Об обобщенных дельта-дифференцированиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.554

ОБ ОБОБЩЕННЫХ ¿-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯХ

1

© 2013 И.Б. Кайгородов:

2

В этой работе рассматриваются вопросы, посвященные обобщению понятия ¿-дифференцирования в неассоциативных алгебрах. Кроме того, проведено построение новых примеров нетривиальных ¿-дифференцирований для алгебр Ли.

Ключевые слова: ¿-дифференциорвание, алгебра Ли, альтернативная алгебра, йорданова супералгебра, супералгебра Ли.

Введение

Понятие антидифференцирования алгебры, являющееся частным случаем ¿-дифференцирования, т. е. ( —1)-дифференцированием, рассматривалось в работах [1; 2]. В дальнейшем в работе [3] появляется определение ¿-дифференцирования алгебры. Напомним, что при фиксированном ¿ из основного поля Г, под ¿-дифференцированием алгебры А понимают линейное отображение ф, удовлетворяющее условию

для произвольных элементов х,у € А. Описанию ¿-дифференцирований посвящены работы [3]-[15], где изучались ¿-дифференцирования алгебр и супералгебр Ли, йордановых алгебр и супералгебр, алгебр Филиппова и др. А в работах [16; 17] изучались обобщения ¿-дифференцирований п-арных алгебр.

1. Об обобщенных ¿-дифференцированиях алгебр и супералгебр

Пусть Г — поле характеристики отличной от 2. Напомним определение супералгебры. Алгебра О над полем Г называется супералгеброй (или Z2-градуированной алгеброй), если она представима в виде О = О0 ф О1, при этом справедливы соотношения О^О^ С =0,1.

1Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ (проект МК-330.2013.1).

2Кайгородов Иван Борисович (kib@math.nsc.ru), лаборатория теории колец Института математики им. С.Л. Соболева, 630090, Российская Федерация, г. Новосибирск, пр. Коптюга, 4.

ф(ху) = ¿(ф(х)у + хф(у))

(1)

При фиксированном элементе 5 е Г, для супералгебры А = А0фАх, однородное линейное отображение ф : А ^ А будем называть четным 5-супердифференцированием, если ф(Аг) С Аг и для однородных х,у е Ао и А1 выполнено

ф(ху) = 5(ф(х)у + хф(у)).

Под центроидом Г(А) супералгебры А мы будем понимать множество линейных отображений х : А ^ А, что для произвольных элементов а, Ь верно

х(аЬ) = х(а)Ь = ах(Ь).

Ясно, что 1-супердифференцирование является обычным супердифференцированием; 0-супердифференцированием является произвольный эндоморфизм ф супералгебры А такой, что ф(А2) = 0. Ненулевое 5-супердифференцирование будем считать нетривиальным, если 5 = 0,1 и ф е Г(А). Легко видеть, что четное 5-супердифференцирование будет являться 5-дифференцированием.

Пусть А — алгебра над Г е умножением аЬ и обладающая дополнительной билинейной операцией { , } : А х А ^ А. Через Ах обозначим изоморфную копию алгебры А и на прямой сумме векторных пространств АфАх зададим умножение • по следующему правилу

а • Ь = аЬ,а • (Ьх) = (аЬ)х, (ах) • Ь = (аЬ)х, (ах) • (Ьх) = {а, Ь}, где а,Ь е А.

Мы получим структуру супералгебры на В : Во = А,В\ = Ах. Примерами таких супералгебр являются супералгебры, построенные по процессу Кантора [10; 19]. Данный процесс мы будем называть обобщенным процессом Кантора.

При рассмотрении четных 5-супердифференцирований супералгебры В мы приходим к понятию обобщенного 5-дифференцирования алгебры А. Для этого достаточно заметить, что для ф — четного 5-супердифференцирования В верно

5ф(ах)Ь + 5(ах)ф(Ь) = ф((ах)Ь) = ф(а(Ьх)) = 5ф(а)(Ьх) + 5аф(Ьх). (2)

В силу четности 5-супердифференцирования ф, мы можем положить, что ф(Ьх) = х(Ь)х, где х е Еиё,(А). Таким образом, соотношение (2) преобразуется к выражению

5х(а)Ь + 5аф(Ь) = х(аЬ) = 5ф(а)Ь + 5ах(Ь). (3)

Далее для алгебры А линейное отображение х, связанное с 5-дифференци-рованием ф посредством соотношения (3), мы будем называть обобщенным 5-дифференцированием. Обобщенные 5-дифференцирования неявно возникают в работе [10] при рассмотрении 5-супердифференцирований обобщенного дубля Кантора, построенного на первичной ассоциативной алгебре.

Отметим, что обобщенное 5-дифференцирование тесно связано с обобщенным дифференцированием, то есть таким линейным отображением а алгебры А, которое связано с некоторым дифференцированием Б алгебры А посредством соотношения

а(аЬ) = а(а)Ь + аБ(Ь).

Примером обобщенного дифференцирования, не являющегося обыкновенным дифференцированием, может служить отображение вида Б + ф, где Б е Бвт(А),ф е е Г(А). Обобщенные дифференцирования рассматривались, к примеру, в работе [20].

Далее, во всех леммах этого раздела мы будем подразумевать, что х — обобщенное 5-дифференцирование, связанное с 5-дифференцированием ф, и хф = х-ф.

Все алгебры будут рассматриваться над кольцом характеристики, отличной от 2, а супералгебры над полем характеристики, отличной от 2.

Лемма 1. Пусть х — обобщенное ¿-дифференцирование (супер)алгебры А, тогда хф является |-дифференцированием А и Хф(аЪ) = ¿ахф(Ъ) = ¿Хф(а)Ъ.

Доказательство. Рассматривая разность между выражениями (3) и (1), мы получим

Хф(аЪ) = ¿ахф(Ъ) = ¿Хф(а)Ъ. Далее, воспользовавшись полученным равенством, легко имеем

Хф (аЪ) = ^(¿аХф(Ъ) + ¿Хф(а)Ъ).

Данное означает, что Хф является |-дифференцированием алгебры А. Лемма доказана.

Ясно, что обобщенное 1-дифференцирование является отображением вида Б + + ф, где Б — дифференцирование, а ф — элемент центроида. Обобщенным 0-диф-ференцированием является произвольный эндоморфизм х с условием Х(А2)=0. Обобщенное ¿-дифференцирование х является нетривиальным, если ¿ = 0, 1 и х не является ¿-дифференцированием. Следует отметить, что условие Хф =0 непосредственно влечет тривиальность х.

Далее, в теоремах 2, 3 и 4 будут рассматриваться алгебры с тривиальным аннулятором, то есть с условием Апп(А) = [х\хА = Ах = 0} = 0. Примером таких алгебр являются первичные алгебры.

Теорема 2. Алгебра Ли А с тривиальным аннулятором не имеет нетривиальных обобщенных ¿-дифференцирований.

Доказательство. В силу показанного в лемме 1, мы можем заключить, что выполняется следующая цепочка соотношений

¿(хХф(г))у + ¿х(уХф (?)) = ¿(ху)хф(г) = Хф((ху)г) = Хф((хг)у + х(уг)) = ¿2 ((хХф(г))у + х(уХф(г))). Откуда имеем 0 = (ххф(г))у + х(ухф(г)) = Хф(ху)^. Таким образом, Хф(А2) С С Апп(А) = {0}. Отсюда получаем Хф(х)у = 0 и Хф(А) С Апп(А) = {0}, что эквивалентно тривиальности х. Теорема доказана.

Теорема 3. Супералгебра Ли А с тривиальным аннулятором не имеет нетривиальных обобщенных ¿-дифференцирований.

Доказательство. Легко понять, что пространство Епй(А) является Z2-градуированным, то есть любое линейное отображение ф € Епй(А) мы можем представить в виде суммы четного и нечетного отображений фо + ф\, где ФоА) С А> и ф^Аъ) С

Будем считать, что х и ф являются четными отображениями, то есть верно х(Аъ) С Аъ,ф(Аъ) С Аъ. Тогда, в силу показанного в лемме 1, мы можем заключить, что для однородных элементов х,у,г € Ао и А1 выполняется следующая цепочка соотношений:

5(ххф(г))у + (-1)р(хЫг)5х(ухф(г)) = 5(ху)хф(г) = хф((ху)г) =

хф((хг)у + (-1)Р(х)Р^х(уг)) = 52((ххф(г))у + (-1)р(х)р^х(ухф(г))).

Откуда получаем

0 = (ххф(г))у + (-1)р(хЫг)х(ухф(г)) = (ху)хф(г).

Понятно, что из законов дистрибутивности также следует, что равенство хф(ху)г = 0 выполняется для произвольных х,у,г е А, где хф — четное отображение, определенное выше.

Пусть х и ф являются нечетными отображениями, то есть верно

х(Аг) С Аг+1,фА) С Аг+1.

Положим хг, уг е Аг и х,у, г е А. Легко заметить, что

5(хохф(г))у + 5хо(ухф(г)) = 5(хоу)хф(г) = хф((хо у) г) =

= хф((хог)у + хо(уг)) = 52 ((хохф(г))у + хо(ухф(г))).

Откуда имеем

0 = (хохф(г))у + хо (ухф(г)) = (хоу)хф(г), то есть хф(хоу)г = 0. Отметим, что

хф(ххуо) = 5хф(хх)уо = -5уохф(хх) = -5хф(уо)хх = -5хх(уо) = -хф(ху),

то есть хф(ху)г = 0. Заметим, что

хф(ххух) = 5хф(х{)у1 = -5уххф(хх) = -хфЬх) = -хф(хх ух),

то есть хф(хлу1)г = 0 и хф(х1у)г = 0.

Теперь мы можем заключить, что хф(ху)г = 0, где х,у,г — произвольные элементы А и хф либо четное, либо нечетное отображение.

Таким образом, хф(А2) С Апп(А) = {0}. Откуда получаем хф(х)у = 0 и хф(А) С Апп(А) = {0}, что эквивалентно тривиальности х. Теорема доказана.

Теорема 4. Альтернативная алгебра А с тривиальным аннулятором не имеет нетривиальных обобщенных 5-дифференцирований.

Доказательство. В силу показанного в лемме 1, мы можем заключить, что выполняется следующая цепочка соотношений:

5хф(у)х2 = хф(ух2) = хф((ух)х) = 52 ((хф(у)х)х) = 52хф(у)х2.

Таким образом, мы получаем ухф(х2) = 0, то есть хф(х2) С Апп(А) = {0}. Откуда, посредством линеаризации, легко вытекает, что хф(ху + ух) = 0 и

хф(г)(ху + ух) = 0.

Повторяя дословно доказательство из [21, лемма 2, с. 160], получаем хф(((аЬ)е)в) = 0. Таким образом, хф(а) =0 и х тривиально. Теорема доказана.

Теорема 5. Унитальная (супер)алгебра А не имеет нетривиальных обобщенных 5-дифференцирований.

Доказательство. Заметим, что если е — единица (супер)алгебры А, то Хф(е) = Хф(ее) = ¿Хф(е) и Хф(е) = 0. Таким образом, легко видеть, что

Хф(х) = Хф(ех) = 2хф(е)х = 0. Откуда мы получаем тривиальность х. Теорема доказана.

В частности, теорема 5 дает отсутствие нетривиальных обобщенных ¿-дифференцирований для полупростых конечномерных йордановых алгебр и всего класса структуризуемых алгебр над произвольным полем характеристики, отличной от 2.

Теорема 6. Полупростая конечномерная йорданова супералгебра А над алгебраически замкнутым полем характеристики, отличной от 2, не имеет нетривиальных обобщенных ¿-дифференцирований.

Доказательство. Согласно работе [22], если А полупростая конечномерная йорданова супералгебра над алгебраически замкнутым полем характеристики, отличной от 2, то А = ф 1=1 Тг ф 11 ф ... ф Зг, где З1,..., Зг — простые йордановы супералгебры и Тг = Зг1 ф ... ф Згг± + Кг ■ 1, К1,... ,К3 — расширения поля Г и Зц,...,ЗгГ€ — простые неунитальные йордановы супералгебры над полем Кг. Пусть некоторая супералгебра З представима в виде прямой суммы супералгебр ВфС и Ъ — элемент супералгебры В, который не является делителем нуля, а с — произвольный элемент С. Тогда

0 = Хф (Ъс) = ¿Ъхф(с),

откуда получаем, что Хф(с) € С, благодаря чему можем заключить, что Хф(Зг) С Зг и Хф(Т) С Тг. Также легко заметить, что ф(Зг) С Зг и ф(Тг) С Тг. Исходя из теоремы 5, мы заключаем, что ограничение х на унитальные супералгебры Тг и Зг тривиально.

Следовательно, нам достаточно показать тривиальность ограничения х на Зг в случае, когда Зг является неунитальной простой конечномерной йордановой супералгеброй. Данные супералгебры исчерпываются супералгебрами К3,У1/2(2, Б) и супералгеброй К9 в случае характеристики поля р = 3. Их определения можно найти, к примеру, в работах [6; 12; 22]. В частности, известно, что четные части супералгебр Кз,К9,У1/2(2,Б) являются унитальными алгебрами. Согласно [12, теорема 10], в этом случае Зг не имеет нетривиальных ¿-дифференцирований при ¿ = 2. Таким образом, по лемме 1 и определению нетривиального обобщенного ¿-дифференцирования хф = 0 при ¿ = 2. Случай ¿ = 2 рассмотрим подробнее. Легко понять, что если е — единица (Зг)0, то хф(е) € (Зг)1. Из определения супералгебр К3,У1/2(2,Б) известно, что 2ег = г, при г € (Зг)1. Следовательно, если Зг = К3, У 1/2(2, Б), то для 2 € (Зг)1 верно хф(г) = 2хф(ег) = 4ехф(г), то есть хф(г) = 0 (при р = 3) и хф (г) € (Зг)0 (при р = 3). Если Зг = К3, то известно, что для нее существуют такие € (Зг)1, что е = 'М, откуда, если р = 3, вытекает хф(е) = 0. Пусть теперь р = 3, Зг = У1/2(2, Б), тогда

0 = хф(ах) = 4(хф(а) ■ х) и хф(а) = аХфх,

то есть Б(аХф) = 0, что дает аХф = аах* е, аах* — элемент основного поля супералгебры Зг. Заметим, что

аЯхФ ех = хф(а) = 2хф(е)а = а&хФ ах

и, учитывая, что е и а мы можем взять линейно независимые, получаем хф = 0. Если р = 3 и = Ух/2(^, Б), то при г, у е (^)о мы получаем хф(е) = Ьх и

хф(г) = 2хф(е) • г = (гЬ)х,

хф(гх) = хф(е) • гх = Б(Ь)г - ЬБ(г). Таким образом, имеем, что

хф(гх • ух) = 2хф(гх) • ух, ((Б(г)у - гБ(у))Ь)х = ((Б(Ь)г - ЬБ(г))у)х,

то есть Б(гуЬ) = 0, что влечет Б(Ь) = 0 и Ь = ¡Зе, где в — элемент основного поля супералгебры Следовательно, Б (в г) =0. Замечая, что г может быть линейно независимо е е, и в силу того, что Б обнуляет только элементы вида 7е, где 7 — элемент основного поля супералгебры получаем в = 0. Полученное дает тривиальность х.

Если р = 3 и = Кд, Кз, то при г,Ь е (.1г)1 имеем

хф(гг) = 2хф(г) • г = 'И • хф(г) = хф(*г) = -хф(г

Отметим, что здесь мы воспользовались тем, что хф(г) е (^)о. Таким образом, хф((^)2) =0, что влечет хф(е) =0 и тривиальность х.

Исходя из вышеприведенных рассуждений, теорема доказана.

2. О ^-дифференцированиях обобщенного дубля Кантора

Напомним, что в работе [10] было введено и рассматривалось понятие обобщенного дубля Кантора. Как следует из результатов работы [11], особый интерес представляет рассмотрение 5-дифференцирований обобщенного дубля Кантора, построенного на супералгебре с тривиальной нечетной компонентой. Данное заключение вытекает из того факта, что простые унитальные супералгебры йор-дановой скобки имеют нетривиальные 5-дифференцирования только тогда, когда они построены на супералгебрах с тривиальной нечетной частью [11].

Пусть А — алгебра е операцией { , } : А х А ^ А и К (А) — супералгебра, полученная с помощью обобщенного процесса Кантора, описанного в параграфе 2. Через Аз (А) и Г(А) обозначим, соответственно, множество 5-дифференцирований А и центроид алгебры А, а через Аз (А, { , }) — множество 5-дифференцирований А по операции { , }. Для ф — линейного отображения супералгебры К(А) под ф\л будем подразумевать ограничение отображения ф на подалгебру А.

Теорема 7. Пусть ф — нетривиальное четное 5-дифференцирование супералгебры К(А) , где А — первичная альтернативная алгебра над полем характеристики, отличной от 2, 3. Тогда

5 и ф(ах) = ф\л(а)х, где ф\л е Г(А) П А1 (А, { , }). 2 2

Доказательство. Пользуясь предварительными рассуждениями из параграфа 2 и теоремой 4, легко понять, что при ф — четном ¿-дифференцировании супералгебры К (А) мы имеем ф(ах) = ф(а)х для любого а € А. С другой стороны, мы видим, что

ф(ах ■ Ъх) = ¿ф(ах)Ъх + ¿ах ■ ф(Ъх),

то есть

ф{а, Ъ} = ¿{ф(а), Ъ} + ¿{а, ф(Ъ)}.

Таким образом, четные ¿-дифференцирования супералгебры К (А) определяются множеством отображений (А) П (А, { , }), где каждое отображение ф € А$ (А) П А$ (А, { , }) продолжается на нечетную компоненту супералгебры К (А) по принципу ф(ах) = ф(а)х.

Напомним, что в силу [5], первичные альтернативные алгебры (над полем характеристики, отличной от 2, 3) не имеют нетривиальных ¿-дифференцирований, то есть супералгебра К(А), построенная на первичной альтернативной алгебре А, не имеет нетривиальных четных ¿-дифференцирований при ¿ = 2.

Исходя из вышесказанного, множество четных 2-дифференцирований супералгебры К (А) определяются посредством множества Г(А) П А 2 (А, { , }) и условия ф(ах) = ф\А(а)х, где ф\А € Г(А) П А1 (А, { , }). Теорема доказана.

Теорема 8. Пусть ф — нетривиальное четное ¿-дифференцирование супералгебры К(А) , где А — первичная лиева алгебра (либо первичная супералгебра Ли, рассматриваемая как алгебра). Тогда ¿ = ^, — 1; множество четных ( — 1)-дифференцирований (соответственно, четных ^-дифференцирований) супералгебры К (А) определяется посредством множества отображений А_1(А)П А _1 (А, { , }) (соответственно, А1 (А) П А1 (А, { , })) и условия ф(ах) = ф(а)х.

Доказательство. Пользуясь предварительными рассуждениями из параграфа 2 и теоремой 2 (в случае супералгебры теоремой 3), легко понять, что при ф — четном ¿-дифференцировании супералгебры К(А) мы имеем ф(ах) = ф(а)х для любого а € А. С другой стороны, мы видим, что

ф(ах ■ Ъх) = ¿ф(ах)Ъх + ¿ах ■ ф(Ъх),

то есть

ф{а, Ъ} = ¿{ф(а), Ъ} + ¿{а, ф(Ъ)}.

Таким образом, четные ¿-дифференцирования супералгебры К (А) определяются множеством отображений Аз(А) П Аз(А, { , }), где каждое отображение ф € Аз (А) П Аз (А, { , }) продолжается на нечетную компоненту супералгебры К (А) по принципу ф(ах) = ф(а)х.

Согласно результатам [1; 3; 4] (в случае супералгебры [9]), первичные лиевые алгебры (соответственно, первичные лиевы супералгебры, рассматриваемые как алгебры) не имеют нетривиальных ¿-дифференцирований при ¿ = —1, 2. Таким образом, множество четных ¿-дифференцирований супералгебры К(А), построенной на первичной лиевой алгебре А (либо первичной лиевой супералгебре А, рассматриваемой как алгебра), исчерпывается случаями ( —1)-дифференцирований и 2-дифференцирований. Множество ( — 1)-дифференцирований (соответственно, 2-дифференцирований) супералгебры К (А) определяется посредством множества отображений А_1(А)П А_1(А, { , }) (соответственно, А± (А)П А1 (А, { , })) и условия ф(ах) = ф(а)х. Теорема доказана.

Теорема 9. Пусть ф — нетривиальное четное 5-дифференцирование супералгебры К(А), где А — унитальная алгебра или полупростая йорданова супералгебра над алгебраически замкнутым полем характеристики, отличной от 2. Тогда

5 и ф(ах) = ф\л(а)х, где ф\л е А1 (А) П А1 (А, { , }).

2 22

Доказательство. Утвеждение вытекает из результатов об описании 5-дифференцирований полупростой йордановой алгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики, отличной от 2 [12] и 5-дифференцирований унитальной алгебры [6, теорема 2.1]. Согласно этим результатам, на данных классах алгебр и супералгебр возможны только нетривиальные 2-дифференцирования. Таким образом, пользуясь схемой доказательств теорем 7 и 8, мы получаем требуемое. Теорема доказана.

Рассмотрим супералгебру К (А), построенную по обобщенному процессу Кантора (см. предыдущий раздел), где А — простая алгебра Ли с умножением [ , ]. Умножение • супералгебры К(А) будет задаваться следующим правилом:

а • Ь = [а, Ь], а • Ьх = [а, Ь]х, ах • Ь = [а, Ь]х, ах • Ьх = [а, Ь].

Легко заметить, что полученная алгебра К (А) = А ф Ах будет алгеброй Ли. В данном случае множество четных (- 1)-дифференцирований (соответственно, 2-дифференцирований) супералгебры К (А) определяется множеством А_1(А) (со-

1 2 ■

ответственно, А1 (А)) и условием ф(ах) = ф(а)х для ф е Аз (А), 5 = -1

Исходя из вышеизложенного, теоремы 8 и известных примеров нетривиальных (- 1)-дифференцирований для простой алгебры $¡2 [1] и нетривиальных 2-дифференцирований для простой алгебры Витта Ш1 [4], мы получаем новые примеры нетривиальных (- 1)-дифференцирований и 1 -дифференцирований для алгебр Ли, построенных из простых лиевых алгебр по обобщенному процессу Кантора.

Как заметил П. Зусманович во время проведения «АСМР-7», построенные примеры алгебр Ли изоморфны алгебрам вида А <£> В, где А — алгебра Ли, а В — подходящая ассоциативно-коммутативная алгебра. Отметим, что 5-дифференцирования алгебр типа А ® В рассматривались в работе [9].

В заключение автор выражает благодарность проф. П.С. Колесникову и проф. А.П. Пожидаеву за внимание к работе и конструктивные замечания.

Литература

[1] Hopkins N.C. Generalizes Derivations of Nonassociative Algebras // Nova J. Math. Game Theory Algebra. 1996. Т. 5. № 3. P. 215-224.

[2] Филиппов В.Т. Об алгебрах Ли, удовлетворяющих тождеству 5-й степени // Алгебра и логика. 1995. Т. 34. № 6. С. 681-705.

[3] Филиппов В.Т. О ¿-дифференцированиях алгебр Ли // Сиб. матем. ж. 1998. Т. 39. № 6. C. 1409-1422.

[4] Филиппов В.Т. О ¿-дифференцированиях первичных алгебр Ли // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40. № 1. С. 201-213.

[5] Филиппов В.Т. О ¿-дифференцированиях первичных альтернативных и маль-цевских алгебр // Алгебра и логика. 2000. Т. 39. № 5. С. 618-625.

[6] Кайгородов И.Б. О ¿-дифференцированиях простых конечномерных йордано-вых супералгебр // Алгебра и логика. 2007. Т. 47. № 5. С. 585-605.

7] Кайгородов И.Б. О ¿-дифференцированиях классических супералгебр Ли // Сиб. матем. ж. 2009. Т. 50. № 3. С. 547-565.

8] Кайгородов И.Б. О ¿-супердифференцированиях простых конечномерных йор-дановых и лиевых супералгебр // Алгебра и логика. 2010. Т. 49. № 2. С. 195-215.

9] Zusmanovich P. On ¿-derivations of Lie algebras and superalgebras // J. of Algebra. 2010. Т. 324. № 12. P. 3470-3486.

10] Кайгородов И.Б. Об обобщенном дубле Кантора // Вестник Самарского гос. университета. 2010. Т. 78. № 4. С. 42-50.

11] Желябин В.Н., Кайгородов И.Б. О ¿-супердифференцированиях простых супералгебр йордановой скобки // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23. № 4. С. 40-58.

12] Кайгородов И.Б. О ¿-супердифференцированиях полупростых конечномерных йордановых супералгебр // Математические заметки. 2012. Т. 91. № 2. С. 200-213.

13] Кайгородов И.Б. О ¿-дифференцированиях n-арных алгебр // Известия РАН. Серия математическая. 2012. Т. 76. № 6. C. 81-94.

14] Kaygorodov I., Okhapkina E. ¿-derivations of semisimple structurable algebras // J. of Algebra and its Applications. 2014. Т. 13. № 4. 1350130 (12 pages).

15] Kaygorodov I., Popov Yu. Alternative algebras admitting derivations with invertible values and invertible derivations // Известие РАН (в печати).

16] Кайгородов И.Б. (n + 1)-арные дифференцирования простых n-арных алгебр // Алгебра и логика. 2011. Т. 50. № 5. С. 689-691.

17] Кайгородов И.Б. Об (n + 1)-арных дифференцированиях простых n-арных алгебр Мальцева // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25. № 4. С. 86-100.

18] Кайгородов И.Б. О (n + 1)-арных дифференцированиях полупростых алгебр Филиппова // Математические заметки (в печати).

19] Кантор И.Л. Йордановы и лиевы супералгебры, определяемые алгеброй Пуассона // Алгебра и анализ. Томск: Изд-во ТГУ. 1990. С. 89-126.

20] Hvala B. Generalized derivations in rings // Comm. Algebra. 1998. Т. 26. № 4. P. 1147-1166.

21] Кольца, близкие к ассоциативным / К.А. Жевлаков [и др.]. М: Наука, 1978.

22] Zelmanov E. Semisimple finite dimensional Jordan superalgebras // Lie algebras, rings and related topics. Papers of the 2nd Tainan-Moscow international algebra workshop '97, Tainan, Taiwan, January 11-17, 1997. Hong Kong: Springer, 2000. P. 227-243.

Поступила в редакцию 14/V7/2013; в окончательном варианте — 14/VI/2013.

06 o6o6wfiHHW,x &-du$$epeH^upoeaHux.x

21

GENERALIZED ¿-DERIVATIONS

© 2013 I.B. Kaygorodov3

In the paper the questions devoted to generalization of notion of ¿-derivation on non-associative algebras. Apart from that new examples of non-trivial ¿-derivations for Lie algebras were constructed.

Key words: ¿-derivation, Lie algebra, alternative algebra, Jordan superalgebra, Lie superalgebra.

Paper received 14/VI/2013. Paper accepted 14/VI/2013.

3Kaygorodov Ivan Borisovich (kib@math.nsc.ru), Laboratory of Ring Theory, Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 630090, Russian Federation.