О погружении обобщенной булевой алгебры в булеву алгебру Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып.2,1996

517.987

О ПОГРУЖЕНИИ ОБОБЩЕННОЙ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ В БУЛЕВУ

АЛГЕБРУ

А. А. Порошкин

В статье дается вариант доказательства теоремы о погружении обобщенной булевой алгебры в минимальную булеву алгебру. Рассмотрены также некоторые вопросы, связанные с порядковыми топологиями п с продолжением функций.

1. В п.п. 1 и 2 напомним, необходимые понятия и факты из рнн решеток и теории колец. Терминология по теории решеток «сновном совпадает с принятой в монографиях [1,2,3].

Булева алгебра (кратко: БА) - это дистрибутивная решетка Ь жаименышш и наибольшим элементами 0 и 1, в которой для ка-то х € Ь существует (единственное) дополнение х' £ Ь, удовле-'рягощее условиям х А х1 = 0, х V х' — 1.

Обобщенная булева алгебра (кратко: ОБА) - это дистрибутивная етка Ь с наименьшим элементом 0, в которой каждый элемент х 5ом сегменте [0, г] Э х обладает (единственным) относительным гашением х'г, удовлетворяющим условиям х А х'г = 0, ж V х'г = г. о определение эквивалентно определению из [1], с.71.) Булево кольцо (кратко: БК)- это кольцо в котором каждый мент а является идемпотпентом, т.е. удовлетворяет условию = а ([1],'с. 69). БК коммутативно и, кроме того, а + а = О Vа £ Я. Жаждая ОБА Ь превращается в БК, если в ней ввести операции ж • по формулам:

х + у.= (хЛу'г)Ч(х[Лу), (1)

х • у х Ау, (2)

г ^ х V у - произвольный элемент из Ь (правая часть в (1) не сит от выбора г). Нулем этого кольца будет нуль алгебры.

Порошкин а. а., 1996.

Ь будет БК с единицей в том и только том случае, когда Ь есть БА, причем единицей кольца будет единица Б А.

В свою очередь каждое БК Д превращается в ОБА, если в нем определить решеточные операции по правилам

х Л у := ху, XV у := х + у + ху. (3)

При этом порядок в Д вводится по правилу

х < у := X = ху, (4)

так, что кольцевой нуль будет и решеточным нулем.

БК Я будет БА в том и только том случае, когда В - кольцо с единицей, причем кольцевая единица будет и решеточной единицей. В БК Я, рассматриваемом как ОБА, относительным дополнением элемента х € [0, г] будет элемент х'2 = г + х, а в кольце с единицей дополнением х £ Я будет элемент х' = 1 + х.

В связи с двоякой природой ОБА или БК М в зависимости от того, какие операции рассматриваются в М, иногда будем пользоваться записями (М,V,А,') или (М, +,•); наличие решеточной или кольцевой единицы в этой записи также можно было бы отражать.

Пусть N есть кардинальное число. ОБА называется К—полной, если в ней любое подмножество мощности ^ К обладает супремумом (а следовательно, и инфимумом). При К = ^о ОБА Ь называется а-полной.

Говорят, что ОБА Ь удовлетворяет К-цепному условию, если любая дизъюнктная система ненулевых элементов Ь имеет мощность не выше, чем К ([8]). В случае К = Ко говорят, что Ь есть ОБА счетного типа ([2,3]).

2. Идеал ОБА (Ь, V, Л/) есть подмножество Хо С Ь со свойствами:

1) Ь0 ф 0;

2) и V и с £0;

3) хеЬо,у^х=>уеЬо ([2]).

Идеал булева кольца (Я, 4-, •) есть подмножество До С Я со свойствами:

1) До ф 0;

2) До + До С До;

3) До • Д С До.

Максимальный идеал — это собственный идеал, который не содержится ни в каком существенно более широком собственном идеале.

Фильтр о ОБА (X,V,A, ') есть подмножество F С X со свой-in:

1 Рф 0;

2 FAF С F:

-3 х£ F, у ^ => у £ F.

В зависимости от того, рассматриваем ли А1 как ОБА или БК, идеал Mq С М будем называть решеточным или кольцевым. Нетрудно проверить, что каждый идеал ОБА или БК будет одно-евно решеточным и кольцевым, а максимальный идеал в одной с~э/ктур будет максимальным и в другой структуре. Известно *то идеал БА L максимален в том н только том случае, когда каждого х £ L один и только один из элементов х, х' принадлс-щдеалу. Следовательно, идеал БК Л с •единицей! максимален ^а и только тогда, когда для каждого х £ R один и только один элементов х, i + х принадлежит идеалу.

Решетки X и L\ изоморфны,, если имеется биекция / : X —» Ь\

что .г ^ у f{x) ^ f(y). Легко показать, что решеточный ' изоморфизм ОБА (X, V, Л, ') ОБА (X],V,Л, ') будет и кольцевым изоморфизмом (X, +, •) на . Нг, •). Верно и обратное утверждение':

Последовательность (х„) в ОБА X оа-сходится к х £ X (пишем: —х), если Щуп), (z„) в L такие, что: " Уп ^ Хп zn Vn и

2 уп t x,zn I х (первое означает: у\ ^ 2/2 ^ ••• " ^7=\Уп = >эе— двойственное,условие).

Множество Е С X назывется оо—замкнутым, если хп £ —*0<Т х ==Ф- х £ ' Е. Класс множеств, дополнительных к замкнутым множествам, образует топологию т0(Т, называемую топологией. ;

3. Справедлива следующая

Теорема 1. Для каждой ОБА X существует Б А Л такая, L изоморфна некоторому максимальному идеалу Aq алгебры Эта алгебра единственна с точностью до изоморфизма. БА Л естественно назвать булевой алгеброй, порожденной обобщай булевой алгеброй X. Это минимальная БА, имеющая мак-льный идеал,s изоморфный X. Доказательство. Мы приведем одно из возможных доказала этой теоремы. Будем рассматривать X как БК. Пусть {0,1} - кольцо вычетов по модулю 2 и пусть А =. К х X. Вве-

дем в Л операции сложения и умножения по следующим правилам: (а,х) + {Ь, у) = (а + 6, х4- у), (а, х) ■ (b, j/) = (аЬ,ay + bx + ху), где по определению полагаем ах = 0 при а = 0 и ах = х при а = 1. Тогда нетрудно проверить, что Л есть ВК, в котором элемент е = (1,0) будет единицей, а элемент и — (0,0) — нулем. Следовательно, Л есть БА. Его подмножество Ло = {0} х L будет идеалом кольца Л, изоморфным кольцу L (изоморфизмом будет биективное отображение / : х к—► (0,я*)), а следовательно, идеалом БА Л, изоморфным ОБА L.

Покажем, что Ло будет максимальным идеалом БА Л. В самом деле, каждый элемент а € А либо имеет вид (0, ж) и тогда а € Ло, либо имеет вид (1,.г). В этом случае а' — (1,ж)' = (1,0) + (1,х) = (0, х) 6 Ло- Итак, из двух элементов а1 £ А один и только один обязательно принадлежит Ло, а это и означает, что Ло - максимальный идеал .

Осталось доказать единственность. Пусть М - еще одна БА, имеющая максимальный идеал A/q, изоморфный L. Тогда Л/о изоморфен и Ло, пусть д : А о —> М0 - изоморфизм. Положив д(а) = д(а) при се 6 Ло и д(а) = (<?(»'))' при a' G Ло, получим биекцшо Л на М. Нетрудно проверить, что д - изоморфизм.

Следствие 1. Если ОБА L удовлетворяет ft-цепному условию, то и БА также удовлетворяет этому условию.

Доказательство. Заметим прежде всего, что если а,/3 € Л и а А (3 = 0, то хотя бы один из этих элементов будет лежать в Ло- В самом деле, если бы было а = (1,ж), Р — (1,у), то а(3 — (1, гг 4- у + ху) ф 0, что противоречит дизъюнктности а и (3.

Допустим теперь, что ОБА L удовлетворяет К-цепному условию, и пусть Е - произвольное дизъюнктное множество в Л. Тогда все его элементы, за исключением, быть может, одного, принадлежат Ло, а поэтому мощность множества Е не превосходит К.

Следствие 2. Если ОБА L К—полна, то такова же и БА Л.

Доказательство. Пусть Е с А - подмножество мощности К и пусть Е\ С Е - подмножество тех элементов, которые лежат в Ло, а Еч С. Е - подмножество тех элементов, чьи дополнения лежат в Ло- Тогда по ассоциативному свойству для верхних граней ([3]) sup Е = sup Е\ V sup Еъ причем оба супремума существуют, так как мощности Е\ и Еч не превосходят ft, a sup Еч можно вычислить, используя закон Де-Моргана: sup Еч = (inf а' : а € Еч) .

Сопоставляя теорему 1 с теоремой Стоуна о реализации булевой

воры ([2],-с. 40), получаем

Следствие 3. Каждая ОБА изоморфна кольцу открыто-ткнутых подмножеств некоторого компактного вполне петого хаусдорфова топологического пространства Т. Это .ьцо будет максимальным идеалом алгебры всех открыто-'кнутых подмножеств пространства Т.

Реализацию булевых колец удобно осуществлять также с помо-» колец непрерывеных функций, используя, например, следую-понятие.

Булевым кольцом индикаторов назовем кольцо Сод(Т') всех не-грывных на топологическом пространстве Т функций, являю-сся индикаторами (характеристическими функциями) подмно-гтв пространства Т с обычной операцией умножения и операцией эження по модулю 2. Следствие 4. Для-каждого БК. (Я, +, •) существует един-.венное (с точностью до гомеоморфизма) вполне несвязное ком• ?чтное хаусдорфоао пространство Т такое, что либо Я изо-урфпо БК индикаторов Сц \(Т) (если Я содержит единицу), либо изоморфно некоторому максимальному идеалу кольца Сод (У). 4. В следующей теореме даются условия эквивалентные оа—замк-/тости максимального идеала Б А. Теорема 2, Пусть А - БА, Ь ~ ее максимальный идеал. Тогда рдующие условия эквивалентны:.

(а) Ь оа-замкнут в А;

(б) не существует последовательности хп | \, хп £ Ь;

(в) не существует последовательности уп | 0, уп £ Ьс\

(г) фильтр Ьс оа-замкнут в А;

(д) Ь - открыто-замкнут в оа-топологии тоа. Доказательство. 1) (а) => (б). Если имеется хп е Ь,хп 11, то

не является ост-замкнутым в А, так что не выполняется условие

2) (б) (в). Если существует уп £ Lc,yn [ 0, то тогда у'п £ L и | 1 - не выполнено условие (б)

3) (в) =Ф> (г). Если 27 не оа—замкнут, то найдутся последователь-:ь (ип) в Lc и и £ L такие, что ип —*0СГ и. Пусть zn сжимает ип к

сверху: zn ^ м„, zn | и. Тогда zn £ Lc, zn А и' £ Lc (ибо Lc - фильтр А) и, в силу выполнимости бесконечных дистрибутивных законов БА ([3], с. 37)

Уп = zn А и' I и А и' = 0.

Но это значит, что нарушено условие |в|.

4): (г) =». (а). Если L не ост-замкнут, то шлЯтужя х% € L,y € Lc такие, что хи -->'ж у. Тогда, х'п £ у' £ I и хх так что и U также не будет о г/--замкнутым.

5) Теперь ясно, что условие (д) выполнено тогда л только тогда, когда одновременно выполнены (а) и (г).

Теорему 2 можно обобщить на случай так называемых оК-топо-логий т0\\ (К кардинальное число), определяемых по аналогии с ост-топологией с помощью K-направлений, т.е. направлений (з;а)(>бЛ, где. card А ^ R (см.[5]).

Теорема 3. Пусть А - Б A, L - максимальный идеал. Тогда следующие утверждения эквивалентны: a) L оН-замкнут; б) не существует К-направления ха f l,xQ £ L; вJ не существует К-направления уп J. О,уа £ L°; г) U оК-замкнуто; д) L открыто-замкнут в топологии

5. Приведенные результаты позволяют в некоторых случаях просто решить вопрос о продолжении функций с ОБА на порожденную БА с сохраненном некоторых свойств.

Пусть L - ОБА. А - порожденная БА, (Т, г.)- топологическое пространство, 0 £ Т отмеченный элемент. В случае, когда Т есть топологическое векторное пространство (ТВП), топологическая группа (ТГ) или расширенное множество К вещественных чисел, то отмеченным элементом пространства Т будет считаться нуль этого пространства или множества.

Пусть / : L —> Т функция на L. Мы всегда будем предполагать, что/(О)—0.

А. Если на / не наложено никаких ограничений, то простейшим ее продолжением на А будет функция

m"-\tj>-, если х £ Lc, {5)

где to £ Т произвольный элемент.

В ряде вопросов теории функций на булевых алгебрах важную роль играют следующие свойства функций (см. [б]):

(Dx) для любой последовательности (ж„), такой что хп A xm — х при п.ф т, выполняется равенство lim/(a;n) = f (x);

(Dx) для любой последовательности (хп), такой что хп V хт = х . при п ф гп, выполняется равенство lim f(xn) = f(x);

(Ux) xn t x => l\mf(xn) = f\x);

Б. Предложение. Если, функция / при любом.х £ Ь удо-етворяет условию {Вх) ((Д,.)), то ее продолжение (5) также увлетворяет аналогичному условию при любом х £ А. Доказательство. Пусть хп £ А и хп А хт = х при т ф п. Гогда, если х £ Ь, то все хп, кроме быть может одного, лежат в Ь , случае хп, хт £ Ьс имели бы х = хп А хт £ Ьс, ибо Ьс- фильтр) и :/(л:„) = Если же х £ Ьс, то и все хп £ Ьс, а тогда f(xn) — —» /0 = /(.т). Значит, (£)х) выполнено V:;: 6 А. Случай с (Дс) разбирается аналогично.

В. Пусть / удовлетворяет условию (11х) при любом х £ Ь. Тогда, Ь оа—замкнута в А, то и ее продолжение (5) также удовдетво-этому условию при любом х £ А. Если Ь не оо—замкнута, то эходимым условием продолжимости / на А является следующее: |А) Если г £ Ьс,хп,уп £ Ь, хп, уп | -г, то Нгаж„ = Пт уп. Понятно, что не каждая функция /, удовлетворяющая (С7"х) при юом х £ Ь, удовлетворяет условию (А).

Пример 1. Пусть Ь - ОБА конечных подмножеств множества | натуральных чисел,

•'"i

1 + 1*2

:Г|| количество нечетных чисел, а ¡Х2| - количество четных чи-з множестве х £ Ь. Тогда / удовлетворяет условию (С7Х) в Ь, со не удовлетворяет условию (А) ни для какого 2 £ Ьс. (До-гочно выбрать последовательности (х„), (уп), в'одной из которых IX чисел в 2 раза больше, чем нечетных, а в другой наоборот шх в 2 раза больше, чем четных.) *

Если / изотонная числовая функция (х ^ у => f(x) ^ /(;{/)), то ула (5) дает изотопное продолжение / при tu ^ supf(L). Если, у же, / удовлетворяет условию (Ux) при любом х £ L, то она удовлетворять также и условию (А). [Действительно, пусть z £ Lc и пусть а = sup{/(a-) : х £ L, х ^ г}. : Ь < а, то найдется xq ^ г, а:о £ L, такое, что /(xq) > b. Поэтому жп Î 2, то хп А х0 î xq и f(xn) ^ f{xn A ar0) f(xо) > Ь. Значит^ 1/fXn) ^ b и, в силу произвольности b < a, lim/(:c„) = а. КЕсли положим теперь

при X £ L,

v\: у £ L,y х}, при х £ Lc,

то получим изотопное продолжение / на А. Нетрудно проверить, что /' удовлетворяет условию (Ux) V.r £ Л (независимо от того, будет ли L о<т-замкнуто или нет).

Г1. Если / абстрактная внешняя мера (см. [7]), а топология в Т отделима, то /' в (5) также будет абстрактной внешней мерой при любом выборе ¿о £ Т. В частности, если /- субаддитивная (f(x V У) ^ f(x) + f{y))i илп-TV—субаддитивная. (3iV ^ 1 : f(xVу) ^ /(ж) + Nf(y)) положительная числовая функция, то такова же и /' при любом выборе ¿о- '

Д. Пусть Г - абелева хаусдорфова ТГ, f : L Т - аддитивная функция. Тогда взяв любое t.Q е Т и полагая

f"/ х _ / /(*)> если х.£ L; '

1 ~ ~ Я*')- если ж £ Lc, 1''

(здесь х' - дополнение элемента х £ А) получим аддитивное продолжение / на А.

Оно будет и счетно-аддитивным продолжением, если- счетно-аддитивна функция /, a L - оа—замкнута. В частности, если L будет <7—полной ОБА, то /" - счетно-аддитивное продолжение /.

Если же L не будет оа—замкнутой, то продолжение / может не существовать, а если и существует, то его можно получить по формуле (7) лишь при специальном выборе элемента ¿о- Оно существует в том и только том случае, когда выполняется следующее дополнительное условие:

(A1) Va:n, уп £ L, таких что хп f 1,уп f 1, существуют и равны пределы Yim f (xn), Wm f {уп).

В этом случае для получения счеч. но-аддитивного продолжения функции / в формуле (7) следует взять ¿о = Иш f {xn), где хп | 1.

В общем случае условие (А1) может не выполняться.

Пример 2. Пусть X, ¡.xij, ¡х2| те же, что в примере 1, f(x) — |a:i | — ¡Ж21- Тогда / - счетно-аддитивна на L, однако не удовлетворяет условию (Л').

Следующие примеры являются иллюстрациями к тем трем возможностям в вопросе о продолжении счетно-аддитивной функции, о которых было сказано выше.

Пример 3. Если L - ОБА конечных подмножеств множества N,T = /2, f(x) = Кх (индикатор множества х £ L), то / -счетно-аддитивна, но не имеет счетно-аддитивных продолжений на порожденную БА, ибо, например, последовательность (f(xn)) при хп — {1,2,... ,п} | 1 не будет фундаментальной в I2.

Пример 4. Если Ь ОБА коночных подмножеств множена, то та же функция / имеет бесконечное множество счетно-тивных продолжений на порожденную БА: при любом выборе £ I2 функция /", построенная по формуле (7), будет счетно-

'тивной.

Пример 5. Пусть Ь - ОБА ограниченных подмножеств мно-~тва (Ц), а Е I2. Занумеруем элементы (ф : Г1,Г2,..., и пусть 'I = а ■ К{п:Гп€£у Тогда для любой последовательности х

Т 1 бу-

}{хп) —* а, а поэтому / имеет единственное счетно-аддитивное олженне, получающееся из (7) при Ц = а. Заметим, что в этом ,ае / допускает счетно-аддитивное продолжение на БА более

кую, чем БА, порожденная Ь. 6. Рассмотренный нами способ погружения ОБА в БА, разуме-. не единственный. Можно было бы. например, поступить и «ющим образом. Выделим в Ь полную, дизъюнктную систему ентов 11 возьмем полное соединение А = буле-

алгебр Е Н ([4], с.77-78), являющееся также БА. Исход-

ОБА Ь будет изоморфна некоторому идеалу Ло алгебры- А. Ао ается следующим образом: У у Е Ь найдем = у А Е Е, троим элемент а{у) = Б с у с. Множество всех таких элементов и .4о- Однако, вообще говоря, он не будет максимальным идеалом А так что А не будет БА, порожденной Ь. Например, если Ь ОБА конечных подмножеств М, то А = 2®, а А(Ь) — {г \ г £ Ь еЬс}ф А.

"онструкцня, предложенная в п.З, нам кажется более интерес-приводящей к наименьшей булевой алгебре.

«тература

Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. 566 с.

Владимиров Д. А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1966. 318 с.

Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1962. 407 с.

Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.;Л.: Гостехиздат, 1950. 548 с.

5. Порошкин А. Г. Некоторые вопросы порядковых топологий в упорядоченных множествах / Сыктывкарский ун-т. Сыктывкар, 1980. 31 с. Деп. в ВИНИТИ 31.03,80,№1223 - 80 ДЕП.

6. Порошкин А. Г., Порошкин А. А. О функциях на решетках. II // Упорядоченные пространства и операторные уравнения: Межвуз, сб. научн. тр. Сыктывкар: Пермский ун-т,

1982. С. 127-135.

7. Савельев J1. Я. Абстрактные внешние меры. Новосибирск,

1983. 49 с. (Препринт/ Институт математики СО АН СССР).

8. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 19С9. 375 с. Summary

Poroshkin A. A. On the inclusion of generalised Boolean algebra to Boolean algebra

The variant of proof of the theorem about inclusion of generalized Boolean algebra to the minimal Boolean algebra is considered. Some problems dealing with the order topologies and function's continuation are also developed.

Коми педагогический институт Поступила 25.03.96