Измеримые расслоения c*-алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь март, 2003, Том 5, Выпуск 1

УДК 517.98

ИЗМЕРИМЫЕ РАССЛОЕНИЯ С*-АЛГЕБР

И. Г. Ганиев, В. И. Чилин

Устанавливается, что инволютивная алгебра Банаха — Канторовича над кольцом всех измеримых функций, норма которой удовлетворяет условиям, аналогичным аксиомам С*-алгебры, допускает единственное с точностью до *-изометрии представление посредством измеримого расслоения С*-алгебр, обладающего векторнозначным лифтингом.

Настоящая работа посвящена изучению пространств Банаха — Канторовича, являющихся одновременно *-алгебрами, норма которых обладает С*-свойством.

Такие объекты являются модулями над кольцом измеримых функций, и по-

этому их естественно называть С*-алгебрами над С*-алгебры над дают

новые содержательные примеры пространств Банаха — Канторовича, теория которых уже достаточно хорошо разработана (см., например [1]). Исследование свойств С*-алгебр над с использованием методов булевозначного анализа предложено

А. Г. Кусраевым [2].

В настоящей работе, следуя общей идеологии представления пространств Банаха — Канторовича в виде измеримых банаховых расслоений (см. [3]), дается описание С*-алгебр над (О) в виде измеримых расслоений классических С*-алгебр, что позволяет изучать их методами общей теории банаховых измеримых расслоений. Используются терминология и обозначения из [1-4].

Пусть (О, Е,А) — измеримое пространство с полной конечной мерой, —

*-алгебра классов эквивалентности комплексных измеримых функций, заданных на

Пусть II — произвольная '---алгебра над полем С комплексных чисел. Предположим, что II является модулем над причем (/«)* = /«*, (/«)г> = /(«и) = «(/и) для всех / € 1/0(11), «,г> € II. Рассмотрим на II 1/0(1))-значную норму || ■ ||, наделяющую II структурой пространства Банаха — Канторовича, в частности, ||/«|| = |/| ||«|| для всех / € « € II. Будем говорить, что (II, || ■ ||) является С*-алгеброй над 1/о (1)), если для любых и, и €.11 имеют место соотношения: (1) ||« ■ г>|| ^ ||«|| ||г>||;

Примерами С*-алгебр над LQ(il) служат алгебры всех ограниченных 1/0(й)-ли-нейных операторов, заданных на Ьо(1))-гильбертовых пространствах, а также их *-подалгебры, замкнутые по 1/0(й)-значной норме.

Пусть X отображение, ставящее в соответствие каждой точке ш € i) некоторую С*-алгебру Х(ш).

Сечением X называется функция «, определенная почти всюду в О и принимающая значения и(ш) € Х(ш), ш € dorn«, где dorn« — область определения «.

Пусть L — некоторое множество сечений.

(f2,E,A).

(2) ||«1 (3) ||«*«

2

© 2003 Ганиев И. Г., Чилин В. И.

Определение 1. Пару (X,L) назовем измеримым расслоением С* -алгебр, если

(1) пара (X,L) — измеримое расслоение банаховых пространств (см. [3]);

(2) если « € L, то и* € L, где и* : dorn« —> и(ш)*;

(3) если «, v € L, то и • v € L, где и • v : ш € dorn« П dorn и —> и(ш)-у(ш).

п

Сечение s называется ступенчатым, если оно имеет вид = Y1 с«(ш)х.44 (w), где

г = 1

Ci € L и Ai € Е, / 1.....п.

Сечение « называется измеримым, если существует такая последовательность {sn} ступенчатых сечений, что sn(cu) и(ш) п. в.

Пусть Л/(<?. А") — множество всех измеримых сечений, /.(,(<2. А") — факторизация M(fl,X) по отношению равенства почти всюду. Через « обозначим класс, содержащий сечение и € Л/(<». А"), и ||«|| — класс из L0(f2), содержащий ||«(ш)||.

Положим « • v = и(ш) • v(ui) и и* = и(ш)*.

Теорема 1. Если X измеримое расслоение С*-алгебр над <». то -£/q(H, А") является С*-алгеброй над LQ(fl).

<1 Согласно теореме 4.1.14 [3] Lq(Q,X) есть пространство Банаха — Канторовича над Lq(Q). Поскольку Х(ш) *-алгебра для всех ш € f2, то Lq(Q,X) — *-алгебра. Так

как х(ш) — банахова алгебра, то ||«"б|| = ||«(ш) ■ v(uj) ||х(ш) ^ IIx(üj) 1 IIx(üj) =

||«(ш)||x(üj) " IIx(üj) = IH| " INI- Аналогично устанавливается, что ||«*|| = ||«|| и ||«* ■ «|| = ||«||2. Следовательно, LQ(fl,X) есть С*-алгебра над LQ(fl). >

Пусть £°°(f2) — алгебра ограниченных измеримых функций на (f2,£,A), а L°°(i2) — алгебра классов существенно ограниченных измеримых функций.

Символом C°°(fl,X) обозначим множество {« € Л/(<». А") : ||«(ш)||х(иг) £ £°°(i2)}. Факторизация С°° (f2, X) по отношению равенства почти всюду обозначается через L°°(fl,X). Ясно, что /. 4 (<». А") — С*-алгебра над L°°(fl) относительно операций, индуцированных из Lq(Q,X).

Определение 2. (ср. [3]) Пусть р : L°°(i2) —£°°(f2) лифтинг [3]. Отображение £ : L°° (f2, X) —> С°° (f2, X) будем называть векторнозначным лифтипгом, ассоциированным с р, если для любых «,ö € /.4 (<>. А") и е € L°°(fl) имеют место соотношения

(1) ■£(«) € и и doml(«) = fl;

(2) P(«)|UM=p(l|ü||);

(3) £(ü + v) = £(ü)+£(v);

(4) £(ü-v) =£(u)-£(v);

(5) £{ü*) =£(ü)*;

(6) £(cü) =p(c)£(ü);

(7) множество {■£(«) (ш) : « € L°°(f2,X)} плотно в Х(ш) для всех ш € f2.

Пусть X и Y измеримые расслоения С*-алгебр над одним и тем же пространством с мерой (f2,E,A). Отображение Н : ш € fl —Н(ш), где Н(ш) : Х(ш) —Y(w) инъективный *-гомоморфизм С*-алгебр, назовем С* -вложением X в Y, если {Ни : и € М(П,Х)} С M(Ü,Y).

В случае равенства {Ни : и € M(Ü,X)} = M(Ü,Y) вложение Н называется С*-изоморфизмом из X на Y (в этой ситуации расслоения X и Y будут называться С*-изоморфными).

Измеримые расслоения С*-алгебр

1-37

Теорема 2. Для любой С*-алгебры II над 1.ц{И) существует единственное с точностью до С* -изоморфизма измеримое расслоение С*-алгебр с векторнозначным лиф-тингом такое, что II — С*-изоморфно Ь0(И,Х).

<1 Положим Г = {« € II : ||«|| € Ь°°(0,)}. Ясно, что Г является /.4 (<?)-модулсм. (Ьо)-плотным в II. Кроме того, Г — *-алгебра и ||«*«|| = ||«||2 для любого и € Г. Определим полунорму аш на Г равенством аш(и) = р(||«||)(ш) для всех ш € О, где р — лифтинг в

Пусть = {и € Г : аш(и) = 0}, Гц, = Г/1^, || ■ ||ц, норма на Гц,, порожденная полунормой аш.

Пусть 7Гц, : Г Гц, проекция из Г в Гц,. Тогда пш(и ■ и) = пш(и) • и пш(и*) =

7гш(и)*. Так как ||7гш(«)||ц, = аш(и) для и € Г, то ||7Гц,(«)7Гц,(г>)||ц, = ||7гш(и ■ и)||ц, = «о:(и ■ V) = р(\\и ■ и||)(ш) ^ р(||«|| ■ |М|)(ш) = р(|М|)М ■ р(|М|)(ш) = аи(м) ■ аш{у) = (и) ||аг ' Н^аг («) ||ц, ДЛЯ ВС6Х Ш € О И V,, V € Г. АпаЛОГИЧНО ||тГш («)* ||ц, = ||тГш («*) ||ц, =

сеш(и*) = р(||«*||)(ш) = р(||«||)(ш) = аш(и) = ||7гш(«)||ш. Кроме этого, имеем \\пш(и) ■

тгц,(«)*||ц, = |М« ■ и*)\\ш = аш(и ■ и*) = р(\\и ■ «*||)М = р(||«||2)(ш) = р(||«||)2(ш) =

«аг(«)2 = \\Ки,(и)\\1.

Таким образом, (Гц,, || ■ ||ш) удовлетворяет всем аксиомам С*-алгебры, кроме полноты. Пополнение Х(и>) инволютивной алгебры Гц, есть С*-алгебра [4].

Пусть ¿и? : —> Х(ш) каноническое вложение. Известно, что гш{х-у) = гш(х)-гш(у) и гш{х*) = гш{х)* для любых х,у € Гц,. Поэтому = ттш о *-гомоморфизм из Г в

хм.

Зададим отображение X, ставящее в соответствие каждому ш (г И построенную выше С*-алгебру Х(ш). Через Ь обозначим множество всех таких сечений й, для которых й(ш) = 7ш(и), где и € Г. Ясно, что (Х,Ь) является измеримым расслоением банаховых пространств. Справедливость условий (2) и (3) из определения измеримого расслоения С*-алгебр вытекает из определения Ь. Это означает, что (X, Ь) есть измеримое расслоение С*-алгебр.

Рассмотрим Ьа(И,Х) — С*-алгебру над с 1/0(О)-значной нормой || ■ ||ь0(п,х)-

Покажем, что II — С*-изоморфно Ь0(О,,Х).

Для и € Г положим Фо(«) = й. Очевидно, что Фо — изометрия. Кроме того, Фо удовлетворяет следующим равенствам:

Ф0(« ■ у) = и = уш(и-и) = 7ш(и) ■ 7ц,(г>) = ■ 7ог(«) = й ■ V = Ф0(и) ■ Ф0(г>)

и ^

Ф0(«*) = и* = 7и, (и*) = 7и>Ы) = («)* = Фо(«)*.

Аналогично, как и в доказательстве теоремы 3.4.2 [3], Фо продолжается до модульного изометрического изоморфизма Ф из II на Ьа(И,Х). Кроме того, ясно, что Ф будет сохранять умножение и инволюцию, т. е. Ф является С*-изоморфизмом из II на 1/0 (О, X).

Теперь ПОКс1Ж©М? Л/^ измеримое расслоение с векторнозначным лифтингом.

Сначала установим, что Г = X). Так как II С*-изоморфно А"). то II можно

отождествить с Ьа(И,Х). По определению Г = {й € Ьа(И,Х) : ||«|| € Так как

/. 4 (<?. А") = {« € Ьо(£1,Х) : ||«|| € 1/°°(1))}, получаем, что Г = /. 4 (<». А") (более точно, Г отождествляется с /. 4 (<». А") с помощью С*-изоморфизма Ф). Так как ||7ш(«)||х(аг) = 1ки>(й)||хи = р(||«||)(ш) ^ ||р(||«||)||£оо(П) = || |«| ||ьоо(п) для любого й € Г и для всех

u; (г <>. то 7u,(«) € C°°(fl,X). Определим отображение £ : /.4 (<>. Л") C°°(fl,X) равенством £(й)(ш) = ).

Поскольку Г отождествляется с /.4 (<?. Л") с помощью Ф, то элемент и € Г отождествляется с элементом Ф(«) = ). Это означает, что £(й) € й. Так как уш(й) определен для всех ш € f2, то dorn / = <». Точно так же, из определения £ следует, что Р(«)|| = р(||«||)- Линейность £ очевидна. Из равенств £(й ■ v)(lu) = ■ ö) = 7üj(Ü) ■ 7w(v) = £(Ü)(uj) ■ £(v)(uj) И £(й*)(ш) = 7a, (ü*) = 7o,(«)* = следуют

свойства (4), (5) из определения векторнозначного лифтинга. Свойство (6) проверяется аналогично.

По построению {£(й)(ш) : ü € L°°(fl,X)} плотно в Х(ш) для всех ш € f2. Покажем теперь единственность X (с точностью до С*-изоморфизма). Пусть X и Y измеримые расслоения С*-алгебр с векторнозначными лифтингами £ и £' для которых Lq(Q,X) и Lq(Q,Y) С*-изоморфны U.

Пусть i — С*-изоморфизм из /.4 (<?. А") на /.4 (<?. )'). Определим линейную изо-метрию Н0(ш) из Х0(ш) = {£(й)(ш) : и € L°°(i),X)} в У0М = {£'(w)(w) : v € L°°(Ü,Y)} равенством HQ(и>)(£(й)(и>)) = £'(i(ü))(u>). Из равенств Hq(uj)(£(Üi)(uj) ■ £({¿2)(w)) = ЯоМ(^(«1 ■ й2)М) = £'(г(щ ■ й2))М = £'(г(щ) ■ i(Ü2))(ш) = £'(г(щ))(ш) ■ £'(г(и2))(ш) =

Я0М(^(«1)И) ■ ffo(oü)(£(Ü2)(u;)) и Я0М№ГМ) = Я0(и>)(£(й*)(и>)) = £'(г(й*))(ш) =

£'(г(й)*)(ш) = £'(г(й))* (ш) = Hq(uj)(£(ü)(uj))* следует, что Н0(ш) сохраняет умножение и инволюцию. Ввиду плотности Х0(ш) в Х(ш) и Уо(ш) в Y(uj), оператор Н0(ш) продолжается до *-изоморфизма С*-алгебры Х(ш) на С*-алгебру Y(oü). Таким образом, X и у — (."-изоморфны. >

Литература

1. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.—Новосибирск: Наука, 1985.—256 с.

2. Кусраев А. Г. Булевозначный анализ инволютивных банаховых алгебр.—Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1996.—96 с.

3. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно-нормированных пространств. // Тр. ИМ СО РАН,—1995.—Т. 29.—С. 63-211.

4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления.—М.: Наука, 1974.—399 с.

г. Ташкент

Статья поступила 11 марта 2003 г.