Распределение особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов на границе его области сходимости Текст научной статьи по специальности «Математика»

раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

УДК 517.52, 517.53

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК СУММЫ РЯДА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОНОМОВ НА ГРАНИЦЕ ЕГО ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ

© О. А. Кривошеева

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (347) 229 96 65.

Email: [email protected]

В данной работе рассматриваются кратные комплексные последовательности Л = [Ак,пк}™=1, где натуральное число nk —кратность точки (комплексного числа) Ak, и ряды X dk nzneAkZ экспоненциальных мономов, построенные по этим последовательностям. Исследуется задача распределения особых точек суммы ряда на границе его области сходимости Ъ = Ъ(Л, d). Прежде всего, рассматриваются различные числовые характеристики последовательности Л, отражающие геометрию ее распределения по плоскости. По аналогии с известной функцией угловой плотности шЛ вводится функция шЦ, которая строится при помощи понятия максимальной плотности последовательности Л в углах с вершинами в начале координат. Последовательность Л, для которой функция шЦ конечна, названа правильной. В работе получены необходимые и достаточные условия, когда последовательность Л является правильной. Доказывается, что Л — правильная последовательность тогда и только тогда, когда она является частью (с учетом кратностей пк) правильно распределенной последовательности с угловой плотностью шЛ > шЦ. Используется также известная характеристика S0 последовательности Л (индекс конденсации А. С. Кривошеева), которая схожа по смыслу с индексом конденсации Бернштейна. Эта характеристика отвечает за локальное распределение точек последовательности Л и означает некоторую их «отделенность» друг от друга (в случае, когда £Л = 0). Последовательность Л названа сбалансированной, если она правильная и S0 = 0. В работе рассматривается случай, когда Ъ — выпуклая область. На границе такой области выделяются специальные дуги классов один и два. Любая дуга границы выпуклой области распадается на не более чем четыре дуги указанных классов. Для сбалансированной последовательности Л получены достаточные условия существования особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов на фиксированной дуге класса один или два границы области Ъ = Ъ(Л, d). Эти условия формулируются в терминах взаимосвязи между простыми геометрическими характеристиками последовательности Л (функция ш0) и области Ъ (функция длины дуги шЪ).

Ключевые слова: угловая плотность, максимальная плотность, правильная последовательность, ряд, экспоненциальный моном.

Пусть Л = {Ak,nk}k=i — кратная последова- а(Л) = lim ln//|^ | > 0, тельность, где Ak е €,Ak Ф Aj,k Ф j , Цk+i^

п | , . м | , то в некоторых точках z е Ъ(Л, d) (а возможно и на

lAkl,k>1, и nk - натуральные F 'v , ,

n V k всем множестве Ъ(Л^)) ряд (1), вообщеговоря, аб-

числа. В работе рассматриваются ряды экспоненци- 4 „п /, ^ ^ ^ -

солютно расходится (Г51, гл. II, §1, п.4). С другой

альных мономов, построенные по последовательно- ^ п

. стороны, если т(Л) = а (Л) = 0 , то по теореме ст Л, т.е. ряды в да

т,пк-1 , п xkz Коши-Адамара для рядов экспоненциальных моно-

^ к=1,п=о"к,п2: е к . (1) мов ([4]) множество V(A,d) будет выпуклой обла-

Изучается задача распределения особых точек стью (возможно пустой), которая описывается при

суммы ряда на дугах границы его области сходимо- помощи коэффициентов {dk п}. Более того, при этих

сти. Ранее эта задача гоучалась в работах [1] и [2]. В же условиях по теореме Абеля [4] для подобных ря-

них имеется исторический обзор результатов по дов в области Ш, d) ряд (1) сходится абсолютно и

данной тематике. равномерно на любом компакте. В частности, это

тт J fj ^т,пк-1

Пусть d = {аКп}к=1п=0 - последовательность означает, что его сумма дЛ4 — аналитическая функ-

коэффициентов ряда (1). Символами gAd и Ъ(А, d) ция в d).

обозначим соответственно сумму этого ' ряда и от- Символом Щ(А) обозначим совокупность всех

крытое ядро множества всех точек z Е С, в которых последовательностей коэффициентов d = {dk jl}

он сходится. В общем случае, когда ряда (1), для которых V(A, d) Ф 0, и gA d — аналити-

т(А) = Um пк/1Ак1 > 0, ческая функция в Ъ(А, d).

n f. ,тч Пусть dE^(A) . Точка z Е drD(A,d) называ-

множество V(A,d) может быть невыпуклым ([3]) и „ v J ,

„ rr i _ ется особой для дЛ rf, если не существует функции, не является даже связным ([4]). Пусть к,-} — неубы- „ ил'а'

1 J J аналитической в объединении V(A,d) и какого-вающая по модулю последовательность, составлен-

т т „ либо круга с центром в z, совпадающей с дЛг, на

ная из точек Ак, причем каждая Ак встречается в ней , ,а

-г^ множестве d). ровно пк раз. Если 4 J

Цель работы - исследование проблемы распределения особых точек суммы ряда (1) на границе

Для начала рассмотрим некоторые характеристики последовательности Л.

Символом ß(z, г) обозначим открытый круг с центром в точке z и радиуса г > 0 . Пусть Л = Ufc, и п0(Л) — максимальная плотность после-

довательности Л, которая определяется по формуле п0(Л) = lim lim п(г,Л, 5),

5^0 г^го

п(г,Л)—п((1 —5)г,Л) п(г, Л, 5) =---.

ör

где п(г, Л) — число точек Afc с учетом их кратностей nfc в круге ß(0,r). Положим еще

п(Л) = lim п(г,Л)/г.

г^го

Величина п(Л) называется верхней плотностью последовательности Л. Рассмотрим теперь более точные характер истики Л . Пусть 6 [—2^,2^), — ^ 6 (0,2тс] . Такие будем называть допуст мым . Полож м

Г(^1,^2) = U = te'v: 6 (^i,^2),t > 0}.

Символом Л(<р1, ^2) обозначим последовательность, состоящую из всех пар {Afc, nfc} таких, что Afc 6 Г(^1,^2). Пусть п(Л) < . В этом случае определим множество ФЛ с . Число ^ 6

(—2^, 2^) будем считать элементом множества ФЛ тогда только тогда, когда

п(Л,^) = inf п(Л(^ — £,£> + е)) > 0.

£>0

Кроме того, 6 Фл тогда и только тогда, когда 0 6 ФЛ.

Говорят ([6], гл. II, §1), что Л имеет угловую плотность п(Л, ^2) < (при порядке один), если для всех допустимых за исключением,

быть может, счетного множества ФЛ последовательность Л(<р1, ^2) имеет плотность

п(Л(^1,^2)) = lim п(г,Л(^1, ^2))/г =

г^го

Можно считать, что ФЛ £ фл. В случае, когда Л имеет угловую плотность, множество ФЛ является не более чем счетным. Действительно, каждое ^ 6 ФЛ П (—2^, — это точка разрыва монотонной функции W(^2) = п(Л, ^2), где ^ 6 (^1, ^2). Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение последовательности, имеющей угловую плотность. Пусть Л такая, что ФЛ — не более чем счетное множество. Последовательность Л имеет угловую плотность п(Л, < (при

порядке один), если для всех допустимых £

ФЛ последовательность Л(<р1, ^2) имеет плотность.

Пусть £ — класс неубывающих на отрезке [—2^,2^] функций ш, обладающих свойствами: 1) w(0) = 0, 2) ш непрерывна слева, 3) w(^) = — 2^) — ^ 6 (0,2^). Символом Ф(^) обозна-

чим множество точек разрыва функци и йЕ£.

Пусть Л меет угловую плотность. Тогда она единственным образом определяет функцию 6 £ по правилу:

^л(^1) = — lim п(Л,^1,^2),

где <?1, ^2 6 (—2^, 0)\Фл, 6 (^1, + 2я)\Фл . Точнее говоря, определенная по формулам (2), ед нственным образом продолжается до функц з класса £, и продолжение не зависит от . Нетрудно заметить, что ФЛ = Ф(^Л) , и п(Л, =

^Л(<Р2) — ^Л(^1) для любых допустимых £

Фл.

Будем говор ть, что Л меет угловую плотность шЕ£, если она имеет угловую плотность и = w.

Пусть Л = {Afc,nfc}, ^ Фл — допустимые

значения и Т = {^1, — разбиение интервала

= < ^2 < - < ^г = ^^ £ ФЛ,У = 1, L Положим

П0(Л,^1,^2) = sup 2jf=1 ^0 (Л^^ЧО), (3)

где супремум берется по всевозможным указанным разбиениям. Величину п0(Л, логично было

бы назвать макс мальной угловой плотностью Л. Однако, это понятие уже закреплено за схожей (но отличающейся от п0(Л, ^1,^2)) величиной, введенной в [7].

Будем говорить, что Л — правильная последовательность, если Фл является не более чем счетным множеством, и п0(Л, ^2) < го для всех допустимых значений £ Фл. Для такой последова-тельност полож м

^л(^1) = — lim П0(Л,^1,^2),

^Л(<р) = П0(Л, <?!,<?) + ^ЛОрД (4) где ^1,^2 6 (—2я, 0)\Фл, 6 + 2я)\Фл .

Нетрудно показать, что функция единственным образом продолжается до функции из класса £, и продолжение не зависит от 6 (—2^, 0)\ФЛ. При этом Фл = Ф(^Л) , и для любых допустимых £ ФЛ имеет место равенство

П0(Л,^1,^2) = ^Л(^) — ^ЛОМ. (5)

Напомн м понят е прав льно распределенного множества ([6], гл. II, §1). Последовательность Л = {^,пл}ГО=1, имеющая угловую плотность, называется прав льно распределенным множеством (с показателем р(г) = 1), если выполнено условие Линделефа, т.е. существует предел

у(Л) = lim Ж(г, Л), Ж(г,Л) = У

г^го '0#|Afc|<r Afc

Для прав льно распределенного множества Л функция плотности ш = 6 £ обладает дополнительным свойством ([6], гл. II, §3, формула (2.41)):

J02V^(<p) = 0. (6)

С мволом £0 обознач м подкласс всех функций ш6£, удовлетворяющих (6). Он тесно связан с классом выпуклых компактов. Пусть К — выпуклый компакт с опорной функц ей

Я(<р,К) = supRe(ze"^),^ 6 1.

Для каждого ^61 через ¿(<р,К) обозначим пересечение границы 9К и опорной прямой К<р,К) = {z: Re(ze"^) = Я(<р,К)}

Множество ¿(<р,К) является либо точкой, которую обозначим z(<p, К), либо отрезком. Символом Ф(К) обозначим совокупность ^ 6 [—2^,2^), для

которых ¿(<р,К) — отрезок. Множество Ф(К) не более чем счетное. Пусть £ Ф(К) — допустимые значения и 5(^1,^2,К) — длина дуги границы 9К, соединяющей точки z(^1, К) и z(<p2, К), движение по которой от г(<р1,К) к г(<р2,К) осуществляется в полож тельном направлен (прот в часовой стрелки). Пусть 6 (—2^, 0)\Ф(К), 6 (^1, + 2^)\Ф(К). Положим

= 5(^1,^,К) +

^•ОЫ = — lim 5(^1,^2,К).

Функция единственным образом продолжается до функц з класса £, продолжен е не зависит от 6 (—2^, 0)\Ф(К). При этом Ф(К) = Ф(<^), и для любых допустимых £ Ф(К)

меет место равенство

5(^1,^2,К) = — (7)

Для каждого сдв га К + компакта К верно равенство = . При этом для опорных функций имеем: #(<р, К + z ) = #(<р, К) + Re(ze"'^). Отметим еще, что w = удовлетворяет (2) (см., например, [8], замечание к лемме 2.7). Таким образом, 6 £0 . Обратно, пусть ш6£0 . Функция ш ед нственным образом определяет класс выпуклых компактов ^(w), которые получаются друг из друга при помощи сдвига: К 6 ^(w) тогда и только тогда = ([6], гл. I, §16, теорема 24, §19).

Пусть Л — прав льная последовательность. Введем еще одну функцию 6 £0. Если <^Л 6 £0, то положим <^д0 = <. Предположим, что

г2п

I e^d<(<p) = Мл = 1^л|е^(Л) Ф 0,

0

^(Л) 6 [—

Полож м

гзЛ(^) = 0,<р 6 [0,^(Л) + я],

ЯЛ(р) = 6 (ф(Л) + я,2я] (8)

и продолжим ш до функции из класса £. Пусть ^д0 = Й5Л + <. Тогда имеем:

I2

-"п

е^Л'0(<р) =

/■2Я

= I е^й5ЛОр) + I е^ХОр) =

= |мЛ|е^(Л)+7г) + = 0.

Таким образом, 6 Е0.

Пусть Л = {Як,пкЛ™=1 и Л = . Будем

говорить, что Л является пополнением Л, если Л £ Л (Л — часть Л с учетом кратностей), т.е. существует подпоследовательность {^.т^} такая, что ■Тгк = Я^ и т1к > п^ для всех к > 1. Объединением

Л1

№,рлго=1 и Л2 = (я2,т,}.

^, т} называется по-

=1

следовательность Л = {Яй,пй}^=1 такая, что множество {Я^^ является объединением множеств {Я^ и {Я?}™ ^. При этом, если для некоторых номеров 5 и у точки и Я? совпадают, то соответствующий элемент Я^ = Я^ = Я? последовательности Л имеет кратность = рх + .

Нам понадобится понятие минимальной плотности последовательности Л:

п0(Л) = lim limn(г,Л, 5).

5^0 г^го

Теорема 1. Пусть Л — правильная последовательность. Тогда существует ее пополнение Л0, которое является правильно распределенным множеством с угловой плотностью ^д0 , причем Ж (г, Л0) ^ 0,r ^

Доказательство. Пусть Л2 = 1}^ , где

( fy}^ — последовательность всех комплексных чисел, вещественные мн мые част которых являются целыми числами. Для любых допустимых значений число п(г, Л2(<р1,^2)) оценивается снизу величиной с(^1, ^2)r2,г > г(^1, ^2).Поэтому п0(Л2(^1, ^2)) = Положим Л2 = Л2 U Л. Тогда

П0(Л2(^1,^2)) =(9) для любых допустимых . Согласно (3), (5) и определению <^д0 имеем:

П0(Л(^1,^2)) < П0(Л,^1,^2) =

= ^Л(^2) — ^Л(^1) ^ ^ЛО^) — ^Л(^2) +

+ ^(^2) — w(^) = ^Л0(^2) — ^Л0(^1). для любых допустимых £ ФЛ = Ф(^Л) £

Ф(^л'0). Это вместе с (9) означает, что выполнены все услов я теоремы 2.9 з работы [8]. Тогда согласно ей верно утвержден е настоящей теоремы. Теорема доказана.

Далее будут зучены услов я, обеспеч ваю-щие существование особой точки суммы (z) ряда (1) на фиксированной дуге границы его области сходимости ©(Л, d). Мы ограничимся случаем, когда ©(Л, d) является выпуклой областью. Как отмечено в начале работы, этот случай реализуется, если выполнены условия ш(Л) = с(Л) = 0. При этих условиях множество ©(Л, d) является специальной выпуклой областью. В этой связи напомним следующее звестное определен е.

Пусть Е — замкнутое подмножество единичной окружности 5(0,1). Множество вида

D = {z 6 С: Re(ze"^) < й(<р),е^ 6 Е} называется Е-выпуклым множеством. Если Е — конечное множество, или й(<р) — полунепрерывная снизу функция, то Е является открытым множеством , следовательно, выпуклой областью. В случае, когда Е совпадает с окружностью 5(0,1) , а й(<р) = #(<р, М) — опорная функция некоторого множества М с С, класс Е-выпуклых областей совпадает с классом обычных выпуклых областей. Есл Е — одноточечное множество, то Е-выпуклыми областями являются полуплоскости. Углы и полосы также являются Е -выпуклым областям пр Е = {ег*1,ег*2} . Если Е = {е^1,е^2,е^з} и точки е'^е'^е'^3 не лежат в одной (замкнутой) полу-плоскост , то класс Е-выпуклых областей совпадает с классом треугольн ков с ф кс рованным нормалям к х сторонам.

Пусть М с С и Е £ 5(0,1). Множество D(М, Е) = {z 6 С: Re(ze"^) < Я(<р,М),е^ 6 Е} называется Е-выпуклой оболочкой М. Оно является выпуклой областью, т.к. опорная функция множества полунепрерывна снизу. Если М — открытое

множество, то М С О (М, 2). 2 -выпуклая оболочка М является, очевидно, 2-выпуклым множеством.

Пусть Л = {Ак,пк}'^=1. Символом 2(Л) обозначим множество комплексно сопряженное к множеству предельных точек последовательности [Лк/1Лк1}™=2 . Другими словами, 2(Л) состоит из пределов всех сходящихся последовательностей

I I -Ч оп

Очевидно, что 2(Л) — замкну-

в да

{vnf

¡=1

тое подмножество окружности 5(0,1). Пусть С =

1кп\- .. „ Положим

k = 1,n=0

h(cp,d,A) = inf lim

тт

0<П<Пк^-1

ln

(l/ldkpn\)/lh

е1р Е 2(Л),

где инфимум берется по всем подпоследовательно-

стям

{hj} с таким, что ^J^

^ е

кр

когда

1. Пусть Л = [Хк,Пк}^=1 т(Л) = <

(Л) -выпуклая об-

[ditdb-^-n. Предположим, что т(Л) = а (Л) = 0

у ^ ^ (если йкп = 0, то считаем, что 1п(1/|йкп|) = ). Нетрудно показать, что к(р,й,К) — полуне-прерывнная снизу функция.

Лемма 1. Пусть Л = [Хк, пк}Т=1 и С =

-\Ж,Пк—1 } к = 1,п=0

и Ъ(А,С)Ф0. Тогда Ъ(Л,й) ласть, и верно представление

I е^ Е2(Л) ) ( )

При этом ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на компактах в области Ъ(Л,й) и расходится в ее внешности.

Доказательство. По теореме Абеля для рядов экспоненциальных мономов ([4], теорема 3.1) при условии т(Л) = а(Л) = 0 ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на компактах в 2(Л)-выпуклой оболочке множества Ъ(Л, й). Так как последнее открыто, то Ъ(Л,й) С о(Ъ(Л,й),2(Л)) . Указанная оболочка также является открытым множеством. Поэтому согласно определению Ъ(Л,й) верно вложение О(Ъ(Л,й),2(Л)) С Ъ(Л,й). Таким образом, Ъ(Л,й) = О(Ъ(Л,й),2(Л)), т.е. Ъ(Л,й) — 2(Л)-вы-пуклая область.

По теореме Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов ([4], теорема 4.1) при условии т(Л) = а (Л) = 0 верно представление (10). При этом ряд (1) расходится во внешности области Ъ(Л, й). Лемма доказана.

Пусть Ъ — выпуклая область и у(г1, г2,Ъ) — дуга ее границы, соединяющая точки г1 и г2 Ф г1, дв жен е по которой от 1 к 2 осуществляется в отрицательном направлении. Для удобства в случае областей мы меняем направление движения по дуге. Это связано с тем, что согласно лемме 1 область Ъ(Л,й) сходимости ряда (1) определяется при по-мощ комплексного сопряжен я (пр определен функции к(й, р) используются числа Хк).

Каждая точка г Е дЪ принадлежит пересечению Ь(р,Ъ) границы дЪ и опорной прямой 1(р,Ъ) хотя бы для одного р. В случае неограниченной области Ь (р, Ъ) может быть отрезком, лучом или прямой. Совокупность всех р, для которых множество Ь(р,Ъ) не является точкой, обозначается Ф(Ъ) .

Если р £ Ф(Ъ), то Ь(р,Ъ) — одноточечное множество: Ь(р,Ъ) = {г(р,Ъ)}. Точки вида г(р,Ъ) называются выступающими. Символами Т.+ (р, Ъ) и г-(р,Ъ) обозначим граничные точки (если они есть) прямолинейного участка Ь(р,Ъ) с дЪ (г+(р,Ъ) = г-(р,Ъ) = г(р,Ъ), когда р £ Ф(Ъ)). Движение от точки г+(р,Ъ) по участку границы Ь(р, Ъ) осуществляется в положительном направлении. Точки вида 2+ (р, Ъ) (г- (р, Ъ)) называются крайн м .

Пусть г Е дЪ. Множество всех направлений е1^, для которых г Е Ь(р,Ъ), обозначим Е(г,Ъ). Оно замкнуто на 5(0,1) и является точкой или дугой. В первом случае г называется гладкой, а во втором — угловой точкой области Ъ. Раствор дуги Е(г,Ъ) строго меньше п (в противном случае Ъ не была бы областью). Пусть е- (г, Ъ) и е+ (г, Ъ) — граничные точки дуги Е(г,Ъ) (е-(г,Ъ) = е+(г,Ъ) , есл — гладкая). Пр этом дв жен е от -( , Ъ) к е + (г,Ъ) по дуге Е(г,Ъ) осуществляется в отрицательном направлении. Символом Е0(г,Ъ) обозначим внутренность дуги Е(г, Ъ).

Пусть Е0(Ъ) — объединение открытых дуг Е0(г, Ъ), взятое по всем угловым точкам г Е дЪ области Ъ , и 2(Ъ) = 5(0,1)\(Е0(Ъ) и](Ъ)) , где } (Ъ) — множество всех направлений е1,р, для которых Н(ср,Ъ) = Направления е1<р, составляющие множество Е0(Ъ)и/(Ъ) не являются определяющими для области Ъ. Нетрудно показать, что для любой выпуклой област Ъ верно представлен е

Ъ = {г: Кв(ге-1<р) < Н(р,Ъ),е1,Р Е 2(Ъ)}.

Так м образом, любая выпуклая область Ъ является 2(Ъ) -выпуклой областью. Нетрудно показать также, что Ъ будет 2-выпуклой областью тогда и только тогда, когда 2(Ъ) с 2.

Будем говорить, что у(г1,г2.,Ъ>) — дуга класса один, есл для некоторых р1, р2 верны равенства = г+(р1,Ъ),г2 = г-(р2,Ъ), и угол между векторами е-(г1,Ъ) и е+(г2,Ъ) (отсчитываемый в отрицательном направлен ) строго меньше п . Пусть у(г1, г2,Ъ) — дуга класса один. Тогда для точек IV = т.г, т.2 выполнено хотя бы одно из условий: а) ш — угловая точка области Ъ, б) дуга у'(г1,г2,Ъ) не содержит отрезка, один из концов которого совпадает с ш. Верно обратное утвержден е.

Будем говорить, что у(г1,г2,Ъ) — дуга класса два, если она совпадает с отрезком [г 1, г2], соединяющим точки г1 и г2. Дуга у(г1,г2,Ъ>) будет одновременно дугой класса один и два тогда и только тогда, когда 1, 2 являются угловым точкам е+(21,Ъ) = е-(22,Ъ).

Нетрудно показать, что любая дуга у = у(г1, г2,Ъ) распадается не более чем на четыре дуги рассмотренных выше классов.

Пусть у = у(г1,г2,Ъ) — дуга класса один и

р1, — р2 — допуст мые значен я так е, что е-(г1,Ъ) = е^1 и е+(г2,Ъ) = е^2 . Тогда р1 — р2 < п. Рассмотрим выпуклую область Ъ(у), граница которой состоит из дуги у и отрезка [г2,г1]. Она леж т в област Ъ меет с последней общую часть гран цы у.

Пусть г1 — г2 = |г1 — г2|е£(^3+ге/2), где выбрано так, что + п 6 . Это можно сделать, т.к. точки г1 и г2 принадлежат соответственно опорным прямым С) и С). При этом каждая прямая содержит лишь «свою» точку. Символом С(21,22) обозначим Е -выпуклую оболочку области С (у) , где Е = . Область ©(г1(г2) содержит С (у) и является треугольником. Векторы е1^1, е1^2, е1^3 — внешние нормали к его сторонам. Одна из сторон совпадает с отрезком [г1( г2]. Вычис-л м дл ны двух друг х сторон. Пусть 0 — верш на треугольника отличная от г1 и г2. По теореме синусов имеем:

^0 — 22 1 =

^0 — 211 =

— г2|5т(^1 — ^3 — п) = Бт^ — ^2)

= Яе^)^1)

sin(^l-^2) ^ — г2|Бт(#з +п —^2) =

= Ц^)^2) sin(^l-^2)

Вектор г1 — г2 можно определить при помощи функции ш-р длины дуги границы д©. Если С — ограниченная область, то для удобства будем считать, что ш-р = ш^, где К — замыкание комплексно сопряженной к С области С. Для неограниченной области функцию ш^ можно определить лишь на отрезке [р1,р2], где ограничена функция #(—р, С). Его дл на не превосход т п. В этом случае будем считать, что ш^ на отрезке [р1,р2] совпадает с функцией ш^, где К — замыкание той части области С, которая лежит в круге с центром в нуле, содержащем множества для всех р 6 (р1, р2).

Пусть у = у(21,22,'Э) — дуга класса один, Р1, Р2 — допустимые значения такие, что

- ''2

и ¿1^2

е -(г1,С) = е-1'1 и е+(22,С) = е ч сла комплексно сопряженные к 1, 2 . Вп сывая в дугу ломаные, нетрудно показать, что верно равенство

=

=

т/2 |

(/^е^ш^) — (13)

где т(ш, р) — величина (правого) скачка монотонной функции ш в точке р : т(ш, р) = ш(р + 0) — ш(р) (левый скачок для рассматриваемых нами функц й равен нулю).

Пусть Л = {Як,пк}™=1 , р 6 [—2п,0),^2 6 (р1, + п), и Л(р1,р2) — правильная последовательность. Рассмотрим класс выпуклых компактов

ш

Л('1,'2)

). Для каждого К 6

ш

Л('1,'2)

) верно

равенство ш^ = 2пшд('1^2). Пусть

= -- ^1е^(Л('1,'2)) =

= /

0

'1Л('1,'2) |е -'2

С'2

(р)= I

+ е"2т(шЛ('1,'2),р2).

(14)

Тогда р(Л(р1,р2)) 6 [р1, р2] . Поскольку Л(^1, ^2) лежит в угле Г(^1, то шЛ^^ посто-

янна на полуинтервале ( р2, + 2п]. По определе-

н ю

функция ш5Л('1,'2)

постоянна на

[<р(Л(<р1,р2)),р(Л(<р1,р2)) + п] . Следовательно, согласно (7,)

= 2ПШЛ'(°'1,'2)

(^2) — 2nшЛ0(;l,'2)(^l) = 0,

I —

где <?2 < < ^2 < р(Л(р 1, ^2)) + п . Поскольку Н(<р, К) — непрерывная функция, то это означает, что все прямые ¿(р,К),р 6 [р2, р(Л(р1, р2)) +п], проходят через одну угловую точку компакта К, которую обознач м 2 . Точно также наход м, что все прямые /(<р, К), р 6 [р(Л(р1, р2)) + п, + 2п] проходят через некоторую угловую точку 1 6 К.

Таким образом, ^^ 6 /(<р(Л(<р1,р2)) + п,К). Поэтому прямол нейный участок гран цы ¿(<р(Л(<р1, р2)) + п,К) компакта К совпадает с отрезком <;2]. Так как шЛ(' ' ) постоянна в окрестности точки р(Л(р1,р2)) + п , то его длина согласно (7) и (8) равна

—?2|=11т (шк(р(Л01,р2)) + п + £) —^^(ЛО^ ^2)) + п — е)) =

= 2п1™ (ш5Л('1,'2)(р(Л(р1,р2)) + п + ¿0

—1^(^^ОКМР! ^2)) + п — е)) = = 2п1^( ш5Л('1,'2)(р(Л(р1,р2)) + п + £)) =

= 2п 1 = 2п|МЛ('1,'2)1. (15)

Следовательно, ^ — = 2пе17г/2МЛ01,'2) . Пусть К(р1,р2) — замыкание Е -выпуклой оболочки где Е = {е''1^''2^''3}, р3 = 1,^2))+п. Компакт К(^1,р2) содержит К. Если р(Л(^1,р2)) = р или р(Л(^1,р2)) = р, то он совпадает с К = <;2] (отрезок <;2] может вырождаться в точку). В прот вном случае К(р1,р2) является треугольником. При этом е1'1, е1'2, е1'3 — внешние нормали к его сторонам. В случае, когда К = к^^], положим ^Л(<р1,р2) =

= ^Л(^1,р2) = 0.

Пусть теперь К(р1,р2)— треугольник. Одна из его сторон совпадает с отрезком £2]. Противоположную к ней верш ну обознач м 0. Пересечен я компакта К со сторонам треугольн ка [ 0, 1] [ 0, 2] могут быть л бо точкам ( 1 2) л бо отрезками. Положим к-, = К П [(¡о, и к-, <;2] = = К П [<;о, <;2]. Как и в (15) получаем:

к- — ?1| = 2пт( к2- — Ы = 2пт(

Так м образом,

Л('1,'2) 0

'Л('1,'2)

,Pl),

?2 — = ?2 — ?1 — 2пе^1+-/2)т(шЛ('1,'2)

—2п е«'2+-/2)т(шЛ('1,'2),р2)

е

Л('1,'2),

= 2п е^/2(МЛ('1,'2) — ег'1т(шЛ('1,'2),р1) —

1'2

(

Т1 ш

0

Л('1,'2)

,^2)).

Пусть

dЛ(Pl,P2) = Re((?Г —?Г)еГ'2),

dЛ(Pl,P2) = Re((?Г — ?2-)еГ'1). Как и в (11), (12) находим:

2

0

0,0

0,0

ко - Я- 1 = "7

^tSPi.P^)

sm(cp2 - Pi)'

ко- я-1 =

dA(<Pi,<P2)

(17)

sm(p2~Pi)'

Для доказательства результата о существовании особой точки суммы ряда (1) на дуге области сходимости нам понадобятся некоторые сведения из теории целых функций экспоненциального типа, т.е. целых функций f(z), которые удовлетворяют неравенству lnl f(z)l < Af + Cflzl.z Е С, для некоторых Af, Cf > 0. Индикатором f называется функция

hf(z) = Ümlnl f(tz)l/1, z ЕС.

J t^m

Он является выпуклой положительно однородной порядка од н функц ей, сужен е которой на окружность 5(0,1) совпадает с опорной функцией некоторого выпуклого компакта К, называемого индикаторной диаграммой f: hf(el(p) = H(p,K),p Е [0,2ti] (см., напр., [5], гл. I, §5, теорема 5.4). Компакт, комплексно сопряженный с К, называется сопряженной диаграммой f. Говорят ([6], гл. III), что f меет регулярный рост, есл

hf(z)= lim lnlf(tz)l/t,z ЕС,

1 t^m,t£E

где Е — множество нулевой относительной меры на луче (0,

Пусть Л = {Хк,пк}^=1,п(Л) < , и f(Ä,A) -каноническое произведение:

m

Z \ nk

Äk) Р Äk

Функция f(z,A) имеет регулярный рост тогда и только тогда ([6], гл. III, §3, теорема 4 и гл. II, §1, теорема 2), когда Л - прав льно распределенное множество. Если К - индикаторная диаграмма функции f(Ä,K), то ([6], гл. II, §1, формула (2.07)) 2пшА = шК.

Пусть D - выпуклая область в С, H(D) - пространство функций, аналитических в D с тополог ей равномерной сход мост на компактных подмножествах из D, и H*(D) - пространство, сильно сопряженное к H(D). Символом PD обозначим пространство целых функц й экспоненц ального т па, сопряженные д аграммы которых лежат в D.

Преобразование Лапласа f(Ä) =

v(exp(Äz)),v Е H*(D), устанавливает изоморфизм линейных пространств H*(D) и PD (см., напр., [9], гл. III, §12, теоремы 12.3 и 12.13). Пусть Л =

k = 1

n=0,k=1

. По тео-

{Хк,пк}^=1 и £(Л) = {гпвхр(Якг)} реме Хана-Банаха система £(Л) не полна в пространстве Н(Ъ) тогда и только тогда, когда существует ненулевой функционал V Е Н*(Ъ) который обращается в ноль на элементах с стемы. Так м образом, неполнота £(Л) равносильна существованию функции 0 £ [ Е РЪ, которая обращается в ноль в точках Хк с кратностью не меньшей чем пк,к > 1.

Пусть система £(Л) не полна в пространстве Н(Ъ) . Тогда в пространстве Н*(Ъ) существует ([10], гл. IV, §1, п.2) биортогональная к £(Л) система функционалов Т(Л,Ъ) = {цк,п}к_1п_0 :

№к,п ^ехр^г)) = 1 , если ] = к,1 = п и

№k,n (zlexp(hjz)) = 0 в противном случае. Предпо-лож м, что ряд (1) сход тся равномерно на компактных подмножествах области Ъ. Тогда, пользуясь непрерывностью и линейностью функционалов nkni, получаем dkn = nkn(g),k > 1,п = 0,nk — 1 . Таким образом, если £(Л) не полна в Н(Ъ), то представление рядом (1) обладает свойством единственности. При этом коэффициенты dkn вычисляются при помощи с истемы У(Л, Ъ).

Символом SA будем обозначать индекс конденсации последовательности Л, введенный в работе [11]. Свойства этого индекса и примеры его вычисления имеются в работах [1], [12] и [13].

Если Г — угол с вершиной в нуле, то дАд (z, Г) обозначает частичную сумму ряда (1) по всем точкам Xk е Г.

Теорема 2. Пусть Л = {Ak,nk} , т(Л) = а(Л) = 0, d = {dkn} такова, что Ъ(Л^) = Ъ Ф 0, и у = у(г1,г2,Ъ) — дуга класса один. Предположим, что существуют допустимые (р1, <р2, удовлетворяющие условиям:

Zi = z+(—(р1,Ъ),г2 = г-(—(р2,Ъ), (18)

Л(р1,р2) — сбалансированная последовательность и верно хотя бы одно из неравенств

Re((Z2 — zje1*2) > d1(p1,p2),

Re ((Z1 — Z2)el> d2^, р2). (19)

Тогда функция дАд имеет внутри у по крайней мере одну особую точку.

Доказательство. По лемме 1 функция дАд является анал т ческой в выпуклой област Ъ, которая определяется равенством (10). Предположим, что дАд не имеет особых точек внутри дуги у. Тогда функция дА, д является аналитической в некоторой области Ъ' (не обязательно выпуклой), которая содержит Ъ и внутренность дуги у. Покажем, что в этом случае ряд (1) сход тся в некоторой област большей чем Ъ.

Положим = —р1 и p2 = —р2. Пусть Ъ1 — £1 -выпуклая оболочка области Ъ, где = 5(0,1)\ { е (ф2,р1)}, и Г = €\Г(р1,р2). По лемме 1 ряд

длд (z,Г) = %лкег

exp(AkZ), zeTk1, (20)

сходится, а его сумма дАд (z, Г) — аналитическая функция в области Ъ1. Из определения Ъ1 следует, что Ъ с Ъ1, и каждая z е дЪ1 лежит хотя бы на одной прямой 1(гр,Ъ) с нормальным вектором е1^ е 5(0,1)\{е'ст: а е (p2, p1)}. Все прямые 1(гр, Ъ), пере-секающ е у, меют нормальные векторы з множества {е1(Т: а е [ф2,р1]}. Поэтому пересечение дЪ1 П у лежит на прямых l(xp1, Ъ), l(xp2, Ъ), которые в силу (18) не пересекают внутренность дуги у. Следовательно, область Ъ1 содержит эту внутренность.

Положим Ъ = Ъ' ПЪ1. Область Ъ содержит Ъ и внутренность дуги у . Функция дл,д (z, Г(Р1, (2)) = дл,д (z) — дл,д (z, О является аналитической в Ъ. По лемме 1 имеем:

дА4^,Г(р1,р2)) =

У

exp(Afcz),

Ай6Г('1,'2),п=0,пй-1

2 6 »2, (21) где С2 — Е2 -выпуклая оболочка области С, Е2 = {е^:^ 6 [^2,^1]}, и 5Л,й(^,Г(р1,р2)) — аналитическая функция в области С2. Последняя представляет собой угол

Т = {г: Re(ze-^1) < Я(^1,С)}

П {г: Re(z е- ^2) < Я(^2,С)}, который «срезан» около своей вершины г0 по дуге у. Другими словами, граница области С2 состоит из двух лучей, лежащих на сторонах угла Т, и дуги у, соединяющей эти лучи между собой. В силу (18) внутренность у содержится в угле Т, а полуинтервалы [г0,21) и [г0,22) лежат на сторонах угла Т и во внешности области С2.

Рассмотр м класс I

шЛ('1,'2)) выпуклых компактов К и замыканий их оболочек К(р1,р2). Пусть К и К(р1,р2) — компакты комплексно сопряженные соответственно к К и К(р1,р2) . Поскольку = —р2 = —, то существует К 6

^ )) такой, что компакт К(р1,р2) лежит в замыкан угла Т содерж т его верш ну 0.

Покажем, что К содержит точки внешности области С2. Пусть вначале К = [^ , £ ], где — точк комплексно сопряженные к определенным выше угловым точкам <;2 компакта К. Тогда К = К(р1,р2) содержит точку г0 , которая является внешней для С2.

Пусть теперь К(р1, р2) — треугольник. Две из его сторон лежат на сторонах угла Т, а соответствующая им вершина совпадает с г0. Две другие вершины принадлежат разным сторонам угла. Причем точка (^2) лежит на той же стороне, что и (г2). В силу (11), (12), (17) и (19) выполнено хотя бы одно з неравенств

^ — ^ > |<Т0 — ?Т|, |20 — 22| > |?0 — ?Г|.

Это означает, что верно хотя бы одно из включений ^г 6 [20,21), ^г 6 [20,22).

Так м образом, с учетом сказанного выше находим, что компакт К содержит точки внешности области С2 . Рассмотрим К^ = К — ре'^°,^0 =

+ ^2)/2. Для каждого р > 0 компакт К лежит в угле Т. При этом К с С2 при достаточно больших р > 0. Следовательно, найдется р > 0 такое, что компакт К касается границы дС2 по замкнутому множеству В, и КДВ с С2. Поскольку К не имеет общих точек со сторонами угла Т, то В лежит внутри дуги у. Отметим еще, что Ка с С2 для всех а > р.

Функция Г(р1,р2)) является аналити-

ческой в области 2) и С2, которая содержит внутренность дуг у. Поэтому для некоторого > 0 эта функция является аналитической в области К + В(0,3е). Пусть а = р + е. Тогда имеем: Кв+В(0,г)сКя+5(0,2£) =

= Я сКв + В(0,3е). (22)

Компакт Ка лежит в области С2. Поэтому для достаточно малого 5 6 (0,2 е) верно вложение Ка + В(0,5)=Сс®2. Пусть Ж — замыкание в пространстве Н (С) линейной оболочки системы £(Л( р 1, р2)). Применим к подпространству Ж и области С теорему 12.1 из работы [14] о продолжении спектрального с нтеза. Покажем, что выполнены ее условия. По определению Ж — замкнутое инвариантное (относ тельно д фференц рован я) подпространство в Н(С) со спектром Л(р1, р2), допускающее спектральный синтез (т.е. £(Л(<р1,р2)) полна в Ж ). Кроме того, Ж нетривиально, т.е. система £(Л( р 1,^2)) не полна в Н(С). Действительно, по теореме 1 существует прав льно распределенное пополнение Л0 последовательности Л(р1,р2) с уг-

ловой плотностью ш

0,0

. Канон ческое про зве-дение /(г,Л°) является целой функцией экспонен-ц ального т па регулярного роста. Его нд катор-ная диаграмма принадлежит классу ^ )), а

сопряженная д аграмма является некоторым сдв -гом Ка + Ь компакта К. Остается заметить, что сопряженная диаграмма функции е- &z/(z, Л°) совпадает с К, который лежит в G.

Так м образом, все услов я теоремы 12.1 з работы [14] выполнены. Тогда согласно ей верно вложен ие № П W(D) £ W, где W — замыкание в пространстве H(D) линейной оболочки системы £(Л( ср 1, ^2)). Применим теперь к W и D теорему 3 з работы [15] (кр тер й фундаментального пр н-ц па для нвар антных подпространств).

В с лу (9) согласно теореме 2.9 з работы [8] существует прав льно распределенное множество Л1сЛ2 с угловой плотностью ^Л1(б) = еб/тс. При этом у(Л) = 0. Из (16) следует, что индикатор (а вместе с н м опорная функц я нд каторной д а-граммы) канонического произведения /(г,Л1) (имеющего регулярный рост) тождественно равен 2е. Рассмотрим функцию /(z) = е"Й2/(2,Л°)/(2,Л1) . Она является целой функц ей экспоненц ального т па меет регулярный рост (как про зведен е функций регулярного роста). По теореме о сложении индикаторов имеем ([6], гл. III, §5, теорема 5): йДе^) = Я(—<р,Ка) + 2е = Я(—<p,D), ф 6 [0, 2п].

Так м образом, с учетом услов я данной теоремы выполнены все услов я утвержден е 3 теоремы 3 из работы [15]. Тогда согласно этой теореме верно и ее утверждение 2, т.е. каждая функция из W представляется рядом по системе £(Л(^1,^2)), который сход тся равномерно на компактах в област D . В частности, для (z, Г(^1, ^2)) 6 W П H(D) £ имеем:

SvO^rOp!,^)) =

= Iafc6ro1,<p2),n=°,nfc-1 cfc,nZnexp(Afcz),

z 6D. (23)

Поскольку система £(Л(^1,^2)) не полна в Я(С), то она обладает биортогональной системой У(Л(^1,^2),С) сЯ*(С). Это означает, что представление по системе £(Л(^1,^2)) в области G с

Ъ2 ПБ является единственным. Другими словами, коэффициенты разложений из (21) и (23) совпадают. Следовательно, представление (21) распространяется на область Ъ2и О. Тогда с учетом (20) получаем:

ю,пк-1

длд(г) = ^ йк,пгпехр(Акг) ,гЕЪ2иБП Ъ1.

к = 1,п=0

В силу (22) область Ъ2и О ПЪ1 содержит окрестность множества В с дЪ. Это противоречит определен ю Ъ. Так м образом, наше предположение о том, что дАд не имеет особых точек внутри дуги у, неверно. Теорема доказана.

Пр ведем теперь результат, относящ йся к дуге класса два.

Теорема 3. Пусть Л = {Ак,пк} , т(Л) = а(Л) = 0, С = {йКп} такова, что Ъ(Л,й) = Ъ Ф 0 у = у(г1,г2,Ъ) с Ь(—р,Ъ) ( р Е [—п,п) ), и 8 Е (0,п/2) (т.е. у — дуга класса два). Предположим, что Л(р — 8,р + 8) — сбалансированная последовательность и ^2 — > 2т(ШЛ(<р-8,<р+8),

р). Тогда функция дАд имеет на интервале (г1,г2) хотя бы одну особую точку.

Доказательство. Будем использовать обозначен я з теоремы 2. Нетрудно замет ть, что вел -чина т(ш1°(<р-в <р+в),р) не зависит от 8. Поэтому с учетом (14) можно считать, что

^2 2пшЛ(<р1,<р2)(Р + 8) —

— 2пШЛ(р1,р2)(р — 8)> 2п1^Л(<р1,<р2)1, (24)

где р1 = р — 8 и р2 = р + 8. Как и в теореме 2 функция да (г, Г) является аналитической в области Ъ1 и верно (20). Так как Е(г,Ъ) = {е~1(р} для любого г Е (г1,г2), то из определения области Ъ1 следует, что она содержит Ъ и интервал (г1,г2). Функция да(г,Г(р1,р2)) является аналитической в области Ъ2, граница которой содержит отрезок [г1,г2]. Следовательно, полуполоса

{г: Яе ((г — г1)е-< 0,р = п/2 — р, —р}

П {г: Яе ((г — г2)е- 1—/2-рр)) < 0} шириной 1г2 — г 11 лежит в Ъ2 . Пусть КЕ

,Р2)) и (>1,(>2 угловые точки множества К(р1, р2). Как показано при его определении, опорные прямые 1(п/2 — р,К),1(—п/2 — р,К) содержат эти точки. Поэтому компакт К лежит в полосе

{г: Яе ((г — ^)е-1(77/2-р)) < 0}

П {г: Яе ((г — с;2)е-(-77/2-р)) < 0}

шириной < 1<;2 — = — (¡21 ( '(,:1,<:2 — комплексно сопряженные к д1,д2). Тогда из (15) и (24) следует, что некоторый сдвиг компакта К лежит в замыкан Ъ2 касается гран цы д Ъ2 по замкнутому множеству В с ( 1, 2) . Дальнейш е рассуж-ден я проводятся по схеме доказательства теоремы 2. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кривошеева О. А. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости// Алгебра и анализ. 2011. Т.23. №2. С. 162-205.

2. Кривошеева О. А., Кривошеев А. С. Особые точки суммы ряда Дирихле на прямой сходимости. Функц. анализ и его прил. 2015. Т.49, №2. С. 54-69.

3. Лунц. Г. Л. О рядах типа Тейлора-Дирихле. Известия АН Армянской ССР. 1961. Т.12., №1. С. 7-16.

4. Кр вошеева О. А. Область сход мост рядов экспоненц -альных мономов. Уфимский математический журнал. 2011. Т.3. №2. С. 43-56.

5. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983.

6. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос-техиздат. 1956.

7. А. А. Кондратюк. Целые функции с конечной максимальной плотностью нулей I. Сб. «Теория функций, функциональный анализ и их приложения». Харьков. 1970. Вып.10. С. 57-70.

8. Абдулнагимов А. И., Кривошеев А. С. Правильно распределенные подмножества в комплексной плоскост . Алгебра и анализ. 2016. Т.28. №4. С. 1-46.

9. Напалков. В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

10. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

11. Кр вошеев А. С. Фундаментальный пр нц п для нвар -антных подпространств в выпуклых областях// Извест я РАН. Серия математическая. 2004. Т.68. №2. С. 71-136.

12. Кривошеев А. С., Кривошеева О. А. Базис в инвариантном подпространстве целых функций. Алгебра и анализ. 2015. Т.27. №2. С.132-195.

13. Кр вошеева О. А., Кр вошеев А. С., Абдулнаг мов А. И. Целые функции экспоненциального типа. Ряды Дирихле. Монография. Уфа, РИЦ БашГУ, 2015. 196 с.

14. Крас чков-Терновск й И. Ф. Инвар антные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза. Матем. сб. 1972. Т.88 (130), №3. С. 331-352.

15. Кривошеева О. А., Кривошеев А. С. Критерий выполнения фундаментального пр нц па для нвар антных подпространств в огран ченных выпуклых областях комплексной плоскости. Функц. анализ и его прил. 2012. Т.46, №4. С. 14-30.

Поступила в редакцию 10.10.2017 г.

DISTRIBUTION OF SINGULAR POINTS OF THE SUM OF SERIES OF EXPONENTIAL MONOMIALS ON THE BOUNDARY OF ITS CONVERGENCE DOMAIN

© O. A. Krivosheeva

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 65.

Email: [email protected]

The author of the article considers multiple complex sequences A = (Afc, nfc}™=1, where a natural number nfc is the multiplicity of points (complex numbers) Afc, and the series of exponential monomials £ dfcnzneconstructed by these sequences. The problem of distribution of the singular points of the series on the boundary of its convergence domain V = V (A, d) is studied. Various numerical characteristics of the sequence A that reflects the geometry of its distribution on the plane are discussed. By analogy with the known function of angular density O, the function o0 is introduced, which is built using the concepts of maximum density of a sequence A in the angles with vertices at the origin. The sequence A for which the function o0 is finite is called regular. In this paper, the necessary and sufficient conditions for sequence A to be regular are obtained. It is proved that A is the regular sequence then and only then, when it is a part of (including multiplicities nfc) a properly distributed sequence with angular density O > o0 . The author also uses a known characteristic ¿A of a sequence A (the A. S. Krivosheev's index of condensation), which is similar in meaning with the Bernstein's index of condensation. This characteristic is responsible for the local distribution of points of a sequence A defining their "separateness" from one another (in the case, where ¿A = 0). A sequence A is called balanced, if it is regular and ¿A = 0. In this paper, the author considers the case, when V is a convex domain. On the boundary of the domain, special arcs of the classes one and two were allocated. Any arc of the boundary of a convex domain splits into no more than four arcs of the specified classes. For the balanced sequence A, sufficient conditions were obtained for the existence of singular points of the series of exponential monomials on a fixed arc (class one or two) of a boundary of the domain V = d). These conditions are formulated in terms of interrelation between simple geometric characteristics of the sequence A (the function o0) and domain V (a function of arc length ).

Keywords: angular density, maximal density, regular sequence, series of exponential monomials.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Krivosheeva O. A. Algebra i analiz. 2011. Vol. 23. No. 2. Pp. 162-205.

2. Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S. Funkts. analiz i ego pril. 2015. Vol. 49, No. 2. Pp. 54-69.

3. Lunts. G. L. O ryadakh tipa Teilora-Dirikhle. Izvestiya AN Armyanskoi SSR. 1961. Vol. 12., No. 1. Pp. 7-16.

4. Krivosheeva O. A. Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2011. Vol. 3. No. 2. Pp. 43-56.

5. Leont'ev A. F. Tselye funktsii. Ryady eksponent [Integer functions. Exponential series]. Moscow: Nauka, 1983.

6. Levin B. Ya. Raspredelenie kornei tselykh funktsii [Distribution of roots of integer functions]. Moscow: Gostekhizdat. 1956.

7. Kondratyuk. A. A. Teoriya funktsii, funktsional'nyi analiz i ikh prilozheniya. Khar'kov. 1970. No. 10. Pp. 57-70.

8. Abdulnagimov A. I., Krivosheev A. S. Pravil'no raspredelennye podmnozhestva v kompleksnoi ploskosti. Algebra i analiz. 2016. Vol. 28. No. 4. Pp. 1-46.

9. Napalkov. V V Uravneniya svertki v mnogomemykh prostranstvakh [Convolution equations in multidimensional spaces]. Moscow: Nauka, 1982.

10. Leont'ev A. F. Ryady eksponent [Exponential series]. Moscow: Nauka, 1976.

11. Krivosheev A. S. Izvestiya RAN. Seriya matematicheskaya. 2004. Vol. 68. No. 2. Pp. 71-136.

12. Krivosheev A. S., Krivosheeva O. A. Bazis v invariantnom podprostranstve tselykh funktsii. Algebra i analiz. 2015. Vol. 27. No. 2. Pp. 132-195.

13. Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S., Abdulnagimov A. I. Tselye funktsii eksponentsial'nogo tipa. Ryady Dirikhle. Monografiya [Integer functions of exponential type. Dirichlet series. Monograph]. Ufa, RITs BashGU, 2015.

14. Krasichkov-Ternovskii I. F. Matem. sb. 1972. Vol. 88 (130), No. 3. Pp. 331-352.

15. Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S. Funkts. analiz i ego pril. 2012. Vol. 46, No. 4. Pp. 14-30.

Received 10.10.2017.