Числовые характеристики комплексной последовательности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.52, 517.53

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМПЛЕКСНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

© О. А. Кривошеева

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г.Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Email: [email protected] Тел.: +7 (347) 229 96 65.

В данной работе рассматриваются различные числовые характеристики комплексной последовательности Л = (Я^,п^}^=1,где натуральное число —кратность точки такие как угловая плотность, верхняя плотность, максимальная плотность. Эти характеристики отражают геометрию распределения последовательности Л по плоскости. По аналогии с функцией угловой плотности вводится функция шЦ, которая строится при помощи понятия максимальной плотности последовательности Л в углах с вершинами в начале координат. Последовательность Л, для которой функция шЦ конечна, названа правильной. В работе получены необходимые и достаточные условия, когда последовательность Л является правильной. Доказывается, что Л — правильная последовательность тогда и только тогда, когда она является частью (с учетом кратностей ) правильно распределенной последовательности с угловой плотностью > шЦ.Также в конце работы приводится определение еще одной характеристики ¿л последовательности Л, которая схожа по смыслу с индексом конденсации Берн-штейна. Эта характеристика отвечает за локальное распределение точек последовательности Л и означает некоторую их «отделенность» друг от друга (в случае, когда = 0). Приводится пример подсчета величины = 0 для простой последовательности (т.е. = 1 и |Afc+i| — UJ > h, к > 1, для некоторого числа h > 0) (онравен нулю).

Ключевые слова: угловая плотность, максимальная плотность, правильная последовательность, правильно распределенное множество.

Пусть Л = {Afc,nfc}£°=1 — кратная последовательность, где Afc £ ^ Ф j , |Afc+1| > |Afc|, к > 1 , |Afc| ^ га, к ^ ^ , и nfc - натуральные числа. Символом В (z, г) обозначим открытый круг с центром в точке z и радиуса г > 0. Через п0(Л) обозначим максимальную плотность последовательности Л, которая определяется по формуле

п(г,Л) — п((1 — 5)г,Л)

п0 (Л) = lim lim ■

5r

где n(r, Л) — число точек Afc с учетом их кратностей nfc в круге ß(0,r). Положим еще п(Л) = lim п(г,Л)/г.

г^го

Величина п(Л) называется верхней плотностью последовательности Л. Нетрудно заметить, что эту плотность можно определить также по формуле П(Л) =

^^го J

где - неубывающая по модулю последовательность, составленная из точек Afc, причем каждая Afc встречается в ней ровно nfc раз. Пусть S 6 (0,1). Положим

п0(Л,5) = Ишп(г,Л,5),п(г,Л,6) =

г^го

п(г,Л) — п((1 — 5)г,Л)

5г

Согласно лемме 2.1 из работы [1] верны неравенства

п(Л) <По(Л,5) <По(Л).(1) В случае, когда последовательность Л имеет плотность п(Л), т.е. существует предел п(Л) = lim п(г,Л)/г < +га,

верны, очевидно, равенства

п(Л) = п(Л) = По(Л). (2)

В общем случае может иметь место строгое неравенство п(Л) < п0(Л). Рассмотрим соответствующие примеры.

с 1т

1. Пусть {Д/}.^ — возрастающая последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию Ду+х/Ду ^ га,у ^ га . Положим Л = (Яй, 1}/5°=1, где состоит из всех натуральных чисел, лежащих на интервалах (Д2_,, ),У > 1 • Тогда п(Л) = п0(Л) = 1. При этом Л не имеет плотности.

2. Пусть {Д,} — та же, и Л = (Яй,1}"=1, где (Яй}^=1 состоит из всех натуральных чисел, лежащих на интервалах (Д;, 2Д;),у > 1. Прямым подсчетом получаем: п(Л) = 1/2, п0(Л) = 1 и п(Л) не существует.

3. Пусть {Д,} — та же, и Л = [Д^}^, где [Д^.] — целая часть . Тогда Л не имеет плотности и верны равенства п(Л) = 1, п0(Л) = +га.

Рассмотрим теперь более точные характеристики последовательности Л . Пусть £ [—2^,2^), — £ (0,2тс]. Такие значения будем называть допустимыми. Положим

Г(^1,^2) = (Я = Се'^: £ О^,^)^ > 0}.

Символом Л(^1, ^2) обозначим последовательность, состоящую из всех пар (Я^., таких, что £ Г(^1,^2). Пусть п(Л) < +га. В этом случае определим множество ФЛ с . Число ^ £

(—2^, будем считать элементом множества ФЛ тогда и только тогда, когда

n(A,^) = inf п(Д(^ - £,£> + е)) > 0.

£>0

Кроме того, 6 ФЛ тогда и только тогда, когда 0 6 ФЛ. Смысл введения множества ФЛ состоит в следующем. Точки Afc, лежащие на лучах (Я = te'v: t > 0}, ^ ? ФЛ, (и даже «концентрирующиеся вдоль этих лучей) можно иногда игнорировать при подсчете различных плотностей. В частности, для любых допустимых верно неравенство

6 (^1,^2)\Фл. (3) Действительно, фиксируем S > 0. Тогда для каждого достаточно малого а > 0 имеем: По(А(^1,^2),5) < ГСО(Л(<Р1,<Р),6) +ПО(А(^,^2),5) + п(А(^ — а, ^ + а))/5. Так как ^ i ФЛ , то п(А(^ — а, ^ + а)) ^ 0, е ^ 0. Следовательно, предыдущее соотношение сохраняется и без последнего слагаемого в правой части. Это означает, что (3) верно. Вне множества ФЛ выполнено также следующее:

lim По(Л(^,^2))[ lim ^(ЛО^,«^))

= ПО(Л(^1,^2)),(4) где ё Фл. Действительно, пусть ^ ё

ФЛ и е > 0 (случай ё ФЛ рассматривается аналогично). Выберем S > 0 такое, что п0(Л(^,^2)) < п0(Л(^,^2),5) + е. Как и выше, для некоторого а > 0 имеем: п(Л(^1, + а))/5 < £. Пусть ^ 6 (^1, + а). Тогда в силу (1): По(Л(^1,^2))_< е + По(Л(^1,^1 + а),5)

_ +ПО(Л(^,^2),5)_< < £ + п(Л(^1,^1 + а))/5 + По(Л(^,^2))

< 2е + По(Л(^,^2)). Таким образом, п0(Л(^, ^2)) <

< По(Л(^1,^2)) < 2£ + По(Л(^,^2)). Это дает (4).

Рассмотрим пример. Пусть (—1,0) Э ^ 0 . Составим последовательность из чисел

так, что каждое из них встречается в ней бесконечное число раз. Положим Л = (Afc, nfc} , где Afc = и nfc = 2fc-J, если = (можно считать, что fc—;>0 ). Тогда 0ёФЛ , п0(Л(0,<р2)) = 0,<р2 6 (0,1), и п0(Л(<р,<р2)) = 6 (—1,0). Та-

ким образом, <¡5^(^ + 0 в равенстве (4) нельзя заменить на ^ ^ — 0.

Говорят (см. [2], гл. II, §1), что Л имеет угловую плотность п(Л, ^2) < (при порядке один), если для всех допустимых за исключением,

быть может, счетного множества ФЛ последовательность Л(^1, ^2) имеет плотность

п(Л(^1,^2)) = lim п(г,Л(^1, ^2))/г =

Можно считать, что ФЛ £ фл. Действительно, пусть ё ФЛ и £ > 0 удовлетворяет условию

^1±£,^2±£ё ФЛ. Имеем:

— П(Г,Л(^1,^2)) f. , л

lim-< п(Л, — £, + £),

г^го Г

П(Г,Л(^1,^2)) , л

lim-> п(Л, + £, — £).

Так как ё Фл, то

п(Л, — £, + £) — п(Л, + £, — £) ^ 0, £ ^ 0.

Следовательно, существует

lim п(г,Л(^1,^2))/г. В случае, когда Л имеет угловую плотность, множество ФЛ является не более чем счетным. Действительно, каждое ^ 6 ФЛ П (—2^, 2^) — это точка разрыва монотонной функции N(<p2) = п(Л, , где ^ 6 (^1,^2). Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение последовательности, имеющей угловую плотность. Пусть Л такая, что ФЛ — не более чем счетное множество. Последовательность Л имеет угловую плотность п(Л, < (при порядке один), если для всех допустимых ё ФЛ последовательность Л(^1, ^2) имеет плотность.

Пусть Е — класс неубывающих на отрезке [—2^,2^] функций ш, обладающих свойствами: 1) w(0) = 0, 2) ш непрерывна слева, 3) w(^) = — 2^) — ^ 6 (0,2^). Символом Ф(^) обозна-

чим множество точек разрыва функции ш6Е.

Пусть Л имеет угловую плотность. Тогда она единственным образом определяет функцию шЛ 6 Е по правилу: для 6 (—2^, 0)\ФЛ, ^ 6

(<?!, + 2^)\Фл

^Л(^1) =

lim п(Л,

= ^ ^ + ^лОРХ). (5)

Точнее говоря, определенная по формулам (5), единственным образом продолжается до функции из класса £, и продолжение не зависит от . Нетрудно заметить, что Фл = Ф(<^л). Из определения следует равенство п(Л, = ^л(^2) -^л(<рх) для любых допустимых ё ФЛ. Будем говорить, что Л имеет угловую плотность , если она имеет угловую плотность и =

Пусть Л = , ё Фл — допустимые

значения и Т = — разбиение интервала

( = < ^2 < ^ < ^г = ё

ФЛ,У = 1, Положим

где супремум берется по всевозможным указанным разбиениям. Величину п0(Л, ^2) логично было бы назвать максимальной угловой плотностью Л. Однако, это понятие уже закреплено за схожей (но отличающейся от п0(Л,^2)) величиной, введенной в [3].

Будем говорить, что Л — правильная последовательность, если ФЛ является не более чем счетным множеством, и п0(Л, < га для всех допустимых значений £ ФЛ.

Лемма 1. Пусть Л — правильная последовательность, £ ФЛ — допустимые значения, = > б2 > ••• > — счетное разбиение интервала (^1,^2) такое, что бг £ ФЛ, I > 1. Тогда верно равенство

П0(Л,^1,^2) = "0(Л,^1,бх) +

Уs_1

П0(Л,бг+1,бг),5>2.(7)

¿=1

Zi-i 7 = 1

Zi-1

i

=1

Если бг ^ / ^ га, то

^ет

"0(Л,ег+1,ег).(8)

=1

Доказательство. Пусть £ ФЛ — допу-

стимые значения и ^ £ (^1, ^2)\ФЛ . Непосредственно из формулы (6) следует неравенство

П0(Л, ^1, <р) + П0(Л, <р, ^2) < П0(Л, ^1, ^2). (9)

Рассмотрим произвольное разбиение =

< ^2 < • < ^г = ^2,^7 £ Фл,У = 1,' , интервала (^1, ^2) такое, что £ (^„^'о+О для некоторого у0 = 1, / — 1. В силу (2)

=1

< ^° 1 П0 (Л^-,^)) + Й0 (Л(^°, <р)) +

+Й0 (Л( + ^ ._. +1"0 (Л(^7-,^7-+1)) <

< П0(Л,^1,^) + П0(Л,^,^2). Таким образом, в этом случае

"0 (Л(^7-,^7-+1)) <

< П0(Л, ^1, + П0(Л, <р, ^2).

Если ^ совпадает с некоторым числом ^, то последнее неравенство, очевидно, сохраняется. Из него следует, что

П0(Л,^1,^2) < П0(Л,^1,^) + П0(Л,^,^2).

Вместе с (9) это дает нам равенство

П0(Л, ^1, ^2) = П0(Л, ^1, <р) + П0(Л, <р, ^2).

Оно, очевидно, означает, что (7) верно. Докажем теперь (8).

В силу (7) ряд Цгг1п0(Л, бг+1,бг) сходится и имеет место неравенство

^ет

П0(Л,0г+1,вг).(1О)

=1

Фиксируем е > 0 и согласно (6) выберем разбиение <?1 = < ^2 < • < ^ш = ^2,^7 £ Фл,У = 1, ш, интервала (^1, ^2) такое, что

— е < (Л(^7-,^7-+1)),(11)

В силу (4) для некоторого ^ £ (^1,^2)\ФЛ имеем: п0(Л(^1,^2)) < п0(Л(<р,^2)) + е. Отсюда и из (11), (6) получаем:

П0(Л,^1,^2) — £ < £ +^0(Л(^,^2)) +

По(Л,^1,<

+ ^ По (ЛО^+О) < е + По(Л,р,р2). (12)

7=2

Выберем номер s такой, что £ (^1, Тогда

в силу (7)

Zs-i =1

"о(л,ег+1,ег) = по(л,бх,^2) =

= П0(Л,б5,^) + П0(Л,^,^2) > П0(Л,^,^2). Следовательно, с учетом (12) получаем:

По(Л,^1,^2) < 2е +

Zs-1

По(Л,

=1

б¿+l, б¿) <

^ет

П0(Л,0г+1,вг).

=1

Поскольку е > 0 — любое, то вместе с (10) это дает нам (8). Лемма доказана.

Замечание. Равенство (7), в частности, означает, что функция М0(<р2) = п0(Л,является неубывающей.

В силу (6) конечность п0(Л,влечет за собой конечность максимальной плотности Л в любом угле Г(<р1,<^2) с Г(<р1,^2), где <^1,<р2 — допустимые значения, причем п0(Л(<^1, <р2)) < п0(Л, Обратное неверно. Рассмотрим неко-

торые примеры.

1. Пусть {<£>_,} .с (—1,1) сходится к нулю.

Составим последовательность (^г}ет=1 из чисел так, что каждое из них встречается в ней бесконечное число раз. Положим Л = (Яй,1}ет=1, где = ке'^г, 2г-1 < к < 2г,г > 1 . Тогда ФЛ П [—состоит из чисел и 0. Пусть £ ФЛ — допустимые значения. Максимальная плотность Л в любом угле Г(^1, ^2), который содержит хотя бы один из лучей { £ £ > 0}, I > 1, равна единице. В противном случае п0(Л(^1,^2)) = 0. Отсюда следует, что п0(Л, = +га для любого угла Г(<р1,^2), содержащего положительную вещественную полуось. Если же Г(^1,^2) не содержит этой полуоси, то п0(Л, равна числу лучей {се1,% £ > 0}, попавших в Г(^1,^2). Таким образом, последовательность Л не является правильной.

2. Пусть множество { <р,} всюду плотно на

интервале (0,2гс). Точно также как в предыдущем примере по числам ^ определим последовательности Ш?^ и Л = (Ак,1}ет=1. Множество ФЛ в этом случае совпадает с отрезком [—2^,2^]. Поэтому Л не имеет угловой плотности, и величины п0(Л, ^2) не определяются.

3. Пусть Л = (Я^,п^}ет=1 имеет угловую плотность. В силу (2) и (3) находим, что для любых допустимых значений

п(Л, <?1, ^2) < п(Л, <?1, + п(Л, ^2),

9 £ (^l, ^2)\фл.

Очевидно, верно и обратное неравенство. Поэтому

п(Л, <?1, ^2) = "(Л, <?1,9) + П(Л, <р, ^2), ^ £ (^1, ^2)\Фл.

Следовательно, учитывая (2), согласно (6) получаем:

- 7 = 1

= П(Л,^1,^2).

Это означает, что Л — правильная последовательность.

4. Пусть Л={Лл,пл}™=1 является частью (с учетом кратностей п^.) последовательности Л, имеющей угловую плотность. Тогда Фл £ Фл является не более чем счетным множеством и для любых допустимых значений ё Фл конечна величина п0(Л, , т.е Л — правильная последовательность. Действительно, если ё Фл, то

По (Л(^-,^+1)) < п(Д, ^7,^7+1) = ^ ^7+1 — ё Фл. Тогда

Пусть ^7,^7+1 ёФл и ^^7 — 0,^j+1

+1

По (Л(^7,^7+1)) < По (Л(^т,^7+1)),т >

1.

Фиксируем ш > 1 и е > 0 . Согласно (4) найдем номер 0 такой, что

По (Л(^7+1)) < По (Л^,^))

+1

<^л(^7+1) —^л(^тП) + £,г>го. Поскольку ^л непрерывна слева, то отсюда получаем:

йо (л(^-,^7+1)) < п(Л, ^7,^7+1) =

= ^лО^+О — ё фл.

+е<

и) ^л(r^),r^, Тогда с учетом (6) имеем: >;-1

^о I

По(Л,^1,^2) = supV - По (Л(^7,^7+1)) <

т ¿—ч=1 < ^л(^2) — ё Фл.

Таким образом, последовательность Л будет правильной, если она является частью последовательности, имеющей угловую плотность. Покажем, что верно и обратное утверждение. В связи с этим введем еще одну функцию и изучим ее свойства.

Для правильной последовательности Л поло-

^Л(^1) =

lim По(Л,^1,^2),

= по(Л, ^1, + ^лОРХ), (13) где ^1, <?2 е (—2^, 0)\Фл, е (<?1, <?1 + 2я)\

Фл.

Лемма 2. Пусть Л — правильная последовательность. Функция < единственным образом продолжается до функции из класса £, и продолжение не зависит от е (—2^, 0)\Фл. При этом множества Фл и Ф«) совпадают, и для любых допустимых ё Фл имеет место равенство

По(Л,^1,^2) = <(<¿2) — <(01). (14) Доказательство. В силу (13) и (7) функция < определена и монотонна на множестве [<рх,+ 2тс)\Фл. Доопределим ее во всех точках отрезка [ <рх, + так, чтобы она стала непрерывной слева. Тогда с учетом (13) получаем

<(0) = lim <(?) =

= lim (но(Л, <?!,<?) + ^Л(^1)) = lim по(Л,— lim по(Л,= 0. Положим еще

^Л(<р) = + 2^)

— (^л(^1 + 2^) — 6 [—2^1),

^Л(<р) = — 2 л} + + ( + — 6 +

Отсюда следует, что функция определена, монотонна и непрерывна слева на отрезке [—2^, . Кроме того, имеем:

^Л(—2^) = ^Л(—2^ + 2 я) — — (<(>1 + 2п0 — ^Л(^1)) =

= —( + 2^) — ^Л(^1)).

Следовательно,

— = — + + ^Л(—2^) = = <(<?) + 6 (0,^1 + 2я).

= — 2^) — ^Л(—2^), ^ 6 + 2^). Таким образом, < 6 Е. Если функция ш6Е совпадает с ^Л на множестве + 2гс)\ФЛ, то

из свойств функций класса Е следует тождество ш =

о

^л.

Мы показали, что функция, определенная по формулам (13), единственным образом продолжается до функции из класса Е. Докажем теперь равенство ФЛ = Ф«). Из определения множества ФЛ и свойств функций класса Е следует, что достаточно установить совпадение пересечений множеств Фл и Ф«) с полуинтервалом [ + 2гс).

Пусть ^6ФЛП + 2я) . По условию

ё ФЛ . Следовательно, ^ 6 ФЛ П (^1, + . Покажем, что

lim ^Л(^) — lim ^Л(^) > 0. (15)

Поскольку ^Л — неубывающая функция, то lim — lim =

= lim( + £) — — £)) =

= inf(<0p + £) — — £)) =

>о

= inf( + е') — — £г)), где ^ 0, Z ^ го, удовлетворяют условию ± £; ё ФЛ, I > 1. В силу (13) и (7) имеем: + £0 — — £г) =

= по(Л, ^1, + £г) — По(Л, <?1, ^ — £г) = = По(Л,^ —£г,^ + £г).

Согласно (6) и (1) для каждого Z > 1 верны неравенства

> п(Л((р — £;, ^ + £;)) > Й(Л, Так как ^ 6 Фл, то отсюда получаем (15). Следовательно, 6 Ф«).

Пусть теперь р 6 + 2я)\ФЛ. Покажем,

что р £ Ф(<^Л). Выберем убывающую последовательность 0 < £г ^ 0,1 ^ га , удовлетворяющую условию р + е; £ ФЛ, I > 1. Если р = р, то в силу (13) имеем:

•Л(р + £г) — ^ЛО) = По(Л,^,^ + ег),г > 1.

Если же р Ф согласно (13) и (7) получаем:

•ЛО + £г) — ^ЛОР) =

= По(Л,^1,р + ег) — По(Л, <?!,<?) = = По(Л,р,р + ег),г > 1.

Таким образом, с учетом монотонности функции •Л и ее непрерывности слева достаточно доказать, что по (Л, р, р + em) ^ 0, ш ^ га. В силу (8) имеем:

Zro

По(Л,р + ег+1,р + ег),

= m

ш > 1.

Ряд, стоящий справа в этом равенстве, сходится при ш = 1. Поэтому его остаток по (Л, р, р + em) стремится к нулю при ш ^ га. Следовательно, равенство ФЛ = Ф(^Л) установлено. Остается доказать (14).

Пусть ^1,^2£ФЛ— допустимые значения. Если 6 [р1,р1 + 2я), то, как и выше, исполь-

зуя (13) и (7), получаем (14). Рассмотрим еще случай, когда 6 [—2^,р1) и 6 [р1,р1 + 2я). Так как £ ФЛ, то в силу (7) имеем:

По (Л, ^i, ^2) = по(Л, ^1, Pi) + По(Л, pi, ^2).

Согласно уже рассмотренному случаю По(Л,^1,^2) = •Л(^2) — •Л(Р1).

Из определения величины по(Л, выте-

кает равенство

по(Л, = по(Л,^1 + 2я, р + 2я).

Таким образом, с учетом (13), (7) и свойства 3) функций класса £ получаем:

По(Л,^1,^2) = •Л(^2) — •Л(Р1) + +по(Л, + 2я, + 2я) =

= •Л(^2) — •Л(Р1) + + 2^) — —+ 2я) == — •XCPi) + +^Л(Р1) — •(—2^) — (•Л(^2) — •(—2^)) = = •Л(^2) — •Л(^2).

Остальные случаи рассматриваются аналогично. Лемма доказана.

Напомним понятие правильно распределенного множества (см. [2], гл. II, §1). Последовательность Л = {Afc, п^}ГО=1, имеющая угловую плотность, называется правильно распределенным множеством (с показателем р(г) = 1), если выполнено условие Линделефа, т.е. существует предел (если Я1 = 0, то точка Я1 не участвует в суммировании)

lim W(r, Л), Ж(г,Л) = У

Для правильно распределенного множества Л функция плотности • = шЛ £ £ обладает дополнительным свойством (см. [2], гл. II, §3, формула (2.41)):

f

о

e^dw(p) = 0. (16)

Символом £о обозначим подкласс всех функций • 6 £, удовлетворяющих (16). Он тесно связан с классом выпуклых компактов. Пусть К — выпуклый компакт с опорной функцией

Я(р,К) = sup Re(ze-'^) 6 К.

Z6K

Для каждого р 6 К через ¿(<р,К) обозначим пересечение границы 9К и опорной прямой

г(р,К) = {z: Re(ze-'^) = Я(р,К)} Множество ¿(<р,К) является либо точкой, которую обозначим г(<р, К), либо отрезком. Символом Ф(К) обозначим совокупность р 6 [—2я,2я), для которых ¿(<р,К) — отрезок. Множество Ф(К) не более чем счетное. Пусть р1, р2 £ Ф(К) — допустимые значения и s( р1,р2,К) — длина дуги границы 9К, соединяющей точки г(<р1, К) и г(<р2, К), движение по которой от г(<р1,К) к г(<р2,К) осуществляется в положительном направлении (против часовой стрелки). Пусть р1,р2 6 (—2я, 0)\Ф(К), р 6 ( р1, + 2я)\Ф(К). Положим

•кО) = 5(^1,р,К) + =

= — lim 5(р1,р2,К).

Нетрудно доказать аналог леммы 2. Лемма 3. Пусть К — выпуклый компакт. Функция единственным образом продолжается до функции из класса £, и продолжение не зависит от 6 (—2я, 0)\Ф(К). При этом Ф(К) = Ф(<^к), и для любых допустимых £ Ф(К) имеет место

равенство

5(^1,^2,К) = — (17)

Для каждого сдвига К + компакта К верно равенство w^+z = •к. При этом для опорных функций имеем: Я(р, К + z ) = Я(р, К) + Re(ze-'^). Отметим еще, что • = удовлетворяет (16) (см., например, [1], замечание к лемме 2.7). Таким образом, 6 £о . Обратно, пусть • 6 £о . Функция • единственным образом определяет класс выпуклых компактов ^(w), которые получаются друг из друга при помощи сдвига: К 6 ^(w) тогда и только тогда = ([2], гл. I, §16, теорема 24, §19). Имеются формулы для опорных функций разных представителей класса ^(w) ([2], гл. I, формулы (1.82), (1.114)), использующие интеграл Стильтьеса по мере, определяемой длиной дуги =

Пусть Л — правильная последовательность. Введем еще одну функцию 6 £о.Если •Л 6 £о, то положим •до = •Л. Предположим, что

г2п

I е^а^Л(р) = Мл = Ые^Л) Ф 0,

о

р(Л) 6 [—

Положим

гзЛ(р) = 0,р 6 [0,р(Л) + я],

•Л(р) = 1Мл1,р 6 (р(Л) + я,2я] (18) и продолжим • до функции из класса £. Пусть

о,о ~о . о гт •л = •Л + •Л. Тогда имеем:

f2TT r2n

| е^Л'о(<р)=| +

оо

r2n

+ | e^d^Gp) = Ыег(*(Л)+я) + = 0.

о

Таким образом, о)д° е Е0.

Пусть Л = {Лк,пк}"=1 и Л = {^,шг}^=1. Будем говорить, что Л является пополнением Л , если Л £ Л (Л — часть Л с учетом кратностей), т.е. существует подпоследовательность { такая, что = Я^. и т^ > п^ для всех к > 1. Объединением Л1

= U1,ps}f=1 и Л2 = {Л?,щ,-}.

^ ,, ш,} называется

=1

последовательность Л = {Я^,п^}"=1 такая, что множество {Я^=х является объединением множеств Ш}Г=х и {Я2}._ . При этом, если для некоторых но-

меров s и j точки Я1 и Я? совпадают, то соответ-

12

J./'=1 точк

ствующий элемент Я^ = Я1 = Я? последовательности Л имеет кратность nfc = р1 + . Используя понятие объединение последовательностей Л1 U Л2 , нетрудно определить также их пересечение Л1 П Л2 .

Нам понадобится еще понятие минимальной плотности последовательности Л:

по(Л) = lim limn(г,Л, 5).

Теорема 1. Пусть Л — правильная последовательность. Тогда существует ее пополнение Ло, которое является правильно распределенным множе-

о,о

ством с угловой плотностью , причем

Ж(г,Л°) ^ 0,r ^ +го.

Доказательство. Пусть Л2 ={^,1}^ , где

{ — последовательность всех комплексных чисел, вещественные и мнимые части которых являются целыми числами. Для любых допустимых значений число п(г, Л2(<р1,^2)) оценивается снизу величиной с(^1,^2)г2,г > г(<р1,^2) . Поэтому До(Л2(^1, ^2)) = +го. Положим Л2 = Л2 U Л. Тогда

До(Л2(^1,^?)) = (19) для любых допустимых Согласно (6), лемме

2 и определению имеем:

По(Л(^1,^2)) < "о(Л,^1,^2) = ^Л(^2) —

—^Л(^1) < ^ЛОР?) — ^Л(^2) +

для любых допустимых ё ФЛ = Ф«) £

Ф(^ло). Это вместе с (19) означает, что выполнены все условия теоремы 2.9 из работы [1]. Тогда согласно ей, верно утверждение настоящей теоремы. Теорема доказана.

Замечания. 1. Из теоремы 1 и примера, приведенного выше, следует, что Л является правильной последовательностью тогда и только тогда, когда она является частью некоторого правильно распределенного множества. Таким образом, понятие правильной последовательности, введенное в данной

работе, полностью согласуется с определением правильной последовательности из работ [4] и [5].

2. Можно показать, что класс выпуклых ком-

пактов

) обладает следующим

свойством ми-

нимальности. Если Л является частью правильно распределенного множества Л1, то для любого компакта Кх е найдется компакт К е такой, что К £ Кх. Доказательство этого факта выходит за рамки данной работы.

Лемма 4. Пусть Л — правильная последовательность и ш ЕЕ. Предположим, что для любых допустимых <рх, ё Ф(<м) и Ф«)

^л(^2) — ^лОО > — ^ОРХ).

Тогда существует последовательность Л1 £ Л

Доказательство. По лемме 2 е Е. Поэтому согласно теореме 2.4 из работы [1] с учетом (6), (14) и (19) найдется последовательность Л2 с угловой плотностью <, для которой верны вложения Л £ Л2 £ Л и Л2. Так как Л2 имеет угловую плотность, то из условия леммы для любых допустимых ё Ф(<м) и Ф«) получаем:

Д0(Л2(^1,^2)) = "(Л2,^1,^2) =

= ^л(^2) — > —

Пусть ё Ф(<м). Выберем последователь-

ности <, ^т ё Ф(<м) и Ф«) , такие, что <

< < ^т < >1, и < ^ ^т ^ ^

го. По предыдущему

п0(Л2(М2)) >п0(Л2(<рт,^т)) >

> — ^(<^т),ш > 1.

Так как ё Ф(<^), то отсюда получаем:

п0(Л2(^х,^2)) > ^(<р2) — ^(<р1). Тогда согласно теореме 2.4 из работы [1] существует последовательность Л3 £ Л2 с угловой плотностью ш. Положим Л1 = Л3 П Л . Тогда Л1 £ Л . Покажем, что

Поскольку Л1 является частью последовательности Л3 с угловой плотностью ш, то, как и в последнем примере перед леммой 2, с учетом этой леммы имеем: Ф«1) £ Ф(<^) и

^102) — ^ОЫ = П0(Л1,^1,^2) <

< — ^ОРх), ^1, <?2 ё Ф«0, (20) где — допустимые значения. Пусть теперь

ё Ф«) и е > 0 . В силу (6) и леммы 2 найдется разбиение ...,0г},^7 ё Ф«),У = 1, интервала ( <рх, ^2) такое, что

X -Л (л(^7,^7+1)) > П0(Л,^1,^2) — е =

= <0?2) — <0^) — е. (21) Фиксируем = 1, — 1. Согласно определению максимальной плотности найдем ¿7 > 0 и последовательность гу,т ^ +го,ш ^ го, для которых Нт п(Г7,т,л(^7,07+1),5;) >

>По(л(07,07+1))— е. (22)

о

такая, что wAi = w.

Так как Л2 имеет угловую плотность шЛ, то

= <(^+1) — (23)

Пусть Л4 — дополнение Л до Л2, т.е. Л и Л4 = Л2. Из (22) и (23) получаем:

Нт п(г7-ш,Л40^,^+1),5/) < <0^+1)

—— Й0 (Л(^+1)) + е/. (24) Так как Л3 имеет угловую плотность ш и Ф(ш) с ф(шЛ) (в силу вложения Л3 с Л2), то

ш^ет ^ ^

= Ч^ + О — Ч^Д (25)

Пусть Л5 — дополнение Л1 до Л3. Так как Л5 с Л4, то из (24), (25) и (1) получаем:

П0 (л1(^;,^7+1)) > ш0^+1) — —

— (^(1^+1) — шЛ(^) — П0 (л^-,^)) + е).

Отсюда с учетом (21), (6) и (14) имеем:

Уг-1

Л .. i ^(Л1

•Л^) — <1(^1) > У /о (ЛЧ^^+О) >

п (ш&Г

> ш(^2) — ш(^1) — 2е, ^1,^2 £ Ф(шЛ). Так как е > 0 — любое, и ш^(0) = ш(0) = 0, то отсюда и из (20) следует требуемое равенство. Лемма доказана.

Пусть л = ий,плет= 1. Следуя работе [6] введем величину, которая является аналогом индекса конденсации Бернштейна. Рассмотрим функцию

V у35|Ак|)

В случае, когда круг В(IV, не содержит ни одной точки Я^, полагаем (г, V, 5) = 1. Модуль функции (г, V, 5) можно интерпретировать как меру сгущения точек £ В(ш, 5|ш|) около г. Величина 1п|<7л(г, V, 5)|/|!| аналогична по смыслу логарифму среднего геометрического (среднему арифметическому логарифмов) нормированных расстояний от £ В^,5^|) до г. Если 5 £ (0,1), то модуль каждого сомножителя из определения в круге В(IV,5|ш|) оценивается сверху величиной 2(3(1 — 5)) 1. Поэтому для 5 £ (0,1/3) он не превосходит единицы. Кроме того, если 51 < 52 и В(ш1,51| с В(1^2,521w2|), то число сомножителей ^(г, !1,51) не больше числа сомножителей ^(г, !2,52) , и каждый из сомножителей ^(г, !1,51) по модулю не меньше соответствующего сомножителя ^(г, 52). Таким образом, ^лО^^1 > |<?л0^2,52)и £ ВО^^^О, если 0 < 51 < 52 < 1/3 и В^-^^ш-^) с В , 52| !!2|). Положим

m

Чл

/г — Я \-"т

¿л = lim lim

3<ЯЯт1>

. ln|qm(Am,ö)l

Um|

Из определения величины £л следует неравенство £л < 0. Равенство £л = 0 означает, что точки Я„ в каком-то смысле отделены друг от друга. Кроме того, из сказанного выше следует, что £л > £л для любой последовательности Л с Л.

Рассмотрим пример.

Последовательность Л = (Яй,пй} будем называть простой, если = 1 и |ЯЛ+1| — |АЛ| > й, к > 1, для некоторого числа й > 0.

Пусть Л — простая последовательность. Подсчитаем £л. Для 5 £ (0,1) и каждого к > 1 точки Яг Ф Я^, попавшие в круг В(Я^,5|Я^|) обозначим Я^,/ = 1,/(к) . Нумерация по индексу I соответствует возрастанию модулей Я^. Имеем:

У

1<¡ss(fc)

ln

ln

К —

3«|Afc,|

?лак,5)| =

+ y in

s(fc)+1£!£s(fc)+p(fc)

^ — Ab

где 5(к) — число точек АЛ , для которых |Я^| < |ЯЙ|, и р(к) = /(к) — 5(к). Поскольку Л — простая

последовательность, то

|ЯЙ— Яйг| >(s(fc) + 1

ом < г < s(fc), и |Afc — AfcJ > (г — s(fc))h,s(fc) + 1 < / < s(fc) + p(fc). Следовательно, для S 6 (0,1)

имеем:

1П|чЛ(^,5)| > ln ^ ' +

hP(fc)p(/c)!

+ln

(35(1 + <5)|Afc|)PW

> ln

+ ln

(3|Afc|)*№) (6|Afc|)P») -h5^) h?(fc)(p(/c))P(,C)

>ln (9|Afc|)*») +ln (18|Afc|)P») > hs(fc) hp(fc)

>s®lni^+p®lnifi4T

В силу определения s(fc), p(fc) и оценки Ufc+iJ — Ufc| > h, fc > 1, выполнены неравенства s(fc) ^ g|Afc| = Д p(fe^g|Afc^ Д

|Яй|~й|Яй| h^AJ^AJ h' Кроме того, функция xln(hx/18) убывает, когда h х/18 < 1. Поэтому, учитывая предыдущие неравенства, получаем

¿л = lim lim-—--->

Л |Afc|

s(fc) hs(fc) p(fc) hp(fc)\ > lim lim | + ) >

18|Ак| |Ак| 18|Я^|у

5 5 5 5 > ит(т1п—+ -;-1п —) = 0. 5^0 \й 18 й 18/

Таким образом, = 0, если Л — простая последовательность.

Другие примеры в^гчисления индекса £л имеются в работах [4, 7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Абдулнагимов А. И., Кривошеев А. С. Правильно распределенные подмножества в комплексной плоскости// Алгебра и анализ. 2016. Т.28. №4. С. 1-46.

2. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос- 5. техиздат. 1956.

3. А. А. Кондратюк. Целые функции с конечной максимальной плотностью нулей// I Сб. «Теория функций, функциональный анализ и их приложения». Харьков. 1970. Вып.10. С. 57-70. 6.

4. Кривошеева О. А. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости// Алгебра и анализ. 2011. Т.23. №2. С. 162-205. 7.

Кривошеева О. А., Кривошеев А. С. Критерий выполнения фундаментального принципа для инвариантных подпространств в ограниченных выпуклых областях комплексной плоскости// Функц. анализ и его прил. 2012. Т.46, №4. С. 14-30.

Кривошеев А. С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях// Известия РАН. Серия математическая. 2004. Т.68. №2. С. 71-136. Кривошеева О. А., Кривошеев А. С., Абдулнагимов А. И. Целые функции экспоненциального типа. Ряды Дирихле. Монография. Уфа, РИЦ БашГУ, 2015. 196 с.

Поступила в редакцию 10.06.2017 г.

NUMERICAL CHARACTERISTICS OF A COMPLEX SEQUENCE

© O. A. Krivosheeva

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 65.

Email: [email protected]

The author of the article considers different numerical characteristics of complex sequences A = (Afc, nfc}™=1, where a natural number nfc is the multiplicity of a point Afc such as angular density, upper density, and maximal density. These characteristics show the geometry of distribution of sequence A on the plane. By analogy with a function of angular density, a function < is introduced, which is built using the concepts of maximum density of a sequence A in the angles with vertices at the origin. The sequence A, for which a function w0 is finite, is called regular. In the study, the necessary and sufficient conditions for the sequence A to be regular are obtained. It is proved that sequence A is a regular sequence then and only then it is a part (including multiplicities nfc) of regularly distributed sequence with the angular density > w0. In addition, at the end of the article, the definition of another characteristics £A of the sequence A is presented, which is similar in meaning to the Bernstein's index condensation. This characteristic is responsible for the local distribution of points of the sequence A and indicates some of their "separateness" from one another (in the case, where £A = 0). An example of calculating the value £A = 0 fora simple sequence (i.e., nfc = 1 and |Afc+1| — |Afc| > ft, k > 1, for some number ft > 0) (it equals to zero) is given.

Keywords: angular density, maximal density, regular sequence, regularly distributed set.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Abdulnagimov A. I., Krivosheev A. S. Algebra i analiz. 2016. Vol. 28. No. 4. Pp. 1-46.

2. Levin B. Ya. Raspredelenie kornei tselykh funktsii [Distribution of roots of entire functions]. Moscow: Gostekhizdat. 1956.

3. A. A. Kondratyuk. Tselye funktsii s konechnoi maksimal'noi plotnost'yu nulei// I Sb. «Teoriya funktsii, funktsional'nyi analiz i ikh prilozheniya». Khar'kov. 1970. No. 10. Pp. 57-70.

4. Krivosheeva O. A. Algebra i analiz. 2011. Vol. 23. No. 2. Pp. 162-205.

5. Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S. Funkts. analiz i ego pril. 2012. Vol. 46, No. 4. Pp. 14-30.

6. Krivosheev A. S. Izvestiya RAN. Seriya matematicheskaya. 2004. Vol. 68. No. 2. Pp. 71-136.

7. Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S., Abdulnagimov A. I. Tselye funktsii eksponentsial'nogo tipa. Ryady Dirikhle. Monografiya [Entire functions of exponential type. Dirichlet series. Monograph]. Ufa, RITs BashGU, 2015.

Received 10.06.2017.