Дифференцирования кольца финитарных треугольных матриц и ассоциированных колец Ли и Йордана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

Дифференцирования кольца финитарных треугольных матриц и ассоциированных колец Ли и Иордана

Николай В.Мальцев*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 18.05.2009, окончательный вариант 25.06.2009, принята к печати 10.07.2009 В работе дано описание йорданова и лиева дифференцирования кольца финитарных треугольных матриц над ассоциативным кольцом с единицей.

Ключевые слова: финитарные треугольные матрицы, дифференцирование колец, йорданово и лиево дифференцирование колец.

Введение

Аддитивное отображение в : R ^ R произвольного кольца R называем дифференцированием, если оно удовлетворяет равенству в(ab) = в(a)b+ав(Ь) для всех a,b £ R. С любым ассоциативным кольцом R ассоциируются йорданово кольцо J(R) с йордановым умножением а о b = ab + ba и лиево кольцо Л^) с лиевым умножением а * b = ab — ba. Дифференцирование кольца J(R) или Л(К) называют также йордановым или лиевым дифференцированием кольца R соответственно. И.Н.Херстейн [1] показал, что любое йорданово дифференцирование первичного кольца характеристики не 2 есть дифференцирование. Теорема Херстейна переносилась на полупервичные кольца (W.S.Martindale, W.E.Baxter, J.M.Cusack, M.Bresar, J.Vukman и др.); аналог теоремы изучался для различных алгебр или колец треугольных матриц [2, 3, 4 и др.]

Кольцо финитарных треугольных Г-матриц над ассоциативным кольцом K с единицей с произвольной цепью Г индексов обозначаем через T(Г, K) (или T(n, K) при Г = {1, 2,..., n}), а его подкольцо Г-матриц с нулевой главной диагональю - через NT (Г, K). В [5] описаны йордановы дифференцирования треугольной матричной алгебры T(n, K). Дифференцирования треугольного кольца и близких с ним колец изучались в [4], когда кольцо K - кольцо с единицей и обратимым элементом 2. В первом параграфе статьи доказана

Теорема 1. Любое дифференцирование кольца T(Г, K) для |Г| ^ 2 есть сумма внутреннего дифференцирования и дифференцирования, индуцированного дифференцированием кольца K.

Описание лиевых и йордановых дифференцирований кольца T(Г, K) устанавливает в § 2 теорема 2.

При условии коммутативности кольца K в [6] описаны дифференцирования ассоциированной с NT(n, K) нильпотентной алгебры Ли. См. также [7]. В [8], [9] дифференцирования

* e-mail: n.v.malzev@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

кольца NT(Г, K) и ассоциированных с ним колец Ли и Йордана описаны над любым ассоциативным кольцом K с единицей.

Теоремы 1 и 2 используют продолжения на T(Г, K) соответствующих дифференцирований кольца NT(Г, K). Выявилось, что ненулевые центральные дифференцирования кольца NT(Г, K) не допускают продолжения до дифференцирования кольца T(Г, K).

1. Дифференцирования кольца треугольных матриц

Аддитивную группу всех дифференцирований произвольного кольца R обозначим через Der R. В этом параграфе описаны дифференцирования кольца финитарных треугольных матриц.

Пусть K — произвольное ассоциативное кольцо с единицей, Г — цепь или линейно упорядоченное множество с отношением порядка ^ . Г-матрицы У aij ||ije г над K с конечным числом ненулевых элементов называем финитарными. При условии (нижней) треугольно-сти aij =0, i < j они образуют кольцо с обычными матричными умножением и сложением, обозначаемое через T(Г, K); через NT(Г, K) обозначают подкольцо всех финитарных Г-матриц с условием нильтреугольности aij =0, i ^ j. Обозначим через eij Г-матричную единицу, через p и q, соответственно, первый и последний элементы Г (если они существуют).

Положим R = T(Г, K). Кольцо R аддитивно порождается элементами xeij (x £ K, i, j £ Г, i ^ j), которые подчиняются обычным правилам сложения и умножения элементарных матриц. Как обычно, для фиксированного элемента y £ R, отображение

SY : а ^ «y — Y« = а * Y, а £ R

является дифференцированием кольца R, которое называется внутренним. Всякое внутреннее дифференцирование кольца R является дифференцированием и при ограничении на подкольцо NT(Г, K); построенные дифференцирования называем треугольными.

Определим стандартные индуцированные дифференцирования. Для произвольного дифференцирования в кольца коэффициентов положим

0 : ||aij 11 ^ ||e(aij)|1, 11 aij 11 £ T(Г, K).

Отображение в есть дифференцирование кольца R и называется индуцированным. Очевидно, что отображение в является индуцированным дифференцированием подкольца U = NT(Г, K), и наоборот, всякое индуцированное дифференцирование подкольца U поднимается до дифференцирования кольца R доопределением его на диагональных элементах. Множество индуцированных дифференцирований кольца R будем обозначать Der K. Наконец, дифференцирование, совпадающее с нулевым по модулю центра кольца, будем называть центральным.

Теорема 1. Любое дифференцирование кольца R = T(Г, K) для |Г| ^ 2 есть сумма дифференцирования из Der K и внутреннего дифференцирования.

Доказательству теоремы предпошлем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Если дифференцирование Ф кольца R совпадает с нулевым на элементах xei+ii для всех x £ K и всех возможных i £ Г, то Ф совпадает с нулевым на NT(Г, K).

Доказательство. Для любых k, m £ Г с условием k — m ^ 2 имеем

xekm = xekk—1 ' ek—im.

Индукция по k — m завершает доказательство леммы. □

Далее, для любых i, j £ Г с условием i > j положим

Nij = (Keuv |v < j, u > i, v < u).

Множества Nij, очевидно, идеалы кольца R.

Лемма 2. Любой идеал Nij, i, j £ Г, i > j кольца T(Г, K) является (Der R) — инвариантным.

Доказательство. Пусть Ф — произвольное дифференцирование кольца R. Лемма будет доказана, если мы установим включения Ф(keij) С Nij для всех i, j £ Г таких, что i > j. Доказательство будем вести индукцией по i — j .

Пусть i, i — 1 £ Г. Выберем произвольно k ^ i. Тогда eii-ie^i-i = 0, и поэтому для произвольного x £ K имеем

0 = Ф(0) = Ф^й-^и-!) = Ф^й—i)efci—i + xeii—^(efci—i)

или

1^(xeii— 1)eki— 1 (xeii— 1)^^(eki— 1 ) .

В матрице с левой (правой) стороны равенства все столбцы (строки), кроме (i — 1)-го (i-й), нулевые, а (i — 1)-й (i-я) столбец (строка) равен k-му столбцу ((i — 1)-й строке) матрицы Ф(xeii—i) (соответственно Ф^д^1)). Следовательно, все элементы k-го столбца матрицы Ф(xeii—i), кроме, быть может, элемента xik из i-й строки и k-го столбца, равны нулю. Покажем, что xik = 0. Действительно, если k > i, то требуемое равенство следует из включения Ф(xeii—i) £ R. Если k = i, то xeii—ieii = 0, откуда

0 = Ф^й— i)eii + xeii—^(eü) =

... + xüeü • eii + ... + xeii—i • 0ei— li ... + xiieii + ....

Значит, k-й столбец матрицы Ф(xeii—i) нулевой для всех k ^ i.

Равенство нулю строк матрицы Ф(xeii—i) с номерами m < i доказывается аналогично. Для этого следует продифференцировать соотношение eimeii—i =0 и ei—ii—ieii—i = 0.

Таким образом, включения Ф(Keii—i) С Nii—i можно считать доказанным. Индукция по i — j и соотношения (i — j ^ 2)

Ф(xeij) = Ф^й— iei—ij) = Ф^й— i)ei—ij + xeii—^(ei—lj) £

£ Nii—iei—ij + xeii—iNi—ij С Nij + Nij С Nij

завершают доказательство леммы. □

Так как подкольцо U является объединением (Der R)-инвариантных идеалов Nii—i, то оно само будет Der R-инвариантным. Отсюда, в частности, следует, что любое дифференцирование кольца R — также дифференцирование и подкольца U.

Доказательство теоремы 1. Пусть Ф — произвольное дифференцирование кольца Д и Ф' — его ограничение на подкольцо V. По теореме 1 из [3], Ф' является суммой треугольного I', индуцированного у' и центрального С дифференцирований, то есть

Ф' = I' + у' + С

Обозначим через I и у соответствующие внутреннее и индуцированное дифференцирования кольца Д и положим

0 = Ф — I — у.

Покажем, что 0 совпадает с внутренним дифференцированием на V. По теореме 1 из [3] 0 действует на элементах подкольца V как центральное дифференцирование и совпадает с нулевым, если цепь Г бесконечная. Пусть цепь Г конечна. Тогда

0(хе**—1) = хЛедр, х € К, А* € Еш4(К +)

для всех возможных г. Однако

0(хегг-1) 0(хе** —1е*—1*—1 ) 0(хе**—1 )е*—1*—1 +

+хе**—10(е*—1*—1 ) х едрег—1*—1 + хе**—10(е*—1*—1 ),

откуда следует, что хЛ = 0, если г — 1= р и г = д. Далее, дифференцируя соотношение етахер+1р = 0, получим, что хЛр+! = —ах для некоторого а € К. Аналогично, из соотношения хедд_1врр = 0 следует, что хЛ<! = —хЬ для некоторого Ь € К. Обозначим через ¿а внутреннее дифференцирование с матрицей А = Ьед—1р — аедр+1 и положим Ф = 0 + ¿а. Нетрудно видеть, что Ф(Ке**—1) = 0 для всех возможных г € Г. По лемме 1, Ф совпадает с нулевым дифференцированием на V.

Покажем, наконец, что Ф = 0, если цепь Г бесконечная, и Ф совпадает с внутренним дифференцированием, если цепь конечная. Зафиксируем г € Г, и пусть

Ф(хе**) = ^2 кггтегт, х € К.

¿,т£Г

Покажем сначала, что Ф(хе**) = 0, когда г = р и г = д. Для и = г и V = г имеем

0 Ф(хе** ' ) ... + ки-и + . . . ,

откуда к^ = 0. Равенства ки = 0 при и = г и к*^ = 0 при V = г вытекают из соотношений

0 Ф(хе**—1) Ф(хе** * — 1 ) ... + к„»е„*_1 + . . . ,

0 Ф(хе*+1*) Ф(е*+1* ' хе**) ... + к*^е*+1-и + ....

Таким образом, Ф = 0, когда цепь Г бесконечная.

Предположим, что цепь Г конечная. Пусть г = р. Для т > р имеем

0 = Ф(херр * етт—1) = ... + кРте1т— 1 + . . . ,

откуда кРт = 0. Если т = р и I = д, то

0 = Ф(ег+1| • хеда) = ... + кррег+1р + ...

и, следовательно, kp = о.

Пусть i = q. Для l < q имеем

0 = Ф(е; + к • xeqq) = ... + kqme; + im + ...,

откуда кг9т = 0. Если l = q и m = p, то

0 Ф(хедд • emm-1) ... + kqmeqm-1 + ...

и, значит, kqm = 0. Таким образом, можно считать, что Ф(херр) = f (x)eqp и Ф(уета) = g(y)eqp. Определим функции f (x) и g(y). С одной стороны, Ф(уедд • xepp) = 0, с другой,

Ф(уедд • xepp) = g(y)eqpxepp + yeqqf (x)egp = g(y)xegp + yf (x)eqp,

откуда g(y)x + yf (x) = 0. Полагая g(1) = а, найдем, что f (x) = —ax и g(y) = ya. Остается заметить, что Ф является внутренним дифференцированием с матрицей aeqp. □

2. Дифференцирования колец Л(Я) и J(R)

В данном параграфе дано описание йорданова и лиева дифференцирования кольца R = T (Г,К).

Для каждого из следующих случаев:

p < i<q, p < i <1 m<q, p < j < q, p < h < j < q (1)

определим эндоморфизмы аддитивной группы R+ при a, c £ K таким образом:

(а • xeip — a^^eqi, . xeip — axeqm: xemp — axeqi

( С . xeqj —— xcejp, (5С . xeqj —— xcehp, xe^h —— xcejp, x £

(q — последний элемент цепи Г, p — первый элемент цепи).

Полагаем, что образы оставшихся порождающих xeuv нулевые. Обозначим Ann^M) и Ann^(M), соответственно, левый и правый аннуляторы в кольце K подмножеством M. Легко проверить, что любой построенный эндоморфизм R+ есть лиево или йорданово дифференцирование кольца R тогда и только тогда, когда a £ Ann^(K о K) (это эквивалентно отношениям a(K * K) = 0 и 2a = 0) и c £ Ann^(K о K). Будем в дальнейшем называть такие дифференцирования специальными.

В аддитивной группе End (R+) рассмотрим подгруппы:

£з = ( £а | a £ Ann^ (K о K) }, £3 = ( I c £ Ann^(K о K) };

£2 = ( (а | a £ Ann^(K о K) }, £2 = ( ( I c £ Ann^ (K о K) };

£2 = ( ( | b £ AnnK (K * K) }, £2 = ( (d I d £ Ann^(K * K) }.

Лемма 3. Подкольцо U из R инвариантно относительно любого йорданова или лиева дифференцирования Ф кольца R. В частности, ограничение Ф на U является лиевым или йордановым дифференцированием.

Доказательство. Пусть Ф — произвольное йорданово дифференцирование кольца Д и пусть для любых г, € Г с условием г ^ ]

Ф(хеУ ) = 53 х*те1т, х € К.

Iт"

1'^ш

Покажем сначала, что Ф(хе**—1) € V для всех г, г — 1 € Г. Продифференцировав соотношение хе**—1 о е*_1*_1 = хе**—1, х € К, и вычислив элементы, стоящие на месте (г — 1, г — 1)

у матриц с правой и левой сторон равенств, получим

х**— 1 I х**— 1 _ х**— 1

х*—1*—1 + х*—1*—1 = х*— 1*—1,

откуда х*——^ 1 = 0. Аналогично, продифференцировав равенство е** о хе**—1 = хе**—1, получим х**—1 = 0.

Далее, для любого £ < г — 1 и любого в > £, продифференцировав равенства (хе**—1 о е*— и) ое*—1*—1 =0 и (ея* охе**—1) ое** = 0, получим, соответственно, что х^^— 1 =0 и хг/8—1 = 0.

Заменяя в рассмотренных соотношениях йорданово умножение на лиево, получим включение Ф(хе**—1) € V, когда Ф — лиево дифференцирование.

Индукция по г — ] и соотношения

Ф(хеу) = Ф(хе**—1 о е*—у) = Ф(хе**—1) о е*—у + хе**— 1 о Ф(е*—и') €

€ V о е*—у + хе**—1 о V С V + V С V,

Ф(хеу) = Ф(хе**—1 * е*—У) = Ф(хе**—1) * е*—у + хе**— 1 * Ф(е*—и') €

€ V * е*—у + хе**—1 * V С V + V С V завершают доказательство леммы. □

Теорема 2. Пусть К — ассоциативное кольцо с единицей и Д = Т(Г, К). Тогда:

Бег J(Д)

Бег Л(Д)

£2 + £2 + £з + £3 + Бег Д, |Г| > 3,

£2 + £2 + Бег Д, |Г| = 3;

£2 + £2 + £3 + £3 + Бег Д, |Г| > 3,

£2 + £2 + Бег д, |г| = 3.

Доказательство. Пусть Ф — йорданово (лиево) дифференцирование кольца Д и Ф' — его ограничение на подкольцо V. По теореме 7 из [3], Ф' является суммой обычного Ф' и специального 5' дифференцирований, то есть

Ф' = Ф' + 5'.

Обозначим через 5 соответствующее специальное дифференцирование кольца Д и рассмотрим разность 0 = Ф — 5. Йорданово (лиево) дифференцирование 0 совпадает на V с обычным дифференцированием 0'. Снова, применяя теорему 1 из [3], получаем

0' = Т' + I' + С',

где Т' — треугольное, I' — индуцированное, С' — центральное дифференцирования. Обозначим через Т и I соответствующие внутреннее и индуцированное дифференцирования кольца Д и положим

Д = 0 — Т — I.

Покажем, что Д совпадает с внутренним дифференцированием на V .В силу теоремы

1 из [3] Д действует на элементах подкольца V как центральное дифференцирование и совпадает с нулевым, если цепь Г бесконечная. Рассмотрим случай, когда цепь Г конечна. Тогда

Д(хе**—1) = хЛедр, х € К, А* € Е«Л(К+) для всех возможных г. С другой стороны,

Д(хе**—1) = Д(хе**—1 о е*—1*—1) = Д(хе**—1) о е*—1*—1+

+хе** — 1 о Д(е*—1*—1) — х г едр о е*— 1*— 1 + хе**— 1 о Д(е* — 1*— 1 ),

откуда следует, что хЛ = 0, если г —1 = р, д и г = д. Далее, дифференцируя соотношение етао хер+1р = 0, получим, что хЛр+1 = —ах для некоторого а € К. Аналогично, из соотношения хета—1оерр = 0 следует, что хЛ<! = —хЬ для некоторого Ь € К. Обозначим через ¿а внутреннее дифференцирование с матрицей А = Ьед—1р — аедр+1 и положим Ф = Д + ¿а. Получаем, что Ф(Ке**—1) = 0 для всех возможных г € Г и, как в лемме 1, Ф совпадает с нулевым дифференцированием на V.

Теперь покажем, что Ф = 0, если цепь Г бесконечная, и Ф совпадает с внутренним дифференцированием, если цепь конечная. Зафиксируем г € Г, и пусть

Ф(хей) = ^ к*те|т, х € К.

¿,т£Г

Покажем сначала, что Ф(хе**) = 0, когда г = р и г = д. Для и = г и V = г имеем 0 = Ф(хе** о уеот) = Ф(хе**) о уеот + хе** о Ф(уеот) = ... + к^еищ + . .., откуда к^ = 0. Равенства ки = 0 при и = г и к^ = 0 при V = г вытекают из соотношений

0 = Ф(хе**—1) = Ф(хе** о е**—1) = Ф(хе**) о е**—1 + хе** о Ф(е**—1) = ... + ки*е„*—1 + . ..,

0 = Ф(хе*+1*) = Ф(е*+1* о хе**) = Ф(е*+1*) о хе** + е*+1* о Ф(хе**) = ... + к^е*+1^ + .... Таким образом, Ф = 0, когда цепь Г бесконечная.

Предположим, что цепь Г конечная. Пусть г = р. Для т > р имеем

0 = Ф(херр о етт—1) = ... + крте1т—1 + . . . , откуда крт = 0. Если т = р и I = д, то

0 = Ф(ег+ц о хеда) = ... + кррег+1р + ...

и, следовательно, кр = 0.

Пусть г = д. Для I < д имеем

0 = Ф(ег+Ц о хета) = ... + кг‘гтег+1т + . . . ,

откуда кг9т = 0. Если I = д и т = р, то

0 Ф(хедд о етт—1) ... + кдтедт—1 + ...

и, значит, = 0. Таким образом, можно считать, что Ф(херр) = f (x)eqp и Ф(уета) = g(y)eqp. Определим функции f (x) и g(y). С одной стороны, Ф(уета о xepp) = 0, с другой —

Ф(уета о xepp) = g(y)eqpxepp + yeqqf (x)egp = g(y)xegp + yf (x)eqp,

откуда g(y)x + yf (x) = 0. Полагая g(1) = а, найдем, что f (x) = —ax и g(y) = ya. Остается заметить, что Ф является внутренним дифференцированием с матрицей aeqp. Теорема доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 09-01-00717)

Список литературы

[1] I.N.Herstein, Jordan derivations of prime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 8(1957), 1104-1110.

[2] J.Zhang, W.Yu, Jordan derivations of triangular algebras, Linear Algebra Appl., 419(2006), 251-255.

[3] J.M.Cusack, Jordan derivations on rings, Proc. Amer. Math. Soc., 53(1975), №2, 321-324.

[4] N.Nader, M.Ghosseiri, Jordan derivations of some classes of matrix rings, Taiwanese J. of Math., 11(2007), №1, 51-62.

[5] D.Bencovic, Jordan derivations and antiderivations on triangular matrices, Linear Algebra Appl., 397(2005), 235-244.

[6] S.Ou, D.Wang, R.Yao, Derivations of the Lie algebra of strictly upper triangular matrices over a commutative ring, Linear Algebra Appl., 424(2007), 378-383.

[7] J.H.Chun, J.W.Park, Derivations on subrings of matrix rings, Bull. Korean Math. Soc., 43(2006), 635-644.

[8] В.М.Левчук, О.В.Радченко, Дифференцирования кольца финитарных нильтреугольных матриц и ассоциированных колец Ли и Йордана, Препринт №3, Красноярск, ИВМ СО РАН, (2008), 1-12.

[9] В.М.Левчук, Е.В.Минакова, Элементарная эквивалентность и изоморфизмы локально нильпотентных матричных групп и колец, Докл. РАН, 425(2009), №2, 1-4.

Derivations of the Finitary Triangular Matrix Ring and the Associated Lie and Jordan Rings

Nikolai V.Maltsev

We describe the Jordan and Lie derivations of the ring of finitary triangular matrices over an associative

ring with identity.

Keywords: finitary triangular matrix, derivation of rings, Jordan and Lie derivation of rings.