Представление аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 4 (2016). С. 3-23.

УДК 517.5

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А.И. АБДУЛНАГИМОВ, А.С. КРИВОШЕЕВ

Аннотация. В работе рассматриваются ряды экспонент с комплексными показателями, вещественные и мнимые части которых являются целыми числами. Доказывается, что любая функция аналитическая в окрестности замыкания ограниченной выпуклой области комплексной плоскости раскладывается в ряд указанного вида, сходящийся внутри этой области абсолютно и равномерно на компактных подмножествах. Этот результат основан на построении регулярного подмножества с любой заданной угловой плотностью последовательности всех комплексных чисел, вещественные и мнимые части которых являются целыми числами.

Ключевые слова: аналитическая функция, ряд экспонент, регулярное множество, плотность последовательности. Mathematics Subject Classification 30D10

1. Введение

Пусть Л*^ = {\к- перенумерованная (каким-либо образом) в порядке не убывания модулей последовательность всех комплексных чисел с целочисленными координатами: Хк = т + il,m,l Е Z. Рассмотрим ряд

^ dm,ie(m+ü>. (1.1)

Предположим, что он сходится в каждой точке некоторого открытого подмножества Е С C. Нетрудно заметить, что для последовательности Л^ = {А&верны соотношения

ln к ln к

lim ——- = lim = 0. |Afc| у/fr

Тогда согласно результатам из работы [1] (теоремы 3.1 и 4.1) ряд (1.1) сходится в выпуклой области D С C, которая содержит выпуклую оболочку множества Е. Область D определяется при помощи формулы Коши-Адамара для рядов экспонент (см. [1], теорема 4.1):

D = {z Е C : Re(zC) <h($, |£| = 1}, ^(С) = Inf lim , Afc = m(k) + ü(k),

где инфимум берется по всем подпоследовательностям {Afc(J)}°=1 последовательности Л^ таким, что Afc(j)/|Afc(j) | сходится к точке £, когда j ^ х>. При этом ряд (1.1) сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах области D (см. [1], теорема 3.1). Следовательно, его сумма g(z) является функцией аналитической в области D.

Таким образом, если ряд (1.1) сходится на открытом подмножестве Е С C, то он сходится в выпуклой области D, содержащей Е, к функции функцией аналитической в D.

A.I. Abdülnagimov, A.S. Krivosheyev, Representation of analytic functions. © Авдулнлгимов А.И., Кривошеев А.С. 2016. Поступила 17 апреля 2016 г.

В данной работе решается в некотором смысле обратная задача представления любой функции аналитической в окрестности замыкания произвольной фиксированной ограниченной выпуклой области D С C рядом (1.1), сходящимся в D.

Благодаря классическому результату А.Ф. Леонтьева (см. [2], гл. IV, §6, теорема 4.6.4) о представлении функций аналитических в окрестности замыкания ограниченной выпуклой области D С C указанную задачу удается свести к задаче построения регулярного множества с заданной угловой плотностью (см. [3], гл. II, §1), которое является частью последовательности Л^.

Во втором параграфе (теоремы 2.1 и 2.2) последняя задача полностью решается. На этой основе в третьем параграфе (теорема 3.2) доказывается, что любая функция аналитическая в окрестности замыкания произвольной фиксированной ограниченной выпуклой области D С C раскладывается в ряд (1.1), сходящийся абсолютно и равномерно на компактных подмножествах области D.

2. Построение регулярного множества

Пусть Л = [\к}°= 1 - неубывающая по модулю последовательность комплексных чисел такая, что |А&| ^ то. Обозначим через п(г, Л) - число точек Л^, попавших в круг В(0, г) с центром в начале координат и радиуса г > 0. Нижней и верхней плотностью Л называются соответственно величины:

/ач т п(г, Л) _/АЧ г— п(г, Л) п(Л) = lim —^—-, п(Л) = lim —^—-.

г^те г г

Говорят, что последовательность Л имеет плотность п(Л) (измерима), если п(Л) = п(Л) = = п(Л) < +то. Имеем:

шт * < ism "<iA',I + 1- Л> = lim 2%!+М> * я(л). iim ± > iim n(|At!~ 1-Л = iim 1Л > а(Л).

Таким образом, если последовательность Л измерима, то

к

п(Л) = iim ——-. k^-tx |Afc |

Пусть p1,p2 S [-2^, 2ж), p2 - S (0, 2ж]. Такие значения р1, р2 будем называть допустимыми. Положим

Г(^1, ^2)(Г(^1, ^2]) = (А = te%v : р S (<pi, Р2)((Р1, V2]),t > 0}.

Символом Л(^1, ^2)(Л(^1, ^2]) обозначим последовательность, состоящую из всех пар (Afc,пк} таких, что \к S Г(^1,^2)(Г(^1,^2]).

Лемма 2.1. Пусть р-\_,р2 - допустимые u j > 0. Существует Д0 > 0 такое, что любой интервал (R, R + 7) при R > Д0 содержит модуль | некоторой точки S Л^('р1, р2).

Доказательство. Пусть р,т - целые числа такие, что луч Г с началом в нуле, проходящий через точку с координатами (т,р), лежит (за исключением начала) в угле Г(^1,^2). Такие р,т можно подобрать, взяв подходящее приближение числа tg р (<р S (р1, р2) \ (nk}kei выбирается произвольно) дробями р/т.

Луч Г состоит из диагоналей прямоугольников, вершины которых являются точками последовательности Л^, а длины их сторон равны |р| и |га|. Он содержит точки \k(s), s = 1, 2,..., последовательности р2), расположенные на расстоянии h друг от дру-

га. Последнее совпадает с длинами диагоналей указанных прямоугольников. Точки \k(s) имеют координаты (sm, sp), s = 1, 2,... Пусть - прямая, перпендикулярная лучу Г и проходящая через точку \k(s), s > 1. Она также состоит из диагоналей прямоугольников,

вершины которых являются точками последовательности Л^, а длины их сторон равны |р| и |т|. Для каждого s > 1 прямая содержит точки \k(s,j), j E Z, последовательности Л^. Они имеют вид Xk(s,j) = Xk(s) + jhet(^0+^/2), j E Z, где определяется из равенства tg = p/m.

Поскольку луч Г \ {0} лежит в угле Г(^, ^2), то для некоторого числа ß > 0 каждая точка Xk(s,j) с условием 0 ^ j ^ ßs и s > 1 принадлежит последовательности Лz(^1,^2). Пусть s > 1 и js - максимальный номер j > 0, удовлетворяющий неравенству j ^ Д,.

Рассмотрим набор |Afc(sj)|, j = 0,1,... ,js. Величина |Afc(Sj)| является гипотенузой прямоугольного треугольника с вершинами 0, Хф) и Xk(s,j). Длина |А&(8) — Хф,^ одного из его катетов является возрастающей функцией по параметру j > 0 (она равна jh). Поэтому верны неравенства

¡Afc^o)! < ^^д^ < ••• < iAfc^)!. Имеем: |Afc(s,0)| = |Afc(s)| = \J(sm)2 + (sp)2 = s^/m2 + s2 = sh и при j > 0

|Afc(sj+i) | — |Afc(s,j)| = ^|Аад|2 + ((j + 1)h)2 — ^|Аад|2 + (jh)2 =

= ^(sh)2 + ((j + 1)h)2 — VW+CW = h(^2 + (j + 1)2 — V^2 + 32 ) =

=h^ü+i2 (f+Щ—1).

Верна оценка ln \/1~ + x ^ x/2. Следовательно,

oo ^ oo 2

__/y'V rp /у /у2

^ еж/2 = V ^ 1 + % + x2 V =1 + % + ^ 1 + x ^ 2nn\ 2 ^ 2 1 — ж

ra=0 ra=0

для всех x E [0,1/4]. Отсюда с учетом предыдущего получаем:

|Afc(s,•+1)| — |Afc(s,-)| ^ hJs2 + j2 f + 1 = h—/ + = h—2 + = ^ h ^ + . | k(sJ+i)| | k(s^^ v J s2 + j2 V^+J2 V1 + U/s)2 s

Выберем номер s0 такой, что h/s0 < 7/2. Тогда

¡Afc^j+i)! — ^(з^ j ^ 4h, S > So.

Пусть а = min{^,^7/4h} и js - максимальный номер j > 0, удовлетворяющий неравенству j ^ ßs. Тогда js ^ Поэтому все точки Xk(s,j), j = 0, js, s > 1, принадлежат последовательности Лz(^1,^2). Кроме того, верны неравенства

1^(^+1)1 - < 'у, з = 0,]8, 8 > во. (2.1)

Оценим снизу величину )|. В силу выбора номера js Имеем:

|а^ 1 = +(^)2==1+(^^ у2.

s)| = V |^М|2 + (jsh -

Поскольку

т S Г fßs — 14 2 lim - 1

s^o s + 1

то найдется номер s1 > s0 такой, что

K^jJ >s h + +h, s> si.

\A + (^)2 = ^ >

Таким образом, для каждого 8 > ^ мы имеем возрастающий набор чисел

] = 0,такой, что \к(з,з) Е Л^(р1,р2) для всех ] = 0,Первое из этих чисел совпадает с зк, а последнее строго больше зк + к. Отсюда с учетом (2.1) следует, что любой интервал (В,, К + 7), пересекающий полуинтервал [эк, вк + к), содержит хотя бы одно из чисел этого набора. Полагая теперь Д0 = ^1к, мы тем самым завершаем доказательство леммы.

Пусть Л1 = {А*и Л2 = {Л2}°=1. Будем говорить, что Л1 является подпоследовательностью Л2 (писать Л1 С2), если существует набор индексов j(k), к > 1, такой, что XI = А2^), к > 1. Если XI = А2, к,] > 1, то под объединением Л1 и Л2 последовательностей Л1 и Л2 будем понимать последовательность, состоящую из всех элементов АI, А2, к,] > 1.

Доказательство следующего утверждения опирается на метод, изложенный при доказательстве леммы 5 в работе [4] (см. также [5], лемма 2).

Лемма 2.2. Пусть <р1,р2 - допустимые, 5 > 0 и Л0 = {А^}£=1 имеет плотность т0 > 0 (возможно Л0 - пустая). Предположим, что г > т0. Тогда существует последовательность Л1 = {А1}°=1 С Л%(р1, р2), имеющая плотность г — т0 и такая, что

||АЗ|-|А° ||> ^ — 2, КЗ > 1, |А]+1| —|А] |> 1 — 5,з > 1. (2.2)

(если Л0 - пустая, то первое неравенство в (2.2) опускается).

Доказательство. Пусть а = 1/т. Положим 7 = шт{$, а}. Согласно лемме 2.1 найдется натуральное число р0 такое, что любой интервал (К, К + 7) при К > р0а содержит модуль |£т| некоторой точки £т Е Л^(р1, р2). Последовательность Л1 будем искать в виде объединения Л1 = Ур> Л*. Построим по индукции множества Л*, р > р0. Предварительно символом Мр обозначим общее число точек множеств Л^, в = р0,р.

Пусть р = р0. Если полуинтервал [ра, (р + 1)а) содержит хотя бы один элемент последовательности {|Х^|}^=1, то полагаем Л* = 0. В противном случае в качестве Л* возьмем множество, состоящее из одной точки £т Е Лх(р\,р2), модуль |£т| которой принадлежит интервалу

2р +1 7 2р +1 7 \

-а--,-а +— . (2.3)

2 2 2 2у 1 ;

Хотя бы одна такая точка существует в силу определения числа р0 (если их несколько, то произвольным образом выберем одну из них).

Пусть теперь р > р0. Предположим, что мы уже построили множества Л^ для всех в = р0,р — 1. Определим Л*. Если выполнено неравенство

Мр-1 + п((р + 1)а, Л0) — п(Р0а, Л0) > р + 1 — Р0, (2.4)

то полагаем Л* = 0. Если же

Мр-1 + п((р + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0) <р + 1 — р0, (2.5)

то в качестве Л* возьмем множество, состоящее из какой-нибудь одной точки Е модуль |£т| которой принадлежит интервалу (2.3). Как и выше, хотя бы

одна подобная точка £т существует.

Таким образом, мы построили последовательность Л1. Покажем, что она искомая. Положим Л = Л0 и Л1 и докажем, что Л имеет плотность т.

Докажем вначале, что для всех I > р0 выполнены неравенства

I — Р0 ^ п(1а, Л) — п(р0а, Л) ^ шах{ — р0, М—2 + п(1а, Л0) — п(р0а, Л0)}, (2.6) где для удобства полагаем МР0 -1 = 0.

Если для р = I — 1 верно (2.4), то по построению Лг1_1 = 0. Поэтому Ni_1 = Ni-2. Следовательно,

n(la, Л) — п('р0а, Л) = N—1 + n(la, Л0) — п(р0а, Л0) = + п(1а, Л0) — п(гр0а, Л0),

т.е. правое неравенство в (2.6) верно. Если же выполнено (2.5), то по построению Лг1_1 состоит из одной точки. Поэтому Л^_1 = Ni-2 + 1. Следовательно, в силу (2.5) имеем:

п(1а, Л) — п('р0а, Л) = N—1 + n(la, Л0) — п(р0а, Л0) =

= N-2 + 1 + п(1а, Л0) — п(р0а, Л0) <1 — р0 + 1 ^ I — р0. Таким образом, правое неравенство в (2.6) верно и в этом случае.

Докажем теперь левое неравенство. Применим индукцию. Если полуинтервал [р0а, (р0 + 1)а) содержит хотя бы один элемент последовательности {|А^|}^=1, то

п((р0 + 1)а, Л) — п(р0а, Л) > п((р0 + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0) > 1 = р0 + 1 — р0,

т.е. левое неравенство в (2.6) в этом случае верно. Если же полуинтервал [р0а, (р0 + 1)а) не содержит ни одного элемента последовательности {| А^ |}^=1, то по построению множество состоит из одной точки. Поэтому

п((р0 + 1)а, Л) — п(р0а, Л) > п((р0 + 1)а, Л1) — п(р0а, Л1) = NP0 = 1 = р0 + 1 — Р0.

Таким образом, левое неравенство в (2.6) верно при I = р0 + 1. Предположим, что оно верно для всех I = р0 + 1,р и докажем, что тогда оно верно и при I = р +1. Если для р = I — 1 верно (2.4), то

п(1а, Л) — п('р0а, Л) = п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) = Np + п((р + 1)а, Л0) — п(гр0а, Л0) >

> Np_1 + п((р + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0) > р +1 — Р0 = I — Р0, т.е. левое неравенство в (2.6) верно в этом случае. Пусть теперь для р = I — 1 верно (2.5). Тогда по построению Л^ состоит из одной точки, т.е. Np = Np-1 + 1. По допущению индукции п(ра, Л) — п(р0а, Л) > р — р0. Следовательно,

п(1а, Л) — п(р0а, Л) = п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) = п(ра, Л) — п(р0а, Л) + +п((р + 1)а, Л) — п(ра, Л) > р — р0 + п((р + 1)а, Л1) — п(ра, Л1) = = Р — Р0 + Np — Np_1 = р — р0 + 1 = I — Р0. Таким образом, неравенства (2.6) полностью доказаны. Используя левое неравенство в (2.6), получаем:

/ач т п(г, Л) п(1а, Л) п(1а, Л)

п(Л) = lim ^ ' > lim -f—Ц-^ = lim , ' = г (I + 1)а ^

.. п(1а, Л) — п(р0а, Л) + п(р0а, Л) п(1а, Л) — п(р0а, Л) I — р0

= lim-;-= lim-;- > lim —;-=

lo. i^^ lo. i^^ lo.

= lim — = — = т.

la а

Отсюда имеем: п(Л) > т. Докажем теперь неравенство п(Л) ^ т.

Пусть Tj ^ то последовательность, реализующая верхний предел в определении величины й(Л), и l(j), j > 1, - минимальное натуральное число, такое, что l(j)а > rj. Если п(1а, Л) — п(р0а, Л) > I — р0 для всех I > р0, то в силу правого неравенства в (2.6) и определений Ni имеем:

п(1а, Л) — п('р0а, Л) ^ N—2 + n(la, Л0) — п(р0а, Л0) = п((1 — 1)а, Л) — п(р0а, Л)+

+п(1а, Л0) — п((1 — 1)а, Л0) ^ N— + п((1 — 1)а, Л0) — п(Р0а, Л0) +

+п(1а, Л0) — п((1 — 1)а, Л0) = п((1 — 2)а, Л) — п(р0а, Л)+

+п(1а, Л0) — п((1 — 2)а, Л0) ^ ■ ■ ■ ^ Np— + п((р0 + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0) +

+п(1 а, Л0) — п((р0 + 1)а, Л0) = п(1 а, Л0) — п(р0а, Л0). Отсюда, учитывая, что

Л0

имеет плотность 0 < , получаем:

nfa, Л) — n(l(j)a, Л) — n(l(j)a, Л) — n(jp0a, Л) + п(]р0а, Л)

п(Л) = lim - < lim ———-тт = lim ----=

j^o rj j^o (l(j) — 1)a j^o l(j) ot

— n(l(j)a, Л) — п(Р0а, Л) — n(l(j)a, Л0) — n(p0«, Л0) — ^(ZO")«, Л0) . = lim -Tr\-< lim -Tr\-= lim -ТГл-<

< й(Л°) = r0 <т.

Это противоречит неравенству п(Л) > т. Следовательно, п(1 а, Л) — п(р0а, Л) < I — р0 хотя бы для одного номера > 0. Таким образом, найдется 0 такое, что для каждого j > j0 существует максимальное натуральное число m(j), удовлетворяющее условиям: m(j) < l(j) и n(m(j)a, Л) — п(р0а, Л) < m(j) — р0. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что m(j)/l(j) сходится к некоторому числу 7 E [0,1]. Используя правое неравенство в (2.6), как и выше, получаем оценку

n(l(j)a, Л) — п(р0а, Л) < n((l(j) — 1)а, Л) — п(р0а, Л) + n(l(j)a, Л0) — n((l(j) — 1)а, Л0) <

< ■ ■ ■ < n(m(j)a, Л) — п(р0а, Л) + n(l(j)a, Л0) — n(m(j)a, Л0). Отсюда с учетом выбора номера m(j) имеем:

п(Л) < lim ---— = lim ——-= lim -—-<

з^о (l(j) — 1) а з^о l(j)a 3^0 l>(])ot

-— n(m(j)a, Л) — п(р0а, Л) -— n(l(j)a, Л0) — n(m(j)a, Л0) < lim -ТГ~\-+ lim -тТл- <

< lim — p0 + um n(l(^a,Л0) — n(m(j)a,Л0) = 7 + lim n(l(^a,Л0) — n(m(j)a,Л0)

^ j l(j)a з^о Kj)a a э^о Kj)a

Если 7 = 0, то

_/n ^ чт n(l(j)a, Л0) — n(m(j)a, Л0) — n(l(j)a, Л0) 0

га(Л) < lim v '—, v—?—- < lim —- < и(Л0) = r0 <r.

З^о l(j)®- З^о l(j)OL

Это противоречит неравенству п(Л) > т. Следовательно, 'у > 0. Выберем 8' > 0 такое, что 7 — 8' > 0. Положим 8 = 1 — 7 + 8'. Тогда 8 E (0,1) и m(j) > (1 — 8)l(j), j > j1. Поэтому

_(Л) < 7 + lim п(р(з)а, Л0) — n((1 — 8)p(j)a, Л0)

а з^о р(з)&

Поскольку последовательность

Л0

имеет плотность 0, то jr^ n(p(j)g, Л0) — n((1 — 8)p(j)a, Л0) = ]im n(p(j)a, Л0) — ((1 — 8)p(j)a, Л0) =

3p(j)& З^о p(j)&

n(p(j)a, Л0) ]г n((1 — S)p(j)a, Л0) (1 .

lim -—--lim -—-= то — (1 — 8)T0 = 8T0.

p(j)o. з^о p(j)a

Таким образом,

п(Л) < - + ir0 = Г7 + (1 — 7 + 8')T0.

а

Так как 8' > 0 может быть сколь угодно малым, то п(Л) ^ т7+ (1 — 7)т0. Отсюда с учетом неравенств т0 < г и п(Л) > т получаем: п(Л) = т и 7 = 1. В частности, это означает, что последовательность Л имеет плотность т. Тогда

/а 1ч т п(г, Л1) п( г, Л) — п( г, Л0) . п( г, Л) п( г, Л0) и(Л1) = lim —^-- = lim ^ '-—-- = lim ^ ' — lim —^-- = т — т0,

г^о т г^о f г^о f г^о f

т.е. Л1 имеет плотность — 0.

Остается доказать неравенства (2.2). По построению каждый полуинтервал [ра, (р + 1)а), р = 0,1,... содержит не более одного элемента последовательности ||А]|}°=1. При этом, если полуинтервал [ра, (р + 1)а), р = 0,1,... содержит число |А]|, то оно лежит на интервале (2.3). Следовательно, |А1+1| — |А]| > а — 7 = 1/т — 7 > 1/т — 8, ] > 1, т.е. правое неравенство в (2.2) выполнено. Докажем теперь левое. Имеем:

п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) = п((р + 1)а, Л1) — п(р0а, Л1) +

+п((р + 1)а, Л0) — п('р0а, Л0) = п((р + 1)а, Л1) — п(ра, Л1) + п(ра, Л1 ) —

—п(р0а, Л1) + п((р + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0) = п((р + 1)а, Л1) — п(ра, Л1) +

+Ир-1 + п((р + 1)а, Л0) — п(Р0а, Л0). (2.7)

Кроме того,

п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) = п(ра, Л) — п(р0а, Л) +

+п((р + 1)а, Л1) — п(ра, Л1) + п((р + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0). (2.8)

Предположим, что полуинтервал [ра, (р + 1)а) содержит одновременно некоторое число |А]| и хотя бы один элемент последовательности {| Ак |}^=1. Тогда

п((р+ 1)а, Л1) — п(ра, Л1) = 1, п((р + 1)а, Л0)п(р0а, Л0) > 1.

Отсюда с учетом (2.8) и левого неравенства в (2.6) получаем:

п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) > п(ра, Л) — п(р0а, Л) + 2 > р — р0 + 2 > р + 1 — р0.

Поэтому в силу правого неравенства в (2.6) имеем:

п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) ^ Мр-1 + п((р + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0).

Вместе с (2.7) это дает нам равенство

п((р + 1)а, Л1) — п(ра, Л1) = 0,

которое означает, что полуинтервал [ра, (р + 1)а) не содержит ни одного элемента последовательности {|А]|}°=1. Получили противоречие с предположением.

Таким образом, если полуинтервал [ра, (р + 1)а) содержит некоторое число |А]|, то он не содержит ни одного элемента последовательности {| Ак |}^=1. По построению |А]| принадлежит интервалу (2.3). Следовательно,

I 1АЧ IА011 >а 7= 1 7 > 1 8 к> 1

I |А1| — |Ак1 ^ 2 — 2 = 27 — 2 > 27 — 2, к > 1.

Это дает нам первое неравенство в (2.2). Лемма доказана.

Лемма 2.3. Пусть 8 > 0 и р1 Е [—2^, 0), р1 < р2 < • • • < Рп < Рп+1 = р1 + 2ж, т1,..., тп > 0 и т = т^ + • • • + тп > 0. Существует последовательность Л = {Ак}£=1 такая, что Л С п(Л(р3, р8+1]) = т3, в = 1,п, и

|Ак+11 —|Ак|> т1 — 5, к> 1. (2.9)

2

Доказательство. Положим т0 = 0 и Л0 = 0. Последовательность Л С Л^ будем искать в виде объединения Л1 У ... и Лп. Построим, используя индукцию, последовательности Л3 С Л^(р3,р3+1), 5 = 1,п, удовлетворяющие следующим условиям: последовательность Л5 = {| Ак |}^=1 имеет плотность т3 и при т3 > 0 верны неравенства

I |АП — |Ак | |> ^ — 2, к,1 > 1,]=Т^—1, | Ак+11 — | Ак | > ^ — $,к > 1, (2.10)

2т3 2 т3

где т3 = т^ + • • • + т3 (если Л0 и ... и Л5-1 = 0, то первое неравенство в (2.10) опускается). Если же т3 = 0, то Л5 = 0.

Пусть 5=1. Если п = 0, то полагаем Л1 = 0. В противном случае по лемме 2.2 существует последовательность Л1 = {| Ак |}^=1 С Л^( р1, р2), имеющая плотность т! — г0 = т^ и такая, что выполнено (2.10).

Предположим, что требуемые последовательности Лj•, ] = 1,5 — 1, уже построены. В лемме 2.2 в качестве Л0 возьмем объединение Л1 и ...и Л5-1. Тогда согласно этой лемме существует последовательность Л5 = {АкС Л^( рj, рj•+1), имеющая плотность т3 = т3 — Та-1 и такая, что верно (2.10). Таким образом, мы построили последовательность Л = {Ак }Г= 1 С для которой п(Л(Рs, р«+1]) = п(Л.в) = Ts, в = 1,п. Поскольку Т > Т3, в = 1, п, то для нее выполнено (2.9). Лемма доказана.

Рассмотрим теперь более точные характеристики последовательности Л = {Ак}^=1. Нижней и верхней плотностями Л в угле Г( р1, р2) называются соответствующие плотности последовательности Л( р1, р2).

Говорят (см. [3], гл. II, §1), что Л имеет угловую плотность п(Л, р1, р2) < +ж (при порядке один), если для всех допустимых р1, р2 за исключением, быть может, счетного множества ФЛ верно равенство п(Л(р1, р2)) = п(Л(р1, р2)) = п(Л, р1, р2). Число р Е ФЛ \ {—2—}

тогда и только тогда, когда Ш п(Л(р — р,р + р)) > 0, где р достаточно мало. Число —2—

р>0

принадлежит или не принадлежит Фл одновременно с р =0.

Символом Е обозначим класс неубывающих на [—2—, 2-] функций ш(р), обладающих следующими свойствами: ш(0) = 0, ш непрерывна слева, ш(р) = ш(р — 2—) — ш(—2—), р Е [0, 2—). Через Ф(ш) обозначим множество точек разрыва функции ш.

Пусть Л имеет угловую плотность. Тогда она единственным образом определяет функцию шл Е Е по правилу: для р1, р2 Е (—2—, 0) \ Фл, р Е (р1, р1 + 2—) \ Фл

шл (р 1) = — Иш п(Л, р1,р2), шл (р) = п(Л, р1 ,р)+ ш л (р 1).

Точнее говоря, шл единственным образом продолжается до функции из класса Е, причем продолжение не зависит от р1. Нетрудно заметить, что множества Фл и Ф(шл) совпадают. Из определения шл следует равенство п(Л,р1,р2) = шл(р2) — шл(р1) для любых допустимых р1,р2 Е Фл = Ф(шл). При этом п(Л) = шл(р + 2—) — шл(р), р Е [—2—, 0). Будем говорить, что последовательность Л имеет угловую плотность ш Е, если она имеет угловую плотность и шл = ш.

Лемма 2.4. Пусть ш Е Е и Л таковы, что для некоторого р1 Е (—2—, 0) \ Ф(ш) и всех р,ф Е Ф(ш) с условием р1 ^ р < ф ^ р1 + 2— последовательность Л(р,ф] имеет, плотность и п(Л(р,ф]) = ш(ф) — ш(р). Тогда Л имеет угловую плотность ш.

Доказательство. Пусть р1 ,р2 Е Фл являются допустимыми. В зависимости от расположения точек р1, р2 на отрезке [—2—, 2—] возможны несколько ситуаций. Изучим две из них. Остальные рассматриваются аналогично.

1. р2 = р1. В этом случае Л(р1,р2) = Л(р1 + 2—, р1 + 2—) С Л(р1 + 2—, р1 + 2—]. По условию ( р1 + 2—) Е Ф(ш). Покажем, что ( р1 + 2—) Е Ф(ш). Поскольку р1 Е Фл, то

Ш п(Л(р>1 + 2— — р, р1 + 2— + р)) = т£ п(Л(р>1 — р, р1 + р)) = 0. (р>0 (р>0

Пусть ф1 ^ 0 такая, что (р1 + 2— ± ф{) Е Ф(ш), I > 1. Тогда с учетом условия имеем:

ш(р1 + 2— + фг) — ш(р1 + 2— — ф1) = п(Л(р{) + 2— — ф1, р1 + 2— + фг]) ^

^ п(Л(р1 + 2— — 2фх, р1 + 2— + 2ф) ^ 0, I ^ ж.

Так как ш не убывает, то отсюда следует требуемое. Поэтому согласно определению верхней плотности и условию с учетом леммы 2.1 получаем

п(Л(р1 ,р2)) ^ п(Л(р1 + 2—, р2 + 2—]) = ш(р1 + 2—) — ш(р1 + 2—).

С другой стороны, по сходным соображениям верно неравенство

п(Л(р1, р2)) > п(Л(р1 + 2—, р1 + 2— — ф1 ]) = ш(р1 + 2— — фг) — ш(р1 + 2—), I > 1.

где 0 < Ф1 ^ 0 и (< + 2^— ф\) ф Ф(ш). Отсюда, используя непрерывность ш в точке <<1+2т\ и предыдущее неравенство, находим, что Л( <1, <2) имеет плотность ш(<1 + 2^) — ш(<1 + 2^) = = ш(<1) — ш(<1) = ш(<2) — ш(<^).

2. <2 > <1, <1 < <1. Как и выше показывается, что <2, < + 2ж ф Ф(ш) и Л(<1, <2) имеет плотность ш(<2) — ш(<1). Тогда с учетом условия имеем:

п(Л(<1, <2)) = п(Л(<1, <1]) + п(Л(<1, <2)) = п(Л(< + 2я-, <1 + 2^]) + п(Л(<1, <2)) =

= ш(< + 2^) — ш(< + 2-к) + ш(<2) — ш(<1) = ш(<2) — ш(<?1). Отсюда с учетом непрерывности ш в точке <1 вытекает, что <1 ф Фд.

Таким образом, Л имеет угловую плотность п(Л, <1, <2) = ш(<2) — ш(<р1). Остается доказать, что шл = ш. С учетом последнего это следует непосредственно из определения шд, непрерывности слева функции ш и равенства ш(0) = 0. Лемма доказана.

Доказательство следующего утверждения опирается на метод, изложенный при доказательстве теоремы 2.1 в работе [6].

Теорема 2.1. Пусть ш ф £ и 5 > 0. Существует последовательность Л = { АкС Лч с угловой плотностью ш такая, что

|А*+1| — А| >

1

2(шд( <1 + 2и) — шд (< 1))

— 5, к > 1

(2.11)

где <1 ф (—2^, 0) \ Ф(ш) выбирается произвольно.

Доказательство. Прежде всего, построим специальный набор последовательностей Л3 С Лч, 3 > 1. Затем «склеим» из частей Л3 последовательность Л, имеющую требуемую угловую плотность. Пусть <1 ф (—2ж, 0) \ Ф(ш). Для каждого 3 > 1 фиксируем набор чисел < ф Ф(ш), 5 = 1, 8^), таких, что < = <1, < < < ''' < < <1 + 2^ = <^)+1 и Л

<+1 — < < 1/з, 8 = 1, По лемме 2.3 для каждого3 > 1 существует последовательность Л-7'

8

{ А£}ь=1 С Лч такая, что

п(Л<1+1 ]) = т1 = ш(<^+1) — ш(<), в = 1, 8(з), 3 > 1. |А{+1| — |А{ |>а = ^ — 8, к> 1,

где т = г! + ■ ■ ■ + Из (2.12) получаем: п(Л3) = т = шл(<1 + 2^) — шл(<1). Пусть з > 1. В силу (2.12) найдется число Rj > 0, удовлетворяющее условию

(2.12) (2.13)

п( г, Л3 (<,<+1])

— (ш( <1+1) — ш(<))

<

1

з$(зУ

5=1, 8(з), г > R

Г

(2.14)

(2.15)

Можно считать, что

Rj+1 > 2Rj, Rj+1 — a>Rj, з> 1. Пусть Л3'3 — набор всех элементов последовательности Л3, которые лежат в кольце {А ф С : Rj ^ |А| < Rj+1 — а}. Положим Л = У¿>1 Л3,3. По построению Л = {Ак}£=1 С Лч. В силу (2.13) условие (2.11) выполняется для точек множеств Л3'3, 3 > 1. Также по построению А| — А| > а, если ] = 1 и А3к ф Л3'3, А1п ф Л1'1. Отсюда следует, что условие (2.11) выполнено для последовательности Л. Остается показать, что Л имеет угловую плотность ш.

Фиксируем числа <<,ф ф Ф(ш) такие, что <1 ^ < < ф ^ <1 + 2п. Докажем равенство п(Л(<,ф]) = ш(ф) — ш(<). Пусть Г > 0 и номер з(г) такой, что Rj(r)-1 < 1" ^ Rj(r). По построению для каждого номера з0 и всех г > Rj0 имеем:

з(г)-2

п(г, Л(<,ф]) = п(Rj0, Л(<,ф]) + у (п^+1 — а, Л(<,ф]) — п(Rj, Л3 (<,ф])) +

3=30

+п(г(г), Л^)-1( р,ф]) — п(Д,(0-1, Л^)-1(р,ф]). (2.16)

где ¿(г) = шт{г, Rj(r) — а}.

Для каждого 3 > 1 найдутся номера 1 ^ г(з) ^ 1(з) ^ в(з) такие, что верны вложения

( )-1 ( ) и Г( ] С Г(р,ф] С и г(р2,р^+1]

s=г(j) + 1

(для конечного числа номеров 3 может оказаться, что г(з) + 1 > 1(з) — 1; в этом случае левое вложение отсутствует). Тогда имеем:

т_1

^ (п(г, Лj( р{, р^]) — п(г, Лj(р, р^])) ^ п(г, Лj(р, ф]) — п(г, Лj(р, ф]) ^

s=г(j•)+1

т

^ ^{п(г, Лj ( р^+1]) — п(г, Лj (р^р^])) , 0 <г < т. (2.17)

Пусть 1 ^ г ^ I ^ иг > Г > Rj. В силу (2.14) верно неравенство

¿^ (п(г, Л;(р^, р+1]) — п(г, Л;(р, р^])) — (г — г) 2] (ш(р^+1) — ш(р^))

«=г «=г

Следовательно,

2

^ —.

^ (п(г, Л; ( р8, р^]) — п(г, Л;(р^, р^])) — (г — г) (ш(рj) — ш(рj))

2

^ —.

Отсюда с учетом (2.17) получаем:

(г — г) (ш(р^.)_1) — ^р^^) — 2г/3 ^ п(^Л(р,ф]) — п(f,Л(р,ф]) ^

^ (г — г)(ш(рш) — ш^))+2г /з, з > 1, г>г > Rj. (2.18)

Пусть > 0. В силу непрерывности ш в точках ф и р найдется > 0 такое, что

|ш(ф) — ш(р) — (ш(ф) — ш(р))| < е, Уф,р : |фф — ф| < |р — р| <5. (2.19)

Выберем номер з0 > шах{1/ 5,1/е}. Тогда с учетом (2.16), (2.18), (2.19) и (2.15) имеем:

^Ь2 / 2 \

п(г,Л(р,ф]) > п(Rj0,Л(р,ф]) + ^ ( (Rj+l — а — Я;Мр^) — ш(р^)) — —р ) +

j=jo ^ '

+ (*(г) — Rj(r)_l)(ш(рj((;()r__l)) — ш(рЛ^-__1))) — > п(Rjo,Л(р,ф]) +

^Ь1 / 2 О X

+ Е ( Rj+l — а — R; )(ш(ф) — ш(р) — в) — +

;=;о+1 ^ ^ '

2 ( )

+(1(г) — Rj(r)_l)(ш(ф) — ш(р) — е) — ) — 1 > п(R;o,Л(р,ф])+

ЛгМ \ ,?М_2

/ \ 1 2 R7+1

ш(ф) - ш(р) - ■ 4 ' ° ~ ° ^ 1 О 1 X ^

+ (ш(ф) — ш(р) — е) I ^ ^^ — а — °) + ¿(г) — | — ^

2 ( )

;=;о / ;=;о

> п(°о,Л(р,ф]) + (ш(ф) — ш(р) — е)(г — ^о — а'(г)) — 6е^ r>R

;о-

Следовательно,

✓ лч п(г, Л(р,ф]) / ч -, oj (г)

п(Л(р, ф]) = lim v' ,nj > ш(ф) — ш(р) — £ — lim ———- - бе.

В силу выбора номера j(r) и (2.15) верны неравенства г > Rj(r)-1 > 2j<-r)-2Ri. Поэтому п(Л(р, ф]) > ш(ф) — ш(р) — 7е. Так как е > 0 - любое, то п(Л(р, ф]) > ш(ф) — ш(р). Аналогично получаем оценку сверху: п(Л(р,ф]) ^ ш(ф) — ш(р). Таким образом, верны равенства п(Л(р,ф]) = п(Л(р,ф]) = п(Л(р,ф]) = ш(ф) — ш(р). Отсюда по лемме 2.4 находим, что Л имеет угловую плотность ш. Теорема доказана.

Напомним, что последовательность Л = ( Лк}^=1 называется правильно распределенным множеством (см. [1], гл. II, §1) при порядке один, если она имеет угловую плотность и выполнено условие Линделефа, т.е. существует lim N(г, Л), где

N<г• Л)= Е i

l^k 1<г к

В следующих утверждениях дается ответ на вопрос, как последовательность с угловой плотностью "превратить"в правильно распределенное множество.

Пусть Л имеет угловую плотность. Будем говорить, что Л — последовательность общего вида, если существуют р1, р2, р3 Е [—п,п) такие, что р1 < р2 < рз, р2 — р1 < п, Рз — р2 < п, р1 + 2и — р3 < п и

п(Л(рз — р,р3 + р)) > 0, j = 1, 2, 3, рЕ (0, и/2).

Отметим, что функция, стоящая слева в этом неравенстве и зависящая от р, является неубывающей. Поэтому достаточно, чтобы неравенство выполнялось на некоторой последовательности р = фj,p ^ 0.

Лемма 2.5. Пусть а > 1, Л = (Лки C э тт ^ 0, т ^ то. Предположим, что Л — последовательность общего вида. Тогда существует последовательность нулевой плотности Т С Л такая, что

— N(а1+1,Т) ^ 0, /^то.

т=1

Доказательство. Пусть р1, р2 ,р3 — числа, участвующие в определении последовательности общего вида. Положим

ро = 4-1 min(n — (р2 — Р1); п — (рз — Р2); п — (Р1 + 2и — Рз)} < п/4.

Отметим важное свойство чисел р0,р1,р2,р3. Для любой прямой, проходящей через начало координат, и для любой из двух полуплоскостей, образованных этой прямой, существует j = 1, 2, 3 такое, что угол Г = Г( рj — 2 р0, рj + 2р0) лежит в этой полуплоскости.

Множество Т будем искать в виде Т = (J~=1 Тт, где Тт = (U}1=)^т-1)+1 = (Лк(т,Р)^^ -некоторое подмножество Л, лежащее в кольце К(т) = {£ : ат < |£| ^ ат+1}. Возможно, что Тт = 0 (т.е. р(т) = 0, р(т) = р(т — 1)) для некоторых т.

Положим р(0) = р(0) = 0, 7о(0) = 0, 7т(0) = ут-1(р(т — 1)) + 7т, т > 1,

р( т-1)+р 1

7ш(р)=7Ш(0) — -, Р=1,р(т). (2.20)

^=р( т—1)+1 ^

Пусть Г = Г( — <0,< + <<0),] = 1, 2, 3, П(<) = {£ ф С : Re(^ëгp} > 0, <(т,р) — аргумент числа ут(р) и ](т,р), т = 0, - номер, такой, что Г^(туР) С П(<(т,р)).

Для каждого т > 1 выберем набор Тт = {IIУ=т—т—+)+т) такой, что

1) р(т) - минимальное неотрицательное целое число, для которого либо |7m(p(m))l ^ (атsinро)-1, либо множество К(т) f]Tj(m,p(m)) не содержит точек последовательности Л \ Тт.

2) Для каждого р = 1, р(т) число íp(m-1)+p - произвольный элемент Ak(m,p) £ Л \ Тт,р-1

(где Тт,о = 0 и Тт,р-1 = {\k(m,s)]Ps-\, Р > 1), принадлежащий пересечению К(т) f| Г.,-(т,р-1).

Таким образом, множество Т = У Тт определено. Найдем оценку сверху для номеров р(т) > 0. Прежде всего, докажем, что справедливо неравенство:

ыр)1 ^ Ьш(р - 1)|-2-1а-т-1 sin ро, р=1,р(т). (2.21)

Согласно (2.20) имеем: 7т(р) = 7т(р — 1) — ( \к(т,р))-1. Тогда по теореме косинусов

|7т(р)|2 = 17т(р — 1)|2 + |Afc(m,p)|-2 — 2|тт(р — 1)||Afc(m,p)|-1 cosa,

где a - тот из двух углов между векторами 7т(р — 1) и (Ak(m,p))-1, который не превосходит п/2 — ро (такой существует, т.к. Ak(m,p) £ ^j(m,p-1)). Поскольку Ak(m,p) £ К(т), а в силу 1) верно неравенство 1тт(р — 1)| > (ат sinp0)-1, то

17т(р — 1)|2 — 17т(р)|2 > 2|7m(jp — 1) || Afc(m,p) |-1 sin ро — |Afc(m,p)|-2 =

= 17т(р — 1)||Afc(m,p)|-1 (2sinро — (|Afc(m,p)||7ш(р — 1)|)-1) > > 17т(р — 1)||Afc(m,p)|-1(2sin ро — sin^) > 17ш(р — 1)|а-т-1 sin^. В частности, 17т(р — 1)| > |тт(р)|. Следовательно,

2Ьш(р—1)|(Ыр—1)| —|тт т >

> (ЫР — 1)| + ЫР)|)(ЫР — 1)| — Ьш (p)D > brn(p — 1)\d~m~l sin ро. Отсюда получаем неравенство (2.21). Применяя его р(т) раз, имеем:

0 ^ |Тш^т)^ ^ |тт(0)| — 2-1 а-т-1р(m)sinро, т > 1. (2.22)

(Для ( т) = 0 неравенство тривиально). Поэтому

р(т) ^ 2 am+1(sin ро)-1|7т(0)|, т > 1. (2.23)

Покажем теперь, что

i

7i(p(l)) = ^ 7ш — N(а1+1,Т) ^ 0, (2.24)

т=1

По условию п(Л(р^ — ро, + ро)) > 0, j = 1, 2, 3. Тогда

lim п(ат+1, Л(^ — ро, Уз + ро)) — п(ат, Л(^ — ро, <fj + ро)) = m^<x¡ ат+1

= п(Л(<р^ — ро, Фз + ро)) — а-1п(Л(^у — ро, <fj + ро)) > 0, j = 1, 2, 3. Следовательно, существуют число > 0 и номер то такие, что

п(ат+1, Л( — + ро)) — п(ат, — + ро)) > ат+1, j = 1, 2, 3, т > то.

Отсюда с учетом (2.22) и 1), 2) получаем

17т(р(т))| ^ шах{(атsin^)-1,17т(0)| — 2-1тsin^}, т > то. (2.25)

Согласно условию леммы можно считать, что

|7т| + (ат-1 sin ро)-1 ^ 4-1r sin ро, т > то. (2.26)

Предположим, что 17m(p(m))| > (ат sin^)-1 для всех т > то. Тогда из (2.25), (2.26) и определения тт(0) имеем:

17i(рШ < 17/(0)| — 2-1гsin^ ^ 17i-1(p(l — 1))| + |т| — 2-Vsin^ ^ ^ 17i-1(p(l — 1))| — 4-1r sinро ^ ■ ■ ■ ^ 17ш0(р(то)) — 4-1г(/ — то) sin^.

При больших номерах I правая часть здесь становится отрицательной. Получили противоречие. Таким образом, существует т\ > то такое, что |7т1 (р(т\))| ^ (ат1 sin^)-1. Тогда в силу (2.26) получаем

|7mi+1(0)| — 2-1гsin^ ^ 17mi(р(т1))| + |7mi+1| — 2-1гsin^ ^ 0.

Следовательно, с учетом (2.25) имеем: 17mi+1 (р(т1 + 1))| ^ (ат1+1 sin^)-1. Это означает, что (2.24) верно. Остается показать, что Т имеет нулевую плотность. Согласно (2.23), (2.24), условию леммы и определению 7т(0) имеем:

Р(т) 2а|7т (0)| 2 а(|7т-1 (р(т — 1))| + |7т|)

- ^ - ^--> 0, т ^ го.

ат sin ро sin ро

Фиксируем е > 0. Тогда существует номер т(е) такой, что р(т) ^ еат, т > т(е). Пусть г > ат(е) и номер т(г) выбран так, что ат(г) ^ г < ат(г)+1. Тогда

п(г,Т) _ п(ат(е),Т) п(ат(г)+\Т) — п(ат(е),Т) < п(ат(е),Т)

р(т(е)) + ••• + р(т(г)) п(ат(е), Т) ат(е) + •• ■ + ат(г)

+ ат(г) ^ г +е ат(г) .

Отсюда следует, что п(Т) ^ еа/(а — 1). Так как е > 0 любое, то лемма доказана.

Лемма 2.6. Пусть Л = {A&}£=1 имеет плотность г > 0, а > 1, г2 > г1 > 0 и r2/r 1 ^ а. Тогда имеет место представление

у -—= rln ( — ) +e(r1, r2), e(r1, r2) ^ 0, r1 ^ го, г2 > г1 > 0, r2/r1 ^ а,

(т.е. е(r1, r2) ^ 0, r1 ^ го, равномерно по г2 : г2 > г1 > 0, г 2/г 1 ^ а) Замечание. Если в кольце Г1 ^ |A|

< т 2 нет точек Aто считаем, что левая часть

в этом равенстве равна нулю.

Доказательство: Считаем, что п(г, Л) ^ +го, г ^ го (в противном случае утверждение леммы становится тривиальным). Пусть т = 0. Так как г2/г 1 ^ а, то

у -— ^ — (п(аг 1, Л) — п(г1, Л)) ^ 0, r1 ^ го.

|Afc| Г1

^i^jAfc |<Г2

Пусть теперь т > 0. Согласно представлению Л. Эйлера имеем

1

к

¿ 1 = 1пп + р + р(п), р(п) ^ 0, п ^ го, (2.27)

к=1

где [ - постоянная Эйлера. По условию Л имеет плотность т, т.е. справедливы равенства: |Ак| = к/(т + 8(к)), к ^ го, п(г,Л) = гг + е(г)г,е(г) ^ 0,г ^ го. (2.28)

Отсюда с учетом (2.27) получаем

1 I яп\ п(г2,л) п(г2,л)

^ 1 ^ т + <Н к) ^ 1 "( к)

^ Ш = ^ к =Т ^ к + ^ ~к~ =

|<Г2 А^ |<Г2 к=га(п,л)+1 к=га(п,л)+1

= т1п + -(3(п(г2, Л)) — 3(п(п, Л)))+ М =

( 1, ) к=п(г1 ,л)+1

= г1п ^ + г (ь^Н + 3 (п(^2, Л)) — 3(п(п, Л)Л+ Ш.

Г1 V т + е( г 1) ) к=га^л)+1 к

Фиксируем е > 0. Согласно (2.27) и (2.28) выберем номер к0 такой, что 18(к)1 ^ е, 3(п)| ^ £,к,п > ко. Согласно (2.28) выберем еще г(е) > 0 такое, что

ln г + е(г2)

т + е( ri)

^ £, п(г1, Л) > к0, г2 > г1 > г(е).

Тогда

п(аг1 ,Л)

к

k(r1, f2)i ^ Зет + е ^^ — ^ Зет + e(lnа + Зе), r2 > r1 > r(e), r2/r 1 ^ а.

к=п(г 1,Л) + 1

Лемма доказана.

Пусть К — выпуклый компакт. Он единственным образом задает функцию из класса £ при помощи длины дуги его границы дК. Для каждого р G R через L(ip, К) обозначим пересечение опорной прямой

/( р,К) = [z : Re(ze-iip) = H(р,К)}, Н(р,К) = sup Re(ze-iip),

хек

и границы дК (Н(р,К) — опорная функция компакта К). Множество L(p^) является либо точкой, которую обозначим z(р,К), либо отрезком. Множество Ф(К) направлений р, для которых L(p^) — отрезок, не более чем счетное. Пусть р1,р2 G Ф(К), р2 — р1 G (0, 2тт), и з(р1, р2, К) — длина дуги дК, соединяющей точки г(р1, К) и г(р2, К), движение по которой от ( р1, К) к ( р2, К) осуществляется в положительном направлении (против часовой стрелки). Пусть р1,р2 G (—2ж, 0) \ Ф(К), р G (р1,р1 + 2тг) \ Ф(К). Функция

ш(р1, К) = — lim з(р1, р2,К), ш(р,К) = в(р1, р,К) + ш(р1, К)

единственным образом продолжается до функции из класса £, причем продолжение не зависит от р1. Нетрудно заметить, что множества Ф(К) Р|[— 2ж, 2ж) и Ф(ш(^, К)) совпадают.

Пусть р3 G Ф(К), s = 1,р, такие, что р1 G (—2^, 0) и р1 < • • • < рр < р1 + 2ж= рр+1. Положим as = г(р3,К), s = 1,р + 1. Рассмотрим выпуклый многоугольник П с вершинами а1,... ,ар, ар+1 = а1, вписанный в компакт К. Отметим, что некоторые вершины с соседними номерами могут совпадать между собой. Символом е s обозначим единичную внешнюю нормаль к дП во внутренних точках (когда они есть) отрезка [as,as+1] (отметим, что для некоторого р(в) G (рц,ps+1) верно равенство es = ezip(s)). Если as = as+1, то под е s будем понимать произвольным образом выбранный вектор е гv, где р G (р^р^). Следующее утверждение имеет простой геометрический смысл. Лемма 2.7. Верно равенство

р

У К+1 — a,sies = 0.

s=1

Доказательство. Имеем:

р р

У |ßs+1 — asiеs = У (ßs+1 — as)e ш/2 = 0.

,-т/2 _ 8=1 8=1 Замечание. Из леммы 2.7 следует, что для ш _ К) верно равенство

г 2ж

/ еир(ш(р) _ 0. (2.29)

о

Обратно, пусть ш£ Е удовлетворяет этому равенству. Тогда (см. [3], гл. I, §17, теорема 24, [2], гл. I, §2, теорема 1.2.4) функция

f

Н(р) = A cos р + В sinp--(р — в) sin(p — в)йш(в),

2ж J

(р-2ж

совпадает с опорной функцией Н(р, К) выпуклого компакта К (для различных A, В G R компакты получаются друг из друга при помощи сдвига). При этом ш(в) = ш(в, К). Символом Ео обозначим подкласс всех функций ш£ Е, удовлетворяющих (2.29). Лемма 2.8. Пусть Л = [Хкимеет угловую плотность шл G Е0. Тогда для любых а > 1, г2 > г1 > 0 и г2/ г1 ^ а

N(Г2, Л) — Я(Г1, Л) = е(п, r2) ^ 0, п ^ го.

Доказательство. По условию шл G Е0. Тогда, как отмечено выше, найдется выпуклый компакт К такой, для которого верно тождество шд = ш(р, К). Фиксируем е > 0 и выберем 8 > 0 такое, что

|ег<р — егв| ^ е/(4з(К)lna), Ур,в : |р — 0| <6,

где в(К) = шл(р1 + 2ж) — шл(р1) — длина границы компакта К. Выберем теперь числа р3 G Ф(шл), s = 1, р, р1 G (—2тт, 0), р1 < ••• < рр < р1 + = рр+1, удовлетворяющие условиям: 1) р5+1 — р3 < 5, s = 1,р, 2) в(К) — Р(П) < e/(4lna), где Р(П) — периметр выпуклого многоугольника П с вершинами а1,..., ар, ар+1 = a1, as = z^g, К), s = 1,р + 1.

Пусть Хк = |Хк|ег^к, фк G (р1,р1 + 2ж], к > 1, и р(в) G (р3,р3+1), s = 1,р, такие, что вектор еs = еявляется внешней нормалью к дП во внутренних точках отрезка [а8, а5+1 ] (если таких нет, то р(в) G (р3,р3+1) выбирается произвольно). Тогда в силу условия 1) и выбора > 0 имеем:

...........(

1

1

Хк \Хк | еМ*)

)

Е

1

4 s( К )lna ^ \Хк \'

Фк |<Г2

Фк ,^s+i],^i<|Afc |<Г2

Поскольку n(A(ps, Ps+ij) = ^л(р*+1) — ^л(Рв), то отсюда с учетом леммы 2.6 получаем

£ (

1

1

Хк \Хк \ eMs)

/ Фл( Ps+1) — ^Л(Р*)) , ,

^ ык) +е s (Г1'Г2)'

Фк e(<ps,<ps+i W<|Afc |<Г2

где г2 > г1 > 0, r2/r 1 ^ a и es(r1, r2) ^ 0, r1 ^ го. Таким образом, р

Е

s=1

Е

1

1

i)

^ 4 + ги Г2) ^ 2,

(2.30)

хХк \Хк | eMs)

где т2 > п > r0(e), ^ ^ а.

Пусть o>a(ps+i) — ua(Ps) = \as+i — as\ + 7s. Используя снова лемму 2.6 и применяя лемму 2.7, имеем:

р - /г\ р

ln ( — ) es(\as+i — as\ + 7s) + é(гъ r2)

s=1

E E

s=1 Фк ,^s+i],^i<|Afc I<r2 p

\ Хк \

= ln ( E e s^s + é(n, r2), é(п, Г2) ^^ 0,

1 s=1

Отсюда с учетом (2.30) и условия 2) получаем

г1 ^ го.

Я(Г2, Л) — Я(Г1, Л) = е(т 1, г2),

к(Г1, г2)| ^ 2 +

р

8=1

+ к(П,т 2)| ^ |+1ла(з(К) — Р(П)) ^ е,

где г2 > г1 > Го(е), г 2/Г1 ^ а- Это завершает доказательство леммы.

Пусть ш Е Е. Будем говорить, что ш — функция общего вида, если существуют р2, Е [—ж, ж) такие, что < р2 < р2 — < ж, — р2 < ж, + 2ж — < ж и

ш(ф + ф) —ш(р>1 — ф) > 0, 3 = 1, 2, 3, рЕ (0, ж/2).

Если Л имеет угловую плотность ш, то нетрудно заметить, что Л — последовательность общего вида тогда и только тогда, когда ш = шл — функция общего вида. Пусть К — выпуклый компакт. Легко показать, что ш(р, К) — функция общего вида в том и только том случае, когда К является замыканием ограниченной выпуклой области. Предположим, что верно тождество ш(ф) = ш(р,К). Если К — точка, то ш(ф) = 0. Если К — отрезок, то ш на [0, 2ж] принимает ровно три попарно различных значения. В остальных случаях (т.е. когда К является замыканием области) ш принимает более трех попарно различных значений на отрезке [0, 2ж]. Если ш Е Е0, то, как отмечалось выше, существует выпуклый компакт К, для которого верно тождество ш(ф) = ш(р, К).

Таким образом, если ш Е Е0, то ш — функция общего вида тогда и только тогда, когда она принимает более трех попарно различных значений на отрезке [0, 2ж].

Лемма 2.9. Пусть Л имеет угловую плотность шл Е Е0 и шл — функция общего вида. Тогда существует последовательность Л С Л с угловой плотностью шл = шл такая, что N(г, Л) — 0, г — +то. Доказательство. Положим

71 = Я(22,Л), 1т = М(2т+1,Л) —Я(2т,Л), т > 2.

Так как шл Е Е0, то по лемме 2.8 7т — 0, т — то. По условию шл — функция общего вида. Следовательно, Л — последовательность общего вида. Тогда по лемме 2.5 существует последовательность нулевой плотности Т С Л такая, что

У1ш — Я(2+1,Т) — 0, / — то.

т= 1

Отсюда с учетом определения 7т получаем: N (2г, Л) — N (2г ,Т) — 0,1 — то. Пусть Л С Л — последовательность, дополняющая Т до Л, т.е. Л = ЛуТ. Тогда в силу предыдущего имеем: М(2г, Л) — 0, I — +то. Для каждого г > 0 выберем номер 1(г) из условия 2(г) ^ г < 2(г)+1. По доказанному и лемме 2.8. имеем:

N(г, Л) = N(2(г), Л) + (Я(г, Л) — Я(2(г), Л)) — 0, т —у +то.

Поскольку Т имеет нулевую плотность, то последовательность Л имеет угловую плотность шл = шл. При этом верно вложение. Лемма доказана.

Теорема 2.2. Пусть 5 > 0 и ш Е Е0 — функция общего вида. Тогда существует, последовательность Л = (А,С Л^ с угловой плотностью шл = ш такая, что

^ЫА,, |>а = -_—-1-— — 5, к > 1, (2.31)

2(шл( ф1 + 2ж) — шл(ф1))

где Е (—2ж, 0) \ Ф(ш) выбирается произвольно, и N(г, Л) — 0, г — +то.

Доказательство. По теореме 2.1 существует последовательность Л = (Л,}£=1 С Л^ с угловой плотностью шл = ш такая, что

|А,+11 —|А,|> а, к> 1, (2.32)

Согласно лемме 2.9 найдем последовательность Л С Л С Л^ с угловой плотностью шл = ^а = ш, удовлетворяющую условию М(г, Л) ^ 0, г ^ Остается заметить, что

неравенства (2.31) выполнены для Л С Л в силу (2.32). Теорема доказана.

Замечание. Последовательность Л С Л^, существование которой доказывается в теореме 2.2, является регулярным множеством (и, в частности, правильно распределенным).

3. Представление аналитических функций

Правильно распределенные множества тесно связаны с функциями регулярного роста. Пусть f — целая функция экспоненциального типа, т.е. существуют А > 0 и В > 0 такие, что

ln |/( А)| ^ А + В|А|, Ag C. Верхним индикатором f (или просто индикатором) называется функция

1г,(А) = sm !nJ/MÜ, ag C.

Индикатор h, является выпуклой положительно однородной порядка один функцией. При этом hf (егр) совпадает с опорной функцией Н(р,К) некоторого выпуклого компакта К, называемого индикаторной диаграммой f (см., [3], гл. I, §19). Компакт комплексно сопряженный с К называется сопряженной диаграммой функции . Говорят (см. [3], гл. III), что f имеет регулярный рост, если

h, ( А) = lim in/Mi, ag C,

t^x,t/E t

где E — множество нулевой относительной меры на луче (0, т.е. мера Лебега его

пересечения с интервалом (0, г) бесконечна мала по сравнению с г при г ^ Регулярность роста функции равносильна асимптотическому равенству

ln |/(А)| = hf ( А) + а(А), Ag C, lim а(А)/|А| = 0,

где Х, — некоторое С0 — множество. Напомним (см. [3], гл. II, §1), что fö С C называется С0 — множеством, если его можно покрыть кругами В(Zj, Tj), j > 1, такими, что

lim - Tj = 0.

r^x f -'

| Zj <

Пусть Л = [AkIXLi и f(А, Л) — каноническое произведение:

/(, Л) = П(1 - А) exP £

и

Функция /( А, Л) имеет регулярный рост тогда и только тогда (см. [3], гл. III, §3, теорема 4 и гл. II, §1, теорема 2), когда Л — правильно распределенное множество. При этом его угловая плотность шл принадлежит множеству Е0. Если К — индикаторная диаграмма функции /( А,Л), то (см. [3], гл. II, §1, формула (2.07)) шл(в) = ш(в,К)/2ж и ^ (е *) = Н (р,К). _

Пусть О — ограниченная выпуклая область в С и Н(И) — пространство функций, аналитических в окрестности ее замыкания О. Хорошо известны условия А.Ф. Леонтьева (см. [2], гл. IV, §6, теорема 4.6.4.) представления функций д Е Н(О) в виде ряда

те

д(г) = У 4е , г Е О, (3.1)

к=1

в случае, когда Л является множеством простых нулей целой функции f экспоненциального типа, сопряженная диаграмма которой совпадает с D. Этих условий два: регулярность роста функции f и оценка снизу модуля ее производных в точках Xfc

ln |/( Хк)\ > hf ( Хк) — £к1Хк|, 0 < £к ^ 0, к ^ го.

Приведем достаточные условия представления (3.1) для произвольной последовательности Л = {Хк(она не обязана быть нулевым множеством какой-либо целой функции), которые формулируются только лишь в терминах геометрических характеристик Л и D. Для этого нам потребуется «локальная» характеристика последовательности Л, введенная в работе [7].

Пусть Л = {Xfc}£= 1. Рассмотрим функцию

qA(z,щ ö)= п .

\k£B(w,Slwl) 1 fc|

В случае, когда круг В(w, i\w\) не содержит ни одной точки Хк, полагаем qл(z,w, ö) = 1. Модуль функции ^(z ,w, 5) можно интерпретировать как меру сгущения точек XkEB(w, <5|w|) около z. Величина ln | дл(% ,w, $)\/\w\ аналогична по смыслу логарифму среднего геометрического (среднему арифметическому логарифмов) нормированных расстояний от Хк £ В(w, <51w|) до z. Если 5 £ (0,1), то модуль каждого сомножителя из определения qл в круге В(w, <51w|) оценивается сверху величиной 2(3(1 — $))-1. Поэтому для 5 £ (0,1/3) он не превосходит единицы. Положим

mf ъ TT Z — Xk — ln 1 qл(Хm,

Qa(z , s)= Д , 5л = lim lim -—-.

l.n,,1!, ,)t= \Xfc1 Й0 1 Хт \

Из определения величины 5д следует неравенство 5д ^ 0 (см. [7]).

Лемма 3.1. Пусть Л = {Xfc}£=1 — нулевое множество целой функции f экспоненциального типа и регулярного роста. Предположим, что 5л = 0. Тогда

ln \/( Хк)\> hf ( Xfc) — £к\Хк\, 0 < £к ^ 0, к ^ го. (3.2)

Доказательство. Регулярность роста функции f означает, что

ln \/( Х)\ = hf (X) + a(X), X £ C, lim а(Х)/\Х\ = 0, (3.3)

XfZf

где X/- С0 — множество. Фиксируем е > 0. Выберем R > 0 такое, что

а(Х) >—е\Х\, X £ Xf, \Х\ > R. (3.4)

Индикатор hf ( X) является выпуклой функцией, а потому непрерывен. Пользуясь его равномерной непрерывностью на компактных подмножествах, найдем 50 £ (0,1/3), для которого верно неравенство

\hf( X) — hf(w)\ ^ е, w £ В(X,\Х\ = 1. (3.5)

Согласно условию и определению величины 5л выберем 5 £ (0,50) и номер к0 такие, что

\Xfc\> 2 R, ln \qfc( Xk, ¿)\> — e\Xfc\, к > ко. (3.6)

Учитывая, наконец, что X/ является

С0 — множеством, можно считать выполненным следующее: для каждого > 0 общая сумма исключительных кружков из X , пересекающих В(Xfc, £\Xfc\), не превосходит $\Xfc\/4. Тогда в силу (3.3), (3.4) и (3.6) для каждого к > к0 найдется afc £ (1/2,1) такое, что

ln \/( X)\ > hf ( X) — ф\, X £ дВ(Xfc,afc5\Xfc\).

Отсюда, учитывая положительную однородность индикатора и (3.5), получаем:

ln \КX)\> hf ( Xfc) — 3е\Xfc\, X£дB(Xfc,afcS\Xfc\), к > ко. (3.7)

Согласно условию функция ln |( /( Л)/Л,Лк, $)| — гармоническая в круге В(Лк, $|Лк|). Так как 5 < 1/3, то функция ln |дд( A,Ak, $)| не положительна в этом круге. Поэтому, используя (3.7) и принцип минимума для гармонических функций, имеем:

ln lhk( Лк)| > hf ( Лк) - 3е|Afc|, к > к0.

Отсюда и (3.6) получаем:

ln |/( Лк)| = ln |hfc( Лк)| + ln |qkA( Лк, 5)| - ln(3 ö|Afc|) > hf ( Лк) - 5е|Afc|, к > къ Лемма доказана.

Замечания. 1. Оценка (3.2) влечет за собой равенство Sa = 0. При этом регулярность роста функции f не требуется (см. доказательство следствия 4.2 в работе [8]).

2. Вопрос о том, следует ли регулярность роста f из оценки (3.2) остается открытым. Ответ на него составляет содержание проблемы А.Ф. Леонтьева.

3. Только лишь равенство Sa = 0 не влечет за собой оценку (3.2) (см. пример в конце работы [9]).

Теорема 3.1. Пусть D — ограниченная выпуклая область и Л = (Акимеет угловую плотность. Предположим, что S^ = 0 и выполнено равенство Шд(ф) = ш(ф,К)/2ж, где К — комплексно сопряженный к D компакт. Тогда в области D каждая функция g Е Н(D) представляется рядом

<х

g(z) = , z Е D. (3.8)

к=1

Доказательство. Поскольку D — область, то ш(ф,К) Е £0 (см. замечание к лемме 2.7) и ш(ф,К) — функция общего вида. Тогда согласно лемме 2.9 существует правильно распределенное множество Л С Л с угловой плотностью шл = (2п)-1ш(^, К). В начале параграфа отмечалось, что в этом случае каноническая функция ( Л, Л) имеет регулярный рост, а ее индикаторная диаграмма (см. замечание к лемме 2.7) совпадает с некоторым сдвигом К — z0 компакта К.

Положим /( Л) = /( Л, Л)е Лг°. Тогда функция f имеет регулярный рост, а ее сопряженная диаграмма совпадает с D. По условию Sa = 0. Так как Л С Л, то согласно определению все сомножители, образующие функцию q™(z , 5), входят в число сомножителей, образующих функцию qA(z, 5). Модуль каждого из них при 5 Е (0,1/3) не превосходит единицы. Отсюда следует неравенство Sa > S^ = 0. Выше отмечалось, что всегда Sa = 0. Поэтому Sa = 0.

Таким образом, можно применить лемму 3.1. Согласно ей имеет место оценка (3.2). Следовательно, по теореме 4.6.4. из книги [2] каждая функция Н( D) представляется в области D рядом (3.1), а, значит, и рядом (3.8). Теорема доказана.

Замечание. Пусть {Кр}£=1 — последовательность выпуклых компактов в области D, которая строго исчерпывает ее, т.е. Кр С т£Кр+1, р > 1, (символ int означает внутренность множества) и D = (J^=1 Кр. Для каждого р > 1 введем банахово пространство последовательностей комплексных чисел

Qp = {d = {4} : ||d||p = sup 141 exp НКр(Лк) < то}.

к>1

Пусть Q(D, Л) = Пр>1 Qp наделено топологией проективного предела. Согласно лемме 2.3 из работы [1] поточечная сходимость ряда (3.1) в области D влечет за собой включение d = {dj^} Е Q(D, Л). Кроме того, по теореме 3.1 этой работы (аналог теоремы Абеля для

степенных рядов) верно неравенство

<х

V \dk| max |е XkZ| ^ Cp\\d\ \р+2, Р — 1,

I I - Р \

•ге

k=1

где Ср > 0 не зависит от в, = {¿к} € Qp. В частности, это означает, что ряд (3.1) ((3.8)) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте из области В. Лемма 3.2. Пусть а > 0 и Л = {Акудовлетворяет условию

|Ак+1|-|Лк|> а, к > 1. (3.9)

Тогда бд = 0.

Доказательство. Пусть т > 1 и 8 € (0,1/3). С учетом (3.9) для каждого Ак € В(Ат, 5|Ат|) имеем:

^|Ат| > |Ат - Ак| > ||Ат| - |Ак|| > |т - к|а.

Следовательно, верны неравенства (1 — 5)|Ат| < |Ак| < (1 + 5)|Ат|. Через 1(т, 5) обозначим максимальное натуральное число, для которого 1(т, 8)а < Ат|. Тогда величина Iа/381Ак| не превосходит единицы для всех I = 1,1(т, 8). Поэтому из предыдущего получаем (учитываем еще, что в! > (в/3)

№ (А-. 01* П > П ^ >

\кев(\т,&1\т\),к=т 1 к| Лк ев(лт,й|лт|),к=т 1 к|

1(т'&) / 1 \ 2 / \ 2l(m,s) /и \ 2l(m,s)

П/ la \ / а \ 2 I Нт, 1

I=1 V^J = U + *)3*\\т\) ((т ^ - V(1 + i)9i\\т\)

Таким образом, согласно определению 1(т, 8) имеем:

21 (т, 8) 1(т, 8) а . 21 (т, 8) 8\\т\ - а

ЬА — lim lim —л—I— 1П 7-^——г — lim lim —л—i— In

\Am\ (1 + 5)95\Am\ \Am\ (1 + 5) = 98\Am\

= lim lim ^(m, 8) ^ - — Am\ ^ - =

m4» \ Am \ (1+5)9 ho m4M a\Am\ (1+5)9

Поскольку всегда Sa ^ 0, то лемма доказана.

Теорема 3.2. Пусть D — ограниченная выпуклая область в C. Тогда каждая функция g Е Н(D) представляется рядом

g(z) = £ dm>lе(m+ü)z, z Е D. (3.10)

m,l ez

При этом {с1т,1} € Q(D, Л^) и ряд (3.10) сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах области И.

Доказательство. Пусть К — комплексно сопряженный к И компакт. Поскольку И — область, то ш(ф,К) € Е0 (см. замечание к лемме 2.7) и ш(ф,К) — функция общего вида. Тогда по теореме 2.2 с учетом леммы 3.2 существует последовательность Л = { Ак}к=1 ^ Л^ с угловой плотностью шл = (2п)-1ш(^ , К) такая, что бд = 0. По теореме 3.1 каждая функция д € Н(И) представляется в области В рядом (3.1), а, значит, и рядом (3.10), где полагаем = ¿к, если (т + И) = Ак € Л, и с1т,1 = 0, если (т + И) € Л. При этом согласно замечанию к теореме 3.1 ряд (3.10) сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах области И. Кроме того, {йк} € Q(D, Л). Отсюда и определения коэффициентов йт,1 следует, что {} € Q(D, Л^). Теорема доказана.

Замечания. 1. Согласно теореме Абеля для рядов экспонент из работы [1] (теорема 3.1) ряд (3.10) сходится в выпуклой области (возможно не ограниченной) абсолютно и равномерно на ее компактных подмножествах. Эта область определяется при помощи формулы Коши-Адамара для рядов экспонент ([1], теорема 4.1).

2. Из леммы 2.5 работы [1] следует, что для каждого набора коэффициентов {dmj} Е Q(D, Az) сумма g(z) ряда (3.10) является функцией аналитической в области D (но не обязательно в окрестности D).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кривошеева О.А. Область сходимости рядов экспоненциальных мономов // Уфимский математический журнал. 2011. Т.3. №2. С. 43-56.

2. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

3. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

4. Кривошеев А.С., Кривошеева О.А. Замкнутость множества сумм рядов Дирихле // Уфимский математический журнал. 2013. Т.5. №3. С. 96-120.

5. Абдулнагимов А.И., Кривошеев А.С. Правильно распределенные подпоследовательности на прямой // Уфимский математический журнал. 2015. Т.7. №1. С. 3-12.

6. Кривошеев А.С., Кривошеева О.А. Фундаментальный принцип и базис в инвариантном подпространстве // Матем. заметки. 2016. Т.95. №5. С. 684-697.

7. Кривошеев А.С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Известия РАН. Серия математическая. 2004. Т.68. №2. С. 71-136.

8. Кривошеева О.А. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости // Алгебра и анализ. 2011. Т.23. №2. С. 162-205.

9. Кривошеева О.А., Кривошеев А.С. Особые точки суммы ряда Дирихле на прямой сходимости // Функц. анализ и его прилож. 2015. Т.49. №2. С. 54-69.

Айдар Ирекович Абдулнагимов,

ФБГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет», ул. К. Маркса, 12, корпус 1 450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Александр Сергеевич Кривошеев, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]