3.7)

для некоторого числа т > 0, Поскольку ит — группы относительно малого диаметра, то последовательность {Лт(р)^(р)/\Лт(р)^(р)\}^=1 также (как и {Л^(р), 1 /\Л^(р), 1 \}^=1) сходится к е гр°. Поэтому с учетом (3.6), (3.7) и того, что 5р < 1/4р ^ 0 получаем:

\др(г)\ ^ ехр (\Лт(р)^(р)ПКе^^^^Щ + 5^ ) \ V \ Лт(р)Ар)\ /

р. . £

^ ехр(\Лт(р),^(р)\^е(гегр°) + г)) ^ ехр(\Лт(р)Хр)\(Нве(гро) - г)), (3.8)

где р > р(К).

Рассмотрим функцию

те

= cp9p(z), (3.9)

р=1

где Ср = ехр(-\Лт(р),^(р)\Нд(егр°)), р > 1. В силу (3.8) и (3.3)

те те

У^ \Срдр(г)\ < ехр(-г\Лт(р),^(р)\) < го, г € К.

р=р(К) р=р(к)

Следовательно, ряд (3.9) сходится равномерно на компактах в области И. В силу опреде-р

пт,у 1

Яр(г) = (р ехр( Лт(р),1](р) г) + ^ ^ ((т,€,пгп ехр( Лт,„ г). (3.10)

Лт^&В(Лт(р) ^(р), ёр^р) )У(р)\),т=т(р) п=0

(р = (<?л!гр)(Лт(р),^(р), . (3.11)

Отсюда и (3.9) следует включение д € Ш(Л, И). Покажем, что § вопреки условию леммы не раскладывается в ряд (2.5), сходящийся равномерно на компактах в области И.

По условию система £ (Л) те полна в Н (И), Следовательно, как отмечалось выше, существует биортогональная к £ (Л) система функционалов £(Л, И), Поеколь ку 5р < 1/4, а ит — группы относительно малого диаметра, то согласно (3,3) точки Лт(р)^, V = 1, Мт(р), не лежат в круге В(\т{]),пЦ), $Р1Ати),у^)1), если ] = р. Поэтому в силу (3,10)

^т(р)^ (р),о(д) = ЛрСр, ¡Лт(р)^ (р),п(д) = 0, П = 1,Ит(р),ч (р) — 1, Р> 1, (3.12)

^т(р),ь,п(д) = 0, П = 0, Пт(р),у — 1, Ь=1,Мт(р), Ь = ь(р), р> 1, (3.13)

где {^т(р),^,п} € £(Л, И) — система биортогональная к системе [гп ехр(Лт(р)^г)}.

тах в И. Тогда

Ст(р),-ю,п = ^т(р),v,n(g), П = 0,Пт(р)^ — 1, ^=1,Мm(р), Р> 1. (3.14)

Отсюда с учетом (3,12) и (3,13) следует, что член ряда (2,5) с номером т = т(р) имеет вид

ЛрСр ехр(Лт(р)^ (р)г), Р > 1. (3.15)

Согласно определению опорной функции найдется точка г0 € И такая, что

Ке() > Нп(ег<^°) — 3/2.

Поскольку { сходится к егто

ЕеЛт^^ >Ни(ег™) — 3, Р> Ро.

1Лт(р)^(р)1

р

ы м м exP(—|Лm(р)v(р)|НD (ег^°)

1 АрСр ехр( Лm(р)v(р)Zо)| = - т(р) -—-ехР(Ке(Лт(р)^(р)2о)) >

ША,и ( Лm(р),v(р), вр)|

> ехр(|Лт(р)^(р)|(3 — НD(ег1ро)))ехр (|Лт(р)^(р)|Не> 1, р >

Это противоречит сходимости ряда (2,5) в точке г0 € И. Таким образом, паше исходное предположение неверно, т.е. Ял(и, И) > 0, Как отмечалось выше, верно также неравенство Ял(и, И) ^ 0. Следовательно, Ял(и, И) = 0, Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть И — выпуклая область и последовательность Л разбита на группы

и = {ит}~=

1 (ит = {Лт^}„=1) относительно малого диаметра. Предположим, что си,стем,а, £ (Л) не полна в Н (И), и Ял (и) = —го. Тогда, существует д € Ш (Л, С), для, которой представление в виде ряда, (2.5), равномерно сходящегося, на, компактах из И невозможно.

Доказательство. По условию Ял (и) = —го. Поэтому найдутся числа 5р € (0,1/4р), р > 1, и подпоеледовательноеть {Лт(р)^(р)} такие, что

V 1п кл

рр ( Лт(р),'и

(р), $р)1 (ПЛП\

11т -—-:-= —го. (3.16)

Можно считать, что для всех р > 1 выполнено (3.3). р ( ) > 1

( )

полагаем

Ср ^ х/^^^^^т^^р^^^р^, Р > 1.

Пусть Я > 0, В силу (3.16) найдется помер р0 такой, что

Ср = |Ср| ^ ехр(—2Я|Лт(р),г(р)|), Р > Ро.

Тогда с учетом (3,6) имеем:

Поскольку 5р ^ 0 и верно (3,3), то последний ряд сходится. Следовательно, в силу (3,10) верно включение д G W(Л, C), и, как и в лемме 3,1, имеют место равенства (3,12), (3,13),

компактах из области D. Тогда верно (3,14), Поэтому, как и в лемме 3,1, член ряда (2,5) с номером т = т(р) имеет вид (3,15), Из (3.11), определения чисел ср и сходимости ряда (2,5) следует, что

ы f\ м 1 exp( \m(p),v(p) z)1

|dpCp exp(\m(p),v(p)z)l = i = ^ 0, p ^ ro, z G D.

У 1 qm,U ( Am(p),v(p)-, ^p)|

В силу (3,16) это невозможно. Таким образом, наше предположение неверно. Лемма доказана.

Непосредственно из лемм 3,1 и 3,2 вытекает следующий результат. Теорема 3.3. Пусть D — вътуклая область и последовательность Л разбита на группы, U = {Um}'^=1 (Um = {Amvотносительно малого диаметра. Предположим, что си,стем,а, £ (Л) не полна в Н (D), и каждая функция g G W ^,D) раскладывается, в ряд (2.5), сходящийся равномерно (по т) на компактах в D. Тогда, Sa(U,D) = 0 и SA(U) > -го.

Замечания. 1. Результат теоремы 3,3 ранее в частном случае был получен в теореме 5,1 из работы [4]. В этой теореме рассматривался случай, когда U = (Um}^=1 — тривиальное

Um

этом накладывалось дополнительное условие: тв(Л) = 0, т.е. ^k(j)/|Ak(j)l ^ 0 j ^ го для любой подпоследовательности {Ak(j)} такой, что Ak(j)/|Ak(j)| ^ £ и Нв(О < +го. При этом Um

в работе [4] был получен при помощи решения достаточно сложной интерполяционной задачи в пространстве целых функций экспоненциального типа,

2. Из теоремы 3,3 и следствия 2,4 вытекает теорема 9,1 из работы [12].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красичков И.Ф. Инвариант,ные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. Сб. 1972. Т. 87(129), № 4. С. 459-489.

2. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 88(130). № 1. С. 3-30.

3. Гольдберг A.A., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1991. С. 5-186.

4. Кривошеев A.C. Фундаментальный принцип для, инвариантных подпространств в выпуклых областях // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т.68. № 2. С. 71-136.

5. Кривошеева O.A., Кривошеев A.C. Критерий справедливости фундаментального принципа, для, инвариантных подпространств в ограниченных выпуклых областях комплексной плоскости // Функц. анализ и его прил. 2012. Т. 46. № 4. С. 14-30.

6. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент М.: Наука, 1980.

7. Кривошеев A.C. Почти экспоненциальный базис // Уфимск. матем. журн. 2010. Т. 2. № 1. С. 87-96.

8. Кривошеев A.C. Базисы, «по относительно малым группам» // Уфимск. матем. журн. 2010. Т. 2. № 2. С. 67-89.

9. Кривошеев A.C.. Почти экспоненциальная последовательность экспоненциальных многочленов ff Уфимск. матем. журн. 2012. Т. 4. № 1. С. 88-106.

10. Кривошеев A.C., Кривошеева O.A. Базис в инвариантном подпространстве аналитических функций 11 Матем. Сб. 2013. Т. 204. № 12. С.49-104.

11. Кривошеев A.C., Кривошеева O.A. Фундаментальный принцип и базис в инвариантном, подпространстве // Ма гс.м. заметки. 2016. Т. 99. № 5. С. 684-697.

12. Кривошеев A.C., Кривошеева O.A. Базис в инвариантном, подпространстве целых функций // Алгебра и анализ. 2015. Т. 27. № 2. С. 132-195.

13. Кривошеев A.C., Кривошеева O.A. Замкнутость множества сумм рядов Дирихле // Уфимск. матем. жури. 2013. Т. 5. № 3. С. 96-120.

14. Кривошеева O.A., Кривошеев A.C. Представление функций из инвариантного подпространства с почти вещественным спектром // Алгебра и анализ. 2017. Т. 29. № 4. С. 82-139.

15. Кривошеев A.C. Представление решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях пространства Сп // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. Л*8 1. С. 71-91.

16. Кривошеев A.C. Интерполяция с оценкам,и в Cп и ее применение // Матем. сб. 2001. Т. 192. № 9. С. 39-84.

17. Леонтьев А.Ф. Ряды, экспонент М.: Наука, 1976.

18. Кривошеева O.A. Особые точки суммы ряда, экспоненциальных мономов на границе области сходимости // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23. № 2. С. 162-205.

19. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды, экспонент М.: Наука, 1983.

20. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах М.: Наука, 1982.

21. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций М.: Гостехиздат. 1956.

22. Кривошеева O.A. Область сходим,ост,и рядов экспоненциальных многочленов // Уфимск. матем. журн. 2013. Т. 5. № 4. С. 84-90.

23. Кривошеев A.C. Инвариантные подпространства в выпуклых областях из Сп // Уфимск. матем. журн. 2009. Т. 1. № 2. С. 53-74.

24. Кривошеев A.C. Инвариантные подпространства в выпуклых областях из Сп // Уфимск. матем. журн. 2009. Т. 1. № 3. С. 65-86.

25. Кривошеев A.C. Критерий аналитического продолжения функций из главных инвариантных подпространств в выпуклых областях из Сп // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. Л*8 4. С. 137-197.

Олеся Александровна Кривошеева,

ФГБОУ ВО «Башкирский государственный университет», ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]