К вопросу о метризуемости секвенциальной порядковой топологии в упорядоченных группах и векторных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета.

Сер.1.Вып.1.1995

УДК 517.982.1

Ж ВОПРОСУ О МЕТРИЗУЕМОСТИ СЕКВЕНЦИАЛЬНОЙ ПОРЯДКОВОЙ ТОПОЛОГИИ В УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУППАХ И ВЕКТОРНЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ

А.Г.Порошкин

Дается критерий метризуемости оа-топологии в упорядоченной группе в терминах числовых функций. Устанавливается связь между метризуемостью или нормируемостью оа-топологии в К-пространстве со слабой единицей с аналогичным свойством базы пространства.

Введение. Первая часть настоящей статьи - подробное изложение доклада [1]. В ней исследуется вопрос о метризуемости секвенциальной порядковой топологии (ост-топологии) в упорядоченной группе, дается критерий метризуемости в терминах числовых функций. Во второй части устанавливается связь метризуемости зли нормируемости ост-топологии в /¿"-пространстве со слабой единицей с аналогичным свойством для базы пространства.

Как известно [2], в полной булевой алгебре А' метризуемость ост-топологии т0(Т равносильна существованию на X непрерывной внешней меры, т.е., существенно положительной [<р0 = 0, <рх > 0 для х ф ®] изотонной [х ^ у <рх ^ ipy] субаддитивной [tp(x V у) ^ <рх + <ру] непрерывной сверху в нуле [хп J, 0 =>• (рхп —► 0] функции <р. В [3] эыло показано, что в вышеуказанном условии Магарам можно несколько изменить требования, налагаемые на функцию ц>. При этом полнота или ст-по л нота алгебры X не играют существенной роли [4, с. 59]. Здесь мы показываем, что условие, приведенное в [3], можно распространить и на коммутативные упорядоченные группы (УГ) и, в частности, на упорядоченные векторные пространства (УВП).

По всем вопросам, связанным с понятием порядка, мы опираемся на монографии [5-9], хотя подробных ссылок на них мы часто не делаем.

© А.Г.Порошкин, 1995.

63

§1. 1.1. Пусть Л' - коммутативная У Г, <р : X —» Е - фу и1' ция, отделяющая нуль [(¿>(ж) ф 93(0) при х ф 0] и равная в не нулю [у(0) = 0]. В дальнейшем можем считать tp положителън [<р(х) ^ 0 V х € X] и четной [р(—х) = ^(х)], ибо в противном случ мы могли бы перейти к функции ф(х) = + |<¿>(—

С помощью функции <р определим на X симметричную прам трику [10, с. 31] р(х,у) := ip(x — у). Она порождает в X инвариантную топологию тр, замкнутыми множествами в которой бу^, те и только те множества А С X, для которых выполнено услови р(х, А) >0 V х £ Ас = Х\А (равносильно: открыты в тр те и тольк те Б С X, которые каждую свою точку х содержат вместе с н которым шаром Ве(х) := {у € X : р{х,у) < е} [10, с. 31]. Вообщ говоря, семейство шаров {Бе(0)}е>о не образует локальной базы т,-Кроме того, для произвольной функции <¿> топология Тр никак к связана с ост-топологией тоа в X.

Теорема 1. Если <р оа -непрерывна в нуле [а:п —>0<г 0 =Ф- <р(хп) 0], то тр С тоа.

Действительно, если А - замкнутое' в тр множество и хп А, хп —*0<т х, то хп—х —*оег 0 [7] и р(хп,х) 0. Это значит р(х, А) = и х Е А (в силу замкнутости А в тр). Таким образом, А оа-замкнут

Топология тосг может оказаться строго сильнее тр.

Пример 1. Пусть X = Iх с покоординатным упорядочением

v{x) - Ylb= 1 ék ^'il 1' где x = Ш € Тогда íp ост-непрерывна 2 1 + |g¿|

0. Если A = {nen} (e„ = 6n¡ - символ Кронекера), то А оа

замкнуто, но не р-замкнуто, ибо 0 £ А, но р(0,А) = 0.

Понятно, что без ост-непрерывности р нельзя утверждать тр С тоа

1.2:. Введем два условия, которым может удовлетворять функ ция (р на А" :

(A) если <р(хп) —+ 0, то найдется подпоследовательность (хьп такая, что хьп —>оа 0;

(B) если (р(хп) + (р(уп) 0, то ip(xn + уп) 0.

Отметим некоторые предложения о связях между различным требованиями, наложенными на (р, а также о топологиях тр и тО0.

Io. Функция (р, удовлетворяющая условию (А), существенно п ложительна.

2°. ост-непрерывная в нуле функция ср, удовлетворяющая услови (А), удовлетворяет и условию (Б).

Действительно, пусть <р(хп + уп) ф> 0. Переходя, если надо,

гтапоследовательности, можем считать, что все <ç{xn + уп) ^ £ для некоторого s > 0. Если при этом <р(хп) + <р(уп) —+ 0, то найдем зачала подпоследовательность х^п —>ост 0, а затем в последователь-нзсти (укп) - более редкую подпоследовательность у;кп —*0<т 0. То-—a Xik + Угкп 0 и (p(xikn + yikn) —> 0 вопреки предположению - + У п) ^ t"0 V П.

Функция из примера 1 показывает, что обратное утверждение неверно.

3°.Теорема 2.Если ip удовлетворяет условию (Б), то система изров {i?r(0)}r>o образует локальную базу топологии тр (не обязательно состоящую из открытых множеств).

Доказательство. Заметим вначале, что условие (Б) равно-гально следующему

(В) V е > 0 3 6 > 0 : <р(х),<р(у) < ё <р(х + у) < е.

Точку х 6 Е С X назовем внутренней для Е, если ЗВе(х) С Е. Множество всех ^-внутренних точек Е обозначим Е° и покажем, что для каждого г > 0 множество -бг(0)° будет открытой окрестностью нуля. Ясно, что 0 € Вг(0)°. Пусть xq g Br(0)°, т.е. г В£(хо) С Вг(0). По г найдем 6 из условия (В) и убедимся в том, что -3;{жо) С Вг(0)°. Возьмем произвольно у € В six о) и г £ Д$(у)- Тогда z\z - у) < 6, <р(у - х0) < 6 и по (В) <p(z - Хо) < £, т.е. 2 € В£(х0). Поскольку z произвольна в Д$(у), то В s (у) С В£(хо) С JSr(Q). Это означает, что каждая точка у € о) оказывается (^-внутренней лля ¿?г(0), тем самым весь шар В$(хо) состоит из (^-внутренних точек Д.(0), т.е. Bs(xq) С ¿?г(0)°. В свою очередь xq - произвольная точка Д.(0)°, а это значит, что Br(0)° € тр.

4°. Следствие 1. В условиях теоремы 2 для любого х G X система шаров {jBr(a;)}r>o образует базу в точке х топологии тр.

5°. Следствие 2. Если в условиях теоремы 2 <р оа-непрерывна s нуле, то каждый шар Д.(0) есть окрестность нуля, а Вг(х) -шрестность точки х в топологии т0(Т (не обязательно открытая).

6°. Теорема 3. В условиях теоремы 2 (Х,тр) есть метризуе-лшя топологическая группа, в которой метрическая сходимость будет совпадать со сходимостью относительно праметрики р.

Доказательство. Покажем, что операции {х,у) i-+ х + у и хн-х непрерывны в тр. Пусть уо € X и В£{хо+уо) - окрестность х?0 + у0. По s найдем 6 из условия (В). Тогда при х 6 у €

Bsiy0) будет <р(х + у-(хо + уо)) < £, т.е. х + у G В£(х0 + уо) и Bs{xq) +

Вб{уо) С Ве(х0 4- у0). Далее пусть Ве(-х0) - окрестность точки -ж Если у € В£(хо), в силу четности <р, <р(-у - (-ж0)) — <р(у - ж0) < " т.е. -у £ Вг{-хй) и -Ве(хо) С £(-ж0). В силу произвольност жо, Уо получаем непрерывность групповых операций втри {Х,тр) топологическая группа.

Т.к. тр обладает счетной локальной базой {В1/п(0)}^_1, то по т ореме Биркгофа-Какутани [11, теорема 8.3] топологическая групп (X, тр) метризуема, пусть метрикой <1. Поскольку р-шары и с?-шар образуют базу трг то с?(ж„,жо) —> 0 & р(ж„,Жо) —> 0.

Замечание. В предложениях 3°, 4°, 6° упорядоченность групп не предполагалась, так что они верны для любых групп.

1.3. Теорема 4. Пусть (р — оа-непрерывна в нуле. Тогда се мейство {-В£(0)}е>о будет локальной базой топологии тосг в том только том случае, когда ц> удовлетворяет условию (А).

Доказательство. Пусть (р оа-непрерывна в 0 и удовлетворя условию (А), а, следовательно и условию (Б). Тогда по 5° кажды шар Вг{0) есть окрестность нуля в тоа. Покажем, что {/^/„(О)}^ есть база. Пусть 0 6 II 6 тоа. Если допустить, что В\/п(0) <£ II V п то Зж„ 6 ¿?1/п(0) \ II, п — 1,2,..., так что <р(хп) —♦ 0 и некотора подпоследовательность х\~п —*0<т 0, что невозможно в силу предположения хп € и° V п. Таким образом, .^/„(О) С и при некотором п {Б1/„(0)}^_1 есть база тосг в нуле.

Допустим теперь, что {^/„(О)}^ есть база тоа в 0. Тогда услови <р(хп) —> 0 равносильно сходимости хп к 0 в тоа, а поэтому хп —+* [4, с. 34]. Значит 3 хкп -><ж 0.

Следующее определение не является общепринятым, но будет удобным в дальнейших формулировках.

Определение. Упорядоченное множество X будем называть метризуемым, если его оа-топология метризуема.

Следствие 1. Для метризуемости У Г (А', ^ ) необходимо и достаточно, чтобы на X можно было задать положительную оа-непрерывную в нуле функцию <р, <¿>(0) = 0, удовлетворяющую условию (А).

В самом деле, если (I - метрика, порождающая т0(Т, то функция <р(х) = ¿(ж, 0) будет нужной. Если же функция <р с нужными свойствами имеется, то из теорем 3 и 4 следует метризуемость тоа.

1.4. Если А" - направленная У Г, А+ = {ж € А' : ж ^ 0},

: А'+ —> М+, 99(0) = 0, то на X можно задать положительную Яттную функцию

ф(х) := т£{<р(и) : и ^ х, —ж}, х Е X; ф(0) = 0.

1°. Если (р ост-непрерывна в нуле, то такова же ф.

Действительно, пусть хп —*осг 0. Тогда — хп —*0<7 0, а поэтому 5 ип | 0, ип ^ хп и 3 уп | 0, ип ^ — хп. В таком случае

+ 1'п ^ —хп и ип + «„ | 0, ф{ип + ьп) —♦ 0. Из неравенств ^ ф(хп) ^ <р(ип + уп) следует ф(хп) —► 0.

2°. Если <р удовлетворяет условию (А), то и ф удовлетворяет усло-5320 (А).

Действительно, пусть ф(хп) —► 0. Тогда найдется последователь-

нзсть (ип) в Х+ такая, что ип ^ хп, —хп и (р{ип) ^ Ч—, поэтому

п

.:«„) -» 0. Значит, 3 ->0<т 0 и 3 уп I 0 : уп ^ икп ^ хкп, -а:^. . сею да — ^ —£кп-, хкп, причем — ип | 0. Тем самым последовательности —г;,, и уп сжимают хкп к 0 и хкп —>0|Т 0.

Из всего сказанного вытекает следующая

Теорема 5. Для метризуемости направленной У Г X необхо-2шмо и достаточно, чтобы на Х+ существовала оа-непрерывная в нуле положительная функция <р, удовлетворяющая условию (А).

Следствие. Для метризуемости решеточно упорядоченной •руппы X необходимо и достаточно, чтобы на положительном шнусе А+ существовала оа-непрерывная в нуле положительная функция, удовлетворяющая условию (А).

Замечание. Вопросы метризуемости порядковых топологий э решеточно упорядоченных группах изучались в дипломной ра-':>те Е.В.Филиппенко (Поливьяновой) "Условие метризуемости оа-гшюлогии в решеточно упорядоченных группах", выполненной под руководством автора настоящей статьи в 1989 г. В частности, там нее получен этот результат.

§2. В этом параграфе исследуется связь между метризуемостью /¿'-пространства и его базы. Показывается, что база метри-зуемого А"-пространства также метризуема, но метризуемость базы, заобще говоря, не влечет метризуемости самого пространства и в то же время гарантирует существование кобазисного метризуемого пространства. Это пространство строится с применением аппарата зеаддитивного интегрирования.

Следует еще заметить, что тоа в векторной решетке инварианты относительно векторных операций, но она, вообще говоря, не ин вариантна относительно "индуцирований на подпространства", т подпространства оказывается сильнее индуцированной из само пространства.

2.1. Пусть Л' - К-пространство со слабой единицей 1,

X - подмножество с индуцированным порядком, т00-(Х), т0СГ(Х 1) ост-топологии в X, Х\, т0„{Х)\х1 ~ индуцированная топология ( Л'1), 3~01Т(Х), ^(А'О - классы ост-замкнутых множеств в X, Х\.

Теорема 6. тоа(Х\) Э г^Л')!^. Если Х\ - база X, то т0<Т(Х\)

Доказательство. Пусть Е с Л'ь Е £ ^^(-V)|а"х- Тогда 3 Р ?0СГ(Х),(Е С X) : Е = ЕП Х\. Если хп € Е, х„ ->0<т х в А'ь хп —>0(Т х и в Л', а поэтому х £ К В то же время х £ Л'1, значи хеЕ, Ее ?0<т{Хг) и т0(Г{Х) |Х1 С т0СГ(Хх).

Пусть теперь Х\ - база X, Е £ 3"0СГ(А'1), хп £ Е и хп —*0<т х X. Пусть ип, уп £ X сжимающие хп к х (в Л') соответственно сверх и снизу. Тогда х = оа — Нт(А-) ьп ^ Ншжп ^ 1ш1х„ ^ ос ~ Нш(х) «п причем ii.in.Cn, Ншх„ £ Х\. Значит, х — оа — Итхп в Х\ и, поскольк. Е £ Э"ост(у\"]), х £ Е. Окончательно получаем, что Е £ ЭГ017(Х), Е х.пЕе 3-оа(Х)\Х1 И 30<г{Хх) С 7оа{Х)\Хх.

Следствие 1. Если Х\ - база X, то Х\ С Эгоа(Х).

Следствие 2, Если X метризуемо, то метризуема и база X (индуцированной из X метрикой).

Замечание. Для произвольного множества Х\ С X равенств т0ГТ(Х\) — 7"осг(Л)|х1 может не выполняться (см. 2.6, следств 3).

Переходя к обратной задаче, разработаем вначале некоторы вспомогательный аппарат. Для каждого х £ X введем два семе ства единичных элементов и определим на Х+ расширенный функ ционал. Некоторые его свойства отмечены в [12], ниже мы приведе нужные нам.

2.2. Пусть х £ X, (вд)лек - характеристика х [5], ах := (е*)' 1—вд, Ьх :— в(Х1-х)_ = ((А1—х)_)1, где (и) - оператор проектировани на компоненту, порожденную элементом и £ X [5, с. 102], Л £ Поскольку V и £ X имеем »_ = (—и) V 0 = (—«)+, то Ьх може выразить иначе, через характеристику элемента —х : Ьх = е^х

f _Д1_(_Х))+ = е~д. Из свойств характеристики теперь сразу следует 1°. ад, Ьх убывают от 1 до 0. Если х ^ 0, то ад = Ьх = 1 при •■ <0. ад = inf^<A а®, 6д = supß>xb* VA е Ш. Другими словами, ад непрерывна слева, Ьх непрерывна справа.

2°. ад ^ Ь\ V А € R. Действительно, (AI - а:)+с£(А1 - ж)_, откуда гледует дизъюнктность следов exdbx ([1, с. 115]), а поэтому ах =

4У > ь\.

3°. Для Аг < А < Ai имеем аХх ^ bx ^ ах ^ Ьх*.

Достаточно доказать левое неравенство. Имеем (AI — V (AI —

r)_ = (All - х)+ V (-А1 + х)+ > i[(Ail - х)+ + (х- А1)+] ^ i[(Ail -

¿r;j + (х — А1)]+ = ~(Aj — А)1 (использованы неравенства из теоремы

Ж.4.3 а) из [5] и 2(а V b) ^ а + Ь). Переходя к следам (используя свойства ж) на с. 115 и л) на с. 116 в [5]), получим

(öAi)' V 6д = e(Xll-x) + V(Xl-x)- = е(А11-а:)+ V е(Л1_а.)_ ^ ei/2-(Ax-A)l =

откуда следует а^ ^ Ьх.

4°. а) Если хс е X и х = inf^, то ад = inf^ ах V А £ М. В частности, если х ^ у, то ад < ад, если хп j х, то ад" I ад.

б) Если Х£ € А' и х = sup^ то bx = sup b*x V А € R. В частности, если х ^ у, то Ьд ^ Ь\, если хп | х, то Ьхп | Ьх.

Доказательство, а) По лемме IV.10.2 имеем ех = supe^, откуда ах = (ех)' = inf(e^)' = inf ах(.

б) х = sup х£ =$> —х = inf(—[5, с.62] =>■ eZx = sup е_д* [5, лемма IV.10.2] или Ъх — sup^ Ъхх.

2.3. Пусть fi - существенно положительная изотонная числовая функция на базе Ао пространства А, /Ю = 0. Для х € А"+ определим две убывающие на [0, +оо) функции

/х(А) = ßax и дя(А) = цЬхх.

Из предложений 2° и 3° в 2.2 и изотонности ¡.i получаем, что при Аг < А < Ai будет

#*(Аi) ^ /x(Ai) ^ дх{А) ^ fx(Xi) ^ дх(А2) ^ /*(А2),

откуда, в свою очередь, следует, что в точках непрерывности (т.е. почти всюду) fx и дх совпадают, а поэтому совпадают их интегралы

Лебега на [0,+оо). Положим

Jp+оо л+оо

I /х(Х)с1Х = / дх(\)<1\. о Jо

Ясно, что <¿>0 = О, 0 ^ <р(х) ^ оо Уж € X и 0 ^ х ^ 1/ (р(х) ^ <р(у). Если х € А"о, то <рх = цх. Подобный функционал на классе измеримых (относительно сг-алгебры Л) функций был впервые построен, по-видимому, в работе Шоке [13]; в работах по нечетным интегралам его называют интегралом Шоке. По аналогии молено было бы и наш функционал назвать функционалом Шоке.

Замечание. Исследованию и применениям интеграла Шоке посвящено много работ, мы не будем их перечислять здесь. Некоторые свойства функционала Шоке в /¿"-пространстве отмечались в [12].

Отметим некоторые нужные в дальнейшем свойства функционала <р.

1°. <р(ах) = а<р(х) при а ^ 0. Действительно, если а = 0, то обе части равенства - нули. Пусть а > 0. Тогда компоненты, порожденные элементами и ^ 0 и аи совпадают, а, значит, совпадают и следы элементов и и аи. Отсюда получаем

аТ = (еГ)' = (е(А1 -<**)+)' = (е(а((Д/в)1-»)+)' = (е((А/а) 1-*)+)' — «Д/а*

Но тогда /ах (А) = цахх = цахХ/а — /х ^ . Применяя к интегралу формулу замены переменной, получим

/•Ч-оо р4-оо / А \ г+оо

<р(ах) = у /вх(А)<Ц = J /ж ^ <1Х = а ! /Х(*)Л = аир(х).

2°. Если х„ | х, а ¡.I - непрерывна снизу, то <р(хп) | <р(х). Действительно, хп Т х => Т Ьгх (4° б в 2.2) ^Хп(А) = цЬххп | цЬхх = дх(Х) и у(х„) | <р(х) (по классической теореме Леви).

3°. Пусть /х -условно непрерывна сверху [еп { е, < +оо =Ф-/¿е„ | /хе]. Тогда если х„ | х и <£>хх < +оо, то <рхп | <рх.

Заметим, прежде всего, что при (рх 1 < +ос будет /ш*1 < Н-оо УА > 0. Действительно, если бы было Ао > 0 с //а** = +оо, то на

[О, Ао] имели бы /Х1(А) = +оо, а тогда (р(х¡) ^ /0А° /Х1(А)с?А — +оо.

Теперь из х„ | х следует«*" | ахх V А > 0 (4° б в 2.2) /Хп(А) = ¡лахх I //йд V А > 0. По теореме Лебега об ограниченной сходимости <р{хп) I <р(х).

4Э. Следствие. Пусть // — оа-непрерывна, хп —►°<г х и все ^ у, причем <ру < +00. Тогда ipxn —» <рх.

•5®. Если ¡.I субаддитивна е^) ^ де 1+^2], то ip(x\/y) ^ +

Если ß (Г-субаддитивна [^(Vi°en) ^ ^Га46«]' то

00 оо

1 1

В первом случае (по 4° б) из 2.2) ¿m*lV*2 = /¿(а*1 V а*2.) ^ рахх1 + V Л, поэтому ¡р(х iVx2) = /0°° цах^х2й\ ^ /0°° /ШдХсЦ+/0°° ¡xax^d\ = _titj + <¿>2:2. Вторая часть доказывается аналогично также с помощью б) из 2.2.

6°. Следствие Если ft субаддитивна, то <р(х + у) + уу\

>зйо х + у ^ 2{х V г/)).

2.4. Предположим теперь, что а-полная булева алгебра ме-гэизуема (следовательно счетного типа) и пусть ц - (конечная) непрерывная внешняя мера на Xq. Надстроим над А'о расширенное ..Y-пространство X [5] и на А+ построим функционал Шоке. Пусть Л" {х е X : <р(\х\) < +оо}. Ясно, что А'о С X. Поскольку непрерывная внешняя мера ocr-непрерывна и ст-субаддитивна, то из 2.2 следует, что А есть К-пространство, надстроенное над Ао- Мы закажем, что А метризуемо, причем метрика эквивалентна праме-~рике р{х,у) = ip{|х - у|).

1°. Лемма. Если хп € ~Х*,'-хп | и sup <рхп < +оо, то supхп = г € А4".

Допустим, что {ж„} не ограничено в X . Если {хп} не ограничено л в Х+, то по 2.3.1 на с. 143 в [14] найдется 0 < ео € Ао такой, что

zn А кео |п ке0 \/к и поэтому

к<рео = (ß(keо) = lim <р(хп А кео) ^ lim <рхп, к € N,

откуда +оо = linifc к(рео < lim ipxn. Если же хп f х £ X \ X, то по 2° в 2.3 lim (рхп = ipx — +оо.

В обоих случаях получаем противоречие с условием леммы. 2°. Если <рхп —> 0, то 3 Хкп —+осг 0, т.е. ip удовлетворяет условию (А) из 1.2.

Найдем подпоследовательность (хкп), чтобы <рхкп < и пусть

__ш

Упр - \JU xki• Тогда <рупр ^ Y7i=n <Pxki < 21~". Тогда по 1° упр ТР уп €

X, причем ípyn ^ 21 В то же время уп [ у ^ 0 и <ру ^ <руп ^ 21 n Vn, так что <ру — 0 и у = 0. Это и означает, что Хкп —*осг 0, так как 0 < хкп < уп j 0. _

По следствию из теоремы 5 X метризуемо.

Обозначим через 3£(Ао) класс всех К пространств, надстроенных над А0. Тогда резюмируя все сказанное, можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 7. Для того, чтобы класс Х(Хо) содержал метризу-емое К-пространство, необходимо и достаточно, чтобы Хо была метризуема (= на Хо существовала непрерывная внешняя мера).

2.5. Вообще говоря, метризуемое Л'-пространство X, надстроенное над метризуемым Хо, определяется неоднозначно.

2.6. Теорема 8. К-пространство X' ограниченных элементов метризуемо тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

Доказательство. Если dim А' < оо, то евклидова норма порождает т0(Т. Пусть dim А' = оо и пусть (е„), еп > 0, - дизъюнктная последовательность в базе А'о- Тогда еп —>оа 0 и если бы X' было метризуемым (пусть инвариантной метрикой d), то б?(еп, 0) —> 0. Перейдя, если нужно, к подпоследовательности, можем считать d(en, 0) < п-2. Из инвариантности d следует d(2en,0) ^ 2d(en, 0) и по индукции d(nen, 0) ^ nd(en, 0). В таком случае d(nen, 0) —> 0, пеп —>* 0 и найдется knekn —>0<т 0, чего не может быть ввиду неограниченности множества {кпекп}^=1 в А'.

Следствие 1.К-пространство X' ограниченных элементов нормируемо <Ф=> X' конечномерно.

Следствие 2. В К-пространстве X' ограниченных элементов топология т0(Т обладает счетной базой тогда и только тогда, когда X' конечномерно.

Следствие 3.Пусть X - бесконечномерное метризуемое К-пространство со слабой единицей 1, X' - подпространство ограниченных элементов. Тогда т0<Т(Х') строго сильнее, чем т0<Т(Х)\х>-

2.7. Такая же, как в теореме 5, связь имеется между нормируемостью А'о и нормируемостью некоторого пространства из ЗГ(А'о), т.е. верна

Теорема 9.Для того, чтобы класс X(Xq) содержал нормируемое К-пространство, необходимо и достаточно, чтобы Хо была нормируемой.

2.3. Замечание. Метризуемое пространство А, построенное в :;/дет полным линейным метрическим пространством, т.е. F-♦гтранством в смысле [15] и, следовательно, ТВП. (Отметим, что "II". в отличие от некоторых других руководств, F-пространство гзедполагается локально выпуклым.)

Литература

I Порошкин А.Г. Условие метризуемости секвенциальной порядковой топологии в упорядоченной группе //Теория функций.— Тезисы докладов Всероссийского семинара. Сыктывкар: СыкГУ, 1993. С. 45-46.

2. Maharam D. An algebraic characterisation of measure algebras 11 Ann. Math. 1947. V.48, №1. P.154-167.

3. Попов В.А. Супермеры и полумеры на булевых алгебрах // Функции множеств. Сыктывкар: Коми гос. педаг. ин-т, 1977. С.40-49.

Порошкин А.Г. Упорядоченные множества. Булевы алгебры // Учебное пособие. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1983.

5. Вулих В.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961.

6. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969.

7. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

8. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.

М.: Наука, 1977.

9. Копытов В.Н. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984.

10. Архгшгельский A.B., Федорчук В.В. Основные понятия и конструкции общей топологии//Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики / Фундаментальные направления.Т. 17. М.: ВИНИТИ. С.5-110.

11. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. T.I. М.: Наука, 1975.

12. Порошкин А.Г. О метризуемости порядковых топологий в /у-пространствах. Сыктывкарский ун-т. Сыктывкар, 1981. 16 с. Деп. в ВИНИТИ №734-81 Деп.

13. Clioquet G. Theory of capacities //Ann. Inst. Fourier. 1955. V. 5, №1. P. 131- 295.

14. Канторович Jl.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. M.-JL: Гостехиздат, 1950.

15. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.:ИИЛ, 1962.

Summary

Porosllkin A.G. Poroshkin A.G.

On the metrizability of sequental order topology in ordered groups and vector spaces.

A criterion in terms of real functions is given for ocr-topology in ordered groups be metrizable. This property is also studied in A'-spaces possesing a weak unit. A relationship between this property and the property of base of the space is considered.

Сыктывкарский университет Поступила 8.02.95