CC BY
38
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 3 (2013). С. 96-120.
УДК 517.5
ЗАМКНУТОСТЬ МНОЖЕСТВА СУММ РЯДОВ ДИРИХЛЕ.
Аннотация. В работе рассматриваются ряды Дирихле. Изучается проблема замкнутости множества сумм таких рядов в пространстве функций аналитических в выпуклой области комплексной плоскости с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах. Получены необходимые и достаточные условия, при которых каждая функция из замыкания линейной оболочки системы экспонент с положительными показателями представляется рядом Дирихле. Эти условия формулируются только при помощи геометрических характеристик последовательности показателей и выпуклой области.
Ключевые слова: экспонента, выпуклая область, ряд Дирихле, целая функция, инвариантное подпространство.
Mathematics Subject Classification: 41A05, 41А30.
1. Введение
Пусть Л = (Afc}^=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел. В работе рассматриваются ряды Дирихле
Известно (см., например, [1], гл. II, §1, п. 4), что при некотором естественном условии на показатели Ак ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на компактах в полуплоскости {z Е C : Rez < y} к аналитической функции и расходится в полуплоскости {z Е C : Rez > y}. Число y называемое абсциссой сходимости, вычисляется по формуле, которая является аналогом формулы Коши-Адамара для степенных рядов (см., например, [1], гл. II, §1, п. 4, теорема 2.1.2). Отметим еще, что разложение функций в ряд Дирихле всегда единственное (см., например, [1], гл. II, §1, п. 3).
Пусть D — выпуклая область в C и H(D) обозначает пространство функций, аналитических в D с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах из D. Цель работы — выяснить условия, при которых совокупность сумм рядов (1), полуплоскости сходимости которых содержат область D, является замкнутым подмножеством пространства H(D).
Эта совокупность содержит линейную оболочку системы E = {exp(Afcz)}^=1, а сама является частью подпространства W(A,D) — замыкания в H(D) линейной оболочки E. Подпространство W(A,D) замкнуто и инвариантно относительно оператора дифференцирования. Система E представляет из себя набор собственных функций этого оператора в W(Л,D), а последовательность Л является его спектром. Из определения подпространства W(Л, D) сразу вытекает, что оно допускает спектральный синтез, т.е. каждая его функция есть предел линейных комбинаций собственных функций. Легко заметить, что
A.S. Kriyosheyey, O.A. Kriyosheyeya, A closedness of set of Dirichlet series sum.
© Кривошеев А.С., Кривошеева О.А. 2013.
Работа выполнена при поддержке программы ФЦП (соглашение № 14.В37.21.0358).
Поступила 28 мая 2013 г.
А.С. КРИВОШЕЕВ, О.А. КРИВОШЕЕВА
ГО
(1)
замкнутость в И(Д) множества сумм рядов (1) эквивалентна тому, что каждая функция из Ш(Л,Д) представляется рядом (1), который равномерно сходится на компактных подмножествах области Д. Если Ш(Л, Д) нетривиально (т.е. система Е не полна в И(Д)), и выполнено последнее, то говорят, что в подпространстве Ш(Л,Д) имеет место фундаментальный принцип. Двойственной к проблеме фундаментального принципа в нетривиальном замкнутом инвариантном подпространстве в И(Д), допускающем спектральный синтез, является проблема интерполяции в пространстве целых функций экспоненциального типа, сопряженные диаграммы которых лежат в области Д. Исследования обеих проблем, проводившиеся вначале независимо друг от друга, имеют богатую историю. Обзор основных результатов, полученных в ходе этих исследований, имеется в работах [2] и [3]. Критерий фундаментального принципа (а вместе с ним и интерполяции) в произвольных нетривиальных замкнутых инвариантных подпространствах, допускающих спектральный синтез, в произвольных выпуклых областях получен в работах [3] и [4]. Однако этот критерий формулируется в терминах существования некоторого специального семейства целых функций, обращающихся в ноль в точках Л&, к > 1, и имеющих подходящие оценки снизу. В общем случае (особенно для неограниченных областей Д) остается открытым вопрос
о том, при каких условиях на последовательность Л и область Д существует подобное семейство функций.
В данной работе получено полное решение проблемы замкнутости множества сумм рядов (1) для произвольной выпуклой области Д и, в частности, проблемы фундаментального принципа в случае положительного спектра. При этом, в отличие от работы [3], используются простые геометрические характеристики последовательности Л.
Во втором параграфе собраны вспомогательные результаты. В частности, строятся указанные выше последовательности целых функций (леммы 7,9), а также целая функция из Ш(Л,С), которая не представляется рядом (1) ни в каком открытом подмножестве плоскости (лемма 3).
Основные результаты работы приведены в третьем параграфе (теоремы 1-4). В частности, здесь доказывается, что множество сумм рядов Дирихле, сходящихся в заданной полуплоскости, замкнуто тогда и только тогда, когда Бл > —то. Величина Бл введена в работе [3] (ее определение приводится во втором параграфе). Она схожа по смыслу с классическим индексом конденсации Бернштейна (см., например, [1], гл. II, §6, п. 2), но при этом, в отличие от последнего, эффективна для любой комплексной последовательности.
2. Предварительные результаты
Нам понадобятся некоторые сведения из теории целых функций экспоненциального типа, т.е. функций /, удовлетворяющих оценке: 1п |/(г)| ^ А + В|г|, г € С, где А, В > 0 зависят от /. Верхним и нижним индикаторами / (субгармонической функции 1п |/1) называются соответственно функции
-1п|/(*Л)| 1^ 1 (' 1п|/(^)!
hf(Л) = lim-----------, hf(Л) = lim lim —— / ---------dxdy, Л G C,
t^x t f ¿^0 ПО2 J t
B(X,S)
где z = x + iy. Из этих определений и теоремы Хартогса о верхнем пределе семейства субгармонических функций нетрудно получить неравенство hf (Л) ^ hf (Л), Л G C. Говорят (см. [5], гл. III), что f имеет (вполне) регулярный рост, если
j т inifаЛ)| л „
hf (Л) = lim ^ п, Л G C,
t^x,t(/E t
где E — множество нулевой относительной меры на луче (0, +то), т.е. мера Лебега его пересечения с интервалом (0, г) бесконечна мала по сравнению с г при г ^ +то. Имеется ряд других эквивалентных этому определений регулярности роста. Приведем одно из них.
Функция f называется (см. [6], гл. 4, определение 4.1) функцией регулярного роста, если
hf (A) = hf (A), A e C.
Верхний индикатор hf является выпуклой положительно однородной порядка один функцией, которая совпадает с опорной функцией выпуклого компакта K (точнее говоря, комплексно сопряженного с K компакта), называемого сопряженной диаграммой f (см., напр., [7], гл. I, §5, теорема 5.4 (Полиа)):
hf (A) = HK (A) = sup Re(Az), A e C.
zEK
Пусть Л = (Afc }^=i — последовательность комплексных чисел с единственной предельной точкой ТО. Символом n(^i,^2,r, Л) обозначим число точек Ak, попавших в сектор {A = e (^1,^2),t e (0,r)}. Говорят (см. [5], гл. II, §1), что Л имеет угловую плот-
ность (при порядке один), если для всех ^1,^2 за исключением, быть может, счетного множества существует предел
/ и т n(^i,^2,r, Л)
т(^1,^2,Л) = lim ---------------.
r
Множество Л называется правильно распределенным, если оно имеет угловую плотность и существует
lim V"1 —.
"“¿kr Ak
Согласно теореме 4 главы III книги [5] функция f имеет регулярный рост тогда и только тогда, когда ее нулевое множество (с учетом кратностей) является правильно распределенным. При этом, если K — сопряженная диаграмма f, то за исключением, быть может, счетного числа значений ^1,^2 верно равенство (см. [5], гл. II, §1, формула (2.07))
т Л) = 2ns(^1,^2,K), (2)
где s(<^1, <^2, K) — длина дуги границы dK, заключенная между точками опоры z(^1) e dK и z(^2) e dK соответственно опорных прямых /(^1) = {z : Re(ze*^x) = HK(e*^1)} и 1(^2) = {z : Re(ze*^2) = HK(e^2)}. За исключением не более чем счетного числа значений ^ (соответствующих прямолинейным участкам границы) опорная прямая /(^) имеет единственную точку опоры z(^). Из двух дуг, соединяющих точки z(^1) и z(^2), выбирается та, у которой каждая ее точка является точкой опоры некоторой прямой /(^) (зависящей от нее) со значением параметра ^ из отрезка [^1,^2]. В случае, когда K — отрезок длины т (и только в этом случае), величина дуги s(^1,^2,K), где ^1 и ^2 отличны от двух противоположных чисел и —^о, принимает лишь одно из трех возможных значений: 0, если интервал (^1, ^2) не содержит ни одно из этих чисел, т, если он содержит только одно из них, и 2т, если — <^о, ^0 e (<^1, ^2).
Пусть D — выпуклая область в C и H*(D) — пространство сильно сопряженное к H(D). Преобразование Лапласа f (A) = v(exp(Az)) устанавливает изоморфизм (см., например, [8], гл. III, §12, теорема 12.3) между H*(D) и пространством Pd, состоящим из целых функций экспоненциального типа, сопряженные диаграммы которых лежат в области D. По теореме Хана-Банаха, неполнота системы E = {exp(Akz)}^=1 в H(D) (т.е. нетривиальность W(Л, D)) равносильна существованию ненулевого линейного непрерывного функционала v e H*(D), который обращается в ноль на элементах системы. Таким образом, неполнота E равносильна существованию функции f e Pd , которая обращается в ноль в точках Ak, k = 1, 2,...
Пусть Л = {Ak}ro= 1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел и n(r, Л) обозначает число ее членов, попавших в полуинтервал (0, г].
Говорят, что Л имеет плотность т(Л) (измерима), если существует предел
/A4 т n(r, Л)
т(Л) = lim -------.
r^x г
Максимальной плотностью последовательности Л называется величина
/an —n(r,Л) - n((1 - О)г,Л)
то(Л) = lim lim 4 ’ '--------^.
¿^•0 r^-x Ог
Отметим, что согласно лемме из параграфа E3 главы VI книги [9] верхний предел по О ^ 0 в определении т0(Л) можно заменить на предел (т.е. он всегда существует). Положим
/ач т n(r, Л) ——n(r, Л)
т(Л) = lim -------, т(Л) = lim--------.
r^x r r^x r
Величины т(Л) и т(Л) называются соответственно нижней и верхней плотностью последовательности Л. Последняя является измеримой тогда и только тогда, когда т(Л) = т(Л). Нетрудно заметить, что верны неравенства
т (Л) ^ т (Л) ^ то (Л). (3)
Первое вытекает непосредственно из определений. Второе для случая т(Л) < +то следует
из соотношений
-n(r, Л) — n((1 — О)г, Л) —— n(r, Л) —— n((1 — О)г, Л)
lim------------------------ > lim —----------lim
r^x 0r r^x Or r^x Or
т (Л) (1 П((1 — ^ Л) т (Л) /1 т (Л) - /A4 0
= —— (1—(1 _ щу = —— (1 — 6)~т =т<Л)-0 >0-
Если же т(Л) = +то, то из последовательности Л нетрудно выделить подпоследовательность Л' со сколь угодно большой конечной верхней плотностью. Тогда по доказанному получаем: т(Л') ^ т0(Л') ^ т0(Л). Следовательно, т0(Л) = +то, т.е. неравенство (3) верно и в этом случае. Схожие выкладки показывают, что в случае, когда последовательность имеет плотность т(Л), верно равенство т0(Л) = т(Л). В общем случае второе неравенство в (3) может быть строгим. Действительно, рассмотрим следующий пример. Пусть Л = ux=^m, где Лт = {Лк, k(m) ^ k < k(m +1)}, Лк(т)+ = 10m + j, 0 ^ j < k(m +1) — k(m), m = 1, 2,..., и k(1) = 1, k(m +1) — k(m) = 10m-1 при m > 1. Непосредственным подсчетом нетрудно получить соотношения: т(Л) ^ 1/9, т0(Л) = 1.
Пусть Л = {Лк}xi — комплексная последовательность. Следуя работе [3], положим
j ^)= П (ЮрЛкг
Afc€B(Aj,S|Aj|),k=j V 1 k|
Здесь B(w,r) — открытый круг с центром в w и радиуса r. Модуль функции j(z,0) можно интерпретировать как меру сгущения точек Лк G B(Л^-, 01Лj|), k = j, около z. В случае, когда такие точки отсутствуют, считаем, что qj(z,0) = 1. Отметим, что модуль каждого из сомножителей в определении qj в круге B^j, 01Лj |) оценивается сверху величиной 2(3(1 — О))-1 (для О G (0,1)), т.е. при О G (0,1/3) он не превосходит единицы. Кроме того, если О1 ^ О2, то число сомножителей в определении (z,^i) не превосходит числа сомножителей в определении (z, О2), и каждый из сомножителей для (z, О1) по модулю не меньше соответствующего сомножителя для (z,$2). Таким образом, если
0 < О1 ^ О2 < 1/3, то |(z, О1)| > |(z, О2)|, z G B(Лj, О2Л|). Положим Sa = 0, если Л
состоит из конечного числа элементов, и
Sa = lim l—
¿^0 k^x | Лк |
в противном случае. Это определение корректно, поскольку согласно последнему неравенству предел по 8 всегда существует. В силу сказанного выше 5Д ^ 0. Отметим, что коэффициент 3 в определении дД выбран лишь для удобства (см. [3], замечание 1 к теореме 5.1). Он обеспечивает неположительность величины 5Д. Она схожа по смыслу с классическим индексом конденсации Бернштейна, но при этом эффективна для любой комплексной последовательности (а не только для измеримой положительной последовательности и комплексной последовательности нулевой плотности). Наряду с 5Д введем еще величину
¿д =11а_11ш1п ^(Лк,8>1.
¿^0 к^х 8|Лк|
Как и для $л, верно неравенство 5Д ^ 0. Если 5Д конечна, то, очевидно, 5Д = 0. В качестве примера рассмотрим последовательность положительных чисел Л = (Лк}£=1 такую, что
— Лк > к > 0, к = 1, 2,... Учитывая неравенство п! > (п/3)п, имеем:
töAk ,5)| — П
Am £B( Ak ,SAk) ,m<=k
Am Ak
35 Am
>
(m(k, 5)!hm(k,S))2 (m(k, 5)h)2m(k,S)
>
(35(1 + 5)Ak)2m(k,S) - (95(1 + 5)Ak)2m(k,S)
где m(k,5) — максимальное целое число, удовлетворяющее неравенству m(k,5)h < 5Ak. Следовательно,
~ 2m(k, 5) ln(m(k, 5) h/95 (1 + 5)Ak) 2 ln 9
¿>л — lim lim --------------—----------------- — - -
S—► 0 k—»oo
5Ak
h
Лемма 1. Пусть Л = {Лк}£=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел. Предположим, что 5Д > — то. Тогда максимальная плотность т0(Л) конечна.
Доказательство. Пусть 8 € (0,1). Используя определение дД, получаем:
ln |j(Aj,5)| = ln
С ln
П
Afc EB(Aj ,SAj ),k=j
Aj Ak 35 Ak
П
AfceB(Aj ,SAj ),k=j
35Ai
С
Aj
3(1 - 5)A,
(m(j,S)-1)
-(m(j,5) - 1)ln(3(1 - 5)),
где m(j,5) — число точек Ak, попавших в круг B(A,, 5Aj), т.е. m(j, 5) = n((1 + 5)A,, Л) — —n((1 — 5)A,, Л), если точка (1+5)A, не принадлежит Л, и число m(j, 5) на единицу меньше в противном случае. Следовательно, имеем:
5д = limüm ln |<?Л(Ak’5)| С lim lim - ln(3(1 - 5))m(j’5)
S ——0 k—x
5Ak
S—0 j—x
5A,
—limln(3(1 — 5)) lim
S—0 j—x
т(^\5) 5A,
— ln 3lim lim
S—0 j—x
n((1 + 5)|Aj|, Л) — n((1 — 5)|Aj|, Л) 5A, ■
Покажем, что двойной верхний предел в последнем равенстве оценивается снизу величиной т0(Л). Если т0(Л) = 0, то это очевидно. Для каждого 5 £ (0,1) через rk(5), k = 1, 2,..., обозначим последовательность, реализующую верхний предел по r ^ то в определении максимальной плотности. Пусть т0(Л) > 0. Тогда можно считать, что любой полуинтервал ((1 — 5)rk(5),rfc(5)] содержит некоторое ненулевое число точек последовательности Л. Произвольным образом выберем одну из них и через j(k, 5) обозначим ее номер. Поскольку Aj(fc,S) С rfc(5) С Aj(fc,S)/(1 — 5), то нетрудно заметить, что верно вложение ((1 — 5)rfc(5),rfc(5)] С ((1 — 5)Aj(fc,S), (1 + 5)Aj(fc,S)], где 5 = 5/(1 — 5). Следовательно,
... -----—n(r, Л) — n((1 — 5)r, Л) -— n(rk (5), Л) — n((1 — 5)rk (5), Л)
Т0(Л) = lim lim —-—-— -------------------------------------^= lim lim 1 ; ; kV ; С
S—0 r—x 5r S—0 k—x 5rk(5)
^ ^n((1 + ¿)A,-, Л) - П((1 - ¿)A,-, Л)
^ <5—>0 6 j—0 ^Aj
n((1 + 5)Aj, Л) - n((1 - 5)Aj, Л)
lim lim
¿^о г^х 5Л-,-
Таким образом, с учетом предыдущего получаем 5Д ^ — 1п3г0(Л). Отсюда следует требуемое утверждение. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть Л = {Лк}£=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел. Если 5Д > — то, то т(Л) < +то.
Доказательство. Предположим, что т(Л) = +то. Тогда для каждого А > 0 найдется подпоследовательность Л(А) последовательности Л такая, что верхняя плотность т(Л(А)) конечна и больше чем А. Фиксируем 8 € (0, 1) и А> 0. Имеем:
т(Л(А)) = птп(г Л(А)) ^ птп(г>Л(А)) — п((1 — 8)r, Л(А)) + цтп((1 — 8)r, Л(А)) =
г^-х Г г^-х Г г^-х Г
-п(г, Л(А)) — п((1 — 8)г, Л(А))
lim----------------------------------+ (1 - 6)т(Л(А)).
r—о Г
Отсюда для любого A > 0 получаем
-n(r, Л(А)) - n((1 - 6)r, Л(А)) т— n(r, Л) - n((1 - 6)r, Л)
6А ^ 6т(Л(А)) ^ lim----- ------------------- ---------^ lim
r—о r r—о r
Следовательно,
——n(r, Л) - n((1 - 6)r, Л) lim v ’ 7---= +to, 6 Є (0,1).
r—о r
Пусть 6 Є (0,1/2). Выберем последовательность rj ^ +то такую, что
п(г7, Л) - n((1 - 6)г7, Л)
lim v у----------------J_^_L = +то.
j—о rj
Можно считать, что для каждого j > 1 полуинтервал ((1 - 6)rj, rj] содержит некоторые точки последовательности Л. Пусть Ak. одна из таких точек. Тогда верно вложение ((1 - 6)rj,rj] С ((1 - 26)Afcj, (1 + 26)Afcj). Поэтому
mikj, 26) lim —- = +то,
j—o Afc.
где т(к, 28) определено в лемме 1. Как и в этой лемме, получаем
1
Следовательно, имеем
ln |q^ (Afc.,., 26)| ^ -(m(fcj, 26) - 1) ln(3(1 - 26)).
SV = l,m lim , l1mümln|qkJ(Ak,■ 26)1 <
¿—0 k—о Afc ¿—0 j—о Akj
і л / / і -(mikj, 26) - 1) ---(mikj, 26) - 1)
^ limln(3(1 - 26)) lim ------j--------= - ln 3 lim lim-----^---------= -то.
¿—0 j—о Akj ^—0 j—0 Akj
Это противоречит условию. Таким образом, т(Л) < +то. Лемма доказана.
Через S(z, r) будем обозначать окружность с центром в точке z и радиуса r > 0. Доказательство следующих двух утверждений основано на идеях доказательства теоремы 3.1 в работе [10].
Лемма 3. Пусть Л = {Ak}0=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел такая, что Sa = -то. Тогда существует целая функция g Є W(Л, C), которая не раскладывается в ряд Дирихле по системе E = {exp(Akz)}0=1 ни на каком открытом подмножестве плоскости.
Доказательство. Предположим вначале, что т(Л) < +то. По условию £д = —то. Поэтому найдутся последовательность положительных чисел |5Р} и подпоследовательность |Лк(р)} такие, что ^ 0 при р ^ то и
lim—
p^Q
— ТО.
Можно считать, что Рассмотрим функции
Afc(p)
Afc(p+i) > 2Afc(p), 5p < 1/4, р > 1.
(4)
(5)
1
exp(Az)dA
2ni J S(^fc(p) ,5^p^k(p))
Найдем оценки сверху на |gp|. Имеем
(A — Afc(p))q4(p)(A 5p)
р = 1, 2,...
>
кл^А)! =
4$pAk(p) 35p(1 + 5p)Ak(p)
П
Afc eB(Afc(p),5pAfe(p)),fc=fc(p) m(fc(p),5p)
A — Ak
35„A,
pAfc
>
> 1, A G S(Afc(p^ ^p^^)^
где m(fc(p),5p) определено в лемме 1. Следовательно, верны неравенства
!gp(z)| =
exp(Az)dA
2ni
(A — ^(p)^^^ 5p)
^ 5Afc(p)5p sup
AeS(Afc(p),55pAfc(p))
S( Ak(p) ,5^p Ak(p))
exp(Az)
^ sup |exp(Az)| ^
AeS’(Afc(p) ,55pAfc(p))
(A - Afc(p))
^ exp(Re(Afc(p)z) + 55pAfc(p)|z|), z G C
Рассмотрим функцию
ГО
g(z) = > Cpgp(z)
p=1
(6)
(7)
где cp = 'y/^jq^^p)(Afc(p)y^p)y, p > 1. Покажем, что этот ряд сходится равномерно на любом компактном подмножестве плоскости. Пусть R > 0. В силу (4) найдется номер pQ такой, что |cp| ^ exp(—2RAk(p)), р > pQ. Тогда с учетом (6) имеем
ГО ГО
У |cp| max |gp(z)| ^ A + ^ exp(—2RAfc(p) + RAfc(p) + 55pRAfc(p)) < +to.
|z|^R
p=1 p=po
Последняя оценка здесь выполнена благодаря неравенствам A&(p+1) > 2Afc(p), р > 1, и тому, что 5p ^ 0 при р ^ то.
Таким образом, функция g(z) является целой и лежит в пространстве W(Л, C). Предположим, что она представляется рядом (1) на некотором открытом подмножестве U С C, содержащем точку zQ. Тогда по теореме Абеля для рядов Дирихле (см., например, [1], гл. II, §1, п. 2) ряд (1) сходится равномерно на компактных подмножествах полуплоскости П = {z G C : Rez < RezQ}. На открытом подмножестве П П U его сумма равна g(z). Поэтому он сходится к g(z) во всей полуплоскости П. Поскольку верхняя плотность т(Л) конечна, то существует (см., например, [1], гл. IV, §1, п. 1) биортогональная к E последовательность функционалов {vk} С H*(П) С H*(C), т.е. vk(ежр^z)) = 1, к > 1, и
1
^(бхр(Л^-г)) = 0, если к = ^. Так как ряд (1) сходится в топологии пространства Н(П), то верны равенства
^ (д) = 4 , к > 1. (8)
Используя вычеты и определение функции др, получаем
#Р(г) = Ьк(р)вжр(Лк(р)г)+ ^ Ьй ехр(Лй г),
А&£((1—¿р)Л&(р),(1+^р)Л&(р)),к=к(р)
где Ьй(р) = (?Л(Р)(Лк(Р), 5р))-1, р > 1. В силу (5) интервалы ((1 — 5р)Лад, (1 + 5р)Лад) попарно не пересекаются. Тогда, учитывая сходимость ряда (7) в топологии пространства Н(С) и равенства (8), получаем
И&(р)| ^к(р)(д)| |срЬк(р)1 | ?А (Ак(р),^;
-1
р)
Р > 1.
Из (4) следует, что для каждого г Є С
|4(р)|ежр(Яе(Ак(р)г)) ^ +то, р ^ то.
Это противоречит сходимости ряда (1) в полуплоскости П. Таким образом, функция д Є Ш(Л, С) не раскладывается в ряд по системе Е ни на каком открытом подмножестве плоскости.
Остается рассмотреть ситуацию, когда т(Л) = +то. В этом случае не существует (см., например, [1], гл. I, §1, теорема 1.1.2) f Є Рс (целой функции экспоненциального типа), которая обращается в ноль во всех точках А&. Следовательно, система Е полна в Н(С), т.е. Ш(Л, С) = Н(С). Пусть Ао > 0 отлична от точек А&, к > 1. Предположим, что функция ехр(А0г) Є Ш(Л, С) представляется рядом (1) на некотором открытом подмножестве комплексной плоскости. Как и выше, это представление распространяется на некоторую полуплоскость. Тогда в этой полуплоскости верно равенство
0 = ^ 4 ехр(Ак г),
й=0
где 4 = —1. В начале работы отмечалось, что представление рядом Дирихле всегда является единственным. Поэтому должны быть выполнены соотношения 4 = 0, к = 0,1,... Получили противоречие. Лемма доказана.
Следствие. Пусть О — выпуклая область в С, Л = {Лк}£=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел. Предположим, что множество сумм рядов (1), сходящихся в области О, замкнуто в пространстве Н(О). Тогда 5л > —то и т(Л) < +то.
Доказательство. Если 5л = —то, то по лемме 3 существует функция
д € Ш(Л, С) С Ш(Л, О), которая не раскладывается в ряд (1) в области О. Это противоречит условию. Таким образом, 5л > —то. Тогда по лемме 2 т(Л) < +то. Следствие доказано.
Лемма 4. Пусть Л = {Лк}£=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел. Предположим, что 5л = —то. Тогда для каждого т > 0 существует 5 > 0 и функция д € Ш(Л, О), где О = ({г : Яег < т5} ПВ(0, т)) и {г : Яег < 0}, которая представляется рядом (1) с абсциссой сходимости 7 = 0.
Доказательство. Положим
ГО
д(г) = 5^ ^др^ (9)
р=1
где Ср = ехр(—6т5^т(р)),
др(;) = + / ------схр(Лг)<гЛ)-------, р = 1,2,...,
2пг ) ар(Л — ^т(р)к”‘ (Л,5>
^(Мт(р),5дМт(р)) Л
а последовательность Л = {^т}ГО=1 является частью Л. Числа ар > 1 мы выберем ниже. Сейчас же определим число 5, построим Л и подберем номера т(р). Для этого, прежде всего, заметим, что согласно условию 5л = —то. Поэтому найдется 5 € (0,1/4) и подпоследовательность {Л^(р)}рГО1 последовательности Л, удовлетворяющие условию
1п |5др)(Лк(р),5)| < —6т5Лк(р), р = 1, 2,... (10)
При этом можно считать, что
ЛЛ(р+1) > 2ЛЛ(р^ р 1 2, . . . (11)
Последовательность Л С Л будем искать в виде объединения ирГО1Лр. Фиксируем
р = 1, 2,... Если п((1 + 5)Лк(р), Л) — п((1 — 5)Лк(р), Л) — 1 < 12т5ЛЛ(р) + 1, то в качестве Лр возьмем множество всех точек последовательности Л, попавших в круг В(Лй(р), 5Лл(р)). В противном случае поместим в Лр точку Лл(р) и еще столько точек из Л, попавших в круг В (Лй(р) , 5Лй(р) ), чтобы число точек /(р) множества Лр удовлетворяло оценкам
12т5Лк(р) < /(р) — 1 < 12т5Лк(р) + 1. (12)
Отметим, что в силу (11) и выбора числа 5 круги В(Лл(р), 5Лл(р)), р = 1, 2,..., попарно не
пересекаются. Поэтому множества Лр, р = 1, 2,..., также попарно не пересекаются. Будем
считать, что элементы последовательности Л пронумерованы по возрастанию. Через т(р), р = 1, 2,..., обозначим номер, для которого ^т(р) = Лл(р). Имеют место неравенства
1п |?тт(р)(^т(р),5)1 < —6т5^т(р), р = 1, 2,... (13)
Действительно, функция дД^(р) состоит из сомножителей, построенных по точкам множества Лр. Если оно совпадает с множеством точек из Л, попавших в круг В(Л^(р), 5Л^(р)), то 5™(р)(^т(р), 5) = ?л(р)(Л&(р), 5), и (13) вытекает из (11). В противном случае, учитывая (12) и неравенство 5 < 1/4, как и в лемме 1 получаем:
1п кд (р)(^то(р),5)| < — (/(р) — 1)1п(3(1 — 5)) < (—(/(р) — 1))/2 < — 6т5^т(р).
Покажем теперь, что верхняя плотность последовательности Л конечна. Согласно (12) верны неравенства
п((1 + 5)^та(р), Л) — п((1 — 5)^то(р), Л) < 12т5 + 2 р =12 (14)
^т(р) ^т(р)
Пусть г > 0 и р(г) — максимальный из номеров р = 1, 2,..., для которых интервалы (0, г) и ((1 — ^^(р), (1 + 5)^т(р)) пересекаются. Тогда верно неравенство г > (1 — 5)^т(р(г)). Так как все точки лежат в объединении ирГО=1((1 — 5)^т(р), (1 + 5)^т(р)) и ^т(р) = ЛЛ(р), р =1, 2,..., то с учетом (14) и (11) получаем
~ р(г) ~ р(г)
п(г, Л) < п((1 + Л) — п((1 — 5)^т(р), Л) < 12т5^т(р) + 2 <
г г г
р=1 р=1
< р(г) 12т5^,т(р) + 2 < ________р(г)__________+ 12т5
< р=1 (1 — 5)^т(р(г)) < (1 — 5)2р(г)-2^т(1) р^ (1 — 5)2р(г)-р.
Отсюда следует, что величина т(Л) конечна.
Найдем оценки сверху на модули функций др. Поскольку ар > 1, то мы имеем:
(Л ^т)
МГ“^)! > !«^4P’(A,i)i
п
> п
Mm €B(Mm(p) ^Mm(p) ),m=mW
Следовательно, верны неравенства
> 1, А Є S (^m(p) j 55^
(p))
Mm €B(Mm(p) ^Mm(p) ) ,m=m(P)
45^m(p)
35^m
>
!gp(z)| =
1
2ni
exp(Az)dA
j(A ^m(p))qj (^m(p),5)
AGS(Mm(p) ,5^M m (p))
|eXp(Az)| ^ eXp(Re(^m(p)Z) + 55^m(p)|z|), z Є C.
^ sup
A€S(Mm(p),55M m (p))
Покажем, что ряд (9) сходится равномерно на компактных подмножествах области D = {z : Rez < т5} П В(0,т). Пусть z Є D и |z| ^ т — в• Из последней оценки с учетом определения коэффициентов cp и (11) получаем
го
ГО
|д(г)| < 2_^ехр(Де(^т(р)г) + 55^т(р)|г| — 6т5^т(р)) < 2_^ехр(—5в5^т(р)) < то. р=1 р=1
Члены ряда (9) являются целыми функциями. Следовательно, д(г) — функция, аналитическая в области О. Отметим, что сказанное верно при любом выборе чисел ар > 1, р = 1, 2,... Покажем теперь, что при подходящем выборе этих чисел функция д(г) раскладывается в ряд Дирихле, прямая сходимости которого совпадает с мнимой осью. Используя теорию вычетов, для каждого р = 1, 2, . . . получаем:
gp(z) = ар I bm(p)exp(^m(p)z) +
£
6mexp(^mz)
МтЄЛр ,m=m(p)
где Ьт(р) = (?Л^(р) (^т(р), ^)) 1. Пусть р = 1, 2,... Для каждого номера т такого, что Є Лр, положим = срЬтар-1. В силу (13) и определения ср верно неравенство
ln |cpbmk —6T5^m(p) — ln |qmT(p)(^m(p),8)l
^p^m
max '
m:Mm€Ap ^m(p)
>
0.
^m(p)
Поэтому найдется число ap > 1, при котором
ln |dm|
max ----------= max
m:^m€Лp ^m(p) m:^m€Лp
ln |cpbm| — ln gp = 0
^m(p)
Рассмотрим ряд Дирихле
> dm.exp(//„,.z).
(15)
(16)
m=1
Поскольку верхняя плотность т(Л) конечна, то, очевидно, величина 1п т/^т равна
нулю. Поэтому (см., напр., [1], гл. II, §1, теорема 2.1.2, [11]) для ряда (16) имеет место формула Коши-Адамара
-1п |<т|
Y =
lim
а
где 7 — абсцисса сходимости этого ряда. При этом в полуплоскости {г Є С : Лег < 7} ряд (16) сходится абсолютно (см., напр., [1], гл. II, §1, следствие из теоремы 2.1.1, [11]). В силу (15)
-1п т-- 1п |<т|
Y = lim ------= lim max ------------= 0.
Таким образом, мнимая ось является прямой сходимости ряда (16). Так как он сходится абсолютно в левой полуплоскости, то суммы рядов (9) и (16) совпадают в пересечении {z £ C : Rez < 0} П D. Это означает, что функция g £ W(Л, G) и представляется рядом (1) с абсциссой сходимости 7 = 0. Лемма доказана.
Пусть Л = {Ak}£=1, Л = {^n}£=i. Будем говорить, что Л является частью Л (Л С Л) или Л является пополнением Л, если существует подпоследовательность {^n(fc)}, совпадающая с {Afc}. Известная теорема Ж. Полиа (см., напр., [9], гл. VI, § E3) утверждает, что любая последовательность с конечной максимальной плотностью является частью некоторой измеримой последовательности с той же плотностью. Поскольку этот результат является важным для дальнейших исследований и понимания общей картины, мы приведем его доказательство. Метод, который при этом будет использоваться для построения пополнения, как нам кажется, является более простым, чем метод из книги [9].
Лемма 5.(теорема Полиа). Пусть максимальная плотность последовательности Л = {Ak}£=1 конечна. Тогда существует ее измеримое пополнение Л такое, что
т(Л) = 7о(Л).
Доказательство. Последовательность Л будем искать в виде объединения и^=1Лт, где Лт = {^n, n(m) ^ n < n(m +1)}, m =1, 2,... и n(1) = 1. Множества Лт построим по индукции. Пусть а = 1/т0(Л) и m =1. Если полуинтервал (0,а] содержит точки из Л, то полагаем = An, 1 ^ n < n(2), где n(2) — минимальный из номеров k, для которого верно неравенство А& > а. В противном случае полагаем ^1 = а и n(2) = 2. Предположим, что мы уже построили множества Лт для всех m < р. Определим теперь Лр. Пусть sp — число точек последовательности Л, попавших в полуинтервал (а(р — 1),ар] (может оказаться, что sp = 0). Если общее число точек множеств Л1,... , Лр-1 не превосходит р — 1 и sp = 0, то полагаем n(p + 1) = n(p) + 1 и Лр = {^га(р)}, где ^га(р) = ар. В противном случае в качестве Лр возьмем множество, состоящее из всех точек Л, попавших в (а(р — 1),ар] (если sp = 0, то Лр пусто). При этом полагаем n(p + 1) = n(p) + sp.
Покажем, что Л — искомая последовательность. Пусть А& — произвольная точка из Л, и номер m таков, что полуинтервал (а(т — 1), ат] содержит А&. Тогда sm = 0 и по построению множество Лт, а вместе с ним и последовательность Л, содержат А&. Следовательно, Л С Л. Используя индукцию, докажем теперь неравенства
n(«m, Л) > m, m = 1, 2,... (17)
По построению каждый полуинтервал ^(m — 1), аm] пересекает Л по множеству Лт. Поэтому n^m, Л) совпадает с общим числом точек множеств Л1,... , Лт. Пусть m =1. Тогда n(a, Л) = 1, если s1 = 0, и n(а, Л) = s1 > 1 в противном случае. Предположим, что (17) доказано для всех m < р. Если n^(p — 1),Л) > р — 1, то n^p,Л) > n^(p — 1),Л) > р. Пусть n^(p — 1),Л) ^ р — 1. Тогда с учетом (17) получаем: n^(p — 1),Л) = р — 1. В этом случае по построению ^ар, Л) = ^а(р — 1), Л) + 1 = р, если sp = 0, и ^ар,Л) = ^а(р — 1),Л) + sp > р в противном случае. Таким образом, неравенство (17) верно для всех m. Учитывая его, получаем
.г. n(r, Л) ^арМ, Л) П ^ар, Л) 1 .. .
т (Л) = lim —-—-—- > lim }\,\ = lim У 1 > - = то (Л), (18)
r р>^ ар(г) + в(r) р>^ ар а
где ß(r) £ (0,a] при r > 1. Остается доказать неравенство т(Л) ^ т0(Л). Предположим, что т(Л) > т0(Л) + 3е для некоторого е > 0. Тогда в силу (2) т0(Л) > т0(Л) + 3е. Выше отмечалось, что при определении максимальной плотности вместо верхнего предела по 5 можно брать предел. Поэтому найдется 50 > 0 такое, что
limn(r'Л) - "f - 5)r-Л) > Т0(Л) + 2е, 5 £ (0,50). (19)
r^-ro 5r
Уменьшая при необходимости 50 > 0, можно считать, что верно также неравенство
-n(r, Л) — n((1 — 5)r, Л)
1іт------------ ------------- ^ То (Л) + є, 8 Є (0, ¿о). (20)
¿г
Фиксируем 8 Є (0, 80). Если для некоторого г > 0 полуинтервал ((1 — 8)г, г] не содержит точек Л, отличных от точек Л, то п(г, Л) — п((1 — 8)г, Л) = п(г, Л) — п((1 — 8)г, Л). Отметим, что по построению все точки Л, не принадлежащие Л, имеют вид ^га(р) = ар, где р пробегает некоторую подпоследовательность Р натуральных чисел. Таким образом, с учетом (19) и (20) для каждого достаточно большого г > 0 найдется максимальный номер р(г) Є Р такой, что ар(г) Є ((1 —8)г, г]. В силу максимальностир(г) каждый непустой полуинтервал (ар(г),г] не содержит точек Л, отличных от точек Л. Поэтому
п(г, Л) — п(ар(г), Л) = п(г, Л) — п(ар(г), Л).
При доказательстве неравенства (18) мы показали, что п(ар(г),Л) = р(г). Следовательно,
п(г, Л) — п((1 — 8)г, Л) —— п(г7, Л) — п(ар(г7), Л) ——р(г7) — п((1 — 8)г7, Л)
lim------------------------- ^ lim---------------------------+ lim ,
r^ro 5r -^ro 5r- r^ro 5r-
где r- ^ то реализует верхний предел слева в этом неравенстве. Так как ap(r) £ ((1 — 5)r, r], то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что ap(r-)/r- сходится к некоторому aY £ [1 — 5,1]. Тогда с учетом (20) получаем:
n(r-, Л) — n(ap(r-), Л) —— n(r-, Л) — n((aY — 5)r-, Л)
-г-:-I о\1 7^1-) I и \1 71*111 — I о\1 7
11Ш —^----------------------- < 11Ш —^
5г7 5г7
= (1 — 07 + 5)Ж п(г7 ■Л) — п((а1 ~ 5)г ■Л) < (1—02 + ^ (то(Л) + в),
(1 — «7 + 5)5г7- 5
где 5 > 0 такое, что 5 + 5 € (0,50). Пусть ш7- — максимальное натуральное число, такое, что ат7- < (1 — 5)г7-. В силу (17) имеем:
—р(г7) — п((1 — 5)г7, Л) < цщ-р(г7) — п(ат7, Л) _ 7 (1 — 5)
Таким образом, получаем:
n(r, Л) — n((1 — 5)r, Л) (1 — «7 + 5) , y (1 — 5)
ЙГО ■— — < 5 (то (Л) + в) + 5 — 5а
= 5(го(Л)+£> + (1 ~ °7 )в + то (Л) < 5(т°(Л>+в> + в + то (Л).
О о
Поскольку 5 можно считать сколь угодно малым, то последнее неравенство противоречит (19). Следовательно, наше предположение неверно, т.е. т(Л) < то(Л). Вместе с (18) это завершает доказательство.
Замечание. Доказательство леммы полностью сохранится, если вместо строго возрастающей последовательности Л взять неубывающую, т.е. так называемую кратную последовательность.
Лемма 6. Пусть Л = {Лк}^=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел с конечной максимальной плотностью то(Л). Тогда существует целая функция f экспоненциального типа и регулярного роста, обращающаяся в ноль в точках Лк, к > 1, сопряженная диаграмма которой является отрезком мнимой оси [—гпто(Л), гпто(Л)]. При этом для всех Л, не лежащих на вещественной оси, верно равенство
Доказательство. По лемме 5 существует пополнение Л = {^га}ГО°=1 последовательности
Она обращается в ноль в точках Л&, к > 1. Поскольку Л измерима, то легко проверить, что нулевое множество f (Л) является правильно распределенным. Поэтому f имеет регулярный рост. По теореме 5.9 в книге [7], гл. I, §5 выполнено требуемое равенство, из которого легко следует, что отрезок [—гпто(Л), гпто (Л)] является сопряженной диаграммой функции f. Лемма доказана.
Пусть Я С С и 5 > 0. Через Яг обозначим объединение кругов В(г, 5|г|), где г пробегает множество Я.
Лемма 7. Пусть О — выпуклая область в С, Л = {Лк}£= — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел с конечной максимальной плотностью то(Л). Предположим, что подпространство Ш(Л, О) нетривиально, Яд(1) < +то и пересечение опорной прямой {г € С : Яег = (1)} с границей обла-
сти О содержит отрезок длины 2пто(Л). Тогда для каждого компакта Ь С О и любого 5 > 0 существует функция f € Рд, обращающаяся в ноль в точках Лк, к > 1, и такая, что для некоторого Т(5) > 0 луч (Т(5), +то) лежит на множестве Яг, где
Доказательство. По условию подпространство Ш(Л, О) нетривиально. Поэтому, как отмечалось выше, найдется целая функция Д € Рд, обращающаяся в ноль в точках Л&, к > 1. Пусть К1 — сопряженная диаграмма функции Д1. Так как К1 — компакт в области
О, то верно неравенство
Согласно лемме 6 существует целая функция экспоненциального типа, обращающаяся в ноль в точках Л&, к > 1, сопряженная диаграмма которой К = [—пто(Л), пто(Л)]. Кроме того, для всех г, не лежащих на вещественной оси, имеем:
причем сходимость является равномерной для всех г = ежр(г^) в угле а < ^ < п — а, а € (0,п). Из условия вытекает, что для некоторого и>о € С отрезок К2 = К + и>о лежит на границе области О. Следовательно, верно неравенство
и сходимость является равномерной для всех Л = ежр(г^) в угле а < ^ < п — а, а Є (0, п).
Л такое, что т (Л) = то (Л). Рассмотрим функцию
Р = {г : 1п |/(г)| > Яь(г)}.
ЯХі(г) < Яо(г), г = 0.
(21)
(22)
ЯК2(г) ^ Яо(г), г Є С.
(23)
Компакт К2 является сопряженной диаграммой /2(г) = /2(г)ежр(и>0г), которая согласно лемме 6 является целой функцией экспоненциального типа и регулярного роста. Кроме
того, она обращается в ноль в точках Л&, к > 1. Рассмотрим функцию
/л <г> = Й (1— £)ехр (^) •
Она является целой, имеет первый порядок роста и возможно бесконечный тип (см., напр., [1], гл. I, §1, теоремы 1.1.3 и 1.1.5). Так как / и /2 делятся на /л, то функции 1п |Д1| — 1п |/л| и 1п | /21 — 1п | /л | являются субгармоническими в плоскости и имеют первый порядок роста (см. [5], гл. I, §9, следствие из теоремы 12). Тогда по теореме 5 из работы [12] для каждого т € (0,1) найдутся целая функция ^т(г), постоянная С > 0 и исключительное множество Е С С такие, что
11п |<^т(г)| — ^т(г)| < С 1п |г|, г € С \ Е, (24)
где ^т (г) = т(1п | /1 (г) | — 1п | /л (г) | ) + (1 — т)(1п | /2 (г) | — 1п | /л (г) |). Причем Е может быть покрыто кружками В = В(^г,7г), г > 1, такими, что £7^ < то. Положим /т(г) = ^т(г)/л(г), т € (0, 1). Тогда /т — целая функция.
Фиксируем компакт Ь С О, число 5 > 0 и покажем, что в качестве искомой функции / можно взять /т для некоторого т € (0,1). Прежде всего, заметим, что /т обращается в ноль в точках Л&, к > 1. Далее, т.к. К1 и К2 — сопряженные диаграммы соответственно функций /1 и /2, то с учетом указанной выше теоремы Полиа для индикаторов из (21),(23),(24) и "малости"исключительного множества Е нетрудно получить оценку (см., напр., [3], теорема 4.3)
Л,/т (г) < Яд (г), г = 0, т € (0,1).
Это означает, что сопряженная диаграмма /т лежит в области О, т.е. /т € Рд для любого т € (0,1). Остается подобрать т € (0,1) такое, что для некоторого Т(5) > 0 луч (Т(5), +то) лежит на множестве Яг, если при определении Я в качестве / взять /т.
По теореме об оценке снизу целой функции конечного порядка и типа на окружностях (см., напр., [1], гл. I, §1, теорема 1.1.9) существует число а > 0 и неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел {гр}= такие, что
гр+1 < (1 + 5/2)гр, 1п |/1 (г)| > — а|г|, |г| = гр, р > 1. (25)
Поскольку отрезок К2 = К + и>о лежит на границе области О, а отрезок К содержит начало координат, то точка и>о лежит на пересечении границы области О и опорной прямой {г € С : Яег = Яд(1)}. Следовательно, с учетом того, что Ь — компакт в О, найдутся в > 0 и 5 € (0,5/2), для которых выполнено неравенство
Яе(и>ог) > Я^(г) + 4в|г|, г € В(1,5). (26)
Выберем, наконец, т € (0, 1) такое, что
—тЯе(^ог) > —в|г|, —та > —в. (27)
Так как сумма радиусов исключительных кружков В7, г > 1 конечна, то существует номер ро такой, что для всех р > ро на дуге окружности |г| = гр, лежащей в верхней
полуплоскости и в кольце В(гр, 5 гр) \ В(гр, 5 гр/2), найдется точка гр € Е. При этом можно
считать, что выполнены неравенства С 1п |гр| < в|гр|, р > ро, а в силу (22) и неравенства 1п !/2(гр)! > пто(Л)|/тгр| — в|гр|, р > ро. Тогда с учетом (24)-(27) получаем
1п|/т(гр)| > т 1п |/1 (гр)| + (1 — т)/п|/2(2р)| — в|гр| > —та|гр| +
+(1 — т)(1п |/2(гр)| + Яв(^о^р)) — в|гр| > —3в|гр| + (1 — т) 1п |/2(^)1 + Яв(^о^р) >
> Я^р) + 4в|гр| — 3в|гр| — (1 — т)в|2р > Я^(^р), р > ро. (28)
Положим Т(5) = гр0 и пусть г € (Т(5), +то). Выберем номер р > ро такой, что гр < г < гр+1. Тогда в силу (25) и выбора 5 имеем:
|2р — г| < |гр — гр| + |гр — г| < 5гр + гр+ — гр < 5гр = 5|гр|.
Таким образом, согласно (28) получаем: г € В(гр,5|гр|) С Яг. Лемма доказана.
Положим
5л(г,Лк,5) = ?Л(г,5) ^—Лк , к > 1.
3оЛ^
Как и для функций ^Л (г, 5) выполнено неравенство
|^л(г,Лй,51 )|>|^л(г,Л7, ^2)|, г Є В(Л7^ЛД (29)
если 0 < 51 ^ 52 < 1/3 и В(Лк,51Лк) С В(Л7, 52Л7).
Лемма 8. Пусть Л = {Лк}£=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел такая, что = 0. Тогда для каждого є > 0 существует 5 Є (0,1/3) такое, что для любых 7, в Є (0,1] и некоторого номера к0 = к0(є,5,7, в) выполнены неравенства:
1п |дл(г,Ль,5)| > —є|г|, г Є В(Л^, 5|Л^|) \ У В(Л7,вр7(7)), к > ^0, (30)
Єв(Ак ,^Ак)
где Рі(т) = тіп{7/2, (Л7 — Л^-1)/2, (Лі+1 — Л7)/2}, І > 1 и Л0 = °.
Доказательство. Фиксируем є > 0. Согласно условию = 0. Следовательно, по определению найдутся 5 Є (0,1/9) и номер к1 такие, что
є
1п кЛ(Лі, 35)|/Лі > — І > к1. (31)
Как и в лемме 1 получаем
1п кЛ(Лі, 35)| ^ — 35) — 1) 1п(3(1 — 35)),
где т(і, 35) — число точек Л&, попавших в круг В(Л7, 35Л7). Отсюда, увеличивая при необходимости номер к1, с учетом (31) и выбора числа 5 имеем:
єЛ єЛ
т(і, 35) ^ ^ + 1 ^ 1Т, І > (32)
Пусть 7, в Є (0,1] и г Є Б(Л7, вр7(7)). Тогда в силу определения чисел р7(7) для всех
I = І верно неравенство |г — Л^| > |Л7 — Лг|/2. Отсюда и из (31), (32) получаем
1п |^Л(г, 35)| > 1п |^Л(Л7, 35)| — т(і, 35) 1п2 > —єЛ7/2, г Є Б(Л7, вр7(7)), І > к1. (33)
Если Рі (7) = 7/2, то найдется номер к2 > к1 такой, что
95Л7
1 ^в
> Л~1п 125Л > —є/4, ^ Є Б(Лі,вРі(7)), І > к2.
Рассмотрим теперь случай (7) = (Л7+1 — Л7 )/2. Так как (7) < 1/2, то для
некоторого к3 > к2 и всех номеров ] > к3, соответствующих данному случаю, круг В(Л7+1, 35Л7+1) содержит точку Л7. Поэтому одним из слагаемых суммы, образующей величину 1п |дЛ+1(г, 35) |, является 1п |(г — Л7)/95Л71. Как отмечалось выше, все эти слагаемые являются неположительными в круге В(Л7+1, 35Л7+1). Следовательно, верно неравенство
1п
95 Лі
> 1п |?Л+1(г, 35)|, г Є В(Лі+Ь 35Лі+1), і > кз.
Следовательно, в силу (31)
1п >— І, І > кз
9оЛ,-
і
Отсюда для некоторого к4 > к3 получаем 1п
95Л7
і врі (7) і в Л7+1 — Л7 в єЛі+1
1п н{\и = 1п - + 1п Л-------------^ > 1п-----і+1
95Лі 2 95Л7(р) “ 2 6
, в -(Л, + 2р7(7)) П в -Л7 1 -Л7 Л . ..
= 1п 2 — ' 7 6Р7> 1п 2 — -ф — - > — -2-, г € Б(Л,, вр,-(7)), ] > к4.
Случай р,(7) = (Л, — Л7-1)/2 рассматривается аналогично. Таким образом, можно считать, что во всех случаях
-Л7
1п
95Л7
Отсюда с учетом (33) и определения функции дл (г, Л7, 35) получаем
1п |дЛ(г,Л7, 35)| > —3єЛ7/4, г Є Б(Л7, вр7(7)), І > к4. (34)
Поскольку 5 < 1/3, то для каждой точки Л7 Є В(Л^,5|Л^|) круг В(Л7, 35|Л71) содержит круг В(Лк, 5|Лк|). Выберем номер к0 > к4 такой, что І > к4, если Л7 Є В(Лк, 5|Лк|) и к > к0. Можно считать, что Б(Л7, вр7(7)) С В(Л7, 35|Л71) при І > к4. Тогда согласно (29) и (34) имеем:
1п |дл(г,Лк, 5)| > —3єЛ7/4, г Є Б(Л7,вр7(7)), Л7 Є В(ЛЙ, 5|Л^|), к > к0.
Следовательно, для всех к > к0 и всех І таких, что Л7 Є В (Ль, 5|Ль|) верно неравенство
1п |дл(г,Лк,5)| > —3є(1 + 5)Лк/4 > —5єЛк/6, г Є Б(Л7,вр7(7)).
Кроме того, при 5 < 1/3 верно также неравенство
1п |дл(г,Лк ,5)| > 0, г Є Б (Ль, 55|Л^ |), к > 1.
Тогда по принципу минимума в области В (Ль, 55| Ль |) \ ил^ ев(Ак,глк )В (Л7 ,вр7 (7)) гармоническая функция 1п |дл(г, Ль, 5)| удовлетворяет оценке
/п|дЛ(г,Лк,5)| > —5єЛк/6, к > к0.
Следовательно,
5є|г|
6(1 —5)
Лемма доказана.
Лемма 9. Пусть Л = {Лк}£=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел такая, что Бл = 0. Тогда для каждого є > 0 существует ее пополнение Лё = {^п}^5!=1 С (0, +то) (Л — строго возрастающая) и число 70 Є (0,1) такие, что выполнены неравенства
п|1тЛ|
1п |дл(г,Ль, 5)| > — —----------— > — є|г|, г Є В(Ль,5|Ль|) \л^ев(лк,глк) В(Л7,вр7(7)), к > к0.
1п |/(Л)| —
^ є|Л|, Л Є С \ (£ и £2 и В(0,Т)), (35)
То
где f — целая функция экспоненциального типа,
ОО / ч ^ \
/(Л) = П ( 1 — — ) , Е = и В(±Лк, врк(7о)), Е = и В(±А,.Ы, в7о/2),
„=1 ' / к=1 „=1
рк(70), к > 1, определены в лемме 8, (70) = 70п — 70/2, п > 1, в € (0,1) и Т > 0 зависит
от в, -.
Доказательство. Так как Бд = 0, то по лемме 2 верхняя плотность т(Л) конечна. Пусть 7 > 0. Прежде всего, построим пополнение Л(7) = {^„(7)}О=1 последовательности Л. Будем искать его в виде объединения иО=1Лт(7), где Лт(7) = {^„(7), п(т) < п < п(т + 1)}, т =1, 2,..., и п(1) = 1. Множества Лт(7) построим по индукции. Пусть т =1. Если полуинтервал (0,7] содержит точки из Л, то полагаем ^га(т) = Лп, 1 < п < п(2), где п(2)
— минимальный из номеров к, для которого верно неравенство Л& >7 .В противном случае полагаем ^1(7) = 7/2 и п(2) = 2. Предположим, что мы уже построили множества Лт(7) для всех т < р. Определим теперь Лр(7). Пусть зр — число точек последовательности Л, попавших в полуинтервал (7(р — 1),7р] (может оказаться, что зр = 0). Если общее число точек множеств Л1(7),..., Лр-1(7) не превосходит р — 1 и зр = 0, то полагаем п(р + 1) = п(р) + 1 и Лр(7) = {^„(р)(т)}, где ^п(р) (т) = 7Р — 7/2. В противном случае в качестве Лр(7) возьмем множество, состоящее из всех точек Л, попавших в (7(р — 1),7р] (если зр = 0, то Лр(7) пусто). При этом полагаем п(р +1) = п(р) + зр.
Пусть Л& — произвольная точка из Л, и номер т таков, что полуинтервал (7(т — 1), 7т] содержит Л&. Тогда = 0 и по построению множество Лт(7), а вместе с ним и последовательность Л(7), содержат Л&. Следовательно, Л С Л(7). Используя индукцию, докажем теперь неравенства
п(7т, Л(7)) > т, т = 1, 2,... (36)
По построению каждый полуинтервал (7(т — 1),7т] пересекает Л(7) по множеству Лт(7). Поэтому п(7т, Л(7)) совпадает с общим числом точек множеств Л1(7),... , Лт(7). Пусть т =1. Тогда п(7, Л(7)) = 1, если в1 = 0, и п(7, Л(7)) = 51 > 1 в противном случае. Предположим, что (36) доказано для всех т < р. Если п(7(р — 1), Л(7)) > р — 1, то п(тр,Л(7)) > п(7(р — 1),Л(7)) > р. Пусть п(7(р — 1),Л(7)) < р — 1. Тогда по допущению индукции получаем: п(7(р — 1),Л(7)) = р — 1. В этом случае по построению п(тр, Л(7)) = п(7(р — 1), Л(7) + 1 = р, если зр = 0, и п(7р, Л(7)) = п(7(р — 1), Л(7)) + зр > р в противном случае. Таким образом, неравенство (36) верно для всех т.
По построению каждая из групп Лт(7) либо целиком состоит из некоторых точек Л&, либо пуста, либо состоит из одной точки ^га(т)(7), не входящей в последовательность Л. Покажем, что при 7 < 1/т (Л) имеется бесконечное число групп последнего вида. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого го > 0 бесконечный интервал (го, +то) не содержит точек последовательности Л(7), отличных от Л&. Поэтому
-п(г, Л(7)) т— п(г, Л) — п(го, Л) + п(го, Л(7)) —— п(г, Л)
lim----- -------= lim -------------------- ----------- ------= lim--------- ---= т (Л).
r^-ro r r^-ro Г r^-ro r
С другой стороны, в силу (36) имеем
-n(r, Л(7)) — n(7m, Л(7)К 1
Пт----------- > Ит---------------> — > т(Л).
Получили противоречие. Следовательно, имеется бесконечное число групп указанного вида. Пусть I(7) — объединение всех полуинтервалов (7т, 7(т +1)], соответствующих таким группам. Тогда 3(7) = (0, +то) \ I(7) является объединением ограниченных полуинтервалов (7т,(7),7р,(7)], 3 > 1.
Пусть 3 > 1. Согласно определению I (7) группа Лт. (7) (7) состоит из од-
ной точки ^га(т.(7)) (7), не входящей в последовательность Л. Тогда по построению п(7(т,(7) — 1),Л(7)) < т,(7) — 1 и (7) = 0. Следовательно, п^т,(7),Л(7)) < т,(7). Вместе с (36) это дает нам равенство
п(7т,(7),Л(7)) = т,(7), 3 > 1. (37)
Группа Лр. (7)+1 (7) аналогична группе Лт. (7)(7). Поэтому также по построению выполнено неравенство п(тр,(7), Л(7)) < р,(7). Отсюда с учетом (36) имеем
п(7р,(7),Л(7)) = р,(7), 3 > 1. (38)
Пусть 5' > 0. Согласно определению 3 (7) все точки Л& лежат на множестве 3(7), и ни одна из точек последовательности Л(7), отличная от Л&, к > 1, не принадлежит 3 (7). Следовательно, в силу (37) и (38) для всех 3 > 1 имеем
р, (7) — т, (7) = п(7р, (7), Л(7)) — п(7т, (7), Л(7)) = п(7р, (7), Л) — п(7т, (7), Л). (39)
Так как Л имеет конечную верхнюю плотность, то для некоторого С > 0 верно неравенство п(г, Л) ^ Сг. Поэтому из (39) следует, что
Р (7) - (7) ^ п(7Р (7), Л) ^ С7Рі (7) ^ 5'р (7), І > l,
для всех 7 < шіп{1/т(Л), 5'/С} = 7(5'). Отсюда легко получить оценку
Р(7) - ті(7) ^ 5''ті(7), І > 1, 7 < 7(5'^ (40)
где 5'' = 5'/(1 — 5').
Фиксируем є > 0 и є Є (0,є/5). Покажем, что для некоторого 7 > 0 в качестве искомой последовательности Л^ можно взять Л(7). Прежде всего, согласно лемме 8 по заданному є > 0 найдем 5 Є (0,1/3) такое, что выполнено (30).
Введем новую последовательность Л(7) = {Л^(7)}^=1 положительных чисел, которые пронумерованы по возрастанию. Она представляет из себя объединение групп Л7 (7), І > 1, где Лі(7) = {трі(7) + 7/2,7(р7(7) + 1) + 7/2,... , 7т7(7) — 7/2}. Рассмотрим функции
/ \ 2 \ / \ 2
ад = й(1 — ’ І<Л'7) = й(1 — (ШР
Последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. По построению Т(Л(7)) ^ 1/7. Поэтому (см., напр., [1], гл. I, § 1, теорема 1.1.5) Ь(Л) и Ь(Л,7) являются целыми функциями экспоненциального типа. Сравним их поведение. Для этого воспользуемся результатом из работы [13]. В силу (39) и (40) последовательность Л(7) является 5''-близкой к Л, т.е.
Л — ~Лк(7)| ^ 5''|Лк|, к > 1, (41)
а, значит, и асимптотически 5''-близкой к последовательности Л (в терминологии работы [13]). Поскольку в нашем случае суммы обратных величин нулей соответственно функций Ь(Л) и Ь(Л, 7), лежащих в круге В(0, г), равны нулю для любого г > 0, то при 5'' Є (0,1/2) по теореме В из работы [13] (где полагаем а = 1/2, в = 1) выполнено неравенство
11п |Ь(Л)|— 1п |Ь(Л,7)|| ^ А^5"|Л|, Л Є С \ Е(5''), (42)
где А > 0 не зависит от 5'', множество Е(5''), которое является объединением кругов В7 = В(£¿,0^), І > 1, имеет линейную плотность, не превосходящую
1іш - а* ^ /5", (43)
ІЇІ |^г
и центрировано с объединением нулевых множеств функций Ь(Л) и Ь(Л,7), т.е. каждая точка этих множеств лежит по крайней мере в одном круге В7, и каждый из кругов В7 содержит по крайней мере одну точку этого объединения. Очевидно, можно считать, что Е(5'') симметрично относительно начала координат.
Выберем 5' > 0 такое, что для 5'' = 5'/(1 — 5') выполнены неравенства
А/5" < є, /5" <5/12. (44)
Фиксируем 7о Є (0,7(5')), 7о < 1, и покажем, что последовательность Л^ = Л(7о) — искомая. Пусть в Є (0,1) и к0 — номер, для которого верно (30) для 7 = 70. Согласно (43) и
(44) найдем го > 0 такое, что
1 ^ ^ 5/11, г > го. (45)
Г ^¿Кг
Выберем номер к1 > к0 так, что Л& > г0 и Л^(70) > г0 для всех к > к1, и пусть В7 — произвольный круг множества Е(5''), содержащий какую-нибудь точку Л& или ^(70) с номером к > к1. Если Лк Є Ві, то согласно (45) в случае |^| ^ Л& верно неравенство ^ 5Л&/11,
а в случае |£*| > Л* — неравенство ст* ^ 5|£*|/11, и тогда с учетом включений Л* Є В* , 5 Є (0,1/3) получаем: Л* > |£*|(1 — 5/11) и ст* ^ 5|£*|/11 ^ 5Л*/11(1 — 5/11) ^ 35Л*/32. Ситуация Лк(70) Є В* разбирается аналогично. Таким образом, в силу (41) и (44) имеем:
ст* ^ шах{35Л*/32, 35Л*(70)/32} ^ 35(1 + 5'')Л*/32 ^ 135Л*/128 ^ 5Л*/9.
Отсюда следует, что В* лежит либо в круге В(Л*, 25Л*/9), либо в круге В(Л*(70), 25Л*/9). Следовательно, с учетом (41) и (44) имеет место вложение В* С В(Л*, 5Л*/3).
Пусть В7 П В(Лк,5Лк) = 0. Тогда в силу (45) |£*| ^ (1 + 5)Лк/(1 — 5/11) ^ 115Л*/8.
Поэтому, используя еще раз (45), находим, что сумма диаметров всех кругов В7, которые
пересекают В(Л*, 5Л*), не превосходит 5Л*/4. Это означает, что для некоторого і Є (1/2,1) окружность Б(Л*,і5Лк) не пересекает множество Е(5''). Тогда согласно (42) и (44) имеем оценку
1п |Ь(Л)| > 1п |Ь(Л,70)|— є|Л|, Л Є Б (Л* ,Ш*), к > кь
Напомним, что модуль функции 5д(Л, Л*,5) не превосходит единицы в круге В(Л*, 5|Л*|). Поэтому для всех Л Є Б (Л*, і5Л*) верно неравенство
1п 70) | ^ 1п |Р(Л) | — 1п ^л^ Л*, 5) | + є(1 + і5)Л* ^ 1п ^^^л^ Л*, 5) | + 2єЛ*,
которое продолжается в круг В(Л*, і5Л*), т.к. 1п |Ь(Л)/^л(Л, Л*,5)| — гармоническая, а 1п |Ь(Л,70)| — субгармоническая функции в В (Л*, 51 Л* |). Тогда с учетом (30) получаем
1п |Ь(Л, 70)| ^ 1п |Ь(Л)| + 2єЛ* + є|Л| ^ 1п |Ь(Л)| + 4є|Л|,
Л Є В (Л*, і5Л*) \ У В(Л7 ,вр7 (70)), к > к1, (46)
Л^ ЄВ(Л&,£Л&)
При этом объединение кругов В(±Л*, і5Л*), к > к1 покрывает все те круги В* множества Е(5''), каждый из которых содержит какую-нибудь точку ±Л* или ±Л*(70) с номером к > к1. Нетрудно заметить, что оставшаяся часть множества Е(5'') (которая не покрывается указанным объединением) лежит в круге В(0,Т1) для некоторого Т1 > 0. Таким образом, из (46) получаем
1п |Ь(Л)| > 1п |Ь(Л, 70)| — 4є|Л|, Л Є С \ У В(±Л*, вр*(70)) и В(0, Т1). (47)
*>1
Отметим еще, что нули функции ¿(Л,7о) находятся друг от друга на расстоянии, не меньшем чем 7о. Поэтому согласно примеру, разобранному перед леммой 1, величина Бл(7о)
конечна, а, значит, Бл(7о) = 0. Следовательно, к последовательности Л(70) так же, как и к Л, можно применить лемму 8 и, используя точно такие же рассуждения как и выше, получить оценку (для некоторого Т2 > 0)
1п |Ь(Л,7о)| > 1п |Ь(Л)| — 4є|Л|, Л Є С \ У В(±Л*(7о),в7о/2) и В(0,72). (48)
*>1
Рассмотрим функции
^ / Л 2 \ „ / Л 2 \
П (1 — (¿Пы)5) ■ ДЛ’7о) = П (1 — •
где Дга(7о) = 70п — 7о/2, п > 1. Нетрудно показать, что Л(7о) имеет конечную верхнюю плотность (она не превосходит Т(Л) + 1/7о). Поэтому (см., напр., [1], гл. I, § 1, теорема
1.1.5) f (Л) — целая функция экспоненциального типа. Последовательность Л(70) имеет плотность 1/70 и является регулярным множеством (см. [5], гл. II, §1). Следовательно, £(Л, 70) имеет регулярный рост, и ее сопряженная диаграмма совпадает с отрезком мнимой
оси [—гп/70, ¿п/70] (см. [1], гл. I, §2, теорема 1.2.9). Поскольку нулевое множество Р(Л,70) регулярно, то (см. [5], гл. II, §1, теорема 5) верно равенство
1п |Ь(Л,7о)| = П|1тЛ| + 0(Л), Л е С \ И В(±Д„(7о),97о/2), (49)
^о ^1
где о(Л) зависит от 9 е (0,1] и о(Л)/|Л| ^ 0, когда |Л| ^ то.
По построению
1п |/(Л)| — 1п |Ь(Л,7о)| = 1п |Р(Л)| — 1п |Ь(Л,7о)|, Л е С.
Кроме того, каждая точка (70) совпадает с одной из точек Дга(70). Поэтому с учетом выбора числа е > 0 из (47)-(49) получаем (35). Лемма доказана.
Лемма 10. Пусть О — выпуклая область в С, Л = {Лк}О=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел. Предположим, что множество сумм рядов (1), сходящихся в области О, замкнуто в пространстве Н(О). Тогда система Е = {ехр(Лкг)}О=1 не полна в Н(О).
Доказательство. Если выполнены условия данной леммы, то по следствию из леммы 3 верно неравенство т(Л) < то. Тогда, как и выше, существует целая функция экспоненциального типа /, которая обращается в ноль в точках Л&, к > 1. Предположим, что некоторый сдвиг го + К сопряженной диаграммы К функции / лежит в области О. Тогда функция ежр(гоЛ)/(Л) лежит в пространстве Рд и обращается в ноль в точках Л&, к > 1. Это означает, что система Е не полна в Н(О). Так будет, например, когда О совпадает с плоскостью или с полуплоскостью.
Пусть область О отлична от плоскости и полуплоскости. Предположим, что система Е полна в пространстве Н(О). Тогда по условию каждая функция из Н(О) представляется рядом (1) в области О. По теореме Абеля для рядов Дирихле (см., например, [1], гл. II, §1, п. 4) каждый такой ряд сходится равномерно на компактах в полуплоскости {г : Лег < Нд(1)} (которая может совпадать с плоскостью, если Нд(1) = +то). Следовательно, каждая функция из Н(О) аналитически продолжается в эту полуплоскость, что невозможно. Таким образом, Е не полна в Н(О). Лемма доказана.
3. Основные результаты
Пусть О — неограниченная выпуклая область. Положим
3(О) = {Л е С : Нд(Л) = +то}.
Если О = С, то 3(О) = С\{0}. В случае, когда О — полуплоскость {г е С : Ле(гег^) < а}, множество 3(О) представляет из себя плоскость с разрезом по лучу {Л = £ег^ : £ > 0}. Если же О — полоса {г е С : Ле(гег^) < а, Ре(гег(^+п)) < Ь}, то 3(О) = С \ {Л = £ег^ : £ е М}. В остальных случаях область О не содержит ни одной прямой. Однако О всегда содержит некоторый луч {г = го + £ег^,£ > 0}. При этом множество 3(О) является углом раствора строго меньше 2п и содержит открытый угол раствора п — полуплоскость {Л = £ег^ : — — п < ф < — + п, £ > 0}. Будем говорить, что О узкая, если О — полоса
или 3(О) совпадает с открытой полуплоскостью. В противном случае будем говорить, что О — широкая.
Для узкой области О существует единственное значение ф е [0,п), такое, что Нд (е^) < +то и Нд(ег^+п) < +то. Оно соответствует граничным лучам {Л = £ег^ : £ > 0} и {Л = £ег^+п : £ > 0} множества 3(О). Выпуклый компакт К при помощи некоторого сдвига может быть помещен в узкую область О тогда и только тогда, когда выполнено неравенство
Нд(ег^) + Нд(ег^+п) > Нк(ег^) + Нк(ег^+п).
Если О — широкая область, то для любого выпуклого компакта К найдется сдвиг, который помещает его в область О. Таким образом, если последовательность Л = {Л&}О=1 такова, что т(Л) < то, то как и в лемме 10 система Е = {ежр(Л^г)}О=1 не полна в Н(О).
Теорема 1. Пусть Л = {Лк}О=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел и О — неограниченная выпуклая область в С такая, что положительная вещественная полуось лежит на границе множества 3(О), но не принадлежит ему. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) Каждая функция из Ш(Л, О) представляется рядом (1) в полуплоскости {г е С : Лег < Нд(1)} (т.е. аналитически продолжается в полуплоскость и представляется там рядом);
2) Бд = 0.
Доказательство. Пусть го е О. По условию положительная вещественная полуось лежит на границе множества 3(О). Следовательно, один из лучей /1 = {г = го + £егп/2, £ > 0}, /2 = {г = го + £е-^п/2,£ > 0} (возможно оба) лежит в области О. Пусть для определенности это будет луч /1. Выберем ео > 0 такое, что круг В(го, 2ео) содержится в О. Тогда область /1 + В(го, 2ео) также содержится в О. По лемме 9 существуют целая функция экспоненциального типа /, обращающаяся в ноль в точках Л&, к > 1, и число 70 > 0, которые удовлетворяют неравенству (35) (для Л = ео). Пусть К — сопряженная диаграмма функции /. Тогда согласно (35) для всех точек Л, не лежащих на вещественной оси, имеем
Нк(Л) = Л/(Л) ^ п|/шЛ|/7о + Ло|Л|.
Поскольку опорная функция непрерывна, то это неравенство продолжается на всю плоскость. Пусть £о > п/70. Рассмотрим функцию /о(Л) = /(Л)ехр(Лго), где го = го + £оегп/2. Ее сопряженной диаграммой является компакт К + Ло, который, как нетрудно заметить, лежит в области /1+В (го, 2ео), а значит, ив О. Таким образом, /о принадлежит пространству Рд и обращается в ноль в точках Л&, к > 1. Это означает, что система Е = {ежр(Л^г)}О= 1 не полна в Н(О).
Теперь мы можем применить теорему 5.1 из работы [3]. Если выполнено 1), то согласно этой теореме верно равенство = 0 (в условиях леммы величина 5д(О), участвующая в цитируемой теореме, совпадает с Бл).
Докажем обратное. Предположим, что выполнено 2) и покажем, что тогда имеет место утверждение 5) из теоремы 5.1 в работе [3]. Пусть Ь — произвольный выпуклый компакт в области О. Тогда Нд(Л) > Н^(Л), Л = 0. Согласно определению опорной функции и непрерывности опорной функции компакта найдем точку г1 е О и числа Л, Л > 0, для которых верно неравенство
Лег1 — Л >НЬ(Л), Л е В(1,Л). (50)
Уменьшая при необходимости Л > 0, можно считать, что круг В(г1, 2Л) лежит в области
О. Тогда О содержит также и область /1 + В(г1, 2Л). Пусть число 70 е (0,1) и функция /(Л) удовлетворяют неравенству (35). Положим /1(Л) = /(Л)ехр(ЛЛ1), где Л1 = г1 + £1егп/2 и £1 > п/70. Функция /1 обращается в ноль в точках Л&, к > 1. Кроме того, ее сопряженная диаграмма лежит в области /1 + В (г1, 2Л), а значит ив О, т.е. /1 е Рд.
Пусть 8 > 0. Покажем, что для некоторого Т(8) > 0 каждая точка Л& такая, что
| Лк | > Т(8) принадлежит множеству Лг, где Л = {г : 1п |/1(Л)| > Н^(Л)}.
Положим Т(8) = тах{Т, 70/л,70/8}, где Т > 0 такое же, как в (35). Пусть |Лк| > Т(8). Тогда |Лк — ¿70 — Лк| ^ 8Лк < 8|Лк — ¿70| и в силу (35) имеем:
1п |/(Лк — ¿7о)| > ^— £г|Лк — ¿7о| = п — Л|Лк — ¿7о| > — £ГЛк
Отсюда с учетом (50) и однородности опорной функции получаем
ln |/i(Afc - ¿Yo)| = ln |/ (Afc - ¿Yo)| + Re(zi(Afc - ¿Yo)) > -eAfc + AfcRezi + Yolmzi =
= -£Afc + AfcRezi + YoImzi > HL(Afc - ¿Yo).
Здесь мы считаем, что /mzi > 0. Если /mzi < 0, то вместо Afc - ¿Yo нужно взять Afc + ¿Yo.
Мы показали, что Afc Е Rá, если |A&| > T(5). Таким образом, выполнены все условия теоремы 5.1 из работы [3], а также утверждение 5) этой теоремы. Поэтому верно и ее утверждение 2), согласно которому каждая функция из W(A,D) представляется рядом (1) в области D. Тогда то по теореме Абеля для рядов Дирихле (см., например, [1], гл. II, §1, п. 2,4) каждая функция из W(A,D) представляется рядом (1) в полуплоскости {z Е C : Rez < HD (1)}. Теорема доказана.
Отметим, что любая полуплоскость D = {z : Rez < а}, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому имеет место
Следствие. Пусть Л = {Ak}^=i — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел и D = {z : Rez < а}. Каждая функция из W(Л, D) представляется рядом (1) в полуплоскости D тогда и только тогда, когда Sa = 0.
Теорема 2. Пусть Л = {Ak}^=i — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел и D — неограниченная широкая выпуклая область в C такая, что положительная вещественная полуось принадлежит множеству J(D). Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) Каждая функция из W(Л, D) во всей плоскости представляется рядом (1);
2) Sa > -то.
Доказательство. Как отмечалось выше, в условиях теоремы система E не полна в H(D). Тогда по теореме 5.1 из работы [3], из утверждения 1) данной теоремы следует 2).
Докажем обратное. Проверим, что верно утверждение 5) из теоремы 5.1 в работе [3]. Неравенство Sa > -то выполнено согласно 2). Остальные пункты утверждения 5) указанной теоремы в нашем случае выполнены тривиально, т.к. все точки Afc принадлежат положительной вещественной полуоси, которая лежит в J(D). Таким образом, в силу теоремы 5.1 в работе [3] каждая функция из W(Л, D) представляется рядом (1) в области D. Поскольку опорная функция D неограничена на положительной вещественной полуоси, то по теореме Абеля для рядов Дирихле каждый такой ряд сходится во всей плоскости. Теорема доказана.
В частном случае для D = C получаем
Следствие. Пусть Л = {Ak}^=i - неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел. Следующие утверждения эквивалентны:
1) Каждая функция из W(Л, C) во всей плоскости представляется рядом (1);
2) Sa > -то;
3) Каждая функция из W(Л, C) представляется рядом (1) на некотором открытом подмножестве плоскости.
Доказательство. Утверждения 1) и 2) эквивалентны согласно теореме 2. Импликация 1) ^ 3) тривиальна. Импликация 3) ^ 2) вытекает из леммы 3. Следствие доказано.
Теорема 3. Пусть Л = {Ak}^=i — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел, D — неограниченная узкая выпуклая область в C
такая, что положительная вещественная полуось принадлежит множеству J(D) и ф Е [0,п) такое, что HD(e^) < +то и HD(e^+n) < +то. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) Каждая функция из W(Л, D) во всей плоскости представляется рядом (1);
2) Sa > -то и
| sinф| lim Лит V Re^ < -1 (HD(e^) + Hd(e^+n)) . (51)
ln a z' Ak 2n
r^Afc<ar
Доказательство. Если выполнено 1), то по лемме 10 система E не полна в H(D). Тогда, как нетрудно заметить, из теоремы 2 в работе [14] следует (51). Применяя теперь теорему 5.1 из работы [3], получаем 2).
Обратно, если верно (51), то по теореме 2 из работы [14] система E не полна в H(D). Тогда по теореме 5.1 из работы [3] верна импликация 2) ^ 1). Теорема доказана.
Теорема 4. Пусть Л = {Ak}^=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел, D — выпуклая область в C такая, что функция HD (A) ограничена в окрестности A =1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) Каждая функция из W(A.,D) представляется рядом (1) в полуплоскости {z Е C : Rez < HD(1)};
2) Система E не полна в H(D), Sa = 0, т0(Л) < +то, и пересечение опорной прямой {z Е C : Rez = HD(1)} с границей области D содержит отрезок длины 2пт0(Л).
Доказательство. Пусть верно утверждение 2). Покажем, что выполнены все условия теоремы 3.6 в работе [3]. Условия 1) и 2) этой теоремы выполнены, т.к. Sa = 0. Условия 3) и 4) выполнены тривиально, т.к. все точки Ak принадлежат положительной вещественной полуоси, в окрестности которой опорная функция области D ограничена. Остается проверить условие 5). Такая проверка уже осуществлена в лемме 7. Согласно ей условие 5) теоремы 3.6 из работы [3] также выполнено. Тогда в силу этой теоремы и предложения 2.10 работы [3] каждая функция из W^,D) представляется рядом (1) в области D. Как и выше, по теореме Абеля для рядов Дирихле получаем отсюда утверждение 1) данной теоремы.
Пусть теперь верно утверждение 1). Предположим, что Sa = — то. Тогда по лемме 4 для каждого т > 0 существует 5 > 0 и функция gT Е W(Л,С), где
G = ({z : Rez < т5} П B(0, т)) U {z : Rez < 0}, которая представляется рядом (1) с абсциссой сходимости y = 0. Положим X = dD П {z : Rez = HD(1)}. По условию HD(A) ограничена в окрестности A =1. Поэтому X является либо точкой, либо отрезком. Если X состоит из одной точки, то обозначим ее z0. В противном случае через z0 обозначим середину отрезка X. Пусть т > 0 строго больше длины X (возможно равной нулю). Тогда область G = G + z0 — 6 для некоторого 6 Е (0, 5) содержит D. Положим g(z) = gT(z — z0 + 6). Функция g принадлежит пространству W(Л, G) С W^,D) и представляется рядом (1) с абсциссой сходимости y = Rez0 — 6 = Hd (1) — 5. Поскольку разложение в ряд Дирихле является единственным, то это противоречит утверждению 1).
Таким образом, Sa > —то. Отсюда, как уже отмечалось, следует равенство Sa = 0. Кроме того, по лемме 1 максимальная плотность т0 (Л) конечна, а по лемме 10 система E не полна в H(D). Остается показать, что множество X имеет длину не меньше, чем
2пто(Л).
Предположим, что длина X равна 2пт' < 2пт0(Л). Выберем а > 0 такое, что т' + а < т0 (Л). Рассмотрим области
D" = {z : Rez < HD(1)} П {z : Re(ze-ie) < Re((z0 + г(т' + a))e-ie)}П
n{z : Re(zeie)) < Re((zo — г(т' + a))eie)}, D' = D" П {z : Rez > b}.
Нетрудно заметить, что область D'' является неограниченной выпуклой, и для некоторого в > 0 содержит D, а область D' С D'' представляет из себя равнобедренную трапецию (когда b < Hd(1)), основания которой параллельны мнимой оси. Одно из них лежит на опорной прямой {z : Rez = HD(1)} к области D, содержит X и имеет длину 2п(т' + а). Длина другого строго больше, чем 2п(т' + а), и она увеличивается при уменьшении b. Выберем b Е R такое, что эта длина становится строго больше, чем 2пт0(Л). Тогда область D' содержит некоторый сдвиг отрезка [—гпт0(Л), гпт0(Л)]. Пусть f — функция, существование которой утверждается в лемме 6. Так как f обращается в ноль в точках Ak, k > 1, то система E не полна в H(D'). Поэтому подпространство W^,D') нетривиально.
Предположим, что каждая функция из Ш(Л, ) представляется рядом (1) в области .
Поскольку она ограничена, то по теореме 5.2 из работы [3] существует целая функция ^ экспоненциального типа, которая обращается в ноль в точках Лк, к > 1, имеет регулярный рост всюду в плоскости, и ее сопряженная диаграмма совпадает с замыканием области Д;. Тогда согласно (2) за исключением не более чем счетного числа значений ^ верно равенство
т Л) = 2л5(—(52)
где Л — нулевое множество f, з(—^,^,Д;) — длина дуги 7(^) границы 5Д;, заключенная между точками опоры г(^), г(—<^) € соответственно опорных прямых
/(±^) = {г : Яе(ге±^г) = (е±^г)|. Поскольку Л является частью множества Л, которое
измеримо, то за исключением не более чем счетного числа значений ^ имеем:
п(г, Л) — п((1 — 5)г, Л) -- —п(—<£, <£, г, Л) — п(—<£, <£, (1 — 5)г, Л)
то (Л) = lim lim------------------— ^ lim lim
¿“0 r“ro ¿r ¿“0 r“ro ¿r
= um f iimn(-yf-r-Л) - iimn(-~^. а - ¿)r-Л)
¿“0 уr“ro ¿r r“ro ¿r
— ^т (-^,^, Л) (1 - ¿)т (-^,^, Л)^\ , ^
= ¿“’0 ^---6-----------------6-------) =т (-^Л).
Для достаточно малых ^ дуга 7(<^) совпадает с основанием трапеции D', длина которого равна 2п(т' + а). Поэтому в силу (52) должно быть верно неравенство т0(Л) ^ т' + а. Это противоречит выбору числа а.
Таким образом, существует функция g' Є W(Л,Д'), которая не представляется рядом (1) в области D'. Рассмотрим теперь область D' = D' П {z : Rez < а}, где b < а < HD (1). Она лежит в D' и является равнобедренной трапецией, основания которой параллельны мнимой оси. Одно из них совпадает с тем основанием D', которое имеет длину строго больше 2пт0(Л). Выберем число а такое, что другое основание D' также имеет длину строго больше 2пт0(Л). Система E не полна в H(D') по тем же причинам, что и для H(D'). Тогда по уже доказанной импликации 2) ^ 1) функция g' Є W(Л, і)') представляется рядом (1) в полуплоскости {z : Rez < а}. Объединение последней и области D' содержит D''. Поэтому g' Є W^,D') П H(D''). Поскольку область D'' неограничена, то согласно теореме 8.1 из работы [15] верно также включение g' Є W^,D''). Область D лежит в D''. Следовательно, g' Є W^,D). В силу утверждения 1) функция g' представляется рядом (1) в полуплоскости {z Є C : Rez < Hd(1)}, которая содержит D'. Это противоречит выбору g'.
Таким образом, отрезок X имеет длину не меньше, чем 2пт0(Л). Теорема доказана.
Замечание. Если последовательность Л имеет плотность т(Л) (и тогда т(Л) = т0(Л)), то система E не полна в H(D) тогда и только тогда, когда область D содержит некоторый вертикальный отрезок длины 2пт0(Л) (см. [16], гл. III, §1, теорема 3.1.6). Если же область D неограничена, то, как и выше, условие о том, что система E не полна в H(D), можно либо исключить либо заменить на (51).
Следствие 1. Пусть Л = {Ak}ГО=і — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел, D — неограниченная широкая выпуклая область в C такая, что функция HD (A) ограничена в окрестности A =1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) Каждая функция из W(A.,D) представляется рядом (1) в полуплоскости {z Є C : Rez < HD(1)};
2) Sa = 0, т0(Л) < и пересечение опорной прямой {z Є C : Rez = HD(1)} с границей области D содержит отрезок длины 2пт0(Л).
Следствие 2. Пусть Л = {Лк}^=1 — неограниченная строго возрастающая последовательность положительных чисел, D — неограниченная узкая выпуклая область в C такая, что функция (Л) ограничена в окрестности Л =1 и ф Е [0,п) такое, что HD (e^) < и (ег^+п) < +то. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) Каждая функция из W^,D) представляется рядом (1) в полуплоскости
{z Е C : Rez < (1)};
2) Выполнено (51), Sa = 0, т0(Л) < +то, и пересечение опорной прямой
{z Е C : Rez = (1)} с границей области D содержит отрезок длины 2пт0(Л).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.
2. Гольдберг А.А., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 5-186.
3. Кривошеев А.С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Известия РАН. Серия матем. 2004. Т. 68, № 2. С. 71-136.
4. Кривошеева О.А., Кривошеев А.С. Критерий справедливости фундаментального принципа для инвариантных подпространств в ограниченных выпуклых областях комплексной плоскости // Функц. анализ. 2012. Т. 46. № 4. С. 14-30.
5. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.
6. Лелон П., Л. Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. Мир, М., 1989.
7. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983.
8. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.
9. P. Koosis The logarithmic integral I. Cambridge University Press, 1997.
10. Кривошеева О.А. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости // Алгебра и анализ. 2011. Т.23. № 2. С. 162-205.
11. Кривошеева О.А. Область сходимости рядов экспоненциальных мономов // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3. № 2. С. 43-56.
12. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica. 1985. Т. 11. С. 257-282.
13. Красичков И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней // Математический сборник. 1966. Т. 70(112). № 2. С. 198-231.
14. Хабибуллин Б.Н. О росте целых функций экспоненциального типа вдоль мнимой оси // Математический сборник. 1989. Т. 180. № 5. С. 706-719.
15. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Математический сборник. 1972. Т. 88(130). № 1. С. 3-30.
16. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.
Александр Сергеевич Кривошеев,
Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,
450008, г. Уфа, Россия
Олеся Александровна Кривошеева,
Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,
450074, г. Уфа, Россия
E-mail: [email protected]
