О c*- и JB-алгебрах типа i Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2003, Том 5, Выпуск 3

УДК 517.98

О С*- И «ТВ-АЛГЕБРАХ ТИПА I Ф. Н. Арзикулов

Предлагаются новые определения С*-алгебры типа I и ЛЗ-алгебры типа I, использующие понятия носителя подмножества ЛЗ-алгебры и решетки носителей ЛЗ-алгебры. Приводится также вариант теоремы о пирсовском разложении в терминах »-слабого замыкания аннуляторов. Дается обоснование определения С*-алгебры типа I. Доказаны теоремы о классификации С*- и ЛЗ-факторов типа I.

Введение

В данной работе предлагаются новые определения для С*-алгебры типа I и «ТВ-алгебры типа I. Для этого вводятся понятия носителя подмножества положительных элементов «ТВ-алгебры и решетки носителей «ТВ-алгебры. Отметим, что в случаях ,/ВИ'- и AJW-'A.Jlгeбp решетку проекторов и решетку носителей этих алгебр можно отождествить. В свою очередь, для явного представления носителя множества и решетки носителей используются аннуляторы подмножеств конуса положительных элементов «ТВ-алгебры. Таким образом, аннуляторы вполне могут заменить проекторы в случае общих «ТВ-алгебр.

В работе, также, приводится вариант теоремы о пирсовском разложении в терминах *-слабого замыкания аннуляторов в В(Н) для соответствующего гильбертова пространства. Дается обоснование определения С*-алгебры типа I. А именно, доказано, что если А является С*-алгеброй типа I, то ее *-слабое замыкание в соответствующей алгебре фон Неймана В(Н) является алгеброй фон Неймана типа I. Построена классификация С*- и «ТВ-факторов типа I.

1. Определения С*- и «ТВ-алгебр типа I

Пусть А — йорданова алгебра и Б С А+. Множество Апп(Апп(5')) будем называть носителем множества где Апп(5) := Апи^,?) := {а € А : а ■ Ь = О, УЬ € 5}. В частности, носителем элемента а £ называется множество Апп(Апп({а})).

Пусть Т~.= {X С А : 35 С А+,Х = АпгьЦАпп^б'))}. В множестве V введем отношение частичного порядка: для произвольных элементов X, У £ V положим X ^ У, если X СУ.

Предложение 1. Упорядоченное множество (V., — полная решетка.

<1 Пусть X, У £ V- Тогда существуют 5". /' С .1 такие, что Апп(Апп(5')) = X, Апп(Апп(Р)) = У. Обозначим II := Апп(Апп(Р и 5)). Ясно, что X, У С II. Докажем,

© 2003 Арзикулов Ф. Н.

что sup{X, Y} = U. Пусть Z £ V такой, что X С Z, Y С Z. Существует Q С такое, что Ann(Ann(Q)) = Z. Тогда Ann(Ann(Ann(Q))) С Ann(Ann(Ann(S'))). В то же время, Ann(Ann(Ann(S'))) = Ann(S') и Ann(Ann(Ann(Q))) = Ann(Q). Следовательно, Ann(Q) С Ann(S'). Аналогично, Ann(Q) С Ann(P). Отсюда, по определению аннуля-тора, Ann(Q) С Ann(P U S), стало быть, U С Ann(Ann((Q)). В силу произвольности Z = Ann(Ann(Q)) £ V имеем sup{X, Y} = U. Следовательно, множество V относительно С является верхней решеткой. Аналогично доказывается, что для любого семейства {Xi} С V верхняя грань supj Xj существует в V и, если Si С такое, что Ann(Ann(S,j)) = Xi для любого г, то supXj = Апп(Апп(У^ Si)). Тем самым V — полная решетка. >

Если не оговорено противное, то далее все точные верхние грани и точные нижние грани будут взяты в решетке V, а также иногда вместо V используем обозначение Va-Для решетки V можно вводить аналоги понятий, связанных с проекторами.

Носитель X из V называется центральным, если d(Ann(Ann(S')) fld (Ann(5)) = 0, где S С А+, X = Ann(Ann(S')) и dX := {а € А : {zay} = 0, € X} для про-

извольного множества Л" С .1. Множество центральных носителей обозначим через Z(V). Два носителя X и Y из V называются ортогональными, если X ■ Y = {0}, где X ■ Y := {ab : а € X,b € Y}. Нетрудно заметить, что А € Z(V), supV = А, infV = 0, и если X € Z(V), то Ann(X) £ Z(V) и sup{X, Ann(X)} = А. Пусть X G V. Центральным носителем носителя X называется носитель с(Х) = ш£{У £ Z(V) : X С Y}.

Предложение 2. Множество центральных носителей Z(V) — полная решетка относительно индуцированного порядка.

<1 Пусть {Xi} С Z(V). Тогда для любого % существует такой центральный проектор &i € Р(А**), что X** = ei(A**). В силу доказательства предложения 1 supXj = Ann(Ann(|JSi)), где {Si} такое семейство что (Vi)Xj = Ann(Ann(S,j)). Нетрудно заметить, что (Vi)ej = sup{r(s) : s € Si}. Отсюда supe^ = sup{r(s) : s € U?^} и; поскольку d(Ann(Ann(|Ji Si))) Ud (Апп(У^ Si)) = 0, то supe^ — центральный проектор. Следовательно, [supXj]** = [Апп(Апп(Ц 5j))]** = eA**, где e = supe^. Итак, supXj G Z(V). >

Из предложения 2 следует, что для всякого X £ V существует Z £ Z(V) такой, что с(Х) = Z.

Носитель X € V называется абелевьш, если X является ассоциативной JB-подалгеброй алгебры А. Пусть X — абелев носитель. Тогда нетрудно установить, что для любого Y из V, если Y С X, то Y — абелев носитель. Пусть X £ V, и Гх = {Y £ V Y С X}. Тогда Vx — полная подрешетка решетки V, и, если X — абелев носитель, то Vx — булева алгебра.

«ТВ-алгебра А называется JB-алгеброй типа I, если существует абелев носитель X £ Va с условием с(Х) = А.

Пусть А — С*-алгебра. Как известно, множество Asa = {х £ А : х* = х} с операцией умножения х ■ у = 1/2(ху + ух) (х,у £ Asa) является JC-алгеброй. Пусть S С Afa. Множество Ann(Ann(S')) будем называть носителем множества S в алгебре А. В частности, носителем элемента а £ Afa называется множество Ann(Ann({a})). Введем Va так же, как было введено множество V носителей «ТВ-алгебры. В множестве Va введем отношение частичного порядка: для произвольных элементов X, Y £ Va положим л" Y. если X С Y. Носитель X из Va называется центральным носителем, если dAnn(X) fid (Ann(Ann(X)) = 0. Обозначим множество центральных носителей через Z(Va)- Пусть X £ Va- Центральным носителем носителя X называется носитель с(Х) = mf{Y £ Z(Va) '■ X С Y}. Носитель X £ Va называется абелевым, если X яв-

О С*- и JB-алгебрах типа I

И

ляется ассоциативной JC-подалгеброй алгебры Asa. Алгебра А называется С*-алгеброй типа I, если в А существует абелев носитель X G Va с условием с(Х) = Asa. Нетрудно заметить, что решетки носителей С*-алгебры А и JC-алгебры Asa совпадают, т. е. Va = 'P.Asa ■ Отсюда следует, что С*-алгебра А имеет тип I тогда и только тогда, когда ее самосопряженная часть Asa — «Ш-алгебра типа I. Известное определение С*-алгебры типа I звучит следующим образом: С*-алгебра А называется С*-алгеброй типа I, если для всякого представления С*-алгебры А в алгебру фон Неймана В(Н) для некоторого гильбертова пространства Я, *-слабое замыкание образа ф(А) в В(Н) является алгеброй фон Неймана типа I. Следующий параграф показывает, что из введенного в этой работе определения *-алгебры типа I следует известное до настоящего времени определение *-алгебры типа I (см. [2]).

2. О корректности определения С*-алгебры типа I

Предложение 3. Пусть А — JС-алгебра с единицей в гильбертовом пространстве Н, т. е. А С В(Н) и единица А является единицей алгебры фон Неймана В(Н), ф — отображение Va на решетку проекторов Р(ж(А)) JW-алгебры п(А), где я(А) — *-слабое замыкание алгебры А в В(Н), определенное как

ф(Х) = sup{r(®) : х G X} (VX G Va),

где супремум вычисляется в ж (А). Тогда ф является вложением решетки Va в решетку Р(п(А)). Более того ф — нормально, т. е. при отображении ф точная верхняя граница (точная нижняя граница) переходит в точную верхнюю границу (соответственно, в точную нижнюю границу).

<1 Пусть {Xi} С Va и supX¿ = X в Va- Докажем, что sup^(X¿) = ф(Х). В силу доказательства предложения 1, поскольку Апп(Апп(У)) = Y для любого Y G Va, то X = supX¿ = Ann(Ann(|J¿Xi)). Отсюда ф(Х) > sup{r(®) : х G |J¿-X"¿} = supф(Х^. Пусть p = supф(Хъ). Тогда px = p для любого x G X¿. Имеем Ann^(4)(A)(U¿ Xj) = Ui-pMA)) и Апп(ЦХг) С Аппж(.4)(Л)(Ц18). Отсюда Апп(Апп(Ц Хг)) С ир(ж(А)), т. е. ^(Ann(Ann(|J¿ X¿)) = ф(Х) sí р. Следовательно, ф(Х) = sup^(X¿). Аналогично можно установить, что inf = <^(infX¿). t>

Следствие 1. При условиях предложения 3 для всякого S С имеет место Ann7r(4)(Ann(Ann(S')) U Ann(S)) = 0.

<1 Имеем sup{Ann(Ann(S')), Ann(S')} = А. Поэтому, в силу предложения 3 поскольку единица А является единицей В(Н), то Апгц^д) (Ann(Ann(S')) U Ann(S')) = 0. >

В силу следствия 1 и доказательства теоремы 2.1 из [1] имеет место следующая теорема:

Теорема 1. Пусть А — JС-алгебра с единицей самосопряженных ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Н, ж(А) — *-слабое замыкание А в В(Н) sa. Тогда для любого S С А+ верно

тг(А) = тг(Апп(Апп(5)) 0 7r(d(Ann(Ann(S'))) ff (Ann(S))) 0 тг(Апп(5)). (1)

Замечание. Пусть X — гиперстоуновский компакт с подмножеством всех изолированных точек, которое всюду плотно в X, Re (Xq) — булева алгебра всех подмножеств

множества Х$. По теореме Стоуна Ке(Хо) изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых подмножеств с точностью до гомеоморфизма единственного гиперстоунов-ского компакта X алгебры Ке(Хо). А также, X является компактификацией Стоуна — Чеха /3(Хо) множества Хо, рассматриваемого как дискретное топологическое пространство. Тогда, если |Хо| = N для некоторого бесконечного кардинального числа Я, тогда в силу [4; п. 3.6.11] |Х| = 2 . Пусть У — такой гиперстоуновский компакт, что С(Х)** = С (У). Тогда можно считать, что 1С У. Далее, можно непосредственно проверить, что множество X является множеством всех изолированных точек компакта У и всюду плотно в У. Следовательно, У \ X — множество всех неизолированных точек компакта У. Заметим, что |Хо| = N < |Х| = 2 . Далее, легко видеть, что точки множества Хо порождают все минимальные проекторы алгебры С(Х), а точки множества X порождают все минимальные проекторы алгебры С (У). Причем Хо

С X, Хо ф X

и С(Х) подалгебра алгебры С (У). Из того, что в С (У) имеются минимальные проекторы, которые не лежат в С(Х), следуют Апп^х)**(Аппд^) и Апп^(Апп^(5))) ф О и Апп^х)" (Аппд(Р) и Аппд (Аппд(Р))) ф 0 (Аппд^) = Аппд (Аппд (-Р)), где Б и Р два равномощных множества минимальных проекторов, удовлетворяющие условию 5 и Р = Хо- Это означает, что, если в теореме 1 вместо ж (А) взять А**, то равенство (1) выполняется не всегда. Поэтому в этом случае знак «=» в формуле (1) нужно заменить на С.

Пусть ф — представление С*-алгебры А в В(Н), М{ф{А)) — алгебра фон Неймана, порожденная С*-алгеброй ф(А) в В(Н). По определению ф образ ф(А) является С*-алгеброй типа I, если С*-алгебра А имеет тип I. В этом случае для абелева носителя X, с центральным носителем А, ф(Х) является абелевым носителем с центральным носителем ф(А) и Л[(ф(Х)) = ир{Я{ф{А))) для некоторого проектора р € М{ф{А)). В силу предложения 3 проектор р является абелевым проектором, удовлетворяющим условию с(р) = 1. В силу произвольности представления ф получаем следующее предложение.

Предложение 4. Если А является С*-алгеброй типа I, то для всякого представления ф в В(Н) алгебра фон Неймана М{ф{А)), порожденная в В(Н) образом ф(А), является алгеброй фон Неймана типа I.

3. Классификация С*- и Л?-факторов типа I

Теорема 2. Пусть А — .1С-фактор операторов в гильбертовом пространстве Н, имеющий тип I, и всякое ортогональное семейство проекторов в А имеет точную верхнюю грань в А. Тогда А является ЗШ-фактором типа I.

<1 Пусть и{А) — *-слабое замыкание А в В(Н)8а. Тогда в силу предложения 3 и{А) является Л^-фактором типа I, т. е. ж(А) = В(Н)Ш. Заметим, что для произвольного проектора р, который является суммой конечного количества минимальных проекторов алгебры фон Неймана В(Н)7 подалгебра ир(В(Н)8а) — конечномерное рефлексивное пространство и является *-слабоым замыканием ир(А). Поэтому и ир(А) является рефлексивным пространством, т. е. ир(А) = ир(А)**. Следовательно, ир(А) = ир(В(Н)8а). Отсюда для всякого конечного числа проекторов е\, 62,... ,еп из максимального семейства {е^} минимальных проекторов из В(Н), {е\, еч-, ■ ■ ■, еп} С А и — -

Итак, А содержит все минимальные проекторы В(Н)8а. Теперь, достаточно доказать, что всякий проектор В(Н)8а лежит в А. Пусть е — проектор из В(Н)8а и является точной верхней гранью одномерных проекторов {е^}, т. е. змре^ = е. Отметим, что семейство {е^} лежит в А. Как показано выше, каждое ортогональное семейство в А имеет точную

О С*- и JB-алгебрах типа I

13

верхнюю границу в А. Пусть / — точная верхняя грань семейства {ej} в алгебре А. Ясно, что / ^ е. Если д = / — е ^ 0, то существует минимальный проектор д' такой, что д' ^ д. Тогда д' ортогонален всем ej, следовательно, он ортогонален проекторам / и е. Получили противоречие. Следовательно, / = е в А. Поэтому А = B(H)sa и А — JW-фактор типа I.

В то же время имеет место и следующая теорема.

Теорема 3. Пусть В — JB-фактор, — бесконечное ортогональное семейство попарно эквивалентных минимальных проекторов в В такое, что sup g¿ = 1, и для любого i выполняется равенство UQi(B) = Rqt. Предположим, что каждое ортогональное семейство проекторов алгебры В имеет точную верхнюю границу в В. Тогда В является JW-фактором типа I.

<\ В силу того, что проекторы из {g¿} попарно эквивалентны и supg¿ = 1, то UQi{B) для любого i — максимальный абелев носитель с центральным носителем В, т. е. В — JB-фактор типа I. Применив теорему 2, получаем, что В — JW-фактор типа I. >

Теперь приведем пример JB- и С*-факторов типа I, которые не являются JW- и W*-факторами типа I соответственно. Для всякого натурального числа п алгебру МП(С) рассмотрим как алгебру, содержащуюся в МП+\(С), и возьмем индуктивную систему

С ->• М2(С) ->• М3(С) ->• М4(С) ->• ...

Индуктивный предел Aq этой индуктивной системы является *-алгеброй. В силу единственности С*-нормы в каждой МП(С) получим С*-норму || • || на Aq, определив ||ж||, как норму у в МП(С) всякий раз когда х имеет у как представитель в МП(С). Пополнение А по этой норме алгебры Aq является С*-алгеброй.

Для всякой матрицы ец в А, на диагонали которой одна единица ((г,г)-ая компонента) и все остальные компоненты нули, Ueu(A) лежит в Va и является абелевым носителем с центральным носителем А. Следовательно А — С*-алгебра типа I. Заметим, что А — сепарабельная С*-алгебра и всякая максимальная коммутативная *-подалгебра алгебры А изоморфна коммутативной *-алгебре всех бесконечных сходящихся к нулю последовательностей. Отсюда у всякого бесконечного ортогонального семейства ненулевых проекторов алгебры А не существует точной верхней границы в А. Следовательно, А не является И^*-фактором типа I. Поэтому самосопряженная часть Asa, являясь JB-фактором типа I, не является JW-фактором типа I. Заметим, что JC-алгебра Asa не удовлетворяет условиям теорем 2 и 3.

Замечание 2. Так как самосопряженная часть С*-алгебры является JC-алгеброй, то имеют место и ассоциативные аналоги теорем 2 и 3. Последняя, т. е. аналог теоремы 3 для С*-алгебр, имеется в [3].

Литература

1. Арзикулов Ф. Н. Об одном аналоге пирсовского разложения // Сиб. мат. журн.—1999.—Т. 40,

№ З.-С. 485-492.

2. Диксмъе Ж. С*-алгебры и их представления.—М.: Наука, 1974.—399 с.

3. Kaphnsky I. Algebras of type I // Ann. of Math—1952 —V. 56, № 2.-P. 460-472.

4. Энгелъкинг P. Общая топология.—M.: Мир, 1986.—752 с.

Статья поступила 3 марта 2003 г.

Арзикулов Фархад Нематженович, к. ф.-м. н.

г. Андижан, Научный центр Андижан — Наманган АН респ. Узбекистан

E-mail: [email protected]