Точность оценок для k-порядка ряда Дирихле в полуполосе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 15-24.

УДК 517.53

ТОЧНОСТЬ ОЦЕНОК ДЛЯ К-ПОРЯДКА РЯДА ДИРИХЛЕ

В ПОЛУПОЛОСЕ

Н.Н. АИТКУЖИНА, А.М. ГАЙСИН

Посвящается памяти профессора Игоря Федоровича Красичкова-Терновского

Аннотация. Изучаются ряды Дирихле, сходящиеся лишь в полуплоскости, последовательность показателей которых допускает расширение до некоторой «правильной» последовательности. Доказана точность двусторонних оценок k-порядка суммы ряда Дирихле в полуполосе, ширина которой зависит от специальной плотности распределения показателей.

Ключевые слова: k-порядок ряда Дирихле в полуполосе, целые функции с заданной асимптотикой на вещественной оси.

Mathematics Subject Classification: 30Д10 Пусть Л = {Лп} (0 < Лп t го)—последовательность, удовлетворяющая условию

т^ ln n тт

lim —— = H < го. (1)

n^œ Лп

При изучении целых функций

œ

F (s) = ^ aneKs (s = a + it), (2)

n=1

определённых всюду сходящимися рядами Дирихле, в своё время Риттом было введено понятие R-порядка [1]:

-— lnln M (a) pu = lim -,

ст^+œ a

где M (a) = sup |F (a + it)|. Отметим, что в силу условия (1) ряд (2) сходится во всей

|t|<œ

плоскости абсолютно. Известно, что ln M (a)—возрастающая выпуклая функция от a, lim ln M (a) = +го. Величина

— ln+ ln Ms (a) . + .

ps = lim - (a+ = max(a, 0))

ст^+œ a

называется R-порядком функции F в полосе S (a, to) = {s = a + it : |t — t0| < a}. Здесь Ms (a) = max |F(a + it)|.

|t-to|<a

N.N. Aitkuzhina, A.M. Gaisin, Exactness of estimates for ктн order of Dirichlet series in a semi-strip.

© Аиткужинл Н.Н., ГАйсин А.М. 2015.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 15-01-01661), Программы фундаментальных исследований Отделения математики РАН «Современные проблемы теоретической математики»: проект «Комплексный анализ и функциональные уравнения»).

Поступила 6 октября 2015 г.

В [2] приведены достаточные условия на Л и величину а, при выполнении которых Pr = Ps . Наиболее общий результат о связи между величинами Pr и ps установлен А.Ф. Леонтьевым [3].

Аналогичные вопросы в случае, когда H = 0, а область сходимости ряда (2) — полуплоскость П0 = {s = а + it : а < 0}, исследованы А.М. Гайсиным в [4].

При H = 0, если ряд (2) сходится в полуплоскости П0, то он сходится в П0 и абсолютно. Тогда сумма ряда F аналитична в данной полуплоскости. Класс всех неограниченных аналитических функций, представимых рядами Дирихле (2), сходящимися лишь в полуплоскости П0, обозначим через Д0(Л).

Пусть S(а, t0) = {s = а + it : |t — t0| < а, а < 0}—полуполоса. Величины

-— ln+ ln M (а) -— ln+ ln Ms(a)

Pr = lim -—--, ps = lim -—--

a^o- |а|-1 a^o- |а|-1

называются порядками по Ритту функции F в полуплоскости П0 и полуполосе S(a,t0) [4]. В дальнейшем Pr и ps будем называть порядками в полуплоскости и полуполосе. Если это необходимо, вместо pR и ps будем писать pR(F) и ps(F). В [4] показано, что условие

lim n ln n = 0

n^<re An

достаточно для того, чтобы порядок Pr любой функции F £ Do (Л) был равен

Pr = lim lnAnln+ |an|. (3)

n^^ An

Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность D. Тогда

те ( z2 \

L(z) ^ П ( 1 — р) (z = x + iy)

n=l n'

— целая функция экспоненциального типа. Если h(p) — индикатриса роста, а т — тип функции L, то т = h(+2) < nD* (D* — усредненная верхняя плотность последовательности Л) [2]. Предположим, что

|L(x)| < eg(x) (x > 0), lim g(x)lnX = 0, (4)

ж^+те X

где g - некоторая неотрицательная на R+ = [0, то) функция. В этом случае сопряжённая диаграмма функции L есть отрезок I = [—tí, tí], h(ip) = т| sin <^|. В [4] доказана следующая

Теорема I. Пусть функция L удовлетворяет условиям (4) и имеет тип т (0 < т < то). Положим q = q(L), где

q(L) = lim An ln

n^<re An

L (An)

(5)

Тогда порядок рз в полуполосе Б (а, ¿о) при а > т и порядок рд любой функции ^ £ Do(Л) в полуплоскости П0 удовлетворяют оценкам

рз < рд < рз + д. (6)

1

Левая оценка в (6) точна [4]. Но в общей ситуации правая оценка не точна, более того, пара условий (4) может и не выполняться. Однако может существовать целая функция

экспоненциального типа Q с простыми нулями в точках последовательности Л, для которой условия (4) будут иметь место, причём д^) = д*, где

1

д* = ит ^ [

п^ж Хп } £ 0

д^)—величина, определяемая точно так же, что и д(Ь) в (5), а п(Лп; £) — число точек Лк = Лп из отрезка {х : |х — Лп| < £}. Построению таких целых функций Q с заданным подмножеством нулей Л и требуемой асимптотикой на вещественной оси посвящена статья [5]. Оказывается, в терминах специальной плотности С(Я) распределения точек последовательности Л можно указать условия, при выполнении которых справедливы оценки

Рз ^ Ри < Рз + д*

(Ра—порядок в полуполосе Б (а,£0) ширины больше, чем 2пС(Я)), не улучшаемые в классе Д0(Л) [6]. В [7] получены аналогичные оценки для к-порядков. Цель статьи — показать точность этих оценок.

§1. Определения и необходимые факты

Пусть Л = {Лп} (0 < Лп ^ го) — последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность, Ь — класс положительных, непрерывных и неограниченно возрастающих на [0, го) функций. Через К обозначим подкласс функций к из Ь, таких, что к(0) = 0, к(£) = о(£) при £ ^ го, ^ при £ ^ (^ монотонно убывает при £ > 0). В частности, если к € К, то к(2£) < 2к(£) (£ > 0), к(£) < к(1)£ при £ > 1.

К — плотностью последовательности Л называется величина

С(К)=ш£ПЕ ^Л("((£)), (7)

где ш(£) = [£,£ + к(£)) — полуинтервал, дл(ш(£))—число точек из Л, попавших в полуинтервал ш(£).

Пусть П = {ш} — семейство полуинтервалов вида ш = [а, Ь). Через |ш| будем обозначать длину ш. Всякая последовательность Л = {Лп} (0 < Лп ^ го) порождает целочисленную считающую меру дл:

Дл(ш) = ^^ 1, ш € П.

х„еш

Пусть дг — считающая мера, порождённая последовательностью Г = {дп} (0 < Дп ^ го). Тогда включение Л С Г означает, что Дл(ш) < дг(ш) для любого ш € П. В этом случае говорят, что мера дг мажорирует меру Дл.

Через Д(К) обозначим точную нижнюю грань тех чисел Ь (0 < Ь < го), для каждого из которых существует мера Дг, мажорирующая дл, такая, что для некоторой функции к€К

|М(¿) — Ь£| < к(£) (£ > 0). (8)

Здесь Л = {Лп}, Г = {Дп}, М(¿) = Е 1.

В [6] показано, что Д(К) = С(К). Величина

¡■т "5кМ(а)

|а|

называется к-порядком функции ^ € Д0(Л) в полуплоскости П0 = {в : а = Дев < 0} [7]. Здесь ¡п0 £ = ¿, ¡пк £ = 1п ¡п ... ¡п £ (к > 1). Из определения к-порядка (9) видно, что р2 = ри,

к

где ри — Д-порядок в полуплоскости П0 [4].

Рк = ¡пкМ(а) (к > 2) (9)

В [7] доказана Теорема II. Условие

lim Inning = 0 > (10)

п^те Лп

является необходимым и достаточным для того, чтобы для k-порядка pk любой функции F е Do (Л) была справедлива формула

_ in | |

pfc = lim n lnfc-i Л„ (k > 2; 0 ^ рд ^ то). (11)

п^те Лп

Отметим, что формула (3) является частным случаем равенства (11). Аналогично вводится понятие k-порядка pSk) в полуполосе S(a,t0). Для удобства его по-прежнему будем обозначать ps.

Введем в рассмотрение следующие классы функций:

Lk = {h е L : h(x) lnk-1 x = o(x), x ^ то} (k > 2),

a К ^ j/u\ h(x) in h(x) S = < h е K : d(h) = lim —^-^^ < то

1 ™ x lnh(X)

R = {h е S : h(x)ln-^ = — ), x ^ то} (k > 2).

h(x) \lnfc-i x/

В статье [7] была доказана следующая

Теорема III. Пусть Л = {Лп} (0 < Лп t то) — последовательность, удовлетворяющая условиям:

1) Л^ + р) - Л^) < cp + d + +^(x) (р > 0),

ln+ р +1

где Л(x) = ^ 1, ^ — некоторая функция из Lk (k > 2);

Л„<ж

1

2) q* = Um iEk^ / ^^dt < то (k > 2),

п^те Лп J t 0

где п(Лп; t) — число точек Л^ = Лп из отрезка {x : |x — Лп| < t}.

Если Rk — плотность последовательности Л равна G(R), то k-порядок ps любой функции F е D0^) в полуполосе S(a,t0) при a > nG(Rk) и порядок pR этой функции в полуплоскости П0 удовлетворяют оценкам

Ps < Pk < Ps + q* (k > 2). (12)

Оценка ps ^ pk в (12), как известно, точна. Далее речь будет идти о точности неравенства pk ^ ps + q* (k > 2).

§2. Основная теорема о точности оценок для k-порядка

Основным результатом статьи является

Теорема 1. Пусть Л — любая последовательность, удовлетворяющая условиям теоремы III. Тогда существует функция F е D0(Л), для которой pk(F) = ps(F) + q*, где Pk(F) — порядок в полуплоскости П0, а ps(F) — порядок в полуполосе S(a, t0) (а > nG(R)).

Следствие. Пусть последовательность Л удовлетворяет условиям теоремы 1. Для того чтобы для любой функции F е D0^) порядок pk(F) был равен порядку ps(F) в любой полуполосе S(a,t0)(a > nG(R)), необходимо и достаточно, чтобы q* = 0. Для доказательства теоремы 1 нам понадобится

Теорема IV [6]. Пусть Л = {Лп} (0 < Лп t го) — последовательность, имеющая конечную S — плотность G(S). Тогда для любого b > G(S) существует последовательность Г = |^п} (0 < t го), содержащая Л и имеющая плотность b, такая, что целая функция экспоненциального типа nb

Q(z) = П Í1 - 4) (z = x + iy)

n=1 ^ ^n/

обладает свойствами:

1) Q(^) = 0, Q (Лп) = 0 для любого Лп G Л;

2) существует H G S, такая, что:

ln |Q(x)| < AH(x)ln+

x

3) если Л(х) = E 1, и

An< ж

Л(х + р) - Л(х) < ар + b +

H(x) ^(x)

+ B;

ln+ р + 1

(P > 0)

(13)

(14)

(р — любая неотрицательная, неубывающая функция, определённая на луче [0, го), 1 < р(х) < ах 1п+ ж + в), то существует последовательность {гп}, 0 < гп Т го, гп+1 — гп = 0(Н(гп)) при п ^ го, такая, что для х = гп (п > 1)

x

ln |Q(x)| > -CH(x) ln+ -— - 2p(x) - D;

H(x)

4) если

то при условии (14)

д=ит^ /n^dt<го,

п^те Л„ I t

(15)

ln

Q' (Л„)

п(Л„; t)

t

dt

< EH(Л„) ln+

Лп

+

H (Лп)

(16)

+2р(Лп) + Е 1п Лп + Ь (п > 1), где п(Лп; Ц) — число точек Л^ = Лп из отрезка {х : |ж — Лп| < Ц}.

Здесь все постоянные положительны, конечны.

Пусть Л = {Лп} — последовательность, удовлетворяющая условиям теоремы III. Тогда, согласно теореме IV, для любого Ь > ) ) — Я^-плотность последовательности

Л) существует последовательность Г = {^п} (0 < < < ... < ^ го), содержащая Л, такая, что

|М(Ц) — ЬЦ < Н(Ц) (Ц > 0), Н е Д, (17)

причём целая функция экспоненциального типа пЬ

Q(z) = П

п=1

1 - 4

^п

(z = x + iy)

обладает свойствами:

10. Q(An) = 0, Q'(Лп) = 0 (n > 1);

20. ln |Q(x)| < g(x) (x > 0),g G Lfc;

30. при x = rn (n > 1) выполняется оценка

ln |Q(x)| > -CH(x) ln+

x

H(x)

- 2p(x) - D, H G R

i

1

Оценки 20, 30 в теореме III следуют из (13), (15). Но поскольку H G , ^ G , то найдётся функция V G , такая, что при r = rn (r = |z|) (n > 1)

ln |Q(z)|> ln |Q(r)| > —V(r). (19)

Пусть {rn}—последовательность из теоремы IV (при |z| = rn (n > 1) верны оценки (19)). Пусть Дп = (rPn, rPn+1) (n > 1) все те интервалы, каждый из которых содержит хотя бы одну точку из Л (некоторые из интервалов (rn, rn+1), могут и не содержать точек из Л).

Через ГРп (n > 1) обозначим замкнутый контур, образованный дугами окружностей Kpn = {А : |А| = rPn} и Kpn+i = {А : |А| = rPn+i} из угла {А : | arg А| < ^ < f} и отрезками лучей {А : | arg А| =

Для доказательства теоремы 1 понадобятся функции

>(А) = П 1 —

vk еА„

А

Vfc

где Дп = (гРп, гРп+1), V = } = Г \ Л. Последовательность V строится в процессе доказательства теоремы IV и обладает свойствами [6]:

а) inf |v — Vj | > т > 0;

б) inf |АП — vm| >

(7 > 0, n > 1),

т>1 ' " " "

где ^ — функция из условия (14) теоремы IV. Установим оценки для |дга(А)|.

Лемма 1. Существует функция и Е Ьк, такая, что

тах 11п )|1 < и(гРп) (и > 1).

(20)

Действительно, пусть А^ Е Дга,^ и ^ — ближайшие к А^ точки последовательности V, расположенные слева и справа от А^ соответственно. Имеем

Vj — А!

Vj — А!

Vj

>

Y

¥>(2А,-)

ГРп2+1 (А! G Дп).

Так как 1 < <^(x) < ax ln+ x + в, rPn/rPn+1 ^ 1 при n ^ то, то отсюда получаем оценку

1 — 4

V,

1-А!

-L //

> e

-С1-С2 ln r„

где 0 < c < то (i = 1, 2).

Пусть ДП = Дп\{^-, vj }. Тогда

П

vk^A'n vk<xj

vk — А!

Vfc

>

rPn + 1

(А,- G Дп),

)Sn

sn!,

(21)

(22)

где sn — число точек vk < А!, vk G Дп Аналогично,

П

vk^A'n Vk>Aj

vk — А!

Vfc

>

(—)'

VrPn + 1/

l !

bn- 1

(23)

где Zn — число точек vk > А!, vk G ДП. Из (21)-(23) получаем, что при А! G Дп (n > 1)

ЫА!)| > e

—С1—С2 ln Гр

6

pn

— Sn!/n! (0 <6 < 1).

(24)

2

V

n

Если 8ир(зп + /п) < го, то требуемая оценка снизу для |дп(Л^)| очевидна. В противном

п1

случае воспользуемся сначала известной оценкой

(^п + /п)!

8 !/ ! >

пп

2«п +1п

затем — асимптотической формулой Стирлинга: при п ^ го

;п )п ^

¿пп.

Тогда из (24) получим

|9п(Л, )| > ехр (—сз — С21п гРп)

фп + /п)

2ег,

Рп

(п > 1),

где 0 < с < го (г = 2, 3). Полагая 8п + /п = тп, для Л^- е Ап имеем

|9п(Л, )| > ехр —сз — С21п Грп — тп 1п

2ег,

Рп

(25)

где п > 1, тп — число, не превосходящее числа точек V*. из интервала Ап. Так как 0 < гРп+1 — грп < рН(рп)(0 < р < го), то, учитывая свойство а) последовательности V, име-

ем

: тп < с4Н(грп), 0 < с4 < го (п > 1). Далее, —— ^ 0 при ж Т го, а функция ^(х) = ж 1п — (А — положительная постоянная) при 0 < ж < — является возрастающей. Следовательно, из (25) получаем, что для Л^ е Ап (п > по)

1п |?п (Л, )| > —С5 — С2 1п Грп — СбН(Грп )1п

' Рп

Н(Грп)

где 0 < с < го (г = 2,5, 6). Так как Н е , то существует и1 е , что для Л^ е Ап

1п |?п(Л,- )|>—«1(грп) (п > 1). (26)

Оценим 1п |дп(Л^-)| сверху. Для этого заметим, что при п > п1 для любого Л^ е Ап

1 — Л!

V*

< 1 + Гр^ < е.

' рп

Значит для Л! е Ап

1п |?п(Л!)| < тп + 2 < С4Н(грп) + 2 (п > п1). Отсюда следует, что для некоторой функции и2 е

1п |?п(Л!)| < и2(грп) (п > 1).

Таким образом, из (26), (27) окончательно получаем, что

тах 11п |дп(Л,)|| < и(грп) (п > 1),

(27)

л^ е—п

где и = и1 + и2. Лемма 1 доказана.

Положим 7п = Грп (п > 1). Справедлива Лемма 2. Для любого п > 1

Мп = тах1п ЫЛ)| < и(грп),

Лб7п

где и— некоторая функция из . Докажем лемму 2. Для любого Л е 7п, V* е Ап при п > п1 имеем

1 — А

V*

< 1 + ^ < е.

рп

Следовательно, как и в лемме 1, Мп < и2(гРп) < и(гРп) (п > 1). Таким образом, оценка (28) действительно имеет место.

Теперь всё готово для доказательства теоремы.

Доказательство теоремы 1. Пусть 7„ = ГРп (п > 1). Положим рп = гРп, рп = гРп+1. Тогда Д„ = (рП, рП) (п > 1). Рассмотрим ряд Дирихле

те

^(в) = ^ а,еЛ5 (в = а + И), (29)

,=1

рП А qn(Aj)

где для Aj Е Дп (n > 1)

«; = exp((p - q*)^^- ) Qj (j > 1). V lnfc-1 Pn/ Q (Aj)

Здесь Q — функция (18), qn—функция, о которой речь идёт в леммах 1, 2, 0 < р < то, а q* — величина, определённая в теореме III. Так как H Е Rk, ^ Е L, то из оценки (16) теоремы IV следует, что q* = q(Q) > 0, где

q(Q) = lim An In

n^^ An

д' (а„)

Так как рП/рП ^ 1 при п ^ то, з(д) < то, то с учётом (20) получаем, что

ит^пМ = о. а,

Значит, ^ Е (Л). Ещё раз учитывая (20) и пользуясь формулой (11) для вычисления к-порядка р^, имеем:

v- lnfc-1 Aj

pfc(F) = lim ---ln^-1

Aj

1

Q' (Aj)

+ lim ln |qn(Aj)| +

j^^ Aj

lnfc-i Aj

Aj) j^^

+ lim ^(p - q*)^^ = q(Q) + p - q* = p.

1п А,/ *Ч рп

— (р - ЗЬ- '

Оценим теперь порядок ) в полуполосе Б(а,£0) (а > )). Последовательность

Г = нулей функции д имеет плотность Ь (это следует из (17)), С(Я) < Ь. При

заданных С(Д^) и а параметр Ь в теореме IV выберем так, чтобы выполнились оценки

) < ь < а.

Далее, заметим, что

An I £ ajeA'• = е " V-, А f (30)

Aj ед„

f N- . „Ajs ^ ^ f qn(e)

Q(e)

Yn

где Yn — замкнутый контур, образованный дугами окружностей Kp и Kp» из угла {A : | arg A| < < п и отрезками лучей {A : | arg A| = ^n}. Возьмём = е0H(pn)

pn

(0 < e0 < 1). Так как H Е Rk, то ^ 0 при n ^ то. Число e0 выберем так, чтобы

0 < < п (n > 1).

Оценим на контуре Yn функцию (см. в [5]):

gn(Q

Q(0

. Для этого, учитывая (17), применим оценку

S, . ,, r 8п H2(r)

- ln |Q(re-^n)| < 6H(r)ln — ^ 1—г-^ + r > p'no.

H (r) |<£n| r 0

Отметим, что данная «эффективная оценка» произведения Вейерштрасса на лучах справедлива при выполнении единственного требования — условия (17).

Пусть рп < г < рп, п > п0. Так как —^ при г Т, то Н(г) < -Р-Н(рп) < Р8-Н(рп). Значит, при п > п1

- ln |Q(re-*»)| < 12H(рП) ТТТ^^Г + —H(рП) + 3^6.

Н (рп) 1 — " — (31)

На дугах окружностей Кр и Кр» контура 7п выполняются оценки (19). Так как Н е , то с учётом того, что рЩ/рп ^ 1 при п ^ го, из (19), (31) получаем, что для некоторой функции т е

— 1п №(01 < т(рп), е е 7п (п > п1).

Следовательно, применяя лемму 2, получаем оценку

5п(е)

max

Q(C)

< eu(pn)+w(pn) (n > nx),

где и, и> — функции из . Но тогда из (30) при п > п1 имеем

/

|Ап| < 2рпе 1п Рп е«е7п .

Пусть 8 е 5(а, Ц0), е е 7п, 8 = а + й, е = е1 + г£2. Тогда

Е

<pn1

<

£ Ij|eAj* < E I = M,

<Pn1

<Pn1

(32)

(33)

Re Ю = - ¿6 < + (|t0| + a)|1mCI- Так как |1mC| < Pn1 sin < РпЫ = ^öPTH(pj при £ G Yn, то существует d(0 < d < го), такое, что для s G S(a,t0)

max(sC) < ^Pn + dH(Pn^ (n > 1).

Следовательно, из (32)-(34) получаем, что

Мй(а) = max |F(a + it)| < M + Е т«естрП (а < 0),

|i-iö|<a —'

(34)

где

Yn = exp

Ь(2рП) + (p - q*)~ nr + dH(рП) + «(рП) + ЦрП) 1n рп

Введём в рассмотрение вспомогательный ряд

те

Ф(в) = Е Ynespn (s = а + it).

n=1

Так как H, u, w принадлежат Lk, рП/рП ^ 1 при n ^ го, то согласно формуле (11) порядок функции Ф в полуплоскости П0 равен рк(Ф) = р — q*. Но Ms(a) < Ф(а) + M. Значит, р«(Е) < р — q*. Из теоремы III следует, что рк(F) < р«(Е) + q*. Так как рк(Е) = р, то р^(F) = р«(Е) + q*, и тем самым теорема 1 полностью доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. J.F. Ritt On certain points in the theory of Dirichlet series // Amer. J. of Math. 1928. V. 50, № 1. P. 73-86.

2. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955.

3. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

4. Гайсин А.М. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Матем. сб. 1982. Т. 117(159), № 3. С. 412-424.

5. Гайсин А.М., Сергеева Д.И. Целые функции с заданной последовательностью нулей, имеющие правильное поведение на вещественной оси. I // Сиб. матем. журн. 2007. Т. 48, № 5. С. 9961008.

6. Гайсин А.М., Сергеева Д.И. Оценка ряда Дирихле в полуполосе в случае нерегулярного распределения показателей. II // Сиб. матем. журн. 2008. Т. 49, № 2. С. 280-298.

7. Аиткужина Н.Н., Гайсин А.М. Двусторонняя оценка k-порядка ряда Дирихле в полуполосе // Уфимский матем. журн. 2014. Т. 6, № 4. С. 19-31.

Наркес Нурмухаметовна Аиткужина, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: Yusupovan@rambler.ru

Ахтяр Магазович Гайсин, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: Gaisinam@mail.ru