CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 2, С. 37-46
УДК 512.554
НИЛЬТРЕУГОЛЬНЫЕ ПОДАЛГЕБРЫ АЛГЕБР ШЕВАЛЛЕ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
В. М. Левчук, А. В. Литаврин, Н. Д. Ходюня, В. В. Цыганков
Владимиру Амурхаповичу Койбаеву к его шестидесятилетию
Рассматриваются вопросы описания идеалов и автоморфизмов нильтреугольных подалгебр алгебр Шевалле классических типов над полем и их нефинитарных обобщений, а также автоморфизмы присоединенных групп. Лиев идеал алгебры ИТ(п, К) нильтреугольных п х п матриц (лиев тип Ап-1) охарактеризован через базис табором констант основного поля К. Когда К = ОЕ(д), это дает комбинаторное выражение числа лиевых идеалов и, в случае простого д, также числа нормальных подгрупп унитреугольной группы иТ(п, д).
Ключевые слова: алгебра Шевалле, нильтреугольная подалгебра, нефинитарные обобщения, максимальные абелевы ИД6Ш1Ы, автоморфизмы, присоединенные группы.
1. Нильтреугольные подалгебры алгебр Шевалле и их финитарные обобщения
Алгебру Шевалле над полем К, ассоциированную с системой корней Ф, характеризуют базисом Шевалле, состоящим из элементов ег (г £ Ф) и базы подалгебры Картана [1, §4.4]. Подалгебру ЫФ(К) с базой {ег : г £ Ф+} называем нильтреузольной. Для типа Ап-\ ее отождествляют с ассоциированной алгебр ой Ли алгебры ЫТ (п, К) нильтреугольных (п х п)-матриц над К, т. е. с базой из матричных единиц {ец : 1 ^ 3 < г ^ п}. Хорошо известно, что отображение а ^ е+а (е — единичная матрица) дает изоморфизм присоединенной группы (ЫТ(п, К), о), а о в = а + в + ав, на унитреугольную группу иТ(п, К).
В [2] выявились тесные связи автоморфизмов, а также нормальных подгрупп группы иТ(п, К) и идеалов кольца Ли ЫТ(п, К) над любым ассоциативным кольцом К с единицей. В [3] они изучались для более общей алгебры К = ЫТ(Г, К) финитарных нильтреугольных Г-матриц ||ац ||гцег над К с произвольной цепью (линейно упорядоченным множеством) Г индексов и отношением порядка <. Базу здесь дают Г-матрицы ец (г, 3 £ Г 3 < г) с обычными правилами сложения и умножения матричных единиц, в частности, еиуец = ещц при V = г, а остальные произведения равны нулю. Построенная ассоциативная алгебра локально нильпотентная и поэтому радикальная, т. е. присоеди-(К, о) иТ(Г, К)
В [2] и [3] установлено следующее структурное соответствие.
© 2015 Левчук В. М., Литаврин А. В., Ходюня Н. Д., Цыганков В. В.
Теорема 1.1. Идеалы кольца Ли Л(К), ассоциированного с кольцом К = NT(Г, К), и только они есть нормальные подгруппы присоединенной группы С(К) = (К, о).
Группы автоморфизмов Аи К = Аи Л(К) П Aut С(К), Aut Л(К) п Aut С (К) описаны в [2] при 3 < |Г| < то и в [3] (взаимосвязано с максимальными абелевыми идеалами), когда К — кольцо без делителей нуля. В частности: если в цепи Г нет первого или последнего элемента, то группы автоморфизмов А^ Л(К) и А^ С (К) совпадают с Аи К и все автоморфизмы стандартны.
Г
Г
С(ЖТ(Г, К)) является локально нилыготентной группой, а при К = (р) также локально конечной р-группой. В то же время, она имеет тривиальный центр, если в цепи Г нет первого или последнего элемента, и совпадает с коммутантом для любой плотной цепи Г для цепи рациональных чисел отрезка [0,1] и К = (р) это отмечает И. Д. Адо [5] и, аналогично, Д. Маклэйн [6] строит пример характеристически простой локально ниль-потентной группы. Другие примеры указал в 1994 г. Ю. И. Мерзляков [7].
Унипотентный радикал Щ = ЩФ(К) подгруппы Бореля группы Шевалле типа Ф над К с помощью канонической формы элементов в [8] представлен в NФ(К) присоединенной группой. Развитие методов [2] позволило описать автоморфизмы унипотентных
и
проблемы описания Аи Щ для конечного поля К это — проблема 1.5 из обзора [9].
Существенность описаний автоморфизмов для решения теоретико-модельных вопросов отмечалась в [10] и [11]. Применимость методов [8] в описаниях автоморфизмов колец Ли NФ(К) показана там же для типа В4; другие случаи изучались в [12] и [13]. В целом, вопрос описания А^ NФ(К) остается нерешенным (см. далее §2).
Алгебры Ли NФ(К) классических типов Бп, В п и Сп представлены в [8] специальными матрицами с базисом из матричных единиц е^, соответственно,
—г < V < г ^ п, 1 ^ |г>| < г ^ п, —i ^ V < г ^ п, V = 0. (1)
Это естественно приводит [14] к финитарным обобщениям алгебр N Ф(К) тип а Бр, Ср и Вр групп и классических типов, вопросам перенесения теоремы 1 и описания авто-
и
изучены [15].
ГК
ное кольцо GNT(Г, (К), когда Г = Я (+) — цепь целых чисел > 0. (Аналогично, получаем Г
пых групп изучает Р. Словик ([16] и др.). Присоединенная группа кольца GNT(Г, (К)) изоморфна группе ЩТ^(К) из [16] и к ее исследованию также применимы методы [3].
В §4 устанавливается канонический базис произвольного лиева идеала алгебры NT (п, К) над пол ем К и исследуется для лиева типа Ап записанная в [17] задача о комбинаторном выражении числа всех идеалов алгебры N(д)) классического типа.
2. Автоморфизмы нильтреугольных алгебр классического типа
Известно [1], что любой элемент 7 £ Щ = ЩФ(К) однозначно записывается произведением корневых элементов хг (7^) (г £ Ф+), расположенных согласно фиксированному (произвольно) упорядочению корней. Присоединенную группу ^Ф(К), о) и изоморфизм
п группы иФ(К) на нее получаем, как и в [8], полагая
п(т) = 1тег (7 € иФ(К)), геФ+
а о в = п(п-1 (а)п-1 (в)) (а, в € NФ(К)).
В этом параграфе методы [8] переносятся к описанию автоморфизмов колец Ли N Ф(К).
К основным автоморфизмам (их произведения называем стандартными автоморфизмами) кольца Ли NФ(К) и унипотентных групп и относим центральные (тождественные по модулю центра) автоморфизмы, внутренние и диагональные автоморфизмы
К
Граф Кокстера систем корней типа Ап и Вп допускает симметрию 2-го порядка.
К
т порядка 2 кольца Ли NФ(К) и присоединенной группы. Используем также
Определение 2.1 [14]. Автоморфизм группы или кольца Ли называют гиперцентральным высоты ш, если от является внешним по модулю (т — 1)-го гиперцентра и тождественным по модулю ш-го гиперцентра.
Заметим, что в алгебрах Ли NФ(К) классических типов Вп, Вп ^ Сп база из матричных единиц е^гц с индексами (1), соответственно, получена в [8] переобозначением индексов из элементов базы Шевалле. Пользуясь теоремой Шевалле о базисе, получаем [8, лемма 2].
Лемма 2.2. Знаки структурных констант базиса Шевалле можно выбрать так, что ец * = е^гц и, кроме того, выполняются следующие равенства.
Ф = Вп, Вп : ецц * ег-ц = ег-ц (г > ^ >| V |> 0);
Ф = Сп : ецт * ег,-т = егт * еЦ,-т = ег,-Ц (г > ] > т ^ 1);
Ф = Вп : его * ецо = 2ег,-ц, Ф = Сп : ец * ег-ц = 2ег- (г > ] ^ 1).
Каждый элемент алгебры Ли NФ(К) записывается в виде ^ агцегм и представляется Ф+-матриц ей ||агц || соответствующего тип а. Так, В+-матрица имеет вид
а1о
а2;-1 а2о а21
ап,-п+1 ■ ■ ■ ап,-1 ап0 ап1 ■ ■ ■ ап,п-1'
Исключая нулевой столбец, получим В+-матрицу. С+-матрица имеет вид
а1,-1 а2,-2 а2,-1 а21
ап,-п ■ ■ ■ ап,-2 ап,-1 ап1 ■ ■ ■ апп-1'
Пусть Тгц для каждой матричной позиции (¿V) есть идеал в NФ(К), состоящий из всех матриц с нулевыми строками с номерами < г и столбцами с номерами > V. По определению, Т1ц — совокупность матриц с нулевыми столбца ми с номерами > V.
Пользуясь предыдущей леммой, индукцией по г неодим члены 2 гиперцентрального или верхнего, а также нижнего центральных рядов кольца Ли NФ(К), причем для
К
лизаторы являются характеристическими идеалами. Известно, что при 2К = К верхний и нижний центральные ряды кольца Ли NФ(К) совпадают со стандартным центральным рядом Ь = N Ф(К) 3 Ь 3 ..., вде Ь — сумма в сех Кег для корней вы соты ^ %.
Подробнее рассмотрим тип Сп. Аннулято р в К элемента ¿обозначим через Апп^).
Лемма 2.3. Для кольца Ли NCn(K) (п ^ 3) верны равенства:
С(т,) = Г1,-,--1 (—г < 3 < г < п), С(Тп,) = Т1—-1 + Апп(2) ■ Тпп-1 (—п < 3 < п);
2 = ¿2п—г + Апп(2) ■ Ь2п-г-1 (1 ^ г < 2п — 1), Я2п-1 = ¿1.
Кроме того, все идеалы Т,, —п < 3 < г < п, являются характеристическими.
Далее замечаем, что фактор-кольцо NCn(K)/Т2,—2 изоморфно кольцу Ли NAn(K), так что его автоморфизмы описаны в [2]. Тем самым, описание А^ NCn(K) редуцируется к гиперцентральным автоморфизмам, которые также описаны явно.
К
кий автоморфизм кольца Ли NФ(К) симплектического типа Сп (п > 4) есть произведение стандартного и гиперцентрального высоты ^ 5 автоморфизмов.
Неулучшаемость оценки в теореме дает при любом ¿ £ Апп(2) следующий автоморфизм алгебры NCn(K), тождественный на всех матричных единицах, кроме
епп— 1 ^ епп—1 + ¿еп-2,-п+3) епп—2 ^ епп—2 + ¿еп-1,-п+3) ^^
епп—3 ^ епп—3 + ¿еп—1,—п+2.
Автоморфизмы алгебры Ли NCn(K) были описаны ранее [12] при условии 2К = К и Апп(3) = 0; высота гиперцентральных автоморфизмов в этих случаях ^ 3.
Остаются неизученными автоморфизмы введенных в [14] финитарных обобщений колец Ли NФ(К) типов Бр, Ср и Вр с произвольной цепью Г. Для их описания эффективно использовать методы [3] и [15], см. также [18], [14, теорема 10], [19] и [20].
3. Нефинитарные обобщения
Если в ассоциативном кольце К = (К;+, ■) заменить умножение лиевым а * в = ав — ва то получают ассоциированное кольцо Ли Л(К) = (К; +, *).
К0 присоединенного умножения а о в = а + в + ав- Кольцо К называется радикальным, (К, о) а £ К
а + а' + аа' = а' + а + а'а = 0
для некоторого элемента а' £ К, называемого квазиобратным к а.
КГ рядоченное множество или цепь. Ясно, что совокупность GNT(Г, К) всех Г-матриц а = На, |к,еГ с условием нильтреугольности (т. е. а, = 0 при % ^ 3) есть аддитив-
Г
случае не определено, так как в кольце не определены суммы с бесконечным числом ненулевых слагаемых.
Однако, в случае цепи Г = И:= {1, 2, 3, ■ ■ ■ } натуральных чисел обычное умножение матриц корректно и получаем кольцо GNT(Г, К) Э NT(Г, К). Более того, справедлива
Лемма 3.1. Кольцо К = GNT (И {+},К) — радикальное и не является ниль-кольцом.
< В кольце GNT (И {+},К) матрицы 11 агц || с услови ем ац = 0 при г — 3 <к образуют идеал Ьк- Получаем убывающий центральный ряд
¿1 = GNT (И {+\К) Э Ь2 Э---Э Ьк Э ■■■, П™=1Ьк = 0, Ьк * Ь т С Ьк+т■
Все фактор-алгебры Ь^^/Ьк (к = 1, 2, 3, ■ ■ ■) являются нильпотентными и, следовательно, радикальными. Выберем а = ||ац|| € Ьь Чтобы построить матрицу 7 = ||сц||, квазиобратную к а, достаточно определить ее к-ую диагональ {сц : г — 3 = к} для каждого номера к = 1, 2, ■ ■ ■ Пусть сц = — ац при г —з = 1 и при любом к ^ 1 первые к — 1 диагоналей матрицы 7 выбраны так, что
к-1
7 = а)т = —а + а2 — а3 +-----+ (—а)к шоё Ьк+1, к = 1,2,...
т=1
к
номерами, то указанный алгоритм построения дает матрицу 7 = \\сц || € ¿1. (Коррект-кт-=11 (—а) т
с конечным числом ненулевых слагаемых.)
С другой стороны, при любом к = 1, 2,... фактор-алгебры Ь1/Ьк+1 нильпотентны и а о 7 = 7 о а = 0 шоё Ьк+1. Таким образом, 7 — квазиобратный элемент к а, кольцо Ь1 — радикальное и, например, его элемент ек+1к та является нильпотентным. >
Определение идеалов (г^ € Иг > V) из §2 корректно и для алгебры NT(И{+},К). Аналогично определяем идеалы GNij алгебры GNT(И{+},К).
Пусть Н максимальный абелев идеал кольца Ли GNT(И,К) т номер ненулевой строки для всех матриц из Н, скажем, с ненулевой (ш, 3)-проекцией
Нтц
(Ке3т * Н) * Кецц = (КНтц К )е5ц С Н С С ((КНтц К )е5ц), 1 < V <3 <т<з,
для кольца К без делителей нуля находим Н С GNlm-l П GNT(И, КНтцК) и, более того, Н С GNmm-1. По аналогии с [3], получаем
Теорема 3.2. Пусть К — кольцо без делителей нуля. Идеалы г = 1, 2, 3,... ,
исчерпывают все максимальные абелевы идеалы в кольцах К = GNT(И, К) и Л(К) а также все максимальные абелевы нормальные подгруппы присоединенной группы.
Показывается, что в условиях теоремы группы автоморфизмов А^Л(К) и Аи G(R) совпадают с Аи К и всякий автоморфизм является произведением сопряжения обратимой треугольной -матрицей на автоморфизм, индуцированный автоморфизмом основного кольца К. Р. Словик [16] исследовала Аи G(R) в случае поля |К| > 2.
4. Канонический базис лиева идеала алгебры NT(п, К)
В этом параграфе устанавливается (первым и третьим авторами) канонический базис произвольного лиева идеала алгебры NT (п, К) над пол ем К и исследуется для лиева типа Ап записанная в [17] задача о комбинаторном выражении числа всех лиевых идеалов.
Частичное упорядочение на матричных позициях вводим, полагая (и, V) ^ (г,^), если 1 ^ V ^ 3<г ^ и ^ п. Выделим идеалы
Т, = Т (г,3 ):= ^ Ке™, З(г,3'):= Ке„„.
п
ричных позиций вида
^ = К%1 ,31), (¿2,32), . . . , ,3т)},
31 <32 <...<3т, п < г2 <...<%ш ^ п, 3г (1 ^ ¿ ^ т).
Множеством углов непустого ненулевого подмножества Н С NT(п, К) называем множество ^ = ^(Н) матричных позиций такое, что
Н С т(^):= £ Т(г,3),
(ы)е^
но при любой замене Т(г, 3) на ^(г,3) в сумме включение нарушается.
Лиевы идеалы кольца NT(п, К) (т. е. идеалы ассоциированного кольца Ли) над К
К
Н кольца NT(п, К) является его лиевым идеалом тогда и только тогда, когда:
а) Ке, С Н для любой позиции (г,3), лежащей на или иод лестницей ^(Н); исключение могут составлять лишь углы лестницы ^(Н) и, кроме того, позиции (в, к) ж (к + 1, т) в том случае, когда позиции (в, к + 1) и (к, т) одновременно являются углами;
б) если (в, к + 1) и (к, т) — углы лестницы ^(Н), то либо Н Э Ке&+1)ТО + Ке5&, либо отображение р : ^ а5,к+1, Ца™ Н £ Н есть изоморфизм аддитивной группы Н^т всех (к, т)-координат матриц из Н на Нк+1,т и Н Э {хаек+1>т, — а^хе5& : х £ К, а £ Нкт}; в случае, когда К — поле, р : а ^ са а £ для некоторого с = 0 из К.
Определение 4.3. Аддитивную подгруппу 5 пространства строк длины т над
полем (или телом) К называем собственной, если при любом г, 1 ^ г ^ т, в 5 существует г
Чтобы задать произвольный идеал Н = 0 кольц а NT (п, К) над тел ом К, зафиксируем ^(Н) и собственную подгруппу (подпространство, когда Н — идеал алгебры) 5 т-ой декартовой степени аддитивной группы тела К. Для ) := ^Ф(%,3) полагаем
Н(^, 5) = ) + {а^,, + а2е»2,,2 +-----+ ате»т: (а1, а2,..., ат) £ 5}. (3)
Согласно [23, теорема 9] (для алгебр) и [24, следствие 4.2] справедлива
Теорема 4.4. Всякий ненулевой идеал кольца NT(п, К) над полем К однозначно представляется идеалом вида Н (^, 5) при подходящем выборе множества ^ углов степени п и собственной аддитивной подгруппы 5 в Рт • При этом различным нарам (^, 5) соответствуют различные идеалы.
Для построения идеалов в [23, §7] введено понятие матричной лестницы.
Определение 4.5. Матричной лестницей с углами & назовем линию (обозначаем также через проходящую в п х п-матрице, как в квадрате с п2 точками, следующим образом: по I1-строке от 1-го столбца до позиции (¿1,31), от нее по ^-му столбцу до ¿2-й строки и по ней до (¿2,32) И Т. Д., ПО ¿т~Ш СТрОКб ОТ 3т— 1~ГО Столбца ДО дрз^щщ (%т, 3т); от нее по ]Ш-ЩТ столбцу до п-ой строки.
( 0
\
(¿1
о
(¿2,32)
(¿т,3т )
V
0 /
Для описания идеала Н = 0 кольца МТ(п, К) достаточно указать взаимосвязь элементов матриц из Н в углах лестницы &. Для лиевых идеалов этого недостаточно.
Н МТ(п, К)
с фиксированным множеством углов & = &(Н) степени п. Угол (к, у) в Н назовем связанным, если Q(k,у) С Н и либо в Н существует угол (в, к + 1) и Q(s,k + 1) С Н (случай (к + 1, к)-свлзанной пары углов), либо существует угол (у —1,3) и Q(v —1,3) С Н.
Отметим, что случай ассоциативного идеала Н алгебры МТ(п, К), т. е. когда Q(L) С Н, изучен в 4.2. Поэтому далее Q(L) С Н, так что по теореме 4.2, множество п(Н) всех номеров к с (к + 1, к)-связанной парой углов (к, у (к)) и (в (к), к + 1) в Н непустое и п(Н) С {2,3,...,п — 2} (п ^ 4). Обозначим через Q*(L) подалгебру, базис которой составляют матричные единицы еии £ Н такие, что (и, у) > (¿,3) хотя бы при одном (¿,3) £ &■ Из теоремы 4.2 легко вытекает
Лемма 4.6. Пусть Н — лиев идеал алгебры МТ(п,К) и Q(L) С Н. Тогда база подалгебры Q* (&) дополняется до базы в Q(L) П Н однозначно определенными элементами
вк = ек+1,ф) — Ькез{к),к £ Q*(L) + вк+1,к * Н (к £ п(Н)). (4)
Произвольный элемент а £ Н представляется однозначно по модулю Q(L) П Н в виде
а
^ ^ аке.з(к),к + аи'юеп'а-
кега(я)
(5)
0
0
Выберем угол (¿1,31) в Н с наименьшим номером 31 ^ 1; через Н1 обозначим подалгебру матриц в Н с нулевой (¿1,31 )-ой координатой. Выберем по лемме 4.6 базисный элемент а1 = ег1^1 + а1 £ Н вида (5) так, что а1 £ Н1. Если пересечение & П &(Н1) не пустое, то угол (¿2,32) го него выберем с наименьшим номером 32 > л. Через Н2 обозначим подалгебру матриц в Н1 с нулев ой (¿2,32)-координатой. Выберем по лемме 4.6 базисный элемент а2 = ег2¿2 + а'2 £ Н1 вида (5) так, что а'2 £ Н2, и т. д.
На каком-то ¿-ом шаге получим матрицу аъ = е^ + ... из 1 с углом (ц,]г) £ & П & (Н^) такую, что подпростр анство матриц из Нъ_1 с нулев ой (ц,3 )-координатой
лежит в ) П И. Не теряя общности, считаем, что з'2-ая координата вектора а1 нулевая, ..., ^-ые координаты век торов а1,..., а^— нулевые. По лемме 4.6 получаем в И элементы
а = ^ агк^(к),к + ^ аЦ^е™, 1 ^ г ^ ¿. (6)
к€га(Я)
Ясно, что И + ) — идеал алгебры ЖТ(п,К). По теореме 4.2, он записывается в виде И(^, 5) из (3), где 5 — собственное подпространство т = | и S = ¿,
1 ^ 4 ^ т. Каждому из векторов а1, а2, ..., а^ в базе го матричных единиц е^ ((и, V) £ ^) с фиксированным упорядочением, определенным нашим построением, соответствует координатная строка из Рт (см. [21, §2]):
Ы = (1
[а2] = (0,..., 1, а22+1,..., а2з-1,0, а2з+1,..., а^—,0, а2+1,..., а^,
н = (О,..., О, l,ait+1,...,ат-1 ,ат).
Такая база в S единственна и в [21, §2] она названа канонической базой собственного ¿-мерного подпространства S. Согласно [21], каждый из j2 — 2 коэффициентов а2, йз, ..., а]2_i независимо пробегает K \ {0}. Каждая из j3 — j2 — 1 тар (а1, а2) при j2 < i < j3 независимо пробегает значения в декартовом квадрате (K, K), кроме нулево-
(О, О) S
Аналогично устанавливаем возможные значения всех координат с номерами ^ Наконец, при каждом i, < i ^ m, значение набopa (а1, а2,..., a¿) может быть любым из ¿-й декартовой степени (K, K,... , K), исключая нулевое.
Каноническую базу лиева идеала в И, учитывая лемму 4.6, дают элементы a¿ из (6), матричные единицы euv G И такие, что (u, v) > (i, j) хотя бы при одном (i,j) G L и |п(И)| элементов вк из (4). В силу леммы 4.6, указанные элементы euv и вк полностью определяются выбором элементов a¿, и, следовательно, не влияют на перечисление лиевых идеалов.
Заметим, что любым двум (k + 1, к)-связанным углам в И соответствуют два пропорциональных столбца в (¿ х то)-матрице, составленной из строк [ai],..., [at]. В частности, если j2 столбец пропорционален как ому-либо ¿-ому столбцу, то ¿ > j2 и aj = 0, т. е. приходим к уменьшению на единицу числа параметров элемента a¿, 1 ^ i ^ ¿, i = 2.
Для каждого элемента a¿ из (6) любой из |п(И)| коэффициентов 7i\ принимает раз-K
Таким образом, мы получаем однозначно определенный предыдущими условиями базис лиева идеала И, состоящий из всех элементов a¿, вк и всех матричных единиц идеала Q*(L). Его называем каноническим базисом лиева идеала И.
При K = GF(q) в [21] найдено число собственных ¿-мерных подпространств и доказана
Теорема 4.7. Число Л(п, q) ненулевых идеалов алгебры NT(n,q) равно
l"yí/n\/ в \ Д у. (g* - 1)™-* í=f n^ Ira/Ira+1/^ ^ (q — 'J-ilq-iJ
m=1 4 7 4 7 t=1 1=ji<j2<...<jt<m vy y fc=2 4 y 7
Канонические базисы лиевых идеалов позволяют записать явно комбинаторное выражение числа П(п, q) всех лиевых идеалов кольца NT(n, K). Значения П(п, q) для малых n ^ 6 указывает следующая таблица.
Таблица 1
Перечисление лиевых идеалов NT(n, q)
n tt(n,q)
2 1
3 q + 3
4 3 q2 + Aq + 7
5 q4 + 7q3 + Uq2 + 9q + 10
6 2 q6 + 5 q5 + 20 q4 + 46 q3 + 27 q2 + 16 q + 15
В общем случае явную формулу числа 0,(п,ц) дает Теорема 4.8. Число идеалов для данной лестницы & равно
п(.&) ш_з ( + 1)ш_з_п ъ_1 пк 1
Е(«-ч*Е£ ■ П^тгу(')
5=0 t=1 1=Л <¿2 <...<?'* <ш_ 5 ^ У к=2
где п(&) — число всех (к + 1, к)-связанных пар углов в &.
Литература
1. Carter R. Simple groups of Lie type.—N. Y.: Wiley and Sons, 1972,—364 p.
2. Левчук В. M. Связи уиитреугольиой группы с некоторыми кольцами // Алгебра и логика.—1976.— Т. 1, № 5.-С. 558-578.
3. Левчук В. М. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоединенные группы.—Мат. заметки.—1987.—Т. 42, № 5.-С. 631-641.
4. Мальцев А. И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Мат. сб.— 1949.—Т. 25, № З.-Р. 347-366.
5. Адо И. Д. О нильпотентных алгебрах и р-группах // Докл. АН СССР.—1943.—Т. 40, № 8.—С. 339342.
6. McLain D. Н. A characteristically-simple group // Proc. Cambridge Phil. Soc.—1954.—Vol. 50.—P. 641642.
7. Мерзляков Ю. И. Эквиподгруппы унитреугольных групп: критерий самонормализуемости // Докл. РАН.—1994.—Т. 339, № 6.-С. 732-735.
8. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика.— 1990.—Т. 29, № З.-С. 315-338.
9. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук.—1986.—Т. 41, № 1 (247).-С. 57-96.
10. Videla С. R. On the Mal'cev correspondence // Proceed. AMS.-1990.-Vol. 109, № 2.-P. 493-502.
11. Левчук В. M. Теоретико-модельные и структурные вопросы алгебр и групп Шевалле // Сер. Мат. форум. Т. 6. Группы и графы.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2012.—С. 75-84.—(Итоги науки. Юг России).
12. Cao Y., Jiang D., Wang D. Automorphisms of certain nilpotent algebras over commutative rings // J. Algebra.-2007.-Vol. 17, № 3.-P. 527-555.
13. Литаврин А. В. Автоморфизмы нильпотентной подалгебры NФ(K) алгебры Шевалле симплекти-ческого типа // Изв. ИркГУ. Сер. мат-ка.—2015.—Т. 8, № 2,—С. 43-58.
14. Levchuk V. М. Chevalley groups and their unipotent subgroups // Contemp. Math., AMS.—1992.— Vol. 131, part l.-P. 227-242.
15. Levchuk V. M., Suleimanova G. S. Automorphisms and normal structure of unipotent subgroups of finitary Chevalley groups // Proceed. Steklov Inst. Math.—Pleiades Publ., Ltd, 2009.—Vol. 3.—P. 118127.
16. Slowik R. Bijective maps of infinite triangular and unitriangular matrices preserving commutators // Linear and Multilinear Algebra.-2013.-Vol. 61, № 8.-P. 1028-1040.
17. Egorychev G. P., Levchuk V. M. Enumeration in the Chevalley algebras // ACM SIGSAM Bulletin.— 2001 "—Vol. 35, № 2.—P. 439-452.
18. Горчаков К). М. Группы с конечными классами сопряженных элементов.—М.: Наука, 1978.—119 с.
19. Левчук В. М., Мартынова Л. А. Нормальное строение унипотентных подгрупп групп Шевалле и идеалы ассоциированного кольца Ли // Конструкции в алгебре и логике.—Тверь: ТГУ, 1990.— С. 60-66.
20. Мартынова Л. А. Нормальное строение и автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиевых типов: Дисс.... к. ф.-м. н.—М.: МГУ, 1994.
21. Кривоколеско В. П., Левчук В. М. Перечисление идеалов исключительных нильпотентных матричных алгебр // Труды ИММ УрО РАН.—2015.—Т. 21, № 1,—С. 166-171.
22. Егорычев Г. 17. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм.—Новосибирск: Наука, 1977.—271 с. Egorychev G. Р. Integral represantation and computation combinatorial sums.— Americ. Math. Soc., 1984.-300 p.—(Transi, of Math. Monogr. Vol. 59); 2-d ed. in 1989.
23. Dubish R., Perlis S. On total nilpotent algebras I ! Amer. J. Math.-1951.-Vol. 73.-P. 439-452.
24. Левчук В. M. Подгруппы унитреугольной группы // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1974.—Vol. 38, № 6.-Р. 1202-1220.
25. Egorychev G. P., Kuzucuoglu F., Levchuk V. M. Enumeration of ideals of some nilpotent matrix rings // J. Algebra and Its Applications.-2013.-Vol. 12, № 1.-1250140 [11 pagesj.
Статья поступила SO апреля 2015 г.
Левчук Владимир Михайлович Сибирский федеральный университет,
заведующий кафедрой алгебры и математической логики РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 E-mail: vlevchuk@sfu-kras. ru;
Литаврин Андрей Викторович Сибирский федеральный университет, аспирант кафедры алгебры и математической логики РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 E-mail: anmll@rambler.ru;
Ходюня Николай Дмитриевич Сибирский федеральный университет, бакалавр кафедры алгебры и математической логики РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 E-mail: nkhodyunyaOgmail. com;
Цыганков Виталий Владимирович Сибирский федеральный университет, аспирант кафедры алгебры и математической логики РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 E-mail: tsygankov@partner.tiu.ru
NILTRIANGULAR SUBALGEBRAS OF THE CIII AALLEY ALGEBRAS AND THEIR GENERALIZATIONS
Levchuk V. M., Litavrin A. V., Hodyunya N. D., Tsigankov V. V.
We study some problems concerned with ideals and automorphisms of niltriangular subalgebras of classical Lie type Chevalley algebras over a field K and of their non-finitary generalizations and also automorphisms of adjoint group. We characterize (for Lie type An-i) every Lie Weal of algebra NT(n,K) of all niltriangular n x n matrices by a selection of constants from K. When K = GF(q), this gives a combinatorial expression of number of Lie ideals and, for a simple q, also the number of normal subgroups in unitriangular group UT(n, q).
Key words: Chevalley algebra, niltriangular subalgebra, non-finitary generalizations, maximal abelian ideals, automorphisms, adjoint group.
