CC BY
11Ве.ст.ник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.4-2001
УДК 513.88
О функционале Шоке и одном его применении в теории
МЕРЫ
А.Г.Порошкин, Ю.В.Шергин
В настоящей работе дано подробное изложение основных свойств неаддитивного расширенного функционала на конусе положительных элементов ./(^-пространства со слабой единицей, названного авторами функционалом Шоке по аналогии с применяемым в теории нечеткого интегрирования термином “интеграл Шоке”. Предложено одно применение построенного функционала в теории меры для нового доказательства теоремы о нормируемости (7-полной булевой алгебры с существенно положительной сильно субаддитивной непрерывной нечеткой мерой.
..<ГГЙТ-
1. Введение - !
В работе Шоке [1] было дано определение неаддит-йШвМ йй^ё^рйМ? от положительной измеримой функции / по монотойной фунУцйй множества ц через лебеговский (или римановский’) й'йШ^М д^'^ф^кЬии распределения” цТ(/ > А). ВпоследствиЙ'^Щг-йв'¥ёрбё)1А%‘йДйШрй1'Я0 обращался к этому определению интеграла, изучейШИ УгФ возможным его применениям (см., например, (2-5]).
Идея определения интегра.Шэв'[1]'-оьГЛВ1 раЬши&'б^НЙм'^из авторов
настоящей статьи для пс т роения неаддитивного расширенного функ-
Т; К1'и-ЖЭ11<Г.Т£.-т К /. ЧлФл/!
ционала на положительных элементах,. Дст-дррстранртва д : со слабой „ - • >-|0 1'Жрпо ТОПР.Й'НШ ( ,Ц ^ '.?Я -н к , „IX — !/,} КЛ1ГЧ/'»Г/’
единицеи; были выделены важные его свойства, которые нашли приме-
,'>ли: и- котн-эн-т? /пнуноз.'мо/!
нение в решении одной задачи, связанной с порядковыми топологиями
в К-пространствах (см. [§]). Дальнейшее изучение ‘этогои$унЙционалА г • ОЧ . .+ ! ~ ! ^ У„'. и --г\ ХГ.'УКгМ 1-,_ 3«Я\У УЛ(Н10'Л'К)П
было проведено в дипломнои работе второго автора: Об одном неаддитивном функционале в 1\ -пространстве !с едикицей^’3( 15Ш)1,' выпоЛн^ей-Нрй под руководством^первого, а также в работах!([16], [17].
(с) Порошкнн А.Г., Шергин Ю.В., 2001.
В настоящей работе мы даем подробное изложение основных свойств функционала, введенного в [8] (мы назвали его функционалом, Шоке по аналогии с применяемым в теории нечеткого интегрирования термином “интеграл Шоке”). При этом доказательство простейших свойств мы опускаем, отсылая читателя к работе [16]. Идеи некоторых доказательств навеяны работами [2-5], хотя в чистом виде на случай функций на булевых алгебрах они не могут быть перенесены. Предлагаем еще одно применение разработанного аппарата в теории меры: даем новое доказательство теоремы о нормируемости сг-полной булевой алгебры, на которой имеется существенно положительная сильно субаддитивная непрерывная субмера. Этот результат, связанный с проблемой Магарам [6], известен по работам [7, 14, 15]. Он получен нами с привлечением других идей и результатов, приведенных в настоящей статье и в [13].
2. Вспомогательные семейства единичных элементов
В нашей работе мы в основном придерживаемся терминологии, принятой в монографии [10] с заменой термина “единица” более употребительным ныне термином “слабая единица”. В необходимых случаях поясняем также основные понятия из [10] в терминах, принятых в более поздних отечественных изданиях (см., например, [11]) или научных статьях и зарубежной литературе.
Пусть X-Ка-пространство (т.е. счетно-полная векторная решетка), 1 - слабая единица в X (элемент со свойством 1 А х > 0 \/.т > 0),Е -база пространства X (множество всех единичных элементов X : е € Е := е А (1 — е) = 0).
Каждому элементу х € X сопоставим следующие два однопараметрические семейства единичных элементов (йд)д61к и (бд)лек, определяемых равенствами:
“Л := К)' =1-4; К :=«(.«-*>- = ((А1-х)_)1, (1)
где (ед)лем - характеристика элемента х [10, с. 119], а е(д1_л7)_ - след элемента (Л1 — ж)_ , Л € К; (и) означает оператор проектирования на компоненту, порожденную элементом и [10, с. 102]. Заметим, что для х ^ 0 будет = ех.
Поскольку \/и € X имеем и_ = (—и) V 0 = (—и)+ , то можем выразить иначе через характеристику элемента (—ж); а именно
(2)
В целях сокращения в дальнейшем эти семейства мы иногда обозначаем просто ад,6д, указывая верхние индексы лишь в случаях надоб-эости.
Отметим некоторые свойства семейств ад и Ьд.
1°. п\ ^ b\ VA Є R.
Следствие. Для любых х € Л'+ и Л Є R+ справедливы неравенства
"Ц ^ Аа\ < а\х.
2°. а\,Ь\ убывают от 1 до 0: sup ад = sup ід = 1, inf ад = mfb\ = 0.
Л А АЛ
3°. а,\ = inf а,(, b\ ~ sup ft,, VA Є М. Другими словами, ад непре-
А'<Л ’ ц>\
рывна слева, Ь\ непрерывна справа.
■Замечание. а\ может иметь разрыв справа и Ьхх слева.
4°. Если Аі < А < А2, то а* Ьх ах ^ bXi для любого ж Є X.
5°. Если А01 ^ х, то Од = 1 при А ^ А0 и Ьд = 1 при А < А0.
Если А01 ^ х, то ах = 0 при А > А0 и Ьх = 0 при А ^ А0.
6°. Если х0, то ад = 1 при А ^ 0, 6д = 1 при А < 0.
7°. Пусть х,у,х$ Є АС, £ Є S- Тогда справедливы равенства:
V
a.) bl = У ЬЛ\ VA Є R, если У х$ существует; і €
А
б) а\ — Л«д£ VA Є К, если существует;
і £
в) л b\ VA е R;
г) aAV;V = «д V «д VA Є R-
Естественно, равенства в) и г) распространяются на любое конечное число элементов.
8°. Если х Sj г/, то а\ ^ Од, 6д ^ Ь\.
9°. Если хп I х, то bxn t by Если хп | х, то аххп [ ах.
10°. Если (,т0)аЄл ~ возрастающее направление в X ([10], с. 15]) и
Т х, то Ьха | by Если (.г'а)а€л - убывающее направление в Л' ([10],
15]) и ха. I х, то аха I а у
Таким образом, Ьх о-непрерывна снизу (по х), ах о-непрерывна гзерху (по ж).
Замечание. Свойства в) и г) в 7° на бесконечные множества элемен-гзз не распространяются. Можно показать, что справедливы в любом
Vх« Аж«
тучае неравенства «д ^ V а\(•>
і £
11°. Если X Е X и Аі и А2 - две различные точки разрыва а* (а*, ф то скачки «д в этих точках дизъюнктны:
(а*1 — йд1+0) (1 (ад2 — йд2+0). Аналогичное утверждение верно для Ьх : (6д!__о — 6^) (^л2-о — ^а2)’ если ^1 и ^2 различные точки разрыва 6д.
12°. Если X — -пространство счетного типа, то множество точек разрыва йд (как и множество точек разрыва Ьх) не более чем счетно.
13°. Если в точке А0 е М непрерывна хотя бы одна из “характеристик” йд и 6*, то йдо = Ь*о.
14°- = Щ*а1 — Ьх±а УаЕЕ.
3. Функционал Шоке, порожденный нечеткой мерой
Пусть снова X — /^-пространство со слабой'единицей 1. Е - база X. Пусть ц - нечеткая мера на Е, т.е. функция // : Е —>• К+ со
свойствами: 1) ^0 = 0; 2) ^ е2 =ф- /./.в! ^ це2. (Иногда в опреде-
ление нечеткой меры вводится еще условие непрерывност,и снизу по последовательностям: еп | е =>• цеп —> це. Мы отказываемся от этого требования.)
Для любого х (Е Х+ определим две функции на [0, +оо)
/х(Х) = цахх, дх{ А) = цЬхх. (3)
Из свойств ц, убывания “характеристик” йд, Ьхх и неравенства Ьх ^ йд при любом А, а также свойства 4° в п.2 мы получаем, что
а) 0 ^ &х(^) ^ ^ А € [0, +оо),
б) гдх(А) и /х{\) убывают (в широком смыле) на [0,+оо),
в) если А! < А < А2, то дх(Х2) ^ /х(А2) ^ дх(А) ^ /*(А) ^ ^-(АО ^ Шх).
Из в) и монотонности (/а; и /х следует, что в точках непрерывности (т.е. почти всюду на К+) эти функции совпадают, а поэтому совпадают их лебеговы (или римановы) интегралы. Положим
оо со
Ч>^) := j 1х(Х)с1\ = !дх(\)<1\.
(4)
Функцию : Х+ —> К+ мы назовем функционалом Шоке, порожденным нечеткой мерой ц. При этом, работая с одной нечеткой мерой ц, индекс 1-1. в функционале </>,,. будем опускать.
Очевидны следующие свойства введенного функционала:
1°. 0 ^ <Рц(х) ^ + оо Уж £ Х+.
2°. 0 ^ ж ^ у => <^(ж) ^ ¥»(у) (см- 8° из § 1).
3°. <£>д(0) = 0 (ибо й° = 6д = 0 для А > 0).
4°. Если //, v - нечеткие меры и р[< } si /'(') Ve, то ip^[x) ^ <р„(х) Ух Е Л'+.
Отметим еще некоторые свойства, функционала 5". ур(с) = /it Ve Е Е.
61'. ^(o;r) = oif(x) Vo E E+ Vx E X +. Другими словами,
положительно однороден па. Л + .
7°. у аддитивна “в горнзонтальном смысле”: <р(х) = <р(х A ol) + +^(;r-.i'AaJ) Ух Е Х+ Vo G R+.
Следствие. у{х) = lim <р(х — а' A cvl) = lirn ^(j'Aol).
п-*+0
Действительно, lim ^(.r - ,r A o:i) = lim f''gr(X)d.X = if{x),
cv->+0 a—»+() - ° '
lim ^(.rAol) = lim gx(X)dX =\p(x).
8,v. Пусть x E .Y+, 0 < 6 ^ 6 ^ ^ 6» xk = x A &.1,
k = 1.....и. ’Гогда
y{x) — y{x — + -p{x„ — .rn_] ) + ...+ ^[x-2 — X\) + ^>{xi). (4)
Определение 1. ([10], с. 144). Элемент p E X называется конечнозначным, если он представим в виде линейной комбинации попарно дизъюнкт и ых единиЧ 11 ы х элементов
71
р = 'ЦТ о, г,, щ ER, с:, cl Cj при i Ф j. (5)
! = 1
Сделаем но поводу этого определения несколько замечаний. Замечание 1. В равенстве (5) семейство {б!, е2,..., е.„} можно считать полным (т.е. {f 1, е-2у..., en}d = 0). В противном случае к сумме (5)
П
мы могли бы добавить еще одно слагаемое ооео с «о = 0, е0 = (V ei)di
г'=1
не влияющее на сумму (5). В дальнейшем эту сумму мы часто будем
П
записывать в виде ^ огг, с «о = 0, даже если окажется е0 = 0.
;=о
Замечание 2. Можно перенумеровать слагаемые в (5) и считать <г»1 ^ а-2 ^ ^ а,,.. В случае р ^ 0 мы будем записывать его в виде
/I
Р = X] 0 = «о ^ «1 ^ ^ «п, ег d tj при г ф j. (5')
(=0
При этом в самой сумме будут допускаться и слагаемые с^-е,- с, коэффициентом а, > 0 и е,- = 0.
Представление конечно-значного элемента р в виде (5') назовем стандартным,.
Замечание 3. Мы будем допускать запись конечно-значного элемента (5) и в виде линейной комбинации не обязательно попарно дизъюнктных единичных элементов. Например, с точки зрения вычисления функционала Шоке вместо (5') удобнее записывать
п п п
Р — ^ 1 )^»’) &г ^ ^ ^ 1,2,...,??-. (5 )
г—1 к=г к—г
Такое представление р назовем ярусным.
Множество всех конечно-значных элементов X будем обозначать через Ь, а всех положительных конечно-значных элементов X - через Ь+.
п
9°. Пусть р € Ь+ и р = Е(а* ~ с а0 = 0 < «1 < ... < а„ и
2 = 1
п
= г = 1,...,п. Тогда
к~г
п
= Ц(а* ~ <Хг-1)№- (6)
г=1
Замечание 4. Формуле (6) можно придать несколько иной вид и записать ее с использованием значений функции а* в точках с*к и приблизить (6) к римановской интегральной сумме.
Действительно
<= V е<= Е е< = **• <7)
а; ^ &к
В силу этого формулу (6) можно написать в виде
п
Ф) = ~ (б/)
*=1
т
Следствие. Пусть Л,- € Е, г = 1,2,..., ш, р = 'ЦТ, (А,- ^ О,
1=1
Лг - не обязательно дизъюнктны). Пусть 7^ —»■„ А,- (7^ ^ О,
т
* = 1,... т) и рп = Е 7пЛ<- Тогда <р(рп) —► <р(р).
г~1
п
10°. Для х = гДе 0 = ао ^ «1 ^ ••• ^ «п верно также
г=0
следующее равенство (в нем предполагаем еп+1 = 0 и +оо — (—оо) =
-ос)
71+1 П+1
«.■[/*(]Се*)-К хек) ■ ^
2—0 k—z &=г+1
Получаем сразу, раскрыв скобки в (6), в случае, когда все fiSi в нем конечны. При наличии слагаемых, равных +оо, <р(х) = +оо и равенство (8) также выполнено.
4. Свойства функционала Шоке, связанные со свойствами /i
Напомним сначала некоторые определения, связанные с нечеткими мерами на булевой алгебре Е.
Определение 2. Нечеткая мера ц на Е называется:
- субаддитивной, если fi{e\ V е2) ^ fiei + /ле2 Vei,e2 € Е;
- сильно субаддитивной, если fi{e\ V е2) + /л(е1 Л е2) ^ цеi -f /ie2 Vci, e2 £ E\
- супераддитивной, если /х(е3 V e2) ^ /fej + //e2 Vei,e2 € E, e\ d e2;
- сильно супераддитивной, если //(ei V e2) + //(ei A e2) ^ fiei + /ле2 ^l, e2 € i?;
- аддитивной, если //(ei V e2) = i + /xe2 Vei,e2 £ E, ei d e2;
- a-непрерывной снизу, если en | e ==>• fien —► /ле;
- <7-непрерывной Сверху, еСЛИ en | в => /ten -► f-iC]
- условно a-непрерывной сверху, если еп [ е, fiei < +оо =£• fien —►
fie-
. оа
- оа-непрерывной, если еп —>• е =£■ /леп —► fie\
- условно оа-непрерывной, если еп е и 3 ё : еп ^ ё Vn и /аё < +оо, то цеп —► /ie;
(ОС> ч ОО
V е") = Е /-1вп ПРИ еп ^ е-т для п ф т;
П = 1 ' 11—1
- существенно положительной, если fie >0 Ve > 0.
Очевидно, сильно субадцитивная нечеткая мера субаддитивна, а
сильно супераддитивная нечеткая мера супераддитивна. Далее, понятно, условная ост-непрерывность /х равносильна паре условий: условной ст-непрерывности сверху и сг-непрерывности снизу на множестве Е0 = {е £ Е : fie < +оо}.
П
11°. Пусть X = aiei, 0 = Qo ^ сц ^ ... ^ an, ег d при г ^ j.
i=О
Тогда
71
а) если fi субаддитивна, то <р(х) ^ Е ctifie-i', (9)
t=0
б) если /л супераддитивна, то <р(х) ^ (Ю)
г=0
п
в) если ц аддитивна, то <р(х) = °г/ле;; (11)
1=0
12°. Если у, существенно положительна, то таков же у? : <^(ж) > О Уж > 0.
13°. Если ц сг-непрерывна снизу, то таков же с/? : хп | х =Ф
4>{хп) —► ¥>(ж)-
14°. Если /х условно сг-непрерывна сверху, то таков же ц>: из хп I х и ср(х 1) < +оо следует <р(хп) —► </?(х)-
15°. Если р, условно осг-непрерывна, то таков же <р: из хп х и 3 2 € Х+ : <р(г) < +оо, хп ^ 2 Уп, следует <р(ж„) —► 4>{х).
Замечание. Пусть X - расширенное Ка-пространство. Если ввести множества Л о = {ж € X : ^>(|ж|) < +00} и Х$ — Х0 ПХ+ ив свойствах 14° и 15° ограничиться множеством Хд, то непрерывность <р на нем будет безусловной: <р будет сг-непрерывной сверху (осг-непрерывной). если ц условно сг-непрерывна сверху (условно осг-непрерывна).
16°. а) Если у субаддитивна, то решеточно-субаддитивен:
Ч>ЛХ V У) < 4>ц{х) + ч>*(у) У е Х+-
б) Если ц супераддитивна, то решеточно супераддитивен: 4>и{х V у) ^ <р»{х) + у>д(у) V х,у Е Х+, жс!у.
в) Если у сильно субаддитивна, то сильно решеточно-субаддитивен: у^х V у) + (Рц(х Л г/) ^ (рц{х) + 1рр(у) Ух,уеХ+.
г) Если /х сильно супераддитивна, то сильно решеточно-супераддитивен: <Рц(хУ у) + <рц.(х/\у) ^ <рц(х) + ф^у) Ух,у£Х+.
д) Если у аддитивна, то <р^ решеточно-аддитивен: ч>Лх V у) +
Л I/) = (/)м(ж) + ^,(г/) Ух,у £ Х+ (можно показать, что последнее
условие равносильно алгебраической аддитивности : <р(1(х у) =
фМ + фМ)-
17°. Если \1 сг-субаддитивна, то у решеточно-а-субаддитивен:
(СО \ СО
V хп\ ^ ]С ^(^п). Если у сг-непрерывна снизу и субаддитивна, то
П=1 ' П=1
кр решеточно-а-субаддитивен.
18°. Если у <т-аддитивна, то (р решеточно-а-аддитивен: для любой
(ОО П = 1
(СО \ со
V гп) = Л 4>{хп)-
П = 1 ' П=1
19°. Если у субаддитивна, то ф алгебраически 2-субаддитивен: Ч>{* + У) ^ 2[</?(аг) + <р(у)].
Действительно, х + у ^ 2(х V у), так что <р(х + у) ^ <р(2(х V у)) = = 2(р(х V у) < 2[р(х) + ч>(у)].
20°. Пусть у сг-субадцитивна и существенно положительна. Тогда если ^р(хп) —► 0 и (хп) ограничена в X, то 3 х-кп —> 0.
Замечание. Если X расширенное, а /л существенно положительна, субаддитивна и <т-непрерывна снизу, то заключение в 20° будет верным и без предположения об ограниченности (хп) (ср. [8]).
5. Теорема об аппроксимации конечно-значными элементами
В этом пункте мы покажем, что значение <р(х) в случае конечного его значения с любой степенью точности аппроксимируется значением ^ на конечно-значном элементе.
Теорема 1. Пуст.ъ х € Х+. Тогда для любого £ < <р(х) ^ + оо найдется конечно-значный элемент х ^ х такой, что у>(х) > £.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение очевидно, если цахо = +ос для некоторого А0 > 0. В этом случае (р(х) = +оо и взяв х = Аоахо ^ х (см. следствие из свойства 1° в п.2), будем иметь (р{х) = АоМал0 = +°° >
СО
Пусть теперь /Шд < +оо УА > 0. Поскольку <р(х) = J цахх(1\ =
о
м м
Пш J ца*с1\, то найдутся т > 0 и М > т такие, что / уаххй\ > £.
т—*0 ' «V,
•Г-ч+оот т
Далее, найдем такое разбиение «о = т < < «2 < ... < ап — М
П
сегмента, [т,М], чтобы нижняя сумма Дарбу з = 1-1аик(ак ~ ак-1)
к=1
п , .
была больше £ : з = цаак(ак — а^-г) > £. Но эта сумма в силу
Ь=1
замечания к 9° в п.З есть з = </’( V акС1<ук), а по следствию из 1° в
П
п.2 конечно-значный элемент х = \/ с*каак удовлетворяет неравенству
к— 1
? ^ ж, так как схк0.ак ^ о,акх ^ х Vк.
П П
Итак, найден конечно-значный элемент х = V сиьаак — ]Г) ак{аак —
к=1 к=О
аак+1), удовлетворяющий неравенству <р(х) = 5 > £.
Следствие. Для любого х 6 Х+ существует возрастающая последовательность (жп) конечно-значных элементов такая, что
А**) —► 4>{х)-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем последовательность 0 < £п < <р{х)-> чтобы £п ^ <р(х), для каждого п найдем конечно-значный элемент
уп ^ х такой, чтобы <р{уп) > (п- Полагая хп = \/ г/,-, получим конечно-
г=1
значные элементы ж„, удовлетворяющие условиям хп ^ X, Жп I и
Определение 3. Конечно-значный элемент р назовем рациональным, если он является рациональной линейной комбинацией попарно
П
дизъюнктных единичных элементов: Р = Е ГА-еЬ £ О-
к=0
Теорема 2.Пусть х € Х+ и£ < </з(ж). Тогда найдет.ся рациональный конечно-значный элемент д ^ х т.акой, что <р(д) > £.
т
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1 найдем р — ^ ж, чтобы
/г=1
т т
<+>(Р) = ~ ак-1)и$к > £ (-5* = \/ е;, к = 1,2, . . . ,п).
к=1 {—к
Затем подберем рациональные последовательности 0 ^ г” и пусть
т
дп = Е. г£еь Тогда по следствию из 9° в п.З <р(Яп) —> ^{р) и найдется к=1
По, что <?(?*,) > (■ При этом дП0 ^ р ^ ж.
Следствие. Уж € Х+ существует возрастающая последовательность рациональных конечно-значных такая, что ^р(дп) —► 9?(;с)-Замечание. Приведенные здесь следствия справедливы для произвольной нечеткой меры д, без каких-либо дополнительных требований, наложенных на нее.
6. Вспомогательные предложения
Докажем несколько вспомогательных предложений, позволяющих технически упростить доказательство теоремы 3 в части достаточности.
Лемма 1. Пусть Е - булева алгебра, 50 = 1 ^ ^ з2 ^ ... ^
зп_1 ^ > 0 - конечная убывающая последовательность в Е, е £ Е.
Тогда если у - сильно субаддитивная нечеткая мера на Е, то для любого к = 1,2,... ,п — 1,п справедливо неравенство
Цвк + 1 А е) ^ (/.(вк V (ЗА:_1 А е)) + фк А е). (12)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из сильной субадцитивности ц следует
IJ.Sk + м(5*-1 А е) ^ //(^А: V (-4-1 А е)) + фк А (йА;_1 А е)).
Но [л{$к А (йА:-1 А е)) = /ф* А 5^_1) А е) = ^(б* А е)), ибо 5* ^ вк-1. Значит, /хй* + /Фа;_1 А е) ^ ^($* V (зь_1 А е)) + //(з* А е).
Лемма 2. В условиях предыдущей леммы справедливо неравенство
П П
Vе + X/ ^ X v (5*-1л е))+^(Sn л е)-1=1 *=1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если fie + fisi < +оо, то в силу субаддитивности и монотонности ц для любого i = 1,..., п имеем
fl(*t V (s(_i Л б)) ^ fl(st V е) ^ flSi + /J,e ^ flSi + fie < +оо,
так что правая часть в (13) конечна и неравенство (13) можно записать з равносильной форме
П П
dn := fie -f Х^ ~ X Si V ^!~1 Л ^ ^Sn Л 6
г=1 г=1
Последнее неравенство мы и докажем методом математической индукции. При п = 1 неравенство (12) (с учетом Sk = sx,Sk-i = so = 1) дает нам fisi + fie — fi(si V (з0 A e)) ^ fi(si A e).
Предположим теперь, что n ^ 2 и что неравенство (13') справедливо для (п — 1) слагаемых и покажем, что оно справедливо и для п слагаемых. Имеем (с учетом неравенства (13') для п — 1)
71—1 71—1
+
г=1 г=1 г—1 i— 1
= + ^ X MS*V(S*~1 Ае)) = fie + ^T ^“Х Ms*V(Si-lAe))
/^(^гг V 1 Л ^)) — d-n—l “Ь jASn f^{^n V А ^ (т&К KcLK
■£™—1 ^ 1 А б)) ^ Л в) “1~ /i5n V А в)) ^ Л в).
Следствие. В условиях леммы 1 справедливо неравенст-во
71 П
fie- + X fis, ^ //(зг V (i A e)) + fi(sn A e). (14)
i= 1 i=l
Лемма 3. Если e d a*, e £ E, mo Ae ^ (e)x = ex. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По формуле (11) на с. 120 в [10] имеем
■‘€\ ^ еххх или с учетом равенства (а*)1 = ех,
\(al)' S (<)'х. (15)
Если е d йд, то е ^ (а*)' и е(ахх)' = е, а поэтому, умножая (15) на е,
:злучим нужное неравенство Ае ^ ex.
Лемма 4. Если х, У € А'+. то V а > 0 справедливо неравенство
(->' + У) ~ (•'' + У) л ^ (-г + У) ~ У л ° 1 •
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из :»•+?/ ^ // следует (.r+//)An 1 ^ /уАоКили
— (.г + ?/) А а! ^ — у А а!. Отсюда,, прибавив к обеим частям по (.г + у), получим нужное неравенство.
7. Критерий алгебраической субаддитивности функционала Шоке
Выше мы установили, что в случае субадаитивной // порожденный функционал крц обладает свойством алгебраической 2-субаддитнв-ности: уг/((.г + у) ^ 2[<^(.г) + ^(у)]. Однако субиддптивность // в общем случае не обеспечивает 1-суба,ддптивностп ip)t, т.е. выполнимости условия yfl{.r + y) ^ ^/((.г) + ^,,(у). Для этого потребуется более сильное ограничение на р. Следующая теорема показывает, что таким условием является условие сильной субаддитивности.
В дальнейшем изложении вместо пишем просто г\
Теорема 3. Функционал, будет алгебраически субаддитивним в том и только том, случае, когда р, сильно субаддитивна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Допустим, ч то // не сильно субаддитивна, так что найдутся г i. < •_> £ Е такие, что //(сi V г-2) + р{( \ А С 2) > pt\ + fie 2- Введем элементы ё| = С j V (2 — СI А С 2' ё2 = f;l Л f 2 • Тогда F] <1 ё2 и су + е2 = + 2с2 ~ конечно-значный элемент, а поэтому
по 9° из § 2 с учетом равенств Г, V ё2 = t| V < 2. с2 = ( i Л (2 имеем
| + <’2) = //(ё, V ё-2) + (2 - i )//',/2 i = /<(<-i V с2) + //(с| Л с2) >
> У<'\ + РС2 = 'р{<- 1 ) + у(г2)-
Достаточность. Эта часть доказательства, более громоздка, и мы проведем ее поэтапно, постепенно расширяя круг элементов х п //. для которых выполняется нужное неравенство. При этом мы придерживаемся схемы, предложенной в работе Шипоша [3], вводя некоторые изменения и уточнения. Понятно, что для X. у £ Л + , удовлетворяющих условию У?(;с) + ^(у) = +оо, неравенство кр-(х + у) < ^(.г) + у(у) выполнено, так что в дальнейшем во всех пунктах доказательства мы можем считать <р(х) + <*р(у) < +ос.
а
А. Пусть сначала, х,у £ L+, х = ре > 0, у = Y, 0 = °о < ° i <
А-о
71
... < оп. е,-с1е,- при i Ф j И £ е-к = 1. Кроме того предположим, что
А;=0
?2
в ^ min(ot —од—I )• Представим x + iy в стандартном виде, преобразовав
предварительно ;г и у специальным образом:
X = А ( V е*)) = /*( V (е А «а)) = Е /*(е Л е*) =
к—О А*—0 /с—О
/3(е л е*) + Е 0' (е'л е*)’
А-=0
к=0
-У = Е - Е л ел) V (е' Л е*)] = (так как е Л е* с1 е' Л е*)
А=0 к=О
= о л: (€ Л ек) + ^2 ак{е' Л ек).
к~0 к-0
п п
Тогда .г + у = Е ак{е' А ек) + Е(аА- + Р)(е А еА-)> или, располагая
к=О &=0
слагаемые в порядке возрастания коэффициентов, (а0 < /3 ^ а\ < а* +
1- ^ а, < а2 + 3 < • • • •< о,: < о„ - .:/).
.г + у = 0 • (е1 А е.о) + /3(е А ео) + о;1.(е/ А ех) + (о?1 + 0){е А е]) + ... +
+од.(с/ А ск) + (а-*. + /3)(е А ек) + • • • + о.п(е' А е(1) + (о„ + /^)(е А е„).
По формуле (6’) отсюда мы можем написать
~».г+у) = в^а^у + (а1 -^)^ш^+!/+(а1+/^-а1)/ха^/з + (о'2-«1-^)^<^+
+ . . . + («А: — «А—1 — Р)[Ша1У + (ак + 0 — (*к)/1’а
<*к
..х+у
х+у
1*к+Р
х+у
-+• • • • +
+ (а„ - а„_1 - + (суп + 0 - п,,)//а;,_!+,
3 Л //(С^ + ” п/--> ^<7 ~/вИ
/ш
-г'+у
«А- ’
_ (16)
А—О А—1 А=1
Подсчитаем теперь <г!^у и для различных А’ с учетом формулы
”’!• данной в п.3. При этом принимаем во внимание неравенства о, <
а, + в ^ а1+1, / = 0,1....,?? — 1, и для удобства введем еще обозначения:
= ^2 е»’ ^ 1- По формуле (7) имеем
1=к
ах + У
а
71
[ V (е/ле‘) у V (еЛе*‘) = Гу^'л*;)
о, ^ о* «,+/? ^ ак 1=к
V
/! \/(? А €() V ск = V(б;/ Л Сг') У [(е Л е*') У Ск\ = \Ле<) V СЬ = ^А- V с*,
г = к
{=к
к= 1,2,... ,71, (17)
где ГА: = о, если ОА--1 + ,в < ак и Ск = е Л р А; — 1. если Пк-1 + Р = а к.
а
х+у
ак+)3
V (К'Ле-)
л, ;->• ок+;з
V
IV
V (е-Ле,-) = [ V (/' А Г;)
сч+0 ^ СЦ-+/3
V
•4 -— /с 1
V [ \/(е Л е,)] = \/ {{е А е,) V (е Л с,)) V (с Л ск) =
1 — к I — к -\-1
= 5*+1 V (е Лед.), А- = 0,1,, п - 1,
<С,3 = £Л Л С. (18)
Заметим, что $к = ,^д+1 V е*, А: = 1,2,... ,н — 1, а поэтому (учитывая дистрибутивные законы в булевой алгебре)
■4+1 У(еЛе*;) = (зд.+ 1 Уе)Л(5д.+ 1 Уек) = (5д.+ 1 V е ) Л Й д,- = (-я Л; + 1 л Л,-) V ( е Л .4 ^.) =
= 5*+1 У(чАе). (19)
Используя (17)-(19), равенство (16) можем теперь написать в виде
71— 1
<р(х 4- у) = (3 /фд-н V (^ А е)) /?/ф„ А е)+
к—О
п ?г
+ Х(°* ~ «А-1 )//(^а- V а.) - {3 X V а). (20)
а-=1 а-=1
Заметим теперь, что в этой формуле мы можем фактически считать все ск = 0, так как для тех к, для которых ск > 0 мы имеем ак — ак-\ + /3 или ак — схк-\ — (3 и соответствующие слагаемые в двух последних суммах уничтожаются, а поэтому безразлично, брать ли в них множители ^(5/с V Ск) ИЛИ [13к.
Итак, вместо (20) мы можем написать
П— 1
¥>(я + у) = /3 X /фи-1 V (5* А е)) + /?/<(*„ А е)-
А-=О
71 71
~/3'^2^к + ^(«/.- - ак-1)(-1*к. (21)
к=\ к=1
Подсчитаем теперь разность <р(х) + <р(у) — <р(х + у), учитывая, что
П
<р{х) = /?/«?, <р{у) = Е(аА - ак-г)^к : к—\
п п— 1
4>{х)+<р{у)-<р(х+у) = /3 1-16+^ ^к-^2 К3к+1У('Ч/\е))-1.1{8пАе)
Д=1 к~0
ибо выражение в квадратных скобках по (14) неотрицательно. Таким образом, в нашем частном случае мы получаем <р(х + у) ^ <р(х) + ф{у)-
П
Б. Пусть теперь х = /Зе, у = V 07с,. причем мы не предполагаем
1=0
П— 1
3 ^ тт(аг+1 — аг). Взамен этого мы потребуем, чтобы все числа а,-,/?
г=0
были рациональными. Приведем дроби аг-, 0 к общему знаменателю,
к I п к •
пусть а,- = —, 0 = —, г = 0,1,..., п. Тогда у = — ег-, где кг < кг+1
III III г-0 III
Р
в кг £ и) := N II {0} V/'. Введем элементы хр = —е, р = 1,2,...,/.
пг
Если теперь хр + у = ~~ стандартное представление элемента
-г, + у с неравными 7^, то каждый коэффициент 7,- будет иметь вид и 1
— с■ V £ и,’. Поэтому — ^ т1п (7,4.1 — 7?) И к сумме X] + {хр + у)
"п т
•ложем применить доказанное в п. А при любом р ^ 1. Поэтому имеем зозможность написать:
Ч?(х + у) = <р{х! + (ж,_1 + у)) < ¥>(а;1) + + у) =
(р(х\) + <^(Ж1 + (.Г;_2 + у)) ^ 2</?(ж1) + 2 + 2/)) ^ ^
(/ - 1)^(.гч) + ^Фт + у) ^ М3^) + <^(у) = (по однородности у?)
^(/.г-1) + ^(У) = 4>{х) + <р{у)-
П
В. Если х = Зе, у = Е и 0,ак - произвольные, то выберем
к=О
рациональные последовательности —>•/?, —►„ а и и рассмотрим
71
последовательности конечно-значных элементов хп = /;„е, уп = ^
к=0
Тогда, по доказанному в п. Б имеем у?(х„ + уп) ^ <*?(£„) + <р(Уп)- По следствию из предложения 9° в п.3 получим
у?(х + у) = Нгп(/?(х„ + уп) ^ Нт[у?(хп) + <р(уп)] = <г>{х) + 4>{у)-
П
Г. Пусть теперь х, у £ Ь+ и х = Е А6*’ ~ стандартное представление
г=0
.г. Запишем х в ярусном представлении с неравными коэффициентами
П п
— 1) ^ ^ 1 % 1, 2, . . . , 77,
г= 1 к,—г
П
и введем обозначения хр = Е(А ~~ Р — 1,2,..., га. Тогда приме-
г=р
няя несколько раз п. В, получим:
р(х + у) — <р(((31 — (30)я 1 + (х2 + у)) ^ 1 — + 2/) —
= С$1 ~ /Зо)у$1 + <^((^2 — ^0^2 + (®3 + 2/)) <5 (/?1 ~ Ро)[1$1 + ^((/^2 “ А)52) + + </?(.Т3 +?/) = (/?! — Д})/^1 +(^2 — + </?((/Зз — ^2)-5з+ (^4 + 2/)) ^ ^
Д. Пусть р € £+, 2/6 Х+. Выберем £ < с^>(р + у) и найдем конечнозначный элемент д ^ р + у, удовлетворяющий условию <р(д) > £. Тогда очевидно д —р ^ у и (д—р)+ ^ у, причем (д—р)+ £ Ь+. По монотонности ц> и доказанному в п. Г можно написать £ < <р(д) = </?((<? —
р) + Р) ^ ¥>((? - Р)+ + Р) ^ ¥>((? - р)+) + ^ <р(у) + Ар)- в силу
произвольности £ < <р(р + у) отсюда получаем
Е. Для следующего шага доказательства понадобится еще одна лемма.
Лемма 5. Пусть х £ Х+ - ограниченный элемент (т.е. В с > 0 : 0 ^ х ^ с1, см. [10], с. 86). Тогда Уе > 0 существует конечно-значный элемент д ^ х такой, что
где ех - след элемента х.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если цех = +оо, то можно взять д = се.х. Пусть цех < +оо. Выберем е > 0 и разбиение г : 0 = А0 < А1 < ... < А„ = с с шагом к(т) ^ е и рассмотрим конечнозначный элемент
П П
р = — ^*-1)ал,- Представим его в стандартной форме р = Е -V
г=1 г=0
где ег = ад. — Од , г = 1, 2,. . ., ?г — 1, еп = а\п, а е0 можно считать равным ео = ех — а® . Построим теперь конечнозначный элемент
ТЬ
^ + (р{у) = <р(х) + <р{у)
ч>{у + р) ^ р(у) + Ар)-
(22)
гг
г=0
где считаем Ап+1 = А„ + е. Покажем, что д ^ х.
Из е,; d «л по лемме 3 следует Лг+1 ег ^ ег-ж, г = 0,1,..., п (при г = п неравенство получается следующим образом: х cl =>. егчт ^ сег- =
n n п
А„ег < Ап+1ег). Отсюда q = Yj ^+1е*' ^ X) = х^ег = х ■ ех = х.
г~ 0 г—0 г~О
Осталось проверить неравенство (22). Для этого заметим, что q —
п п п п
Е ^ (так как A.i+i — Аг ^ е) + £)ei = Е £ =
г=0 - г=0 г~0 г—0
р + ее.,.. Поэтому у?(с/) ^ |^(р + ее*) ^ (по п. В) Ар) + Аеех) ^ ‘уф') + ^(£6*) = ^(.т) + ецег.
Ж. Пусть х,у € А’+, причем у - ограниченный элемент, пусть
СО
0 ^ у ^ cL, с > 0. Так как Ау) — I < +оо, то fib\ < +оо VA > 0.
о
Рассмотрим для a > 0 два элемента
Уа = У~У Аа1 ига = (х + у)-(х + у)/\а1.
Тогда. еУа = Ьу0а = 6^ и jieya < +оо. По лемме 5 в п. Е для произвольного е > 0 найдется конечно-значный элемент q ^ уа такой, что s{q) < АУа) + £ • fieya. Так как по лемме 4 п.6 za ^ х + уа, а уа ^ q, то
9?(~а.) ^ if(x + уа) ^ Ах + Ч) ^ (по доказанному в п. Д)
Ах) + Ая) ^ Ах) + Ауо) + ецеУа ^ Ах) + Ау) +£ • /ге!/а-
В силу цеУа < +оо и произвольности е > 0 отсюда получаем
Aza) ^ ) + Ау)- Поскольку, в свою очередь, это неравенство верно
лри любом о > 0, то перейдя здесь к пределу при a —> +0 и учитывая следствие из предложения 7° в п.З мы получим
А* + у)= hm Aza) < Ах) + Ау)-
а—>+0
3. Теперь, наконец, имеем возможность перейти к общему случаю. Пусть х,у £ Х+ произвольные. Для любого п € N имеем неравенство ж + у) А ??. 1 X А 77.1 + у A nl (см. следствие из теоремы III.6.2 в [10], с. 71), где все три элемента будут ограниченными, поэтому по доказанному в п. Ж
^р((х + у) л 77.1) ^ <?(х а 771) + Ау л п1) ^ Ах) + Ау)-
Перейдя здесь к пределу при п —► оо и учитывая следствие 1 из предложения 7° в п.З, получим
Ах + у) = lim А(х + у) л п1) ^ Ах) + Ау)-
8. Одно приложение
Опираясь на полученные нами результаты, а также результаты работы [13], мы можем дать новое доказательство теоремы о мерах на булевых алгебрах (по существу имеющейся в работах [7], [14], [15], хотя явно и не сформулированной).
Теорема 4. Если на а-полной булевой алгебре Е имеется существенно положительная сильно субаддитивная а-непрерывная сверху в нуле нечеткая мера у, т.о Е нормируема.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Можем считать /< конечной (иначе взяли бы ц' = /.і А 1). Надстроим над Е Ка-пространство X ограниченных элементов ([10], теорема У.2.3) и построим на Х+ функционал Шоке Он будет существенно положительным (по 12° в п.4), положительно однородным (по 6° в п.З), конечным (если х ^ а1, то ^Дх) ^ а • /і 1), ст-непрерывным сверху в нуле (по 14° в п.4), алгебраически субадди-тивным (по теореме 3), монотонным (по 2° в п.З). Следовательно, для него будет выполняться также условие усиленной субаддитивности
По теореме 1 из [13] Е будет нормируемой булевой алгеброй. Замечание. Для удобства читателя мы повторим основные моменты доказательства теоремы 1 из [13].
Положим для х £ X ||.т|| = ^#1(|ж|). Тогда || • || будет монотонной
осг-непрерывна и ост-непрерывен на Х+ (по 15° в п.4 и замечанию 1
По теореме Хана-Банаха на X существует достаточное множество непрерывных линейных функционалов {/^еЕ, мажорируемых нормой || ■ ||. Все они осг-непрерывны, поэтому их сужения на Е будут конечными счетно-аддитивными зарядами, а полные вариации г>4-этих зарядов - конечными счетно-аддитивными положительными мерами. Если Е% ~ компонента существенной положительности г^-, а. 1^ = УЕ^, £ € £, то множество {1^}^еЕ полно в Е. Наличие непрерывной существенно положительной субмеры на Е обеспечивает счет-ность типа Е, поэтому найдется не более чем счетный набор 1^ , 1^2,... полный в Е. Тогда т : Е —► Ш+, определенная равенством
будет существенно положительной счетно-аддитивной мерой на Е.
¥>(\х + 2/1) ^ ^(М) + ¥>(М) Ух,у Є X.
о \ *■ ои
нормой в А, непрерывной относительно ост-сходимости: хп -----------------► X ==>
|!Жтг|| —► ||ж ||. Действительно, ст-непрерьівная сверху в нуле субмера
оа
к нему), поэтому хп х => |ж„| \х| ==Ф- ||х,г|| —► ||х||.
1 и«„(е)
Литература
1. Choquet G. Theory of capacities // Ann. Inst. Fourier. 1955. V. 5. mi. P. 131-295.
2. Sipos J. Integral with respect to a pre-measure // Math. Slovaca. 1979. V. 29. ^2. P. Ц1-Ц5.
3. Sipos J. Non-linear integrals // Math. Slovaca. 1979. V. 29. №3. P. 257-270.
4. Sipos J. Integral representations of non-linear functionals // Math. Slovaca. 1979. V. 29. №4. P. 333-345.
5. Порошкин А.Г., Баженов И.И. Один способ интегрирования по монотонным функциям множества // Упорядоченные пространства и операторные уравнения: Межвуз. сб. научн. тр. / Пермский ун-т. Сыктывкар, 1982. С. 28-41-
6. Maharam D. An algebraic characterization of measure algebras // Ann. Math. 1947. V. 48. mi. P. 154-167.
7. Kelley J.L. Measure on Boolean algebras 11 Pacif. J. Math. 1959. 7. 9. P. 1165-1177.
8. а.) Порошкин А.Г. О метризуемости порядковых топологий в К-пространствах / Сыктывкарский ун-т. Сыктывкар, 1981. 16 с. / Деп. в ВИНИТИ, т 743-81 ДЕП. (См. также б) Порошкин А.Г. К вопросу о метризуемости секвенциальной порядковой топологии в упорядоченных группах и векторных пространствах // Вестник Сыктывкарского ун-т,а. Серия 1: Математика. Механика. Информат.ика. 1995. Вып. 1. С. 63-74-)
9. Порошкин А.Г. К вопросу об интегрировании по векторной мере // Вопросы функционального анализа (теория меры, упорядоченные пространства, операторные уравнения): Межвуз. сб. научн. тр. / Сыктывкарский ун-т,. Сыктывкар, 1991. С. 82-88.
10. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 407 с.
11. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984- 750 с.
12. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, 1983. 343 с.
13. Порошкин А.Г. К вопросу о нормируемости булевых алгебр с непрерывной внешней мерой // Сибирский мат.емат.ический журнал. 1980. Т. 21. Щ. С. 216-220.
14. Eisenstadt B.J., Lorentz G.G. Boolean rings and Banach lattices // Illinois J.Math. 1959. V. 3. Щ. P. 524-531.
15. Попов В. А. Аддитивные и полуаддитивные функции на булевых алгебрах // Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17. №2. С. 331-339.
16. Порошкин А.Г., Шергин Ю.В. О функционале Шоке в Ка пространстве со слабой единицей. Деп. в ВИНИТИ Ке2378-В97. 30 с.
17. Порошкин А.Г., Шергин Ю.В. Об одном применении функционала Шоке. // Проблемы современного математического образования в педвузах России. Тезисы докладов Межрегиональной научной конференции: Киров, 1998. С. 190-192.
Summary
Poroshkin A.G., Shergin Yu.V. On the Choquet functional and one its application in measure theory
The main properties of nonadditive extended functional on the cone of positive elements of a Ka-space with a weak unit, named here the Choquet functional, are considered. One application of this functional is given — a new proof of normability of a cr-complete Boolean algebra with an essentialy positive strongly subadditive continuous fuzzy measure.
Сыктывкарский университет
Поступила 28.09.2000
