CC BY
13
Владикавказский математический журнал Январь-март, 2005, Том 7, Выпуск 1
УДК 517.98
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ПРОСТРАНСТВАХ С ПОРЯДКОВОЙ ЕДИНИЦЕЙ
Ш. А. Аюпов, М. А. Бердикулов
В работе изучены условные ожидания и марковские операторы на пространствах с порядковой единицей. Примерами этих пространств являются в коммутативном случае М-пространства и полуполя ограниченных элементов, в некоммутативном случае — эрмитова часть С*- или Ш*-алгебр, в неассоциативном случае — JB- и ЛВШ-алгебры.
Введение
В работе изучены условные ожидания и марковские операторы на пространствах с порядковой единицей. Примерами этих пространств являются в коммутативном случае М-пространства и полуполя ограниченных элементов, в некоммутативном случае — эрмитова часть С*- или Ш*-алгебр, в неассоциативном случае — /В- и /ВШ-алгебры. Условные ожидания на перечисленных алгебрах изучены многими авторами [1-4], а марковские операторы рассмативались в работах [5-10]. Так как пространства с порядковой единицей являются обобщением этих пространств, и элементы пространства с порядковой единицей истолковываются как пространство случайных величин, то естественно ставится задача: изучить условные ожидания и марковские операторы на пространствах с порядковой единицей.
Пространство с порядковой единицей представляет собой некоторую статистическую модель [11], как пространство аффинных функций на пространстве состояний. В классической модели пространством состояний является симплекс, а в общем случае — пространство состояний — произвольное выпуклое множество в некотором локально выпуклом пространстве.
Будем придерживаться терминологии работ [12, 13].
1. Предварительные сведения
Пусть А — действительное линейное упорядоченное пространство. Через А+ обозначим множество положительных элементов А. Элемент е £ А+ называется порядковой единицей, если для каждого а £ А существует число А £ Ж+ такое, что —Ае ^ а ^ Ае. Если порядок архимедов, то отображение
а ^ ||а|| = т£{А > 0 : —Ае ^ а ^ Ае}
© 2005 Аюпов Ш. А., Бердикулов М. А.
является нормой в А. В случае, когда А — банахово пространство относительно этой нормы, говорят, что (А, е) — пространство с порядковой единицей е.
Пусть V — действительное линейное пространство с порождающим конусом V+ , обладающим базой, т. е.
V = V + - V+, V + = У АК, АК П К = 0 при А = 1.
А^0
Будем предполагать, что множество В = еопу(К и—К) радиально компактно, т. е. В П Ь является замкнутым ограниченным отрезком для любой прямой Ь, проходящей через нулевой элемент V. В этом случае функционал Минковского
||р|| = {А ^ 0 : р £ АВ}
превращает V в нормированное пространство, называемое пространством с базовой нормой; будем обозначать его в дальнейшем через (V, К).
Пусть (А, е) — пространство с порядковой единицей, (V, К) — пространство с базовой нормой. Предположим, что эти пространства находятся в отделимой, порядковой и нормированной двойственности. Двойственность между этими пространствами обозначим через (■, •).
Известно [12], что сопряженное к (V, К) пространство является пространством с порядковой единицей и, наоборот, сопряженное к (А, е) пространство является пространством с базовой нормой. Поэтому, если не оговорено противное, то обычно в качестве двойственного пространства для А берут пространство V = А*.
В дальнейшем, проектором в А будем называть линейное, положительное, *-слабо непрерывное отображение К : А ^ А, удовлетворяющее условию К2 = К.
Проектор К называется гладким, если условие
р £ V+, (а, р) = 0 при а £ кег+ К = А+ П кег+ К
влечет
(а, р) = 0 при а £ кег К.
Проектор Q называется квазидополнением проектора К, если
кег+ К = Q, К = кег+ Q.
Проектор К называется Р-проектором, если он по норме не превосходит 1, гладкий и обладает гладким квазидополнением с нормой, не превосходящей 1.
Заметим, что гладкое квазидополнение к Р-проектору К всегда единственно, и в дальнейшем будем обозначать его через К'.
Множество всех Р-проекторов в А обозначим через Р.
Элементы множества и = {и = Ке : К £ Р} называются проективными единицами.
Точно так же можно определить аналогичные понятия в V, так как по формуле (Ка, р) = (а, К*р) для всех а £ А, р £ V, определяется сопряженное к К отображение на V.
Грань О С К называется выставленной, если О = {р £ К : (а, р) = 1} для некоторого а £ А; проективной, если а = и = Ке для некоторого К £ Р.
Множество всех проективных граней К обозначим через К.
Определение 1.1 [13]. Говорят, что (А, е) и (V, К) находятся в спектральной двойственности, если выполнены следующие условия:
(1) Каждая выставленная грань К проективна.
(И) Каждый элемент а £ А допускает единственное разложение а = а+ — а- такое, что а+, а- £ А+ и а+ ± а-.
Здесь а+ ± а- означает, что
{р £ К : (а+,р) = 1} П {р £ К : (а-,р) = 1} = 0.
Если А и V находятся в спектральной двойственности и А = V*, то множества и, Р, К являются попарно изоморфными логиками ([12; следствие 12.5]).
оо
В этом случае любой элемент а £ А имеет спектральное разложение: а = J А^ид.
-о
Здесь {ид} — спектральное семейство проективных единиц для а.
Две проективные единицы и = Ке и V = ^е называются совместными, если К и Q коммутируют: RQa = QRa для всех а £ А.
Два элемента а, 6 £ А называются совместными, если их спектральные семейства попарно совместны. Как и в случае йордановых алгебр, совместность а и 6 обозначим через а ^ 6.
Напомним, что замкнутое по норме подпространство М С А называется абелевым,
оо
если оно замкнуто относительно отображения а ^ а(2) = / А2^ид и любые два элемента
-о
в М совместны.
Р-проектор К называется центральным, если К + К' = I. Проективная единица и = Ке называется центральной, если К — центральный Р-проектор.
Пространство (А, е) с порядковой единицей называется фактором, если оно не содержит центральных проективных единиц, кроме 0 и е.
Проективная единица и = Ке называется абелевой, если т К = К (А) — векторная решетка. Пространство А с порядковой единицей имеет тип I, если для любого центрального Р-проектора К в А подпространство т К содержит абелеву проективную единицу. Элемент и £ и называется атомом, если и — минимальный элемент логики и. Проективная единица и называется конечной, если она является супремумом конечного числа атомов.
Минимальное число атомов, супремум которых равен и, называется размерностью и. Фактор А назовем фактором типа 1п, если размерность единицы е равна п. Если е является супремумом только п ортогональных атомов, то назовем А однородным фактором типа 1п.
Элемент р £ V называют положительным, если р(а) ^ 0 для всех а £ А+, в этом случае пишут р ^ 0. Положительный функционал р называется состоянием, если ||р|| = 1. Это равносильно равенству р(е) = 1. Множество состояний на А обозначим через Б (А). Известно, что Б (А) — *-слабо замкнутое подмножество V.
Определение 1.2. Состояние т на А называется следом, если т(а) = т(Ка) + т(К'а), а £ А, К £ Р.
2. Условное ожидание на /ВШ-алгебрах
Определения условного ожидания на Ш*-алгебре и на /ВШ-алгебре одинаковы. Поэтому ограничимся рассмотрением условного ожидания на /ВШ-алгебре и приведем один вспомогательный результат.
Условные ожидания на /В^-алгебрах определены следующим образом [3]. Пусть А — /В^-алгебра с единицей 1, А1 — ее /В^-подалгебра, содержащая 1.
Определение 2.1. Линейное отображение Б : А ^ А1 называется условным ожиданием относительно А1 , если (1) Б (1) = 1; (и) х ^ 0 ^ Б(х) ^ 0;
(ш) Б (ах) = аБ (х) для любых х £ А и а £ А1.
Известно [3], что если А — /В^-алгебра типа I, то относительно произвольной подалгебры А1 С А существует условное ожидание.
Теорема 2.1. Пусть М : А ^ А1 — линейное отображение со свойствами:
1) М (1) = 1;
2) х ^ 0 ^ М(х) ^ 0;
3) М(ир(х)) = ир(Мх) для любых элемента х £ А и идемпотента р £ А1. Тогда М является условным ожиданием относительно А1.
< Проверим выполнение условий (1)-(ш) определения 2.1. Первые два условия очевидны. Поэтому проверим выполнение условия (ш).
Пусть М(ир(х)) = ир(Мх) для любых идемпотента р в /В^-подалгебре А1 и элемента х £ А. Тогда имеем ир/(Бх) = Б(ир/х), х £ А, где р' = 1 — р £ А1. Известно [14], что имеет место пирсовское разложение
х = ирх + 2ир,р/ х + ир/ х
элемента х £ А относительно идемпотента р. Поэтому имеем
Мх = М (ирх) + М (2иР;Р/ х) + М (ир х).
С другой стороны, пирсовское разложение элемента Мх есть
Мх = ир(Мх) + 2иру (Мх) + ир/ (Мх).
Исходя из этого, учитывая условие 3) теоремы, имеем
2иру (Мх) = М (2иру х).
Так как иру = 2рх — 2р(рх) по определению [14], то последнее означает, что
2р(Мх) — 2р(р(Мх)) = М (2рх — 2р(рх)).
Точно так же условие 3) теоремы означает, что
2р(р(Мх)) — рМ (х) = М (2р(рх) — рх).
Сложив эти равенства, получим
рМ(х) = М(рх), х £ А, р £ Аь
Так как линейные оболочки идемпотентов слабо плотны в /В^-подалгебре А1 и М слабо непрерывно, то заключаем, что
аМ(х) = М(ах), х £ А, а £ А1. >
3. Условное ожидание на пространствах с порядковой единицей
Пусть (А, е) — пространство с порядковой единицей, В — его подпространство, являющееся пространством с порядковой единицей, содержащим е. Как было сказано выше, примером пространства с порядковой единицей является /В^-алгебра, поэтому теорема 2.1 подсказывает нам следующее
Определение 3.1. Линейное отображение Б : А ^ В назовем условным ожиданием относительно В, если
1) Б(е) = е;
2) а ^ 0 ^ Б(а) ^ 0;
3) Б(Ка) = К(Ба) для всех К £ Р таких, что Ке £ В и а £ А.
Пример 1. Пусть (А, е) — пространство с порядковой единицей, р — некоторое состояние на А. Для а £ А положим Б (а) = р(а)е. Тогда Б — условное ожидание относительно подпространства В = {Ае : А £ Ж}.
Пример 2. Пусть Q £ Р. Положим Б(а) = Qа + Q/a, а £ А. Тогда Б — условное ожидание относительно подпространства
В = {а £ А : а = Qa + Q/a} = т Q + т Q/.
В самом деле, выполнение свойств 1) и 2) из определения 3.1 вытекает из свойств Р-проектора Q.
Проверим свойство 3. Пусть Ке £ В, т. е. Ке £ тQ + 1ш Q/. Это означает, что К и Q совместные, т. е. RQ = QR и RQ/ = Q/R (см. [12; 5.26]). Следовательно, КБ(а) = Б(Ка).
Пример 3. Пусть А — /В^-алгебра с единицей 1, В — ее /В^-подалгебра, содержащая 1, и Б — условное ожидание относительно В. Тогда Б — условное ожидание в смысле определения 3.1.
Действительно, пусть выполнено условие (ш) в определении 2.1. Если р £ В — некоторый идемпотент, то Р-проектор К, соответствующий р, имеет вид Ка = ира. Тогда
Б (ира) = Б (2р(ра) — ра) = 2р(рБа) — рБа = ирБа.
Из теоремы 2.1 вытекает, что если пространство с порядковой единицей является /В^-алгеброй, то определение 3.1 совпадает с определением 2.1.
Пусть (А, е) — пространство с порядковой единицей, В — его подпространство.
Лемма 3.1. Если Б — условное ожидание относительно В, то ||Б|| = 1.
< Пусть а £ А и ||а|| ^ 1, т. е. —е ^ а ^ е. Тогда, в силу положительности Б, имеем, что Б (а + е) ^ 0 и Б(е — а) ^ 0. Так как Б — линейное и Б (е) = е, то последние неравенства означают —е ^ Б (а) ^ е. Следовательно, ||Б || ^ 1. Но Б (е) = е. Поэтому ||Б|| = 1. >
Лемма 3.2. Условное ожидание Б относительно В является идемпотентным отображением, т. е. Б(Б(а)) = Б(а) для всех а £ А.
< Если и £ В — некоторая проективная единица, то и = Ке для некоторого Р-про-ектора К и, в силу условий 3) и 1) определения 3.1, имеем Б(и) = Б(Ке) = Ке = и.
Далее, пусть а = ^к=1 А»щ — простой элемент В. Тогда очевидно, что щ £ В и Б (а) = ^ к=1 Б (А^) = ^ к=1 = а. Значит, Б (а) = а для простых а £ В. Так как произвольный элемент В есть предел по норме сходящихся простых элементов [12] и Б непрерывно по норме в силу леммы 3.1, то имеем Б (а) = а для любого а £ В. Так как Б (а) £ В для любого а £ А, то имеет место равенство Б (Б (а)) = Б(а). >
Определение 3.2. Пусть р — некоторое состояние на А. Если р(Еа) = р(а) для любого а £ А, то говорят, что Е сохраняет р.
Очевидно, что в примере 2 условное ожидание Е сохраняет след, в примере 1 условное ожидание Е сохраняет состояние р.
Актуальным является вопрос: при каких условиях существует условное ожидание относительно данного подпространства? В общем случае этот вопрос пока остается открытым.
Здесь задача решается для одного класса пространств с порядковой единицей типа ¡2 — обобщенных спин-факторов.
Пусть X — рефлексивное банахово пространство, единичный шар X которого — гладкое, строго выпуклое множество. Тогда собственными гранями единичного шара сопряженного пространства Х^ являются только множества вида {а}, где а — экстремальная точка Х^ и для каждого а £ деХ^ существует единственный элемент х £ деХ1 такой, что а(х) = 1.
Рассмотрим пространства А = Ж + X и V = Ж + X*. Порядок и норма на А (на V) определяются следующим образом:
а = а + х ^ 0 ^ а ^ ||х|| (р = в + £ ^ 0 ^ в ^ ||£||), ||а|| = |а| + ||х||, (||р|| =тах(|в||£||)
для а £ А, р £ V.
После таких обозначений и определений А становится пространством с порядковой единицей, а V — пространством с базовой нормой, которые находятся в спектральной двойственности относительно формы:
(а, р) = (а + х, в + £) = ав + £(х),
где £ — ограниченный линейный функционал на X.
Пространства с порядковой единицей такой конструкции назовем обобщенными спин-факторами [15, 16].
След т на обобщенном спин-факторе единственен и определен следующим образом: т (а + х) = а.
Так как единичный шар X — гладкое, строго выпуклое множество, то элементы вида и = 2 + 2хо, где хо £ X, ||хо|| = 1, являются проективными единицами, а Р-проектор К, соответствующий и, имеет вид:
Ка = (а, и) и,
где и — единственное состояние на А со свойством (и, й) = 1.
Пусть А = Ж+X — обобщенный спин-фактор, В — его произвольное подпространство. Нетрудно показать, что В имеет вид: В = Ж+Xо, где Xо — некоторое подпространство X.
Теорема 3.1. В А существует сохраняющее след условное ожидание относительно В тогда и только тогда, когда существует проектор Т из X в Xо.
< Необходимость. Пусть в А существует сохраняющее след условное ожидание относительно В = Ж + Xо. Для произвольного а = а + х £ А элемент Еа в В имеет вид: Еа = а + Тх.
В самом деле, пусть Еа = а + /(х) + Тх для некоторого функционала f на X и линейного отображения Т : X ^ Xо. Возьмем и £ В и пусть и = И,е. Так как Еи = и, то свойство 3 условного ожидания, т. е. равенство Е(Ка) = К(Еа) означает, что (а, и) и = (Еа, и) и, т. е. (а, и) = (Еа, и).
Так как проективная единица и имеет вид и = ^ + ^хо и ей соответствует состояние и = 1 + £о в В*, £о £ X*, ||£о|| = 1, (£о,хо) = 1, то имеем:
(а, и) = (а + х, 1 + £о) = а + £о (х),
(Ба, и) = (а + ] (х) + Тх, 1 + £о) = а + ] (х) + £о(Тх).
Из этого заключаем, что /(х) = 0 для всех х £ X. Значит, Ба = а + Тх.
Теперь докажем, что Т — проектор из X в Хо. В силу идемпотентности Б, имеем
а + Тх = Ба + Б (Ба) = Б (а + Тх) = а + Т 2х,
т. е. Т2х = Тх. Значит Т тоже является идемпотентным.
Покажем, что ||Т || ^ 1. Пусть а = а+х ^ 0, т. е. а ^ ||х||. Тогда Б (а) = а+Тх ^ 0, т. е. а ^ ||Тх||. Отсюда ||Т || ^ 1. Так как || ( || ^ 1, то ||Т || ^ 1 в силу произвольности х и а. Следовательно, Т — проектор.
ДостАточность. Пусть существует проектор Т из X в Хо. Тогда положим Б(а + х) = а + Тх. Покажем, что Б будет условным ожиданием относительно В. Проверим выполнение условий определения 3.1.
1): Очевидно, так как е = 1 + 0.
2): Пусть а = а + х ^ 0, т. е. а ^ ||х||. Так как ||Т|| ^ 1, то ||Тх|| ^ ||х||. Поэтому ||Тх|| ^ а. Это означает, что Б (а + х) = а + Тх ^ 0.
3): Так как и = ^ + 2хо £ В — проективная единица и ей соответствует состояние и = 1 + £о, £о £ X*, то для любого а = а + х
Б(Ка) = (а, и) и = (а + х, 1 + £о) и = (а + £о(х))и,
К(Ба) = (Ба, и) и — (а + Тх, 1 + £о) и — (а + £о(Тх))и.
Так как Т — проектор из X в Xо, то Т* — проектор из X* в X. Это означает, что £о(Тх) = £о(х) для всех х £ X, £о £ X*. Поэтому имеем К(Ба) = Б(Ка). Сохранение следа отображением Б вытекает из определения следа. > Аналогичная теорема в случае, когда А — /В^-алгебра, доказана в [4]. Теорема 3.2. Пусть А = Ж + X — обобщенный спин-фактор, р = 1 + £ — состояние на А и В = Ж + Xо — его подпространство. Для того, чтобы существовало сохраняющее р условное ожидание относительно В необходимо и достаточно, чтобы существовал проектор Т из X в Xо с условием Т * £ = £.
< Необходимость. Пусть Б : А ^ В — сохраняющее р (р(Ба)) = р(а)) условное ожидание относительно В. По теореме 1 существует проектор Т из X на Xо, и условное ожидание Б имеет вид Б (а + х) = а + Тх. Далее,
р(Ба) = (Б(а + х), р) = (а + Тх, 1 + £) = а + £(Тх),
р(а) = (а + х, 1 + £) = а + £(х).
Так как Б сохраняет состояние р, то £(Тх) = £(х), х £ X, т. е. (Т*£,х) = (£,х), х £ X. Следовательно, Т*£ = £.
Достаточность вытекает из теоремы 3.1. >
Следствие 3.1. Пусть А = Ж + X — обобщенный спин-фактор, р — состояние на А и В = К(А) + К/ (А) для некоторого Р-проектора К. Условное ожидание относительно В сохраняет р тогда и только тогда, когда р = и, где и = И,е.
Известно [17], что если в банаховом пространстве существует проектор на произвольное подпространство, то оно является гильбертовым пространством.
Следствие 3.2. Пусть А = Ж + X — обобщенный спин-фактор. Условное ожидание относительно произвольного подпространства А существует тогда и только тогда, когда X — гильбертово пространство.
Теорема 3.3. Пусть А — однородный фактор типа 1П и В его абелево подпространство, содержащее е. Тогда существует условное ожидание относительно В.
< Пусть {иг}П=1 — максимальное семейство попарно ортогональных атомов в В таких,
п ( п Л
что е = щ. Тогда В = < ^ а^и», а» £ Ж >. Пусть ВДг}П=1 — семейство Р-проекторов,
¿=1 и=1 J
соответствующее {и»}П=1. Положим
п
Еа = ^ Qi а.
¿=1
Тогда Е — условное ожидание относительно В.
В самом деле, выполнение условий 1) и 2) определения 3.1 очевидно. Пусть К — некоторый Р-проектор такой, что Ке £ В. Тогда и = Ке — проективная единица в В и она имеет вид и = ^к=1 и», в силу однородности А, где {и^}^ С {и»}П=1. Из [18] вытекает, что К = ^¿=1 Qг. Поэтому проверить выполнение свойства Е(Ка) = К(Еа) для всех К £ Р и а £ А не составляет труда. >
4. Марковские операторы на пространствах с порядковой единицей
Пусть (А, е) — пространство с порядковой единицей.
Определение 4.1. Линейный оператор Т : А ^ А называется марковским, если
1) Т — положительный, т. е. Та ^ 0 для а ^ 0;
2) Те = е;
3) Тап ^ Та при ап У а, ап, а £ А, п £ N.
Пример 1. Пусть (А, е) — произвольное пространство с порядковой единицей, а К — некоторый Р-проектор на А. Тогда отображение Т = К + К' является марковским оператором, где К' — квазидополнение К.
Пример 2. Пусть А = Ж + X — обобщенный спин-фактор, где X — банахово пространство. Произвольный ограниченный линейный положительный оператор Т : А ^ А со свойством Те = е имеет вид Т(а + х) = а + Бх, где Б — линейный ограниченный оператор, отображающий X в себя. В этом случае Т является марковским тогда и только тогда, когда ||Б|| ^ 1.
Пример 3. Условное ожидание на А относительно подпространства В является примером марковского оператора.
Любой марковский оператор Т порождает сопряженный оператор из А* в А*, определенный равенством (рТ)(а) = р(Та), где р £ А*, а £ А. Очевидно, если р £ V + (или Б (А)), то рТ £ V + (соответственно, Б (А)).
Будем говорить, что на пространстве с порядковой единицей А задан марковский процесс, если на А определено семейство {Т8^о<з<г<+к марковских операторов, обладающее обобщенным полугрупповым свойством (уравнение Колмогорова — Чепмена)
Тн = Т„Т^, г < 5 <
(1)
причем Tss = I, где I — тождественный оператор.
Если Ts+r,t+r = Tst для любых s, t (s ^ t) и r ^ 0, то процесс назовем однородным. В этом случае Tst зависит только от разности t — s и достаточно ограничиться одним параметром: Tr (r = t — s). Тогда уравнение (1) имеет вид
TsTt = Ts+t. (2)
В примере 2 будет задан марковский процесс, когда задана полугруппа ограниченных операторов в банаховом пространстве X.
Определение 4.2. Марковский процесс {Tst} назовем регулярным,, если существует Po € S(A) такое, что для любых ß € S(A), s > 0 справедливо соотношение
lim ßTst(a) = po(a) (3)
для любого a € A.
Пусть каждому t € R, t ^ 0, поставлен в соответствие нормальный положительный функционал ft € V + на A. При каждом фиксированном a € A величина ft(a) является числовой функцией числового аргумента t, причем, если a ^ 0, то ft(a) неотрицательная функция.
Рассмотрим следующее условие, являющееся обобщением условия (Ao) из [8] и условия (A) из [6]:
(Ai) Существует семейство функционалов ft = 0 такое, что для любых s > 0 и ß € S(A) найдется to > s такое, что
ßTst ^ fs для всех t ^ t0,
где ßi ^ ß2 (ßi, ß2 € V+) означает, что ßi(u) ^ ß2(u) для любой проективной единицы u € U.
Теорема 4.1. Пусть марковский процесс {Tst} удовлетворяет условию (Ai). Если числовая функция ft(e) ограничена снизу некоторым числом c > 0, то процесс {Tst} регулярен. Более того, сходимость к предельному состоянию Vo равномерна, т. е.
lim ||ßTst — vo||* = 0
для любых s ^ 0 и ß € S(A).
Лемма 4.1. В условиях теоремы 4.1 для любых ß, V € S(A) и s > 0 справедливо соотношение
lim ||ßTst — vTstf = 0.
Пусть теперь марковский процесс однороден, т. е. задан однопараметрической полугруппой марковских операторов {Tt}t>o на A. Тогда в условии (Ai) семейство функционалов заменяется одним функционалом; (Ao): существует ненулевое ßo € V + такое, что для любого ß € S(A) найдется to такое, что
ßTt ^ ßo при t ^ to.
Определение 4.3. Нормальное состояние v € S(A) называется стационарным распределением для процесса {Tt}, если vTt = V для любого t ^ 0.
Теорема 4.2. Пусть однородный марковский процесс {Tt} удовлетворяет условию (Ao). Тогда существует единственное стационарное распределение Vo £ S (A) такое, что для любого ß £ S(A) справедливо соотношение
lim ||ßTt - Vo||* = 0. (4)
< Существование нормального состояния Vo, удовлетворяющего условию (4), вытекает из теоремы 4.1. Необходимо лишь установить инвариантность Vo относительно полугруппы {Tt}. Для любого a G A и s > 0 имеем в силу (4)
voTs(a) = lim (ßTt)(Ts(a)) = lim ßT+t(a) = Vo(a),
т. е. VoTs(a) = Vo(a) для любого a £ A или VoTs = Vo. Покажем, что других стационарных распределений нет. Если Vi £ S(A) — инвариантное состояние, то ViT = Vi для любого t ^ 0 и, значит, в силу (4)
V1(a) = lim V1(Tt(a)) = Vo(a) для всех a £ A. >
t—>oo
5. Об одной эргодической теореме
Пусть (A, e) — пространство с порядковой единицей.
Лемма 5.1. Если {Tn} — возрастающая последовательность операторов на A и sup ||Tn|| = K < ж, то существует линейный оператор T такой, что для любого a £ A
Ta = lim Tna,
n—<x
при этом ||T|| ^ K.
< Для m > n оператор Tm — Tn положителен, следовательно, для любого a £ A+ и линейного положительного функционала < имеем
<(Tma — Tna) = <(Tma) — <(Tna) ^ 0.
Для фиксированного a и < числовая последовательность {<(Tna)} возрастает и |<(Tna)| ^ ||<|| ■ ||Tna|| ^ K||<|| ■ ||a||. Отсюда заключаем, что существует конечный предел lim <(Tna).
n—
Далее, пусть a и < — произвольны. Так как a = a+ — a-, то
<(Tm a — Tna) = <+(Tma+ — Tna+) — <_(Tma+ — Tna+) — <+(Tma_ — Tna_) + <_(Tma_ — Tna_).
Из сказанного выше следует, что |<(Tma — Tna)| ^ 0, m,n ^ ж.
Известно, что ||Tma —Tna|| = sup |<(Tma—Tna)|. Следовательно, последовательность
{Tna} фундаментальна по норме. Так как A полно, то существует Ta = lim Tna. Определенный таким образом оператор T аддитивен и однороден. Так как ||Tna|| ^ ||Tn|| ■ ||a|| ^ K||a||, то в пределе имеем ||Ta|| ^ K||a||, т. е. T — ограниченный линейный оператор и
||T|| < K. >
Определение 5.1. Элемент f € V назовем единицей в V, если f ^ 0 и множество U{g € V : —nf ^ g ^ nf } плотно по норме в пространстве V.
Теорема 5.1. Пусть T : V ^ V — положительное, линейное отображение такое, что ||T|| ^ 1 и Tf ^ f, где f — единица в V. Тогда для любого f € V существует f € V такое, что
1 n— i
Tk f ^ f при n ^ ж по норме V.
n
fc=o
< Рассмотрим выпуклое множество
Sn = {g € V : —nf ^ g ^ nf}.
Для любого ортогонального семейства {u&} проективных единиц ) ^ 0 при k ^ ж в силу нормальности f. Так как для любого g € Sn верно |g(u&)| ^ nf(uk), то lim g(ufc) = 0 равномерно по всем g € Sn.
Кроме того, ||g|| ^ n||f || для всех g € Sn. По теореме 3 в [19] множество Sn слабо относительно компактно. Очевидно, что оно и слабо замкнуто. Тогда Sn — слабо компактное подмножество V.
Пусть T : V ^ V — положительный линейный оператор такой, что ||T|| ^ 1 и Tf ^ f. Тогда T(Sn) С Sn. Положим
1 m—i
Tm — Et
m ±—'
Ш
Для любого / € последовательность {Тт/} лежит в . Так как слабо компактно, то по теореме Эберлейна — Шмульяна [20] слабо секвенциально компактно. Поэтому из последовательности {Тт/} можно выбрать слабо сходящуюся последовательность / ^ / € V. Так как ||Т|| ^ 1, то выполнены все условия теоремы Иосиды [20; гл. VIII, § 3, теорема 2]. Из нее следует, что Тт/ ^ / по норме V. Таким образом,
оо
утверждение теоремы доказано для любого / € а значит, для всех / € и
П=1
оо
Пусть / € V — произвольно. По условию теоремы, и плотно в V. Поэтому для
П=1
оо
любого е > 0 существуют /1 € и и /2 € V такие, что / = /1 + /2 и ||/2|| ^ е/3.
п=1
оо
Рассмотрим последовательность {Тт/} = {Тт/1 + Тт/2}. Так как / € и то после-
га^
довательность {Тт/1} сходится в V и поэтому фундаментальна, т. е. ||Тп/1 — Тт/11 ^ е/3 при достаточно больших ш, п. Далее, для всех Ш
||Tmf2 || =
1 m— i
^ Tk f2
m i■—'
m
fc=o
m— i
« mm £|Tk f2» < 3.
fc=o
Значит, при достаточно больших ш, п
е е е
|Тт/ — Т/1| < ЦТ/ — Т/ + ЦТ/ + || Тп/21 < 3 + 3 + 3= е.
В силу произвольности е, это означает фундаментальность последовательности {Тт/}. Так как V полно, то существует / такое, что Тт/1 ^ /. >
6. Вероятностные пространства на пространствах с порядковой единицей
Введем понятие вероятностного пространства на пространствах с порядковой единицей. В частном случае, когда рассматриваемое пространство является йордановой алгеброй, оно совпадает с понятием вероятностного пространства на йордановой алгебре.
Вероятностное пространство на пространстве с порядковой единицей — это пара (А, р), где А — пространство с порядковой единицей, р — точное нормальное состояние на А. При этом элементы А истолковываются как ограниченные случайные величины, р — как математическое ожидание случайных величин, логика проективных единиц Ца — как множество событий.
Классическое вероятностное пространство Р), где ^ — пространство всех эле-
ментарных событий, Р — а-алгебра событий, Р — вероятность, может быть рассмотрено как пример вероятностного пространства на пространствах с порядковой единицей (абелев случай). Именно в качестве пространства с порядковой единицей А выступает пространство Р, Р) ограниченных случайных величин, а в качестве р — матема-
тическое ожидание случайных величин, построенных по вероятности (интеграл по мере Р). Из [12] вытекает, что всякое вероятностное пространство на абелевых пространствах с порядковой единицей может быть отождествлено с классическим вероятностным.
Рассмотрим случай, когда состояние р на А является следом (см. § 1).
Пусть (А, т)-вероятностное пространство на пространствах с порядковой единицей, причем т — след. Рассмотрим множества вида
N(е, 6) = {а е А : (3 и £ и) и = Де, т(е - и) <6, ||Да|| < е}.
Совокупность множеств {N(е,6),е > 0,6 > 0} образует базис окрестностей нуля для некоторой топологии.
Определение 6.1. Пусть {ж„}^=1 С А, х £ А. Будем говорить, что последовательность {хга}^=1 сходится по вероятности к х, если для любых е, 6 > 0 существует п0 = п(е, 6) такое, что хп — х £ N(е, 6) при п ^ п0.
Определение 6.2. Будем считать, что хп ^ х почти наверное, если
(Vе > 0)(3и £ и) и = Де, т(е — и) <6, ||Д(хп — х)|| ^ 0, п ^ ж.
Функция распределения случайной величины а £ А определяется как
*О(Л) = т (ил),
где {ил} — спектральное семейство проективных единиц для а.
Для вероятностных пространств на пространствах с порядковой единицей можно также ввести аналоги условных математических ожиданий (§3), мартингалов, марковских операторов (§ 4) и доказать различные варианты теорем о сходимости мартингалов, эргодических теорем и аналогов других теорем теории вероятностей.
На примере вероятностного пространства на обобщенном спин-факторе (см. § 3) разберем некоторые из этих понятий.
Пусть А = Ж + X — обобщенный спин-фактор. Всякий элемент а = а + х можно однозначно представить в виде линейной комбинации двух проективных единиц:
а = а + х = (а + ||х||)ио + (а — ||х||)иО,
где
1 1 х
ио +
2 2 х
и = е ио
Поэтому спектральным семейством для а является семейство
ил =
0 при Л ^ а — ||х||;
е — иО при а — ||х|| < Л ^ а + ||х| е при Л > а + ||х||.
В частности, функцией распределения для а является
Ро(Л) =
0 при Л ^ а — ||х||;
- при а — ||х|| < Л ^ а + ||х||;
1 при Л > а + ||х||.
Отсюда видно, что две случайные величины а = а+х и Ь = в+У одинаково распределены тогда и только тогда, когда а = в, ||х|| = ||у||.
Нетрудно заметить, что в вероятностном пространстве на обобщенном спин-факторе (А, т) сходимости по вероятности, и почти наверное и по норме совпадают и означают, что ап ^ а, хп ^ х, где ап = ап+хп, а = а+х £ А (через
хп ^ х обозначена сходимость в банаховом пространстве X). В то же время, сходимость по распределению означает, что ап ^ а, ||хп|| ^ ||х||.
Можно показать, что для двух проективных единиц и = 2 + 2хо и V = 2 + 2уо условие и ^ V равносильно хо = Уо.
По определению а ^ Ь ^ иО ^ иь. Так как иО = 2 + 2 д и и = 2 + 2 щ, то ^ = щ. Это означает, что х = Лу, т. е. элементы банахова пространства X пропорциональны. Итак, совместность в обобщенном спин-факторе элементов а = а + х и Ь = в + У означает пропорциональность элементов х и у. В частности, всякое максимальное абелево подпространство А имеет вид: Ао = Же + Жхо, где хо — некоторый единичный элемент в X.
Так как абелево пространство можно превратить в алгебру, то нетрудно заметить, что Ао — порядково и алгебраически изоморфно Ж2 при соответствии
а + Лхо ^ (а + Л, а — Л) £ Ж2.
Поэтому модуль элемента а = а + х можно вычислить по формуле:
1 1 т
|а| = 2 (|(а + ||х||)| + |(а — ||х||)|) + - (|(а + ||х||)| + |(а — ||х||)|) р.
В частности, | 0 + х| = | х| е.
Литература
1. Umegaki H. Conditional expectation in an operator algebra II // Tohoku Math. J.—1956.—V. S.—P. 86— 100.
2. Takesaki M. Conditional expectations in von Neumann algebras // J. Funct. Anal.—1972.—V. 9.— P. 306-321.
3. Аюпов Ш. А. Условные математические ожидания и мартингалы на йордановых алгебрах // Докл. АН УзССР.—1981.—№ 10.—С. 3-5.
4. Аюпов Ш. А., Бердикулов М. А., Азизов Э. Ю. Условные ожидания на спин факторах // Узб. мат. журн.—1991.—№ З.—С. 3-9.
5. Сарымсаков Т. А., Зимаков Н. П. Эргодический принцип для марковских полугрупп в упорядоченных нормированных пространствах с базой // Докл. АН СССР.—1986.—Т. 289, № 3.—С. 554-558.
6. Сарымсаков Т. А. Полуполя и теория вероятностей.—Ташкент: ФАН, 1981.—89 с.
7. Сарымсаков Т. А. Некоммутативные вероятностные пространства на 0*-алгебрах // Докл. АН СССР.—1978.—Т. 241, № 2.—С. 297-300.
8. Сарымсаков Т. А., Аюпов Ш. А. Регулярность цепей Маркова на 0*-алгебрах // Докл. АН УзССР.—1979.—№ 4.—С. 3-5.
9. Аюпов Ш. А. Эргодические теоремы для цепей Маркова на 0*-алгебрах // Докл. АН УзССР.— 1978.—№ 7.—С. 11-13.
10. Аюпов Ш. А. Независимость и марковские процессы в вероятностных пространствах на йорда-новых алгебрах // В сб.: Предельные теоремы для случайных процессов и смежные вопросы.— Ташкент: ФАН.—1982.—С. 28-41.
11. Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории.—М.: Наука, 1980.—320 с.
12. Alfsen E. M., Shultz F. W. Non commutative spectral theory for affine function spaces on convex sets // Mem. Amer. Math. Soc., 172. Providence R.I.: AMS.—1976.—P. 122.
13. Alfsen E. M., Shultz F. W. State spases of Jordan algebras // Acta Math.—1978.—V. 140, № 3/4.— P. 155-190.
14. Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциатив-ным.—М.: Наука, 1978.—432 с.
15. Бердикулов М. А., Одилов С. Обобщенные спин-факторы // Узб. мат. журн.—1995.—№ 1.—С. 1217.
16. Бердикулов М. А. Пространства с порядковой единицей однородного типа I // Изв. АН УзССР. Серия физ-мат. наук.—1990.—№ 4.—С. 13-18.
17. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1977.—752 с.
18. Тихонов О. Е. Спектральная теория для пространств с базовой нормой // В сб.: Конструктивная теория функций и функциональный анализ.—Казань: изд-во Казанского университета.—1992.— Вып. 8.—С. 76-91.
19. Бердикулов М. А., Жураев И. М. Нормальные положительные функционалы на пространствах с порядковой единицей // Узб. мат. журн.—1996.—№ 4.—С. 22-28.
20. Иосида К. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1967.—616 с.
Статья поступила 1S апреля 2004 г-
Аюпов Шавкат Авдуллаевич, д. ф.-м. н.
Ташкент, Институт математики Академии наук Узбекистана
E-mail: [email protected]
Бердикулов Мусирмонкул Авдиллаевич, к. ф.-м. н. Ташкент, Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта E-mail: [email protected]
