CC BY
9
Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 1999, Том 1, Выпуск 3
Юрию Григорьевичу Решетнику к его семидесятилетию
УДК 517.98
О СТРУКТУРЕ АШ-АЛГЕБР ТИПА 12 А. Г. Кусраев
Введение
Цель настоящей статьи — дать полное описание структуры .1./ И'-алгебр типа и, в частности, указать кардинальнозначные инварианты, характеризующие любую такую алгебру с точностью до изоморфизма. При этом используются комбинированные методы, развитые в [1, 2].
-А./Ж-алгебры представляют собой вещественные неассоциативные аналоги А\¥*-алгебр. Впервые о них упомянуто в 1965 году в работе [3], однако до сих пор не построена удовлетворительная теория АЛ^-алгебр. В [4] исследован Йорданов аналог условия Бэра для .1./ И'-алгебр, в [2] рассмотрен класс .1./ И'-алгебр, вложимых в . 1И 'алгебру типа I. Ряд актуальных задач этой теории решен в [5, 6].
В §1 настоящей статьи содержатся необходимые определения и вспомогательные факты. В §2 рассмотрены два важных примера: абстрактный спин-фактор и алгебра непрерывных вектор-функций со значениями в абстрактном спин-факторе. В §3 уточняются для рассматриваемого случая результаты из [2] о булевозначной реализации Л?-алгебр. В §4 устанавливается, что всякая АЛ^-алгебра типа 12 строится из абстрактных спин-факторов путем непрерывного или измеримого [[размазывания]] и операции прямой суммы. Выясняются условия, когда такое представление единственно.
Необходимые сведения из теории ,]В-алгебр имеются в [7, 8, 9], см. также [10]. Относительно булевозначного анализа см. [11].
§ 1. Предварительные сведения
Здесь напомним некоторые определения и необходимые факты о ЗВ-алгебрах.
1.1. Вещественное банахово пространство А называют ,1В-алгеброй, если оно является йордановой алгеброй с единицей 1 и норма удовлетворяет следующим трем условиям:
N1 • 1Ы1
= {х (Е ^4.)5
х2+у2II (ж,у € А).
\ху\\ < ||Ж2|
ж2|| <
© 1999 Кусраев А. Г.
Если сверх сказанного А является двойственным банаховым пространством, то А именуют 3В\¥-алгеброй,. Произвольная Л?-алгебра является 3 />'И'-алгеброй. если она монотонно полна и имеет разделяющее множество нормальных состояний. Множество всех идемпотентов алгебры А, называемых также проекторами, будем обозначать символом
Подалгебра А0 ЗВ-алгебры А называется сильно ассоциативной, если (ха)у = х(ау) для всех х, у € А0 и а € А. Говорят, что множество М С А совместно, или что элементы этого множества совместны, если подалгебра порожденная этим множеством сильно ассоциативна. Пересечение всех максимальных сильно ассоциативных подалгебр именуют центром алгебры и обозначают символом 2(А). Элементы множества Ц$С(А) := ф(-А) П 2(А) называют центральными проекторами.
1.2. Между классами ЗВ-алгебр и 3/>'И'-алгебр существует интересный класс .1./ И'-алгебр, впервые упомянутый в работе Д. М. Топпинга [3].
Под АЗШ-алгеброй понимается ЗВ-алгебра А, удовлетворяющая двум условиям:
(Т1(А)) в частично упорядоченном множестве проекторов любое множество
попарно ортогональных проекторов имеет точную верхнюю границу в этом множестве;
{Т2 (А)) любая максимальная сильно ассоциативная подалгебра порождается своими проекторами (т. е. совпадает с наименьшей замкнутой подалгеброй, содержащей ее проекторы).
Из этого определения видно, что максимальная сильно ассоциативная подалгебра А«/Ж-алгебры является порядково полной векторной решеткой ограниченных элементов, следовательно, она изоморфна алгебре и решетке С(С^) для некоторого стоуневского компакта .
1.3. В [4, 6] установлено, что определение АЗШ-алгебры равносильно условию типа Бэра, где используются различные йордановы аналоги аннуляторов. В частности, имеет место следующий факт.
Теорема. Для произвольной ЗВ-алгебры равносильны условия:
(1) А является АЗШ-алгеброй;
(2) для непустого подмножества М С А существует проектор р € ф(-А) такой, что М1 = ир(А), где Мх := {а <Е А: (Ух <Е М) иах = 0}.
1.4. Упорядоченное множество проекторов АЗШ-алгебры является полной ортомодулярной решеткой, а множество центральных проекторов Ц$С(А) — полной булевой алгеброй. Дополнение элемента е в решетке обозначаем через е* := 1 — е. Центральным носителем с(р) проектора р € ф(-А) называют наименьший центральный проектор, мажорирующий р, т. е. с(р) := Д{е € Ц$С(А) : р ^ с}. Проектор р именуют абелевым, если 17Р(А) — ассоциативная подалгебра. Если существует абелев проектор р (г .4. для которого с(р) = 1, то говорят, что А имеет тип I. Допустим, что существуют два ортогональных абелевых проектора р, д € ф(-А) такие, что р + д = 1, с(р) = с(д) = 1. Тогда А называют алгеброй типа /2- Если АЗШ-алгебра, типа /2 является фактором, то ее принято называть спин-фактором. Следующий результат также установлен в [4, 5].
1.5. Теорема. Всякий АЗШ-фактор типа I является 3В\¥-фактором.
1.6. Симметрией в 3В-алгебре А называют такой элемент з € А, что з2 = 1. Говорят, что симметрии з и з' ортогональны, если зз' = 0. Симметрию з называют собственной, если для любого центрального проектора е из равенства ев = ±е следует
е = 0. Ортогональное семейство собственных симметрии (за)аел С А называют центрально максимальным, если для каждого ненулевого центрального проектора е € А семейство (esa)a^A является максимальным ортогональным семейством собственных симметрий в еА. Будем называть что алгебру А з(Х)-однородным, если в ней существует центрально максимальное ортогональное семейство собственных симметрий мощности А и просто s-однородным, если она s(А)-однородна для некоторого кардинала А. Под мощностью произвольного множества М понимаем кардинал А, биективный с М, и пишем в этой ситуации А := \М\ := card (М). Ординалы и кардиналы понимаются в смысле Дж. фон Неймана, см. [11].
1.7. Рассмотрим две 3 //-алгебры А и В. Линейный оператор ф : А —В будет йордановым гомоморфизмом (т. е. гомоморфизмом алгебр) лишь в том случае, если ф(а2) = ф(а)2 (а € А). Если ф( 1) = 1 и ф инъективен, то ||а|| = ||0(а)|| (а € А). В частности, Йорданов изоморфизм 3 //-алгебр является изометрией. Если В — полная булева алгебра, изоморфная правильным подалгебрам в Ц$С(А) и (В), то будем считать, допуская вольность, что В С ^С(А) и В С В этой ситуации гомо-
морфизм (изоморфизм) будем называть В-гомоморфизмом (В-изоморфизмом), если Ьф(а) = ф(Ьа) (а € A, b е В).
§ 2. Два примера
Здесь рассматриваются два примера: абстрактный спин-фактор и ЗВ-алгебра непрерывных вектор-функций, принимающих значения в абстрактном спин-факторе.
2.1. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (•,•). Символом ¿Г(Н) обозначим тройку (Ж ® й", о, || • ||), где о — бинарная операция и || • || — норма в Ж ® Н, определяемые следующими равенствами
(в, к) о (1, К) := (в* + (к, К), вк + 1к) (в, * € К; ЦеЯ), ||(*,/0Н + (¿6 К, Лея).
Непосредственно проверяется, что ¿Г(Н) есть 3В-алгебра, с единицей 1 := (1,0). Так как Ж® Н — рефлексивное банахово пространство, то ¿Г(Н) также будет 3 Ь'И '-алгеброй. Произвольный проектор в ¿Г(Н) имеет вид (1,Ъ)/2, где к € Н, (к, К) = 1. Два проектора (1, /г)/2 и (1,к)/2 ортогональны в том и только в том случае, если к = —к. Каждый проектор является минимальным (значит, и абелевым), а максимальное число попарно ортогональных проекторов равно двум. Центр алгебры совпадает с Ж • е. Из всего сказанного следует, что Са1Ь(Н) является АЛ^-фактором типа Эту алгебру принято называть абстрактным спин-фактором.
Любая симметрия в Н), отличная от ±1, имеет вид (0, к), где к £ Н и {к, к) = 1. Симметрии (0, к) и (0, к) ортогональны (т. е. (0, к) о (0, к) = 0) лишь в том случае, когда (к, к) = 0. Легко видеть, что алгебра ¿Г(Н) будет 5(А)-однородной, где А — размерность гильбертова пространства Н. Отметим также, что положительный конус ¿Г(Н)+ состоит из таких элементов (£, к), что у/{к, к) ^ 1
2.2. Теорема [5]. Любой А3\¥-фактор типа 12 изоморфен некоторому абстрактному спин-фактору
<1 Доказательство следует из 1.5. и предложения 7.1. из [8]. Прямое доказательство проводится так же, как и в [8, предложение 7.1]. >
2.3. Рассмотрим экстремальный компакт Q и вещественное гильбертово пространство Н. Напомним определение пространства C#(Q, J(H)) из [1]. Пусть Т — множество ограниченных непрерывных вектор-функций ад : dorn (ад) —J(H), где dorn (ад) — котощее подмножество компакта Q. Множество именуют котощим, если оно имеет тощее дополнение. Вектор-функции u. v G Т считаем эквивалентными и пишем ад ~ V, если u(t) = v(t) при всех t G dorn (ад) П dorn (и). По определению полагаем C#(Q, J (H)) := Tj и на фактор-множестве рассматриваем естественную структуру вещественного векторного пространства. Если ж G C#(Q, J (H)), то существует единственная функция |ж| G C(Q), которая продолжает на все Q непрерывную функцию q И- ||ад(д)|| (g G dorn (ад)) для каждого представителя ад G ж. Положим
INI := II \х\ Ц^ := sup{M (q) : q G Q}.
Нетрудно проверить, что C#(Q, J (H)) — банахово пространство и одновременно о-полное решеточно нормированное пространство относительно векторной нормы (см. [12]).
Введем теперь в C#(Q, J (H)) структуру йордановой алгебры. Возьмем ж,у G C#(Qî ад G ж и и G у. Вектор-функция w : q H- u(q) о v(q) (q G dom (ад) П dorn (v))
непрерывна, ограничена и определена на котощем множестве, значит w G Т. Пусть х о у — класс эквивалентности вектор-функции w. Непосредственно из определений легко усматривается, что C#(Q, J(H)) — JB-алгебра с единицей W- : q и- 1 (q G Q). Центр алгебры C#(Q, J (H)) изоморфен C(Q) и определяется вектор-функциями со значениями в Ж • 1.
2.4. Выясним вид проекторов и симметрий в алгебре C#(Q, J (H)). Если х G C#{Q;J{H)), то любая вектор-функция ад G ж имеет вид ад = (г, h), где г G C(Q), а h — непрерывное отображение из котощего множества dorn (h) С Q в H.
Элемент ж G C#(Q, J (H)) является проектором в том и только в том случае, если существует разбиение Q на три открыто-замкнутые множества Qo,Ql,Qi такие, что r(t) = i при t G Qi (i = 0, f, 1), h(t) = 0 при t G (Q0 U Qi) П dom (h) и (h(t),h(t)) = f при t G Q i П dom (h). Проектор будет центральным, если Q i = 0.
В самом деле, равенство ж о х = ж означает, что для всех t G dom (h) совместна система условий:
2r(t)h(t) = h(t), r2(t) + {h(t),h(t)} =r(t) (t G dom (h)).
Тем самым, либо h(t) ф^ 0, и тогда из первого условия вытекает r(t) = а из второго условия следует {h(t),h(t)) = либо h(t) = 0, и в этом случае из второго условия видно, что r2(t) = r(t). Значит непрерывная функция г принимает три значения i = 0, 1, поэтому Qi := г^1(г) — открыто-замкнутое множество, причем Q = Qq U
Qi uQi.
Аналогичными рассуждениями устанавливается, что если ж, г и ft те же, что и выше, то ж будет симметрией в том и только в том случае, когда существует разбиение Q на три открыто-замкнутых множества Q о, Q i и Q-i такие что (r,h)(t) = (0,/i(i)),(/i(i),/i(i)) = 1 при t G Qo П dom (/г), (r,/i)(t) = (1,0) при t G Qi П dom (/г)
и (r,h)(t) = (—1,0) при i G Q-i П dom (/i). Симметрия ж будет собственной, если Q1 = Q_x = 0.
2.5. Теорема. Если А — размерность гильбертова пространства II. то C#(Qi J(H)) — s(А)-однородная AJW-алгебра типа
<1 Тот факт, что C#(Q, J{H)) является AJW-алгеброй выводится ниже посредством булевозначной реализации (см. 3.5.). Прямое доказательство несложно, но довольно громоздко, поэтому оно не приводится. Пусть £ — ортонормированный базис в Н. Для каждого е G i обозначим символом se постоянное отображение q Н- (0, е) (q G Q). Тогда (se)eg£ — семейство попарно ортогональных собственных симметрий в C#(Q5 J{H)). Допустим, что существует собственная симметрия s G C#(Q, J(H)), ортогональная всем se. Тогда любой представитель u G s имеет представление u(t) = (0,h(t)) t G dorn (/г), где {h(t),h(t)) = 1 и dorn (h) — котощее множество в Q. Так как ,s о se = 0, то h(t) о е = 0 для всех е G £, следовательно, h(t) = 0. Это противоречие показывает, что семейство (se)eg£ максимально. Если Ь — центральный проектор, то вектор-функция и G b равна 1 на некотором открыто-замкнутом множестве Q± и равна нулю на Q \ Qi. Применив проведенные выше рассуждения к алгебре b о C#(Q, J(H)) видим, что (b о se)ees — максимальное ортогональное семейство собственных симметрий в 6 о C#(Q, J{H)). Так как card (£) = А, то получаем 5(А)-однородность алгебры C#(Q, J(H)). >
2.6. Как отмечалось выше C#(Q, J(H)) является пространством Банаха — Канторовича относительно нормы | • | (см. [12]). Для множества М С C#(Q, J(H)) обозначим символом d(M) множество элементов у, представимых в виде у =
где (6j) — разбиение единицы в булевой алгебре центральных проекторов, а — ограниченное семейство в М. Пусть г(М) обозначает множество всех г-пределов у = г- lim хп (|у — xn\ ^ Ane, е € C(Q), An —0) последовательности из М.
п—¥оо
Алгебраическое тензорное произведение C(Q) ® J(H) отождествим с подпространством в C#(Q, J(H)) следующим образом: если z = f\ ® u\ + ■ ■ ■ + fm ® um для некоторых fi,...,fm ^ C(Q) и щ,..., um G J(H), то z сопоставим вектор функцию
Шш + • • • + fm(t)um G J(H) (t G Q).
Введем еще одно множество вектор-функций. Пусть (Q{) — разбиение единицы в булевой алгебре открыто-замкнутых множеств компакта Q и («j) — ограниченное семейство элементов в J(H). Тогда можно определить вектор-функцию / условиями: dorn (/) := IJQs и /№ = ui ПРИ t € Ясно, что / G C#(Q,J(H)). Множество таких / обозначим символом St J(H)). Если в этом определении убрать предположение об ограниченности семейства («j), то полученное множество обозначим через St (Q,J(H)).
2.7. Теорема. Имеют место следующие равенства:
C#(Q, J(H)) = r(St #(Q, J(H))) = rd(C(Q) ® J(H)).
<1 Очевидно, что St (Q,J(H)) С d(C(Q) ® J(H)), поэтому достаточно установить первое равенство. Оно вытекает из соотношения C<X(Q, J(H)) = г (St (Q, J(H)), доказательство которого содержится в [11, теорема 5.4.10]. >
2.8. Так как по определению J(H) = Ж ® Н, то C#(Q,J{H)) изоморфна C(Q) ® C#(Q,H). Из 2.4 видно, что если (sa) — центрально максимальное семейство собственных симметрий в C#(Q, J(H)) ш sa = (0,ha(-)), то (ha(-)) — ортонормированный базис C(Q) — модуля C'#(Q. II). Если Н — комплексификация гильбертова пространства //. то C#(Q,H) — АИ''-модуль. являющийся комплексификацией
Сф((^,Н). Таким образом, алгебра Сф(С}.^(Н)) будет 5(А)-однородной в том и только в том случае, если . 1И'' — модуль Сф((^,Н) является А-однородным (см.[1, §2]).
§ 3. Булевозначная реализация АЛ\¥-алгебр
Общий факт о булевозиачиой реализации Л?-алгебр установлен в [2]. Здесь приводятся некоторые уточнения для случая А Л^-алгебр.
3.1. Пусть А — некоторая .1./И'-алгебра. а В — булева алгебра ее центральных проекторов. Тогда А является В- Л?-алгеброй в следующем смысле: для любого разбиения единицы в В и ограниченного семейства (х^)^е в А существует и притом единственный элемент х £ А, для которого Ь^х = 64.г4 при всех £ £ Н. (В определении В-Л?-алгебры из [2] необходимое условие ограниченности семейства (хпропущено).
В самом деле, семейство (Ь^х^) состоит из попарно совместных элементов, следовательно, оно содержится в максимальной сильно ассоциативной подалгебре А$ с единицей. Но так как А0 является порядково полной векторной решеткой, а семейство (Ь^х^) порядково ограничено в А0, то в А0 существует элемент х := Очевидно, что Ь^х = Ь^х^ для всех
Таким образом к ЛЛ^-алгебре применима реализационная теорема 3.1 из [2]. Однако здесь возможны некоторые уточнения.
3.2. Теорема. Ограниченный спуск А АЗШ-алгебры А £ является . 1./ И-алгеброй, причем (Л) содержит правильную подалгебру изоморфную В. Наоборот, если А — некоторая АЗШ-алгебра и Ц$С(А) содержит правильную подалгебру, изоморфную В, то в модели
у( В)
существует единственная с точностью до изоморфизма АЗШ-алгебра А, ограниченный спуск которой В-изоморфен А. При этом, А является АЗШ-фактором внутри
у( В)
в том и только в том случае, когда В = Ц$С(А).
<1 В [2; теорема 3.1] установлена, что сформулированная теорема справедлива с заменой . 1./ И'-алгебры А на ./ //-алгебру. а . 1./ И'-алгебры А на В-Л?-алгебру. Следовательно, нужно лишь доказать, что *::-./ //-алгебра А будет . 1./И'-алгеброп в том и только в том случае, если ее булевозначная реализация А является А«/Ж-алгеброй. Другими словами, нужно обосновать следующую эквивалентность (см. определение 1.2):
о (Л)] = 1к[Т2(А)\ = 1.
(1) Вначале установить, что Т\(А) О [^(Л)] = 1. Потребуется следующее вспомогательное равенство Если е — проектор в А, т. е. [ее ф(«4)] = 1, то по определению [е £ Д] = [е2 = е] = 1. Тем самым, е € А и е2 = е. Так как [||е|| = 1] = 1, то |е| = 1, поэтому ее1ие£ Итак Обратное включение очевидно.
Возьмем теперь множество попарно ортогональных проекторов £ С ф(«4) и пусть Е := Из сказанного вытекает, что Е С ф(-А). Тот факт, что £ состоит из попарно ортогональных элементов, записывается в виде
[ (Ус € ф(Л)) (Ус е ф(Л)) (е ф с ->• ее = 0) ] = 1.
После раскрытия булевых оценок истинности для кванторов, с учетом сказанного выше приходим к следующему утверждению: для любых е, с £ и проектора
Ь := У{Ь £ Ш : Ьс = Ьс} выполняется Ь*ее = 0. Как видно, элементы Е не являются, вообще говоря, попарно ортогональными и нельзя воспользоваться справедливостью Т\(А). Необходимо подправить Е, заменив его новым множеством Е'. Если
7 := card (Е), то элементы Е можно занумеровать кардиналами из 7, т. е. имеет место представление Е = (eJg)J3g7. Положим е\ := е± и
e'a:=Kea, ba := У [еа = е^] (1 < а < 7).
¡3<a
Если da¡3 := [еа = е^], то в силу отмеченного выше свойства множества £ будет йа/зеае/з = 0. Используя это обстоятельство и определение при (5 < а выводим:
еае'/} = Ь*ае<*Ь0е0 = ( V dav ) eableí3 = Д d*aueaef}b} < d*a¡3eaef3 = 0.
Таким образом, множество E' := (e'a)aej состоит из попарно ортогональных проекторов. Согласно нашему предложению о справедливости Т\ (А) для каждого a G 7 существует := V/j<a е^. Покажем индукцией по а, что еа ^ (а £ 7). При а = 1 имеем ei = е\ = е". Допустим, что е^ sí е^ при всех (5 < а. Тогда с учетом выше изложенного имеют место соотношения
еа = е'аУ Ьаеа = е'аУ \J dal3ea =е'аУ \J ер sg е'а У \J е'^ =
/3<а /3<а /3<а
т. е. еа ^ Из ^(А) вытекает существование е := supl?' = supe'a. Но так как
а<7
еа ^ еа ^ еа ^ е ^ т); т0 множество -Е также имеет точную верхнюю границу и supЕsup£1= е. Теперь ясно, что [sup£ = е], следовательно, Т\(А) —[.^(Д)] = 1.
Обратная импликация проста и вытекает из следующего соображения: если Е — множество попарно ортогональных проекторов в А, что £ := Е\ — множество попарно ортогональных проекторов в Д, причем из существования sup£ £ Л по принципу максимума следует существование sup Е.
(2) Покажем теперь, что справедливы импликации
Т2{А) [^2 (Л)] = 1, lCalF1(A)kT2(A) ] = 1 -+?{А).
Прежде всего убедимся, что отображение ограниченного спуска Aq И- ПА (Д0 С А) осуществляет биекцию между множествами Ai (А) и Ai (А) максимальных сильно ассоциативных подалгебр Л и А соответственно.
Возьмем х G До i- Так как Al= mix (А), то х = mix(bjaj) для некоторых разбиения единицы С В и семейства (aj) С А. В частности [ag G Ао ] ^ Если aj — перемешивание элементов aj и 0 с весами и 1 — соответственно, то по-прежнему х = mix(bjaj), но а'^ G Ао i ПА. Тем самым Ао 4= mix (До i ПА), что равносильно соотношению [ «4ot= = 1.
Пусть Ао € Ai(A) и А0 := ПА. Тогда для ассоциативной подалгебры А0 С Ai с А будет [До = A0fc Aif] = 1 и, в силу ассоциативности подалгебры . 1\1 выполняется [ До = -Ait] = 1. Отсюда выводим А0 = До4 ПА = AifJ, ПА э Ai, значит А0 G Ai(A). Наоборот, возьмем А0 G Ai (А) и положим Д0 := A0f. Если Ai С Д — сильно ассоциативная подалгебра, содержащая Д0, то Д]Д- ПА — сильно ассоциативная подалгебра А содержащая Д04 ПА = До ti ПЛ ^ А)- Тем самым, А0 = Дli ПА и,
применив операцию подъема, получим Aq = -Aot= (ДЦ fL4)t= Ai- Это доказывает максимальность Aq . В дальнейших рассуждениях Aq и Aq соответствуют друг другу в силу указанной биекции. Отметим также равенство *}1(До)4,= вытекающее из
приведенных в (1) соображений.
Допустим, что выполнено Т2(А). Возьмем замкнутую подалгебру А в Aq, содержащую ф(До). Тогда А : А1 Г\А — замкнутая подалгебра в Aq, следовательно, Aq = А. Отсюда выводим А = ,-tf ^40f= Aq, т. е. имеет место Т2(И.) внутри V^B).
Предположим теперь, что [ЫА) 1 = 1ЫЛ) ] = 1. Пусть А — наименьшая замкнутая подалгебра в Aq, содержащая В соответствие с уже доказанным в (1) имеет место J-i(A), стало быть, А — порядково полная векторная решетка ограниченных элементов. Кроме того В С ф(-Ао) С А, следовательно, А = mix (Л) П А. Если А '■= А\, то [ba А — замкнутая подалгебра в Aq ] = [ф(До) С Д] = 1. Так как внутри
выполняется Т2(А), то Д = До и А\-= ДоI- Ограничив спуски на А, получим А = (-Afi) П А = До 4- = Aq. Итак, имеет место утверждение Т2(А). Теорема доказана полностью. >
3.3. Теорема. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство и А := dim Н > 1. Пусть 7-1 и А — пополнения метрических пространств Н и ¿Г(Н)' соответственно в модели V® . Тогда имеют место утверждения:
(1) у(®) |= [[% — гильбертово пространство и dim% = |A"|JJ;
(2) F® |= [[А — спин-фактор, изометрически изоморфный абстрактному спин-фактору J (%)]]■
<1 Утверждение (1) установлено в [1], см. также [11]. Докажем (2). Пусть формула ф(А,Н,Ш, (•,•), о, || • ||) утверждает, что J В-алгебра А совпадает с абстрактным спин-фактором J(H), в построении которого участвуют вещественное гильбертово пространство Н со скалярным произведением (•,•), поле действительных чисел Ж, йорданово произведение о и норма || • || в Ж ® Н. Нетрудно убедиться, что эту формулу можно считать ограниченной. В силу принципа ограниченного переноса будет
ф(А,Н,ж, (.,•), о, || -||) о fw и Ф(А',Н',Ж, (•,•)>; ii • 1г). Отсюда видно, что \J(H)" = ¿Г(Н')} = 1. Более подробно, внутри
выполняется
утверждение: J{ II) — йорданова алгебра Ж" ® II над полем Ж" с умножением о" и нормой || • ||Л. Пополнение Д-алгебры Ж" ® Н" как 7£-метрического пространства изометрически изоморфно 71,®%. Умножение и норма в!"0 Н являются равномерно непрерывными функциями, стало быть имеют непрерывные продолжения на 71,®%, которые обозначим соответственно © и ||| • |||. Если G 1*и G Н', то
(s,k)o\t,h) = (st+{k,hy,sh + tk); ||(s,fc)|| = \s\ + ({k, k}1)
По непрерывности эти соотношения продолжаются на все 71®%, следовательно, при G Ки fc, h £ % будет
(s,k)@(t,h) = (st+ (k,h),sh + tk); |||(s,fc)||| = |s| + (k,k)^,
Где — скалярное произведение гильбертова пространства %. Теперь ясно, что Д изометрически изоморфно спин-фактору J{%) внутри . >
3.4. Теорема. Пусть X — пополнение нормированного пространства X"в модели
у( В)
a Q — стоуновский компакт полной булевой алгебры В. Тогда спуск X линейно изометричен решеточпо нормированному пространству С^ (Q,X), а ограниченный спуск X изометрически Ш-нзоморфен
<1 Доказательство первой части см. в [11, теорема 5.4.10]. Вторая часть — простое следствие первой. >
3.5. Следствие. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство, а 'И — метрическое пополнение Н' внутри модели V® . Тогда ограниченный спуск абстрактного спин-фактора J(H) € V™ В-изоморфен JB-алгебре C#(Q,J(H)), где Q - ,стоунов-ский компакт алгебры В. В частности, C#(Q, J(H)) является AJW-алгеброй.
<1 Очевидно следствие из 3.4 и 3.3. >
§4. Функциональная реализация AJW-алгебр типа 12
В этом параграфе приводится детальное описание структуры АJW-алгебры типа 12 и дается полная классификация таких алгебр с точностью до изоморфизма.
4.1. Пусть А — некоторая A J И'-алгебра типа 12 ш А — ее булевозначная реализация в модели где В — булева алгебра центральных идемпотентов А. Тогда [Л — спин-фактор] = 1.
<1 По теореме 3.2 [Л — AJW-фактор] = 1. Пусть р и q — абелевы проекторы в А, причем p + q = 1. Тогда {р, q G ф(Л) ] = 1, так как ф(Л). Кроме того ясно,
что [p + q = 1] = 1. Абелевость проектора р (или q) внутри
устанавливается
следующим образом. Пусть U„ G — отображение, определяемое внутри модели соотношением х Н- 2a(ax) — a2x (х G Л). Тогда \Ua = i/at] = 1; стало быть внутри выполняется
UP(A)f= Upf (Af) = ЦДЛ).
Так как UP(A) — ассоциативна, то \UP(A) ассоциативна] = 1. >
4.2. Пусть Q — стоуновский компакт полной булевой алгебры В, а (5 — ординал, снабженный дискретной топологией. Положим Q(/3) := CoolQ,^). Будем писать Q(P) ~ Q0(7) следует 7^0. Легко видеть, что данное определение равносильно определению --стабильности из [1, пункт 2.6]. Как показано в [1, теорема 2.7] 7-стабильиость булевой алгебры В (или соответствующего стоуновского компакта) Q равносильна соотношению |= 7"= |7"|.
4.3. Теорема. Для любого AJW-алгебры А типа 12 существует такое семейство непустых экстремальных компактов (Q7)7gг, Ще Г — множество кардиналов > 1, что Q7 --стабилен при всех 7 G Г имеет место представление
Если (Ps)seА — семейство экстремальных компактов, удовлетворяющие тем же условиям, что и семейство (Q7)7er, то Г = А и Р7 гомеоморфен Q7 при всех 7 £ Г. <1 Пусть Л — булевозначная реализация алгебры А в модели
, где В — полная
булева алгебра центральных идемпотентов в А. Согласно 4.1 [Л— спин-фактор ] = 1. Из 2.2 в силу принципа переноса выводим, что [ Л — J {И) ] = 1 для некоторого вещественного гильбертова пространства % G . Размерность А := dim(W) гильбертова
пространства 'Н внутри V® можно представить в виде А = mix 7£(5&77', где 5 — множество кардиналов, а (Ь7)7е§ — разбиение единицы в В. Так как 67 si [dim(W) = 7"], то в силу принципа переноса будет [ T-L изометрически изоморфно ^ Но тог-
да верно соотношение Ь1 si [Л ~ J{h{тО)]- Так как [А > 1] = 1, то Ь1 si [7" > Г], поэтому 7 > 1 при 67 ф 0. Положим Г := {7 £ 5 : 67 ф 0}. Пусть Д7 £ У"ОМ — образ А при отображении р* : у (В) у(в7); индуцированным булевым эпиморфизмом р : I) —г Ь А Ь-. (Ь £ В) из В в В7 := [0, Ь7 ]. Тогда Д7 — спин-фактор в модели и [Л ^ J{h{70)1 by (см. [11, теорема 2.2.3]). Отображение рх И- р*х (х £ А) является гомоморфизмом А на ограниченный спуск А7 алгебры А7 из модели При этом {р*х = 0] = р({х = 0]) = 1 в том и только в том случае, если Ь7 ^ [ж = 0] или ЬуХ = 0. Тем самым ядро гомоморфизма р совпадает с 6! .1. значит А7 изоморфна ЬуА. В соответствие с 3.5. А7 изоморфна алгебре C#(Q7, J~(l2(j))), где Qy — стоу-новский компакт булевой алгебры В7. Остается заметить, что А есть прямая сумма компонент Ау. Тот факт, что компакт Q7 --стабилен следует из [11, теорема 6.3.5 и 6.3.7]. Единственность устанавливается так же, как и в [11, теорема 6.4.11]. >
4.4. Из доказанной теоремы следует, что .1./ И'-алгебра типа 12 разлагается в прямую сумму s-однородных компонент. Однако такое разложение не будет однозначным. Так же, как и в [1, теорема 3.4(4)] можно показать, что для любых двух вещественных гильбертовых пространств Hi и Н2 при Ai := dim(ifi) < dim(H2) = \2 можно подобрать стоуновский компакт Q так, чтобы алгебры J(Hi)) и C#(Q,J(H2)) оказались изоморфными. Разумеется это невозможно, если компакт Q А^-стабилен при k : 1, 2. Эта трудность преодолевается так же, как и в [1] и [13], т.е. путем введения В-размерности .1./ И'-алгебры типа 12.
Для ненулевого Ь £ В обозначим символом a(b) наименьший кардинал 7, для которого AJW-алгебра А будет з^-одпородпой. Скажем, что А строго з(^)-однородна, если она з^-одпородпа и а(Ь) = 7 для всех ненулевых Ь £ В. Разбиение единицы (Ь7)7ег) в В назовем В-размерностью или булевой размерностью AJW-алгебры А (типа 12), если Г — множество кардиналов и для каждого 7 £ Г выполняются условия: 1) 7 > 1, 2) Ь7 ф 0, 3) ЬуА строго 5(7)-однородна. Если А — спин-фактор, то В-размерность определяется одним единственным кардиналом 7 > 1, который назовем просто размерностью А. Две В-размерности (Ь7)7ег и (е§)§е& будем называть конгруентными, если Г = А и существует автоморфизм п булевой алгебры В такой, что 7г(Ь7) = е7 для всех 7 £ Г. Будем говорить просто о строгой s-однородности, если алгебра ¿"^-однородна для некоторого кардинала 7.
4.5. Теорема. Пусть А — некоторая AJW-алгебра типа 12 и А — ее булевозначная реализация. Пусть (67)7gг — разбиение единицы в В, причем Ь-. / II и > 1 при всех 7 £ Г. Тогда (Ь7)7ег будет Ш^размерностью алгебры А в том и только в том случае, если [mix 7ег(^77~) —размерность спин-фактора А} = 1.
<1 Доказательство повторяет рассуждения из [1, теорема 2.5] с учетом 2.8. >
Пусть (Q7)7gг — то же, что и в 4.3, а Ь7 — элемент В, соответствующий открыто-замкнутому множеству Qj. Из 4.2 и 4.5 видно, что (Ь7)7ег — В-размерность А.
4.6. Теорема. Две AJW-алгебры типа 12 изоморфны в том и только в том случае, если они имеют конгруентные булевы размерности.
<1 Пусть А ш В — произвольные .1./ И'-алгебры типа 12. а В — полная булева алгебра. Возьмем две В-размерности (е7)7ег и (с7)7ег и положим a := mix 7£г(е77") и (3 := mix 7ег(е77"). Пусть ж — автоморфизм В, а ж* — его продолжение на
(см. [11, пункт 2.2.2.]). Тогда из е7 ^ [а = 7"] следует, что ж(еу) si [7г*(а) =7"] (см. [11, теорема 2.2.3(2) и теорема 2.2.8(5)]). Отсюда видно, что равенство [7г*(а) = 7] = 1 выполняется лишь в том случае, если ж(е7) = с7 (7 G Г). Итак, указанные В-размерности конгруентны тогда только тогда, когда ¡3 = 7г*(а).
Пусть теперь (е7) и (с7) — В-размерности алгебр А и В соответственно, причем А и />' — ограниченные спуски спин-факторов Л и В G V®. Тогда имеем
[а — размерность Л] = [(5 — размерность В] = [7г*(*А) — спин-фактор] = [7г*(а)— размерность 7Г*(Л)] = 1.
Если Р = ж*(а), то [ж*(*А) ~ = 1, следовательно, AJW-алгебры ж*(А) и В В-изоморфиы, так как в силу [11, теорема 2.2.2(3)] ж* (А) совпадает с ограниченным спуском 7г*(А). Отображение а Н- ж*(а) (a G А) осуществляет изоморфизм А ~ 7Г*(Л), стало быть А ~ В. Наоборот, допустим, что имеется изоморфизм ср : А —В. Этот изоморфизм не является экстенсиональным и его нельзя поднять до изоморфизма алгебр Л и В. Пусть г а и i в — изоморфизмы В на Ц$С(А) и Ц$С(В), определяемые соотношениями
е = [u(e) = 1а] = [[гв(е) = 1в], е* = [u(e) = 0А] = \гв{е) = 0В].
Положим ж := х^ща- Легко проверить, что г* := in*(a) = ж*%аж^1. В самом деле, ж(Ь) = [7г*({а(Ь)) = 1а] и ж(Ь)* = [7г*({а(Ь)) = Ов], а это и означает, что г*(7г(Ь)) = ж*^а(Ь))- Если ф := (рж*^1, то для b G В и a G 7Г*(А) будет
ф(ЦЬ)а) = <£>(7г*-1(г*(Ь)) • тг*_1(а)) = ° 7Г_1(Ь) • ^(<0 = «в(Ь)^(а).
Таким образом ф — В-гомоморфизм из 7Г*(А) на В, значит [7Г*(Л) изоморфен В\ = 1. Но тогда IP = ж (а) ] = 1. >
4.7. Отметим несколько следствий из доказанных результатов.
(1) Любая AJW-алгебра типа 12 допускает единственное разложение в прямую сумму строго s-однородных компонент.
(2) Пусть (Ь7)7ег — разбиение единицы в В, причем Г — множество кардиналов и для каждого 7 G Г выполняется: ~ > 1. /к / П. /к - — стабильный элемент. Тогда существует AJW-алгебра типа 12 такой, что( А) ~ В иВ-размерность А конгруентна (Ь7)7ег-
(3) Пусть А-А JW-алгебры типа 12 и А) разлагается в прямую сумму булевых алгебр счетного типа. Тогда любая s-однородная компонента А является строго s-однородной, и алгебра А допускает единственное разложение в прямую сумму ,s-однородных компонент.
<1 Пусть (6j)jes — разбиение единицы в В := Ц$С(А) такое, что булева алгебра ®5 = [0,6j] счетного типа при всех £ £ Н. Тогда [7"= |7"|]в? для каждого кардинал 7 [10,3.1.13(2)]. Если 7rg(6) := ЬА (6 £ В), а ¡¡I — продолжение жg на F®, то 7Г{([7Л = |71f) = h*((Y) = k|(7l|]% = IY = |т"| = 1- Следовательно, bs < ¡j = |7"|f при всех т. е. 1= 1 = |т1- Это означает, что алгебра В --стабильны для каждого кардинала 7 и, тем самым строгую s-однородность любой з(7)-однородной компоненты А. >
4.8. В качестве еще одного следствия теоремы 4.3 укажем представления s-одно-родных компонент в виде алгебры измеримых вектор-функций, полученное в [14].
Пусть А — некоторая .1./ И'-алгебра. 2(. 1) — центр А, В — полная булева алгебра всех центральных проекторов, Q — стоуновский компакт алгебры В. Если А — JBW-алгебра, то на А имеется достаточное число нормальных состояний. Отсюда следует, в частности, что if-пространство 2(A) допускает разделяющее множество регулярных порядково непрерывных функционалов, на В существенно положительная счетно-аддитивная мера, а компакт Q является гиперстоуновым. Тем самым, булева алгебра В представима в виде алгебры B(Q,/j.) := B(Q,B,/j.) измеримых множеств по модулю множеств нулевой меры относительно некоторого пространства с мерой (Q,B,fj,). Здесь П — непустое множество, В — ст-алгебра множеств, ц : В —Ж U {+оо} — положительная счетно-аддитивная функция, причем выполнены условия:
(а) если V С <>• и V " К £ В для всех К £ В с ц(К) < +оо, то N £ В;
(б) если N £ В и ¡¿(N) = +оо, то 0 < /л(Щ) < +оо для некоторого iV0 £ В, Щ С N;
(в) если N £ В и ¡¿(N) = 0, то Л/"о € В при iV0 С N.
По определению В(П,/л) = В/М, где N := {N £ В : n(N) = 0}.
4.9. Теорема. Пусть А — некоторая JBW-алгебра типа ¡¿- Тогда существует семейство пространств с мерой (П75/и7)7ег, где Г — непустое множество кардиналов, больших 1, такое что имеет место представление:
1/00(П7,^7, J(h(l)))-
L—'тег
Если (S^, As)§£Deita — семейство пространств с мерой, обладающее теми же свойствами, что и (fl7, /л7)7ег, то Г = А и для каждого 7 £ Г булевы алгебры B(il7,p7) и В(И7, А7) изоморфны.
<1 В силу теоремы 4.2 достаточно убедится, что если (05/ц) — пространство с мерой, обладающее свойством прямой суммы, a Q — стоуновский компакт полной булевой алгебры В := B(il,p), то решеточно нормированные пространства C#(Q,X) и Loo(Q, ц, X) изометрически изоморфны для любого банахова пространства X. Пусть Lo(Q, ц,Х) — пространство (классов эквивалентности) измеримых по Бохнеру вектор функций g : П —X. Существует отображение т : О —Q такое, что for — измерима для любой вектор-функции / £ C00(Q,X), причем, если / — класс эквивалентности функции for, то отображение / —/ является изоморфизмом С^ (Q, X) на Lq (П, ц, X) [17, теорема 5.3.2] (см. также [15, теорема 2.9], [16, теорема 4.1.15]). Это же отображение осуществляет линейный и решеточный изоморфизм C00(Q) на Lo(Q,/j,). Более того, оно является изометрией решеточно нормированных пространств, т. е. выполняется |/| = |/|, (/ £ C00(Q,X)), следовательно, справедливы соотношения
/ £ C#{Q,X) о |/| £ C(Q) о |7l £ Loo(0,/i) о /е Loo(fi, Утверждение о единственности вытекает из 4.7(3). >
Литература
1. Кусраев А. Г. О функциональной реализации AW*-алгебр типа I // Сиб. мат. журн.—1991.— Т. 32, № :i. V. 79 88.
2. Кусраев А. Г. Вулевозначный анализ и JB-алгебры // Сиб. мат. журн.—1994.—Т. 35, № 1.— С. 124-134.
3. Topping D. М. Jordan algebras of self-adjoint operators // Mem. Amer. Math. Soc.—1965.—V. 53.
4. Арзикулов Ф. H. Об абстрактных JW-алгебрах // Сиб. мат. журн.—1998.—Т. 39, № 1.—С. 2027.
5. Арзикулов Ф. Н. AJW-алгебры и приложения к теории измеримых операторов // Дисс. на соиск. степ. канд. физ.-мат. наук. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998.
6. Арзикулов Ф. Н. Об одном аналоге пирсовского разложения // Сиб. мат. журн.—1999.—Т. 40, № 3.
7. Hanshe-Olsen Н., Stormer Е. Jordan operator algebras.—Boston etc.: Pitman Publ. Inc., 1984.
8. Аюпов III. Ф. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебр.—Ташкент: Фан, 1986.
9. Аюпов III. А. Иордановы операторные алгебры // Современные проблемы математики. Новейшие достижения.—М.: ВИНИТИ, 1985.^Т. 27.^С. 67-97.
10. Alfsen Е. М., Shultz F. W., Stormer Е. A Gel'fand-Neumark theorem for Jordan algebras // Adv. in Math.^l978.^V. 28, № 1.—P. 11-56.
11. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Вулевозначный анализ.—Новосибирск: Наука, 1999.
12. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы // Линейные операторы, согласованные с порядком.— Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.^С. 212-292.
13. Ozawa М. A classification of type I AW*-algebras and Boolean valued analysis // J. Math. Soc. Japan.—1984.—V. 36, № 4.—P. 589-608.
14. Stacey P. J. Type I2 JBW-algebras // Quart. J. Math. Oxford.^l982.^V. 33, № 2.—P. 115-127.
15. Sentilles F. D. Stonian differentiation and representation of vector functions and measures // Contemp. Math.^l980.^V. 2.—P. 241-269.
16. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.—Новосибирск: Наука, 1985.
17. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.—С. 63211.
