Автоморфизмы нильпотентной подалгебры n φ(k) алгебры Шевалле симплектического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»



Серия «Математика»

2015. Т. 13. С. 41—55

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 512.54 + 512.55

Автоморфизмы нильпотентной подалгебры NФ(К) алгебры Шевалле симплектического типа *

А. В. Литаврин

Сибирский федеральный университет

Аннотация. В статье изучаются автоморфизмы нильпотентной подалгебры МФ(К) алгебры Шевалле над ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей, ассоциированной с системой корней Ф. Группа автоморфизмов описана для симплектического типа Сп, п > 4.

Ключевые слова: алгебра Шевалле, нильпотентная подалгебра, кольцо Ли, автоморфизм.

Проблема описания автоморфизмов (максимальных) унипотентных подгрупп U групп лиева типа над полем решена в работах Дж. Гиббса [8] (при charK = 2, 3) и В.М. Левчука [3]. В алгебре Шевалле LK с базисом {er (r & Ф), ■■■ } над полем или кольцом K, ассоциированной с системой корней Ф [7, § 4.4], выделяют нильпотентную подалгебру NФ(К) с базисом {er\r & Ф+}. В статье изучается задача описания автоморфизмов кольца Ли NФ(К).

Алгебра Ли NФ(К) типа An—i изоморфна алгебре Ли, ассоциированной с алгеброй NT(n, К) нижних нильтреугольных n х n матриц над К. Группы автоморфизмов кольца NT(n, К), его ассоциированного кольца Ли и присоединенной группы (она изоморфна унитреугольной группе UT(n, К)) изучены ранее [4]. Структурные связи унипотентной подгруппы U = UФ(К) группы Шевалле типа Ф над К и кольца Ли NФ(К) выявлялись в [3]. Исследования Aut (Lk) см. в [9], [2] и [5].

В § 2 определяются основные элементарные автоморфизмы кольца Ли NФ(К): автоморфизмы индуцированные автоморфизмами ос-

1. Введение

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ.

новного кольца, диагональные, внутренние, графовые и центральные автоморфизмы. Порождаемые ими автоморфизмы называют стандартными.

В решении проблемы описания АпЬ и существенным оказывается следующее обобщение в [3] центральных автоморфизмов:

Автоморфизм ф группы или кольца Ли, тождественный по модулю т-го гиперцентра и внешний по модулю (т — 1)-го гиперцентра, называют гиперцентральным автоморфизмом высоты т.

Мы исследуем автоморфизмы кольца Ли NФ(К) симплектического типа Сп. Главным результатом статьи является

Основная теорема. Пусть К — ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Всякий автоморфизм кольца Ли NФ(К) симплектического типа Сп (п > 4) есть произведение стандартного и гиперцентрального высоты < 5 автоморфизмов.

Когда 2К = К и аннулятор элемента 3 в кольце К нулевой, автоморфизмы алгебры Ли NCn(K) (п > 2) были описаны ранее [6]; наибольшая высота гиперцентральных автоморфизмов в этих случаях < 3.

Отметим, что в теореме оценка высоты гиперцентральных автоморфизмов не улучшаемая, см. § 4. Гиперцентральные автоморфизмы наибольшей высоты, как правило, вырождаются для малых лиевых рангов; в этих случаях автоморфизмы требуют отдельного рассмотрения (§ 6).

Доказательству основной теоремы посвящены §-§ 2-5.

Обозначения и терминология, связанные с системами корней, стандартны (см. [7]): Ф — система корней, Ф+ — система положительных корней и П(Ф) — база системы корней Ф. Полагаем также

р(Ф) := тах{(г, г)/(в, в) | г, в € Ф}.

Всюду в статье К есть ассоциативно — коммутативное кольцо с единицей, К + — его аддитивная группа и Аг := {х € К | х * г = 0} — аннулятор элемента г в К.

2. Элементарные автоморфизмы и центральные ряды

Автоморфизмы всякой алгебры однозначно определяются действием на ее базе. В алгебре Ск структурные константы (г, в € Ф+) базиса Шевалле выявляет теорема Шевалле о базисе (см. [7]), согласно которой [ег, ез] = 0 при г + в € Ф и

[ег,еэ]= N^3ег+з (г, в, г + в € Ф+). (2.1)

Кольцо Ли NФ(К) порождается элементами хег (г € Ф+,х € К) (при р(Ф)!К = К даже элементами хег (г € П(Ф), х € К)) и основные

соотношения в этих терминах записываются в виде:

хег + уег = (х + у)ег (т € Ф+, х,у € К);

[хег,уез] = ху^зег+з (г, в, г + в € Ф+); [хег,уез] = 0 (г, в €Ф+,т + в€ Ф+).

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Таким образом, справедлива

Лемма 1. Автоморфизм ф аддитивной группы кольца Ли NФ(К) есть его автоморфизм тогда и только тогда, когда ф сохраняет соотношения (2.3), (2.4).

Перечислим элементарные автоморфизмы (помимо графовых [7]).

Диагональные автоморфизмы. К-характером решетки корней, то есть аддитивной группы < Ф+ > называют любой ее гомоморфизм % в мультипликативную группу К * основного кольца К коэффициентов. Ясно, что % определяется значениями на простых корнях. Ему соответствует ([7, § 7.1]) диагональный автоморфизм Н(%) : ег — х(т)ег (т € Ф+) алгебры Ли NФ(К).

Для любых т € Ф+ и £ € К алгебра Ли NФ(К) допускает корневой автоморфизм хг (£), тождественный на ез при в + г € Ф+ и

где q(т, в) - наибольшее целое число г > 0 такое, что в + гт € Ф. Все корневые автоморфизмы порождают внутренние автоморфизмы.

Всякий автоморфизм V основного кольца К индуцирует кольцевой автоморфизм V : хег ^ х ег (т € Ф+) кольца Ли NФ(К).

Центральные автоморфизмы. Автоморфизм группы или кольца Ли, тождественный по модулю центра, называют центральным. Центр любого кольца Ли И совпадает с аннулятором

Автоморфизмы кольца Ли NФ(К), порождаемые перечисленными элементарными автоморфизмами, называют стандартными. К нестандартным автоморфизмам приводят обобщения центральных автоморфизмов — гиперцентральные автоморфизмы (см. введение).

Для построения характеристических идеалов и гиперцентральных автоморфизмов нам потребуются центральные ряды. В произвольном кольце Ли К определяют нижний центральный ряд

К = Г1(Я) 5 Г2(Я) 5---5 Гп 5 Гп+1(Я) = [Гп(Я), к] з--- (п > 1)

д(т,з)

Апп(К) = {х€ К I [х, К] = 0}.

и верхний центральный или гиперцентральный ряд 0 = Zo С Zi С Z2 С ... , Zi+1(R) := {g & R \ [g, R] С Zi(R)} (i > 0).

Как в [1] и [7], используем максимальный корень р системы Ф, функцию высоты ht(r) на корнях r и число Кокстера h := ht(p) + 1 системы корней Ф. Стандартным центральным рядом алгебры NФ(К) называют ряд

Li = NФ(К) D L2 D---D Б— D Lh = 0, Li :=< Кег \ r & Ф+, ht(r) > i> .

Все структурные константы Nrs (r, s, r + s & Ф+) алгебры Ли NФ(К) обратимы в кольце К при р(Ф)!К = К. По аналогии с [3, Лемма 1] устанавливается стандартность при р(Ф)!К = К верхнего и нижнего центрального ряда.

Лемма 2. Верхний и нижний центральные ряды кольца Ли NФ(К) при р(Ф)!К = К совпадают с её стандартным центральным рядом.

Центральные ряды алгебры Ли NCn(К) при необратимом р(Ф)! мы опишем в § 3.

В системе корней Ф ранга больше 1 всегда существует (и единственен, кроме случая Ф типа An) простой корень q такой, что s = р — q & Ф+. Тогда отображение

a(t) : xeq ^ xeq + txes, yea ^ yea (a = q) (2.5)

для всякого t & К есть гиперцентральный автоморфизм высоты 2 алгебры NФ(К) при t = 0, исключая тип Cn.

Для Ф типа Cn (n > 3) имеем s — q & Ф+ и a(t) есть произведение центрального и внутреннего (xs-q(^-сопряжение) автоморфизмов. В этом случае к гиперцентральному автоморфизму высоты 2 приводит отображение

xeq ^ xeq + txes-q, yea ^ yea (a & Ф+ \ {q}, t & К). (2.6)

3. Специальное представление алгебры НСп(К)

Нам потребуется представление из [3] алгебр NФ(К) классического типа. Каждый корень г системы корней Ф классического типа записывается в [3] в виде

г = Рг,тЗ, 1 ^ 3 ^ п, т ^ {0, -1,1}.

Полагая вг = в^т, произвольный элемент из NФ(К) можно записать в виде суммы \\а^|| = ^в^, (а^ € К) и представить Ф+-матрицей \\aiv\\. Для типа Сп это

а1,—1 0-2,-2 0-2,-1 Й21

ап,—п ' ' ' ап, — 2 ап, — 1 ап1 ' ' ' апп— 1.

Нам потребуется (см. [3, Лемма 2])

Лемма 3. Знаки структурных констант алгебры NCn(K) можно выбрать так, что верны равенства:

1) [еу ,е]Г€] = е^, 1 < 3 <г < п, 1 <3< п;

2) [егу ,еА—з ].г—г, п > г> 3 > 1;

3) [ejm, ег,—т] — [eim, е],—т] — еъ—3 , п > г > 3 > т > 1

В общем случае кольцо Ли NCn(K) порождают

{Кец—1 (2 < г < п); Ке^ (1 < г < п)} (3.1)

Через Ти обозначаем идеал алгебры NCn(K), состоящий из С+-матриц Ца^|| с условием аи,0 = 0 при и < г или V > Централизаторы С(Тц) в матричном виде вычисляются по простой формуле. (По определению, Т1,о := Т1——1.)

Лемма 4. Для кольца Ли NФ(К) типа Сп (п > 3) будут верны равенства:

С (Ту) = Т1——1 (-г < 3 <г < п),

С(Т^) = Т1——1 + А2Тпп—1 (-п < 3 < п).

Доказательство. Данные равенства проверяются, с помощью леммы 3, прямыми вычислениями. □

Для алгебры NCn(K) через Т0 обозначим подалгебру, в которой базу образуют всевозможные элементы е^, |V| < г. Далее, полагаем

:= и П То (1 <г< 2п). Лемма 5. В кольце Ли NCn(K), п > 3 имеем следующие равенства Гi = ^ + 2Кег,—г (1 <г< 2п),

i/2<t<n

Zi = Ь2п— + А2^2п—^1 (1 < г < 2п — 1), Z2n—l = Ll,

С) = + А2е^+1, С(Гj) = Tl — — (n—j) — 1 + А2еп, — (п^) (1 < 3 < п).

Кроме того, Т^ — характеристический идеал при г < п.

Доказательство. Идеалы ri, Zi вычисляются индукцией по i с помощью леммы 3. Используя лемму 3, вычисляем централизаторы:

C(rn+j)=T1,j + A2en,j+ь C(rj)=Tl,-(n-j)-1 + A2en,-(n-j) (1 < j < n).

Характеристичность членов нижнего центрального ряда дает характеристичность идеалов T1;j + A2en,j+1, — (n — 1) < j < n. Покажем характеристичность идеалов Tj при i < n. Идеал T1— является максимальным абелевым, так как он самоцентрализуемый, в силу леммы 4. Это же верно и для его образа относительно любого автоморфизма ф & Aut(NФ(К)). Поэтому

Гп С T*-1 С C(Гп) = T1-1 + A2en,1 = T1,-1 + Zn,

Zn = Ln + A2Ln-1, T1-1 = Tf—1 mod Zn. Далее находим

(T2-1 n To) + Tn-1 С Z1 + [T^-1, L1] С Tf-1 С С C((T2- 1 n To) + Tn- 1) С C(Tn- 1) = T1,- 1 + A2Tn,n- 1.

Если сейчас идеал Tf_ 1 не лежит в T1 , -1, то он обязан содержать элемент а = aen, 1 mod T1 ,-1 при a = 0. Это приводит к противоречию:

0 = [e2 ,-1,а] = [e2 ,-1,aen, 1 ]®n,-2.

Отсюда вытекает равенство Tf_ 1 = T1— и характеристичность T1—. Как следствие, получаем характеристичность идеала

T2,-1 = T1,-1 n [T1>-1,L1] + (T1,-1 n Z2n-2).

Идеал T2>1 содержит идеал T2-1 и, по его модулю, есть максимальный абелев идеал подалгебры с базисом {eiv \ i > 2, —i < \v\ < i}. Следовательно, T2>1 и T2-2 = C(T2>1) — характеристические идеалы.

Из описания автоморфизмов кольца Ли NAn^) [4] и изоморфно-сти NC-пК)/T2-2 ~ NAn(K) следует характеристичность идеалов T1;j (1 < j < n — 2) и их централизаторов C(T1 ,j) = T1 ,-j-1.

Характеристичность идеала T,i-1 (1 < i < n) получаем из того, что он содержит характеристический идеал Ti— = T1 — и по его модулю есть абелев идеал. Поскольку T, j = T,i-1 n T1 ,j, то идеалы T, j (i < n) также характеристичны. Лемма доказана. □

4. Гиперцентральные автоморфизмы

Центр и аннулятор кольца Ли NCn(K), по лемме 5, равны Z\ = A2en-—n+l + Ken—n. Легко проверяется, что любым ö £ End(K+), Л £ Hom(K + , A2) и 1 < i < n соответствует центральный автоморфизм

Zi,x,s : xeü/ ^ xeü> + ххещ-п+1 + xgen-n (x £ K, x = 0) (4.1)

(на остальных элементарных матрицах действие тождественное), где 1' = —1 и i' = i — 1 в остальных случаях. Они порождают подгруппу всех центральных автоморфизмов кольца Ли NCn(K), когда 2K = K. С другой стороны, при 2K = 0 любым 2 < i < n соответствует центральный автоморфизм

(i,x,s : xei-i ^ xei-i + xxen,-n+i + xgen-n (x £ K, x = 0), (4.2)

где ö £ End(K+), Л £ Hom(K+, A2) и при i = n также (1 + ö) £ Aut (K+). Очевидно, (j,,\,g (аналогично, ^ , \,g) - автоморфизм алгебры Ли NCn(K) тогда и только тогда, когда

x^ = 1Ax, xg = 1gx (x £ K).

Выявим гиперцентральные автоморфизмы высоты > 1 алгебры Ли NCn (K). Их определяем действием на базисных единицах e^ (образ e^ опускаем, если действие тождественное). Так, каждому элементу t £ K сопоставляем гиперцентральный автоморфизм

enn-1 ^ enn-1 + ten-1, —n+1, (4.3)

совпадающий с автоморфизмом (2.6) из § 2.

При t £ A3 в работе [6] вводился автоморфизм

enn-1 ^ enn-1 + ten-1,—n+2, enn-2 ^ enn-2 + ten-1,—n+l. (4.4)

Гиперцентральный автоморфизм наибольшей высоты получаем для любого элемента t £ A2 по правилу

enn-1 ^ enn-1 + ten—2,—n+3, enn-2 ^ enn-2 + ten—l,—n+3, (4.5)

enn—3 ^ enn—3 + ten—1,—n+2.

Это отображение тождественно на всех порождающих (3.1), кроме enn-\. Продолжение ф линейно на NCn(K) и тождественно на всех элементах eiv базиса Шевалле, кроме enn-i и элементов

e<nn-2 = [e<nn—l, e<nT,— l,n—2]= enn—2 + ten-l,-n+3, eПп-3 = enn-3 + ten-l,-n+2. При i < n — 2 имеем [enn-i, eiv] = 0 и поэтому соотношение

[enn-l,eiv = [enn-l,etv ]

равносильно равенству

[Ьеп-2,-п+3,ете ] = 0.

Когда V = п — 3, получаем г = п — 2 и 2Ьеп-2,-п+2 = 0, т. е. 2Ь = 0. При этом условие ф-инвариантности основных соотношений в случаях г = п,п — 1 также легко проверяется. Аналогично проверяются условия

[впп-2 ,вт\Ф = [вПп-2,вФи] (вг'и = впп-2), [впп- 3 ,вт ]Ф = [впп-3,вф] (в^ = впп-3).

Несложно проверяется, что при Ь € А2 определены автоморфизмы:

впп— 1 ^ впп— 1 + ten-2,-n+2, впп-2 ^ впп-2 + Ьвп-1,-п+2; (4.6)

вп-1п-2 ^ вп-1п-2 + Ьвп,-п+2; (4.7)

вп- 1п-2 ^ вп- 1п-2 + ten,-n+3, вп-1п-3 ^ вп-1п-3 + Ьвп,-п+2; (4.8) вп-1п-2 ^ вп-1п-2 + te■n-1,-n+1, впп-2 ^ впп-2 + Ьвп,-п+1. (4.9)

5. Доказательство основной теоремы

Пусть ф - произвольный автоморфизм кольца Ли NCn(K) (п > 5). Леммы 6, 7, 8 и 9 описывают его действие на порождающих (3.1).

Лемма 6. Всякий автоморфизм ф кольца Ли NCn(K) (п > 5) тождественен по модулю Т2,-2 + Ьп, с точностью до умножения на стандартные автоморфизмы.

Доказательство. Пусть ф — автоморфизм кольца Ли NCn(K) (п > 5). Тогда в силу характеристичности, по лемме 5, идеала Т2-2, получаем, что ф индуцирует автоморфизм на факторкольце NCn(K)/Т2,-2 ~ NAn(K) ~ NT(n + 1Ю.

С учетом характеристичности идеала Т^- и известного описания АпЬ^Ап (K)) [4, Теорема 1], получаем тождественность ф на Kenn-1 (аналогично, на Keiv ^ < г < п) по модулю характеристического идеала Т2,-2 + Тп-2,-1 (соответственно, Т2,-2 + Ьп), с точностью до умножения на стандартный автоморфизм (произведение диагонального, индуцированного кольцевого и внутреннего автоморфизмов). Поэтому для любых х,у € K и подходящих у', у" € K получаем

0 = [хв21 ,увпп-1]Ф = [(хв21)Ф, (увпп-1)Ф] = ху'вп-2,-2 +

+Ху''вп-1,-2 тййТп,-1, то есть (Кепп-С Т2;_2 + Ьп. Таким образом лемма доказана. □

Лемма 7. Автоморфизм ф кольца Ли NCn(K) (п > 5), тождественный по модулю Т2,—2 + Ьп, с точностью до умножения на внутренний автоморфизм, действует на множествах Кеи—1, 2 < г < п — 3 как центральный автоморфизм. Кроме того,

(хепп—1)ф € хепп—1 + Тп—2,—п+2 + Ken—2,—n+3,

(хеп—2п—3)ф € хеп—2п—3 + Тп,—п+2 + Ken—2,—n+2, (хеп—1п—2)ф € хеп—1п—2 + Кеп—1,—п+1 + Тп,—п+3.

Доказательство. Исследуем образы

(хец—1)ф = Цх^Ц 1 <г < п, х €К.

По лемме 3, с точностью до умножения ф на сопряжение элементом из Т2,—2 + Ьп—1, можно считать выполненными равенства:

1(—т = 0, 1 < т<г < п; 1^ = 0, 1 < г < п.

Учитывая перестановочность образа Нх^Н и еф+^ (1 < г < 3 < п),

получаем, что ненулевые элементы матрицы Цх^Ц лежат лишь в г -той и п - той строках.

Когда г < п — 3, имеем хП—т = 0 при всех т = г,п,п — 1, поскольку

элемент (хе,ц,—1)ф перестановочен с элементами еп_ 1т (1 < т < п — 2, т = г).

Из перестановочности хеп—2п—3 с элементами еп—1т (т = 1,2, ...,п — 3) получаем, что хП,—т = 0 при т = г,п,п — 1,п — 2. Аналогично, перестановочность хеп—1п—2 с элементами еи—1 (2 < г < п — 3) дает хП, — 1 =0, 0 < в < п — 3. Перестановочность хепп—1 с элементами ей — 1 (2 < г < п — 2) дает включение

(хепп — 1)ф € хепп — 1 + Тп — 2,—п+2 + Кеп — 2,—п+3.

Далее, при 1 < г < п — 2, х,у € К находим произведение

[(уец+и)ф, (хец—1)ф] = i — 1

1 ^) 1 № 1

= Ухе^+и — 1 + 2^ х1—тУР^+1,—т ± хП,—iУеп,—i —1± т=2

±(хЦ у — у(+11—+1х)е+1,—^

Его (г + 1,т) — координата равна ухт (—г < т < 0), а (п, —г — 1)

(г)

— координата равна хп _у. Пользуясь симметричностью по х,у € К,

(г) (г) т/т «1

получаем равенство ухгт = хут Из него подстановкой х = 1 получаем

(г) п (г) <-> ^ 7>-

у1т = 0 и, аналогично, у,п_г = 0 при всех у € А.

Далее находим, при определенном выборе знаков ±, следующие равенства

(ухвг+ц-1)Ф = [(увг+н)Ф, (хвг—1)Ф] = ухвг+ц-1 ± ух(г—_гвг+1,-г,

(ухвг+2,г)Ф = [(увг+2,г+1)Ф, (хвг+ц)Ф] = ухвг+2,г ± ух^гвг+2,-г-1, 0 = [(а6вг+2,г)Ф, (ухвг+М-1)Ф] = ±а6х(г-гувг+2,-г-1,

(г)

откуда хг_г = 0 при 2 < г < п — 3. Используя ф-инвариантность перестановочности хвц-1 (2 < г < п — 3) с элементом епп-1, получаем также

хп,)-п+1 € А2.

По доказанному, получаем ф действует тождественно на множествах Keii-l при 2 < г < п — 3, с точностью до умножения на внутренний и центральный автоморфизмы, а для случаев г = п — 2,п — 1,п имеем:

(хепп-1)Ф € хвпп-1 + Тп-2,-п+2 + Ken—2,—n+3,

(хвп-2п-3)Ф € хвп-2п-3 + Тп,-п+2 + Ken-2,-n+2, (хвп-1п-2)Ф € хвп-1п-2 + Ken-1,-n+1 + Тп,-п+3.

Лемма доказана. □

Подгруппу гиперцентральных автоморфизмов, порожденных автоморфизмами (4.3)-(4.9), обозначим через V.

Лемма 8. Пусть ф — автоморфизм кольца Ли NCn(K) (п > 5), удовлетворяющий утверждениям леммы 7. Тогда, с точностью до умножения на центральный, внутренний автоморфизмы и автоморфизм из V, ф тождественен на элементах из Keii-1 при 2 < г < п.

Доказательство. В силу выбора ф, для любых х,у,г € K существуют а1,а2,а3,в1 в3,в 71, ...,7а € Еп/З^+) такие, что по модулю Тп,—п выполняются равенства

(хвп-2п-3)Ф = хвп-2п-3 + х"1 вп-п+1 + ха вп,-п+2 + ха вп-2,-п+2,

вп— 1 , - п+1 + ув3 вп, — п+3

(увп-1п-2)Ф = увп— 1п—2 + ув1 вп,—п+2 + ув2 вп-1,-п+1 + увз вп,-п

+ув4 вп,-п+1,

(%впп— 1)Ф - %впп—1 + ^1 вп,—п+1 + вп,—п+2 + вп—1,—п+1 +

+^74 вп— 1,—п+2 + ¿7Б вп-2,-п+2 + г76 в п-2,-п+3.

Для произвольного x Е K по модулю Tn> _n получаем соотношения 0 = [(xen_in_2)ф,еП_ 1n_2] = ±(x1e1 - хв1 )en,_n+i,

0 = [(xenn _ 1)ф, e^_i] = ±2(x1Y1 - xYl)ещ_n ± (x1Y3 - xY3)en,_n+i±

±(x1Y4 - xY4)en,_n+2. Отсюда, при некотором b Е A2 получаем

xYl = 1Y1 x + b, xei = 1в1 x, xY3 = 173x, xY4 = 174x (x Е K). (5.1) Вычислим ф - образы элементов xyen_ 1n_3 и zyenn_2. (xyen_in_з)ф = [(yen _in_2)ф, (xen_2n_з)ф] = xyen_in_з - xyeen,_n+2+

xa2 yen, _ n+i + yxa3 en _ i, _ n+2, (zyenn_2)ф = [(zenn _ 1)ф, (yen_in_2)ф] = zyem_2 + (zye2 - yzY2)en,_n+i -2yzY4en_i,—n+i - yzY5en_i,_n+2 + 2zye4en,_n - zY6yen_i,_n+3.

Пользуясь их инвариантностью при изменениях x,y Е K, сохраняющих произведение xy, получаем при некотором b Е A2

xe4 = x1e4 + b, xa2 = 1a2x, xa3 = 1азx, xe3 = 1взx, (5.2)

xA = lA x пЛ2 - 1 Y2 rp /y>Y5 - 1 rp rpY6 — 1 rp

Jb - -L Jb у Jb - -L Jb у Jb - -L Jb у Jb - -L Jb.

Таким образом, умножением ф на корневые автоморфизмы и центральные автоморфизмы получаем а2 = = 0.

Произведение [(zenn _ 1)ф, (xyenn_2)ф] равно нулю. Его (n, -п)-коор-дината равна

2(xzye2 - zyx12 - xyz12) = 0

при любых x,y,z Е K. Делая подстановки x = z = 1 и z = y = 1, получаем включения

y132 Е A2 + 2 * y * 1Y2, xY2 Е A2 + x(1e2 - x * 172),

которые показывают, что с точностью до умножения ф на корневой автоморфизм (ten_ 1_n+2 - сопряжение) и автоморфизм (4.9) верны равенства в2 = y2 = 0.

С другой стороны, соотношения

0 = [(xen _2n_з)ф, (yenn_ 1)ф] = ±2xa1 yen,_n ± 2xyY6en_2,_n+2, 0 = [(xyenn_2)ф, (zen_in_з)ф] = ±2xyze3en,_n ± xyza3en,_n+i, 0 = [(xen _in_2)ф, (yzenn_2)ф] = ±2yzxe1 en,_n ± 2xyzY5en_ 1,_n+i.

дают ограничения

2Kai = 0, 2Кв1 = 0, 2Kвз = 0, 2K15 = 0, 2KY6 = 0 (5.3)

и условие аз = 0. Вместе с (5.1),(5.2) ограничения (5.3) показывают, что умножением ф на гиперцентральные автоморфизмы вида (4.7),(4.8),(4.5) мы можем добиться условий (в\ = вз = Y6 = 0. Умножая ф на центральный автоморфизм, получаем ai = 0. В силу (5.1),(5.2) и соотношения

0 = [(епп-1)ф, (enn-2)ф] = (-2 * 1Y4 - 1Y4)en,-n+i = -3 * 1Y4en,-n+i,

получаем 1Y4 e A3, то есть 74 = 0, с точностью до умножения ф на автоморфизм (4.4).

С учетом (5.1), (5.2), (5.3), с точностью до умножения ф на автоморфизмы (4.3), (4.6), справедливы условия j3 = 75 = 0. Далее. Умножая ф на произведение корневого и центрального автоморфизмов, получаем равенство 71 = 0. Лемма доказана. □

Лемма 9. Пусть ф - автоморфизм кольца Ли NCn(K) (n > 5), тождественный на Ken-i (2 < i < n). Тогда ф тождественен на Kei,-i при 1 < i < n, с точностью до умножения ф на стандартный автоморфизм.

Доказательство. Из характеристичности идеалов Т1 ,-i и перестановочности при s = —i элементов ei,-i и es+is вытекают включения

(xei,-i)ф E xei,-i + Ken,-i + ^i, (5.4)

(xei,-i)ф E Kei,-i + Ken,-i + ^i (i = 2,..., n — 1).

Эти включения и характеристичность идеала Ti , -i показывают, что верно равенство:

(yei-i)ф = yei,-i + yxen,-i mod Zi, A E End(K+). Используя абелевость идеала T2-2, находим произведение [(ze2i)ф, (yei,-i)ф] = zye2,-i + yxzen,-i.

Симметричность этого произведения, относительно y, z, дает yXl = 1Al y для всякого y E K. Поэтому ф действует тождественно на Kei-1, с точностью до умножения на корневой автоморфизм.

В силу (5.4), существуют Ai,5i E End(K+) такие, что по модулю центра выполняются равенства

(xei -)ф = x&iei,-i + xXien,-i, (2 < i < n — 1, x E K).

Для них получаем

(хег+1——) = [(е^ц)ф, (хеь—i)ф] = х*еш,—i + х^ещ—i — 1 (2 < г < п — 2),

(хеп, — п+1)ф - [(епп — 1)ф , (хеп— 1, — п+1^ф] - х г еп, — п+1 + 2х г еп, — п.

С другой стороны,

(хет,—г)ф = [(хеи—1)ф, (ет,)ф].

По условию леммы, ф тождественен на элементах хец—1,е+1——+1. Отсюда (хе—г)фхе—i и, как следствие, Х,, = 0, 5i = 1 (2 < г < п), с точностью до умножения ф на стандартный автоморфизм. Лемма доказана. □

Окончание доказательства. Из леммы 8 вытекает, что с точностью до умножения на автоморфизмы из V и стандартные автоморфизмы, ф - тождественен на элементах из Кец — 1 (2 < г < п). В силу леммы 9, получаем тождественность ф на элементах из Kei,—i (1 < г < п).

Учитывая, что кольцо Ли NCn(K) порождается (3.1) получаем, что ф раскладывается в произведение стандартного автоморфизма и гиперцентрального автоморфизма из V. Теорема доказана. ■

6. Замечание о случае малых рангах

Заметим, что схема доказательства основной теоремы нарушается при малых п. Строение подгруппы V гиперцентральных автоморфизмов существенно отличается при п = 4 от случая п > 5. При этом, отображения (4.3)-(4.8) определяют автоморфизмы алгебры Ли NCn(К) при п = 4. При п = 3 отображение (4.8), (4.5) не определены, что приводит к необходимости рассматривать этот случай отдельно. Когда п = 2, не определены отображения (4.3)-(4.8).

Как отмечалось выше, автоморфизмы алгебры Ли NCn(K) при п = 2, 3, 4 описаны в [6], когда 2 — обратимый элемент кольца К и Аз = 0.

Далее исследуем автоморфизмы алгебры Ли NC2(K) при 2К = 0.

Алгебра Ли NC2(K) изоморфна алгебре Ли NB2(K). Базу NB2(К) составляют еа,еь,еа+ь и е2а+ь. При 2К = К алгебру NB2(K) порождают элементы еа,еь. Пусть 2К = 0. Тогда минимальное порождающее множество составляют еа,еь,е2а+ь. Непосредственные вычисления показывают, что любой матрице А € СЬ(2, К) однозначно соответствует автоморфизм алгебры NB2(K), переводящий столбец (еа,еь)Т в А(еа,еь)Т и тождественный на Ке2а+ь; обозначаем его через А (множество всех автоморфизмов А обозначим СЬ(2,К)).

По аналогии с основной теоремой доказывается

Теорема 2. Пусть К — ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Если 2К = 0, то группу автоморфизмов алгебры NB2(K) порождают СЬ(2,К), центральные и внутренние автоморфизмы.

Автор статьи выражает благодарность профессору В. М. Левчуку за внимание, проявленное к данному исследованию.

Список литературы

1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли / Н. Бурбаки. - М. : Мир, 1972.

2. Бунина Е. И. Автоморфизмы групп Шевалле некоторых типов над локальными кольцами / Е. И. Бунина // Успехи мат. наук. - 2007 - Т. 62, вып. 5. - С. 143-144.

3. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле / В. М.Левчук // Алгебра и логика. - 1990 - Т. 29, вып. 3. - С. 316-338.

4. Левчук В. М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. Ч. 2. Группы автоморфизмов / В. М. Левчук // Сиб. мат. журн. - 1983 - Т. 24, вып. 4. - С. 543-557.

5. Bunina E. I. Combinatorial and logical aspects of linear groups and Chevalley groups / E. I. Bunina, A. V. Mikhalev // Acta Applicandae Mathematicae. - 2005 - Vol. 85, N 1-3. - P. 57-74.

6. Cao Y. Automorphisms of certain nilpotent algebras over commutative rings / Y. Cao, D. Jiang, J. Wang // J. Algebra. - 2007. - Vol. 17, N 3. - P. 527-555.

7. Carter R. Simple groups of Lie type / R. Carter. - N. Y. : Wiley and Sons, 1972.

8. Gibbs J. Automorphisms of certain unipotent groups / J. Gibbs //J. Algebra -1970 - Vol. 14, N 2. - P. 203-228.

9. Seligman G. B. On automorphisms of Lie algebras of classical type / G. B. Seligman // I-III, Trans. Amer. Math. Soc. - 1959 (I), 1960 (II), 1960 (III). - Vol. 92, 94, 97. - P. 430-448, 452-481, 286-316.

Литаврин Андрей Викторович, аспирант, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79 (e-mail: anm11@rambler.ru)

A. V. Litavrin

Automorphisms of the Nilpotent Subalgebra N^^(K) Chevalley Algebra of Symplectic Type

Abstract. We study automorphisms of the nilpotent subalgebra ЖФ(К) of the Chevalley algebra associated with a root system Ф over associative commutative ring К with the identity. In the present paper the automorphism group Aut (МФ(К)) is described for the symplectic type.

Keywords: Chevalley algebra, nilpotent subalgebra, Lie ring, automorphism.

References

1. Bunina E.I Automorphisms of Chevalley groups of some type over local rings (in Russian). Uspekhi matem. nauk, 2007, vol. 62, no 5, pp. 143-144.

2. Levchuk V.M. Automorphisms of unipotent subgroups of Chevalley groups (in Russian). Algebra i logika, 1990, vol. 29, no 3, pp. 316-338.

3. Levchuk V.M. Connections between the unitriangular group and certain rings. Part 2. Groups of automorphisms (in Russian). Sibirskiy matematicheskiy zhurnal, 1983, vol. 24, no 4, pp. 543-557.

4. Bourbaki N. Groupes et algebraes de Lie. Paris, 1972.

5. Bunina E.I., Mikhalev A.V. Combinatorial and logical aspects of linear groups and Chevalley groups. Acta Applicandae Mathematicae, 2005, vol. 85, no 1-3, pp. 57-74.

6. Cao Y., Jiang D., Wang D. Automorphisms of certain nilpotent algebras over commutative rings. J. Algebra, 2007, vol. 17, no 3, pp. 527-555.

7. Carter R. Simple groups of Lie type. New York, Wiley and Sons, 1972.

8. Gibbs J. Automorphisms of certain unipotent groups. J. Algebra, 1970, vol. 14, no 2, pp. 203-228.

9. Seligman G.B. On automorphisms of Lie algebras of classical type. I-III, Trans.Amer. Math. Soc., 1959 (I), 1960 (II), 1960 (III), vol. 92, 94, 97, pp. 430-448, 452-481, 286-316.

Litavrin Andrey Viktorovich, Postgraduate, Siberian Federal University, 79, Svobodny, Krasnoyarsk, 660041 (e-mail: anm11@rambler.ru)