CC BY
7Далее, используя очевидную оценку (и3+1~, V) < к\(и3+\ — V + 1)к, а также неравенства (2) и (12), находим
^n(n - v)(uv - av)
v=0
< ((k + 1)(k + 1)! ((2C)^k+1 + (S*] k!(ns+i - v + 1)ka| <
< («А; + I)!)2 ((2С)к)к+1 + к" " + 1)4 <£•«*. (14)
Введем новую последовательность {Ьп}+=0, положив Ьп = ип — ап. Тогда из формул (4), (5) и (14) получаем неравенство
1 in - v + к \
ТЖ2Д к
V k ) v=0 4
< е. (15)
Таким образом, мы показали, что для любого е > О существует N, такое, что для любого натурального n > N справедлива оценка (1Б), т.е.
1 in - v + k\,
lim —¡- > , )bv = 0.
n+k) V k v
V k ) v=0 4 7
Последнее соотношение означает (по определению), что ^ bn = О (C, k). Отсюда в силу включения (C, k) с P следует, что ^ bn = О (P). Тогда поскольку метод P аддитивен и ^ an = A(P), то ^ un = ^2(bn + an) =
A(P ).
Итак, un = A(P) и un = О при n = jrj, где r целое, r > О, j целое, О < j < k. Применяя утверждение H, получаем ^ un = A(C,k). Ввиду линейности метода (C,k) мы можем теперь заключить, что £ an = YJ(un + (-bn)) = A(C, k). Теорема 1 доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00268).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951; М.: Комкнига, 2006; М.: Факториал Пресс, 2006.
2. Hardy G.H., Littlewood J.E. A further note on the converse of Abel's theorem // Proc. London Math. Soc. 1926. 25, N 2. 219-236.
3. Lorentz G.G. Tauberian theorems and tauberian conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. G3, N 2. 226-234.
4. Мельник В.И. Тауберова теорема о "больших показателях" для метода суммирования Бореля // Матем. сб. 1965. GS, № 1. 17-25.
5. Stieglitz M. Die allgemeine Form der O-Tauber-Bedingung für das Euler-Knopp- und Borel-Verfahren // J. reine und angew. Math. 1971. 24G. 172-179.
6. Степанянц С.А. Лакунарные условия тауберова типа для методов суммирования Чезаро // Матем. заметки. 1999. G5, вып. 1. 118-129.
Поступила в редакцию 19.11.2007
УДК 517.9
ФАКТОРНОРМАЛЬНЫЕ КЛИНЬЯ ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
В.М. Федоров
1. Понятие факторнормального клина. Пусть Е — линейное пространство над полем F действительных или комплексных чисел и задано отношение полупорядка х < у для некоторых элементов х,у € Е, согласованное с линейной структурой, т.е. удовлетворяющее следующим аксиомам:
1) рефлексивности: х < х при всех х € Е;
2) транзитивности: если х < у и у < х, то х < х;
3) однородности: если х < у, то ах < ау при всех а € М+;
4) аддитивности: если х < у, то х + г < у + г при всех г € Е.
Пространство Е вместе с заданным отношением полупорядка называется полуупорядоченным пространством. Ясно, что отношением х ~ у, если х < у и у < х, задается отношение эквивалентности в пространстве Е. Множество элементов г € Е, эквивалентных нулю: г ~ 0, образует подпространство 2 С Е. Множество всех положительных элементов х > 0 полуупорядоченного пространства образует клин К С Е, т.е. выпуклое коническое множество, в котором 2 будет наибольшим подпространством.
Если в линейном пространстве выбран произвольный клин К С Е, то нетрудно проверить, что клин К определяет структуру полуупорядоченного пространства следующим отношением полупорядка: х < у, если у — х € К. При этом множество положительных элементов пространства Е будет совпадать с клином К. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех клиньев в Е и множеством всех отношений полупорядка в Е, удовлетворяющих указанным аксиомам.
Если клин К С Е является собственным, т.е. наибольшее подпространство этого клина тривиально, то мы получаем отношение порядка в пространстве Е, в котором будет выполнена аксиома антисимметричности: если х < у и у < х, то х = у. В этом случае пространство Е называется упорядоченным пространством [1, с. 26].
Пусть (Е, ¥) — двойственность, где ¥ — подпространство сопряженного пространства Е*. Тогда в ¥ определяется отношение сопряженного полупорядка: а < в, если Ша(х) < ^,@(х) при всех х € К. Клин К' С ¥ положительных элементов называется сопряженным* клином. Клин К° С ¥ отрицательных элементов, т.е. К° = —К', называется полярным* клином.
Порядковый интервал {х, у} {х € Е \ х < г < у} = (х + К) П (у — К) в полуупорядоченном пространстве является выпуклым множеством. В случае если отношение х < у не выполняется, порядковый интервал {х,у} = 0 будет пустым множеством.
Определение. Множество А С Е называется порядково выпуклым в полуупорядоченном пространстве, если {х, у} С А при всех х,у € А. Наименьшее порядково выпуклое множество, содержащее А, называется порядково выпуклой оболочкой и обозначается через ог(А).
Порядково выпуклая оболочка ог(А) совпадает с пересечением всех порядково выпуклых множеств, содержащих А. Отметим основные свойства: если множество А С В, то ог(А) С ог(В); если множество А выпукло, то ог(А) выпукло; если множество А симметрично, то ог(А) симметрично; если множество А уравновешено, то ог(А) также уравновешено; если множество А является линейным многообразием над полем М, то ог(А) также является линейным многообразием над полем М.
Доказательство этих свойств легко получается из определений. Их можно также доказать, заметив, что порядково выпуклая оболочка множества А С Е выражается формулой
ог(А)= У {х,у} = (А + К) П (А — К).
х,у£Л,х^у
В самом деле, если Х\,Х2 € (А + К) П (А — К) и г\ < Х2, то существуют такие х,у € А, что х < Х\ < Х2 < у. Отсюда {х1, Х2}С (А + К)П(А — К). Поэтому множество (А + К)П(А — К) будет порядково выпуклым. Так как множество (А + К) П (А — К) содержится в любом порядково выпуклом множестве, которое содержит А, то оно совпадает с порядково выпуклой оболочкой ог(А).
В силу этой формулы для каждого множества А С Е выполняется включение А + 2 С ог{А}. При этом порядково выпуклой оболочкой точки х € Е является класс смежности {х,х} = х + 2 по наибольшему подпространству клина. Так как справедливо равенство
ог(А) = У {х,у} = У х + {0,у — х} ,
х,у£Л,х^у х,у£Л,х^у
то порядково выпуклая оболочка ог(А) содержится в множестве А + ог(К П (А — А)).
Предложение 1. Линейное подпространство М С Е порядково выпукло тогда и только тогда, когда пересечение М П К является экстремальной гранью клина К.
В самом деле, предположим, что М является порядково выпуклым. Тогда если х,у € К и х = х + у € М, то х = Х — у € К П (х — К) = {0, х} и, значит, х € М. Аналогично имеем у € М. Следовательно, х,у € М П К и пересечение М П К является экстремальной гранью клина К.
С другой стороны, если М П К является экстремальной гранью клина и х,у € М, то для каждой точки х + и = у — V € (х + К) П (у — К), п,у € К, мы имеем у — х = и + V € М П К. Поэтому п,у € М П К и, значит,
{х, у} = (х + К) П (у — К) = (х + М П К) П (у — М П К) С М .
Таким образом, подпространство М является порядково выпуклым относительно полупорядка, определяемого клином К.
Заметим, что каждое порядково выпуклое подпространство М содержит наибольшее подпространство клина 2 С М. Действительно, если найдется такой элемент х = 0, что х € 2 и х € М, то мы имеем —Х € 2, и при этом х — Х = 0 € М П К, что противоречит экстремальности М П К.
Кроме того, наибольшее подпространство 2 С К является порядково выпуклым. В самом деле, пусть х < Х < у и х, у € 2. По определению 2 мы имеем х > 0 и у < 0. Отсюда следует х > 0 и х < 0 и, значит, х ~ 0. Таким образом, из предложения 1 вытекает, что наибольшее подпространство 2 является экстремальной гранью клина К.
Предложение 2. Если подпространство М С Е содержится в слабом замыкании клина К — М П К относительно заданной двойственности (Е, ¥), то аннулятор М^ С ¥ является порядково выпуклым подпространством в ¥.
В самом деле, если а, в € К° и Ка + € М±, то Ш.а(х) + (х) = 0 при всех х € М П К, а значит, Ша(х) = Кв(х) = 0 при всех х € М П К. Тогда функционалы а, в € (К — М П К)° и, следовательно, по условию а, в € М^. Отсюда получим, что пересечение М^ П К° является экстремальной гранью полярного* клина К°, и в силу доказанного предложения 1 аннулятор М^ будет порядково выпуклым подпространством в ¥.
Предложение 3. Если Е = Е/М является факторпространством по порядково выпуклому подпространству М, то образ клина К = п(К) есть собственный клин при каноническом отображении п : Е ^ Е, а М есть наибольшее подпространство клина К = К + М.
Действительно, если х + М, —х + М € К, то х = и + у и —х = V + Х, где и^ € К и у,х € М. Тогда и + V € М П К, ив силу предложения 1 получим, что и,и € М П К, т.е. элемент х € М.
Таким образом, отношение полупорядка в пространстве Е задает в факторпространстве Е каноническое отношение порядка: х < У, если у — х € К, где х = п(х) и у = п(у). Нетрудно проверить, что выполнены аксиомы отношения порядка, и, следовательно, факторпространство Е становится линейным упорядоченным пространством.
Определение. Пусть М — порядково выпуклое подпространство в линейном топологическом пространстве Е. Клин К С Е называется факторнормальным относительно подпространства М, если существует такая база фактортопологии в Е Е/М, которая состоит из порядково выпуклых множеств в полуупорядоченном пространстве Е, определяемом клином К.
Клин К называется факторнормальным в Е, если указанное выше условие выполнено относительно наибольшего подпространства 2 С К. Если наибольшее подпространство факторнормального клина равно 2 = 0, то клин К называется нормальным, а топология Е — порядково выпуклой [2, с. 271].
Предложение 4. Клин К С Е тогда и только тогда является факторнормальным в Е относительно порядково выпуклого подпространства М С Е, когда его фактор К = К + М является фактор-нормальным клином в Е.
Для доказательства достаточно заметить, что если Э = {V} }jeJ есть база окрестностей нуля фактор-топологии Ех , состоящая из порядково выпуклых множеств, то имеют место равенства
Vj ± М = Vj , V + К + М) П (V- — К — М) = ог(^-) = Vj .
Отсюда получим, что множества у- порядково выпуклы относительно клина К тогда и только тогда, когда они порядково выпуклы относительно клина К + М.
В дальнейшем, не ограничивая общности, мы будем предполагать, что порядково выпуклое подпространство М совпадает с наибольшим подпространством 2 клина и факторпространство Е = Е/2. Замкнутый клин будем называть конусом. Заметим, что понятие факторнормального конуса К С Е более естественно, чем понятие факторнормального клина, так как его наибольшее подпространство 2 замкнуто и факторпространство Ех является хаусдорфовым.
Предложение 5. Факторнормальность клина K в линейном топологическом пространстве E равносильна одному из следующих условий:
(a) для любой базы B = {Ui}i^i окрестностей нуля топологии в E порядково выпуклые оболочки or(Ui), i Е I, составляют базу окрестностей нуля фактортопологии в E;
(b) существует такая база D = {Vj}jeJ окрестностей нуля фактортопологии в E, что or(Vj ПK) С Vj при всех j Е J.
В самом деле, по определению факторнормального клина K существует база D = {Vj}jeJ окрестностей нуля фактортопологии E, состоящая из порядково выпуклых множеств. Поэтому для каждого Ui Е B найдутся такие Vj Е D и Uk Е B, что Uk + Z С Vj С Ui + Z. Следовательно, имеют место включения
Uk + Z С or(Uk + Z) С or(Vj) = Vj С Ui + Z.
Таким образом, система множеств {or(Ui)}ig/ является базой окрестностей нуля фактортопологии E. Обратное утверждение (а) очевидно выполнено.
Для доказательства утверждения (b) рассмотрим, как и выше, базу D = {Vj}jeJ окрестностей нуля фактортопологии E, состоящую из порядково выпуклых множеств. Так как имеет место включение or(VjП K) С or(Vj) = Vj, то база D будет удовлетворять условию (b).
Обратно, в силу условия (а) для доказательства факторнормальности клина K достаточно установить, что для каждого множества Ui Е B существует такое множество Uk Е B, что выполняется включение or(Uk) С Ui + Z. Выберем множества Vj Е D и Uk Е B так, чтобы Vj + Vj С Ui + Z и Uk — Uk С Vj. Применяя доказанное выше включение порядково выпуклой оболочки or(A) С A + or(K П (A — A)), получим
or(Uk) С Uk + or(K П (Uk — Uk)) С Vj + or(K П Vj) С Vj + Vj С Ui + Z .
Таким образом, утверждение полностью доказано.
Следствие 1. Пусть клин K факторнормальный в E. Если множество A ограничено в E, то порядково выпуклая оболочка or(A) ограничена в фактортопологии E.
Действительно, для любой окрестности нуля U С E найдется такое t > 0, что A С tU. Так как or(A) С or(tU) = t or(U), то порядково выпуклая оболочка or(A) ограничена в E.
В частности, в нормированном пространстве E клин K является факторнормальным тогда и только тогда, когда порядково выпуклая оболочка or(S) единичного шара S ограничена в E.
Предложение 6. Если клин К факторнормальный в линейном топологическом пространстве Е, то его замыкание К будет факторнормалъным конусом в Е.
Выберем базу D = {Vj}jeJ окрестностей нуля фактортопологии E, состоящую из порядково выпуклых множеств. Как показано выше, такая база удовлетворяет условию (b) предложения 5. Обозначая далее через от(А) порядково выпуклую оболочку множества А относительно конуса К, получим включения _
Vj С öf(V3) = (Vj + К) П (Vj -К) С or(Vj) = Vj .
Отсюда or(Vj) = Vj. Поэтому замыкания Vj, j Е J, являются порядково выпуклыми множествами относительно замкнутого клина К и задают базу окрестностей нуля фактортопологии по наибольшему подпространству конуса К. Кроме того, имеем
от (Vj П К) = (Vj nK + K)n(VjnK-K)c or (Vj П К) С or(Vj) = Vj .
Таким образом, база {Vj}j^j окрестностей нуля фактортопологии по наибольшему подпространству конуса К удовлетворяет условию (Ь) предложения 5 и, следовательно, замыкание клина К является фак-торнормальным конусом в пространстве E.
Теорема 1. Пусть топология в пространстве E локально выпукла. Тогда клин K С E является факторнормальным в том и только в том случае, когда найдется система непрерывных полунорм {'Pi}iel, порождающих фактортопологию IE и удовлетворяющих условию монотонности: pi(x) < Pi(y) при всех 0 < x < y и i Е I.
Доказательство. Необходимость. Если клин K С E является факторнормальным относительно локально выпуклой топологии пространства E, то базу B = {Ui}i^i окрестностей нуля фактортопологии можно выбрать из замкнутых, абсолютно выпуклых и порядково выпуклых множеств. Тогда функционалы Минковского множеств Ui Е B
Pi(x) - inf{i > 0 | х Е tUi} , г Е I,
образуют систему непрерывных полунорм, которая порождает фактортопологию E. Так как множества Ui порядково выпуклы, то из неравенств 0 < x < y и включения y £ tUi следует {0,x} С {0,y} С tUi. Поэтому полунормы pi удовлетворяют условию монотонности.
Достаточность. Рассмотрим базу окрестностей нуля топологии E, порожденной системой полунорм {'Pi}iel. Она состоит из всех множеств вида XV С E, X > 0, которые образуются из всех конечных пересечений V = П/с=1 Ujk множеств Ui ^ {х G Е | Pi(x) < 1}. Применяя условие монотонности полунормы Pi, получим, что при всех z £ or(Ui П K) имеет место неравенство
Pi(z) = Pi(Xi + yi) = Pi(X2 - У2) < Pi(X2) < 1,
где xi, X2 £ Ui П K и yi, У2 £ K таковы, что z = Xi + yi = X2 — У2. Отсюда вытекает включение or(V П K) С or(Uifc П K) С Uik, и, значит, or(V П K) С V. Таким образом, утверждение теоремы вытекает из предложения 5 (b). □
Полунорма р называется порядково выпуклой, если единичный шар U ^ {х G Е \ р(х) <1} является порядково выпуклым множеством. Поскольку полунорма p совпадает с функционалом Минковского шара U, то она удовлетворяет условию монотонности: p(x) < p(y) при всех 0 < X < y. Следовательно, в нормированном пространстве E условие факторнормальности клина K С E равносильно тому, что найдется такая порядково выпуклая полунорма, которая эквивалентна расстоянию p(x, Z) до наибольшего подпространства Z клина K.
Следствие 2. Клин K С E является факторнормальным в нормированном пространстве E тогда и только тогда, когда существует такая константа c > 1, что выполняется неравенство p(x, Z) < cp(y,Z), 0 < x < y.
Для клиньев в нормированных пространствах E, как показывает следующее предложение, условием факторнормальности ограничивается «раствор» клина K относительно наибольшего подпространства Z С K.
Предложение 7. Клин K С E в нормированном пространстве E является факторнормальным тогда и только тогда, когда существует такое число 0 <5 < 1, что выполняется неравенство p(x + y, Z) > 5 при всех x,y £ K, удовлетворяющих условию p(x, Z) = p(y, Z) = 1.
В самом деле, если клин K относительно нормальный, то при всех x,y £ K, удовлетворяющих условию p(x, Z) = p(y, Z) = 1, выполняется неравенство p(x + y, Z) > 1/c = 5, где константа c > 1.
С другой стороны, предположим, что это неравенство выполнено. Пусть 0 < x < y и z = y — x. Вначале мы рассмотрим случай, когда 0 < d = p(z, Z) < p(x, Z) = 1. Отсюда имеем неравенство p(y, Z) > 1 — d. Используя равенство y = x + z/d — (1 — d)z/d, получим неравенство
p(y, Z) > p(x + z/d, Z) — (1 — d) > 5 — (1 — d).
Складывая эти неравенства, заключаем, что p(y, Z) > 5/2 = (5/2) p(x, Z).
Если теперь 0 < d = p(x, Z) < p(z, Z) = 1, то p(y, Z) > 1 — d. Тогда, используя равенство y = z + x/d — (1 — d)x/d, получим неравенство
p(y, Z) > p(z + x/d, Z) — (1 — d) > 5 — (1 — d).
Складывая эти неравенства, заключаем, что p(y,Z) > 5/2 > (5/2) p(x,Z).
2. Двойственность факторнормальных клиньев. Факторнормальность клина K С E в локально выпуклом пространстве E ограничивает «раствор» клина и поэтому в некотором смысле является мерой «заостренности» его наибольшего подпространства Z С K. При изучении двойственного клина K° С E' необходимо найти такие средства, которые работают в противоположном направлении, т.е. являются мерой «тупости» его наибольшего подпространства L± С K°. Ниже будет указано одно из таких средств в виде определения строгих и нестрогих 6-клиньев K С E относительно некоторого подпространства M С E.
Необходимое и достаточное условие, полученное в лемме 1 для нормированного пространства, является первым шагом решения задачи двойственности. При выполнении условия Z^ = K° — K° мы можем восстановить любое конечное подмножество аннулятора Z^ при помощи конечного подмножества двойственного клина K°. Частным случаем леммы 1 является теорема Крейна [3, с. 15].
Лемма 1. Клин K С E является факторнормальным в нормированном пространстве E тогда и только тогда, когда аннулятор его наибольшего подпространства Z С K равен Z± = K ° - K °.
Доказательство. Необходимость. Для любого функционала а £ K° справедливо равенство fäa(x) = 0 при всех X £ Z. Поэтому K° — K° С Z±. С другой стороны, если линейный функционал Y £ Zx, то
функция ^>(x), определенная на клине K по формуле
<р(х) ^ sup (у), х Е К ,
O^y^x
неотрицательна: ф(х) > 0 при всех x Е K, а также положительно однородна: p(tx) = tp(x) при всех x Е K и t > 0. Так как из неравенств 0 < y < x следует, что
(У) < |7(У)1 < inf \y(У - z)\ < \\y|| p(y, Z) < c\\y\\ p(x, Z),
zEZ
то выполняются неравенства ^>(x) < c\\y\\ \\x\\ при всех x Е K. Отсюда вытекает, что предел limp(xn) = 0 при xn —0, т.е. функция ip(x) непрерывна в нуле. Используя далее очевидное включение {0, х} + {0, у} С {0, х + у}, мы получим неравенство (р(х-\-у) > + ip(y). Поэтому множество W ^ {(x,t) Е К х R+ | 0 < t < ^(x)} является клином в пространстве E х R. Кроме того, если (xn, tn) Е W и xn — 0, то tn — 0. Таким образом, точка (0,1) Е E х R не принадлежит замыканию клина W в пространстве E х R. По теореме отделимости найдется функционал ( Е W°, такой, что ((0,1) = 1. Ясно, что он имеет вид ((x,t) = ^(x)+t, где в Е K°. Так как точка (x, ^(x)) принадлежит клину W, то мы имеем при всех x Е K
Щ(x) + ^y(x) < ^e(x) + p(x) = Щ(x, p(x)) < 0.
Поэтому, полагая a = в + y, получим разложение функционала y = а — в, где а, в Е K°.
Достаточность. Если а Е K° и x < z < y, где x, y Е S принадлежат единичному шару S пространства E, то имеют место неравенства
— \\а\\ < fca(y) < №a(z) < №a(x) < \\а\\.
Отсюда получаем, что функционал Ка будет ограничен на порядково выпуклой оболочке единичного шара or(S). Так как каждый функционал y Е Z ± имеет вид y = а — в, где а, в Е K°, то Ky также ограничен
на or(S). Поскольку Z^ = E , множество or(S) является слабоограниченным в факторпространстве E и, значит, по теореме Банаха-Штейнгауза является ограниченным относительно факторнормы E. Таким образом, в силу замечания после следствия 1 получаем, что клин K является факторнормальным. □
Следствие 3. Клин K С E является факторнормальным в нормированном пространстве E относительно порядково выпуклого подпространства M тогда и только тогда, когда M^ = (K + M)° — (K + M)°.
Пусть (E, F) — двойственность и & — система слабоограниченных подмножеств пространства E, направленная по включению, т.е. для любых множеств A,B Е & существует такое множество C Е &, что A U B С C. Тогда система поляр {A° \ A Е &} задает базу окрестностей нуля &-топологии в пространстве F, обозначаемую далее через т&. Топология т& локально выпукла, и сходимость в ней означает равномерную сходимость на каждом множестве системы &. Поэтому ее называют топологией равномерной сходимости в F на множествах системы &. Если объединение всех множеств системы & покрывает E, то &-топология в F отделима, т.е. выполняется аксиома Хаусдорфа. Далее мы будем предполагать, что это условие всюду выполнено.
Каждая локально выпуклая топология в F есть &-топология. Слабая* топология a(F, E) получается, если & состоит из всех конечных подмножеств E, а сильная* топология в^, E) получается, если & состоит из всех слабоограниченных подмножеств E. Рассматривая двойственность (E, F), мы видим, что в сильной* топологии пространства F все слабоограниченные множества в E равностепенно непрерывны и в силу теоремы Банаха-Алаоглу являются относительно слабо*компактными в сильном сопряженном пространстве F'. При этом множество A С F ограничено в сильной* топологии в^, E) тогда и только тогда, когда оно ограничено в слабой топологии a(F, F') [1, с. 102].
Так как &-топология пространства F сильнее слабой* топологии, то его сопряженное пространство F& = (F, т&)' содержит E и содержится в F', однако может не совпадать с ними. По теореме Макки-Аренса [4, с. 95] &-топология согласована с двойственностью, т.е. F& = E, в том и только в том случае, когда все множества системы & относительно слабокомпактны в пространстве E.
Определение. Направленную систему & множеств пространства E будем называть насыщенной, если выполняются следующие три условия:
1) любое подмножество A С B множества B Е & принадлежит &;
2) скалярное кратное A = XB любого множества B Е & принадлежит & при всех Л Е F;
3) слабозамкнутая и абсолютно выпуклая оболочка А = си(и^г=1 В^) любого конечного числа множеств Вг € & принадлежит &.
Указанные условия не являются для нас серьезными ограничениями, поскольку для любой системы множеств & добавление к ней всех подмножеств А С В, В € &, скалярных кратных \А, А € &, и слабозамкнутых абсолютно выпуклых оболочек сП(и^г=1 А^), А^ £ б, не изменяет б-топологию в пространстве ¥. Кроме того, для любой системы множеств & в пространстве Е существует минимальная насыщенная система 8а(&), содержащая &, — так называемая насыщенная оболочка системы &.
Так, например, система & всех слабоограниченных множеств пространства Е, определяющая сильную топологию в ¥ относительно заданной двойственности (Е, ¥), является насыщенной. Поэтому насыщенную оболочку эа(&) произвольной системы & слабоограниченных множеств пространства Е можно рассматривать как пересечение всех систем слабоограниченных множеств пространства Е, содержащих & и обладающих свойствами 1-3.
Определение. Система множеств С называется фундаментальной в системе & на подпространстве М С Е, если для каждого множества А € & найдется такое множество В € С, что имеет место включение А П М С В П М. В частности, если выполняется равенство М = Е, то такая система С называется просто фундаментальной в системе &.
Определение. Пусть задана некоторая система & слабоограниченных множеств пространства Е относительно двойственности (Е, ¥) и М С Е есть некоторое подпространство.
Клин К С Е называется строгим &-клином на подпространстве М, если система абсолютно выпуклых оболочек {си(А П К) | А € &} фундаментальна в системе & на подпространстве М.
Клин К С Е называется нестрогим &-клином на подпространстве М, если система слабозамкнутых абсолютно выпуклых оболочек (сП(.АП.К') | А £ 6} фундаментальна в системе & на подпространстве М.
Ясно, что каждый строгий &-клин К на подпространстве М является нестрогим &-клином относительно заданной двойственности (Е, ¥). Если система & состоит из всех слабоограниченных множеств в Е, то такие клинья будем называть строгими и нестрогими [2, с. 274].
Аналогично мы можем определить понятие строгого и нестрогого &-конуса в локально выпуклом пространстве Е, а также определить понятие строгого и нестрогого &-конуса в сильном сопряженном пространстве Е', рассматривая при этом каноническую двойственость (Е, Е') между Е и сильным сопряженным пространством Е'.
Пусть задана насыщенная система & слабоограниченных множеств пространства Е относительно двойственности (Е, ¥). Рассмотрим некоторый клин К С Е и его полярный* клин К° С ¥. Наибольшее подпространство полярного* клина совпадает с аннулятором М = Ь^ линейной оболочки Ь = 8р(К). Пусть В = {и{}ц^1 обозначает базу окрестностей нуля &-топологии в ¥. Тогда система множеств и + М, г € I, составляет базу окрестностей нуля фактортопологии ¥/М = Ь', а поляры этих множеств (Щ + М)о = Що П Ь определяют фундаментальную систему множеств в 6 на подпространстве Ь. Теперь установим критерий факторнормальности полярного* клина К° относительно &-топологии, частным случаем которого является так называемая теорема нормальности Шефера [2, с. 276].
Теорема 2. Для того чтобы полярный* клин К° С ¥ являлся факторнормальным относительно &-типологии пространет,ва ¥, необходимо и достаточно, чтобы клин К С Е являлся нестрогим &-клином на подпространстве Ь = Щ5(К).
Доказательство. Необходимость. Если клин К° факторнормальный в &-топологии ¥, то найдется база В = {и{}ц^1 окрестностей нуля фактортопологии ¥ по подпространству М = Ь±, которая состоит из абсолютно выпуклых и порядково выпуклых множеств. Так как в силу определения б-топологии ¥ система поляр В0 = {и¿0}ге/ образует фундаментальную систему в 6 на подпространстве Ь, то нам достаточно показать, что для каждого множества [/¿0 существует такое е^ > 0, что £¿[/¿0 С сП(£/г0 П К), г € I.
Для доказательства этого рассмотрим функционал Минковского рг множества и г и обозначим через Рг ^ {а £ ¥ | Рг(а) = 0} его ядро. Так как факторпространство = ¥/Р^ относительно данной полунормы рг становится нормированным, то его сопряженное пространство можно отождествить с банаховым пространством ¥\ = Р^, в котором норма совпадает с функционалом Минковского множества и°, где поляры* Р^ и и° берутся в сильном сопряженном пространстве ¥'.
Рассмотрим полярный* клин К°° С ¥\ к образу полярного* клина К° = пг(К°) при каноническом отображении п г : ¥ ^ ¥г. Заметим, что если ядро Рг содержит относительно окруженную точку а € Р% клина К°, то для каждого в € К° найдется такое Ь > 0, что а —Ьв € К°. В силу монотонности полунормы р мы получим включение К° С Р С и . Таким образом, в этом случае имеет место равенство и ° = си(и° П К°°).
Ясно, что полярный* клин К°° содержится в подпространстве Р^ сопряженного пространства ¥' и из свойства монотонности полуномы рг следует монотонность нормы на клине К°. Следовательно, клин К° является факторнормальным в нормированном пространстве ¥г, а Рг будет порядково выпуклым подпространством в ¥, и в силу следствия 3 мы имеем следующие равенства:
¥\ = К°° — К°° = У п (7° П К°° — 7° П К°°). пеЦ
Поскольку множества 77° П К°° слабо*компактны в пространстве ¥[, то множества 77° П К°° — 77° П К°° слабо*замкнуты [4, с. 83], и тем более они будут замкнутыми в банаховом пространстве ¥[. По теореме Бэра о категории множество (77° П К°° — 77° П К°°) содержит внутреннюю точку, а в силу симметричности этого множества оно является окрестностью нуля в пространстве ¥[. Отсюда найдется такое число ег > 0, что выполняется включение
К°° -77° П К°°) С си (77° П К°°) ■
Рассматривая Е как подпространство ¥', мы имеем 77° П Е = [/¿0 и К°° П Е = (К° + Р^)0 = К П а поскольку слабые* замыкания этих множеств равны соответственно 17° и К°° [4, с. 57], то
си(17° П К°°) С сй(С7го П К П Р^±) = сй(Щ0 П К).
Таким образом, имеет место включение £¿[/¿0 С сй(77ю ПК), и, следовательно, клин К является нестрогим ©-клином на подпространстве Ь.
Достаточность. Если клин К является нестрогим 6-клином, то система множеств {сП(А П К) \ А £ 6} фундаментальна в 6 на подпространстве Ь и, следовательно, насыщенная оболочка системы множеств {АП К \ А £ 6} совпадает с 6 на подпространстве Ь. Отсюда получаем, что фактортопология ¥ по наибольшему подпространству М = Ь± клина К° порождается полунормами
Ра(о>) эир |9?а:(ж)| = эир |3?о;(ж)| , А £ ©. хеАпк хеш(Апк)
Заметим, что имеет место равенство рл(а) = 0 при всех а £ М, и если 0 < а < в, то выполняется неравенство Ша(х) < М0(х) при всех х £ К. Следовательно, полунормы рл удовлетворяют условию монотонности Рл(а) < Рл(в) при всех А £ ©. Таким образом, полярный* клин К° С ¥ является факторнормальным в ©-топологии пространства ¥. □
Пусть Е — локально выпуклое пространство. Особую роль играет ©-топология равномерной сходимости в Е' на системе абсолютно выпуклых и компактных подмножеств Е. Эта топология согласована с двойственностью (Е, Е') [4, с. 95] и является промежуточной между слабой* а(Е', Е) и топологией Макки т(Е', Е). Она обычно называется ©-топологией компактной сходимости. В случае такой топологии в Е последнюю часть в доказательстве необходимости теоремы 2 можно опустить, и мы получаем следующее утверждение.
Следствие 4. Пусть © — насыщенная система, образованная из некоторой системы абсолютно выпуклых и компактных множеств локально выпуклого пространства Е. Тогда конус К С Е является строгим ©-конусом на подпространстве Ь = 8р(К) тогда и только тогда, когда полярный* конус К° является факторнормальным в ©-топологии компактной сходимости.
Для того чтобы получить дальнейшие следствия, пространства Е и Е' в утверждении теоремы 2 необходимо поменять местами и учесть, что по теореме о биполяре конус (К°)0 = К совпадает с замыканием клина К в локально выпуклом пространстве Е [4, с. 55].
Следствие 5. Конус К в локально выпуклом пространстве Е тогда и только тогда является факторнормальным, когда фактортопология Е совпадает с топологией равномерной сходимости на системе равностепенно непрерывных множеств полярного* конуса К°.
В самом деле, для доказательства достаточно взять в качестве © систему всех равностепенно непрерывных подмножеств сопряженного пространства Е'. В частности, отсюда мы получаем, что для любого равностепенно непрерывного подмножества А С существует такое равностепенно непрерывное подмножество В С К°, что А С В — В.
Следствие 6. Конус К является факторнормальным в слабой топологии локально выпуклого пространства Е тогда и только тогда, когда = К° — К°. В частности, всякий факторнормальный конус К С Е является факторнормальным в слабой топологии.
Обозначим через & насыщенную оболочку всех конечных подмножеств в Е'. Так как слабая топология пространства Е согласована с двойственностью, то по теореме 2 полярный* конус К° является строгим &-конусом на подпространстве ZСледовательно, в силу определения фундаментальности системы {си(А П К°) | А € &} в системе множеств & на подпространстве Z^ будет выполняться равенство Zх = К ° — К °.
Обратно, если выполняется равенство Z^ = К° — К°, то получаем, что полярный* конус К° является строгим &-конусом на подпространстве Zи по теореме 2 конус К является факторнормальным в слабой топологии пространства Е.
Укажем еще одно приложение теоремы 2 к квазибочечным локально выпуклым пространствам Е, и в частности к рефлексивным пространствам. По определению пространство называется квазибочечным, если оно обладает следующим свойством: каждая бочка, поглощающая любое ограниченное множество, является окрестностью нуля. Этот класс локально выпуклых пространств содержит все бочечные и бор-нологические пространства и, значит, содержит все метризуемые локально выпуклые пространства.
Предложение 8. Если Е является квазибочечным локально выпуклым пространством, то следующие утверждения равносильны:
(a) К — факторнормальный конус в Е;
(b) К° — строгий конус на подпространстве М = Z^;
(c) К° — нестрогий конус на подпространстве М = Z ±.
Для доказательства рассмотрим систему & сильно*ограниченных множеств в сопряженном пространстве Е'. База окрестностей нуля сильной* топологии в(Е', Е) определяется полярами* А° С Е' всех ограниченных множеств А С Е локально выпуклого пространства.
Отсюда для каждого В € & найдется такое Ь > 0, что В С ЬА° и, значит, А С ЬВ°. Поэтому В° является бочкой, поглощающей любое ограниченное множество в Е. Так как Е квазибочечно, то В° есть окрестность нуля в Е. Таким образом, все множества системы & равностепенно непрерывны в пространстве Е', а в силу теоремы Банаха-Алаоглу являются относительно слабо*компактными в Е'. Теперь утверждение легко вытекает из следствия 4 [4, с. 108].
Так как сильная топология во втором сопряженном пространстве Е'' определяется полярами А° сильно*ограниченных множеств А С Е', то каноническое вложение .] : Е ^ Е" непрерывно тогда и только тогда, когда система сильно*ограниченных множеств в Е' совпадает с системой равностепенно непрерывных множеств, т.е. когда Е является квазибочечным. Таким образом, если Е рефлексивно, то оно является квазибочечным, и, следовательно, строгие конусы и факторнормальные конусы отображаются друг в друга относительно двойственности (Е, Е').
Интересно отметить, что в случае пространства Фреше полная симметрия между строгими конусами и факторнормальными конусами относительно двойственности (Е, Е') остается в силе без предположения о рефлексивности. Вначале докажем полезную лемму, подобную одному из результатов Кли [5].
Лемма 2. Пусть К — конус в пространстве Фреше Е. Тогда система абсолютно выпуклых множеств V = си(и П К), где и является окрестностью нуля в Е, образует базу окрестностей нуля более сильной топологии на линейной оболочке Ь = 8р(К), относительно которой Ь является полным локально выпуклым пространством Фреше.
Доказательство. Существует такая база {ип}пеN абсолютно выпуклых окрестностей нуля в Е, что ип+1 + ип+1 + ип+1 + ип+1 С ип, п € N. Чтобы обосновать это, заметим, что в силу непрерывности линейных операций для каждой последовательности окрестностей нуля Оп существуют такие абсолютно выпуклые окрестности нуля Шп С Оп, что ^п+1 + ^п+1 С Тогда подпоследовательность ип = ^2п с четными индексами удовлетворяет указанному условию.
Рассмотрим теперь систему Vn = си(ип П К) окрестностей нуля в Ь. В силу указанного выше условия выполняются включения Vn+l + Уп+1 С Рп. Следовательно, существует инвариантная локально выпуклая топология с базой окрестностей нуля {Рп}пеN относительно которой будут непрерывными линейные операции. Эта топология в Ь является метризуемой [6, с. 54]. Так как Рп+1 С ип П Ь, то она сильнее, чем индуцированная топология пространства Е. Остается доказать полноту Ь.
Действительно, для каждой фундаментальной последовательности пространства Ь существует такая подпоследовательность {хп}, что хп+1 — гп € Рп. Поскольку имеют место включения С ипПК — ипПК, то найдутся такие хп, уп € ип П К, что хп+1 — гп = хп — уп. Очевидно, что для доказательства сходимости нам достаточно доказать сходимость рядов ^°=1 хп и ^°=1 уп. Так как включения
т т
хг, ^ Уг € (ип+1 + ... + ит) П К С ип П К С Рп
г=п+1 г=п+1
выполняются при всех п, т € М, то в силу свойства полноты конуса К ряды ^°=1 хп и ^°=1 уп будут сходиться в К и, следовательно, будет сходиться подпоследовательность {гп}. Таким образом, каждая фундаментальная последовательность сходится в Ь. □
Теорема 3. Пусть К С Е — конус в пространстве Фреше и 2 С К — наибольшее подпространство конуса К. Тогда имеют место следующие утверждения:
(a) К является факторнормальным конусом в пространстве Е тогда и только тогда, когда полярный* конус К° является строгим конусом на подпространстве М =
(b) К является строгим конусом на подпространстве Ь = 8р(К) в том и только в том случае, когда его полярный* конус К° является факторнормальным в пространстве Е'.
Доказательство. Утверждение (а) теоремы есть частный случай предложения 8, поскольку, как известно, пространство Фреше бочечно и тем более квазибочечно [4, с. 103].
Для доказательства утверждения (Ь) напомним, что замыкание выпуклого множества в слабой топологии совпадает с его замыканием в исходной топологии [4, с. 55]. Отсюда получаем, что если К — строгий конус на подпространстве Ь, то для любого ограниченного множества А С Е найдется такое ограниченное множество В С Е, что
А ПI С ХпТ С си (В П К) = Ш( В П К).
Поэтому К является нестрогим конусом на подпространстве Ь, и из теоремы 2 вытекает, что полярный* конус К° факторнормальный в сильном сопряженном пространстве Е'.
Обратно, если К° — факторнормальный конус в Е', то по теореме 2 К является нестрогим конусом на подпространстве Ь. Введем в подпространство Ь топологию, указанную в лемме 2, и рассмотрим тождественное отображение Ь —Ь. Так как топология в Ь сильнее ее топологии из Е, то это отображение непрерывно, имеет всюду плотный образ в Ь и при этом является почти открытым отображением, т.е. замыкание образа каждой окрестности нуля в Ь является окрестностью нуля в Ь.
В самом деле, в силу леммы 2 топология пространства Ь определяется системой окрестностей нуля
V = си(и П К), таких, что множества и С Е являются окрестностями нуля в Е. Тогда их замыкания
V = сй(17 П К) в пространстве Е будут поглощающими множествами пространства Ь. Применяя теорему Бэра о категории к следующему равенству:
^ те
I = вр(К) = и п ей (и ПК) = У пУ,
п=1 п=1
получим, что V — окрестность нуля в Ь. По теореме Банаха о гомоморфизме каждое множество V является окрестностью нуля в £ и, значит, тождественное отображение Ь Ь будет изоморфизмом [2, с. 99]. Таким образом, К является строгим конусом на подпространстве Ь = Ь. □
Предложение 9. Пусть К С Е — клин в пространстве Фреше Е и К — его замыкание. Тогда каждое из следующих утверждений:
(a) К — нестрогий клин на замкнутой линейной оболочке Ь = Щэ(К);
(b) К — строгий конус на линейной оболочке N = 8р(1^)
эквивалентно равенству Ь = N.
Если К — нестрогий клин на подпространстве Ь, то, согласно теореме 2, К° является факторнормальным конусом в Е'. Поэтому в силу теоремы 3 конус К будет строгим конусом на подпространстве N. Отсюда получаем, что справедливо равенство N = Щ5(К) = Ь, из которого вытекает следующее разложение:
те
I = эр (К) = У п ей (и П К),
п=1
где и есть окрестность нуля в Е. По теореме Бэра о категории множество си(IIПК) является окрестностью нуля в Ь и, следовательно, поглощает любое ограниченное множество пространства Ь. Таким образом, для каждого ограниченного множества А С Е множество сП(А П К) П Ь ограничено в Ь и, значит, клин К является нестрогим клином на подпространстве Ь.
Пример 1. Рассмотрим пространство C [—1,1] действительных непрерывных функций на отрезке [—1,1] с чебышевской нормой. Конус, состоящий из функций f £ C[—1,1], удовлетворяющих условию \f(x)\ < f (0) на отрезке [0,1], является факторнормальным. Конус, состоящий из функций f £ C[—1,1], удовлетворяющих условию \ f (x)\ < f (0)/(1 — x) на полуинтервале [0,1), не является факторнормальным.
Пример 2. Рассмотрим в пространстве C[0,1] непрерывных и действительных функций на отрезке [0,1] конус K, состоящий из всех выпуклых функций. Его наибольшим подпространством Z является множество линейных функций. Этот конус K является факторнормальным в пространстве C[0,1], так как полунорма p(f, Z) обладает свойством монотонности на конусе K, т.е. p(f + g, Z) > p(f, Z) для всех функций f,g £ K. Поэтому, согласно теореме 3, полярный конус K° будет строгим конусом в сопряженном пространстве C'[0,1].
Заметим, что линейная оболочка конуса L = K — K является решеткой относительно обычного порядка в пространстве C[0,1], определяемого конусом неотрицательных функций. Кроме того, L содержит константы, разделяет точки отрезка [0,1] ив силу теоремы Стоуна-Вейерштрасса [7, с. 296] L всюду плотно в C[0,1]. Таким образом, построенная в лемме 2 топология на подпространстве L строго сильнее, чем его естественная топология равномерной сходимости. Следовательно, в силу предложения 9 K не является строгим конусом на подпространстве L и по теореме 3 полярный* конус K° не является факторнормальным в пространстве C'[0,1].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 06-01-00268).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М.: Наука, 1967.
2. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
3. Крейн М.Г. Основные свойства нормальных конических множеств в пространстве Банаха // Докл. АН СССР. 1937. 14. 13-17.
4. Робертсон A, Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
5. Klee V.L. Boundedness and continuity of linear junctionals // Duke Math. J. 1955. 22. 263-269.
6. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.
7. Данфорд Н, Шварц Дж. Линейные операторы: В 3 т. Т. 1. М.: ИЛ, 1962.
Поступила в редакцию 01.11.2007
