Научная статья на тему 'Представление аналитических функций'

Представление аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

52
3
Поделиться
Ключевые слова
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / РЯД ЭКСПОНЕНТ / РЕГУЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВО / ПЛОТНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ / ANALYTIC FUNCTION / EXPONENTIAL SERIES / REGULAR SET / DENSITY OF SEQUENCE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Абдулнагимов Айдар Ирекович, Кривошеев Александр Сергеевич

В работе рассматриваются ряды экспонент с комплексными показателями, вещественные и мнимые части которых являются целыми числами. Доказывается, что любая функция аналитическая в окрестности замыкания ограниченной выпуклой области комплексной плоскости раскладывается в ряд указанного вида, сходящийся внутри этой области абсолютно и равномерно на компактных подмножествах. Этот результат основан на построении регулярного подмножества с любой заданной угловой плотностью последовательности всех комплексных чисел, вещественные и мнимые части которых являются целыми числами.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Абдулнагимов Айдар Ирекович, Кривошеев Александр Сергеевич,

Representation of analytic functions

In this paper we consider exponential series with complex exponents, whose real and imaginary parts are integer. We prove that each function analytical in the vicinity of the closure of a bounded convex domain in the complex plain can be expanded into the above mentioned series and this series converges absolutely inside this domain and uniformly on compact subsets. The result is based on constructing a regular subset with a prescribed angular density of the sequence of all complex numbers, whose real and imaginary parts are integer.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Представление аналитических функций»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 4 (2016). С. 3-23.

УДК 517.5

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А.И. АБДУЛНАГИМОВ, А.С. КРИВОШЕЕВ

Аннотация. В работе рассматриваются ряды экспонент с комплексными показателями, вещественные и мнимые части которых являются целыми числами. Доказывается, что любая функция аналитическая в окрестности замыкания ограниченной выпуклой области комплексной плоскости раскладывается в ряд указанного вида, сходящийся внутри этой области абсолютно и равномерно на компактных подмножествах. Этот результат основан на построении регулярного подмножества с любой заданной угловой плотностью последовательности всех комплексных чисел, вещественные и мнимые части которых являются целыми числами.

Ключевые слова: аналитическая функция, ряд экспонент, регулярное множество, плотность последовательности. Mathematics Subject Classification 30D10

1. Введение

Пусть Л*^ = {\к- перенумерованная (каким-либо образом) в порядке не убывания модулей последовательность всех комплексных чисел с целочисленными координатами: Хк = т + il,m,l Е Z. Рассмотрим ряд

^ dm,ie(m+ü>. (1.1)

Предположим, что он сходится в каждой точке некоторого открытого подмножества Е С C. Нетрудно заметить, что для последовательности Л^ = {А&верны соотношения

ln к ln к

lim ——- = lim = 0. |Afc| у/fr

Тогда согласно результатам из работы [1] (теоремы 3.1 и 4.1) ряд (1.1) сходится в выпуклой области D С C, которая содержит выпуклую оболочку множества Е. Область D определяется при помощи формулы Коши-Адамара для рядов экспонент (см. [1], теорема 4.1):

D = {z Е C : Re(zC) <h($, |£| = 1}, ^(С) = Inf lim , Afc = m(k) + ü(k),

где инфимум берется по всем подпоследовательностям {Afc(J)}°=1 последовательности Л^ таким, что Afc(j)/|Afc(j) | сходится к точке £, когда j ^ х>. При этом ряд (1.1) сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах области D (см. [1], теорема 3.1). Следовательно, его сумма g(z) является функцией аналитической в области D.

Таким образом, если ряд (1.1) сходится на открытом подмножестве Е С C, то он сходится в выпуклой области D, содержащей Е, к функции функцией аналитической в D.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

A.I. Abdülnagimov, A.S. Krivosheyev, Representation of analytic functions. © Авдулнлгимов А.И., Кривошеев А.С. 2016. Поступила 17 апреля 2016 г.

В данной работе решается в некотором смысле обратная задача представления любой функции аналитической в окрестности замыкания произвольной фиксированной ограниченной выпуклой области D С C рядом (1.1), сходящимся в D.

Благодаря классическому результату А.Ф. Леонтьева (см. [2], гл. IV, §6, теорема 4.6.4) о представлении функций аналитических в окрестности замыкания ограниченной выпуклой области D С C указанную задачу удается свести к задаче построения регулярного множества с заданной угловой плотностью (см. [3], гл. II, §1), которое является частью последовательности Л^.

Во втором параграфе (теоремы 2.1 и 2.2) последняя задача полностью решается. На этой основе в третьем параграфе (теорема 3.2) доказывается, что любая функция аналитическая в окрестности замыкания произвольной фиксированной ограниченной выпуклой области D С C раскладывается в ряд (1.1), сходящийся абсолютно и равномерно на компактных подмножествах области D.

2. Построение регулярного множества

Пусть Л = [\к}°= 1 - неубывающая по модулю последовательность комплексных чисел такая, что |А&| ^ то. Обозначим через п(г, Л) - число точек Л^, попавших в круг В(0, г) с центром в начале координат и радиуса г > 0. Нижней и верхней плотностью Л называются соответственно величины:

/ач т п(г, Л) _/АЧ г— п(г, Л) п(Л) = lim —^—-, п(Л) = lim —^—-.

г^те г г

Говорят, что последовательность Л имеет плотность п(Л) (измерима), если п(Л) = п(Л) = = п(Л) < +то. Имеем:

шт * < ism "<iA',I + 1- Л> = lim 2%!+М> * я(л). iim ± > iim n(|At!~ 1-Л = iim 1Л > а(Л).

Таким образом, если последовательность Л измерима, то

к

п(Л) = iim ——-. k^-tx |Afc |

Пусть p1,p2 S [-2^, 2ж), p2 - S (0, 2ж]. Такие значения р1, р2 будем называть допустимыми. Положим

Г(^1, ^2)(Г(^1, ^2]) = (А = te%v : р S (<pi, Р2)((Р1, V2]),t > 0}.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Символом Л(^1, ^2)(Л(^1, ^2]) обозначим последовательность, состоящую из всех пар (Afc,пк} таких, что \к S Г(^1,^2)(Г(^1,^2]).

Лемма 2.1. Пусть р-\_,р2 - допустимые u j > 0. Существует Д0 > 0 такое, что любой интервал (R, R + 7) при R > Д0 содержит модуль | некоторой точки S Л^('р1, р2).

Доказательство. Пусть р,т - целые числа такие, что луч Г с началом в нуле, проходящий через точку с координатами (т,р), лежит (за исключением начала) в угле Г(^1,^2). Такие р,т можно подобрать, взяв подходящее приближение числа tg р (<р S (р1, р2) \ (nk}kei выбирается произвольно) дробями р/т.

Луч Г состоит из диагоналей прямоугольников, вершины которых являются точками последовательности Л^, а длины их сторон равны |р| и |га|. Он содержит точки \k(s), s = 1, 2,..., последовательности р2), расположенные на расстоянии h друг от дру-

га. Последнее совпадает с длинами диагоналей указанных прямоугольников. Точки \k(s) имеют координаты (sm, sp), s = 1, 2,... Пусть - прямая, перпендикулярная лучу Г и проходящая через точку \k(s), s > 1. Она также состоит из диагоналей прямоугольников,

вершины которых являются точками последовательности Л^, а длины их сторон равны |р| и |т|. Для каждого s > 1 прямая содержит точки \k(s,j), j E Z, последовательности Л^. Они имеют вид Xk(s,j) = Xk(s) + jhet(^0+^/2), j E Z, где определяется из равенства tg = p/m.

Поскольку луч Г \ {0} лежит в угле Г(^, ^2), то для некоторого числа ß > 0 каждая точка Xk(s,j) с условием 0 ^ j ^ ßs и s > 1 принадлежит последовательности Лz(^1,^2). Пусть s > 1 и js - максимальный номер j > 0, удовлетворяющий неравенству j ^ Д,.

Рассмотрим набор |Afc(sj)|, j = 0,1,... ,js. Величина |Afc(Sj)| является гипотенузой прямоугольного треугольника с вершинами 0, Хф) и Xk(s,j). Длина |А&(8) — Хф,^ одного из его катетов является возрастающей функцией по параметру j > 0 (она равна jh). Поэтому верны неравенства

¡Afc^o)! < ^^д^ < ••• < iAfc^)!. Имеем: |Afc(s,0)| = |Afc(s)| = \J(sm)2 + (sp)2 = s^/m2 + s2 = sh и при j > 0

|Afc(sj+i) | — |Afc(s,j)| = ^|Аад|2 + ((j + 1)h)2 — ^|Аад|2 + (jh)2 =

= ^(sh)2 + ((j + 1)h)2 — VW+CW = h(^2 + (j + 1)2 — V^2 + 32 ) =

=h^ü+i2 (f+Щ—1).

Верна оценка ln \/1~ + x ^ x/2. Следовательно,

oo ^ oo 2

__/y'V rp /у /у2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ еж/2 = V ^ 1 + % + x2 V =1 + % + ^ 1 + x ^ 2nn\ 2 ^ 2 1 — ж

ra=0 ra=0

для всех x E [0,1/4]. Отсюда с учетом предыдущего получаем:

|Afc(s,•+1)| — |Afc(s,-)| ^ hJs2 + j2 f + 1 = h—/ + = h—2 + = ^ h ^ + . | k(sJ+i)| | k(s^^ v J s2 + j2 V^+J2 V1 + U/s)2 s

Выберем номер s0 такой, что h/s0 < 7/2. Тогда

¡Afc^j+i)! — ^(з^ j ^ 4h, S > So.

Пусть а = min{^,^7/4h} и js - максимальный номер j > 0, удовлетворяющий неравенству j ^ ßs. Тогда js ^ Поэтому все точки Xk(s,j), j = 0, js, s > 1, принадлежат последовательности Лz(^1,^2). Кроме того, верны неравенства

1^(^+1)1 - < 'у, з = 0,]8, 8 > во. (2.1)

Оценим снизу величину )|. В силу выбора номера js Имеем:

|а^ 1 = +(^)2==1+(^^ у2.

s)| = V |^М|2 + (jsh -

Поскольку

т S Г fßs — 14 2 lim - 1

s^o s + 1

то найдется номер s1 > s0 такой, что

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

K^jJ >s h + +h, s> si.

\A + (^)2 = ^ >

Таким образом, для каждого 8 > ^ мы имеем возрастающий набор чисел

] = 0,такой, что \к(з,з) Е Л^(р1,р2) для всех ] = 0,Первое из этих чисел совпадает с зк, а последнее строго больше зк + к. Отсюда с учетом (2.1) следует, что любой интервал (В,, К + 7), пересекающий полуинтервал [эк, вк + к), содержит хотя бы одно из чисел этого набора. Полагая теперь Д0 = ^1к, мы тем самым завершаем доказательство леммы.

Пусть Л1 = {А*и Л2 = {Л2}°=1. Будем говорить, что Л1 является подпоследовательностью Л2 (писать Л1 С2), если существует набор индексов j(k), к > 1, такой, что XI = А2^), к > 1. Если XI = А2, к,] > 1, то под объединением Л1 и Л2 последовательностей Л1 и Л2 будем понимать последовательность, состоящую из всех элементов АI, А2, к,] > 1.

Доказательство следующего утверждения опирается на метод, изложенный при доказательстве леммы 5 в работе [4] (см. также [5], лемма 2).

Лемма 2.2. Пусть <р1,р2 - допустимые, 5 > 0 и Л0 = {А^}£=1 имеет плотность т0 > 0 (возможно Л0 - пустая). Предположим, что г > т0. Тогда существует последовательность Л1 = {А1}°=1 С Л%(р1, р2), имеющая плотность г — т0 и такая, что

||АЗ|-|А° ||> ^ — 2, КЗ > 1, |А]+1| —|А] |> 1 — 5,з > 1. (2.2)

(если Л0 - пустая, то первое неравенство в (2.2) опускается).

Доказательство. Пусть а = 1/т. Положим 7 = шт{$, а}. Согласно лемме 2.1 найдется натуральное число р0 такое, что любой интервал (К, К + 7) при К > р0а содержит модуль |£т| некоторой точки £т Е Л^(р1, р2). Последовательность Л1 будем искать в виде объединения Л1 = Ур> Л*. Построим по индукции множества Л*, р > р0. Предварительно символом Мр обозначим общее число точек множеств Л^, в = р0,р.

Пусть р = р0. Если полуинтервал [ра, (р + 1)а) содержит хотя бы один элемент последовательности {|Х^|}^=1, то полагаем Л* = 0. В противном случае в качестве Л* возьмем множество, состоящее из одной точки £т Е Лх(р\,р2), модуль |£т| которой принадлежит интервалу

2р +1 7 2р +1 7 \

-а--,-а +— . (2.3)

2 2 2 2у 1 ;

Хотя бы одна такая точка существует в силу определения числа р0 (если их несколько, то произвольным образом выберем одну из них).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть теперь р > р0. Предположим, что мы уже построили множества Л^ для всех в = р0,р — 1. Определим Л*. Если выполнено неравенство

Мр-1 + п((р + 1)а, Л0) — п(Р0а, Л0) > р + 1 — Р0, (2.4)

то полагаем Л* = 0. Если же

Мр-1 + п((р + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0) <р + 1 — р0, (2.5)

то в качестве Л* возьмем множество, состоящее из какой-нибудь одной точки Е модуль |£т| которой принадлежит интервалу (2.3). Как и выше, хотя бы

одна подобная точка £т существует.

Таким образом, мы построили последовательность Л1. Покажем, что она искомая. Положим Л = Л0 и Л1 и докажем, что Л имеет плотность т.

Докажем вначале, что для всех I > р0 выполнены неравенства

I — Р0 ^ п(1а, Л) — п(р0а, Л) ^ шах{ — р0, М—2 + п(1а, Л0) — п(р0а, Л0)}, (2.6) где для удобства полагаем МР0 -1 = 0.

Если для р = I — 1 верно (2.4), то по построению Лг1_1 = 0. Поэтому Ni_1 = Ni-2. Следовательно,

n(la, Л) — п('р0а, Л) = N—1 + n(la, Л0) — п(р0а, Л0) = + п(1а, Л0) — п(гр0а, Л0),

т.е. правое неравенство в (2.6) верно. Если же выполнено (2.5), то по построению Лг1_1 состоит из одной точки. Поэтому Л^_1 = Ni-2 + 1. Следовательно, в силу (2.5) имеем:

п(1а, Л) — п('р0а, Л) = N—1 + n(la, Л0) — п(р0а, Л0) =

= N-2 + 1 + п(1а, Л0) — п(р0а, Л0) <1 — р0 + 1 ^ I — р0. Таким образом, правое неравенство в (2.6) верно и в этом случае.

Докажем теперь левое неравенство. Применим индукцию. Если полуинтервал [р0а, (р0 + 1)а) содержит хотя бы один элемент последовательности {|А^|}^=1, то

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

п((р0 + 1)а, Л) — п(р0а, Л) > п((р0 + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0) > 1 = р0 + 1 — р0,

т.е. левое неравенство в (2.6) в этом случае верно. Если же полуинтервал [р0а, (р0 + 1)а) не содержит ни одного элемента последовательности {| А^ |}^=1, то по построению множество состоит из одной точки. Поэтому

п((р0 + 1)а, Л) — п(р0а, Л) > п((р0 + 1)а, Л1) — п(р0а, Л1) = NP0 = 1 = р0 + 1 — Р0.

Таким образом, левое неравенство в (2.6) верно при I = р0 + 1. Предположим, что оно верно для всех I = р0 + 1,р и докажем, что тогда оно верно и при I = р +1. Если для р = I — 1 верно (2.4), то

п(1а, Л) — п('р0а, Л) = п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) = Np + п((р + 1)а, Л0) — п(гр0а, Л0) >

> Np_1 + п((р + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0) > р +1 — Р0 = I — Р0, т.е. левое неравенство в (2.6) верно в этом случае. Пусть теперь для р = I — 1 верно (2.5). Тогда по построению Л^ состоит из одной точки, т.е. Np = Np-1 + 1. По допущению индукции п(ра, Л) — п(р0а, Л) > р — р0. Следовательно,

п(1а, Л) — п(р0а, Л) = п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) = п(ра, Л) — п(р0а, Л) + +п((р + 1)а, Л) — п(ра, Л) > р — р0 + п((р + 1)а, Л1) — п(ра, Л1) = = Р — Р0 + Np — Np_1 = р — р0 + 1 = I — Р0. Таким образом, неравенства (2.6) полностью доказаны. Используя левое неравенство в (2.6), получаем:

/ач т п(г, Л) п(1а, Л) п(1а, Л)

п(Л) = lim ^ ' > lim -f—Ц-^ = lim , ' = г (I + 1)а ^

.. п(1а, Л) — п(р0а, Л) + п(р0а, Л) п(1а, Л) — п(р0а, Л) I — р0

= lim-;-= lim-;- > lim —;-=

lo. i^^ lo. i^^ lo.

= lim — = — = т.

la а

Отсюда имеем: п(Л) > т. Докажем теперь неравенство п(Л) ^ т.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть Tj ^ то последовательность, реализующая верхний предел в определении величины й(Л), и l(j), j > 1, - минимальное натуральное число, такое, что l(j)а > rj. Если п(1а, Л) — п(р0а, Л) > I — р0 для всех I > р0, то в силу правого неравенства в (2.6) и определений Ni имеем:

п(1а, Л) — п('р0а, Л) ^ N—2 + n(la, Л0) — п(р0а, Л0) = п((1 — 1)а, Л) — п(р0а, Л)+

+п(1а, Л0) — п((1 — 1)а, Л0) ^ N— + п((1 — 1)а, Л0) — п(Р0а, Л0) +

+п(1а, Л0) — п((1 — 1)а, Л0) = п((1 — 2)а, Л) — п(р0а, Л)+

+п(1а, Л0) — п((1 — 2)а, Л0) ^ ■ ■ ■ ^ Np— + п((р0 + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0) +

+п(1 а, Л0) — п((р0 + 1)а, Л0) = п(1 а, Л0) — п(р0а, Л0). Отсюда, учитывая, что

Л0

имеет плотность 0 < , получаем:

nfa, Л) — n(l(j)a, Л) — n(l(j)a, Л) — n(jp0a, Л) + п(]р0а, Л)

п(Л) = lim - < lim ———-тт = lim ----=

j^o rj j^o (l(j) — 1)a j^o l(j) ot

— n(l(j)a, Л) — п(Р0а, Л) — n(l(j)a, Л0) — n(p0«, Л0) — ^(ZO")«, Л0) . = lim -Tr\-< lim -Tr\-= lim -ТГл-<

< й(Л°) = r0 <т.

Это противоречит неравенству п(Л) > т. Следовательно, п(1 а, Л) — п(р0а, Л) < I — р0 хотя бы для одного номера > 0. Таким образом, найдется 0 такое, что для каждого j > j0 существует максимальное натуральное число m(j), удовлетворяющее условиям: m(j) < l(j) и n(m(j)a, Л) — п(р0а, Л) < m(j) — р0. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что m(j)/l(j) сходится к некоторому числу 7 E [0,1]. Используя правое неравенство в (2.6), как и выше, получаем оценку

n(l(j)a, Л) — п(р0а, Л) < n((l(j) — 1)а, Л) — п(р0а, Л) + n(l(j)a, Л0) — n((l(j) — 1)а, Л0) <

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

< ■ ■ ■ < n(m(j)a, Л) — п(р0а, Л) + n(l(j)a, Л0) — n(m(j)a, Л0). Отсюда с учетом выбора номера m(j) имеем:

п(Л) < lim ---— = lim ——-= lim -—-<

з^о (l(j) — 1) а з^о l(j)a 3^0 l>(])ot

-— n(m(j)a, Л) — п(р0а, Л) -— n(l(j)a, Л0) — n(m(j)a, Л0) < lim -ТГ~\-+ lim -тТл- <

< lim — p0 + um n(l(^a,Л0) — n(m(j)a,Л0) = 7 + lim n(l(^a,Л0) — n(m(j)a,Л0)

^ j l(j)a з^о Kj)a a э^о Kj)a

Если 7 = 0, то

_/n ^ чт n(l(j)a, Л0) — n(m(j)a, Л0) — n(l(j)a, Л0) 0

га(Л) < lim v '—, v—?—- < lim —- < и(Л0) = r0 <r.

З^о l(j)®- З^о l(j)OL

Это противоречит неравенству п(Л) > т. Следовательно, 'у > 0. Выберем 8' > 0 такое, что 7 — 8' > 0. Положим 8 = 1 — 7 + 8'. Тогда 8 E (0,1) и m(j) > (1 — 8)l(j), j > j1. Поэтому

_(Л) < 7 + lim п(р(з)а, Л0) — n((1 — 8)p(j)a, Л0)

а з^о р(з)&

Поскольку последовательность

Л0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

имеет плотность 0, то jr^ n(p(j)g, Л0) — n((1 — 8)p(j)a, Л0) = ]im n(p(j)a, Л0) — ((1 — 8)p(j)a, Л0) =

3p(j)& З^о p(j)&

n(p(j)a, Л0) ]г n((1 — S)p(j)a, Л0) (1 .

lim -—--lim -—-= то — (1 — 8)T0 = 8T0.

p(j)o. з^о p(j)a

Таким образом,

п(Л) < - + ir0 = Г7 + (1 — 7 + 8')T0.

а

Так как 8' > 0 может быть сколь угодно малым, то п(Л) ^ т7+ (1 — 7)т0. Отсюда с учетом неравенств т0 < г и п(Л) > т получаем: п(Л) = т и 7 = 1. В частности, это означает, что последовательность Л имеет плотность т. Тогда

/а 1ч т п(г, Л1) п( г, Л) — п( г, Л0) . п( г, Л) п( г, Л0) и(Л1) = lim —^-- = lim ^ '-—-- = lim ^ ' — lim —^-- = т — т0,

г^о т г^о f г^о f г^о f

т.е. Л1 имеет плотность — 0.

Остается доказать неравенства (2.2). По построению каждый полуинтервал [ра, (р + 1)а), р = 0,1,... содержит не более одного элемента последовательности ||А]|}°=1. При этом, если полуинтервал [ра, (р + 1)а), р = 0,1,... содержит число |А]|, то оно лежит на интервале (2.3). Следовательно, |А1+1| — |А]| > а — 7 = 1/т — 7 > 1/т — 8, ] > 1, т.е. правое неравенство в (2.2) выполнено. Докажем теперь левое. Имеем:

п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) = п((р + 1)а, Л1) — п(р0а, Л1) +

+п((р + 1)а, Л0) — п('р0а, Л0) = п((р + 1)а, Л1) — п(ра, Л1) + п(ра, Л1 ) —

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

—п(р0а, Л1) + п((р + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0) = п((р + 1)а, Л1) — п(ра, Л1) +

+Ир-1 + п((р + 1)а, Л0) — п(Р0а, Л0). (2.7)

Кроме того,

п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) = п(ра, Л) — п(р0а, Л) +

+п((р + 1)а, Л1) — п(ра, Л1) + п((р + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0). (2.8)

Предположим, что полуинтервал [ра, (р + 1)а) содержит одновременно некоторое число |А]| и хотя бы один элемент последовательности {| Ак |}^=1. Тогда

п((р+ 1)а, Л1) — п(ра, Л1) = 1, п((р + 1)а, Л0)п(р0а, Л0) > 1.

Отсюда с учетом (2.8) и левого неравенства в (2.6) получаем:

п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) > п(ра, Л) — п(р0а, Л) + 2 > р — р0 + 2 > р + 1 — р0.

Поэтому в силу правого неравенства в (2.6) имеем:

п((р + 1)а, Л) — п(р0а, Л) ^ Мр-1 + п((р + 1)а, Л0) — п(р0а, Л0).

Вместе с (2.7) это дает нам равенство

п((р + 1)а, Л1) — п(ра, Л1) = 0,

которое означает, что полуинтервал [ра, (р + 1)а) не содержит ни одного элемента последовательности {|А]|}°=1. Получили противоречие с предположением.

Таким образом, если полуинтервал [ра, (р + 1)а) содержит некоторое число |А]|, то он не содержит ни одного элемента последовательности {| Ак |}^=1. По построению |А]| принадлежит интервалу (2.3). Следовательно,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

I 1АЧ IА011 >а 7= 1 7 > 1 8 к> 1

I |А1| — |Ак1 ^ 2 — 2 = 27 — 2 > 27 — 2, к > 1.

Это дает нам первое неравенство в (2.2). Лемма доказана.

Лемма 2.3. Пусть 8 > 0 и р1 Е [—2^, 0), р1 < р2 < • • • < Рп < Рп+1 = р1 + 2ж, т1,..., тп > 0 и т = т^ + • • • + тп > 0. Существует последовательность Л = {Ак}£=1 такая, что Л С п(Л(р3, р8+1]) = т3, в = 1,п, и

|Ак+11 —|Ак|> т1 — 5, к> 1. (2.9)

2

Доказательство. Положим т0 = 0 и Л0 = 0. Последовательность Л С Л^ будем искать в виде объединения Л1 У ... и Лп. Построим, используя индукцию, последовательности Л3 С Л^(р3,р3+1), 5 = 1,п, удовлетворяющие следующим условиям: последовательность Л5 = {| Ак |}^=1 имеет плотность т3 и при т3 > 0 верны неравенства

I |АП — |Ак | |> ^ — 2, к,1 > 1,]=Т^—1, | Ак+11 — | Ак | > ^ — $,к > 1, (2.10)

2т3 2 т3

где т3 = т^ + • • • + т3 (если Л0 и ... и Л5-1 = 0, то первое неравенство в (2.10) опускается). Если же т3 = 0, то Л5 = 0.

Пусть 5=1. Если п = 0, то полагаем Л1 = 0. В противном случае по лемме 2.2 существует последовательность Л1 = {| Ак |}^=1 С Л^( р1, р2), имеющая плотность т! — г0 = т^ и такая, что выполнено (2.10).

Предположим, что требуемые последовательности Лj•, ] = 1,5 — 1, уже построены. В лемме 2.2 в качестве Л0 возьмем объединение Л1 и ...и Л5-1. Тогда согласно этой лемме существует последовательность Л5 = {АкС Л^( рj, рj•+1), имеющая плотность т3 = т3 — Та-1 и такая, что верно (2.10). Таким образом, мы построили последовательность Л = {Ак }Г= 1 С для которой п(Л(Рs, р«+1]) = п(Л.в) = Ts, в = 1,п. Поскольку Т > Т3, в = 1, п, то для нее выполнено (2.9). Лемма доказана.

Рассмотрим теперь более точные характеристики последовательности Л = {Ак}^=1. Нижней и верхней плотностями Л в угле Г( р1, р2) называются соответствующие плотности последовательности Л( р1, р2).

Говорят (см. [3], гл. II, §1), что Л имеет угловую плотность п(Л, р1, р2) < +ж (при порядке один), если для всех допустимых р1, р2 за исключением, быть может, счетного множества ФЛ верно равенство п(Л(р1, р2)) = п(Л(р1, р2)) = п(Л, р1, р2). Число р Е ФЛ \ {—2—}

тогда и только тогда, когда Ш п(Л(р — р,р + р)) > 0, где р достаточно мало. Число —2—

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

р>0

принадлежит или не принадлежит Фл одновременно с р =0.

Символом Е обозначим класс неубывающих на [—2—, 2-] функций ш(р), обладающих следующими свойствами: ш(0) = 0, ш непрерывна слева, ш(р) = ш(р — 2—) — ш(—2—), р Е [0, 2—). Через Ф(ш) обозначим множество точек разрыва функции ш.

Пусть Л имеет угловую плотность. Тогда она единственным образом определяет функцию шл Е Е по правилу: для р1, р2 Е (—2—, 0) \ Фл, р Е (р1, р1 + 2—) \ Фл

шл (р 1) = — Иш п(Л, р1,р2), шл (р) = п(Л, р1 ,р)+ ш л (р 1).

Точнее говоря, шл единственным образом продолжается до функции из класса Е, причем продолжение не зависит от р1. Нетрудно заметить, что множества Фл и Ф(шл) совпадают. Из определения шл следует равенство п(Л,р1,р2) = шл(р2) — шл(р1) для любых допустимых р1,р2 Е Фл = Ф(шл). При этом п(Л) = шл(р + 2—) — шл(р), р Е [—2—, 0). Будем говорить, что последовательность Л имеет угловую плотность ш Е, если она имеет угловую плотность и шл = ш.

Лемма 2.4. Пусть ш Е Е и Л таковы, что для некоторого р1 Е (—2—, 0) \ Ф(ш) и всех р,ф Е Ф(ш) с условием р1 ^ р < ф ^ р1 + 2— последовательность Л(р,ф] имеет, плотность и п(Л(р,ф]) = ш(ф) — ш(р). Тогда Л имеет угловую плотность ш.

Доказательство. Пусть р1 ,р2 Е Фл являются допустимыми. В зависимости от расположения точек р1, р2 на отрезке [—2—, 2—] возможны несколько ситуаций. Изучим две из них. Остальные рассматриваются аналогично.

1. р2 = р1. В этом случае Л(р1,р2) = Л(р1 + 2—, р1 + 2—) С Л(р1 + 2—, р1 + 2—]. По условию ( р1 + 2—) Е Ф(ш). Покажем, что ( р1 + 2—) Е Ф(ш). Поскольку р1 Е Фл, то

Ш п(Л(р>1 + 2— — р, р1 + 2— + р)) = т£ п(Л(р>1 — р, р1 + р)) = 0. (р>0 (р>0

Пусть ф1 ^ 0 такая, что (р1 + 2— ± ф{) Е Ф(ш), I > 1. Тогда с учетом условия имеем:

ш(р1 + 2— + фг) — ш(р1 + 2— — ф1) = п(Л(р{) + 2— — ф1, р1 + 2— + фг]) ^

^ п(Л(р1 + 2— — 2фх, р1 + 2— + 2ф) ^ 0, I ^ ж.

Так как ш не убывает, то отсюда следует требуемое. Поэтому согласно определению верхней плотности и условию с учетом леммы 2.1 получаем

п(Л(р1 ,р2)) ^ п(Л(р1 + 2—, р2 + 2—]) = ш(р1 + 2—) — ш(р1 + 2—).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С другой стороны, по сходным соображениям верно неравенство

п(Л(р1, р2)) > п(Л(р1 + 2—, р1 + 2— — ф1 ]) = ш(р1 + 2— — фг) — ш(р1 + 2—), I > 1.

где 0 < Ф1 ^ 0 и (< + 2^— ф\) ф Ф(ш). Отсюда, используя непрерывность ш в точке <<1+2т\ и предыдущее неравенство, находим, что Л( <1, <2) имеет плотность ш(<1 + 2^) — ш(<1 + 2^) = = ш(<1) — ш(<1) = ш(<2) — ш(<^).

2. <2 > <1, <1 < <1. Как и выше показывается, что <2, < + 2ж ф Ф(ш) и Л(<1, <2) имеет плотность ш(<2) — ш(<1). Тогда с учетом условия имеем:

п(Л(<1, <2)) = п(Л(<1, <1]) + п(Л(<1, <2)) = п(Л(< + 2я-, <1 + 2^]) + п(Л(<1, <2)) =

= ш(< + 2^) — ш(< + 2-к) + ш(<2) — ш(<1) = ш(<2) — ш(<?1). Отсюда с учетом непрерывности ш в точке <1 вытекает, что <1 ф Фд.

Таким образом, Л имеет угловую плотность п(Л, <1, <2) = ш(<2) — ш(<р1). Остается доказать, что шл = ш. С учетом последнего это следует непосредственно из определения шд, непрерывности слева функции ш и равенства ш(0) = 0. Лемма доказана.

Доказательство следующего утверждения опирается на метод, изложенный при доказательстве теоремы 2.1 в работе [6].

Теорема 2.1. Пусть ш ф £ и 5 > 0. Существует последовательность Л = { АкС Лч с угловой плотностью ш такая, что

|А*+1| — А| >

1

2(шд( <1 + 2и) — шд (< 1))

— 5, к > 1

(2.11)

где <1 ф (—2^, 0) \ Ф(ш) выбирается произвольно.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство. Прежде всего, построим специальный набор последовательностей Л3 С Лч, 3 > 1. Затем «склеим» из частей Л3 последовательность Л, имеющую требуемую угловую плотность. Пусть <1 ф (—2ж, 0) \ Ф(ш). Для каждого 3 > 1 фиксируем набор чисел < ф Ф(ш), 5 = 1, 8^), таких, что < = <1, < < < ''' < < <1 + 2^ = <^)+1 и Л

<+1 — < < 1/з, 8 = 1, По лемме 2.3 для каждого3 > 1 существует последовательность Л-7'

8

{ А£}ь=1 С Лч такая, что

п(Л<1+1 ]) = т1 = ш(<^+1) — ш(<), в = 1, 8(з), 3 > 1. |А{+1| — |А{ |>а = ^ — 8, к> 1,

где т = г! + ■ ■ ■ + Из (2.12) получаем: п(Л3) = т = шл(<1 + 2^) — шл(<1). Пусть з > 1. В силу (2.12) найдется число Rj > 0, удовлетворяющее условию

(2.12) (2.13)

п( г, Л3 (<,<+1])

— (ш( <1+1) — ш(<))

<

1

з$(зУ

5=1, 8(з), г > R

Г

(2.14)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(2.15)

Можно считать, что

Rj+1 > 2Rj, Rj+1 — a>Rj, з> 1. Пусть Л3'3 — набор всех элементов последовательности Л3, которые лежат в кольце {А ф С : Rj ^ |А| < Rj+1 — а}. Положим Л = У¿>1 Л3,3. По построению Л = {Ак}£=1 С Лч. В силу (2.13) условие (2.11) выполняется для точек множеств Л3'3, 3 > 1. Также по построению А| — А| > а, если ] = 1 и А3к ф Л3'3, А1п ф Л1'1. Отсюда следует, что условие (2.11) выполнено для последовательности Л. Остается показать, что Л имеет угловую плотность ш.

Фиксируем числа <<,ф ф Ф(ш) такие, что <1 ^ < < ф ^ <1 + 2п. Докажем равенство п(Л(<,ф]) = ш(ф) — ш(<). Пусть Г > 0 и номер з(г) такой, что Rj(r)-1 < 1" ^ Rj(r). По построению для каждого номера з0 и всех г > Rj0 имеем:

з(г)-2

п(г, Л(<,ф]) = п(Rj0, Л(<,ф]) + у (п^+1 — а, Л(<,ф]) — п(Rj, Л3 (<,ф])) +

3=30

+п(г(г), Л^)-1( р,ф]) — п(Д,(0-1, Л^)-1(р,ф]). (2.16)

где ¿(г) = шт{г, Rj(r) — а}.

Для каждого 3 > 1 найдутся номера 1 ^ г(з) ^ 1(з) ^ в(з) такие, что верны вложения

( )-1 ( ) и Г( ] С Г(р,ф] С и г(р2,р^+1]

s=г(j) + 1

(для конечного числа номеров 3 может оказаться, что г(з) + 1 > 1(з) — 1; в этом случае левое вложение отсутствует). Тогда имеем:

т_1

^ (п(г, Лj( р{, р^]) — п(г, Лj(р, р^])) ^ п(г, Лj(р, ф]) — п(г, Лj(р, ф]) ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

s=г(j•)+1

т

^ ^{п(г, Лj ( р^+1]) — п(г, Лj (р^р^])) , 0 <г < т. (2.17)

Пусть 1 ^ г ^ I ^ иг > Г > Rj. В силу (2.14) верно неравенство

¿^ (п(г, Л;(р^, р+1]) — п(г, Л;(р, р^])) — (г — г) 2] (ш(р^+1) — ш(р^))

«=г «=г

Следовательно,

2

^ —.

^ (п(г, Л; ( р8, р^]) — п(г, Л;(р^, р^])) — (г — г) (ш(рj) — ш(рj))

2

^ —.

Отсюда с учетом (2.17) получаем:

(г — г) (ш(р^.)_1) — ^р^^) — 2г/3 ^ п(^Л(р,ф]) — п(f,Л(р,ф]) ^

^ (г — г)(ш(рш) — ш^))+2г /з, з > 1, г>г > Rj. (2.18)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть > 0. В силу непрерывности ш в точках ф и р найдется > 0 такое, что

|ш(ф) — ш(р) — (ш(ф) — ш(р))| < е, Уф,р : |фф — ф| < |р — р| <5. (2.19)

Выберем номер з0 > шах{1/ 5,1/е}. Тогда с учетом (2.16), (2.18), (2.19) и (2.15) имеем:

^Ь2 / 2 \

п(г,Л(р,ф]) > п(Rj0,Л(р,ф]) + ^ ( (Rj+l — а — Я;Мр^) — ш(р^)) — —р ) +

j=jo ^ '

+ (*(г) — Rj(r)_l)(ш(рj((;()r__l)) — ш(рЛ^-__1))) — > п(Rjo,Л(р,ф]) +

^Ь1 / 2 О X

+ Е ( Rj+l — а — R; )(ш(ф) — ш(р) — в) — +

;=;о+1 ^ ^ '

2 ( )

+(1(г) — Rj(r)_l)(ш(ф) — ш(р) — е) — ) — 1 > п(R;o,Л(р,ф])+

ЛгМ \ ,?М_2

/ \ 1 2 R7+1

ш(ф) - ш(р) - ■ 4 ' ° ~ ° ^ 1 О 1 X ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ (ш(ф) — ш(р) — е) I ^ ^^ — а — °) + ¿(г) — | — ^

2 ( )

;=;о / ;=;о

> п(°о,Л(р,ф]) + (ш(ф) — ш(р) — е)(г — ^о — а'(г)) — 6е^ r>R

;о-

Следовательно,

✓ лч п(г, Л(р,ф]) / ч -, oj (г)

п(Л(р, ф]) = lim v' ,nj > ш(ф) — ш(р) — £ — lim ———- - бе.

В силу выбора номера j(r) и (2.15) верны неравенства г > Rj(r)-1 > 2j<-r)-2Ri. Поэтому п(Л(р, ф]) > ш(ф) — ш(р) — 7е. Так как е > 0 - любое, то п(Л(р, ф]) > ш(ф) — ш(р). Аналогично получаем оценку сверху: п(Л(р,ф]) ^ ш(ф) — ш(р). Таким образом, верны равенства п(Л(р,ф]) = п(Л(р,ф]) = п(Л(р,ф]) = ш(ф) — ш(р). Отсюда по лемме 2.4 находим, что Л имеет угловую плотность ш. Теорема доказана.

Напомним, что последовательность Л = ( Лк}^=1 называется правильно распределенным множеством (см. [1], гл. II, §1) при порядке один, если она имеет угловую плотность и выполнено условие Линделефа, т.е. существует lim N(г, Л), где

N<г• Л)= Е i

l^k 1<г к

В следующих утверждениях дается ответ на вопрос, как последовательность с угловой плотностью "превратить"в правильно распределенное множество.

Пусть Л имеет угловую плотность. Будем говорить, что Л — последовательность общего вида, если существуют р1, р2, р3 Е [—п,п) такие, что р1 < р2 < рз, р2 — р1 < п, Рз — р2 < п, р1 + 2и — р3 < п и

п(Л(рз — р,р3 + р)) > 0, j = 1, 2, 3, рЕ (0, и/2).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Отметим, что функция, стоящая слева в этом неравенстве и зависящая от р, является неубывающей. Поэтому достаточно, чтобы неравенство выполнялось на некоторой последовательности р = фj,p ^ 0.

Лемма 2.5. Пусть а > 1, Л = (Лки C э тт ^ 0, т ^ то. Предположим, что Л — последовательность общего вида. Тогда существует последовательность нулевой плотности Т С Л такая, что

— N(а1+1,Т) ^ 0, /^то.

т=1

Доказательство. Пусть р1, р2 ,р3 — числа, участвующие в определении последовательности общего вида. Положим

ро = 4-1 min(n — (р2 — Р1); п — (рз — Р2); п — (Р1 + 2и — Рз)} < п/4.

Отметим важное свойство чисел р0,р1,р2,р3. Для любой прямой, проходящей через начало координат, и для любой из двух полуплоскостей, образованных этой прямой, существует j = 1, 2, 3 такое, что угол Г = Г( рj — 2 р0, рj + 2р0) лежит в этой полуплоскости.

Множество Т будем искать в виде Т = (J~=1 Тт, где Тт = (U}1=)^т-1)+1 = (Лк(т,Р)^^ -некоторое подмножество Л, лежащее в кольце К(т) = {£ : ат < |£| ^ ат+1}. Возможно, что Тт = 0 (т.е. р(т) = 0, р(т) = р(т — 1)) для некоторых т.

Положим р(0) = р(0) = 0, 7о(0) = 0, 7т(0) = ут-1(р(т — 1)) + 7т, т > 1,

р( т-1)+р 1

7ш(р)=7Ш(0) — -, Р=1,р(т). (2.20)

^=р( т—1)+1 ^

Пусть Г = Г( — <0,< + <<0),] = 1, 2, 3, П(<) = {£ ф С : Re(^ëгp} > 0, <(т,р) — аргумент числа ут(р) и ](т,р), т = 0, - номер, такой, что Г^(туР) С П(<(т,р)).

Для каждого т > 1 выберем набор Тт = {IIУ=т—т—+)+т) такой, что

1) р(т) - минимальное неотрицательное целое число, для которого либо |7m(p(m))l ^ (атsinро)-1, либо множество К(т) f]Tj(m,p(m)) не содержит точек последовательности Л \ Тт.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2) Для каждого р = 1, р(т) число íp(m-1)+p - произвольный элемент Ak(m,p) £ Л \ Тт,р-1

(где Тт,о = 0 и Тт,р-1 = {\k(m,s)]Ps-\, Р > 1), принадлежащий пересечению К(т) f| Г.,-(т,р-1).

Таким образом, множество Т = У Тт определено. Найдем оценку сверху для номеров р(т) > 0. Прежде всего, докажем, что справедливо неравенство:

ыр)1 ^ Ьш(р - 1)|-2-1а-т-1 sin ро, р=1,р(т). (2.21)

Согласно (2.20) имеем: 7т(р) = 7т(р — 1) — ( \к(т,р))-1. Тогда по теореме косинусов

|7т(р)|2 = 17т(р — 1)|2 + |Afc(m,p)|-2 — 2|тт(р — 1)||Afc(m,p)|-1 cosa,

где a - тот из двух углов между векторами 7т(р — 1) и (Ak(m,p))-1, который не превосходит п/2 — ро (такой существует, т.к. Ak(m,p) £ ^j(m,p-1)). Поскольку Ak(m,p) £ К(т), а в силу 1) верно неравенство 1тт(р — 1)| > (ат sinp0)-1, то

17т(р — 1)|2 — 17т(р)|2 > 2|7m(jp — 1) || Afc(m,p) |-1 sin ро — |Afc(m,p)|-2 =

= 17т(р — 1)||Afc(m,p)|-1 (2sinро — (|Afc(m,p)||7ш(р — 1)|)-1) > > 17т(р — 1)||Afc(m,p)|-1(2sin ро — sin^) > 17ш(р — 1)|а-т-1 sin^. В частности, 17т(р — 1)| > |тт(р)|. Следовательно,

2Ьш(р—1)|(Ыр—1)| —|тт т >

> (ЫР — 1)| + ЫР)|)(ЫР — 1)| — Ьш (p)D > brn(p — 1)\d~m~l sin ро. Отсюда получаем неравенство (2.21). Применяя его р(т) раз, имеем:

0 ^ |Тш^т)^ ^ |тт(0)| — 2-1 а-т-1р(m)sinро, т > 1. (2.22)

(Для ( т) = 0 неравенство тривиально). Поэтому

р(т) ^ 2 am+1(sin ро)-1|7т(0)|, т > 1. (2.23)

Покажем теперь, что

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

i

7i(p(l)) = ^ 7ш — N(а1+1,Т) ^ 0, (2.24)

т=1

По условию п(Л(р^ — ро, + ро)) > 0, j = 1, 2, 3. Тогда

lim п(ат+1, Л(^ — ро, Уз + ро)) — п(ат, Л(^ — ро, <fj + ро)) = m^<x¡ ат+1

= п(Л(<р^ — ро, Фз + ро)) — а-1п(Л(^у — ро, <fj + ро)) > 0, j = 1, 2, 3. Следовательно, существуют число > 0 и номер то такие, что

п(ат+1, Л( — + ро)) — п(ат, — + ро)) > ат+1, j = 1, 2, 3, т > то.

Отсюда с учетом (2.22) и 1), 2) получаем

17т(р(т))| ^ шах{(атsin^)-1,17т(0)| — 2-1тsin^}, т > то. (2.25)

Согласно условию леммы можно считать, что

|7т| + (ат-1 sin ро)-1 ^ 4-1r sin ро, т > то. (2.26)

Предположим, что 17m(p(m))| > (ат sin^)-1 для всех т > то. Тогда из (2.25), (2.26) и определения тт(0) имеем:

17i(рШ < 17/(0)| — 2-1гsin^ ^ 17i-1(p(l — 1))| + |т| — 2-Vsin^ ^ ^ 17i-1(p(l — 1))| — 4-1r sinро ^ ■ ■ ■ ^ 17ш0(р(то)) — 4-1г(/ — то) sin^.

При больших номерах I правая часть здесь становится отрицательной. Получили противоречие. Таким образом, существует т\ > то такое, что |7т1 (р(т\))| ^ (ат1 sin^)-1. Тогда в силу (2.26) получаем

|7mi+1(0)| — 2-1гsin^ ^ 17mi(р(т1))| + |7mi+1| — 2-1гsin^ ^ 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Следовательно, с учетом (2.25) имеем: 17mi+1 (р(т1 + 1))| ^ (ат1+1 sin^)-1. Это означает, что (2.24) верно. Остается показать, что Т имеет нулевую плотность. Согласно (2.23), (2.24), условию леммы и определению 7т(0) имеем:

Р(т) 2а|7т (0)| 2 а(|7т-1 (р(т — 1))| + |7т|)

- ^ - ^--> 0, т ^ го.

ат sin ро sin ро

Фиксируем е > 0. Тогда существует номер т(е) такой, что р(т) ^ еат, т > т(е). Пусть г > ат(е) и номер т(г) выбран так, что ат(г) ^ г < ат(г)+1. Тогда

п(г,Т) _ п(ат(е),Т) п(ат(г)+\Т) — п(ат(е),Т) < п(ат(е),Т)

р(т(е)) + ••• + р(т(г)) п(ат(е), Т) ат(е) + •• ■ + ат(г)

+ ат(г) ^ г +е ат(г) .

Отсюда следует, что п(Т) ^ еа/(а — 1). Так как е > 0 любое, то лемма доказана.

Лемма 2.6. Пусть Л = {A&}£=1 имеет плотность г > 0, а > 1, г2 > г1 > 0 и r2/r 1 ^ а. Тогда имеет место представление

у -—= rln ( — ) +e(r1, r2), e(r1, r2) ^ 0, r1 ^ го, г2 > г1 > 0, r2/r1 ^ а,

(т.е. е(r1, r2) ^ 0, r1 ^ го, равномерно по г2 : г2 > г1 > 0, г 2/г 1 ^ а) Замечание. Если в кольце Г1 ^ |A|

< т 2 нет точек Aто считаем, что левая часть

в этом равенстве равна нулю.

Доказательство: Считаем, что п(г, Л) ^ +го, г ^ го (в противном случае утверждение леммы становится тривиальным). Пусть т = 0. Так как г2/г 1 ^ а, то

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у -— ^ — (п(аг 1, Л) — п(г1, Л)) ^ 0, r1 ^ го.

|Afc| Г1

^i^jAfc |<Г2

Пусть теперь т > 0. Согласно представлению Л. Эйлера имеем

1

к

¿ 1 = 1пп + р + р(п), р(п) ^ 0, п ^ го, (2.27)

к=1

где [ - постоянная Эйлера. По условию Л имеет плотность т, т.е. справедливы равенства: |Ак| = к/(т + 8(к)), к ^ го, п(г,Л) = гг + е(г)г,е(г) ^ 0,г ^ го. (2.28)

Отсюда с учетом (2.27) получаем

1 I яп\ п(г2,л) п(г2,л)

^ 1 ^ т + <Н к) ^ 1 "( к)

^ Ш = ^ к =Т ^ к + ^ ~к~ =

|<Г2 А^ |<Г2 к=га(п,л)+1 к=га(п,л)+1

= т1п + -(3(п(г2, Л)) — 3(п(п, Л)))+ М =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

( 1, ) к=п(г1 ,л)+1

= г1п ^ + г (ь^Н + 3 (п(^2, Л)) — 3(п(п, Л)Л+ Ш.

Г1 V т + е( г 1) ) к=га^л)+1 к

Фиксируем е > 0. Согласно (2.27) и (2.28) выберем номер к0 такой, что 18(к)1 ^ е, 3(п)| ^ £,к,п > ко. Согласно (2.28) выберем еще г(е) > 0 такое, что

ln г + е(г2)

т + е( ri)

^ £, п(г1, Л) > к0, г2 > г1 > г(е).

Тогда

п(аг1 ,Л)

к

k(r1, f2)i ^ Зет + е ^^ — ^ Зет + e(lnа + Зе), r2 > r1 > r(e), r2/r 1 ^ а.

к=п(г 1,Л) + 1

Лемма доказана.

Пусть К — выпуклый компакт. Он единственным образом задает функцию из класса £ при помощи длины дуги его границы дК. Для каждого р G R через L(ip, К) обозначим пересечение опорной прямой

/( р,К) = [z : Re(ze-iip) = H(р,К)}, Н(р,К) = sup Re(ze-iip),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

хек

и границы дК (Н(р,К) — опорная функция компакта К). Множество L(p^) является либо точкой, которую обозначим z(р,К), либо отрезком. Множество Ф(К) направлений р, для которых L(p^) — отрезок, не более чем счетное. Пусть р1,р2 G Ф(К), р2 — р1 G (0, 2тт), и з(р1, р2, К) — длина дуги дК, соединяющей точки г(р1, К) и г(р2, К), движение по которой от ( р1, К) к ( р2, К) осуществляется в положительном направлении (против часовой стрелки). Пусть р1,р2 G (—2ж, 0) \ Ф(К), р G (р1,р1 + 2тг) \ Ф(К). Функция

ш(р1, К) = — lim з(р1, р2,К), ш(р,К) = в(р1, р,К) + ш(р1, К)

единственным образом продолжается до функции из класса £, причем продолжение не зависит от р1. Нетрудно заметить, что множества Ф(К) Р|[— 2ж, 2ж) и Ф(ш(^, К)) совпадают.

Пусть р3 G Ф(К), s = 1,р, такие, что р1 G (—2^, 0) и р1 < • • • < рр < р1 + 2ж= рр+1. Положим as = г(р3,К), s = 1,р + 1. Рассмотрим выпуклый многоугольник П с вершинами а1,... ,ар, ар+1 = а1, вписанный в компакт К. Отметим, что некоторые вершины с соседними номерами могут совпадать между собой. Символом е s обозначим единичную внешнюю нормаль к дП во внутренних точках (когда они есть) отрезка [as,as+1] (отметим, что для некоторого р(в) G (рц,ps+1) верно равенство es = ezip(s)). Если as = as+1, то под е s будем понимать произвольным образом выбранный вектор е гv, где р G (р^р^). Следующее утверждение имеет простой геометрический смысл. Лемма 2.7. Верно равенство

р

У К+1 — a,sies = 0.

s=1

Доказательство. Имеем:

р р

У |ßs+1 — asiеs = У (ßs+1 — as)e ш/2 = 0.

,-т/2 _ 8=1 8=1 Замечание. Из леммы 2.7 следует, что для ш _ К) верно равенство

г 2ж

/ еир(ш(р) _ 0. (2.29)

о

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Обратно, пусть ш£ Е удовлетворяет этому равенству. Тогда (см. [3], гл. I, §17, теорема 24, [2], гл. I, §2, теорема 1.2.4) функция

f

Н(р) = A cos р + В sinp--(р — в) sin(p — в)йш(в),

2ж J

(р-2ж

совпадает с опорной функцией Н(р, К) выпуклого компакта К (для различных A, В G R компакты получаются друг из друга при помощи сдвига). При этом ш(в) = ш(в, К). Символом Ео обозначим подкласс всех функций ш£ Е, удовлетворяющих (2.29). Лемма 2.8. Пусть Л = [Хкимеет угловую плотность шл G Е0. Тогда для любых а > 1, г2 > г1 > 0 и г2/ г1 ^ а

N(Г2, Л) — Я(Г1, Л) = е(п, r2) ^ 0, п ^ го.

Доказательство. По условию шл G Е0. Тогда, как отмечено выше, найдется выпуклый компакт К такой, для которого верно тождество шд = ш(р, К). Фиксируем е > 0 и выберем 8 > 0 такое, что

|ег<р — егв| ^ е/(4з(К)lna), Ур,в : |р — 0| <6,

где в(К) = шл(р1 + 2ж) — шл(р1) — длина границы компакта К. Выберем теперь числа р3 G Ф(шл), s = 1, р, р1 G (—2тт, 0), р1 < ••• < рр < р1 + = рр+1, удовлетворяющие условиям: 1) р5+1 — р3 < 5, s = 1,р, 2) в(К) — Р(П) < e/(4lna), где Р(П) — периметр выпуклого многоугольника П с вершинами а1,..., ар, ар+1 = a1, as = z^g, К), s = 1,р + 1.

Пусть Хк = |Хк|ег^к, фк G (р1,р1 + 2ж], к > 1, и р(в) G (р3,р3+1), s = 1,р, такие, что вектор еs = еявляется внешней нормалью к дП во внутренних точках отрезка [а8, а5+1 ] (если таких нет, то р(в) G (р3,р3+1) выбирается произвольно). Тогда в силу условия 1) и выбора > 0 имеем:

...........(

1

1

Хк \Хк | еМ*)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

)

Е

1

4 s( К )lna ^ \Хк \'

Фк |<Г2

Фк ,^s+i],^i<|Afc |<Г2

Поскольку n(A(ps, Ps+ij) = ^л(р*+1) — ^л(Рв), то отсюда с учетом леммы 2.6 получаем

£ (

1

1

Хк \Хк \ eMs)

/ Фл( Ps+1) — ^Л(Р*)) , ,

^ ык) +е s (Г1'Г2)'

Фк e(<ps,<ps+i W<|Afc |<Г2

где г2 > г1 > 0, r2/r 1 ^ a и es(r1, r2) ^ 0, r1 ^ го. Таким образом, р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Е

s=1

Е

1

1

i)

^ 4 + ги Г2) ^ 2,

(2.30)

хХк \Хк | eMs)

где т2 > п > r0(e), ^ ^ а.

Пусть o>a(ps+i) — ua(Ps) = \as+i — as\ + 7s. Используя снова лемму 2.6 и применяя лемму 2.7, имеем:

р - /г\ р

ln ( — ) es(\as+i — as\ + 7s) + é(гъ r2)

s=1

E E

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

s=1 Фк ,^s+i],^i<|Afc I<r2 p

\ Хк \

= ln ( E e s^s + é(n, r2), é(п, Г2) ^^ 0,

1 s=1

Отсюда с учетом (2.30) и условия 2) получаем

г1 ^ го.

Я(Г2, Л) — Я(Г1, Л) = е(т 1, г2),

к(Г1, г2)| ^ 2 +

р

8=1

+ к(П,т 2)| ^ |+1ла(з(К) — Р(П)) ^ е,

где г2 > г1 > Го(е), г 2/Г1 ^ а- Это завершает доказательство леммы.

Пусть ш Е Е. Будем говорить, что ш — функция общего вида, если существуют р2, Е [—ж, ж) такие, что < р2 < р2 — < ж, — р2 < ж, + 2ж — < ж и

ш(ф + ф) —ш(р>1 — ф) > 0, 3 = 1, 2, 3, рЕ (0, ж/2).

Если Л имеет угловую плотность ш, то нетрудно заметить, что Л — последовательность общего вида тогда и только тогда, когда ш = шл — функция общего вида. Пусть К — выпуклый компакт. Легко показать, что ш(р, К) — функция общего вида в том и только том случае, когда К является замыканием ограниченной выпуклой области. Предположим, что верно тождество ш(ф) = ш(р,К). Если К — точка, то ш(ф) = 0. Если К — отрезок, то ш на [0, 2ж] принимает ровно три попарно различных значения. В остальных случаях (т.е. когда К является замыканием области) ш принимает более трех попарно различных значений на отрезке [0, 2ж]. Если ш Е Е0, то, как отмечалось выше, существует выпуклый компакт К, для которого верно тождество ш(ф) = ш(р, К).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, если ш Е Е0, то ш — функция общего вида тогда и только тогда, когда она принимает более трех попарно различных значений на отрезке [0, 2ж].

Лемма 2.9. Пусть Л имеет угловую плотность шл Е Е0 и шл — функция общего вида. Тогда существует последовательность Л С Л с угловой плотностью шл = шл такая, что N(г, Л) — 0, г — +то. Доказательство. Положим

71 = Я(22,Л), 1т = М(2т+1,Л) —Я(2т,Л), т > 2.

Так как шл Е Е0, то по лемме 2.8 7т — 0, т — то. По условию шл — функция общего вида. Следовательно, Л — последовательность общего вида. Тогда по лемме 2.5 существует последовательность нулевой плотности Т С Л такая, что

У1ш — Я(2+1,Т) — 0, / — то.

т= 1

Отсюда с учетом определения 7т получаем: N (2г, Л) — N (2г ,Т) — 0,1 — то. Пусть Л С Л — последовательность, дополняющая Т до Л, т.е. Л = ЛуТ. Тогда в силу предыдущего имеем: М(2г, Л) — 0, I — +то. Для каждого г > 0 выберем номер 1(г) из условия 2(г) ^ г < 2(г)+1. По доказанному и лемме 2.8. имеем:

N(г, Л) = N(2(г), Л) + (Я(г, Л) — Я(2(г), Л)) — 0, т —у +то.

Поскольку Т имеет нулевую плотность, то последовательность Л имеет угловую плотность шл = шл. При этом верно вложение. Лемма доказана.

Теорема 2.2. Пусть 5 > 0 и ш Е Е0 — функция общего вида. Тогда существует, последовательность Л = (А,С Л^ с угловой плотностью шл = ш такая, что

^ЫА,, |>а = -_—-1-— — 5, к > 1, (2.31)

2(шл( ф1 + 2ж) — шл(ф1))

где Е (—2ж, 0) \ Ф(ш) выбирается произвольно, и N(г, Л) — 0, г — +то.

Доказательство. По теореме 2.1 существует последовательность Л = (Л,}£=1 С Л^ с угловой плотностью шл = ш такая, что

|А,+11 —|А,|> а, к> 1, (2.32)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Согласно лемме 2.9 найдем последовательность Л С Л С Л^ с угловой плотностью шл = ^а = ш, удовлетворяющую условию М(г, Л) ^ 0, г ^ Остается заметить, что

неравенства (2.31) выполнены для Л С Л в силу (2.32). Теорема доказана.

Замечание. Последовательность Л С Л^, существование которой доказывается в теореме 2.2, является регулярным множеством (и, в частности, правильно распределенным).

3. Представление аналитических функций

Правильно распределенные множества тесно связаны с функциями регулярного роста. Пусть f — целая функция экспоненциального типа, т.е. существуют А > 0 и В > 0 такие, что

ln |/( А)| ^ А + В|А|, Ag C. Верхним индикатором f (или просто индикатором) называется функция

1г,(А) = sm !nJ/MÜ, ag C.

Индикатор h, является выпуклой положительно однородной порядка один функцией. При этом hf (егр) совпадает с опорной функцией Н(р,К) некоторого выпуклого компакта К, называемого индикаторной диаграммой f (см., [3], гл. I, §19). Компакт комплексно сопряженный с К называется сопряженной диаграммой функции . Говорят (см. [3], гл. III), что f имеет регулярный рост, если

h, ( А) = lim in/Mi, ag C,

t^x,t/E t

где E — множество нулевой относительной меры на луче (0, т.е. мера Лебега его

пересечения с интервалом (0, г) бесконечна мала по сравнению с г при г ^ Регулярность роста функции равносильна асимптотическому равенству

ln |/(А)| = hf ( А) + а(А), Ag C, lim а(А)/|А| = 0,

где Х, — некоторое С0 — множество. Напомним (см. [3], гл. II, §1), что fö С C называется С0 — множеством, если его можно покрыть кругами В(Zj, Tj), j > 1, такими, что

lim - Tj = 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

r^x f -'

| Zj <

Пусть Л = [AkIXLi и f(А, Л) — каноническое произведение:

/(, Л) = П(1 - А) exP £

и

Функция /( А, Л) имеет регулярный рост тогда и только тогда (см. [3], гл. III, §3, теорема 4 и гл. II, §1, теорема 2), когда Л — правильно распределенное множество. При этом его угловая плотность шл принадлежит множеству Е0. Если К — индикаторная диаграмма функции /( А,Л), то (см. [3], гл. II, §1, формула (2.07)) шл(в) = ш(в,К)/2ж и ^ (е *) = Н (р,К). _

Пусть О — ограниченная выпуклая область в С и Н(И) — пространство функций, аналитических в окрестности ее замыкания О. Хорошо известны условия А.Ф. Леонтьева (см. [2], гл. IV, §6, теорема 4.6.4.) представления функций д Е Н(О) в виде ряда

те

д(г) = У 4е , г Е О, (3.1)

к=1

в случае, когда Л является множеством простых нулей целой функции f экспоненциального типа, сопряженная диаграмма которой совпадает с D. Этих условий два: регулярность роста функции f и оценка снизу модуля ее производных в точках Xfc

ln |/( Хк)\ > hf ( Хк) — £к1Хк|, 0 < £к ^ 0, к ^ го.

Приведем достаточные условия представления (3.1) для произвольной последовательности Л = {Хк(она не обязана быть нулевым множеством какой-либо целой функции), которые формулируются только лишь в терминах геометрических характеристик Л и D. Для этого нам потребуется «локальная» характеристика последовательности Л, введенная в работе [7].

Пусть Л = {Xfc}£= 1. Рассмотрим функцию

qA(z,щ ö)= п .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\k£B(w,Slwl) 1 fc|

В случае, когда круг В(w, i\w\) не содержит ни одной точки Хк, полагаем qл(z,w, ö) = 1. Модуль функции ^(z ,w, 5) можно интерпретировать как меру сгущения точек XkEB(w, <5|w|) около z. Величина ln | дл(% ,w, $)\/\w\ аналогична по смыслу логарифму среднего геометрического (среднему арифметическому логарифмов) нормированных расстояний от Хк £ В(w, <51w|) до z. Если 5 £ (0,1), то модуль каждого сомножителя из определения qл в круге В(w, <51w|) оценивается сверху величиной 2(3(1 — $))-1. Поэтому для 5 £ (0,1/3) он не превосходит единицы. Положим

mf ъ TT Z — Xk — ln 1 qл(Хm,

Qa(z , s)= Д , 5л = lim lim -—-.

l.n,,1!, ,)t= \Xfc1 Й0 1 Хт \

Из определения величины 5д следует неравенство 5д ^ 0 (см. [7]).

Лемма 3.1. Пусть Л = {Xfc}£=1 — нулевое множество целой функции f экспоненциального типа и регулярного роста. Предположим, что 5л = 0. Тогда

ln \/( Хк)\> hf ( Xfc) — £к\Хк\, 0 < £к ^ 0, к ^ го. (3.2)

Доказательство. Регулярность роста функции f означает, что

ln \/( Х)\ = hf (X) + a(X), X £ C, lim а(Х)/\Х\ = 0, (3.3)

XfZf

где X/- С0 — множество. Фиксируем е > 0. Выберем R > 0 такое, что

а(Х) >—е\Х\, X £ Xf, \Х\ > R. (3.4)

Индикатор hf ( X) является выпуклой функцией, а потому непрерывен. Пользуясь его равномерной непрерывностью на компактных подмножествах, найдем 50 £ (0,1/3), для которого верно неравенство

\hf( X) — hf(w)\ ^ е, w £ В(X,\Х\ = 1. (3.5)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Согласно условию и определению величины 5л выберем 5 £ (0,50) и номер к0 такие, что

\Xfc\> 2 R, ln \qfc( Xk, ¿)\> — e\Xfc\, к > ко. (3.6)

Учитывая, наконец, что X/ является

С0 — множеством, можно считать выполненным следующее: для каждого > 0 общая сумма исключительных кружков из X , пересекающих В(Xfc, £\Xfc\), не превосходит $\Xfc\/4. Тогда в силу (3.3), (3.4) и (3.6) для каждого к > к0 найдется afc £ (1/2,1) такое, что

ln \/( X)\ > hf ( X) — ф\, X £ дВ(Xfc,afc5\Xfc\).

Отсюда, учитывая положительную однородность индикатора и (3.5), получаем:

ln \КX)\> hf ( Xfc) — 3е\Xfc\, X£дB(Xfc,afcS\Xfc\), к > ко. (3.7)

Согласно условию функция ln |( /( Л)/Л,Лк, $)| — гармоническая в круге В(Лк, $|Лк|). Так как 5 < 1/3, то функция ln |дд( A,Ak, $)| не положительна в этом круге. Поэтому, используя (3.7) и принцип минимума для гармонических функций, имеем:

ln lhk( Лк)| > hf ( Лк) - 3е|Afc|, к > к0.

Отсюда и (3.6) получаем:

ln |/( Лк)| = ln |hfc( Лк)| + ln |qkA( Лк, 5)| - ln(3 ö|Afc|) > hf ( Лк) - 5е|Afc|, к > къ Лемма доказана.

Замечания. 1. Оценка (3.2) влечет за собой равенство Sa = 0. При этом регулярность роста функции f не требуется (см. доказательство следствия 4.2 в работе [8]).

2. Вопрос о том, следует ли регулярность роста f из оценки (3.2) остается открытым. Ответ на него составляет содержание проблемы А.Ф. Леонтьева.

3. Только лишь равенство Sa = 0 не влечет за собой оценку (3.2) (см. пример в конце работы [9]).

Теорема 3.1. Пусть D — ограниченная выпуклая область и Л = (Акимеет угловую плотность. Предположим, что S^ = 0 и выполнено равенство Шд(ф) = ш(ф,К)/2ж, где К — комплексно сопряженный к D компакт. Тогда в области D каждая функция g Е Н(D) представляется рядом

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

g(z) = , z Е D. (3.8)

к=1

Доказательство. Поскольку D — область, то ш(ф,К) Е £0 (см. замечание к лемме 2.7) и ш(ф,К) — функция общего вида. Тогда согласно лемме 2.9 существует правильно распределенное множество Л С Л с угловой плотностью шл = (2п)-1ш(^, К). В начале параграфа отмечалось, что в этом случае каноническая функция ( Л, Л) имеет регулярный рост, а ее индикаторная диаграмма (см. замечание к лемме 2.7) совпадает с некоторым сдвигом К — z0 компакта К.

Положим /( Л) = /( Л, Л)е Лг°. Тогда функция f имеет регулярный рост, а ее сопряженная диаграмма совпадает с D. По условию Sa = 0. Так как Л С Л, то согласно определению все сомножители, образующие функцию q™(z , 5), входят в число сомножителей, образующих функцию qA(z, 5). Модуль каждого из них при 5 Е (0,1/3) не превосходит единицы. Отсюда следует неравенство Sa > S^ = 0. Выше отмечалось, что всегда Sa = 0. Поэтому Sa = 0.

Таким образом, можно применить лемму 3.1. Согласно ей имеет место оценка (3.2). Следовательно, по теореме 4.6.4. из книги [2] каждая функция Н( D) представляется в области D рядом (3.1), а, значит, и рядом (3.8). Теорема доказана.

Замечание. Пусть {Кр}£=1 — последовательность выпуклых компактов в области D, которая строго исчерпывает ее, т.е. Кр С т£Кр+1, р > 1, (символ int означает внутренность множества) и D = (J^=1 Кр. Для каждого р > 1 введем банахово пространство последовательностей комплексных чисел

Qp = {d = {4} : ||d||p = sup 141 exp НКр(Лк) < то}.

к>1

Пусть Q(D, Л) = Пр>1 Qp наделено топологией проективного предела. Согласно лемме 2.3 из работы [1] поточечная сходимость ряда (3.1) в области D влечет за собой включение d = {dj^} Е Q(D, Л). Кроме того, по теореме 3.1 этой работы (аналог теоремы Абеля для

степенных рядов) верно неравенство

V \dk| max |е XkZ| ^ Cp\\d\ \р+2, Р — 1,

I I - Р \

•ге

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

k=1

где Ср > 0 не зависит от в, = {¿к} € Qp. В частности, это означает, что ряд (3.1) ((3.8)) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте из области В. Лемма 3.2. Пусть а > 0 и Л = {Акудовлетворяет условию

|Ак+1|-|Лк|> а, к > 1. (3.9)

Тогда бд = 0.

Доказательство. Пусть т > 1 и 8 € (0,1/3). С учетом (3.9) для каждого Ак € В(Ат, 5|Ат|) имеем:

^|Ат| > |Ат - Ак| > ||Ат| - |Ак|| > |т - к|а.

Следовательно, верны неравенства (1 — 5)|Ат| < |Ак| < (1 + 5)|Ат|. Через 1(т, 5) обозначим максимальное натуральное число, для которого 1(т, 8)а < Ат|. Тогда величина Iа/381Ак| не превосходит единицы для всех I = 1,1(т, 8). Поэтому из предыдущего получаем (учитываем еще, что в! > (в/3)

№ (А-. 01* П > П ^ >

\кев(\т,&1\т\),к=т 1 к| Лк ев(лт,й|лт|),к=т 1 к|

1(т'&) / 1 \ 2 / \ 2l(m,s) /и \ 2l(m,s)

П/ la \ / а \ 2 I Нт, 1

I=1 V^J = U + *)3*\\т\) ((т ^ - V(1 + i)9i\\т\)

Таким образом, согласно определению 1(т, 8) имеем:

21 (т, 8) 1(т, 8) а . 21 (т, 8) 8\\т\ - а

ЬА — lim lim —л—I— 1П 7-^——г — lim lim —л—i— In

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\Am\ (1 + 5)95\Am\ \Am\ (1 + 5) = 98\Am\

= lim lim ^(m, 8) ^ - — Am\ ^ - =

m4» \ Am \ (1+5)9 ho m4M a\Am\ (1+5)9

Поскольку всегда Sa ^ 0, то лемма доказана.

Теорема 3.2. Пусть D — ограниченная выпуклая область в C. Тогда каждая функция g Е Н(D) представляется рядом

g(z) = £ dm>lе(m+ü)z, z Е D. (3.10)

m,l ez

При этом {с1т,1} € Q(D, Л^) и ряд (3.10) сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах области И.

Доказательство. Пусть К — комплексно сопряженный к И компакт. Поскольку И — область, то ш(ф,К) € Е0 (см. замечание к лемме 2.7) и ш(ф,К) — функция общего вида. Тогда по теореме 2.2 с учетом леммы 3.2 существует последовательность Л = { Ак}к=1 ^ Л^ с угловой плотностью шл = (2п)-1ш(^ , К) такая, что бд = 0. По теореме 3.1 каждая функция д € Н(И) представляется в области В рядом (3.1), а, значит, и рядом (3.10), где полагаем = ¿к, если (т + И) = Ак € Л, и с1т,1 = 0, если (т + И) € Л. При этом согласно замечанию к теореме 3.1 ряд (3.10) сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах области И. Кроме того, {йк} € Q(D, Л). Отсюда и определения коэффициентов йт,1 следует, что {} € Q(D, Л^). Теорема доказана.

Замечания. 1. Согласно теореме Абеля для рядов экспонент из работы [1] (теорема 3.1) ряд (3.10) сходится в выпуклой области (возможно не ограниченной) абсолютно и равномерно на ее компактных подмножествах. Эта область определяется при помощи формулы Коши-Адамара для рядов экспонент ([1], теорема 4.1).

2. Из леммы 2.5 работы [1] следует, что для каждого набора коэффициентов {dmj} Е Q(D, Az) сумма g(z) ряда (3.10) является функцией аналитической в области D (но не обязательно в окрестности D).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кривошеева О.А. Область сходимости рядов экспоненциальных мономов // Уфимский математический журнал. 2011. Т.3. №2. С. 43-56.

2. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

3. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Кривошеев А.С., Кривошеева О.А. Замкнутость множества сумм рядов Дирихле // Уфимский математический журнал. 2013. Т.5. №3. С. 96-120.

5. Абдулнагимов А.И., Кривошеев А.С. Правильно распределенные подпоследовательности на прямой // Уфимский математический журнал. 2015. Т.7. №1. С. 3-12.

6. Кривошеев А.С., Кривошеева О.А. Фундаментальный принцип и базис в инвариантном подпространстве // Матем. заметки. 2016. Т.95. №5. С. 684-697.

7. Кривошеев А.С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Известия РАН. Серия математическая. 2004. Т.68. №2. С. 71-136.

8. Кривошеева О.А. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости // Алгебра и анализ. 2011. Т.23. №2. С. 162-205.

9. Кривошеева О.А., Кривошеев А.С. Особые точки суммы ряда Дирихле на прямой сходимости // Функц. анализ и его прилож. 2015. Т.49. №2. С. 54-69.

Айдар Ирекович Абдулнагимов,

ФБГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет», ул. К. Маркса, 12, корпус 1 450000, г. Уфа, Россия E-mail: buffonishe@mail.ru

Александр Сергеевич Кривошеев, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: kriolesya2006@yandex.ru