CC BY
14
Владикавказский математический журнал июль-сентябрь, 2006, Том 8, Выпуск 3
УДК 517.98
ОБ ОБЕРТЫВАЮЩИХ С*-АЛГЕБРАХ /5-АЛГЕБР Ф. Н. Арзикулов
В данной статье исследуются обертывающие С‘-алгебры ЛВ-алгебр. Доказано, что обратимая ЛВ-алгебра является AJW-алгеброй (JW-алгеброй) тогда и только тогда когда ее обертывающая С*-алгебра является AW‘-алгеброй (соответственно алгеброй фон Неймана).
Введение
В статье обсуждаются вопросы, касающиеся обертывающих С*-алгебр /В-алгебр. Для этого мы используем понятие Л/Ш-алгебры, введенное и исследованное в работах [1-3]. Эти йордановы операторные алгебры впервые были введены Топпингом в 1965 году (см. [3]). Топпинг изучил класс Л/Ш-алгебр в рамках класса йордановых алгебр самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Далее, в работе [1] понятие Л/Ш-алгебры было введено и изучено в рамках класса /В-алгебр. А также, в этой работе введено и исследовано понятие обертывающей ЛШ*-алгебры Л/Ш-алгебры. Основной результат данной работы: произвольная обратимая /В-алгебра является Л/Ш-алгеброй (,1Ш-алгеброй) тогда и только тогда когда ее обертывающая С *-алгебра является ЛШ *-алгеброй (соответственно алгеброй фон Неймана).
0. Терминология и обозначения
Говорят, что специальная /С-алгебра Л является обратимой, если а\й2 ---ап + апап-\ - - .а\ принадлежит алгебре Л всякий раз, когда а1, а2, - - - ,ап £ Л.
/В-алгебра Л называется Л/Ш-алгеброй, если она удовлетворяет условию: для всякого подмножества 5 С Л+ существует проектор е £ Л такой, что 5х = ие(Л), где иаЬ = 2а • (а • Ь) — а2 • Ь, Б± := {а £ Л : иав = 0, в £ 5} и ие(Л) := {иеа : а £ Л}. Относительно Л/Ш-алгебры в [1] доказана следующая теорема.
Введем обозначения
5х := {а £ Л : иах = 0, х £ Б}, ±Б := {х £ Л : иах = 0, а £ 5},
=х Б П Л+, Лип/(Р) = {х £ Л : х • у = 0, у £ Р} относительно йорданова умножения •.
Теорема. Для /В-алгебры Л равносильны следующие условия:
(а) алгебра Л обладает следующими свойствами:
(1) в частично упорядоченном множестве проекторов любое подмножество попарно ортогональных проекторов имеет точную верхнюю границу в этом множестве,
(2) любая максимальная сильно ассоциативная подалгебра порождается своими проекторами (т. е. совпадает с наименьшей замкнутой подалгеброй, содержащей ее проекторы);
© 2006 Арзикулов Ф. Н.
(b) для любого подмножества Б С Л+ существует такой проектор e £ Л, что Бх =
ЩЛ);
(c) для любого подмножества Б С Л существует такой проектор е £ Л, что хБ+ = ие(Л+).
(d) для любого подмножества Б С Л+ существует проектор е £ Р (Л) такой, что Лппу (Б) = ие(Л).
Пусть Л — С*-алгебра. Как известно, множество Л8а = {х £ Л : х* = х} с операцией умножения х • у = 1/2(ху + ух) для всяких х,у £ Л8а является /С-алгеброй. Тогда имеет место следующее предложение.
Предложение. Пусть Л — С*-алгебра. Тогда Л8а является Л/Ш-алгеброй тогда и только тогда когда Л является ЛШ *-алгеброй.
< Пусть Л8а является Л/Ш-алгеброй. Докажем, что для всякого Б С Л аннулятор Лпп(Б) = {х £ Л : хв = 0 для всякого в £ Б} порождается проектором, т. е. Лпп(Б) = Ле, е £ Р(Л).
Пусть Б С Л+. Тогда имеем Б С Л8а и Лип/(Б) С Лпп(Б)8а. Более точно, если хв = 0 для х £ Л8а и для всех в £ Б, то для всякого в £ Б верно х • в = 0. Так как Л8а является Л/Ш-алгеброй, то существует проектор е £ Р(Л) такой, что Лип/(Б) = еЛ8ае. Имеем еЛ8ае С Лпп(Б)8а. Заметим, что Ле С Лпп(Б).
Пусть х £ Лпп(Б) и х(1 — е) = 0. Берем у = (1 — е)х • х(1 — е). Имеем х(1 — е)в = хв — хев = 0, т. е. у £ Лпп(Б) и у £ Л8а. Существуют проектор / £ Р(Л) и элемент г в некоторой максимальной сильно ассоциативной подалгебре Ло Л/Ш-алгебры Л8а, содержащей элемент у такой, что / = уг. Имеем ув = ву = 0 и у £ Лип/(Б) = еЛ8ае. Так как у £ (1 — е)Л8а(1 — е), то последнее является противоречием. Итак, у = 0 и хе = х. Отсюда Лпп(Б) = Ле.
Пусть, теперь, Б — произвольное подмножество С*-алгебры Л и ББ* = {аа* £ Л : а £ Б}. Тогда ББ* является множеством самосопряженных элементов алгебры Л. Утверждаем, что Лпп(Б) = Лпп(ББ*). Действительно, если а £ Лпп(Б), то авв* = (ав)в* = 0в* = 0 для всякого вв* £ ББ*. Отсюда а £ Лпп(ББ*). Тогда Лпп(Б) С Лпп(ББ*). Обратно, пусть, теперь а £ Лпп(ББ*). Для произвольного в £ Б имеем авв* = 0. Отсюда вв*а = 0 и для йорданового умножения • имеем а • (вв*) = 0. Поэтому а1(вв*) = 0. Отсюда ав = а1(в)в = 0, поскольку 1(вв*) = 1(в). Следовательно, Лпп(ББ*) С Лпп(Б). Отсюда Лпп(Б) = Лпп(ББ*). Из предыдущей части доказательства имеем, существует проектор е £ Р(Л) такой, что Лпп(ББ*) = Ле. Отсюда Лпп(Б) = Ле.
Пусть Л — ЛШ*-алгебра. Тогда Л8а является /С-алгеброй. Легко заметить, что для любого подмножества Б С Л+ Лпп(Б)8а С Лип/(Б). В то же время, если а £ Лип/(Б), то в силу предложения 1 из [4] ав = ва = 1/2(ав + ва) = 0 для всякого в £ Б. Отсюда Лип/(Б) С Лпп(Б)8а. Поэтому существует проектор е £ Р(Л) такой, что Лип/(Б) = ие(Л8а). Значит, Л8а является Л/Ш-алгеброй. >
Приведем примеры Л/Ш-алгебр.
1) Любая /ВШ-алгебра является Л/Ш-алгеброй.
2) Алгебра С^) всех непрерывных вещественных функций является Л/Ш-алгеброй, если Q является экстремальным вполне несвязным компактом.
3) Алгебры вида С^,В(Ик)8а) являются Л/Ш-алгебрами, где В(Нк)8а — алгебра всех ограниченных самосопряженных операторов в конечномерном гильбертовом пространстве Ик над К, где К = Ж, С или И, Q — экстремальный вполне несвязный компакт.
Другие примеры Л/Ш-алгебр см. [5].
Пусть А — /С-алгебра самосопряженных линейных операторов в гильбертовом пространстве Н. В дальнейшем для произвольного множества В С А его *-слабое замыкание в В(Н) обозначим через ш(В). Через К*(А) будем обозначать равномерно замкнутую вещественную *-алгебру в В(Н), порожденную А. Для этой алгебры все аксиомы С*-алгебры выполняются. Значит К* (А) является вещественной С*-алгеброй. Далее, через С*(А) будем обозначать равномерно замкнутую комплексную *-алгебру в В (Н), порожденную А. Тогда С*(А) = К*(А) + ІК*(А). Действительно, сумма К*(А) + іК*(А) является комплексной *-алгеброй и для этой суммы выполняются все аксиомы С*-алгебры. В данной работе С *(А) будем называть обертывающей С *-алгеброй А. Для разнообразия, К* (А) будем называть вещественной С *-алгеброй, порожденной А. Аналогично для произвольного подмножества Б С А через С*(Б) (через К*(Б)) будем обозначать равномерно замкнутую комплексную (вещественную) ^-алгебру в В(Н), порожденную А, и будем называть С *-алгеброй (соответственно вещественной С *-алгеброй), порожденной Б. Подробности об этих понятиях имеются в работе [6]. Для /-алгебры А слабое замыкание алгебры С*(А) в В(Н) называют обертывающей алгеброй фон Неймана /С-алгебры А (см. [7]). Следующее предложение доказывается также как предложение 3.2 из [7].
Предложение. /С-алгебра А обратима тогда и только тогда когда А = К*(А)за.
1. Йордановы алгебры, порожденные двумя элементами
1.1. Пусть А — обратимая А/Ш-алгебра, С*(А) — обертывающая С*-алгебра А и К* (А) — вещественная С*-алгебра, порожденная алгеброй А. Тогда в силу сказанного выше С*(А) = К*(А) + іК*(А) и К*(А)5а = А. Пусть р — проектор в С*(А). Тогда существуют такие элементы х, у в К*(А), что р = х + іу. Так как р2 = р, р* = р, то
х = х2 — у2, у = ух + ху, х* = х, у* = -у. (1.1)
В этом параграфе мы будем исследовать С*-подалгебру С*(х,у), порожденную элементами х, у, связанными соотношением (1.1).
1.2. Предложение. Пусть р — проектор алгебры С*(А), р = х + іу, х,у Є К*(А), и
К*(х, у) —вещественная С *-алгебра, порожденная элементами х, у. Далее, пусть С *(х) — С *-подалгебра, порожденная элементом х. Тогда С *(х, у) = С *(х) + уС *(х) и К*(х, у) = С *(х)за + уС *(х)за.
< В силу (1.1) у2, у2к Є С*(х) для всякого к Є N. Верно также,
у2п+1 = уу2п = у(х2 — х)п,
хпу = хп-1ху = хп-1 (у — ух) = хп-1 у(1 — х) = ■ ■ ■ = у(1 — х)п, ухпу = уу(1 — х)п = у2(1 — х)п = (х2 — х)(1 — х)п,
для всякого п Є N. Эти равенства показывают, что всякое произведение конечного числа элементов из х и у может быть представлен как конечная линейная комбинация элементов вида ухп и хп, п Є N. Действительно, например, у элемента х%1 у31 ... х%ку3к подалгебры С *(х, у), где І1,І1,... , ік ,ік Є N и {0}, все множители у31, у32 ..., у3к в силу последних равенств имеют вид многочлена от х или многочлена от х, умноженного на у. Далее, оставшиеся у можно «собрать» вместе, используя равенство хпу = у(1 — х)п. Поэтому нетрудно видеть, что, так как алгебраические операции непрерывны относительно С*-нормы, то всякий элемент а Є С*(х,у) может быть представлен как а = /(х) + уд(х),
где /(х), д(х) £ С*(х). Отсюда, поскольку С*(х) С С*(х,у), уС*(х) С С*(х,у), то С *(х,у) = С *(х) + уС * (х). Аналогично имеем К*(х,у) = К*(х) + уК*(х). Заметим, что К*(х) = С * (х)8а. Отсюда К* (х, у) = С *(х).3а + уС *(х)8а. >
1.3. Предложение. Пусть р — проектор алгебры С*(Л), р = х + 1у, х,у £ К*(Л), и К*(х,у) — вещественная С *-алгебра, порожденная элементами х, у. Тогда К*(х,у)8а = С *(х)8а + уС *(х)-а, где С * (х)-ау = {д(х) £ С *(х)8а : уд(х) = —д(х)у}. Более того, каждая пара элементов множества С*(х)-а коммутирует.
< В силу предложения 1.2 К*(х, у) = С *(х)8а + уС * (х)8а. Пусть а — элемент алгебры К*(х,у)8а. Тогда существуют /(х), д(х) £ С*(х) такие, что а = /(х) + уд(х). Так как а* = а, тогда уд(х) = —д(х)у. Пусть
С*(х)-а! = {д(х) £ С*(х)8а: уд(х) = —д(х)у}-
Тогда К*(х,у)8а = С * (х)8а + уС *(х)-а. Все элементы множества уС *(х)-а попарно коммутируют. Действительно, для произвольных уд\(х), уд2(х) £ С*(х)-а, имеем уд\(х)уд2(х) = —удх(х)д2(х)у = —уд2(х)дх(х)у = —уд2(х)(—уд1(х)) = уд2(х)удх(х). >
1.4. Теорема. Пусть а £ С*(Л), а — конечная линейная комбинация ортогональных проекторов из С*(Л), а = х + iy, х,у £ К*(Л), и К*(х,у) — вещественная С*-алгебра, порожденная элементами х, у. Тогда К*(х,у)8а = С*(х)8а + уС*(х)—у, где С *(х)-а = {р(х) £ С * (х)8а : ур(х) = —р(х)у}, и каждые два элемента алгебры С *(х)-а коммутируют.
< Предположим, что а является линейной комбинацией \р + да, где А, у £ Ж, ортогональных проекторов р и д. Пусть р = х\ + iy\, д = х2 + iy2, где х\, х2, у\,у2 £ К*(Л). Тогда х = х\ + х2, у = у\ + у2. Так как р ■ д = 0, то х\х2 = х\у2 = у\х2 = у\у2 = 0. В силу предложения 1.2 С *(хг,уг) = С * (х^) + у^С *(хг), i = 1, 2. Следовательно, ввиду ортогональности р и д С*(х\,х2, у\,у2) = С*(х\) + С*(х2) + у\С*(х1) + у2С*(х2).
Тогда К*(х, у)8а С С*(хг)8а + С*(х2)8а + у\С*(х\) + у2С*(х2). Нетрудно видеть, что для элемента х%1 у31 .. .х%ку3к £ К*(х,у)8а в силу предложения 1.3 имеет место
хп у31 . ..х%к у3к = хЦ у1 . ..х\к у1к + х2 у32 ■ ■■хг2к у2к = / (х1) + ух д(хЛ)+ / (х2) + у2д(х2) для некоторых полиномов / и д. Более того у*д(хг) = —д(хг)уг, i = 1, 2. Тогда 2
^2(/(х г) + угд(хг)) = / (хх + х2) + (ух + у2)д(хх + х2) = / (х) + уд(х)
г=1
в силу равенств ххх2 = у1х2 = хху2 = 0. Тем самым хг1 у31 ■■■хгк у3к = / (х) + уд(х), уд(х) = —д(х)у. Аналогичные рассуждения имеют место для всякого полинома /(х, у) £ К*(х,у)8а. Всякий элемент Ь £ К*(х,у) является пределом по норме некоторой сети полиномов вида /(х,у) £ К*(х,у)8а. Поэтому существуют элементы /(х), д(х) £ С*(х)8а такие, что Ь = /(х) + уд(х), уд(х) = —д(х)у. В то же время, всякая сумма а(х) + уЬ(х) такая, что а(х), Ь(х) £ С*(х)8а и уЬ(х) = —Ь(х)у принадлежит алгебре К*(х,у)8а.
Мы можем доказать аналогичные утверждения, если а является линейной комбинацией конечного числа ортогональных проекторов с учетом комплекснозначных коэффициентов. >
1.5. Предложение. Пусть а £ С*(Л), а — конечная линейная комбинация ортогональных проекторов из С*(Л), а = х + iy, х,у £ К*(Л), и К*(х,у) — вещественная
С *-алгебра, порожденная элементами х, у. Тогда К*(х,у)8а представляется как сумма двух ассоциативных /С-подалгебр.
< Заметим, что с операцией йорданова умножения а ■ Ь = 1/2(аЬ + Ьа),
а,Ь £ К*(х,у)8а, К*(х,у)8а является /С-подалгеброй алгебры С *(Л)8а.
Применяя ассоциативность алгебры С *(х)8а мы получим, существует такая максимальная ассоциативная подалгебра Ло алгебры К*(х,у)8а, что С*(х)8а С Ло. По предложению 1.4 каждая пара элементов подмножества С*(х)—а операторно коммутирует. Следовательно, существует максимальная сильно ассоциативная подалгебра Л0 алгебры К(х,у)8а, содержащая С*(х)~—а>. Снова применяя предложение 1.4 получим, что К*(х, у)8а = Ло + Л0. >
2. Классификация алгебры К* (х, у) 8а
2.1. Пусть а £ С*(Л), а = х + iy, где х,у £ К*(Л) и К*(х,у) — вещественная С*-алгебра, порожденная элементами х, у. Основной результат данного параграфа утверждает, что -алгебра [К*(х, у)8а]** имеет только прямые слагаемые типа 1х и 12 (включая нулевую компоненту).
Следует отметить, что, если -алгебра М имеет прямые слагаемые не только типа
11 и 12, то /В-фактор Нз(Ж) может быть вложен в М. Следовательно, если мы докажем, что /В-фактор Нз(Ж) не может быть вложен в [К*(х, у)8а]**, то, отсюда следует, что [К*(х, у)8а]** имеет только прямые слагаемые типа 1х и 12.
2.2. Теорема. -алгебра [К*(х, у)8а]** имеет только прямые слагаемые типа 1х и
12 (включая случай, когда одно из прямых слагаемых нулевое).
< Вначале предположим, что элемент а = х + iy является конечной линейной комбинацией ортогональных проекторов из С * (Л). Докажем теорему от противного. Предположим, что в -алгебре [К*(х, у)8а]** существует прямое слагаемое Ло, которое является алгеброй типа 1П, п > 2, или типа II, или типа III. По теореме 1.4 К*(х,у)8а = С*(х)8а + уС*(х)—. Заметим, что у[С*(х)—а] является банаховым пространством. Следовательно в силу *-слабо непрерывности йорданова умножения мы имеем
[К*(х, у") 8а] ** = [С *(х)8а]** + у[С *(х)1:аУ]**^
Пусть М = [К*(х, у)8а]**. Мы можем предположить, что М = Ло. Тогда /В-фактор Нз(Ж) может быть вложен в М. В силу предложения 1.5 М = Ло + Ло для некоторых максимальных сильно ассоциативных подалгебр Ло, Ло. Ясно, что либо в Ло, либо в Л существует проектор, не лежащий в центре алгебры М. В противном случае алгебра М была бы абелевой. Пусть е — проектор в Ло, который не лежит в центре алгебры М. Тогда {еМ(1 — е)} = {0}. Заметим, что {еМ(1 — е)} = {е(Ло + Ло)(1 — е)} = {еЛо(1 — е)}.
Предположим, что в подалгебре ие(Ло) существует проектор / такой, что {(е — /)М/} = {0}, т. е. / не является центральным в ие(М). Тогда либо одна из компонент {/М(1 — е)} или {(1 — е)М(е — /)}, либо обе компоненты ненулевые. Заметим, что в силу того, что М разлагается по проекторам /, е — /, 1 — е в прямую сумму пирсовских компонент имеет место
М = их-е(М) 0 ие(М) 0 и}(М) 0 {/М(е — /)} 0 {(е — /)М(1 — е)} 0 {(1 — е)М/}, М = Ло + Ло = и}(Ло + Ло) 0 Ле—}(Ло + Ло) 0 их-е(Ло + Ло)
0{/Ло(е — /)} 0 {(е — /)Ло(1 — е)} 0 {(1 — е)Ло/}
и
Ao = Uf (Ао) ® Ue-f (Ао) ® U\-e(Ao).
Тогда должно быть
{fM(e - f )}0{(e - f )M(1 - e)}0{(1 - e)Mf} С A0.
Однако, по крайней мере две из компонент {fM(e - f)}, {(e - f )M(1 - e)}, {(1 - e)Mf} ненулевые и в них существуют попарно не коммутирующие элементы, что противоречит их вхождению в подалгебру А0.
Пусть в Ue(Ao) не существует проектора f, который удовлетворял бы условию {(e -f )Mf} = {0}, т. е. не существует f, не являющегося центральным в Ue(M). Тогда для всякого проектора f из Ао имеет место {e - fA0f} = {0}. Поскольку Ue(M) = Ue(Ao) + Ue(A0), то Ue(Ao) лежит в центре алгебры Ue(M) и Ue(M) является абелевой алгеброй. Следовательно и e является абелевым. В этом случае положим в подалгебре Ui-e(Ao) существует проектор f, который удовлетворяет условию {(1 - e - f )Mf} = {0}, т. е. f не является центральным в Ui-e(M). Далее повторяются рассуждения, проведенные для f € Ue(Ao).
Рассмотрим случай, когда в Ui-e(Ao) не существует проектора f, который удовлетворял бы условию {(1-e-f )Mf} = {0}, т. е. не существует f, не являющегося центральным в U\-e(M). Тогда для всякого проектора f из A00 имеет место {e - fA0 f} = {0}. В этом случае, так же как, выше, проектор 1 - e является абелевым. Тогда в силу разложения
M = Ue(M) 0 {eM(1 - e)} 0 lh-e(M)
абелевы проекторы e, 1 - e имеют в качестве центрального носителя единицу алгебры M, и M является алгеброй типа I2. Последнее утверждение является противоречием.
В итоге получили, что утверждение о том, что JB-фактор Из(Ж) может быть вложен в M противоречит равенство M = A00 + A^°. Отсюда JW-алгебра M, не может иметь прямых слагаемых типа In, n > 2 или типа II, или типа III и имеет только прямых слагаемых типа Ii и I2 (включая случай, когда одно из прямых слагаемых нулевое). Отсюда следует утверждение теоремы.
В случае произвольного элемента a € C*(A) берется гильбертово пространство И такое, что A является подалгеброй операторной йордановой алгебры В(И)sa всех самосопряженных ограниченных линейных операторов на И и единица A является единицей алгебры В(И)sa (по условию A является JC-алгеброй). Далее, существует максимальное ортогональное множество {gi} минимальных проекторов в В (И)sa такое, что всякие два элемента множества {gi}^J {a} операторно коммутируют. Если алгебра И^(Ж) вложима в алгебру R*(x, y)sa, то сущесвует проектор e, являющийся суммой конечного количества проекторов из семейства {gi} такой, что алгебра И3 (R) вложима также в конечномерную алгебру eR*(x,y)sae. Последнее утверждение противоречить предыдущую часть доказательства. >
2.3. По теореме 2.2 существуют гиперстоуновские компакты X, Y такие, что [R*(x,y)sa]** = C(X) 0 C(У,И2(Ж)). Пусть 1Ху = sup{r(x),r(y)}, где r(x), r(y) — носители элементов x, y в алгебре A. Используя это представление, для R*(x,y, 1xy)sa можно построить доказательство представления этой алгебры в виде алгебры непрерывных комплекснозначных и матричнозначных функций на компакте по аналогии с доказательством представления коммутативной C*-алгебры как алгебра непрерывных функций на компакте (используя максимальные идеалы и гомоморфизмы). В обозночениях пункта 2.1 имеет место следующая теорема.
Теорема. Существуют такие компакты Кг и К2 и такой проектор е в Л, что
К*(х, у, 1Ху, е)8а = С (Кг) 0 С (К2, Н2 (Ж)), еК* (х, у, 1Ху, е)8а = С (Кг),
(1 — е)К* (х, у, 1ху, е)8а = С (К2, Н2(Ж)), С (Кг)** = С (X),
С (К2,Н2(Ж))** = С (У,Н2(Ж)).
< Повторим доказательство теоремы о представлении коммутативной банаховой алгебры в виде алгебры непрерывных комплекснозначных функций на компакте. Пусть М означает множество всех нетривиальных мультипликативных функционалов, определенных на К*(х, у, 1ху)8а. Ядро Кег(/) при / £ М есть максимальный идеал. В нашем случае по всякому максимальному идеалу т можно однозначно построить линейный непрерывный мультипликативный функционал / £ М такой, что т = Кег(/). Здесь, функционал / £ М может принимать или комплексные значения, или значения из Н2(Ж). Таким образом, так же, как в случае коммутативной банаховой алгебры, получим, что между максимальными идеалами т и функционалами / £ М существует однозначное соответствие. В силу этого обстоятельства условимся функционалы из М обозначать /т, а буквой т соответствующие им максимальные идеалы. Для множества всех максимальных идеалов {т} мы будем употреблять ту же букву М, что и для соответствующего ему множества {/т}.
Пусть а — некоторый элемент из К*(х,у, 1ху)8а. Рассмотрим функцию а(т) на множестве М, задав ее формулой
а(т) = /т (а).
Множество М есть замкнутое подмножество единичного шара в (К*(х,у, 1ху)8а)* и функции а(т) непрерывны на М.
Отображение а ^ а(т) задает изометрический изоморфизм алгебры К*(х,у, 1ху)8а в алгебру С(М) непрерывных функций на компактном хаусдорфовом протсранстве М максимальных идеалов алгебры К*(х,у, 1ху)8а; при этом
||а(т)|| = тах 1а(т)1 = ||а||.
Мы можем считать, что М является подмножеством множества X и У. Можно проверить непосредственно, что М всюду плотно в X и У.
Множество М П X является локально компактным пространством. Имеем, М П X можно отождествить с некоторым подпространством характеров алгебры К*(х, у, 1ху)8а, наделенным топологией, индуцированной топологией
а([К*(х, у, 1ху)8а]*, К*(х, у, 1ху)8а).
Аналогично, X — некоторое подпространство характеров алгебры [К*(х,у, 1ху)8а]**, наделенное топологией, индуцированной топологией
а([К* (х, у, 1ху )8а ]***, [К*(х, у, 1ху )8а]**).
Так как [К*(х,у, 1ху)8а]* С [К*(х,у, 1ху)8а]***, то, как мы уже заметили, можно предположить, что М П X С X .В этом случае М П X всюду плотно в X. Пусть К = М П X, и пусть тк и тх — топологии локально компактного пространства К и компакта X соответственно. Тогда по построению для всякого Л £ тх множество и П К всюду плотно в и и образует в К локально компактное подпространство. Действительно, системы окрестностей в топологиях тк и тх определяются множествами характеров К и X из
[R*(x,y, 1Ху)sa]* и [R*(x,y, 1xy)sa]*** соответственно, и элементами алгебр R*(x,y, 1xy)sa и [R*(x,y, 1Ху)sa]** соответственно. При этом K С X и C(K) С C(X). Следовательно, если для x € K множество U — окрестность точки x в X, то U П K является окрестностью точки x в K. Следовательно, алгебра C(K) всюду *-слабо плотна в алгебре C(X) и C(K)** = C(X).
Аналогично, можно получить, что C(Q, И2(Ж))** = C(Y, И2(Ж)), где Q = M П Y. Отметим, что K и Q являются локально компактными подпространствами компактного хаусдорфова пространства M, с топологиями тк = {U П M : U € тх}, tq = {U П M : U € ту} соответственно.
Пусть Ai1, Aj2 — соответствующие образы в R*(x,y, 1xy)sa алгебр C(K) и C(Q, И2(Ж)). Далее, пусть e = sup{r(a) : a € Ai1}, где sup вычислен в A. Тогда 1 - e = sup{r(a) : a € Ah} и R*(x,y, 1xy,e)sa = C(Ki) 0 C(K2, И2(Ж)) для компактов Ki, K2, построенных по K, Q. >
3. Обратимые AJW-алгебры и их обертывающие AW*-алгебры
3.1. Пусть A — специальная AJW-алгебра, C* (A) — обертывающая C*-алгебра алгебры A и R*(A) — вещественная C*-алгебра, порожденная алгеброй A. Пусть всюду в оставшейся части статьи a ■ b — йорданово произведение и ab — ассоциативное умножение элементов a и b. Следующая теорема может быть доказана также как в случае JW-алгебр.
3.2. Теорема. Пусть A — специальная AJW-алгебра без прямых слагаемых типа I2.
Тогда алгебра A является обратимой.
Всюду в оставшейся части данного параграфа A является обратимой AJW-алгеброй.
3.3. Лемма. Пусть e, f — проекторы, s — частичная симметрия алгебры A такие, что e ■ f = 0, s2 = e + f и Use = f. И пусть q, x, z, yi, y2 — элементы A такие, что
x = x2 + ((yi + iy2)(yi - iy2), yi + iy2 = x(yi + iy2) + z(yi + iy2), yi - iy2 = x(yi - iy2)+ z(yi - iy2), z = Z2 + (yi - iy2)(yi + iy2), p = xe + zf + i((yi + iy2)es - (yi - iy2)fs) + q, и q2 = q, (e + f) ■ q = 0.
Кроме того, каждый из элементов x, z, yi, y2, q коммутирует со всеми остальными элементами и элементами e, f, s. Тогда элемент
xe + zf + i((yi + iy2)es - (yi - iy2)fs) + q
алгебры C*(A) является проектором.
< Эта лемма может быть доказана непосредственно используя равенства esf = es, fse = fs, sf = es, se = fs относительно ассоциативного умножения. >
3.4. Лемма. Пусть p — произвольный проектор алгебры C*(A). Тогда существуют элементы e, f, q € P(A) и симметрия s € A такие, что e ■ f = 0, s2 = e + f, e = Usf, и существуют элементыx, z, yi и y2 в A такие, чтоp = xe+zf+i((y1+iy2)es—(y1—iy2)fs)+q. Более того, элементы e, f, s, x, z, yi, y2, q удовлетворяют условиям леммы 3.3.
< Заметим, что p = a + ib для некоторых a,b € R*(A). Так как p — проектор, имеем a* = a, b* = -b. Пусть C*(a,b) — C*-алгебра, порожденная элементами a, b. Пусть 1ab = sup{r(a),r(b)}, где r(a), r(b) — носители элементов a, b в алгебре A. В силу результатов из § 2 существуют компакты Q и X, а также проектор e € A такие, что
С*(а,Ь, 1аЬ,е) = Лд 0 Л12, Лд = Сс^), Л12 = Сс^, М2(С)), где С°(0) (соответствен-
но Cc(X,M2(C))) —алгебра непрерывных комплексных (соответсвенно М2(С)-значных) функций на Q (соответственно X). Существуют аг, Ьг £ Лд и а2, Ь2 £ Лх2 такие, что а = аг + а2, Ь = Ьг + Ь2. Предположим, что Лд = Сс^) и Л12 = Cc(X,M2(C)). Фиксируем точку хо в X. Так как Ь* = —Ь, то Ь*(хо) = —Ь2(хо). Следовательно,
Ь2(хо) = {—«„ $)• где Ух0 £ Ж. Так как а* = а, а £ Л, то а2(х0)* = а2(х0). Поэтому
а2(хо)= Ь ) .
\ухо гхо/
где ххо, у‘20, гхо £ Ж. В силу произвольности точки х00 £ X и равенства Сс^, М2 (С)) = Сс(X) 0 М2(С) мы имеем
а +»= ((2 у) + * ((у)),
где х, уг, У2, г £ С(X). Пусть е = (^ ^ и 5 = ^ ^ являются по-
стоянными функциями в Сс^, М2(С)). Тогда е, /, в £ Л. Следовательно 0,2 + гЬ2 = хе + г/ + г((уг + *у2)ев — (уг — гу2)/в).Теперь, легко видеть, что (аг + гЬг)2 = аг + *Ьг. Следовательно, Ьг =0, а2 = аг. Пусть д = аг. Тогда х, г, уг, У2, е, /, в и д удовлетворяют условиям леммы 3.4. >
3.5. Замечание. Следует отметить, что в силу доказательства леммы 3.4, если р =
хе+г/+*((уг + *у2)ев — (уг —гу2)/в) является проектором алгебры С*(Л) и х, г, уг, у2, е, /, в удовлетворяют условиям леммы 3.3, то можно считать га(х) = гл(г) = ГА(уг) Vга(У2). Здесь га(о) — носитель элемента а £ Л. Действительно, из равенств х = х2+(уг+*у2)(уг — гу2) = х2 + у1 + у2 и из того, что элементы х, уг, У2 операторно коммутируют следует га(х) ^ ГА(уг), га(х) ^ га(У2). Аналогично и ГА(г) > ГА(уг), ГА(г) ^ га(У2). Далее, пусть д = га(х) — ГА(уг) V га(У2). Тогда д((у г + гу2)ев — (уг — гу2)/в) = 0 и д(хе + г/) является проектором. Поэтому можно взять га(х) = га(У1^га(У2). Аналогично и ГА(г) = га(У2 ) V га(у2). Так что далее предположим е = ГА(х)е, / = га(х)/ и в = вГА(х) = вГА(г).
Доказательство леммы 3.4 можно с незначительными изменениями применить к следующему утверждению: пусть с — произвольный элемент алгебры С * (Л). Тогда существуют элементы е, /, д £ Р(Л) и симметрия в £ Л такие, что е • / = 0, в2 = е + /, е = и8/, и существуют элементы х, г, уг, У2, Уз, У4 в Л такие, что с = хе + г/ + г((уг + гуз)ев + (у2 + *у4)/в) + д. Более того, каждый из элементов х, г, уг, У2, Уз, У4, д коммутирует со всеми остальными элементами и элементами е, /, в.
3.6. Лемма. Пусть рг = хгег + гг/г + г {(у\ + гу2)егвг — (у\ — *у2)/гвг) и р2 = х2е2 + г2/2 + * {(у2 + гу‘2)е2в2 — (у\ — гу2)/гвг) являются проекторами алгебры С*(Л), удовлетворяющим условиям леммы 3.3. Тогда проекторы ег, /г, е2, /2 попарно ортогональны тогда и только тогда когда рг, Р2 ортогональны.
< Если проекторы ег, /г, е2, /2 попарно ортогональны, то очевидным образом проекторы р и р2 ортогональны.
Предположим, что р , р2 являются ортогональными. Тогда имеем е р р2 = (х е + *(у2 + *У2 )ег в г )р2 = 0. Следовательно, р2(х г ег + *(уг + гуг )ег в г) = 0, и умножая это
равенство на ег, получим р2егхг = Р2хгег = 0. Элемент егхг в силу замечания 3.5 имеет носитель ег в Л. Поэтому р2ег = 0. Следовательно, е2р2ег = (х2е2+г(у2+гу2)е2в2)ег =0 и еге2х2 = 0. В силу последнего равенства еге2 = 0. Аналогично и ег/2 = /г/2 = /ге2 = 0. >
3.7. Лемма. Пусть Л — обратимая Л/Ш-алгебра. Тогда всякое ортогональное множество {ръ} С С * (Л) проекторов имеет точнюю верхнюю грань в С *(Л).
< В силу леммы 3.4 р2 = хъеъ + г/ + г((у\ + гу%2)е2в2 — (у\ — гу%2)/ъвъ) + дъ, для всякого г, где х2, г2, е2, /2, у\, у2, в2, д2 — элементы Л, удовлетворяющие условиям леммы 3.4. Тогда в силу леммы 3.6 {е\} и {/\} является ортогональным множеством. Следовательно, если е = вир е\, / = вир /\, то е = и8/ для симметрии в такой, что (в + е + /)/2 = 8ир(в\ + е\ + /\)/2 (см. доказательство в [8]). Действительно, для каждого г имеем е\(е — и8/)е\ = е\ — и8{/\ = 0 и последнее равенство позволяет утверждать, что е — и8/ = 0. Легко видеть, что каждые два элемента множества {х2} операторно коммутируют и {х\} является ортогональными семейством положительных элементов. Следовательно, порядковая сумма £ х\ может быть вычислена в максимальной ассоциативной подалгебре Ло, содержащей {х\}. Действительно, для некоторого экстремального компакта X будет Ло = С(X), и сумма £ х\ вычисляется в Ло как точная верхняя граница монотонно возрастающей ограниченной сверху сети конечных сумм элементов множества {х\}. Суммы Е у\2 , Е у\2,^2 г\ также могут быть вычислены аналогично. Пусть х = Е х\, Уг = Е У\, У2 = 52 У2, г = Е г\. Тогда р = хе + г/ + г((уг + *У2)ев — (уг — гу2)/в) является проектором. Теперь мы докажем, что р является точной верхней граню семейства {р\} в С*(Л). Отметим, что для всяких *
В силу последних равенств р • р\ = р\, для всякого г. Поэтому, р\ ^ р для всяких г. В то же время для всякого г выполняется ире2 = е2р = е2р2, ир/2 = /2р2 и ир(е2 + /2) = (е\ + /2)р2 = р2. Следовательно, вирир(е2 + /2) = вирр2 = ир(8ир(е2 + /2)) = ир(е + /) = р, поскольку (е + /)х = х, (е + /)ук = ук, к = 1, 2, (е + /)г = г. >
3.8. Лемма. Пусть Л — обратимая Л/Ш-алгебра и а £ С*(Л)8а. Тогда существует такой проектор е в С*(Л), что еа = а и неравенство е ^ / имеет место для всякого проектора / £ С*(Л) с условием /а = а. В этом случае е называется носителем элемента а и обозночается через г(а).
< Имеем, существуют х,у £ Я*(Л) такие, что а = х + гу. Так как а является самосопряженным элементом, то х* = х, у* = —у. Пусть С * (х,у) — С *-алгебра, порожденная элементами х, у, и пусть 1ху = 8ир{г(х), г(у)}, где г(х), Г (у) — носители элементов х, у в алгебре Л. В соответствие с результатами из § 2 существуют компакты Q, X и проектор е £ Л такие, что
(см. доказательство леммы 3.4). Пусть С*(х,у, 1ху, е) = А1г 0 А12, и Ад = Сс^), А12 = Сс^, М2 (С)). Имеем, проектор 1 — е является единицей алгебры А12. Пусть 112 = 1 — е. Тогда 112а лежит в С(X) 0 М2 (С) = С(X, М2 (С)) и представляется как
хе • х2е2 = х • х2ее2 = х2 • е2, хе • г2/2 = 0, хе • у2 • е2 • в2 = ху2е2в2 = х2У2е2в2, хе • у2/%в2 = 0, . . .
С * (х, у, 1ху, е) = Сс^) 0 Сс (X, М2(С))
Можно утверждать, что существуют абелевы проекторы ег и е2, элементы А, В в Сс^) такие, что С(ег) = С(е2) = 112, ег +е2 = 112 и 1^2а = Аег +Ве2. Действительно, (112а)(Ь) £
М2 (С) для всякого Ь £ X и существуют минимальные проекторы е г (Ь), е2(Ь) в М2(С), и числа А г (Ь), А2(Ь) £ С, удовлетворяющие равенству 1:2а(Ь) = Аг (Ь)ег (Ь) + А2(Ь)е2(Ь). Элементы е и е2 можно представить так
= ( А ц + гЛ =( 1 — А —ц — ы
ег \ц — ги 1 — А Г е2 \—ц + гр А
Поэтому в силу 112 а = Аег + Ве2 мы получим систему из пяти уравнений. Пятое уравне ние А = А2 + ц2 + V2 можно получить из равенства е2 = ег или е2 = е2. Тогда используз равенство
гг уг + гу2
Ае г + Ве2
у — гу2 г2
и эти уравнения, функции А, В, ц, V и А могут быть представлены через известные функции гг, г2, уг, У2 £ С(X). Следовательно, функции А, В, ц, V и А существуют и лежат в С (X). По определению, г (А) и г (В) (носители элеменов А и В в С (X) соот-ветсвенно) существуют и принадлежат алгебре Л. Можно проверить непосредственно, что г(А)ег и г(В)е2 являются носителями элементов Ае г и Ве2 соответственно. Тогда, так как еге2 = 0, то г(А)ег + г(В)е2 является носителем 112а в С*(Л)
Пусть Ад = Сс^). Тогда (1 —112)а лежит в Сс^) и (1 —112)а = (1 —112)х+г(1 —112)у. Так как Сс^)8а = С^) и (Л/2)8а С Л, то (1 — 1:2)у = 0. Следовательно, (1 — 1:2)а = (1 — 112 )х и носитель этого элемента существует в С*(Л) и лежит в Л. >
Следующая теорема следует из лемм 3.7 и 3.8.
3.9. Теорема. Обертывающая С *-алгебра С *(Л) обратимой Л/Ш-алгебры Л является ЛШ *-алгеброй.
3.10. Замечание. Обертывающую С*-алгебру С*(Л) обратимой Л/Ш-алгебры Л
можно называть обертывающей ЛШ*-алгеброй алгебры Л.
Утверждение теоремы 3.9 может быть ложным, если Л не является обратимой. Действительно, если Л является бесконечномерным спин фактором, то С*-алгебра, порожденная алгеброй Л, является ОЛИ алгеброй (см. § 6.2 из [9]). Эта С *-алгебра не является ЛШ *-алгеброй.
Что касается остальных случаев, то всякая необратимая специальная Л/Ш-алгебра является типа 12. Следовательно, в силу функционального представления Л/Ш-алгебр типа 12 (см. [10]) для всякой необратимой специальной Л/Ш-алгебры Л утверждение теоремы 3.9 имеет место тогда и только тогда когда Л не имеет прямых слагаемых как Л/Ш-алгебры типа 12 с максимальными бесконечными спин системами.
4. Основные результаты
4.1. Предложение. Пусть Л — обратимая /В-алгебра. Предположим, что обертывающая С *-алгебра С *(Л) является ЛШ *-алгеброй. Тогда Л является Л/Ш-алгеброй.
< Пусть а £ Л. Тогда существует носитель г(а) в С*(Л) элемента а. Так как алгебра Л обратима, то существуют такие элементы х, у £ Я*(Л), что г(а) = х + гу. Тогда а = аг(а) = а(х + гу) = ах + гау £ Я*(Л), т. е. ау = 0. Отсюда ах = а. Так как а, х £ Л, то х является проектором и х = г (а).
Аналогично, можно доказать, что всякое ортогональное семейство проекторов алгебры Л имеет точную верхнюю грань в Л.
Заметим, что установленных выше фактов достаточно, чтобы сделать вывод о том, что A есть AJW-алгебра. >
Из этого предложения и теоремы 3.9 получаем следующую теорему.
4.2. Теорема. Произвольная обратимая JB-алгебра является AJW-алгеброй тогда и только тогда когда ее обертывающая C*-алгебра является AW*-алгеброй.
4.3. Замечание. Что касается необратимых специальных JB-алгебр, то, всякая такая специальная AJW-алгебра имеет тип I2. Этот случай обсужден в замечании 3.10. Мы можем утверждать, что для всякой AJW-алгебры A ее обертывающая C*-алгебра C*(A) является AW*-алгеброй тогда и только тогда когда A как AJW-алгебра не имеет прямых слагаемых типа I2 с максимальной бесконечной спин системой.
Чтобы установить следующую теорему используем тот факт теории AW*-алгебр, что если всякая максимальная коммутативная подалгебра AW*-алгебры слабо* замкнута, то эта AW*-алгебра является алгеброй фон Неймана ([11]).
4.4. Теорема. Произвольная обратимая JB-алгебра является JBW-алгеброй тогда и только тогда когда ее обертывающая C *-алгебра является алгеброй фон Неймана.
< Пусть A — произвольная обратимая JW-алгебра. Тогда A является AJW-алгеброй и в силу пункта 3.11 C*(A) является AW*-алгеброй. Пусть р — произвольный нормальный функционал на A. Продолжим р на C*(A) следующим образом. Для всякого элемента a £ C*(A)sa положим p(a) = р(х), где a = x + iy, x,y £ R*(A). Значит x £ A. Нормальность функционала р можно доказать, например, также как в доказательстве теоремы 1 из [12]. Естественно определить р на C*(A) как p(a+ib) = р(а) + ip(b), для всяких a,b £ C*(A)sa. Нетрудно заметить, что функционал р, определенный на C*(A) таким образом, является нормальным линейным непрерывным функционалом на C*(A). Очевидно, что C*(A) имеет разделяющее множество нормальных состояний. Тогда в силу результата Педерсена (см. [11]) C*-алгебра C*(A) является алгеброй фон Неймана.
Пусть обертывающая C*-алгебра C*(A) произвольной обратимой JB-алгебры A является алгеброй фон Неймана. Тогда поскольку операция умножения *-слабо непрерывна, то R*(A) — вещественная алгебра фон Неймана. Отсюда поскольку R*(A)sa = A, то A является JW-алгеброй. >
4.5. Замечание. Так же, как в замечании пункта 3.11, мы можем утверждать, что
для всякой JW-алгебры A ее обертывающая C*-алгебра C*(A) является алгеброй фон Неймана тогда и только тогда когда A как JW-алгебра не имеет прямых слагаемых типа I2 с максимальной бесконечной спин системой. Более того обертывающая C*-алгебра C*(A) всякой JW-алгебры типа I2 с максимальной бесконечной спин системой не является алгеброй фон Неймана.
Литература
1. Арзикулов Ф. Н. Об абстрактных JW-алгебрах // Сиб. мат. журн.—1998.—№ 1.—С. 20-27.
2. Arzikulov F. N. AJW -algebras of type I and their classification // Siberian Adv. Math.—1998.—V. 8, № 2.—P. 30-48.
3. Topping D. M. Jordan algebras of self-adjoint operators // Mem. Am. Math. Soc.—1965.—V. 53.—P. 148.
4. Arzikulov F. N. On an analog of the Peirce decomposition // Sib. Math. J.—1999.—V. 40, № 3.—P. 413419.
5. Кусраев А. Г. Булевозначный анализ нормированных йордановых алгебр // Вин: Исследования по функциональному анализу и его приложениям.—М.: Наука, 2006.—С. 50-124.
6. Li Bing-Ren. Real operator algebras, Institute of Mathematics, Academia Sinica Beijing 100080.— China.—223 p.
7. Аюпов Ш. А. Классификация и представления упорядоченных йордановых алгебр.—Ташкент: Фан, 1986.—122 с.
8. Alfsen E. M., Shultz F. W., Stormer E. A. Gelfand-Neumark theorem for Jordan algebras // Adv. Math.—1978.—V. 28, № 1.—P. 11-56.
9. Hanche-Olcen H., Stormer E. Jordan Operator Algebras.—Boston etc: Pitman Publ. Inc., 1984.—183 p.
10. Кусраев А. Г. О структуре AJW -алгебр типа I2 // Сиб. мат. журн.—1999.—№ 4.—С. 905-917.
11. Pedersen G. K. On weak and monotone а-closure of C‘-algebras // Commun. Math. Phys.—1968/1969.— № 11.—P. 221-226.
12. Ayupov S. A. Exitension of traces and type criterions for Jordan algebras of selv-adjoint operators // Math. Z.—1982.—V. 181.—P. 253-268.
Статья поступила 21 октября 2005 г.
Арзикулов Фарходжон Нематжонович, к. ф.-м. н. Андижан, Научный центр Андижан — Наманган E-mail: [email protected]
