CC BY
23
УДК 512.554
Вестник СибГАУ Том 17, № 2. С. 324-327
АВТОМОРФИЗМЫ НИЛЬТРЕУГОЛЬНЫХ ПОДКОЛЕЦ АЛГЕБР ШЕВАЛЛЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ТИПОВ
В. М. Левчук*, А. В. Литаврии
Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: [email protected]
Алгебра Шевалле над ассоциативно коммутативным кольцом К с единицей характеризуется базисом Ше-валле, который сопоставляют каждой неразложимой системе корней Ф. Все элементы er (r е Ф+) базиса Шевалле дают базис подалгебры МФ(К), называемой нильтреугольной. Автоморфизмы алгебры МФ(К) описали Y. Cao, D. Jiang и D. Wang (J. Algebra, 2007) при К = 2К для лиевых типов Bn, Cn или F4 и при близких ограничениях для других типов. Их описание использует только нестандартный автоморфизм Гиббса; в нашей терминологии это гиперцентральный автоморфизм высоты 2 или 3 (для типа Су). Наша главная цель состоит в описании группы автоморфизмов А кольца Ли МФ(К).
Алгебра МФ(К) лиева типа An-1 представляется алгеброй Ли, ассоциированной с алгеброй NT(n, К) всех нильтреугольных n х n матриц над К. Группы автоморфизмов кольца NT(n, К) и ассоциированного с ним кольца Ли (т. е. A типа An) описал ранее В. М. Левчук (1983). Группу автоморфизмов A для типа Cn недавно описал А. В. Литаврин.
В настоящей работе мы находим нестандартные автоморфизмы алгебр NФ(K) ортогональных типов, когда условие К = 2К нарушается. Оказывается, когда аннулятор элемента 2 в К ненулевой, наибольшая высота гиперцентральных автоморфизмов зависит от лиева ранга. Кроме того, мы находим автоморфизмы алгебры NФ(K) типа Dm которые нестандартны по модулю второго члена нижнего центрального ряда и порождают подгруппу в A, изоморфную определенной подгруппе S в SL(2, К), в частности, S = SL(2, К) при 2К = 0. Стандартные автоморфизмы вместе с построенными нестандартными автоморфизмами порождают всякий автоморфизм алгебры NФ(K). Для всех классических типов лиева ранга > 4 наши результаты показывают, что группа автоморфизмов A является произведением подгрупп центральных и индуцированных кольцевых автоморфизмов и группы автоморфизмов алгебры NФ(K). Используются разработанные ранее методы, в частности, специальное представление алгебр NФ(K) классических типов. Результаты могут быть использованы при разработке криптографических методов.
Ключевые слова: алгебра Шевалле, нильтреугольная подалгебра, автоморфизм кольца Ли, высота гиперцентрального автоморфизма.
Sibirskii Gosudarstvennyi Aerokosmicheskii Universitet imeni Akademika M. F. Reshetneva. Vestnik Vol. 17, No. 2, P. 324-327
AUTOMORPHISMS OF NIL-TRIANGULAR SUBRINGS IN CHEVALLEY ALGEBRA OF ORTHOGONAL TYPE
V. M. Levchuk*, A. V. Litavrin
Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: [email protected]
Any Chevalley algebra over an associative commutative ring К with the identity is characterized by Chevalley base that correspondents to each indecomposable root system Ф. All elements er (r e Ф+) of Chevalley base give a base of subalgebra NФ(K) which is said to be nil-triangular. Automorphisms of algebras NФ(K) were described by Y. Cao, D. Jiang and D. Wang (J. Algebra, 2007) at К = 2K for Lie type Bw Cn or F4 and under similar restrictions for other types. Their description uses only non-standard Gibbs's automorphisms; in our terminology it is a hypercentral automorphisms of height 2 or 3 (for type Cy). Our main purpose is to describe the automorphism group A of the Lie ring NO(K).
The algebra N0(K) of Lie type An-1 can be represented as Lie algebra which associated to the algebra NT(n, K) of all nil-triangular n x n matrices over K. The automorphism group of the ring NT(n, K) and of its associated Lie ring (i. e., A for the type A,) described earlier V. M. Levchuk (1983). A. V. Litavrin has described the automorphism group A for Lie type Cn recently.
In the present paper we find non-standard automorphisms of the algebra N0(K) for orthogonal types, when the condition K = 2K isn't satisfied. It seems that if annihilator of element 2 in K is non-zero, then the largest height of hy-percentral automorphisms grows together with the Lie rank. Also, we find automorphisms of the algebra N0(K) of type Dn which are non-standard module second member of lower central series and generate the subgroup ofA that isomorphic to certain subgroup S in SL(2, K); in particularly, S = SL(2, K) at 2K = 0. The standard automorphisms together with constructed non-standard automorphisms generate every automorphisms of the algebra N0(K). For all classical types of rank > 4 our results show that the automorphism group A is the product of subgroups of the central and induced ring automorphisms and the automorphism group of the algebra N0(K). We use developed earlier methods, in particularly, a special representation of the algebras N0(K) of classical types. The results can be used in development of cryptographic methods.
Keywords: Chevalley algebra; nil-triangular subalgebra; automorphism of Lie ring; height of hypercentral automorphism.
Введение. Алгебру Шевалле ЬК над ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей характеризуют базисом Шевалле [1-3]. Ее ассоциируют с каждой из 9 неразложимых (приведенных) систем корней Ф, из которых 4 - классических типов Ап, Вп, Сп, Бп и 5 -исключительных типов Еп (п = 6, 7, 8), ¥4 и 02. Подалгебру в Ьк с базисом из элементов ег (г е Ф+) базиса Шевалле называем нильтреугольной и обозначаем через ^Ф(К); для типа Ап-1 она представляется алгеброй Ли, ассоциированной с алгеброй ЛТ(п, К) нильт-реугольных п х п матриц над К. Авторы исследуют следующие две проблемы, изученные ранее [4; 5] в различных частных ситуациях:
(А). Описать автоморфизмы алгебр Ли ЫФ(К).
(Б). Описать автоморфизмы нильтреугольных подколец ЫФ(К) алгебр Шевалле АК.
Автоморфизмы унипотентного радикала V в подгруппе Бореля групп лиева типа над полем ¥ описал в 1970 году Дж. Гиббс [6] при ¥ = 2¥ = 3¥, см. также [7, проблема (1.5)]. В 1990 году их описание завершил В. М. Левчук [8] (см. также [9]; задача Б отмечается там же вместе с полученным решением для типа Д4).
В обзоре [10] задачи (А) и (Б) отмечались в связи с вопросами элементарной эквивалентности и другими теоретико-модельными исследованиями алгебр и колец Ли Л"Ф(К), наряду с аналогичными вопросами для групп V, восходящими к А. И. Мальцеву [11].
Автоморфизмы кольца ЛТ(п, К), его ассоциированного кольца Ли (т. е. ЫФ(К) типа Ап-1) и присоединенной группы, изоморфной унитреугольной группе иТ(п, К), взаимосвязанно описаны в [4], а кольца Ли ЫСп(К) (п > 4) - в [12; 13].
Вопрос (А) описания автоморфизмов алгебры Ли ЫФ(К) исследовался в [5], как и вопрос об АШ V -Гиббсом [6], при К = 2К = 3К, а для некоторых типов при более слабых ограничениях, например, К = 2К для типов Вп, Сп и ¥4.
При переходе от алгебр к кольцам Ли, в частности, добавляются кольцевые автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами основного кольца (для алгебр это, очевидно, только единичный автоморфизм), расширяется подгруппа центральных автоморфизмов, т. е. действующих тождественно по модулю центра.
Наша цель - решить задачи (А) и (Б) для ортогональных типов Вп и Юп и завершить их решение для классических типов (см. теоремы 1, 2 и заключение). В решении задач мы используем методы описания АШ V в [8].
Представления, стандартные автоморфизмы и центральные ряды. Известно, что (элементарную) группу Шевалле типа Ф над К порождают корневые автоморфизмы хг(() (г е Ф, t е К) алгебры Шевалле ЬК [1, пункт 4.4]. В этом случае
V = ЦФ(К):=(хг (0 | г е Ф+, t е К^ .
Для типа Ап-1 группа V изоморфна VT(n, К). Ограничения корневых автоморфизмов хг(1) при г е Ф+ дают автоморфизмы алгебры Л"Ф(К), порождающие подгруппу внутренних автоморфизмов, изоморфную фактор-группе унипотентной подгруппы UФ(K) по центру.
К основным стандартным автоморфизмам алгебр и групп Шевалле относят также диагональные и графовые автоморфизмы [14; 1; 15], а для алгебр ЫФ(К) см. также [5; 8; 12]. Автоморфизмы, порождаемые основными стандартными автоморфизмами, называют стандартными.
В [8] понятие центрального автоморфизма обобщается: автоморфизм группы или алгебры Ли Я, являющийся единичным по модулю т-го гиперцентра и внешним автоморфизмом по модулю (т—1)-го гиперцентра, называем гиперцентральным высоты т или, кратко, гиперцентральным автоморфизмом, когда Я не совпадает с т-м гиперцентром.
Аналогично группам в произвольном кольце Ли Я вводят нижний центральный ряд
Я = Г! 3Г2 3-Гп 3..., Гп+1:= [Гп,Я] (п> 1)
и верхний центральный, или гиперцентральный, ряд
0 = го £ 7 £ 72 £..., е Я | [я,Я] £ 2,-}
(, > 0).
Как в [1; 16], используем функцию высоты Ы(г) на корнях г системы Ф, максимальный корень р и число Кокстера h: = М(р) + 1. Полагаем £>(Ф): = = т&х[(г,г)1^^)\ г,5 е Ф}.
В алгебре Ли МФ(К) стандартным центральным называют ряд
А 3123 • • •3 А-13 А =0;
I,- =(Кег | г е Ф+, Ы(г) > ,), (1 < , < h -1).
По аналогии с [8, лемма 1] справедлива лемма 1.
Лемма 1. Верхний и нижний центральные ряды кольца Ли ЫФ(К) при р(Ф)!К = К совпадают с её стандартным центральным рядом: Г, = = 2к, (0 < , < к + 1).
В описаниях в [5] автоморфизмов алгебр Ли ЫФ(К) типа Вп при К = 2К и типа Оп, когда аннулятор А2 элемента 2 в К нулевой, основные нестандартные автоморфизмы, по существу, исчерпывают следующие гиперцентральные автоморфизмы высоты 2, построенные по аналогии с Гиббсом [6]. В системе корней Ф типа Вп и Оп всегда существует и единствен простой корень д такой, что я = р-д е Ф+. Автоморфизм Гиббса алгебры Ли ЫФ(К) получаем для любого / е К как линейное продолжение отображения
^ ед + А
е ^ е
(а Ф д).
Оказывается, при А2 Ф 0 как раз и появляются разнообразные исключительные автоморфизмы, что и потребовало для их систематизации ввести в [8] гиперцентральные автоморфизмы. Далее мы построим даже гиперцентральные автоморфизмы высоты, зависящей от лиева ранга.
Легко проверить, что при / е К линейное отображение алгебры МФ(К) типа Вп, оставляющее на месте ег, когда г - длинный корень или максимальный короткий корень с, и переводящее ег в ег+ /ег+с для любого короткого корня г Ф с, является автоморфизмом, который называем полувнутренним (при / /2 е К это корневой автоморфизм хс(//2)).
Выявим автоморфизмы алгебры Ли ЛОп(К) (п > 4) с нестандартным действием по модулю централа Г2. Как и в [4], в группе 5Ь(2, К) выделяем подгруппу
5 :=■
12
22 У
\БЬ(2, К) | 2а11а12 = 2а,
21 22
= 0
В системах корней Ф типа Оп (п > 4) выбирают однозначно симметрию порядка 2 и простые симметричные корни г и г . Аналогично [4] для типа А3 = = О3, любой матрице А е 5 соответствует автоморфизм А алгебры Ли ЛЮп(К), характеризуемый действием
А : ег ^ а11ег + а12<%, ег ^ а21ег + а22ег,
е. ^ е„
(я е П\{г,г}).
Центральные ряды кольца Ли ЛВп(К) при 2К Ф К строятся сложнее. Мы используем представление из [8] алгебр ЫФ(К) классических типов специальными матрицами. Алгебра ЫФ(К) типа Вп выбирается с базисом {е,„ | 0 < V < , < п}, а типа Оп - как подалгебра с базисом {е,„ | 0 < V < , < п}. Произвольный элемент а е ^Ф(К) в них представляем суммой а = ^Ауе^, = = ||а„||, называя, соответственно, Вп+-матрицей и Оп+-матрицей. Тогда умножение определяется по правилу:
Ф = Вп, Оп: [еу,ер] = е,п [ер,е-] = е- (, >у > V > 0), (1)
Ф = Вп: [еу,ер] = еда, [е^] = 2еич (, >у).
Подмодуль в с базой {е„, | 0 < V < и < п, и - V > ,}
п
обозначим через Ь}°. Пусть также ^Ке,0, 1 <у < п.
'=1
С помощью соотношений (1) несложно вытекает лемма 2.
Лемма 2. Центральные ряды кольца Ли ЛВп(К) записываются в виде:
Г, = Ьг[0 + Ь++2 + 2Ь, (1 < , < п), Г, = Ь+2 + 2Ь, (п < , < 2п - 3), Г, = 2Ь, (, > 2п - 2);
2, = Ь2п-, + А2Яп+1-г (1 < , < п - 2),
2п-1 = Ьп+1 + А2^2 + A2en1,
2п+, = Ьп-, + А2^1 + А2Ьп-,-21° (0 < , < п - 3),
22п-2 = Ь2 + А2Ь1.
Автоморфизмы колец Ли NФ(K) ортогональных типов. Ступень нильпотентности кольца Ли ЫФ(К), а поэтому и функция % = % (Ф, К) наивысшей высоты его гиперцентральных автоморфизмов ограничена числом Кокстера к = к(Ф) системы корней Ф. Естественно, возникает вопрос о наилучшей оценке функции х (Ф, К).
Близка к ступени нильпотентности высота следующих гиперцентральных автоморфизмов алгебры Ли НВп(К) (п > 3):
я-1
X ,4 : а а + Е ак,-1 (,ек 0 + 4еп,-к ) № е A2),
к=2
п
: а = ||аuv11 ^ а +1 Е ак1екч,
к=1+1
, = 1, ..., п - 2 (, е А2).
Когда 2К Ф К, к порождающим множествам Кец-1 (0 < , < п + 1) кольца Ли НВп(К) следует добавить Ке2 -1. При обратимом 1 + с е 1 + А2 выделяем полудиагональный автоморфизм
Ь[-1): е,к, ^ (1 + с)еь (0 <-V < к < п), е^ ^ еь (0 < V < к < п).
При А2 Ф 0 мы выделяем, кроме указанных, также другие гиперцентральные автоморфизмы высоты 3, 4 и 5, индуцирующие автоморфизмы и подалгебры НОп(К). Вместе с полувнутренними автоморфизмами, автоморфизмами Гиббса, (, > 1) и они порождают подгруппу автоморфизмов алгебры ЛВп(К), обозначаемую через У(Вп).
Теорема 1. Всякий автоморфизм кольца Ли ЫВп(К), п > 4, есть произведение автоморфизма из У(Вп), стандартного и вида 5с(ч), автоморфизмов.
Нильтреугольная алгебра Ли НОп(К) представляется в алгебре НВп(К) подалгеброй всех Вп+-матриц, у которых 0-й столбец состоит из нулей. Она инвариантна относительно автоморфизмов (1 < , < п - 2, , е А2) и автоморфизмов из У(Вп) высоты < 5. Их ограничения индуцируют автоморфизмы алгебры Л©п(К) (обозначения сохраняем), порождающие подгруппу автоморфизмов алгебры НОп(К), обозначаемую через У(Оп).
Изоморфизм группы (А2, +) на пересечение У(Оп) П 5, очевидно, дает отображение , ^ (, е А2). Автоморфизмы кольца Ли Л©п(К) описывает теорема 2.
Теорема 2. Всякий автоморфизм кольца Ли НОп(К), п > 4, есть произведение стандартного автоморфизма на автоморфизм из 5 -У(Оп).
В доказательствах теорем существенно используется характеристичность централов Г; и гиперцентров Zj, а также их централизаторов. Вначале удается провести редукцию произвольного автоморфизма к гиперцентральным автоморфизмам; используются умножения на диагональный и индуцированный кольцевой автоморфизмы и, кроме того, автоморфизм из S для типа Dn, полудиагональный и вида автоморфизмы для типа Bn. Далее автоморфизм удается редуцировать к центральному автоморфизму умножениями на внутренние и построенные гиперцентральные автоморфизмы.
Заключение. Полученные теоремы решают также вопрос (А) об автоморфизмах алгебр N<^(K). Вместе с основными теоремами из [4; 12] они показывают также, что группа автоморфизмов кольца Ли NO(K) классического типа ранга n >4 есть произведение группы автоморфизмов алгебры Ли N<X>(K) на произведение подгрупп центральных автоморфизмов и автоморфизмов, индуцированных автоморфизмами основного кольца K.
Благодарности. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 16-01-00707.
Acknowledgments. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research, grant 16-01-00707.
Библиографические ссылки
1. Carter R. Simple groups of Lie type. New York : Wiley and Sons, 1972. 346 p.
2. Stein M. R. Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings // Amer. J. Math. 1971. Vol. 93, No. 4. P. 965-1004.
3. Hurley J. F. Ideals in Chevalley algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 137, No. 3. P. 245-258.
4. Левчук В. M. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. Ч. 2. Группы автоморфизмов // Сибирский матем. журнал. 1983. Т. 24, № 4. С. 543-557.
5. Cao Y., Jiang D., Wang D. Automorphisms of certain nilpotent algebras over commutative rings // J. Algebra. 2007. Vol. 17, No. 3. P. 527-555.
6. Gibbs J. Automorphisms of certain unipotent groups // J. Algebra. 1970. Vol. 14, No. 2. P. 203-228.
7. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи математических наук. 1986. Т. 41, № 1. С. 57-96.
8. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 3. С. 316-338.
9. Levchuk V. M. Chevalley groups and their unipotent subgroups // Contemp. Math., AMS. 1992. Vol. 131, p. 1. P. 227-242.
10. Левчук В. M. Теоретико-модельные и структурные вопросы алгебр и групп Шевалле // Математический форум, группы и графы. Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. Т. 6. C. 71-80.
11. Мальцев А. И. Об одном соответствии между кольцами и группами // Мат. сб. 1960. Т. 50. С. 257-266.
12. Литаврин А. В. Автоморфизмы нильпотентной подалгебры NO(K) алгебры Шевалле симплектиче-ского типа // Известия ИркГУ, сер. математическая. 2015. Т. 13, № 3. С. 41-55.
13. Нильтреугольные подалгебры алгебр Шевалле и их обобщения / В. М. Левчук [и др.] // Владикавказский матем. журнал. 2015. Т. 17, № 2. С. 37-46.
14. Seligman G. B. On automorphisms of Lie algebras of classical type III // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. Vol. 97. P. 286-316.
15. Steinberg R. Lections on Chevalley groups. Yale University, 1967. 151 p.
16. Бурбаки H. Группы и алгебры Ли. М. : Мир, 1972. 334 c.
References
1. Carter R. Simple groups of Lie type. New York: Wiley and Sons. 1972, 346 p.
2. Stein M. R. Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings. Amer. J. Math. 1971, Vol. 93, No. 4, P. 965-1004.
3. Hurley J. F. Ideals in Chevalley algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 1969, Vol. 137, No. 3, P. 245-258.
4. Levchuk V. M. [Communication unitriangular group with some rings. Part 2. Groups of automorphisms]. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal. 1983, Vol. 24, No. 4, P. 543-557 (In Russ.).
5. Cao Y., Jiang D., Wang D. Automorphisms of certain nilpotent algebras over commutative rings. J. Algebra. 2007, Vol. 17, No. 3, P. 527-555.
6. Gibbs J. Automorphisms of certain unipotent groups. J. Algebra. 1970, Vol. 14, No. 2, P. 203-228.
7. Kondrat'ev A. S. [Subgroups of finite Chevalley groups]. Uspekhi matematicheskikh nauk. 1986, Vol. 41, No. 1, P. 57-96 (In Russ.).
8. Levchuk V. M. [Automorphisms of unipotent subgroups of Chevalley groups]. Algebra i logika. 1990, Vol. 29, No. 3, P. 316-338 (In Russ.).
9. Levchuk V. M. Chevalley groups and their unipotent subgroups. Contemp. Math., AMS. 1992, Vol. 131, Part 1, P. 227-242.
10. Levchuk V. M. [Model-theoretic and structural problems of algebra and Chevalley groups]. Mate-maticheskiy forum, gruppy i grafy.-Vladikavkaz: YuMI VNTs RAN i RSO-A. 2011, Vol. 6, P. 71-80 (In Russ.).
11. Mal'tsev A. I. [A correspondence between the rings and groups]. Matematicheskiy sbornik.1960, Vol. 50, P. 257-266 (In Russ.).
12. Litavrin A. V. [Automorphisms of the nilpotent subalgebra N<&(K) Chevalley algebra of symplectic type]. Izvestiya IrkGU, ser. matem. 2015, Vol. 13, No. 3, P. 41-55 (In Russ.).
13. Levchuk V. M., Litavrin A. V., Khodyunya N. D., Tsygankov V. V. [Niltriangular subalgebras of the Chevalley algebras and their generalizations]. Vladikav-kazskiy matematicheskiy zhurnal. 2015, Vol. 17, No. 2, P. 37-46 (In Russ.).
14. Seligman G. B. On automorphisms of Lie algebras of classical type. III. Trans. Amer. Math. Soc. 1960, Vol. 97, P. 286-316.
15. Steinberg R. Lections on Chevalley groups. Yale University, 1967, 151 p.
16. Bourbaki N. Gruppy i algebry Li [Groups and Lie algebra]. Moscow, Mir Publ., 1972, 334 p.
© Левчук В. M., Литаврин А. В., 2016
