CC BY
7
Онлайн-доступ к журналу: http: / / mathizv.isu.ru
Серия «Математика»
2019. Т. 29. С. 39-51
УДК 512.5 MSG 22Е05
DOI https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.29.39 Нефинитарные обобщения
нильтреугольных подалгебр алгебр Шевалле
Ю. В. Беккер, В. М. Левчук, Е. А. Сотникова
Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская Федерация
Аннотация. Пусть ЖФ(А") — нильтреугольная подалгебра алгебры Шевалле над полем или кольцом К, ассоциированной с системой корней Ф классического типа. Для типа A,j_i ее ассоциируют с алгеброй NT(n, К) (нижних) нильтреугольных п х и-матриц над К. К нефинитарному обобщению приводит алгебра R = NT(T, К) всех нильтреугольных Г-матриц а = ||aij||i,jtr над К с индексами из цепи Г натуральных чисел. Доказана радикальность кольца R. В случае кольца К без делителей нуля показано, что идеалы i всех Г-матриц с нулями выше г-той строки и в столбцах с номерами > г исчерпывают все максимальные коммутативные идеалы кольца R и ассоциированного с ним кольца Ли а также максимальные нор-
мальные абелевы подгруппы присоединенной группы (она изоморфна обобщенной унитреугольной группе UT(T, К)); доказано также равенство групп автоморфизмов Aid R и Aid Ri-~). Автоморфизмы частично изучались ранее, в частности, для группы UT(T, К), когда К — поле.
Найденное в 1990 г. специальное матричное представление алгебр Ли ЖФ(А") позволило построить и обосновать нефинитарные обобщения NG(K) типа G — / > [ ■, С г и Dr■ Автоморфизмы здесь исследуем переходом к факторам кольца Ли, изоморфным
С другой стороны, для любой цепи Г финитарные нильтреугольные Г-матрицы образуют финитарную алгебру Ли FNG(F, К) типа G = Аг (т. е. FNT(F,K)), Вт, С'г и Dr- Ранее здесь были изучены автоморфизмы кольца Ли FNTÍV, К) над кольцом К без делителей нуля, а также финитарных обобщений унипотентных подгрупп групп Шевалле классических типов над полем, включая скрученные типы (В. М. Левчук и Г.С. Сулейманова, 1987 и 2009 гг.).
Ключевые слова: алгебра Шевалле, нильтреугольная подалгебра, унитреугольная группа, финитарные и нефинитарные обобщения, радикальное кольцо.
NT (Г, К).
1. Введение
Известно, что если в ассоциативном кольце К = (К, +, •) заменить умножение коммутированием а * Ь := аЪ — Ъа (а,Ь € К), то получаем (ассоциированное) кольцо Ли = (К, +,*).
В статье исследуются, прежде всего, финитарные и нефинитарные обобщения ассоциативных матричных колец. Наиболее разработана теория финитарных линейных групп и колец (см. § 2).
Максимальные абелевы идеалы и автоморфизмы кольца финитарных нильтреугольных Г-матриц и ассоциированного с ним кольца Ли (а также АЫ иТ(Г,К)) описаны ранее [3], когда Г — произвольная цепь и К — кольцо без делителей нуля с единицей. Другие свойства см. [6;7; 11].
Для бесконечной цепи Г обычное умножение Г-матриц а = ||оу||г,^ег над К в общем случае (без предположения финитарности) некорректно. В то же время для цепи Г натуральных чисел умножение определено корректно при условии нильтреугольности Г-матриц, и мы приходим к нефинитарному кольцу ЫТ/Т, К). Теорема 1 устанавливает его радикальность. Доказанная в § 3 теорема 2 о максимальных коммутативных идеалах применяется к описанию автоморфизмов. См. также [2] и замечание 1, а для групп иТ(Т,К) также И. 81оу1к [12].
Построение нефинитарных обобщений нильтреугольных подалгебр алгебр Шевалле классических типов, с использованием специального матричного представления из [1] посвящены §§ 4 и 5. Основной является теорема 4, см. также замечания 2-4.
2. Радикальные кольца специальных матриц
Ассоциативное кольцо К = (К, +, •) относительно присоединенного умножения
а о (3 = а + (3 + а/3 (а,/ЗеК)
всегда образует полугруппу, в которой 0 является единицей. Известна вложимость кольца К в кольцо с единицей еиа->е + а (а (£ К) - изоморфизм полугруппы (К, о) на полугруппу е + К по умножению. Группу обратимых элементов полугруппы (Д, о) называют присоединенной группой кольца К. Элемент а' € К, обратный к о; в присоединенной группе (его называют квазиобратным ), определяют условия
а + о1 + ао1 = о1 + а + а'а = 0.
Кольцо К называют радикальным (или радикальным по Джекобсону), если каждый его элемент имеет квазиобратный в К.
Хорошо известный пример радикального кольца получаем, когда К есть нилькольцо, т. е. кольцо, в котором каждый элемент нильпотентен. Кольцо ЛТ(п, К) (п > 2) нижних нильтреугольных п х п матриц над произвольным ассоциативным кольцом К с единицей даже нильпотент-но ступени нильпотентности п. Его присоединенная группа изоморфна унитреугольной группе 17Т(п, К) := е + ЛТ(п, К).
Фиксируя кольцо К как и выше, выберем произвольную цепь (линейно упорядоченное множество) Г с отношением порядка <. Все Г-матрицы а = Ца^Нг^ег над К образуют аддитивную группу М(Т,К) с по-координатным сложением. Назовем Г-матрицу а финитарной, если число ее ненулевых элементов конечно. Ясно, что все такие Г-матрицы с обычными матричными сложением и умножением
образуют даже кольцо РМ(Г,К). Г-матрицы а с условием (нижней) нильтреугольности а^ = 0 для всех г < ] образуют нилътреуголъное подколъцо РЫТ (Г, К).
Отметим, что умножение (2.1) всех Г-матриц в М(Т,К) для бесконечной цепи Г в общем случае (без предположения финитарности) не является корректным. Действительно, сумма в (2.1) может иметь бесконечное число ненулевых слагаемых и, следовательно, не всегда определена в кольце К.
Если зафиксировать цепь натуральных чисел Г = {1,2,3, - - - }, то к-я строка любой Г-матрицы из ЖТ(Г, К) при любом к имеет не более к — 1 ненулевых элементов. Поэтому формула (2.1) умножения в МТ(Т, К), в этом случае остается корректной, и аддитивная группа ЖТ(Г, К) превращается в кольцо.
Основным результатом параграфа является
Теорема 1. Кольцо РЫТ (Г, К) финитарных нильтреугольных Г -матриц над К радикально для любой цепи Г. Нефинитарное кольцо Л/Т (Г, К) также радикально, когда Г = {1, 2, 3, • • • } — цепь натуральных чисел.
Доказательство. Пусть вначале Г — произвольная цепь и выполняется а € _РЛТ(Г, К). Тогда а лежит в подкольце ЛТ(Г1, К) для подходящей конечной подцепи Г1 в Г. Выбранное подкольцо изоморфно нильпотент-ному кольцу ЛТ(|Г1|, К), так что ,РЛТ(Г, К) есть ниль-кольцо. Гади-кальность такого кольца следует из того, что квазиобратный элемент а' к а здесь всегда существует и задается формулой
(2.1)
оо
к=1
Докажем второе утверждение теоремы. Пусть Г = {1,2,3, •••}. В кольце NT(T,K) для фиксированного номера к > 1 все Г- матрицы 11d'av 11 с условием auv = 0 при u — v<k образуют идеал LКроме того, имеем LkLm С Хк+т- Получаем убывающий центральный ряд
Li = NT(T, К) э L2 D ■ ■ ■ D Lk D • • •
с нильпотентными факторами L\/Lk (к = 1,2,3,...). Пусть ot = 11(iuv11 € L\. Для нахождения ее квазиобратной Г-матрицы построим Г- матрицу 7 = \\cuv\l определяя ее к-ую диагональ {cuv \ и — v = к} для каждого к = 1, 2, • • • . При и — v = 1 полагаем cuv = —auv. Если к > 1, то первые к диагоналей матрицы 7 однозначно определяются условием
к-1
7 = = -а + а2 - а3 Н-----h (~а)к mod Lk+1, к = 1,2, •••.
т= 1
Такой выбор диагоналей при возрастании к не изменяет диагонали с меньшими номерами. Указанный алгоритм построения дает Г- матрицу 7 = \ \cuv|| € L1, которая является квазиобратной капо модулю Lk для каждого номера к. Построенная Г-матрица является квазиобратной а1 к а, поскольку
оо
П Lk = 0.
к= 1
Таким образом, радикальность кольца NT(T, К) доказана. □
3. Максимальные коммутативные идеалы
Максимальные коммутативные идеалы и автоморфизмы кольца РМТ(Г, К) и ассоциированного с ним кольца Ли Д(-)(.РЛГГ(Т,К)) (а также присоединенной группы) описаны ранее [3], когда Г — произвольная цепь и К — кольцо без делителей нуля.
Исследуем аналогично МТ(Г,К) при Г = {1,2,3,---}. В выбранной цепи нет одного из крайних элементов (последнего) и для этого случая, согласно [3], максимальные коммутативные идеалы кольца Ли Д(-)(.РЛГГ(Г, К)) исчерпываются стандартными. В сущности, это описание удается распространить на нефинитарное кольцо МТ(Т, К). Выделим его идеалы
Ту = (а = ||а™,|| € МТ(Т,К) | ау;и = 0, если и < г или V > € Г),
Т^оо = ( а = ||аадг)|| € МТ(Т,К) | аи,0 = 0, если и < г } (г € Г) и их пересечения РТ.ц и РХг>00 с подкольцом РМХ(Т,К).
Теорема 2. Пусть К — ассоциативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Тогда идеалы T¿+i¿, i = 1,2, 3,..., исчерпывают максимальные коммутативные идеалы кольца R = NT (Г, К) и ассоциированного кольца JIu а также максимальные коммутативные нормальные
подгруппы присоединенной группы.
Доказательство. Отметим, что для любого кольца Ли L подмножество {с € Т | с * Т = 0} называется центром [9, Sec. 1.3]; это также центр ассоциативного кольца R, если L = R(~\ Аналогично, централизаторы подмножества А в кольце R ив кольце Ли Rсовпадают с С (А) = {7 € R I 7* А = 0}. Когда Т*Т = 0, кольцо Ли называют абелевым или коммутативным. Верхний центральный ряд см. [9, Ex. 1.14] и [11] . Нам потребуется следующая лемма.
Лемма 1. Пусть R = NT(T,K), a G R и А = Id(a) — идеал кольца R, порожденный а. Если Г -матрица а имеет ненулевые столбцы с какими угодно большими номерами, то централизатор С (А) идеала А в кольце R нулевой.
Доказательство. Базис алгебры FNT(T, К) составляют матричные единицы dj, г > j (с единицей на месте (i,j) и нулем на остальных местах). Они умножаются по правилу
&ij&st = 0 (i/s), = (i,j,s,tGT). (3.1)
Ясно, что Г-матрица финитарна тогда и только тогда, когда она аддитивно порождается конечным множеством элементарных Г-матриц хе^. Допустим, Г-матрица а = ||аадг,|| € R имеет ненулевой т-й столбец для фиксированного т. Соотношения
a(Kems) = К avme-vs С Тт+м (m > s),
v>m
(.Kemt)a = К аые-ти С Tm>í_ 1 (t < т)
1 <u<t
позволяют найти Г-матрицу в идеале А = Id(a), в которой только т-й столбец ненулевой, скажем a¿m для подходящего номера i > т. С помощью второго соотношения находим включение Id(a) D Je¿-|_i;m_i с ненулевым идеалом J 5 Ксцт. Отсюда вытекают включения
Аэ J ■ {FTi+ i,m-i), С (А) С C{J ■ {FTi+ i^m-i)) = Тт+1;00.
Неограниченность в лемме номеров ненулевых столбцов в а также дает
оо
С(Л)С f| Tfc;CO = о
fc=m+1
и поэтому С (А) = 0. □
Исследуем произвольный максимальный коммутативный идеал M кольца Ли для него С(М) = М. Отметим, что матричные едини-
цы в кольце Ли умножаются по правилу:
eut * e-ts = eus = -ets * eut (и > t > s), euv * ets = 0 (v / i, s ф и).
В силу предыдущей леммы, номера ненулевых столбцов Г-матриц из M ограничены в совокупности некоторым числом m > 1 и M С Т2т. Кроме того, можем считать, что M 5 J • (FTi>m) для подходящего ненулевого идеала J и номера г > 1. Тогда
(J • (FTi>m)) * M = (J • (FTi>m))M = 0.
Поэтому строки с номерами <т во всех Г-матрицах из M нулевые, т. е. M С Тт+ i>m. Учитывая коммутативность идеала Тт+i>m, получаем равенство M = Тт+i>m. Таким образом, максимальные коммутативные идеалы в кольцах R и при R = NT(T, К) исчерпываются идеалами îm+l.m, m = 1, 2, 3 ... .
Отметим, что фактор-кольцо NT (Г, К)/Тп+\>00 изоморфно кольцу R = NT(n, К). В силу [3], нормальные подгруппы его присоединенной группы — это, в точности, идеалы ассоциированного кольца Ли Утверждение о максимальных коммутативных нормальных подгруппах присоединенной группы сейчас легко получаем по теореме 2 из [3]. Тем самым, доказательство теоремы 2 завершено. □
Из теоремы 2 следует, что произвольный автоморфизм ip кольца R = NT(T,K) или кольца Ли Rиндуцирует подстановку на множестве идеалов Tj+\j. Учитывая, что только для Т21 существует идеал ^j+ij = ^32 с условием Т21 * Tj+\j = 0 mod L3, получаем <p(T2i) = Т21. Продолжая аналогично, получаем (^-инвариантность, а в силу произвола в выборе ip, и характеристичность идеалов Tj+\j и, как следствие, идеалов
Tij = Fj+ij П Тц_ 1, % > j.
Следствие 1. Все идеалы Ту, i > j в кольцах R и д(-) характеристичны.
Замечание 1. Пусть К — кольцо без делителей нуля. В силу предыдущего следствия получаем, по аналогии с [4], что группа автоморфизмов Aut R кольца R = NT(T,K) совпадает с группой автоморфизмов Aut и с группой автоморфизмов присоединенной группы. Когда К — поле, автоморфизмы присоединенной группы, как верхней унитреугольной группы UT(oo,K), изучала R. Slovik [12].
4. Обобщения нильтреугольных алгебр МФ(К) классических
Алгебру Шевалле над полем К характеризуют системой корней Ф и базой Шевалле, состоящей из элементов ег (г € Ф) и подходящей базы подалгебры Картана, [8, § 4.4]. Подалгебру с базой {er | г € Ф+} называем нилътреуголъной и обозначаем через МФ(К). Присоединенной группой на ней в [1] представлена унипотентная подгруппа иФ(К) группы Шевалле типа Ф над К, порождаемая корневыми автоморфизмами xr(t) (г € Ф+, t € К).
По теореме Шевалле о базисе [8], при всех г, s € Ф+ имеем
er * es = Nrtser+s = —es * er (г + s € Ф), er * es = 0 (r + s ^ Ф),
где структурные константы Nr>s = ±1, ±2 или (для типа G2) ±3.
Алгебра Ли МФ(К) классического типа представлена в [1] алгеброй с базой из «матричных единиц» av с ограничениями на индексы
1 < v < г < п, —i<v<i<n, —i<v<i<n, v ф 0, 1 < \v\ < i < п,
соответственно типам Ап_ 1, Вп, Сп и Dn. После соответствующей перенумерации корней г = TiV получаем er = av, причем е^ * euv = 0 при i Ф vi j Ф ui j Ф ~v- В силу [1, Лемма 1.1], верна
Лемма 2. Знаки структурных констант базиса Шевалле можно выбрать так, что е^ * ejv = е^ и, кроме того,
Ф = Вп, Dn : ejv * eit-v = еА (i > j >\ v |> 0);
ф = Cn : ejm * &г,—т = G-im * = (i > J > Ш > 1);
Ф = Bn: ei0 * ej0 = 2ei-j, Ф = Cn : e^ * eA = 2a (i > j > 1).
Каждый элемент a € МФ(К) представляем суммой а = а также Ф+-матрицей соответствующего типа. Так, !3+-матрица
имеет вид
типов
аю
й>2, — 1 0-20 0>21
га+1 • • • Q"n, — 1 &п0 Q"nl ■ ■ ■ 0>п,п—1-Прямыми вычислениями находим
(u,v)
U,к)
(u,v) (j,k)
(k<j<u)
(v,j,k)
(«j'.fc)
Укажем формулы умножения Ф+ -матриц а = ||a¿¡,|| и /3 = ЦЬ^Ц в МФ(К) отдельно для каждого типа. С учетом (4.1) получаем следующие формулы умножения 13+-матриц
и-1
Лемма 3. Формулы (4.2) и (4.3) определяют лиево произведение а * /3 = 7= \\cij || любых двух Вп-матриц а = Ца^Ц и /3 = \\Ъу\\.
Отбрасывая в 13+-матрице нулевой столбец, получаем £)+-матрицу. При к > 0 находим элемент сик произведения двух _0+-матриц по формуле (4.2) и, кроме того,
и-1
С-и-к = £ (Ь^^кО'из — + '^¿(^к^и,-] ~ Ък]0>и,-^ • (4-4)
Лемма 4. Лиево произведение а * /3 = 7 = \\с^\\ любых двух Оп-матриц а = \\а^\\ и /3 = \\Ъц\\ определяют формулы (4.2) и (4.4).
Далее выписываем произвольную С+-матрицу а = Ца^Ц:
«1,-1 Я>2,—2 0-2,-1 Я-21
J>0
j=fc+l
j> О
С помощью формулы (4.1) аналогично получаем:
и-1
Сик = £ ~ bujajk) +^2(akjbu-j - bkjau-jYk > 1; (4.5)
j=k
j> 0
м-1
j=k
j> 0
J<0
и-1
Си,—и - 2 ^^ ^'Ujbu,—j . (4'7)
3 = 1
Лемма 5. Формулы (4.5), (4.6) и (4.7) определяют лиево произведение а * Р = 7 = ||Су || любых двух Сп-матриц а = Ца^Ц и /3 = ЦЬ^-Ц.
По аналогии с финитарным кольцом Ли РМТ(Т, К) с произвольной цепью Г (тип .Аг), построим обобщенные финитарные кольца Ли РМВг(К), РЫСг(К) и РМОг(К). Напомним, что биективное соответствие ' : Г —>■ Г' называют изометрией, если оно сохраняет отношение порядка ( т.е из г < з следует г' < и называют антиизометрией, если отношение порядка меняется на противоположное.
Зафиксируем цепь Г с антиизометрией ' такой, что г' < з для всех г, з € Г, и положим Г = Г'иГ. Тогда при Г'ПГ ф 0 пересечение содержит единственный элемент. Обозначим его через 0, а через РЫВг(К) - К-модуль с базисом
{е»т | г € Г, т € Г, г' < т < г}. (4.8)
При Г' П Г = 0 через РМОг(К) обозначаем К-модуль с такой же записью базиса, а К-модуль с базисом {е¿т | г € Г, т € Г, г' < т < г} — через ^ЖСг(К).
Указанный выбор модулей реализуется, например, когда Г выбирается как подцепь цепи целых неотрицательных чисел с антиизометрией г' = —г.
Построенные ^-модули превращаем в финитарные лиевы алгебры, определяя произведения базисных элементов в них, с учетом леммы 2, по правилу [5]:
* ejv = е^; е-ц * е^ = 0, з ф к, г ф í Фз ;
ею * е^о = (С = ВГ); е^ * ец< = 2ей/ (С = Сг), г > з € Г; е-гт * = , з' < т < 3 < Ь 3 Ф 0, е^ * еш = 0 {О = ВГ, £>г); ^к * е-гк> = е-гк * &зк> = е-г?, г> ,]> к еТ (С = Сг).
Сейчас замечаем, что полученные в леммах 3, 4 и 5 формулы умножения Ф+ -матриц корректно обобщаются на С-матрицы а = ||ецт|| типа О = В-р, Сг и Ир. Таким образом, приходим к финитарным кольцам Ли РМСг(К) и
Теорема 3. Формулы умножения обобщенных матриц в кольцах Ли РМВг(К), РМИг(К) и РМСг(К) определяются для произвольной цепи Г корректно формулами из лемм 3, 4 и 5 соответственно.
Финитарные обобщения унипотентных подгрупп групп Шевалле классических типов (по аналогии с обобщениями унитреугольных групп) представляются в [5] как присоединенные группы финитарных алгебр FNG(K) типа G = Вр, Dp и Ср. Там же выписаны основные соотношения в терминах элементарных элементов и найдены автоморфизмы.
5. Нефинитарные обобщения нильтреугольных подалгебр алгебр Шевалле
Нефинитарную алгебру NG(T, К) строим на множестве всех С-мат-риц типа G = Вр, Ср и Dp, считая Г цепью неотрицательных целых чисел для типа Вр и Г = {1, 2, ■ ■ ■ ,п, ■ ■ ■} для типов Сг и Dp, причем всюду г' = —г. Базу ее финитарной части FNG(T, К) составляют {e¿i, | г € Г, v € Г, i' < v < г} для типа Сг и матричные единицы av из (4.8) для типов Вр и Dp. Получаем ií-модуль с естественными линейными операциями, элементы которого представляем (бесконечной) суммой а = Ylaiveiv или С-матрицей ||a¿i,|| соответствующего типа.
В каждой строке любая С-матрица здесь имеет лишь конечное число ненулевых элементов. Поэтому формулы умножения в леммах 3-5 остаются корректными. Аналогично типу Ар (то есть NT(T, К)) определяем стандартный центральный ряд, составляя его т-й член Ьт из G-матриц, диагонали которых с номерами <т — нулевые. Справедливость тождества Якоби следует сейчас из того, что оно справедливо по модулю Lm для каждого т = 1,2,... .
Таким образом, нефинитарный ií-модуль NG(T,K) превращается в алгебру Ли. Тем самым, доказана
Теорема 4. К-модулъ NG(T,K) типа G = Вр (аналогично, типа G = Dp или Сг) превращается в алгебру Ли, если произведение а * fj определить по формулам (4.2) и (4.3) (соответственно, (4.2) и (4.4) или (4.5) - (4.7);.
Замечание 2. Группа Шевалле, ассоциированная с Ф и ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей, зависит от выбора решетки весов представления; так выделяют универсальную и присоединенную группы Шевалле. В то же время, ее унипотентная подгруппа иФ(К) и нильтреугольная подалгебра Л^Ф(^) алгебры Шевалле определяются выбором Фи К однозначно, с точностью до изоморфизмов.
Замечание 3. Наряду с подалгеброй ЫФ(К) выделяют верхнюю нильтреугольную подалгебру с базой {er (г € Ф-)}, для которой также корректно определена нефинитарная алгебра Ли NG'(T, К). Поскольку умножение Г-матриц из NG(T,K) и NG'(T,K) в общем случае не
определено, то нефинитарное обобщение всей алгебры Шевалле, содержащее построенные алгебры, не существует. См. также некоторые конструкции и приложения [7, § 19].
Замечание 4. В [10] построены обертывающие алгебры К к нильтре-угольным алгебрам ИФ(К), которые для типа ф Ап являются неассоциативными. Схема доказательства теоремы 4 переносится для нефинитарных обобщений обертывающих алгебр К классических типов.
6. Заключение
С использованием специального матричного представления нильтре-угольных подалгебр алгебр Шевалле классического типа над полем К и цепи Г неотрицательных целых чисел построены их нефинитарные обобщения МО{К) типа О = Аг Вг, Ср и
Когда К есть кольцо без делителей нуля, выписаны все максимальные коммутативные идеалы кольца Ли КА-р(К), а также максимальные нормальные абелевы подгруппы присоединенной группы; с их помощью исследуются автоморфизмы.
Список литературы
1. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 3. С. 315-338. DOI: 10.1007/BF01979936.
2. Нильтреугольные подалгебры алгебры Шевалле / В. М. Левчук, А. В. Ли-таврин, Н. Д. Ходюня, В. В. Цыганков // Владикавказ, мат. журн. 2015. Т. 17, вып. 2. С. 37-46.
3. Левчук В. М. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоединенные группы // Мат. заметки. 1987. Т. 42, № 5. С. 631-641. https://doi.org/10.1007/BF01137426.
4. Левчук В. М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. II. Группы автоморфизмов // Сибирский математический журн. 1983. Т. 24, № 4. С. 543-557. https://doi.org/10.1007/BF00969552.
5. Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Автоморфизмы и нормальное строение унипотентных подгрупп финитарных групп Шевалле // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Т. 15, № 2. С. 1-10. https://doi.org/10.1134/S0081543809070128.
6. Мерзляков Ю. И. Эквиподгруппы унитреугольных групп: критерий самонор-мализуемости // Докл. РАН. 1994. Т. 339, № 6. С. 732-735.
7. Холубовски В. Алгебраические свойства групп бесконечных матриц. Gliwice, Wydawnictwo Politechniki Slaska, 2017. 140 p.
8. Carter R. Simple Groups of Lie type. New York : Wiley and Sons, 1972.
9. Jacobson N. Lie Algebras. New York : Int. Publ., 1962.
10. Levchuk V. M. Niltriangular subalgebra of Chevalley algebra: enveloping algebra, ideals and automorphisms // Dokl. Math. 2018. Vol. 478, N 1. P. 23-27.
11. Levchuk V. М., Radchenko О. V. Derivations of the locally nilpotent matrix rings // Journal of Algebra and Its Applications. 2010. Vol. 9, N 5, P. 717-724.
12. Slovik R. Bijective maps of infinite triangular and unitriangular matrices preserving commutators // Linear and Multilinear Algebra. 2013. Vol. 61.8. P. 1028-1040.
Юлианна Владимировна Беккер, аспирант, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, корп. 3, тел.: (8)3912062148 (e-mail: [email protected])
Владимир Михайлович Левчук, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и математической логики, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, корп. 3, тел.: (8)3912062148 (e-mail: vlevchuk@sfu-kras. ru)
Елена Андреевна Сотникова, магистрант, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, корп. 3, тел.: (8)3912062148 (e-mail: [email protected])
Поступила в редакцию 10.05.19
Non-finitary Generalizations of Nil-triangular Subalgebras of Chevalley Algebras
J. V. Bekker, V. M. Levchuk, E. A. Sotnikova
Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russian Federation
Abstract. Let ЫФ(К) be a niltriangular subalgebra of Chevalley algebra over a field or ring К associated with root system Ф of classical type. For type A„-1 it is associated to algebra NT{n, К) of (lower) nil-triangular те x те- matrices over K. The algebra R = NT(T,K) of all nil-triangular Г-matrices a = ||aij||i,jer over К with indices from chain Г of natural numbers gives its non-finitary generalization. It is proved, (together with radicalness of ring R) that if A" is a ring without zero divizors, then ideals 1 of all Г-matrices with zeros above г-th row and in columns with numbers > г exhausts all maximal commutative ideals of the ring R and associated Lie rings and also maximal normal subgroups of adjoint group (it is isomorphic to the generalize unitriangular group UT(T,K)). As corollary we obtain that the automorphism groups Aut R and Aut
coincide. Partially automorphisms studied earlier, in particulary, for Aut UT(T, K) when К is a field.
Well-known (1990) special matrix representation of Lie algebras ЫФ(К) allows to construct non-finitary generalizations NG(K) of type G = Br,C'r and Dr■ Be research automorphisms by transfer to factors of Lie ring NG(K) which is isomorphic to NT(T,K).
On the other hand, for any chain Г finitary nil-triangular Г-matrices forms finitary Lie algebra FNG(T,K) of type G = AT ( i.e., FNG(T,K)), BT,CT and DT. Earlier automorphisms was studied (V. M. Levchuk and G. S. Sulejmanova, 1987 and 2009) for Lie ring FNT(T,K) over ring К without zero divizors and, also, for finitary generaliza-
tions of unipotent subgroups of Chevalley group of classical type over the field (including twisted types).
Keywords: Chevalley algebra, nil-triangular subalgebra, unitriangular group, fini-tary and nonfinitary generalizations, radical ring.
References
1. Levchuk V.M. Automorphisms of unipotent subgroups of chevalley groups. Algebra and Logic, 1990, vol. 29, is. 3, pp. 211-224. https://doi.org/10.1007/BF01979936.
2. Levchuk V.M., Litavrin A.V., Hodyunya N.D., Cygankov V.V. Nil'treugol'nye podalgebry algebry Chevalley [Nilthriangular Subalgebras Chevalley Algebra]. Vladikav. mat. zhurnal [Vladikav. mat. magazine], 2015, vol. 17, iss. 2, pp. 37-46.
3. Levchuk V.M. Some locally nilpotent rings and their adjoined groups. Matematicheskie Zametki, 1987, vol. 42, no. 5, pp. 631-641. https://doi.org/10.1007/BF01137426.
4. Levchuk V.M. Connections between a unitriangular group and certain rings. Chap. 2: Groups of automorphisms. Siberian Mathematical Journal, 1983, vol. 24, is. 4, pp. 543-557. https://doi.org/10.1007/BF00969552.
5. Levchuk V.M., Sulejmanova G.S. Automorphisms and normal structure of unipotent subgroups of finitary Chevalley groups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2009, vol. 15, no. 2, pp. 118-127. https://doi.org/10.1134/S0081543809070128
6. Merzlyakov YU.I. Equisubgroups of unitriangular groups: a criterion of self normalizability. Russian Ac. Sci. Dokl. Math., 1995, vol. 50, no. 3, pp. 507-511.
7. Holubovski V. Algebraicheskie svojstva grupp beskonechnyh matric [Algebraic properties of groups of infinite matrices]. Gliwice, Wydawnictwo Politechniki Slaska, 2017, 140 p.
8. Carter R. Simple Groups of Lie type. Wiley and Sons, New York, 1972.
9. Jacobson N. Lie Algebras. Int. Publ., New York, 1962.
10. Levchuk V.M. Niltriangular subalgebra of Chevalley algebra: enveloping algebra, ideals and automorphisms. Dokl. Math., 2018, vol. 478, no. 1, pp. 23-27.
11. Levchuk V.M., Radchenko O.V. Derivations of the locally nilpotent matrix rings. Journal of Algebra and Rs Applications, 2010, vol. 9, no. 5, pp. 717-724.
12. Slovik R. Bijective maps of infinite triangular and unitriangular matrices preserving commutators. Linear and Multilinear Algebra, 2013, vol. 61.8, pp. 1028-1040.
Julianna Bekker, Postgraduate, Siberian Federal University, 79, Svo-bodniy Avenue, Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation, tel.: (8)3912062148 (e-mail: [email protected])
Vladimir Levchuk, Doctor of Sciences (Physics and Mathematics), Professor, Siberian Federal University, 79, Svobodniy Avenue, Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation, tel.: (8)3912062148 (e-mail: [email protected])
Elena Sotnikova, Undergraduate, Siberian Federal University, 79, Svobodniy Avenue, Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation, tel.: (8)3912062148 (e-mail: [email protected])
Received 10.05.19
