Правильно распределенные подпоследовательности на прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 1 (2015). С. 3-12.

УДК 517.5

ПРАВИЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА ПРЯМОЙ

А.И. АБДУЛНАГИМОВ, А.С. КРИВОШЕЕВ

Аннотация. В работе рассматриваются последовательности комплексных чисел первого порядка. Доказывается, что последовательность с ненулевой минимальной плотностью имеет подпоследовательность такой же плотности. Также доказывается, что вещественная последовательность с ненулевой минимальной плотностью имеет правильно распределенное подмножество. На этой основе доказывается результат о представлении целой функции экспоненциального типа с вещественными нулями в виде произведения двух функций такого же вида, одна из которых имеет регулярный рост. Как следствие, получен результат о полноте системы экспонент с вещественными показателями в пространстве функций, аналитических в ограниченной выпуклой области плоскости.

Ключевые слова: целая функция, регулярный рост, нулевое множество. Mathematics Subject Classification: 30D10

1. Введение

В работе, в основном, изучаются вещественные последовательности первого порядка. Выясняются условия, при которых из такой последовательности можно выделить правильно распределенное множество заданной плотности. На этой основе доказывается результат о представлении целой функции экспоненциального типа с вещественными нулями в виде произведения двух функций такого же вида, одна из которых имеет регулярный рост. Как следствие, получен результат о полноте системы экспонент с вещественными показателями в пространстве функций, аналитических в ограниченной выпуклой области плоскости.

Пусть Л = (Afc1 — последовательность комплексных чисел, пронумерованная в порядке неубывания модулей ее членов. При этом считаем, что она может быть кратной, т.е. некоторые A& могут совпадать между собой. Обозначим через п(г, Л) — число членов последовательности Л, попавших в круг |A| < г, г > 0. Нижней и верхней плотностью Л называются соответственно величины:

-,. п( г, Л) ——п( г, Л)

п(Л) = lim , п(Л) = lim .

f Г^гх f

Говорят, что последовательность Л имеет плотность п(Л), если п(Л) = п(Л) = п(Л). Нетрудно заметить, что в этом случае верно также равенство

п(Л) = lim

к^-rx |

A.I. Abdulnagimov, A.S. Krivosheyev, Properly distributed subsequence on the line. © Авдулнлгимов А.И., Крибошеев А.С. 2015. Поступила 9 июля 2014 г.

Максимальной и минимальной плотностью последовательности Л называются соответственно величины

_ / а \ T^v—п(г, Л) -п((1 - 8)г, Л) п(г, Л) -п((1 - 8)г, Л)

п0 (Л) = lim lim ^ '-^-U^-L, п (Л) = lim lim ^ '--LJ^-L.

Лемма 1. Пусть Л = ( Л&такова, что п(Л) < то. Справедливы неравенства:

п0(Л) ^ п(Л) ^ п(Л) ^ п0(Л). (1)

Доказательство. Имеем:

/»N п—-i—п( г, Л) - п((1 - 8) г, Л) -—Л—п( г, Л) -—п((1 - ¿) г, Л)\ п0(Л) = lim lim ;-^-> lim lim —-—-—- - lim - ' =

¿^0 г^ж 8Г ¿^0 уг^ж 0Г г^ж ог )

W п(Л) ,м^п((1 - S) г, Л) \ _/ п(Л) _.п(Л) \

= lim - (1 - 5) lim ^-¿¿—t = lim - (1 - = п(Л).

¿^0 у £ г^ж (1 - 8)8r J 6^0 \ 8 8 )

Таким образом, п(Л) ^ п0(Л).

Неравенство п(Л) ^ п(Л) следует непосредственно из определения этих величин.

Для доказательства (1) осталось показать, что п0(Л) ^ п(Л). Пусть 8 € (0,1). Имеем:

п( , Л) - п((1 - ) , Л) п( , Л) п((1 - ) , Л)

lim --- ^ lim —---(1 - 8) lim ---=

г^ж 8г г^ж 8г г^ж 8г

= ^Л) - (1 - S)п^ = п(Л).

8 8 Отсюда следует требуемое неравенство. Лемма доказана.

Пусть Л = (Лк}ж=1 и Л = (Лп}ж=1. Если Л является подпоследовательностью Л, то будем писать Л С Л. Доказательство следующего утверждения опирается на метод, изложенный при доказательстве леммы 5 в работе [1].

Лемма 2. Пусть г > 0 и Л = (Лга}ж=1 такова, что п0(Л) > т. Тогда существует, последовательность Л С Л, имеющая плотность т.

Доказательство. Поскольку аргументы членов Л не влияют на ее всевозможные плотности, то можно считать, что вся последовательность Л лежит на неотрицательной вещественной полуоси. Можно также считать, что т > 0, т.к. случай т = 0 тривиален.

Пусть а = 1/т, и Лт — набор всех членов Л, принадлежащих полуинтервалу [(т - 1)а, та) , т > 1. Последовательность Л будем искать в виде объединения Л = Um> 1 Лт, где Лт — подмножество Лm. Множества Лт, т > 1, будем строить по индукции так, чтобы выполнялось следующее требование: для каждого т > 1 общее число точек множеств Л1,... , Лт должно быть меньше или равно т.

Пусть т =1. Если Л1 не пусто, то из Л1 произвольным образом выберем одну точку Лга(1), и положим Л1 = Лга(1), Л1 = (Л1}. В противном случае, полагаем Л1 = 0. По построению, число точек множества Л1 не превосходит единицы.

Предположим, что мы уже построили множества Лт для всех т < р, число точек в которых удовлетворяет указанному выше требованию. Определим Лр. Если общее число точек множеств Л1,... , Лр-1, Лр меньше или равно р, то в качестве Лр возьмем множество Лр. В противном случае, в качестве Лр выберем произвольное подмножество Лр такое, что общее число точек множеств Л1,...,Лр будет равно р. Таким образом, требование, наложенное выше, выполнено.

Покажем, что наше построение корректно, т.е. на последнем этапе в множестве Лр всегда найдется необходимое количество точек. Предположим, что это не так. Другими словами, для любого подмножества Лр (в том числе и пустого) множества Лр, общее количество точек множеств Л1,... , Лр не равно р. Тогда для любого Лр С Лр общее число точек из Л1,... , Лр либо строго меньше р, либо строго больше р. Первый случай невозможен, так

как для Лр = Лр на последнем этапе построения, предполагается, что общее число точек Л1,... , Лр строго больше р. Второй случай также невозможен, так как по допущению индукции, общее число точек множеств Л1,... , Лр-1 меньше или равно р — 1, и, следовательно, для Лр = 0 общее число точек Л1,... , Лр также меньше р. Таким образом, доказали корректность построения.

Покажем что Л — искомое множество, т.е. Л С Л и п(г, Л)/г ^ т при г ^ ж. Первое верно по построению. Покажем второе. Пусть г > 0 и д(г) обозначает максимальное натуральное число, для которого верно неравенство ад(г) ^ г. По построению величина п(а(д(г) + 1), Л) совпадает с общим числом точек множеств Л1,... , Лд(г)+1, которое согласно наложенному выше требованию не превосходит д(г) + 1. Следовательно,

-п(г, Л) —— п(а(д(г) + 1), Л) -— д(г) + 1 1

п(Л) = lim--— ^ lim-——-— ^ lim--- = — = т. (2)

г^те г г^те ад(г) г^те ад(г) а

Докажем теперь неравенство п(Л) > т .В силу (1) достаточно доказать, что п0(Л) > т. Фиксируем е > 0. Согласно условию леммы и определению ^(Л) найдем 80 > 0 такое, что

п(г, Л) - п((1 - 8')г, Л) ~ . . г .

lim ;-^-^^ > п0(Л) - £ > т - £, 8' е (0,^о). (3)

r^-те Ol

Пусть г > 0. По построению Лр С Лр. Обозначим через р(г) максимальный номер, такой, что ap(r) ^ г и Лр(г) является собственным подмножеством Лр(г). Можно считать, что при больших г такой номер существует, т.к. в противном случае последовательности Л и Л совпадают. Тогда требуемое неравенство выполнено по условию: п0(Л) = п0(Л) > т. Фиксируем 8 е (0,$0). Выберем последовательность rj ^ <х такую, что

lim п(г, Л) - п((1 - 8)г, Л) = lim n(Tj, Л) - п((1 - 8)г3, Л) (4)

г^те 8г З^те 5Vj

Согласно построению и выбору чисел р(г) и д(г) пересечения полуинтервала [ар(г), ад(г)) с множествами Л и Л совпадают. Поэтому верно равенство

п(ад(г), Л) - п(г, Л) = п(ад(г), Л) - п(г, Л), ap(r) ^ f <ад(г). (5)

Пусть 8' е (0,$). Тогда в силу определения д(г) найдется г(8') > 0 такое, что (1 - 8')г' > (1 - 8)г при г > г(8'), где г' = ад(г). Если ap(rj(k)) ^ (1 - ö)rj(k) для некоторой подпоследовательности [rj(k)}, то из (3)-(5) получаем:

lim п(г, Л) - п((1 - 8)г, Л) = lim n(rm, Л) - n((1 - 8Ут, Л)

^те 8г к^те $rj(k)

> lim n(aq(rm),Л) - n((1 - ö)rm,Л) = lim aq(rm),Л) - n((1 - ö)rm,Л) >

> к^те 8r-j(k) г^ж 8r-j(k) >

v п(ад(г), Л) - п((1 - 8)г, Л) S\. r' in(r',Л) - n((1 - У,Л)

> lim --- > — lim —----— =

r^-те 8r 8 г^те т8'Т'

8' п(ад(г), Л) - п((1 - 8')г', Л) 8'. . = I ^--> 7(Г - £).

Так как последнее неравенство верно для любого 8' е (0,$), то

lim п(г-Л) - "f - Л) > г - „ (6)

г^те 8Г

Таким образом, можно считать, что ap(rj) > (1 — для всех ] > 1. Переходя к подпоследовательности, можно также считать, что

Тогда имеем

n(r-j, Л) — niapirj), Л) n(r-j, Л) — niapirj), Л)

lim —^—-—--- = lim —^—-—---.

or-j з^^ dr-j

n{j-j, Л) — n(ap(rj), Л) + n(ap(rj), Л) — n((1 — S)r-j, Л)

3^^ Srj

= lim njrj, Л) — njapjrj), Л) + lim njapjrj), Л) — n((1 — S)rj, Л) (7)

j^tt Srj Srj

Оценим слагаемые в (7) по отдельности. Так как ap(rj) € ((1 — S)rj,rj), то, переходя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что p(rj)/rj сходится к некоторому 7, причем a'j Е [1 — S, 1]. Рассмотрим второе слагаемое из (7). В силу выбора числа р(г) множество Лр(г.) является собственным подмножеством Лр(г.). Тогда по построению верно равенство n(ap(rj), Л) = p(rj). Кроме того, согласно требованию, наложенному при построении, выполнено неравенство n(am(rj), Л) ^ m(rj), где m(rj) — минимальное натуральное число, такое, что am(rj) > (1 — S)rj. Следовательно,

n(ap(r-j),Л) — n((1 — S)r-j, Л) > lim p(r-j) — m(r-j) = 7 — 1 — 8 Srj ~ з^Ж Srj S aS

Если а7 = 1, то из (8), (7) и (4) получаем

lim П(Г,Л) — П((1 — ^Л) > г. (9)

Sr

Пусть а7 < 1 и S Е (0,1 — ) С (0,$). Тогда существует номер j0 такой, что ap(r-j) ^ (1 — S)rfj, j > j0, где r'j = aq(r-j). Поэтому с учетом (5) и (3) получаем:

n(rj, Л) — n(ap(rj ,S), Л) n(aq(r-j), Л) — п((1 — S)r', Л)

lim —---н———-—- > lim -----=

з^Ж Srj j^tt Srj

S r> (n(r>, Л) — n((1 — S)r;, Л)) S

= - lim—--s-- > - (r — e).

О T'jSir'j 0

Отсюда и из (4), (7), (8) имеем:

п(г, Л) — n((1 — S)r, Л) 7 1 — S S .

Jim -^-^ > j--- + -(r — e).

dr 0 ao 0

Так как а = 1/т и S может быть сколь угодно близким к 1 — < S, то

п(г, Л) — п((1 — S)r, Л) 1 — S 1 — а^у. 1 —

lim ;-^-> —-т--— т +-—t (т — £) = т--—t£ > т — е.

Sr ООО о

Таким образом, с учетом (9), (6) и произвольности числа е > 0 получаем неравенство По (Л) > т .С учетом (1) и (2) это завершает доказательство леммы. Пусть Л = (Afcи г > 0. Положим

V (г, А)= £ ^

0<|Afc|<r К

В дальнейшем будем рассматривать только вещественные последовательности Л и представлять их в виде Л = П U S, где П = {шk}Ж=1 и £ = }Ж=1 пронумерованы в порядке неубывания модулей их членов и состоят соответственно из неотрицательных и отрицательных членов Л.

Лемма 3. Пусть Л = П и где П и 2 имеют одинаковую плотность т. Тогда для любого £ > 0 существует г(е) такое, что для любых г2 > г1 > г(е) верно неравенство:

¡V(г2, Л) - V(г1} Л)| ^ 1и(г2/г1) + е.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что ши = 0, к > 1. Согласно представлению Л. Эйлера имеем:

1

У^ 1 = ln п + ß + е(п),

к= 1

(10)

где [3 — постоянная Эйлера и е(п) ^ 0 при п ^ то. По условию П и 2 имеют плотность т, т.е. справедливы равенства:

шк = | = к/(т + 8' (к)), & = | = -к/(т + 5" (к)), (11)

п(г, П) = тг + е'(г)г, п(г, 2) = тг + е"(г)г, (12)

где 8'(к),8" (к) ^ 0 при к ^ то и е'(г),е"(г) ^ 0 при г ^ то. Фиксируем е > 0. Выберем номер т такой, что

(к^ ^ ё, ^''(к^ ^ ё, |ф)| ^ е, к,п > т. (13)

Выберем теперь г(ё) > 0 так, что

п(г1, П) > т, n(r1, S) > т, ln Тогда из (10)-(14) получаем:

|У(Г2, Л) - V(п, Л)| =

т + d (Г2)

Т + £' (fi)

ln

т + £' '(Г2)

Т + £' '(п)

^ ё, r2 > ri > г(ё). (14)

п(г2,П) , г//7\ П(Г2,^) ЯНП\

л т + 8' (к) л т + 8" (к)

1-

k=n(ri,Q) + i

<

n(r2,Q)

£

т

n(r2

к

k=n(ri,Q,)+i k=n(ri ,с,)+1

+

п(г2,П)

£

к=п(г1,П)+1

18' (fc)|

k=n(ri,^)+i

n(r2,B)

к

<

+ z

k=n(ri,r)+i

18' '(fc)|

^ т

П(Г2, П) П(Г2, S) ln —;-— — ln

n(ri, П) n(ri, S)

n(r2, П) + 4re + £ ln , 2 ' + £ ln

n(ri, П)

n(r2, S) i 2

+ 4e2 ^

n(ri, s)

Г2

^ 6тё + 2ёln — + 6e2, r2 > ri > r(£). ri

Отсюда легко получаем требуемое неравенство. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть Л = П U S, где П и S имеют одинаковую плотность т. Тогда существует множество нулевой плотности Т С Л, такое что

lim (V(г, Л) - V(г,Т)) = 0.

Доказательство. Если т = 0, то Л имеет нулевую плотность. В этом случае утверждение леммы становится тривиальным, т. к. в качестве Т можно взять Л.

Пусть т > 0. Последовательность Т С Л, Т = {tp} будем искать в виде объединения Т = Um>iTm, где Tm = {tp}p=^+m)-i. Множества Тт будем строить по индукции. Пусть

т = 1. В качестве Ti = {tP}p=I)-ii)=i возьмем набор, состоящий из всех элементов Л, принадлежащих интервалу (-2, 2). Предположим, что мы уже построили множества Тт для всех т < I. Определим теперь 7]. Рассмотрим два случая.

1) v(21, Л) -Y,Pp{=\-1 1/tP > 0.

к

к

a) Если

р(0-1 , , V, Л) - Е ± > о,

Р=1 Р <21

то в качестве Т возьмем набор (он может оказаться пустым) всех элементов П, принадлежащих полуинтервалу [2г-1, 2г).

b) Пусть

р(0-1

V(2',Л) - I-1 - Е <0.

Р=1 Р 21-1^Шк<21 к

Тогда полуинтервал [2г-1, 22) содержит точки ш* последовательности П. Через к(1) обозначим минимальный из номеров к, для которых ш* > 2г-1. В качестве Т возьмем набор элементов ш*(1),... ,ш*'(1), где к'(1) — минимальный номер, удовлетворяющий неравенству

Р(0-1 к'(1)

"(2',Л)- £ £<0.

Р=1 Р к=к(1)

В силу выбора к'(1) точка шу(1), а вместе с ней и все элементы набора Т принадлежат

полуинтервалу [2г-1, 21).

Р(!)-1

2) V(21, Л) - £ 1Ар < о.

Р=1

а) Если

р(0-1

VС* Л) I - £ 1 < 0,

Р=1 Р -21<Цп^-21-1

то в качестве Т возьмем набор всех элементов 2, лежащих на полуинтервале (-2г, -2г-1]. Ь) Пусть

р(0-1 1 1

V(2-, Л) - £ I - £ I > 0.

Р=1 Р -2*<?„ <-2'-1 ^

Тогда полуинтервал (-2г, -2г-1] содержит точки последовательности 2. Через п(1) обозначим минимальный из номеров п, для которых ^ - 2г-1. В качестве Т возьмем набор элементов $,п(1),... , (I), где п'(/) — минимальный номер, удовлетворяющий оценке

р(1)-1 п' (I)

V(21, Л) - £ 1 - £ 1 > 0.

Р=1 Ър п=п(1)

В силу выбора п'(/) точка шу(1), а вместе с ней и все элементы набора Т принадлежат полуинтервалу [2г-1, 21).

Таким образом, последовательность Т полностью определена. Отметим, что по построению реализуется одна из двух следующих возможностей:

a) величина V(2т,Л) - V(2т,Т) сохраняет знак (числу 0 мы приписываем знак " + ") при переходе от т = I - 1 к т = I (/ > 1), и тогда выполнено неравенство

IV (21, Л) - V (2г,Т)| ^ IV (2г-1, Л) - V (21-1,Т )|, (15)

а набор Т состоит из всех элементов Л того же знака, что и величина V(2г, Л) - V(21,Т), лежащих в кольце В (0, 21) \ В (0, 21-1).

b) величина V (2т, Л) - V (2т, Т) меняет знак при переходе от т = I- 1 кт = /, и тогда имеет место оценка (она является следствием выбора номеров к'(1) и п'(/))

IV(2г,Л) - V(2г,Т)| ^ 1/шк'(0(1/|£п>(о!) ^ 1/2г-1. (16)

Предположим, что для некоторого номера т(0) величина V(2т, Л) — V(2т, Т) сохраняет знак для всех т > т(0), например, " + ". Тогда часть последовательности Т, состоящая из элементов, лежащих вне круга В(0, 2т(0)), совпадает с соответствующей частью последовательности П. Поэтому в силу (15) сходится ряд £ 1/Это означает, что п/£п ^ 0 при п ^ то, т.е. последовательность 2 имеет нулевую плотность. Получили противоречие с тем, что т > 0.

Таким образом, найдется последовательность номеров т(^), ] > 1, такая, что величина V(2т, Л) — V(2т, Т) меняет знак при переходе от т = т(?) к т = т(?) + 1. Тогда из (15) и (16) следует, что

IV(2т Л) — V(2тТ0, т ^ то. (17)

Докажем теперь, что Т имеет нулевую плотность. Пусть вт — число элементов набора Тт. По построению все имеют одинаковый знак и лежат в кольце В(0, 2т) \ В(0, 2т—1). Следовательно, с учетом (17) и леммы 3 получаем:

р(т,+ 1) — 1

■ ' IV(2т,Т) — V(2т-1,Т)| < IV(2т Л) — V(2т-1,Л)| +

<

Т. I

р=р(т) ^

+ | V(2т,Л) — V(2т,Т)| + IV(2т-1,Л) — V(2т-1,Т)| ^ 0, т ^ то. Фиксируем е > 0. Тогда существует номер т(е) такой, что

зт/2т < е, т > т(е). (18)

Пусть г > 2т(е) и п — минимальный из номеров, для которых г < 2га. Тогда в силу (18)

п(г,Т) п(2т(£),Т) п(2га,Т) — п(2т(£),Т) _ п(2т(е),Т) ^ 2П— 1

+ в ТО(в)+1 + в ТО(в)+2 + ■ ■ ■ + ^ < п(2-(£),Т) + ^ / + 1 _ 1 N

2га—1 < г V 2 2га—'т(е)—1 у .

Отсюда следует, что п(Т) < 2е. Поскольку £ > 0 любое и п(Т) > 0, то это дает нам требуемое равенство п( Т) = 0.

Осталось показать, что V(г, Л) — V(г, Т) ^ 0 при г ^ то. Пусть г > 2. Выберем номер т такой, что 2т < г < 2т+1. По доказанному Т имеет нулевую плотность. Поэтому для последовательности Т, как и для Л, верно утверждение леммы 3. Тогда учетом (17) имеем:

^(г,Л) — V(г,Т)| < ^(2т,Л) — V(2т,Т)| + ^(г,Л) — V(2т,Л)| + + ^(г,Т) — V(2т,Т)| < |V(2т,Л) — V(2т,Т)| + 2е(г)(1п 2 + 1) ^ 0, г ^ то. Лемма доказана.

Напомним, что множество Л = П и 2 называется правильно распределенным (см. [2], гл. II, §1), если последовательности П и 2 имеют плотности и существует V(г, Л).

Теорема 1. Пусть т > 0 и Л = П и 2 такие, что п(П) > т и п(2) > т. Тогда существует правильно распределенное множество Л С Л, Л = П и 2, где П и 2 имеют, одинаковую плотность т и V(г, Л) = 0.

Доказательство. Согласно лемме 2 существует последовательность Л' С Л, Л' = П' и2' такая, что п(П') = п(2') = т. Тогда по лемме 4 найдется последовательность Т С Л', удовлетворяющая условию V(г,Л') — V(г,Т)) = 0. Таким образом, Л = Л' \ Т

обладает всеми необходимыми свойствами. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь некоторые применения теоремы 1.

Пусть / — целая функция экспоненциального типа (т.е. существуют А, В > 0 такие, что верна оценка |/(<г)| < А + В|г|, г Е С). Верхним индикатором / называется функция

^( Л)=Иш1п |/(гЛ)/, Л е С.

4—>оо

Индикатор hf является выпуклой положительно однородной порядка один функцией, которая совпадает с комплексной опорной функцией Нк некоторого выпуклого компакта К (другими словами, с обычной опорной функцией комплексно сопряженного с К компакта), называемого сопряженной диаграммой f (см., напр., [3], гл. I, §5, теорема 5.4):

hf ( Л) = Нк(Л) = supRe(Xz), Л е C.

zeK

Говорят (см. [2], гл. III), что f имеет регулярный рост, если

hf ( Л)= lim ln | f(tЛ)/, Л е C,

где Е — множество нулевой относительной меры на луче (0, т.е. мера Лебега его

пересечения с интервалом (0, г) бесконечна мала по сравнению с г при г ^

Пусть К — выпуклый компакт. Точки z(p) пересечения опорной прямой /( p) = {z : Re(ze%v = Нк(ег^)} и границы дК называются точками опоры прямой /(p).

Согласно теореме 4 главы III книги [2] функция f имеет регулярный рост тогда и только тогда, когда ее кратное нулевое множество Л (т.е. каждый нуль f встречается в Л столько раз, какова его кратность) является правильно распределенным. При этом, если Л является вещественным (Л = П U £), то имеют место равенства (см. [2], гл. II,§1, формула (2.07))

п(П) = Sk(|i,|2)/2^, —^/2 < pi < p2 < ^/2, n(£) = SK(|i, |2)/2^, -n/2 < pi < p2 < 3n/2, где К — сопряженная диаграмма, а Sk (pi, p2) — длина дуги границы дК (измеряемая по часовой стрелке) между точками опоры z(pi) и z(p2). Отметим, что для всех указанных pi,p2 величина Sk (pi, p2) постоянна. Это возможно в том и только том случае, когда К является вертикальным отрезком длины 2жт, где г = п(П) = п(£).

Теорема 2. Пусть f — целая функция экспоненциального типа с вещественным нулевым множеством Л = П U £. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) Выполнены неравенства п(П) > г, п(£) > т.

2) Верно представление f = /i/2, где fi, f2 — целые функции экспоненциального типа, fi является функцией регулярного роста, ее сопряженная диаграмма представляет из себя вертикальный отрезок длины 2жт, и hf2 = hf — hf1.

Доказательство. Пусть верно утверждение 1). Тогда по теореме 1 существует правильно распределенное множество Л С Л, Л = Пи £, где Пи £ имеют одинаковую плотность т. Через fi обозначим каноническую функцию множества Л. Она имеет экспоненциальный тип и регулярный рост (см. [2], гл. II, теорема 4). При этом, как отмечалось выше, сопряженная диаграмма fi совпадает с вертикальным отрезком длины 2^г. Положим /2 = f /fi. Поскольку нулевое множество fi — часть нулевого множества /, то /2 является целой функцией. Тогда согласно следствию 2 из теоремы 5 главы III книги [2] верно тождество hf2 = hf — hf1. Из него, в частности, следует, что /2 имеет экспоненциальный тип.

Пусть теперь верно утверждение 2). Тогда нулевое множество Л = Пи £ функции fi удовлетворяет равенствам п(П) = п(£) = т. Так как Л является частью Л, то отсюда получаем: п(П) > т, п(£) > т. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть f — целая функция экспоненциального типа с вещественным нулевым множеством Л = П U £ , где П и £ имеют плотности. Тогда верно представление f = hf2, где fi, f 2 — целые функции экспоненциального типа, fi является функцией регулярного роста, ее сопряженная диаграмма представляет из себя вертикальный отрезок, hf2 = hf — hf1 и нулевое множество f2 имеет нулевую плотность.

Доказательство. Покажем вначале, что плотности П и £ одинаковы. Поскольку f имеет экспоненциальный тип, то по теореме Линделефа (см. [2], гл. I, теорема 15) существует

с> 0 такое, что IV (г, Л )| ^ с, г > 0. Пусть п(П) = т и п(2) = 7. Предположим, что т = 7, например, т >7 (случай т <7 разбирается аналогично). Как и в лемме 3, имеем (не ограничивая общности, можно считать, что 0 ^ П):

„, ^ ^ г + й'(к) ^ 7 + 8"(к) , . , ,

V(г, Л)= > -—^ - > --—^ = г1пп(г, П) - 71пп(г, 2) +

к

к=1 к=1 ) л'/м Пг'3) я" ал

+ Е ^ - £ ^)) - ^,2)), к=1 к=1

п(г, П) = тг + е'(г)г, п(г, 2) = тг + е"(г)г,

где е(к), 8'(к), #''( к) ^ 0, к ^ то и е'(г),£"(г) ^ 0, г ^ то. Фиксируем е > 0. Выберем номер т такой, что 18'(к)1 ^ е, |''(к)| ^ е,|е(п)| ^ е, к, п > т. Выберем теперь г(е) > 0 так, что п(г, П) > т, п(г, 2) > т, г > г(е). Тогда из предыдущего с учетом (10) получаем

| V(г, Л)| > (г - 7)lnr - r| ln(r + ee/(r))| -7| ln(7 + e"(r))| - 4 ^ 1 S'(^ + 1S" (k)

m

к=1

-2elnr - e| ln(r + e'(r))| - e e| ln(7 + e"(r))| - 2e - 2f3, r > r(e).

Отсюда следует, что ^(г, Л)| ^ то при г ^ то. Получили противоречие с ограниченностью ^(г, Л)|. Таким образом, последовательности П и £ имеют одинаковую плотность т.

Как и в теореме 2, верно представление f = f1 f2, где f1, f2 — целые функции экспоненциального типа, f1 имеет регулярный рост, ее сопряженная диаграмма является вертикальным отрезком длины 2п т, и hf2 = hf - hf1. При этом Л = Л U Л', где Л = Пи £,Л' — нулевые множества соответственно функций f1, /2, и п(П) = п(£) = т. Поскольку плотности последовательностей П и £ также равны т, то отсюда получаем

п(г, Л') п(г, Л) — п(г, Л) п(r,Q) + п(г, 5) — п(г, П) — п(г, £)

lim —-—-—= lim —-—-—--= lim —-—-—----= 0.

f f f

Теорема доказана.

Пусть D — выпуклая область в C, Н(D) — пространство функций, аналитических в D с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах из D, и Н*(D) — пространство, сильно сопряженное к Н(D). Через Pd обозначим пространство целых функций экспоненциального типа, сопряженные диаграммы которых лежат в области D. Преобразование Лапласа /( А) = i/(exp(Az)) устанавливает изоморфизм (см., например, [4], гл. III, §12, теорема 12.3) между H*(D) и Pd.

Пусть Л = {Ак }Х=1 и £ (Л) = [zn-1 exp( Ак £)}П=1к, где перебираются все различные точки Ак, и п(к) — кратность Ак (т.е. число элементов последовательности Л, совпадающих с Ак). По теореме Хана-Банаха система £ (Л) не полна в пространстве Н(D) тогда и только тогда, когда существует ненулевой функционал v Е Н* (D), который обращается в ноль на элементах системы. Таким образом, неполнота £ (Л) равносильна существованию функции f Е Pd, которая обращается в ноль в точках Ак с кратностью, не меньшей чем п(к), к = 1, 2,... Если область D пуста, то для удобства будем считать, что любая система £ (Л) полна в Н( D).

Пусть т > 0, 1(т) = [-гпт,шг], и D(r) обозначает выпуклую область, которая заметается при движении отрезка ( ) внутри D. По определению имеет место вложение D(t) С D. Область D(r) является пустой, если ни один из сдвигов отрезка 1(т) не лежит в D. Очевидно, верно представление D(r) = D'(г) + /(г), где

D'(г) = {z Е C : Re(zX) < Нв(А) - пт11тА1 УА : |А| = 1},

жт\ImX\ — опорная функция отрезка I(т).

Теорема 4. Пусть т > 0, D — выпуклая область, и Л = П U £ — вещественная последовательность такая, что п(П) > г, п(£) > т. Система £ (Л) полна в Н(D) тогда и только тогда, когда она полна в Н(D(r)).

Доказательство. Пусть £ (Л) не полна в пространстве Н (D(t )). Тогда существует целая функция f экспоненциального типа, обращающаяся в ноль в точках с кратностью, не меньшей чем п(к), к = 1, 2,..., сопряженная диаграмма которой лежит в D(t ). Поскольку D(t ) С D, то f G Pd . Отсюда следует, что £ (Л) не полна в пространстве H(D).

Пусть теперь £ (Л) не полна в Н(D). Тогда найдется f G Pd , которая обращается ноль в точках с кратностью, не меньшей чем п(к), к = 1, 2,... Покажем, что f G Pd(t).

Согласно теореме 1 существует правильно распределенное множество Л С Л, Л = П U £, где П и £ имеют одинаковую плотность т. Через fl обозначим каноническую функцию множества Л. Она имеет экспоненциальный тип и регулярный рост, а ее сопряженная диаграмма К1 представляется в виде I(т) + z0 (z0 — некоторая точка плоскости). Положим f2 = ///ь Поскольку нулевое множество fl — часть нулевого множества f, то f2 является целой функцией. Тогда согласно следствию 2 из теоремы 5 главы III книги [2] верно тождество hf2 = hf — hf1. Из него, в частности, следует, что f2 имеет экспоненциальный тип. Пусть К и К2 — сопряженные диаграммы соответственно функций f и f2. Тогда

НК2 = hf2 = hf — hfi = Нк — HKi.

Следовательно, Нк = Нк1 + Нк2, т.е. К = К1 + К2 = I(т) + z0 + К2 С D. Таким образом, если z G К, то z принадлежит сдвигу отрезка I(т), лежащему в области D. Это означает, что верно вложение К С D(t ). Отсюда следует, что £ (Л) не полна в Н (D(t )). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кривошеев А.С., Кривошеева О.А. Замкнутость множества сумм рядов Дирихле // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, № 3. С. 96-120.

2. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат. 1956.

3. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983.

4. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. 1982.

Айдар Ирекович Абдулнагимов,

ФБГОУ ВПО "Уфимский государственный авиационный технический университет ул. К. Маркса, 12, корпус 1, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: buffonishe@mail.ru

Александр Сергеевич Кривошеев, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: kriolesya2006@yandex.ru