CC BY
40
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 65-86.
УДК 517.5
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ
ОБЛАСТЯХ ИЗ Сп
Аннотация. В работе изучаются инвариантные относительно операции дифференцирования подпространства пространств функций, аналитических в выпуклых областях C™. Получен критерий аналитического продолжения функций из произвольных замкнутых главных инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, в произвольных ограниченных выпуклых областях.
Ключевые слова: инвариантные подпространства, аналитическое продолжение, целая функция, оператор свертки.
Эта статья является продолжением работы [40]. Мы сохраняем здесь все обозначения работы [40], нумерация параграфов, теорем, формул и т.д. данной работы является продолжением нумерации из работы [40].
В этом параграфе мы покажем, что полученные выше достаточные и необходимые условия аналитического продолжения функций из главных инвариантных подпространств в действительности являются эквивалентными и дают, таким образом, критерий продолжения. Кроме того, приведем также и ряд других равносильных им условий.
Прежде всего докажем три вспомогательных утверждения.
Лемма 11. Пусть д,ф0 — плюрисубгармонические функции в Сп, постоянная d0 > 0 и выпуклый компакт L С Сп таковы, что
Тогда существует непрерывная плюрисубгармоническая в C™ функция ■ф > ф0 такая, что
А.С. КРИВОШЕЕВ
4. Критерии продолжения
фо(z) + g(z) ^ do + HL(z), z e Cn.
(50)
h-ф+у(z) < HL(z), z e C".
Доказательство. Положим
В( 0,1)
A.S. Krivosheyev, The invariant subspaces IN CONVEX DOMAINS IN C”. © Кривошеев А.С. 2009.
Поступила 14 июля 2009 г.
65
66 А.С. КРИВОШЕЕВ
Функция ф(г) — плюрисубгармоническая и по неравенству о среднем для субгармонических функций имеем: ф(г) > 'фо(г), z G Cn и
'ф(г) + g(z) ^ onl J ф0(г + w)da(w) + onl J 9(z + w)da(w) ^
5(0,1) 5(0,1)
^ sup (фо('ш) + g(u>)) ^ d0 + sup Hl(w), z G C™. (51)
wEB(z, 1) w€B(.z,1)
Последняя оценка здесь следует из (50). По лемме 4 для любого ft > 0 существует 8 > 0 такое, что выполнено неравенство
supw€B(z,s\z\)Hl(w) ^ Hl(z) + |z|, z G C Выберем T > 0 так, что Т8 > 1. Тогда в силу (51) получаем:
ф(г) + g(z) ^ d,0 + HL(z) + ft|z|, |z| > t.
Отсюда с учетом непрерывности опорной функции компакта и определения верхнего индикатора имеем:
h-ф+д(z) ^ HL(z) + ftlzl, z G C™
Поскольку ft > 0 произвольно, то это дает нам требуемую оценку. Остается установить непрерывность ф(z). Фиксируем z0 G Cn. В силу плюрисубгармоничности функции ф0(z) величина
С1 = а-1 J Ф0^0 + w)da(w)
5(0,2)
конечна. Выберем число с2 так, что ф0(w) ^ с2 для всех w G B(z0, 4). Пусть z G В(z0,1). Тогда
С1 = а-1 J фo(w)da(w) = ап1( J фo(w)da(w) +
B(zo,2) B(z, 1)
+ J фo(w)da(w)) ^ a-1 j фo(w)da(w) + C2(22n - 1).
B(zq,2)\B(z,1) B(z, 1)
Следовательно,
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ИЗ €п
67
'ф(г) = ап 1 J фо(w)da(w) > Ci - С2(22п - 1) = с3, z е B(zQ, 1). (52)
B(z, 1)
Пусть z1,z2 е B(z0,1) и р = |z1 — z2|. Пользуясь монотонностью среднего значения субгармонической функции в шаре, получаем неравенства:
i)(z{) = ап 1 J ipo(w)da(w) ^ ((1 + р)2пап) 1 / фo(w)da(w) ^
B(z 1,1) B(zi,1+p)
^ ((1 + р)2пСп) 1 J фо(w)da(w) + ( (1 ++ р)— с2 ^ (1 + Р) 2™Ф(г2) + ( (1 ++ р)— с2.
-B(.Z2,1)
Отсюда с учетом (52) имеем:
1 (1 + р)2п - 1 Ф(-1) - ^2) ^ ((J^ - Ш*2) + ( (+ +)р)2га С2 ^
1 (1+ р)2п - 1 ^ ((ГГ^ - 1)С3 + (1+ Р)2> °2 ^ CiP'
Аналогичная оценка получится, если z1 и z2 поменять местами. Таким образом, верно неравенство
^1) - ф(г2) ^ C4IZ1 - Z2I ^1,^2 е В(zo, 1).
Лемма доказана.
Лемма 12. Пусть 0 — конус в C™ с вершиной в начале координат и S0 С S — компактное подмножество внутренности 0. Предположим, что C™ \ 0 — выпуклое множество. Тогда для каждого А > 0 существует окрестность П0 компакта S0 и выпуклая положительно однородная порядка один функция ф0, обладающая следующими свойствами:
1) фо(z) = 0, Vz е 0;
2) фо(z) > AIzI, Vz : z/IzIe По;
3) ф0(г) > 0, Vz е Cn.
Доказательство. Фиксируем А > 0. Пусть q е S0. Поскольку S С int 0, то для некоторого г > 0 шар В(я,т) лежит в 0 . По условию C™ \ 0 — выпуклое множество. Следовательно, по теореме об отделимости для выпуклых множеств существует (вещественная) гиперплоскость Г, разделяющая В (я, т) и C™ \ 0. Так как последнее множество является конусом с вершиной в начале координат, то гиперплоскость можно выбрать так, что она будет проходить через начало координат. Пусть
Г = [z : Re (z, Х(я)) = 0}
68
А.С. КРИВОШЕЕВ
Меняя, если это необходимо, знак вектора Х(я), можно считать, что
Re (z, Х(я)) ^ 0, Vz Е 0.
(53)
и Re (z,\(s)) > 0 для всех точек шара В (я, т.) Тогда в его центре будет выполнено неравенство Re (z,\(s)) > 0. Выберем положительное число с(я) такое, что функция фя(z) = с(я)Re (г,Х(я)) имеет в точке с следующую оценку снизу фя(с) > А = A\z\. По непрерывности это неравенство продолжается в некоторую окрестность точки я :
Из покрытия компакта So шарами В(я,8(я)),Я Е S0, выделим конечное подпокрытие В(%, 8($j)), j = 1,... ,р. Положим
Очевидно, что функция ф0(г) является выпуклой и положительно однородной порядка один. Из определения гф0(z) сразу следует пункт 3) утверждения леммы. Учитывая (53), получаем пункт 1). В силу же (54) и положительной однородности гф0(z) выполнен и пункт 2). Лемма доказана.
Лемма 13. Пусть D, G — выпуклые области в Cn, D С G,V' — окрестность множества S П 5 \ int (где 5 = 5(D, G)). Тогда S0 = (dV' \ 0d) П S — компакт,.
Доказательство. Достаточно показать, что S0 — замкнутое множество. Пусть последовательность {£т} С S0 сходится к точке £0. Тогда £0 Е dV' П S. Если при этом £0 Е 0D, то £0 Е S0 и все доказано. Предположим, что £0 Е 0d.
Возможны два случая: £0 Е int 0д и £0 Е д0д. В первом из них элементы последовательности {£т} , начиная с некоторого номера, также принадлежали бы int 0д С 0д, что противоречит определению множества S0. Пусть реализуется второй случай. Тогда верно включение £0 Е д0в П 0d . Поскольку 0д С 5, то верно также и включение £0 Е (5 \ int 0d) П S, которое означает, что £0 Е V'. Но это невозможно, т.к. £0 Е dV'. Полученное противоречие завершает доказательство.
Сформулируем и докажем теперь критерий аналитического продолжения функций из главных инвариантных подпространств в произвольных выпуклых областях в Сп. Точнее говоря, мы приведем сразу несколько критериев.
Теорема 3. Пусть D — выпуклая область в Cn, W — нетривиальное замкнутое главное инвариантное подпространство в Н(D), допускающее спектральный синтез; G — выпуклая подобласть D(W), содержащая D, такая, что множество S П 5 \ int 0d замкнуто. Следующие утверждения эквивалентны:
а) Каждая функция из W аналитически продолжается в область G и аппроксимируется там линейными комбинациями элементов из Е(W).
б) Для любой точки я Е S \ 5 и любого номера т существует плюрисубгармоническая функция фя,т такая, что
Фя(z) > A\z\, ^ Е В(я,8(я)).
(54)
ф(г) = max фя. (z), ф(г) = max {ф(г), 0} .
1 С" о ^
К,т (Z) <HD(z), Z Е Сп \ {0} , hu^ m (я) > НКт (Я),
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ИЗ €п
69
где щ,т = lFw| + фя,т.
в) Для любого компакта S0 С S \ £ и любого номера т существуют плюрисубгармоническая в Сп функция ф, окрестность П компакта S0 и постоянная Т > 0 такие, что верны неравенства:
1) hu(z) < HD(z), z G Cn \ {0} , где и = ln |F^l + Ф;
2) u(z) > HKm(z) для всех z G Cn, удовлетворяющих условиям: z/lzl G П, |z| > T.
г) Для каждой окрестности V множества S П £ \ int О в найдется окрестность V1 этого же множества, компактно лежащая в V, для которой выполнено следующее: для любого номера т существует окрестность V' множества S П £ \ int Ов , лежащая в V1, такая, что для каждого я G (dV' \ Ов) П S найдется плюрисубгармоническая функция Фя,т, удовлетворяющая условиям:
К,т (z) <HD(z), z G Cn \ {0} , Ka^m (?) > HKm (я), где щ,т = ln lFw| + фя,т.
Доказательство. а) ^ б). Фиксируем я G S\£ и номер т. Если имеет место утверждение а), то по теореме 2 существуют плюрисубгармоническая функция ф, номер р и числа d,R,5 > 0 такие, что выполнены неравенства 1) и 2) из этой теоремы. Положим фя,т = ф. Тогда в силу определения верхнего индикатора и неравенства 1) получаем:
h„.m(~) « HKr <НВ(г), z G C" \{0}
С другой стороны, из неравенства 2) и неравенства о среднем для субгармонических функций следует, что hu (я) > Нкт (я). Таким образом, утверждение б) выполнено.
б) ^ в). Поскольку G С D(W), то из определений множеств £, О в и равенства (2) следует вложение A(Fw) U О в С £. Поэтому любой компакт S0 из множества S \ £ не имеет общих точек с A(Fw) U О в. Теперь остается применить следствие из леммы 10.
в) ^ б). Фиксируем я G S \ £ и номер т. Положим S0 = {с} . Согласно утверждению
в) существует плюрисубгармоническая функция ф, обладающая свойствами 1) и 2) из этого утверждения. Пусть фя>т = ф. Тогда свойство 1) дает нам первое неравенство из утверждения б), а свойство 2) — второе неравенство, как и при доказательстве первой импликации.
б) ^ г). Пусть V — произвольная окрестность множества S П £ \ int О о. По условию оно замкнуто. Поэтому найдется его окрестность V1, компактно лежащая в V. Фиксируем т и положим V' = V1. Остается заметить, что любая точка £ G (dV' \ О о) П S принадлежит множеству S \ £.
г) ^ а). Пусть имеет место утверждение г). Достаточно доказать, что в этом случае выполнены все условия теоремы 1. Пусть V — произвольная окрестность множества £ П S. Тогда V является также окрестностью S П £ \ int О в. Прежде всего, построим компакт X С V, существование которого требуется в теореме 1.
Пусть V1 — окрестность множества SП£\int О в из утверждения г), компактно лежащая в V. Поскольку A(Fw) замкнуто, то замкнутым будет и множество A(Fw) \ V1. По условию G С D(W), поэтому в силу соотношения (2) множество A(Fw) лежит в £. Следовательно, верно вложение A(FW) \ V1 С тЮв. Пусть V2 — окрестность множества A(FW) \ V1, компактно лежащая в in^B.. Тогда V3 = V1UV2 — окрестность множества A(Fw), которая с учетом вложения тЮв С V компактно принадлежит V. Выберем г > 0 так, что т — вздутие V3: все еще компактно лежит в V, и положим X = V3:.
70
А.С. КРИВОШЕЕВ
Фиксируем номер т и число е > 0. Мы должны построить открытое множество U, плюрисубгармоническую в C™ функцию ^(z) и выбрать постоянную R > 0, номер р, для которых выполнены пункты i)-iiii) из теоремы 1. Начнем с построения функции ф(г). Пусть V' — окрестность множества S П £ \ int0D из утверждения г), лежащая в V1. Как и выше, найдем окрестность V" множества A(Fw) \ V', которая компактно лежит в int0D. При этом V0 = V' U V'', также как и V3 будет окрестностью A(Fw). Кроме того, очевидно, можно считать, что V'', а вместе с ним и V0, лежит в V3.
По лемме 13 множество S0 = (dV' \ 0d) П S = (dV0 \ 0D) П S — компакт. Как уже отмечалось S0 является подмножеством S \ £, а потому не имеет общих точек с объединением A(Fw) U 0d. Тогда по следствию из леммы 10 существуют плюрисубгармоническая в C™ функция ф1, окрестность По компакта S0 и постоянная Т1 > 0 такие, что
hUl (z) <HD(z), z е Cn \{0} , (55)
где U1 = ln IFw I + Ф1, и
U1(z) > HKm (z), Vz : z/\z\ е По, I^I > T1. (56)
Положим S1 = (дУо \ По) П S. Тогда S1 — компакт, который лежит в int0D. Действительно, так как По — окрестность во, то по определению множества во верно вложение S1 С 0D. Предположим, что пересечение S1 П d0D не пусто и £ е S1 П д0D. Возможны два варианта: £ е 0D и £ е 0D. Если £ е 0D, то £ е (£ \ int0D) П S С V', что невозможно, т.к. £ е дУо. Если же £ е 0D, то £ е во С По, что также невозможно по определению S1.
Компакт S1 не имеет общих точек с A(Fw), поскольку Уо — окрестность множества A(Fw). Пусть f — некоторый ненулевой элемент пространства Iw С Pd. Тогда f делится на Fw и
ln If (z)I ^ d1 + HL(z), z е Cn,
где L — выпуклый компакт в D и D1 — положительная постоянная. Следовательно, по лемме 9 для каждого а > 0 существуют плюрисубгармоническая функция ф2, окрестность П1 компакта S1 и постоянные ао,Т2 > 0 такие, что выполнены следующие неравенства:
и2 > -аоIzI, forallz : z/IzI е П1, jzI > Т2, (57)
u2(z) ^ d1 + HL(z) + «IzI, z е Cn,
где u2 = ln IFw I + ф2. Выберем положитильное а так, что а — вздутие La компактно лежит в D. Тогда из последнего неравенства получаем:
hU2(z) ^ Hd(z), z е Cn \[0}.
(58)
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ИЗ €п
71
Поскольку S1 — компакт в int0D и Cn \ 0d — выпуклое множество, то по лемме 12 существует окрестность Q2 компакта S1 и плюрисубгармоническая функция ф0 порядка один и конечного типа, обладающая свойствами:
Фо(г) = 0Vz Е 0D; (59)
фо(г) > A\z\> НКт (z) + ao\z\ Vz : z/\z\e\&2, (60)
где A = sup HKm (£) + a0. Положим ф'2 = ф2 + ф0 и Q'2 = Q П Q2. Из (58), (59) и 5еБ(о,1)
определения множества 0d следует, что
hu2 (z) <HD(z), z Е Cn \{0}, (61)
где u2 = in \F^\ + ф2. Кроме того, в силу (57) и (60) получаем:
и2(z) > НКт(z) Vz : z/\z\ Е Q, \z\ > Т2. (62)
Пусть
ф(г) = max{^1(z),ф'2} + с, z Е Сп,
где с — положительная постоянная, которую мы выберем ниже. Положим еще Q = П0 U П'2 и Т = max{T1,T2}. Тогда согласно (55) и (61) имеем:
hu(z) < HD(z), z Е Cn \{0}, (63)
где и = in \^V \ + Ф, а в силу (56) и (62) верно неравенство
u(z) > HKm(z) Vz : z/\z\ Е Q, \z\ > T. (64)
Учитывая (63) и лемму 11, можно считать, что ф^) — непрерывная плюрисубгармоническая функция.
Перейдем теперь к построению открытого множества U, существование которого требуется в теореме 1. Как уже отмечалось выше, V0 является окрестностью Д(Fw). Поэтому, согласно определению Д(Fw), найдется R' > 0 такое, что множество N(W) \ V0' лежит в шаре В(0, R'). Здесь V0' — конус с вершиной в начале координат, порожденный V0 П S, т.е. V0' = {z : z = t£,£ Е V0 П S,t > 0}. Положим U = V0 U В(0, R'). В силу выбора числа R' для множества U выполнен пункт i) в теореме 1. Из определений множеств X и V0 следует, что для некоторого R > R' и каждого z Е U[е] \ B(0,R) точка z/\z\ принадлежит X. Это дает нам пункт ii). Кроме того, для всех достаточно больших по модулю z Е U[е] \ (U U В(0, Т)) точка z||z\ принадлежит Q. Поэтому для таких z выполнено неравенство (64), а вместе с
72
А.С. КРИВОШЕЕВ
ним и пункт iii). Чтобы обеспечить выполнение пункта iii) на остальной (ограниченной) части множества U [е] \ U, нужно лишь подобрать подходящую постоянную с > 0 в определении ^(z). Это можно сделать, поскольку ^(z) непрерывна, а Fw не имеет нулей вне U, а потому ln IFw I непрерывна вне U. Наконец, увеличивая при необходимости число R, из неравенства (63) нетрудно получить пункт iiii) с некоторым номером р (для этого, как и во введении, достаточно воспользоваться теоремой Хартогса о верхнем пределе для семейств субгармонических функций). Теорема доказана.
Замечания. 1. Достаточным условием (но не необходимым) замкнутости множества S П £ \ int0D является непрерывность функции Hd (z) на этом множестве. Действительно, пусть последовательность [zk С S П £ \ int0D} сходится к го. Тогда в силу непрерывности Hd , полунепрерывности снизу Но и вложения D С G имеем: Нс(%о) > HD(го) = lim HD(zk) = lim HG(zk) > Но(го).) Это будет, например, если
k^-ж k^-ж
D — ограниченная область. В случае комплексной плоскости множество S П £ \ int0D всегда замкнуто (см. [26, лемма 7]).
2. Как видно из доказательства импликации г)^а), в качестве еще одного эквивалентного утверждения в теореме 3 можно было взять утверждение, составленное из условий теоремы 1.
3. В случае, когда множество SП£\int0D пусто (и тогда согласно равенству (2) и лемме
2 необходимо выполнено вложение A(Fw) С int0D), утверждение г) не содержит никаких требований. Таким образом, в этом случае продолжение функций из инвариантного подпространства в область G осуществляется без каких-либо дополнительных условий. При этом упрощается доказательство импликации г)^а). Уже нет необходимости в построении функции ф1. Нужно положить Vo = V", где V" - окрестность множества A(Fw), компактно лежащая в int0D, и S1 = дУо П S. Далее функция ф определяется по формуле ф(г) = ф2(z) + с. Имеет место даже более сильное, чем импликация г)^а), утверждение.
Следствие 1. Пусть D — выпуклая область в С™, W — нетривиальное замкнутое главное инвариантное подпространство в Н(D), допускающее спектральный синтез. Предположим, что A(Fw) С int0D. Тогда каждая функция из W продолжается до целой функции и аппроксимируется в C™ линейными комбинациями элементов из Е(W).
Доказательство. Вложение A(Fw) С int0D означает, что область D(W) совпадает со всем пространством С™. Положим G = C™. Тогда £ = 0D. Это равенство не влечет за собой пустоту множества S П £ \ int0D. Несмотря на это, все условия теоремы 1 будут все-таки выполнены. Доказательство этого факта проводится по схеме доказательства импликации
г)^а) в теореме 3 с упрощениями, которые указаны в замечании 3. Тогда по теореме 1 будет выполнено утверждение следствия.
Следствие 2. Пусть D — выпуклая область в С™, W — нетривиальное замкнутое главное инвариантное подпространство в Н(D), допускающее спектральный синтез. Предположим, что 0D — открытое множество. Для того чтобы каждая функция из W продолжалась до целой функции и аппроксимировалась в С™ линейными комбинациями элементов из множества E(W), необходимо и достаточно, чтобы имело место вложение A(Fw) С 0D.
Доказательство. Вытекает из леммы 2 и следствия 1.
Во всех предыдущих работах по проблеме условия продолжения функций из инвариантного подпространства W формулировались в терминах существования некоторой целой функции из множества Iw с подходящими асимптотическими оценками снизу (в частном случае, когда W — пространство решений однородного уравнения свертки, в роли такой функции выступала характеристическая функция оператора свертки). Мы также приведем подобные традиционные условия. Но прежде докажем один вспомогательный результат, касающийся аппроксимации плюрисубгармонических функций логарифмом модуля целой и основанный на результате работы Юлмухаметова Р.С. [39].
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ИЗ €п
73
Лемма 14. Пусть F — целая функция в Сп порядка не выше один (не обязательно конечного типа при порядке один ), ф — плюрисубгармоническая функция, число d > 0 и выпуклый компакт L С Сп таковы, что
u(z) ^ d + HL(z), hspace5mmz G Cn,
где и = ln |F| + ф. Тогда существует целая функция экспоненциального типа р, обладающая следующими свойствами:
1) р/F — целая функция;
2) hv(z) ^ HL(z), z G Cn;
3) Для любой точки я G S существует последовательность {zk} G Ф0(?) такая, что
limk ^ <x>lzkl | ln l^(zk)| - u(zk)| = 0.
Доказательство. Согласно условию леммы существуют постоянные А, В,С, D > 0 такие, что для р = 1 + 1/16 и всех z G Cn
ф(г) + ln |F(z)l ^ A + Blzlp, ln |F(z)l ^ С + DlzlP.
Тогда по лемме 7 для некоторых a,b > 0 будет выполнено неравенство:
ф(г) ^ а + blzlp, z G Cn.
Этого достаточно для применения теоремы 3 из работы [39] к функции ф. Согласно этой теореме найдется целая функция ф, обладающая свойством
| ln 1ф(г)1- ф(г)1 ^ с(1 + lzl)4/5+1/10, z G Cn \ Е, (65)
где Е — множество в Сп, которое может быть покрыто системой шаров B(yi,ri), i > 1, так, что ri ^ lyil/2, г > 1,
/ П2п— 1 \
£ « КЙЫ)) ■ °- {бе,)
R/2^\yi\^R К У U
и ft, с — некоторые положительные постоянные (оценка г\ ^ lVil/2 отсутствует в формулировке цитируемой теоремы, однако, она используется при построении системы шаров В(уг,Гг)). Кроме того, согласно соотношению (16) из работы [39] для функции ф имеет место оценка сверху:
ln l.;-(;)l ^ + а(1 + j;z g C",
(67)
74
А.С. КРИВОШЕЕВ
где с1 > 0, 7 = 7/5р и
</Ф) = / + (1 + \г\)1-'/Б0«(ксП<М0, (68)
5(0,1)
а a(t) — неотрицательная бесконечно дифференцируемая на вещественной оси функция, равная нулю вне интервала (0,1) и такая, что
о
un J a(t2)t2n-1dt = 1, (69)
1
ип — площадь поверхности единичной сферы в Cn = Ж2п.
Положим p = Fp. Тогда p/F — целая функция. Докажем, что p имеет экспоненциальный тип. Фиксируем z Е Сп. В силу неравенства о среднем для субгармонической функции q(q) = in \F(z + (1 + \z\1-p/5)s)\ имеем:
in 1^(z)\ = q(0) ^ ^ ^2n-1 J q(S)du(q),t> 0,
s(o,t)
где du — стандартная поверхностная мера в Cn = R2ra. Отсюда с учетом (69) получаем оценку
in \f(-)i ^ J 5(e)«(i5i2то-
В(0,1)
Вместе с (67) и (68) это дает нам неравенство:
in\p(*0\ <^'(z) + C1(1 + \z\)27/3 + J q(0a(\£\2)d<J(0 =
B(0,1)
= / № + (1 + \z\)1-^/5o+in\f(Z + (1 + \z\1-p/5)t)ие\2)^(£)+
B(0,1)
+d(1 + \z\)2"/3 = J u(z + (1 + \z\)1-p/50a.№2)da(0 + d(1 + \^\)2"/3, z Е <C\
В(0,1)
Пусть m> 0 такое, что sup HL(w) ^ т. Тогда имеет место неравенство HL(w) ^ m\u>\,
w£S
w Е Cn. Поэтому из предыдущего и оценки на и в условии леммы получаем:
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ИЗ €п
75
ln I^(z)I ^ d J а(^ Б(о,1)
+ sup mIwI a(I^I2)da(^) + c1(1 + IzI)2t/3, z еС wes(.z+(1+|.z|)1-p/6 J
В(о,1)
Поскольку 1 - p/5 < 1 и 27/3 = 14p/15 < 1, то отсюда следует, что
ln I<p(z)I ^ а' + Ъ'IzI, z еСп,
где а!,Ь' — некоторые положительные постоянные. Таким образом, ip — целая функция экспоненциального типа. Согласно определению индикатора получаем: h^(z) ^ b'IzI, z е Сп. Покажем, что выполнен пункт 2) из утверждения леммы. Предположим, что в некоторой точке го
h^) > Hl^). (70)
В силу положительной однородности индикатора и опорной функции можно считать, что го принадлежит сфере S. Учитывая непрерывность опорной функции ограниченного множества, выберем £, 8' так, что
hv (го) >Hl(z) + 19e, геВ (^о, 45'). (71)
Согласно определению функции hv найдем последовательность точек Хк, сходящуюся к го, и неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел [tk}, для которых выполнены неравенства
ln [p(tk Хк )I/tk > h^(zo) - £, к = 1, 2,... (72)
По свойству индикаторов (см., например, [1]) существуют постоянные 8 е (0, S') и Т > 0 такие, что верна оценка:
ln Iip(tz)I/t ^ ^(го) + е, z е В(го, 8eS),t > Т. (73)
Очевидно, можно считать, что 8 < 1/30. Выберем номер ко из условий Ixk - z0| < 8, tk > Т и tk > Ко для всех к > ко, где Ко > 0 удовлетворяет неравенству
р/ 1п(До + е) < (S/6)2n~1.
76
А.С. КРИВОШЕЕВ
Фиксируем к > к0. Через Jk обозначим совокупность всех индексов г, для которых шар B(yi,ri) пересекает множество В (tk Хк, 38tk) \ B(tk Хк, 28tk). Пусть Mi, i Е Jk, — площадь центральной проекции Si шара В(yi,Ti) на сферу S(tkХк, 38tk) (Si состоит из точек £ Е S (tk Хк, 38tk) таких, что луч Л = tk Хк + а;£, а > 0, пересекает В (yi ,Г;)). Покажем, что общая площадь проекций ^ Mi меньше, чем площадь сферы S(tkХк, 38tk).
к
Пусть г Е Jk. Поскольку г\ ^ \у%/2\, 8 < 1/30, а шары В (yi,fi) и В (tk Хк, 38tk) пересекаются, то верно неравенство
^ > (1 - 38)tk > 10tk > 10R0. (74)
Тогда в силу выбора числа R0 для R = 2\у^\ > R0 получаем: Vi ^ 8\yi\/3. Отсюда, с одной стороны, с учетом того, что не пусто пересечение B(yi,ri) П В (tk Хк, 38tk), имеем:
88Ы/90 ^ (1 - 8/3)\уг\ ^ (1 + 38)tk ^ 11tk/10, (75)
а с другой стороны, учитывая еще, что общие точки имеют шар В(yi,fi) и множество В (tk Хк, 38tk) \ В (tk Хк, 2Stk) ( одну из них обозначим W), для каждого z Е B(yi, Vi) получаем неравенства:
\z — tz Хк\ = \w — tk Хк \ — \z — w\ > 2Stk — 2Ti > 28tk — 28\yi\/3 > 28tk — 2 ■ 98tk/ (8 ■ 3) > 8tk.
Это означает, что шар В(yi,ri) лежит вне шара B(tkХк,8tk). Следовательно, площадь Mi проекции В(yi,r'i) на сферу S(tkХк, 38tk) не превышает площади поверхности шара с радиусом 3гi, т.е.
Mi ^ un(3ri)‘2n '^, i Е Jk.
В силу (74) и (75) все числа \yi\, г Е Jk, лежат на отрезке [3tk/5, 9tk/8], который является частью отрезка [9tk /16, 9tk/8]. Поэтому с учетом выбора числа R0 и номера к0 согласно (66) для R = 9tk/8 получаем:
/ 9 г. \ 2п— 1 Mi ^ ип (3г\)2п—-1 ^ 8^) ^ un(35tk)2n—1.
/ , +Yj-i , у-” г I о г.
86
i^Jk R/2^\Vi\^R
Таким образом, общая площадь проекций Si, г Е Jk, меньше, чем площадь сферы S (tk Хк, 38tk), и мы можем выбрать точку Як Е S такую, что tk Хк + 38tk Як Е S (tk Хк, 38tk) не попадает ни в одно Si, г Е Jk. Тогда по построению интервал
(й, &) = {С = tkxk + аяк : а Е (28tk, 38tk)}
не пересекается с шарами B(yi,ri), г Е Jk, а следовательно, и с множеством Е. Покажем теперь, что в одной из точек этого интервала p(z) имеет подходящие для нас оценки снизу. В связи с этим рассмотрим функцию f (z) = p(z)/p(tkХк). Из (72) и (73) следует, что
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ИЗ €п
77
ln If (z) I ^ 2etk, z е B(tk Xk, 6e5tk) С B(tk ^, 8e5tk).
Тогда по лемме 6 для ^ = 1/36 существует тк е (28tk, 38tk) такое, что
ln If (wk)I > -(4 - lnr))2etk > -16etk,
где Wk = tkxk + rkqk. Отсюда с учетом (72), (71), включения wk е B(tkzo, 48tk), к > ко, и однородности опорной функции получаем оценку
ln Ip(wk)I > (h^^) - 17e)tk > (Hl(wk/tk) + 2e)tk = HL(wk) + 2etk, к > ко. (76)
С другой стороны, поскольку Wk лежит на интервале ^k,£k, а потому не содержится в Е, то согласно (65) и оценке на и из условия леммы имеем:
ln I<p(wk)I ^ u(wk) + с(1 + Iwk|)9/10 ^ d + HL(wk) + с(1 + Iwk|)9/10 ^ HL(wk) + ejwkI для достаточно больших номеров к. Это противоречит (76), т.к.
Iwk I ^ tk Ы + 48tk ^ (1 + 2/15)ik.
Следовательно, (70) неверно и пункт 2) доказан. Остается показать, что выполнен также и пункт 3). Используя рассуждения, аналогичные тем, что были проведены выше (относительно проекций исключительных шаров В(уг,Гг) на сферу), нетрудно показать, что для каждого m > 1 найдется число R(m) > 0 такое, что для всех z с условием IzI > R(m) на сфере S (z, Iz I/m) существует точка w, не принадлежащая множеству Е. Фиксируем Я е S и m > 1. Для каждого номера к такого, что R(m) ^ к < R(m +1), выберем точку Zk е S(кя,к/т), не принадлежащую множеству Е. Легко заметить, что полученная таким образом последовательность [zk} принадлежит Фо(?). В силу же (65) выполнено соотношение
lim \zkI 1I ln I<p(zk)I- u(zk)I = 0.
k^-ж
Лемма доказана.
Пусть D — выпуклая область, [Кт} — последовательность выпуклых компактов, исчерпывающая ее, W — нетривиальное замкнутое главное инвариантное подпространство в Н(D), допускающее спектральный синтез. Для каждого номера т введем функцию
фт(г) = limsup[ln \^(£)I - ln iFw(C)I : <P е Iw, ln \^(У)\ < Нкт(У), Vy}.
78
А.С. КРИВОШЕЕВ
Функции ln l^(^)l — ln lFw(£)l плюрисубгармоничны (поскольку p принадлежит пространству Iw и потому делится на Fw), а по лемме 7 семейство в фигурных скобках ограничено на каждом компакте. Следовательно, рт — плюрисубгармоническая функция.
Теорема 4. Пусть D — выпуклая область в Cn, W — нетривиальное замкнутое главное инвариантное подпространство в Н(D), допускающее спектральный синтез; G — выпуклая подобласть D(W), содержащая D, такая, что множество S П £ \ тЮв замкнуто. Следующие утверждения эквивалентны:
а) Каждая функция из W аналитически продолжается в область G и аппроксимируется там линейными комбинациями элементов из Е(W).
б) Для любого компакта S0 С S\£ и любого номера т существует целая функция р G Iw такая, что
К(я) > НКт(я), я G S0. (77)
в) Для любого компакта S0 С S \ £ и любого номера т существует номер р такой, что
hup (я) > НКт (я), я G So,
где Up = ln |F^ l + pp.
Доказательство. а)^б). Пусть выполнено утверждение а). Тогда по теореме 3 для любого компакта S0 С S \ £ и любого номера т существуют плюрисубгармоническая в Сп функция ф, окрестность П компакта S0 и постоянная Т > 0 такие, что
hu(z) < HD(z), z G Cn \ {0}, где и = ln lFwl + ф\
u(z) > HKm(z), Nz : z/lz|g П, |z| > T. (78)
В силу первого неравенства
u(z) ^ d + HL(z), z G Cn,
где d > 0 и L — некоторый выпуклый компакт в области D. Тогда по лемме 14 существует целая функция экспоненциального типа р , обладающая свойствами 1)-3) из утверждения этой леммы. Поскольку W допускает спектральный синтез, то из свойств
1) и 2) следует, что р G Iw. В силу свойства 3) с учетом (78) и непрерывности опорной функции компакта для любой точки q G S0 существует последовательность {zk} G Ф0 (^) такая, что
hmk^Zk| —1 ln lP(zk)| > HKm(я). (79)
Покажем, что это неравенство влечет за собой (77). Предположим противное, т.е. Ь^(я) < Нкт(?) — 2е для некоторых е > 0 и q G S0. Тогда согласно предложению 9.3 из работы [7] существуют 8 > 0 и последовательность {tj}”= такие, что tj ^ и
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ИЗ €п
79
ln Mtj V)/tj \ ^ Нкт (я) - 2£,v е В (я,5), j = 1,2,...
Отсюда, уменьшая, если это необходимо, 8 > 0, легко получить следующее:
ln Mz)I/\z\ ^ Нкт (Я) - e,z е B(tj q,8tj), j = 1 2,...
Это неравенство вместе с (79) означает, что точки Zk для всех достаточно больших номеров к не принадлежат ни одному из шаров B(tjя,5tj), j = 1, 2,... По определению множества Фо(?) найдем ко такое, что
j^k+11 < (1 + $/2)\zk j, \zk/\zk j - я j < S/2, к > ко. (80)
При этом, как было отмечено, можно считать, что, монотонно возрастая, \zk\ ^ +то. Таким образом, для некоторого Jo и каждого j > jo найдется номер kj > ко такой, что верны неравенства \zkj \ ^ tj ^ \xkj+1| и точки zkj, zkj+1 не принадлежат шару В(tj^,8tj). Используя первое неравенство в (80), получаем:
tj/\zkj \ ^ \zkj + 1 \/\zkj \ < 1 + $/2.
Отсюда следует, что
\zkj I ^ tj < \zkj I + 6\zkj |/2 ^ \zkj j + 5tj/2.
Учитывая теперь второе неравенство в (80), имеем:
\zkj - tj я \ ^ \zkj \\zkj/\zkj \ - ? \ + \ \zkj\я - tj я \ < 5\zkj |/2+ +5tj/2 ^ 8tj/2 + 8tj/2 = 8tj.
Это означает, что точка Zk■ принадлежат шару B(tjя,Stj). Полученное противоречие завершает доказательство.
б)^в). Пусть р е Iw удовлетворяет (77). Так как Iw С PD, то по определению пространства Pd найдутся номер р и число с > 0 такие, что
|^(z)| ^ с exp HKp(z), z е С™.
Тогда по определению фр и нижнего индикатора с учетом (77) получаем:
hUp(я) > Ъ4р/с(Я) > Нкт (Я),Я е Бо.
80
А.С. КРИВОШЕЕВ
в)^а). Если имеет место утверждение в), то выполнено и утверждение б) из теоремы
3. Действительно, достаточно заметить, что для любого номера р верно неравенство
hUp(z) <HD(z), z G C \{0}.
Тогда по теореме 3 выполнено и утверждение а). Теорема доказана.
Рассмотрим теперь отдельно случай ограниченной выпуклой области. В этом случае можно дать более простые по форме критерии продолжения функций из главных инвариантных подпространств.
Пусть D — ограниченная выпуклая область, W — нетривиальное замкнутое главное инвариантное подпространство в Н(D), допускающее спектральный синтез. Введем функции
^o(z) = limsup{ln )l — ln lFw(£)| : <р G Н(Cn),ip/Fw G Н(Cn), ln \^(у)\ ^ HD(у), Уу}.
По тем же соображениям, что и для фт, функции ф0, ф'0 являются плюрисубгармониче-скими в Сп. Непосредственно из определений следует неравенство ф0(г) ^ ф'0(z), z G Cn. Возникает естественный вопрос: можно ли неравенство заменить на равенство? Ответ на этот вопрос требует дополнительных исследований, которые выходят за рамки данной работы.
Теорема 5. Пусть D — ограниченная выпуклая область в Cn, W — нетривиальное замкнутое главное инвариантное подпространство в Н(D), допускающее спектральный синтез; G — выпуклая подобласть D(W), содержащая D. Следующие утверждения эквивалентны:
а) Каждая функция из W аналитически продолжается в область G и аппроксимируется там линейными комбинациями элементов из Е(W).
б) Для любого компакта S0 С S \ £ и любого номера т существует число R > 0 такое, что (и'0 = ф0 + ln lFwl)
u'o(z) > HKm(z), "iz : z/\z\ G So, lz > Rl
в) Существует целая функция экспоненциального типа р такая, что
1) р делится на Fw,
2) h!p(z) ^ HD(z), z G Cn,
3) hv(q) = hv(q) = HD(я), я G S \ £.
г) hU0(я) = hU0(я) = HD(я), я G S \ £, где uo = Ф0 + ln\Fwl.
д) Существует плюрисубгармоническая функция ф такая, что
1) hu(z) ^ HD(z), z G Cn, где и = ф + ln \ Fwl;
2) К(я) = К(я) = HD(я), я G S \ £.
Доказательство. а)^б). Если выполнено утверждение а), то по пункту в) теоремы 3 существует плюрисубгармоническая в Сп функция ф и постоянная Т > 0 такие, что верны неравенства:
hu(z) < HD(z), z G Cn \ {0},m = ln \Fw| + ф;
(81)
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ИЗ €п
81
u(z) > НКт+1 (z), Vz : z/\z\ Е 50, \z\> Т. (82)
В силу (81) найдется с > 0 такое, что
u(z) ^ с + Ни(z), z Е Сп.
Тогда по определению ф'0 с учетом (82) имеем:
u0(z) > u(z) - с > HKm+i(z) - с, Vz : z/\z\ Е S0, \z\ > Т.
Поскольку компакт Кт лежит во внутренности Кт+1, то
HKm+i (z) - с > НКт (z), Nz : \z\ > R,
для некоторого R > Т. Это дает нам требуемую оценку.
б)^в). Из определения ф!0 следует, что
u'0(z) ^ HD(z), z Е Cn.
Тогда согласно лемме 14 существует целая функция экспоненциального типа p, обладающая свойствами 1), 2) из утверждения в) и такая, что для любого я Е S найдется последовательность {zk(?)} Е Ф0(?), на которой
lim \zk\—1\ in\p(zk(?))\ - u0(zk(я))\ = 0.
к^ж
Отсюда с учетом утверждения б) и того, что {Кт} — исчерпывающая последовательность компактов в D, получаем неравенство
Шк^ж^я)\—1 in\p(zk(я))\ > HD(я), я Е S \ S. (83)
Покажем, что подобные последовательности {zk(?)} Е Ф0(?) существуют и для точек множества d(S \ £). Фиксируем я Е д(S \ S) и выберем последовательность {^р} С S \ S, сходящуюся к я. Требуемую последовательность {zk(я)} Е Ф0(?) будем составлять из точек Zk(яР), р,к > 1. Согласно (83) и определению Ф0(^) для каждого р > 1 найдем номер к0(р) такой, что при к > к0(р) имеют место соотношения
\zk(?р)\—1 in\p(zk(?р))\ > HD(яр) - 1/р, (84)
\zk(яР)\ > p, \гк+1(яР)\/\zk(яР)\ ^ 1 + 1/p, \zk(яР)/\zk(яР)\ - яР\ ^ 1/р. (85)
82
А.С. КРИВОШЕЕВ
Кроме того, выберем номер к1(р) > к0(р) так, что
\zki(р)(^р)| > \zko(p+1)(Sp+1 ^. (86)
Перенумеруем по порядку точки zko(p)^p),... , zк1(р)(яр), начиная с р = 1, и обозначим их ^(я),Z2(s), . . ., т.е. положим Z^S) = Zk0(1)(s1), . . . , zkl(1) — ka(1)+1(s) = Zkl(1)(s1), Zkl(1)—ka(1)+2(s) = = zk0(2)(^2) и т.д. В силу (85) и (86) последовательность {zk(я)} принадлежит Ф0(с), а из (84) и непрерывности функции Но следует неравенство
\vmk^\zk(я)|—1 ln\фк(я^ > HD(я).
Последнее с учетом (83), как и при доказательстве импликации а)^б) в теореме 4, означает, что hu,< (я) > Но (я) для всех я G S \ £. Поскольку нижний индикатор не больше, чем верхний, то с учетом свойства 2) получаем свойство 3) из утверждения в).
Импликация в)^д) очевидна.
а)^т). Пусть выполнено утверждение а). Тогда по теореме 4 выполнено и утверждение в) этой теоремы, которое с учетом определения функций ф0,фр и того, что {Кт} — исчерпывающая последовательность компактов в D, дает оценку
hu,o(я) > HD(я), я G S \ £.
Эта оценка согласно лемме 2.7 в работе [30] означает, что для любого я G S \ £ найдется последовательность {zk(с)} G Ф0(с), на которой
)шк^\гк(я)\—1щ(гк^ > HD(я).
Отсюда, как и при доказательстве импликации б)^в), получаем требуемые соотношения для функции и0.
Импликация г)^д) очевидна.
д)^а). Пусть выполнено утверждение д). Достаточно показать, что тогда выполнено и утверждение б) теоремы 3. Докажем это. Фиксируем номер т и точку я G S \ £. Выберем £ > 0, удовлетворяющее условию
НКт(z) + 2e\z\ ^ HD(z), z G Cn. (87)
Пусть ip G Iw. Тогда ln \ <p\ = ln \ Fw\ + ф', где ф1 — плюрисубгармоническая функция, и для некоторого компакта L С D и d > 0 верна оценка
ln\<p(z)\ = ln\FW(z)\ + ф'(z) ^ d + HL(z), z G Cn. (88)
Заменяя, если это необходимо, функцию ф1 на другую плюрисубгармоническую функцию, согласно лемме 9 можно считать, что
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ИЗ €п
83
ln\Fw(i£)I + ) > -аог, t > Т, (89)
где ао, Т — положительные постоянные. При этом сохранится оценка (88), возможно лишь с другим компактом L С D. Выберем т е (0,1) так, что
тао ^ £, тЬ ^ £, (90)
где b = sup HD (w). Положим |w|=1
A,m(z) = Т’ф'(г) + (1 - т)ф(г).
Тогда из определения верхнего индикатора, (88), свойства 1) функции и с учетом того, что L — компакт в области D, получаем:
hu^m (z) ^ rh^(z) + (1 - т)hu(z) < Hd(z),z е Cn \ [0},
где щ,т = ln \Fwj + фя,т . Кроме того, в силу свойства 2) функции и, (87), (89) и (90) с учетом определения нижнего индикатора имеем:
кщ>т (я) > тНлр(я) + (1 - т)hu(q) > -е + Hd(я) - е > Нкт(я).
Таким образом, теорема полностью доказана.
В заключение приведем еще один результат о принудительном аналитическом продолжении, в котором утверждается, что при условии продолжения функций из W С Н(D) в выпуклую область G эти функции автоматически продолжаются в некоторую максимальную выпуклую область, построенную по D и G (в так называемую £-оболочку D).
Пусть D, G — выпуклые области и D С G. Положим
G(D) = [z : Re (z,0 < Hd(£U е £}.
Нетрудно видеть, что, G(D) является выпуклой областью.
Лемма 15. Пусть D, G — выпуклые области и D С G. Тогда G С G(D) и имеет, место равенство: £(D, G) = £(D, G(D)).
Доказательство. Пусть z е G. Тогда Re (z,£) < Но(£),£ е S. Следовательно, в силу определения £(D,G) получаем:
Re (Z,£) <HG(0 = Hd(£),£е £(D,G).
Это означает, что z е G(D). Таким образом, G С G(D).
Из последнего вложения следует, что
84
А.С. КРИВОШЕЕВ
Hd (£) < HG(0 ^ HG{D)(C), С ев \ ~(D,G).
Поэтому E(D,G(D)) С E(D,G). Пусть теперь £ е 5(D,G). По определению G(D) имеем: Hg(D)(£) ^ HD (£). С другой стороны, в силу вложения D С G(D) верно и обратное неравенство: HD(£) ^ HG(D)(£). Таким образом, HG(D)(£) = HD(£), т.е. £ е 5(D,G(D)). Лемма доказана.
Теорема 6. Пусть D,G — выпуклые области, D С G и множество S П 5 \ int@D замкнуто. Пусть далее W — нетривиальное замкнутое инвариантное подпространство в Н(D), допускающее спектральный синтез. Предположим, что каждая функция из W аналитически продолжается в область G и аппроксимируется там линейными комбинациями элементов из Е(W). Тогда каждая функция из W аналитически продолжается в область G(D) и аппроксимируется там линейными комбинациями элементов из Е (W).
Доказательство. Если условия теоремы выполнены, то согласно теореме 4 будет выполнено и утверждение б) этой теоремы. По лемме 15 5(D,G) = 5(D,D(G)). Поэтому будет выполнено утверждение а) теоремы 4, где в качестве области G нужно взять G(D). Теорема доказана.
Замечание. Область G(D), вообще говоря, не совпадает с областью G. К примеру, рассмотрим какой-нибудь треугольник. В качестве D возьмем круг, вписанный в треугольник, а в качестве G — произвольную выпуклую область, содержащую D и содержащуюся в треугольнике, граница которой пересекается с границей круга лишь в точках касания последнего с границей треугольника. Областью G(D) в этом случае будет сам треугольник, который, безусловно, не обязан совпадать с G.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. 1982.
2. J. Hadamard Essai sur l’etude des functions donnes par leur developpement de Taylor jj J. Math. Pures Appl. Ser., 4:8. 1892. P. 101-106.
3. E. Fabry Sur les points singuliers d’une function donnee par son developpement de Taylor jj Ann. Ecole Norm. Sup., 13. 1896. P. 367-399.
4. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный анализ на выпуклых областях jj Матем. сб. Т. 87, вып. 4. 1972. С. 459-489.
5. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях jj Матем. сб. Т. 88, вып. 1. 1972. С. 3-30.
6. Юлмухаметов Р.С. Однородные уравнения свертки jj ДАН СССР. Т. 316, вып. 2. 1991. C. 312-315.
7. Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки jj Усп. матем. наук. Т. 47, вып. 6. 1992. С. 3-58.
8. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез и аналитическое продолжение jj УМН. Т. 58, вып. 1. 2003. С. 33-112.
9. G. Polya Uber die Exstenz unendlich vieler singularer Punkte auf der Konvergenzgeraden gewisser Dirichlet’sher Reihen jj Sitzungber. Preu. Akad. Wiss. 1923. P. 45-50.
10. G. Polya Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Luckensatzes jj Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl. 2. 1927. P. 187-195.
11. V. Bernstein Lecons sur les progress de la theorie des series de Dirichlet jj Paris: Gauthier-Villars. 1933.
12. A. Ostrowski Uber die analytishe Fortsetzung von Taylorshen und Dirichlet’sher Reihen jj Math. Ann. 129. 1955. P. 1-43.
13. Леонтьев А.Ф. О классе функций, определенных рядом полиномов Дирихле jj УМН. Т. 3, вып. 4. 1948. С. 3-58.
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ ИЗ €п
85
14. Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения jj Труды МИАН. Т. 39. 1951.
С. 1-215.
15. J.P. Kahane Sur quelques problemes d’unicite et de prolongement, relatifs aux fonctions approchables par des sommes d’exponentielles jj Ann. Inst. Fourier. 5. 1953-1954. P. 39-130.
16. Леонтьев А.Ф. О сходимости последовательности полиномов Дирихле jj ДАН СССР. Т. 108, вып. 1. 1956. C. 23-26.
17. Леонтьев А.Ф. Новое доказательство одной теоремы о сходимости последовательностей полиномов Дирихле jj УМН. Т. 12, вып. 3. 1957. C. 165-170.
18. Леонтьев А.Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси jj ИАН СССР. Сер. матем. Т. 29. вып. 2. 1965, С. 261-328.
19. L. Schwartz Etude des sommes d’exponentielles jj Paris: Hermann. 1959.
20. A. Baillette Approximation de fonctions par des sommes d’exponentielles jj C.R. Acad. Sci. Paris. 249. 1959. P. 2470-2471.
21. A. Baillette Fonctions approchfbles par des sommes d’exponentielles jj J. Anal. Math. 10. 19621963. P. 91-115.
22. Красичков-Терновский И.Ф. Сходимость полиномов Дирихле jj Сиб. матем. жур. № 7. 1966. С. 1039-1058.
23. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. Аналитическое продолжение jj Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 37, вып. 4. 1973. С. 933-947.
24. Кривошеев А.С. Аналитическое продолжение функций из инвариантных подпространств в выпуклых областях комплексного пространства jj Изв. РАН. Сер. матем. Т. 62, вып. 2. 1998. С. 75-102.
25. Кривошеев А.С. Аналитическое продолжение функций из инвариантных подпространств jj Докл. РАН. Т. 386, вып. 4. 2002. С. 450-452.
26. Кривошеев А.С. Критерий аналитического продолжения функций из инвариантных подпространств в выпуклых областях комплексной плоскости jj Известия РАН. Сер. матем. Т. 68, вып. 1. 2004. С. 45-81.
27. C.O. Kiselman Prolongement des solutions d’une equation aux derivees partielles a coefficieents constants jj Bull.Soc. Math. France. 97. 1969. P. 329-354.
28. A. Sebbar Prolongements des solutions holomorphes de certains operateurs differentiel d’ordre infini a coefficients constants jj Lecture Notes in Math. 822. 1980. P. 199-220.
29. A. Meril, D.C. Struppa Convolutors of holomorphic functions jj Lecture Notes in Math. 1276. 1987. P. 253-275.
30. Кривошеев А.С. Об индикаторах целых функций и продолжении, решений однородного уравнения свертки jj Матем. сб. Т. 184, вып. 8. 1993. С. 81-108.
31. R. Ishimura, Y. Okada The existence and the continuation of holomorphic solutions for convolution equations in tube domains jj Bull. Soc. Math. France. 122. 1994. P. 413-433.
32. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука. 1985.
33. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука. 1971.
34. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир. 1969.
35. Гротендик А.О. О пространствах (F) и (DF) jj Сб. Математика. Т. 2, вып. 3. 1958.
С. 81-127.
36. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. I. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир. 1986.
37. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. М.: Мир. 1989.
38. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983.
39. Юлмухаметов Р.С. Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности jj Известия РАН. Сер. матем. T. 60, вып. 4. 1996. С. 205-224.
40. Кривошеев А.С. Инвариантные подпространства в выпуклых областях из Cn.I. jj Уфимский математический журнал. T. 1. № 2. 2009. С. 53-75.
86
А.С. КРИВОШЕЕВ
Александр Сергеевич Кривошеев, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,
450008, г. Уфа, Россия
E-mail: [email protected]
