CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 1, С. 26-35
УДК 519.652
АЛИЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА АЛГЕБРАХ ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ1
И. М. Жураев
Изучаются лиевы дифференцирования на алгебрах локально измеримых операторов LS(M), где
M — алгебра фон Неймана, не содержащая прямых абелевых слагаемых.
Ключевые слова: алгебра фон Неймана, локально измеримый оператор, дифференцирование,
лиево дифференцирование, лиево дифференцирование, центрозначный след.
Пусть A — некоторая ассоциативная алгебра. Аддитивное (линейное) отображение D : A ^ A называется аддитивным (линейным) дифференцированием, если D(xy) = D(x)y + xD(y) при всех x, y G A. Каждый элемент a G A определяет линейное ассоциативное дифференцирование Da в алгебре A по правилу Da(x) — a^x xa — [a, x], x G A. Дифференцирования вида Da называются внутренним,и.
Аддитивное (линейное) отображение L : A ^ A называется аддитивным (линейным) лиевым дифференцированием, если L([x,y]) — [L(x),y] + [x, L(y)] для всех x,y G A, где [x, y] — коммутатор элементов x, y, т. e. [x, y] — xy — yx.
Аддитивное (линейное) отображение L : A ^ A называется аддитивным (линейным) ^-лиевым дифференцированием, если L([x,y]^) — [L(x),y]^ + [x, L(y)]^ для всех x, y G A, где [x, y]^ — xy — £yx, £ G C, C — поле комплексных чисел.
Обозначим через Z(A) центр A. Адоптивное (линейное) отображение E : A ^ Z(A) называется аддитивным (линейным) следом со значениями в Z(A), если E(xy) — E(yx) x, y G A.
Хорошо известно, что любое лиево дифференцирование L на C*-алгебре A единственным образом представляется в виде L — D + E, где D — (ассоциативное) дифференци-
EA рования L называют стандартной, формой для L. В случае, когда A является алгеброй фон Неймана, стандартная форма лиевого дифференцирования L : A ^ A имеет вид L — Da + E для некоторого a G A [8]. Проблема о представлении всякого лиевого дифференцирования в стандартной форме для случая S(M)-алгебр измеримых операторов была рассмотрена в [3].
Мы в данной работе изучаем более общий вопрос в этом направлении, т. е. изучаем £-лиевы дифференцирования на алгебрах локально измеримых операторов LS(M), где алгебра фон Неймана M не содержит прямых абелевых слагаемых.
Пусть H — гильбертово пространство над полем комплексных чисел C, B(H) — *-ал-гебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в H, M — подалгебра фон
© 2016 Жураев И. М.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Европейского Союза в рамках программы Erasmus Mundus, проект Target II № 2011-2569.
Неймана в B (H), P (M) = {p G M : p2 = p = p*} — решетка всех проекторов из M и Pfin(M) — ее подрешетка всех конечных проекторов из P(M). Через Z(M) обозначим центр алгебры M, а через 1 — единичный оператор из M.
Линейное подпространство D в H называется присоединенным, к алгебре фон Неймана M (обозначение: D nM), если u(D) С D для любого унитарного оператора u из коммутанта M' = {y G B(H) : xy = yx (V x G M)} алгебры фон Неймана M.
Линейное подпространство D в H называется сильно плотным, в H относительно алгебры фон, Неймана M, если D n M и существует такая последовательность проекторов {pn}^=1 С P(M), что pn t 1, pn(H) С D и p^ := 1 — pn G Pfin(M) для любого n G N, где N — множество всех натуральных чисел.
x, H D(x)
называется присоединенным, к алгебре фон Неймана M, если D(x) n M и ux(£) = xu(£) для всех £ G D(x) и любого унитарного oneратора u G M .
x, M
носительно алгебры фон Неймана M, если D(x) сильно плотно в H. Множество S(M) всех операторов, измеримых относительно M, является *-алгеброй с единицей 1 над полем C относительно операций сильного сложения, сильного умножения и перехода к сопряженному оператору (умножение на скаляры определяется обычным образом, при этом считается, что 0 ■ x = 0) [10].
xM M
ность {znцентральных проекторов из M, что zn t 1 и xzn G S(M) для всех n G N. Множество LS(M) всех локально измеримых относительно M операторов также образует *-алгебру с единицей 1 относительно операций сильного сложения, сильного умножения и перехода к сопряженному оператору, при этом S(M) и M есть *-подалгебры в LS(M) [7, га. 11, §2.3]. Центр Z(LS(M)) в *-алгебре LS(M) совпадает с *-алгеброй S(Z(M)), и в случае когда M — фактор, либо M — конечная алгебра фон Неймана, всегда верно равенство LS(M) = S(M).
Если M — коммутативная алгебра фон Неймана, то алгебра LS(M) также коммутативна [7, гл. II, § 2.2], и поэтому для любой подалгебры A в LS(M) имеем, что Z(A) = A. Следовательно, в этом случае, класс лиевых дифференцирований на A совпадает с классом Z(А)-зпачпых следов па A.
Пусть M — алгебра фон Неймана с центром Z = Z (M) и M не имеет прямых абе-
Mp z(p) = z(1 — p), где z(p) — центральный носите ль для p [4, Problem 6.1.9]. Рассмотрим произвольную идеальную *-подалгебру A в LS(M), для которой M С A.
Положим p1 = pp2 = 1 — p и Sij = pi Apj = {pixpj : x G A} i, j = 1,2. Ясно, что Sij A
x = (p + (1 — p))x(p + (1 — p)) = pixpi + pixp2 + p2xpi + p2xp2
следует A = ^ij=i 2piApj. Кроме того, для x G S^, y G Sj имеем, что xy = ^^ли k = l и xy = (pixpk)(piypj) G Sij, т. e. SikSjj С Sij для всex i, j, k, l = 1, 2. Отметим также, что из включения M С A следует, что piMpj С Sij для любых i, j = 1, 2.
Для каждого x G A через z(x) обозначим центральный носитель для x, т. е. z(x) := 1 — sup{z G P(Z(M)) : zx = 0}. Ниже рассмотрим £-лиево дифференцирование на алгебрах локально измеримых операторов, где £ = 1.
Лемма 1. Справедливы равенства
pL(1)(1 — p) = (1 — p)L(1)p = 0
и
(1 — р)£(р)(1 — р) = р£(1 — р)р = 0.
< Так как р(1 — р) = 0, то [£(р), 1 — р]^ + [р, £(1 — р)]^ = 0). Таким образом,
¿(р)(1 — р) — ¿(1 — р)£(р) + р£(1 — р) — ¿¿(1 — р)р = 0, (1)
следовательно, (1 — р)р = 0 [£(1 — р),р]^ + [1 — р, ¿(р)к = 0, т. е.
¿(1 — р)р — ¿р£(1 — р) + (1 — р)£(р) — ¿¿(р)(1 — р) = 0. (2)
Умножая равенство (1) слева и справа на р и 1 — р соответственно, имеем
р£(р)(1 — р) + р£(1 — р)(1 — р) = 0,
и поэтому р£(1)(1 — р) = 0. Умножая равенство (2) слева и справа па 1 — р к р соответственно, имеем
(1 — р)£(1 — р)р + (1 — р)£(р)р = 0, и поэтому (1 — р)£(1)р = 0. Умножая равенство (1) с обеих сторон на 1 — р, имеем
(1 — р)£(р)(1 — р) — ¿(1 — р)£(р)(1 — р) = 0,
и поэтому (1 — р)£(р)(1 — р) = 0. Умножая равенство (2) с обеих стороны на р, имеем
р£(1 — р)р — £р£(1 — р)р = 0,
и поэтому р£(1 — р)р = 0. >
Определим отображение § : Е5(М) ^ Е5(М) следующим образом: ¿(ж) = £(ж) + аж — жа для всех ж £ (М), где а = р£(р)(1 — р) — (1 — р)£(р)р. Ясно, что § является аддитивным отображением и [§(ж),у]^ + [ж, §(у)]£ = §([ж, у]) для всех ж, у £ £5(М), где жу = 0. Кроме того, согласно лемме 1 имеем р§(1)(1 — р) = (1 — р)§(1)р = (1 — р)§(р)(1 — р) = р§(1 — р)р = 0. Таким образом,
§(р) = £(р) + 6р — р6 = р£(р)р = р§(р)р — р(6р — р6)р = р§(р)р, (3)
§(1 — р) = ¿(1 — р) + 6(1 — р) — (1 — р)6 = (1 — р)£(1 — р)(1 — р)
= (1 — р)(1 — р)(1 — р) — (1 — р)(6(1 — р) — (1 — р)6)(1 — р) (4)
= (1 — р)§(1 — р)(1 — р).
Лемма 2. Для I = 1, 2 справедливо §(5й) С
< Пусть жц £ Так как жц(1 — р) = 0, то [§(жц), 1 — р]^ + [жц,§(1 — р)]^ = 0. Из этого равенства и (4) имеем
§(ж11 )(1 — р) — ¿(1 — р)§(ж11) = 0. (5)
р
р§(жи )(1 — р) = 0. (6)
Умножая равенство (4) с обеих сторон на 1 — р, получаем (1 — £)(1 — )(1 — р) = 0,
откуда следует
(1 — рЖжц )(1 — р) = 0, (7)
поскольку £ = 1. С другой стороны, (1 — р)жц = 0, и мы имеем [¿(1 — р),жц]^ + [1 —
р, ¿(жц)] = 0. Таким образом, (1 — р)^(жц) — (¿(жц )(1 — р) = 0. Умножая это равенство р
(1 — рЖжц )р = 0. (8)
Из равенств (6)-(8) получаем ¿(жц) £ йц. Поэтому ¿(5ц) С ¿"п. Случай ¿(522) С рассматривается аналогично. >
Лемма 3. ¿(1) £ И(£5(М)) и ¿(р^)ж у = ж у¿(ру) для любых ж у £ йу, i = ^ = 1, 2. < Пусть ж12 £ Так как ж12р1 = 0, то имеем
¿(—(ж12) = [¿(ж12),р1]^ + [ж12, ¿(р1 )]£ = ¿(ж12)р1 — ^¿(Ж12) + Жl2¿(Pl) — (¿(р1 )ж12. (9) Так как р2ж12 = 0, то
¿(—(ж12) = [¿(р2),ж12+ [р2, ¿(ж12= ¿(р2)ж12 — £ж^(р2) + P2¿(Жl2) — (¿(Ж12)р2• (Ю) Из равенств (9) и (10) получаем
¿(ж12 )р1 — £р1 ¿(ж12 )р1 + Жl2¿(Pl) — (¿(р1 )ж12
= ¿(р2 )Ж12 — <^^¿^2) + P2¿(Жl2 ) — (¿(Ж12 )р2 • (11)
При £ = 0, умножая равенство (11) слева и справа нар1 и р2, согласно равенствам (3) и (4) имеем ¿(р1 )ж12 = р1 ¿(р1 )р1ж12 = ж12р2¿(р2)р2 = ж12¿(р2). При £ = 0, используя равенство (р1 + ж12)(ж12 — р2) = (ж12 — р2)(р1 + ж12) = 0, имеем
(¿(р1) + ¿(Ж12 ))(Ж12 — р2) + (р1 + Ж12 )(¿(Жl2 ) — ¿(р2)) = 0
И
(¿(Ж12 ) — ¿(р2 ))(р1 + Ж12) + (Ж12 — P2)(¿(Pl ) + ¿(Ж12 )) = 0,
откуда получаем
¿(р1 )Ж12 + ¿(Ж12 )Ж12 — ¿(Ж12 )р2 + Pl¿(Жl2 ) + Ж12 ¿(Ж12 ) — Ж^(р2) = 0
И
¿(Ж12 )р1 + ¿(Ж12 )Ж12 + Ж12 ¿(Ж12 ) — P2¿(Жl2 ) = 0.
Из последних равенств следует ¿(р1 )ж12 = Жl2¿(p2)• Далее, учитывая равенства (3) и (4), имеем р^^ )р1ж12 = ж12p2¿(p2)р2. Таким образом, заключаем, что
¿(р1 )Ж12 = Pl¿(Pl )р1Ж12 = Жl2P2¿(P2 )р2 = Жl2¿(p2) для всех ж12 £ Заметим, что р^(р2)р1 = р^^)р2 = 0 Отсюда р^(1)р1 ж12 =
Ж12P2¿(1)P2> и ПОЭТОМУ
¿(1)Ж12 = (рЖ1)р1 + P2¿(1)P2)Ж12 = Ж12^(1)р2 + Pl¿(1)Pl ) = Жl2¿(1) (12) для всех Ж12 £ ¿12- Аналогично можно показать, что
¿(р2)Ж21 = Ж21 ¿(р1), ¿(1)Ж21 = Ж21 ¿(1), Ж21 £ ¿21. (13)
Теперь из равенств (12), (13) имеем ¿(1) £ И(М)). >
Лемма 4. Для всех жц £ (1 ^ I = ] ^ 2) следующие утверждения эквивалентны:
1) если £ = — 1, то §(жц) £ Бц;
2) если £ = — 1, ТО р1§(жц )р1 = р2§(ж»ц- )р2 = 0 И §(жц )жц + жц§(жц ) = 0.
< Для любо го ж12 £ 512 верно равенство (11). Умножая это равенство с обеих сторон на р1 и р2 соответственно и принимая во внимание, что £ = 1, а также и равенства (3), (4), легко видеть, что
р1§(ж12)р1 = р2§(ж»ц )р2 = 0. (14)
Полное доказательство утверждения 1) следует из равенства р2§(ж12)р1 = 0. Рассмотрим два случая.
Случай 1. £ = 0.
ж12 ж12р1 = 0,
§(ж12 )р1 = ж12§(р1) = 0. (15)
Умножая равенство (15) слева на р^, получим р2§(ж12)р1 = 0. Таким образом, имея ввиду это равенство и равенство (14), имеем §(ж12) = р1 §(ж12)р2 £
Случай 2. £ = 0, —1.
Пусть ж12,у12 £ 512. Так как (у12 — р2)(р1 + ж12) = 0, то согласно равенствам (3), (4) имеем
§(—£ж12 + £ж12) = §([у12 — р2,р1 + ж12 ) = [§(у12 — р2 ),р1 + + [у12 — р2, §(р1 + ж12= §(у12)р1 + §(у12)ж12 — £р1§(у12) — £ж12§(у12) (16) + £ж12§(р2) + у12§(ж12 ) — р2§(ж12 ) — £§(^1^12 — £§(ж12 )у12 + £§(ж12 )р2.
р2
р2§(у12)р1ж12 = £р2§(ж12)р1у12 (Vж12,у12 £ ^12). (17)
р2 р1
р2§(ж12)р1 = р2§(—£ж12)р1 (Vж12 £ 512). (18)
Из равенств (17) и (18) имеем
—р2§(у12 )р1ж12 = р2§(£у12 )р1ж12 = £р2§(ж12 )р1(£у12) = £2р2§(ж12 )р1у12 для всех ж12,у12 £ Таким образом, из равенства (17) вытекает, что
р2§(ж12)р1у12 =0 (Vж12,у12 £ 512). (19)
р1
и (18), получаем
у12р2§(ж12)р1 =0 (Vж12 £ 512). (20)
Также заметим, что р2§(ж12)р1у21 = у21р2§(ж12)р1 = 0 для всех у12 £ 512. Тогда из равенств (19), (20) следует, что р2§(ж12)р1 £ %(£5(М)), и поэтому р2§(ж12)р1 = 0. Таким образом, доказано утверждение 1).
Для доказательства утверждения 2) заметим, что при £ = —1 имеет место равенство жу = 0 ^ §(жу+уж) = §(ж)у+ж§(у)+§(у)ж+у§(ж). Так как ж12 £ £12, (р1 +ж12)(ж12 —р2) = 0, ТО §(р1 +ж12)(ж12 —р2) + (ж12 —р2)§(р1 +ж12) + §(ж12 —р2)(^1 +ж12) + (р1 +ж12)§(ж12 — р2) = 0.
Отсюда, используя равенство (11), заключаем, что ¿(Ж12)ж12 + ж^(ж12) = 0. Учитывая это и равенство (14), получаем (2). >
Лемма 5. Имеют место следующие утверждения:
1) если £ = 0, —1, то ¿(£жу) = (¿(ж)у + ^¿(у) для всех ж, у £ (М);
2) если £ = 0, то существует аддитивное дифференцирование ^ такое, что ¿(ж) = ^>(ж) + ¿(1)ж для всех ж £ £Б(М);
3) если £ = —1, то ¿(ж2) = ¿(ж)ж + ж¿(ж) для всех ж £ £Б(М), т. е. ¿ есть аддитивное йорданово дифференцирование.
< Случай 1. £ = 0, —1.
В этом случае докажем, что ¿(£жу) = £¿(ж)y + £ж¿(y) для всех ж, у £ £Б(М).
1. ¿(£жггУгу) = £¿^¿1 )угу + £ж¿¿¿(y¿j) для всех жгг, угу £ йу, 1 ^ i = ^ ^ 2. На самом деле для всех жц £ Бц, угу £ ¿¿у имеем угужгг = 0. Согласно лемме 2 и утверждению 1) леммы 4 имеем
—¿(£жггугу ) = ¿(^¿у , жгг]£)
= ¿(угу )жгг — £ж¿¿¿(y¿j) + угу ¿(жгг) — £¿(ж¿¿)y¿j = —£ж¿¿¿(y¿j) — £¿(ж¿¿)y¿j,
т. е. ¿(£жггугу) = £ж¿¿¿(y¿j) + £¿(ж¿¿)угу для всех жгг £ Бгг и угу £ Бгу. Аналогичным образом можно получить, что
2. ¿(£жгуууу) = £жгу¿(ууу) + £¿(ж¿j)ууу для всех жгу £ Бгу и ууу £ Бу, 1 ^ i = ^ ^ 2;
3. ¿(£жггугг = £¿(ж¿¿)y¿¿) + £ж¿¿¿(y¿¿) для всех жгг, угг £ Бгг, i = 1,2.
Пусть i = Для любых Жгг, угг £ Бгг, i = 1, 2, И 5гу £ Бгу, согласно п. 1 получим
¿(£жгг угг^гу) = £¿(ж + £ж гг У¿¿¿(s¿j).
С другой стороны, ¿(£жггугг5гу) = £¿(ж
£ж
¿¿¿(y¿¿ «гу ) = £¿(ж + £ ^¿(£ + '^^¿¿¿^¿У).
Сопоставляя последние два равенства, получаем
(¿(Жггугг) — ¿(жгг)угг — £ж¿¿¿(£-1y¿¿)) = 0.
Следовательно,
(¿(£жггугг) — £¿(ж¿¿)y¿¿ — £ж¿¿¿(yii)) = 0 (21)
для всех £ Бгу. Аналогично для всех у £ Бгу имеем
¿(£жгг угг) — £¿(ж¿¿ )угг — £ж¿¿¿(y¿¿ )) = 0. (22)
Также согласно лемме 2 имеем
у ¿(£жггугг) — £¿(ж¿¿)угг — £ж¿¿¿(y¿¿)) = ( ¿(£жггугг) — £¿(ж¿¿)угг — £ж¿¿¿(y¿¿))= 0.
Из равенств (21) и (22) вытекает ¿(£жггугг) — £^(жгг)угг — £жгг^(угг) £ И(£Б(М)), откуда получаем ¿(£жггугг) — £¿(ж¿¿ )угг — £ж¿¿¿(y¿¿) = 0.
4. ¿(£жгуууг) = £¿(ж¿j)ууг + £жгу¿(ууг) для всех жгу £ Бгу ууг £ Бу, 1 ^ i = ^ ^ 2.
Для любых жгу £ уу £ Бу, i = (жгууу — жгу — уу + ру) = 0. Отсюда, согласно —¿
¿(жгу ууг £жгу £yj¿ж¿j ууг £yj¿ж¿j) — ¿( [жгу ууг жгу ууг + ру, рг + —
Таким образом, согласно лемме 2 и утверждению 1) леммы 4 имеем
§(£ж»ц у^ч) — §(£жгц ) — §(£у^гжгц) = §(жгц )у,Ч + §(у^)рг — §(рц)уц — £§(жгц) — £уцг§(ж»ц ) — жгцуцг§Ы + жгц§(у,Ч) + у^Ы — рц§(уцг) — £§(рг)жгц — £§(у3»)жгц.
Умножая это равенство с обеих сторон на рц и применяя леммы 2 и 4, получаем §(£у^ ) = £§(уцг)ж»ц- + £уцг§(жц ).
Теперь для произвольных ж, у £ £5(М) согласно пп. 1-4 и аддитивности § имеем §(£жу) = £§(ж)у + £ж§(у) для всех ж, у £ (М). Таким образом, в итоге получим утверждение 1) леммы 5.
Случай 2. Пусть § удовлетворяет условию: если жу = 0, то §(ж)у + ж§(у) = 0. Покажем, что
§(жу) = §(ж)у + ж§(у) — §(1)жу
для всех ж, у £ (М). Пусть 1 ^ г = ] ^ 2. Согласно лемме 2 и утверждению 1) леммы 4 имеем (жгг + жггугц )(рц — угц) = 0. Отсюда
§(жп ) = §(жй )угц + ж ¿г §(уц ) — жггугц §(рц ) (23)
для всех жгг £ Йй и угц £ Бгц. Из равенства (рг — жгц)(уцц + жгцуцц) = 0 вытекает
§(жгц уц ) = §(жгц )уцц + жгц§(у^' ) — §(рг)жгц у„ (24)
для всех жгц £ Бгц и уцц £ Бцц. Тогда согласно лемме 3 и равенству (23), рассуждая аналогично п. 3 случая 1, имеем
§(жгг угг) = §(ж»г )у»г + жгг§(у»г ) — жггугг§(р») (25)
для всех жгг,угг £ Теперь, используя равепство (жгц + жгцуцг)(рг — уцг) = 0, лемму 2 и утверждение 1) леммы 4, имеем
§(ж»ц уцг) = §(жгц )уц + жгц§(уцг) — жгцуцг§(р») (26)
для всех жгц £ Бгц и уцг £ Бц. Аналогично для аддитивного §, сопоставляя равенства (23)—(26), получим §(жу) = §(ж)у + ж§(у) — §(1)жу для всех ж, у £ £5(М). Теперь ^ определим следующим образом: ^>(ж) = §(ж) — §(1)ж. Заметим, что §(1) £ %(£Б(М)). Таким образом, имеем
^>(жу) = §(жу) — §(1)жу = §(ж)у + ж§(у) — 2§(1)жу = (<р(ж) + §(1)ж)у + ж(<р(у) + §(1)у) — 2§(1)жу = ^(ж)у + ж^(у)
для всех ж, у £ £5(М). Поэтому § является аддитивным дифференцированием и §(ж) = ^>(ж) + §(1)ж для всех ж.
Случай 3. £ = —1.
§
жу = 0 ^ §(уж) = §(ж)у + ж§(у) + §(у)ж + у§(ж).
§
Пусть 1 ^ г = ^ ^ 2. Для любых жгг £ и угц £ имеем угцжгг = 0. Согласно лемме 2 и утверждению 2) леммы 4 имеем
§(жггугц ) = §(жгг)угц + жгг§(угц ) + §(угц ^ (27)
для всех жгу £ Бгу и уу £ Бу, поскольку ууЖгу = 0. Согласно лемме 2 и утверждению 2) леммы 4 имеем
¿(жгу Уу ) = ¿(жгу )УУУ + Жу ¿(УУ ) + Уу ¿(жгу) (28)
для всех жгг, угг £ Бгг. Согласно лемме 3 и равенству (27) аналогично п. 3 случая 1, можно показать, что
¿(жггугг) = ¿(жгг )угг + ж¿¿¿(y¿¿)• (29)
Для любых жгу £ Бгу и уу £ Бу имеем (жгужу + жгу + жу + ру)(рг — жгу — жу + жj¿ж¿j) = 0. Согласно лемме 2 и утверждению (2) леммы 4 получаем
¿(жгу жуг) — ¿(жгу )жуг + жгу ¿(жуг), ¿(жуг жгу) — ¿(жj¿)ж¿j + ^¿¿(^¿У).
Теперь, комбинируя равенства (27)^(30), получаем ¿(ж2) = ¿(ж)ж + ж¿(ж) для всех ж £ ЬБ(М), т. е. ¿ — йорданово дифференцирование. >
Лемма 6. Если £ = 0, — 1, то существует аддитивное дифференцирование р, удовлетворяющее равенству р(£1) = £¿(1), такое, что ¿(ж) = р(ж) + ¿(1)ж для всех ж; в частно-
£, ¿
< Согласно утверждению 1) леммы 5 имеем ¿(£жу) = £^(ж)у + ж¿(y) для любых ж, у £ ЬБ(М). В частности, для любых ж У гДе жу = 0, имеем £^(ж)у + ж¿(y) = ¿(£жу) = ¿(0) = 0. Таким образом, ¿(ж)у + ж¿(y) = 0 для любых ж У) гДе жу = 0 так, что ¿удовлетворяет условию £ = 0. Тогда согласно утверждению 2) леммы 5 существует аддитивное дифференцирование р такое, что ¿(ж) = р(ж) + ¿(1)ж для всех ж. Кроме того, ¿(£1) = £¿(1)1 + £Н(1), так как ¿(£1 ) £ И(ЬБ(М)) и р(£1) = £¿(1) согласно лемме 3. Поскольку ¿ — аддитивное для любого комплексного рационального числа г и любого ж £ ЬБ(М), то имеем ¿(гж) = ^(ж). Так как 0 = — р(1) = р^21) = р^1 + -г1р^1) = 2iр(il), то р^1) = 0, ¿^1) = i¿(l), для любого комплексного рационального числа г. Таким образом, если £ — рациональное комплексное число, то жi¿(l) = ¿(ж^) = 2жi¿(l). Отсюда ¿(1) = 0, так как ¿ = р является аддитивным дифференцированием. >
Теорема 1. Пусть ЬБ (М) — алгебра локально измеримых операторов, где М не содержит прямого абелевого слагаемого. Пусть Ь : ЬБ(М) ^ ЬБ(М) — аддитивное £=1
Тогда Ь([ж, у]^) = [Ь(ж),у]^ + [ж, Ь(у)]^ для всех ж, у £ ЬБ(М), где жу = 0 тогда и только тогда, когда Ь(1) £ И(ЬБ(М)) и выполняются следующие условия:
1) при £ = 0, — 1 существует аддитивное дифференцирование р, где р(£1) = £Ь(1)
такое, что Ь(ж) = р(ж) + Ь(1)ж для всех ж £ ЬБ(М); в частности, Ь — аддитивное
£
2) при £ = 0 существует аддитивное дифференцирование р такое, что Ь(ж) = р(ж) + Ь(1)ж ж £ ЬБ(М)
3) £ = — 1 Ь
Ь(ж2) = Ь(ж)ж + жЬ(ж) для всех ж £ ЬБ(М).
< Ясно, что из каждого утверждения 1)-3) вытекает
жу = 0 ^ Ь([ж, у]?) = [Ь(ж), у]? + [ж, Ь(у)]?.
ж у жу = 0,
Ь([ж, у]?) = —Ь(£уж) = —(р(£уж) + £Ь(1)уж) = —(р(£1)уж + £р(уж) + £Ь(1)уж) = —(£р(у)ж + £ур(ж) + 2£Ь(1)уж) = р(ж)у + жр(у) + 2Ь(1)жу — (£р(у)ж + £ур(ж) + 2£Ь(1)уж) = [Ь(ж), у]? + [ж, Ь(у)]?.
Заметим, что L(x) = ¿(x) + xs — sx для всех x G LS(M) и L(l) = ¿(1)- Согласно леммам 5 и 6 отображение L имеет требуемую в теореме 1 форму. >
Следствие. Пусть алгебра фон Неймана M тина или типа III. Пусть L : LS(M) ^ LS(M) — аддитивное отображение и L([x,y]^) = [L(x),y]^ + [x,L(y)j^, £ = 0,1, — 1, для всех x, y G LS(M), где xy = 0.
Тогда L = Da для всех x G LS(M), где Da — внутреннее дифференцирование на LS(M)
< Согласно утверждению 1) теоремы 1 существует аддитивное дифференцирование где ^>(£1) = £L(1) и L(x) = ^>(x) + L(1)x для всех x G LS(M). В случае алгебры фон Неймана M типа I^, либо типа III, как показано в [2, следствие 3.4], любое адди-
LS(M)
из равенства ^>(£1) = £L(1) получаем, что L(1) = 0. Итак, L = ^ = Da для некоторого a G LS(M). > £=1
Теорема 2 (ср. [12, теорема 2]). Если M — алгебра фон Неймана типа I^ либо III L LS(M)
линейным лиевым дифференцированием и имеет вид L = Da + E, где Da — внутреннее дифференцирование на алгебре LS(M) и E — линейный Z(LS(M))-значный след на LS(M)
В случае алгебр фон Неймана типа I^ теорема 2 имеет существенное уточнение. В [11] установлено, что для алгебр фон Неймана M, имеющих тип I^, всегда верно равенство [LS(M), LS(M)] = LS(M). Поэтому для таких алгебр любой Z(LS(M))-значный LS(M)
Следствие (ср. [12]). Пусть M — алгебра фон Неймана типа I^. Тогда любое адди-
LS(M)
репцировапием.
Благодарность. Автор выражает глубокую признательность за гостеприимство Технологическому университету Белфорт-Монбельяр, Франция.
Литература
1. Albeverio S., Ayupov Sb. A., and Kudaybergenov К. К. Structure of derivations on various algebras of measurable operators for type I von Neumann algebras // J. Func. Anal.—2009.—Vol. 256.—P. 29172943.
2. Ayupov Sh. A., Kudaybergenov К. K. Additive derivations algebras of measurable operators // J. Operator Theory.-2012.-Vol. 67, № 2.-P. 101-116.
3. Жураев И. M. Структура лиевых дифференцирований алгебр измеримых операторов // Влади-кавк. мат. жури,-2012. JТ. 14, вып. 3.—С. 58-62.
4. Kadison R. V., Ringrose J. R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Vol. I: Elementary Theory.—N. Y. etc.: Acad. Press, 1983.—398 p.
5. Kusraev A. G. Automorphisms and derivations on a universally complete complex /-algebra // Siberian Math. .1. 2006. Vol 47.—P. 77-85.
6. Mathieu M., Villena A. R. The structure of Lie derivations on C*-algebras // J. Func. Anal.—2003.— Vol. 202.—P. 504-525.
7. Муратов M. A., 'In. inn 1.1. И. Алгебры измеримых и локально измеримых операторов,—Кшв: Пращ 1н-ту матемематики НАН Украши, 2007.—Т. 69.—390 с.
8. Robert Miers С. Lie derivations of von Neumann algebras // Duke Math. J.—1973.—Vol. 40.—P. 403409.
9. Sakai S. C*-Algebras and W*-Algebras.—N. Y.-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1971.
10. Segal I. A non-commutative extention of abstract integration // Ann. Math.—1953.—Vol. 57.—P. 401457.
11. Чштин В. И., Жураев И. М. Коммутаторы локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана типа I // Материалы Республиканской науч. конф.—Ургенч, 2012.—Т. 2.— С. 122-124.
12. Чштин В. И., Жураев И. М. Аддитивные лиево дифференцирования на алгебрах локально измеримых операторов // Материалы Республиканской науч. конф.—Ташкент, 2013.—С. 256-258.
Статья поступила 2 марта 2015 г.
Жураев Илхом Мухитдинович Бухарский государственный университет, доцент кафедры математики
УЗБЕКИСТАН, 100174, Бухара, Мухаммад Икбол, 11 E-mail: ijmo640mail.ru
f-LIE DERIVATIONS ON ALGEBRAS OF LOCALLY MEASURABLE OPERATORS
Juraev I. M.
We study £-Lie derivations on algebras of locally measurable operators LS(M), where M is a von Neumann algebra without central summands of type Ii.
Key words: von Neumann algebra, locally measurable operator, derivation, Lie derivations, £-Lie derivations, center valued trace.
