Свойства сходимости по мере на йордановых алгебрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2003, Том 5, Выпуск 4

УДК 517.98

СВОЙСТВА СХОДИМОСТИ ПО МЕРЕ НА ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБРАХ

И. Г. Ганиев, А. К. Каримов

В работе продолжается изучение свойств топологии сходимости по мере на йордановых алгебрах. Дается явный вид метрики на йордановой алгебре, которая определяет топологию сходимости по мере.

В работах [1-3] было введено понятие Оалгебры и изучены свойства этих алгебр. В частности, Оалгебру можно рассматривать как объект, описывающий в аксиоматической форме пространство измеримых элементов относительно ЗВ\¥-алгебры. В [1, 2] рассматривалась также топология сходимости по мере, в частности, в [1] доказано, что в этой топологии 03-алгебра является топологическим кольцом. В [2] рассмотрена Ж топология на 03-алгебрах, описаны условия ее существования, единственности и метризуемости.

В настоящей работе продолжается изучение свойств топологии сходимости по мере на йордановых алгебрах. Дается явный вид метрики на йордановой алгебре, которая определяет топологию сходимости по мере. В случае алгебр фон Неймана аналогичный вопрос рассматривался в работе [6].

Пусть (А, || • ||) — ЗВ Ж-алгебра с точным нормальным конечным следом т, Б (А) — 03-алгебра измеримых элементов относительно А (см. [1]).

Определение 1. Элемент а £ ¿>(^4) назовем т-измеримым если в спектральном

+оо

разложении а = f А йе\ идемпотенты ед^ и е_д имеют конечную меру т. е. т(ед^) < оо

—оо

и т(е_д) < оо при некотором А. Через К (А) обозначим множество всех т-измеримых элементов из Б (А).

Определение 2. Для любого а £ К (А) значения функции

а(а) = ш£{А € [0, со] : т(1 — ед) ^ а} (а > 0),

оо

где |а| = / Х(1е\, |а| = л/а^, называются обобщенными з-числами элемента а. Через «о» о

обозначим йорданово произведение в Б (А).

Предложение 1. Имеют место следующие утверждения:

(1) функция а(а) невозрастающая, непрерывная справа и

Ишй(а) = ||а|| € [0, оо], а € К (А)-,

«4,0

© 2003 Ганиев И. Г., Каримов А. К.

(2) для любой строго возрастающей непрерывной функции g на [0, оо) такой, что д(0) ^ 0 имеет место

д-(|а|)(а) = fl-(|a|(a)),

при всех a € К (A), a > 0;

(3) a(a) = 0 для a ^ r(supp |а|) и для любого а € К (А);

(4) a(a) = |а|(а) и (/За) (а) = \/3\а(а), где а € К (A), fi € К, а > 0;

(5) (а + Ь)(а + /3) ^ а(а) + Ь(/3) для всех а,Ь € К (А) и а, /3 > Ojie) а(а) sí Ь(а), если 0 ^ а ^ Ь, а > 0;

(7) (а о fe)(a¡) ^ ||Ь||а(а) для всех а € К(А), b £ А.

оо

(8) если а € А, а ^ 0, то т(а) = Jа(а) da, в частности,

о

\ 1/р p(a) da I ;

о

(9) если a,b £ А, то

t t

f((a + b)(a))da < J f (a(a) + b(a)) da (t > 0) o o

для любой возрастающей непрерывной выпуклой функции /;

(10) если / возрастающая вогнутая функция на [0, оо] и /(0) = 0, то

t t t

f((a + b)(a)da ^ J f(a(a))da + j f(b(a))da. o oo

<1 (9): Рассмотрим JBW-алгебру J(a,b), порожденную элементами a и b. По предложению 3.9 [3, стр. 26] она изоморфна обратимой JW-алгебре. Тогда след т можно продолжить до обертывающей J(a,b) алгебры фон Неймана W(J(a,b)). Из единственности спектрального семейства следует, что s-числа для элементов a и b в W(J(a, fe)) и в J(a,b) совпадают, поэтому требуемое неравенство, справедливое в W(J(a,b)) в силу [4], верно и в J(a, fe).

Остальные утверждения предложения 1 доказываются аналогично. >

Определение 3 (см. [1]). Топологией сходимости по мере па К (А) называется отделимая векторная топология t, в которой базис окрестностей нуля образуют множества вида N(e,ó) (е,6 > 0), где

N(e, 5) = {at К (А) : Зр € V, Upa G A, \\Upa\\ < e,t(pl) < «}■

Здесь Í7p : К (А) —К (А) — линейное отображение, определяемое равенством

Uxy = 2ж о (ж о у) — ж2 о у,

V — булева алгебра всех идемпотентов в Л. Если специальна, то Uxy = жуж, где жу — ассоциативное произведение элементов ж и у.

t

Сходимость в топологии t обозначим как ап а и назовем ее сходимостью по мере.

Предложение 2 (см. [5]). Если ап,а £ К (А), то справедливы утверждения: (¡) ап —а тогда и только тогда, когда (ап — а)(а) —0 (а > О); (п) если ап —а, то /(ап) —/(а) для любой действительной непрерывной

функции /.

Отделимую векторную топологию ш на К (А) будем называть Ж -топологией, если выполняются следующие условия:

I. (1) для любой окрестности нуля \¥ существует окрестность нуля V с И ' такая, что из 0 ^ х ^ у € V, следует х € V;

Г7 ТТ (пЛ а ЛГ гж 7

называют нормальными), где 1 — единица алгебры К (А);

II. для любой сети идемпотентов {е„}, убывающей к нулю, еа 0;

III. если {еа} С V, еа —0, то для любой сети {ха} элементов из К (А) сеть {ха о еа} сходится к нулю в топологии ш.

Предложение 3 (см. [2]). В топологической 03-алгебре (К(А),ш) справедливы утверждения:

(1) Ж-топология ш совпадает с топологией сходимости по мере;

(2) ш метризуема тогда и только тогда, когда К (А) счетного типа.

Теорема 1. Отображение р : А х А —[0, сю), определенное равенством

(2) если у б V, я2 = 1, р € V, то из(у) £ V и 11р(у) € V (такие окрестности V

р{х,у) = т\ У'

1 + \х — у\

является метрикой на А.

<1 Проверим аксиомы метрики.

1) Очевидно, что р(х,у) ^ 0. Если р(х,у) = 0, то в силу точности т получим, что

_и

1 + \х у\ = т- е. ж = у. Обратно, если х = у, то, очевидно, р(х,у) = 0.

2) Очевидно.

3) Пусть х,у € А, тогда р(х,у) = т^ + |ж = / (1 + |ж - у|) ^ ^ Так как

функция /(£) = возрастает, непрерывна на [0,+оо) и /(0) = 0, то из предложе-

ния 1 (2) следует, что

оо оо оо

( \х — у\(сх) , ( (х — у)(а) , (' (х — г + г — у) (а)

р(х, у) = / „ 1 , , йа. = / „ ^ . . йа. = / —Ц-——т"т—г (¿а.

У 1 + — у| (а) У 1 + (ж — у) (а) У 1 + (х - г + 2 — у) (а) 0 0 0

Далее, из утверждения (10) предложения 1 следует, что

сю сю

( (х ^ г)(а) Г (г —у) (а)

р(х,у) < / ——----(¿а+ / ——----(¿а = р (х,г )+р (у, г .

У 1 + (ж - г) (а) У 1 + - у) (а)

о о

Теорема доказана. >

Через обозначим отделимую топологию в А, порожденную метрикой р. Покажем, что наделяет А структурой топологического векторного пространства. Так как р((х— у), 0) = р(х,у), то операция сложения непрерывна в топологии Пусть Хп X, АИ,А £ Ж, х £ А. Тогда

р((Хп - Х)х, 0) = |А„ - А|т^1 + |Л^Л||ж|^) < |А„ - А|т(|ж|) 0.

ti ti

Следовательно, Хпх Хх. Пусть хп 0, хп G А, Хп £ 1, |A„| (n = 1, 2,...). Тогда

р(Аижш0) =rf ^f;1 ) Л < 2™т(-^-Л О,

т. е. Хпхп % О,

11

Аналогично, если а;„ -4 i, то Ажи Хх для всех A G К. Отсюда и из равенства Хпхп — Хх = Х(хп —

х) + (Хп — Х)х + (А„ — А) (ж п — х) следует, что операция умножения на скаляр непрерывна в топологии t\.

Предложение 4. Топология t\ на А является Ж топологией.

<1 I. (1): Пусть 0 ^ х ^ у и р(у, 0) < е. Так как функция f(a) = a возрастающая, а след т положителен, то

оо оо

р(ж50) = \ = [ cfa< [ Jy№-da = p(y, 0)<е.

\1 + ж/ J 1 + |ж|(а) J 1 + |у|(а) о о

(2): Так как любая двухпорожденная подалгебра специальна, то при р(у, 0) < е, р G V выполнены равенства

сю

ж 0) = т f = f (pxp)(a) da

Р ' \1 + |ржр|/ J l + (pxp)(a)

о

сю

^ Г |Ы|2ж(а) , / Ы \ ,

^ / 1 Г и 2 / > = т Т~ГГ7 <е.

J l + \\p\\zx{a) \1 + |ж|/

о

Аналогично, если s2 = 1, то p(Usx, 0) < е.

II: Пусть е„ | 0. Тогда р(е«,0) = t^-^^J = ^т(е„) 0, т. е. е„ 0.

III: Пусть {е„} С V, е„ % 0, т. е. р(е„, 0) ^ 0. Тогда

Так как

то для ;r„ fr Л будет

Отсюда выводим

° ° в" , < 1, 1 + F« ° eJ

л ^ ба|жа о еа|еа _

и "Z : ; г Ss еа ±еа — еа,

1 + Ха ° еа

р(Ха °е-0) = Т 11 + |хвоев|) = Т ( 1 + \хаеа\ ) < Т(6«)

т. е. ха о еа 0. Следовательно, ^ является Ж топологией на А.

Из предложений 3 и 4 следует, что топологии I и совпадают на А. Известно (см. [1]), что А плотно в 0.7-алгебре К (А) т-измеримых элементов, присоединенных к А, относительно топологии сходимости по мере, т. е. можно считать, что

К (А) есть замыкание А в топологии t. Поэтому р продолжается до метрики р на К (А), порождающей топологию t.

t

Предложение 5. Пусть an € А, ||аи|| ^ 1. </,, —г а. Тогда т(ап) —т(а). <1 Пусть а = 0, е > 0. Тогда существуют номер п(е) и р £ V такие, что т(р^) < | и ||t/pa„|| < | для всех п > п(е). Если ап = \ап\ о sn полярное разложение ап, где — симметрия в А (т. е. s^ = 1, ||s„|| = 1), то

|т(а„)| т(|а„|) = т(|а„| о р+ \ап\ о р1) = т(ап о snop) + т(а„ о 5порх)

||sn||r(?7pan) + IKIIIIsnllr^-1) ^ \\UpOnW +т(р±) < | + | = е,

т. е. т(аи) —0 при п —оо.

Теорема 2. Метрика р имеет вид

р(х, у) = г (x^i^^i) (ж> у е кш-

<1 Пусть ж,у G К (А) и жи, уи G Л, такие что жи А ж, уи А у. Тогда жи ^ ж, уи ^ у в Ж-топологии. Из предложения 2 следует, что

kn. ~ Уп| д \х - у\ 1 + \хп-Уп\ 1 + \х-уУ

т. е.

\Xn-Vn I Д \х-у |

Так как 0 ^ —^ т0 в СИЛУ предложения 5

т f \хп-Уп\ \ \х-у\ N

V1 + \хп ~Уп\/ \1 + 1а;-у|/'

Из

Р{х-,у) = lim. р{хп,уп) = Нтт( —!—^üL-J =т(\х УI | n п \1 + \хп -Уп\) \l + \x-y\J

следует, что Теорема доказана. >

Пусть Л-обратимая JW-алгебра (т. е. йордонова алгебра ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве), т-точный нормальный конечный след на А, К (А) — OJ-алгебра т-измеримых операторов, присоединенных к A, W(A)~ обертывающая алгебра фон Неймана для А. Продолжение т до W(A) является точным нормальным конечным следом т\ (см. [3]). Через K(W) обозначим кольцо т\-измеримых операторов присоединенных к алгебре W(A). Ясно что, К (А) С K(W).

Следствие. Пусть xn,x G К (А) (п = 1,2,3,...). Тогда х„ сходится по мере к х в К (А) тогда и только тогда, когда хп сходится по мере к х в K(W).

Теорема 3. Метрика р обладает следующими свойствами:

(1) р(х + у, 0) = р(х, 0) + р(у, 0), где ж,у G А+ = {х G А : х ^ 0}, ху = 0;

(2) р(Хе, 0) = 1М^(е,0), А е 1, е е V;

(3) р(х о е, 0)< 0), ж 6 4, е £ V;

(4) если а € А, х € К (А), то существует такое натуральное число п, что р(а о ж, 0) < 2пр(х, 0);

(5) если .ч ^ .4 и м- 1. п> р(ивх,иву) = р(х,у).

<1 (1): Пусть 1,|/ е х о у = 0. Тогда ж о (1 + х + у) = ж + ж2 = ж о (1 + ж) и у о (1 + ж + у) = у + у2 = у о (1 + у). Отсюда

хх у у

1 + ж 1 + ж + у 1 + у 1 + ж + у ж + у ж у

1 + ж + у 1 + ж 1 + у

Следовательно,

+0) =т (ifTTí) =т (тЬ)+т Ш = 0)+0)'

(2): Так как (|А|е)/(1 + |Л|) = (|Л|е)/(1 + |А|е) и т(е) = 2р(е,0), то

(3): Пусть ж € А и е € V, Тогда

оо сю

Жжое'0) = т(тти^)=/(ттиЪ)(а)& = /1 + (°ж о i)t)

о о

сю сю сю

/IM|e(a¡) , (' (||ж||е)(а) , (' ( ||ж||е \ . . , , " ,, , ; , da = / i ,, , . da = [ „ " „ (a) da 1 + ||ж||е(а) J 1 + (||ж||е)(а) J \1 + 1М|е^ > 0 0 о

(4): Пусть a G А, ж G К (А). Выберем такое натуральное число п, что ||а|| sí 2". Тогда

сю сю

/ |аож| \ [ \д о ж| [ \дох\(а)

р(а о ж, и) = т --¡-г = / --¡-г (а) da = --¡--- da

и ' \l + \aox\J J 1 + |а о ж| ; J 1 + |аож|(а)

о о

сю сю

< í [ i х(а} , da = 2np(x,0).

У 1 + 2"ж(а) У 1 + ж(а) ' '

о о

(5): Так как

\Usx\2 = |5ж«|2 = (SXS) О (SXS) = «|ж|25 = s|x||x|s = о = (Us\x\)2, то \Usx\ = Us\x\. Поэтому

сю

~(ТТ тт \ ( \UsX-Uay\ \ [ ( \UsX-Usy\ X ,

о

Va)cfa= [("'!*г Vl ,)(«)*»

l + \Us(x^y)\Jx J J \l + Us\x-y\ о 0

oo oo

1 + — y|s 0 0

(a) da = I (s\x — y\s) о ((s + s|x —){a)da

oo

= J (s|x — y\s) о ((s(l + \x — y|)s)_1)(a) da = J((s|x — y\s) о (s(l + \x — y|)_1s))(a) da о о

oo oo

= I (six — y\(l + \x — y\) ls)(a)da= I is—■—:———rs)(a)(ia J J \ l + \x — y\ J

о 0

= r(s |3ТУ| =p(x,y).

\l + \x-y\) \l + \x-y\) ^

Теорема доказана. >

Авторы благодарны профессору В. И. Чилину за полезное обсуждение результатов.

Литература

1. Актов Ш. А. Интегрирование на йордановых алгебрах // Изв. АН СССР. Сер. Матем.—1983.— Т. 47, № 1.-С. 3-25.

2. Актов Ш. А., Усманов Ш. М. Порядок и топология в йордановых алгебрах.—М., 1980.—75 с. Деп. в ВИНИТИ № 4232-80.

3. Актов Ш. А. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебр.—Ташкент: Фан, 1986.-124 с.

4. Faek Т., Kosaki Н. Generalized s-numbers of r-measurable operators // Рас. J. Math.—1986.—V. 123, № 2.—P. 269-300.

5. Каримов А. К. Субаддитивные меры на йордановых алгебрах // Узб. мат. журн.—1993.—№ 4.— С. 42-47.

6. Ганиев И., Чилин В. И. Измеримые расслоения »-алгебр измеримых операторов // Узб. мат. журн.—2001.—№ 1— С. 8-13.

Статья поступила 25 августа 2003 г.

Ганиев Иномжан Гуломжанович, д. ф.-м.н. Узбекистан, г. Ташкент,

Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта E-mail: inamOcomuz. uz

Каримов Абдусалом Кодиралиевич, к. ф.-м. н. Узбекистан, г. Ташкент,

Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности