Простые конечномерные правоальтернативные унитальные супералгебры с ассоциативно-коммутативной чётной частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

где k = [Пр], а Бп-модули РП'п (Jsc) имеют следующий вид: Р'п (Jsc) = ® . ind¡m (mj ® Mñm-ы)<h".

где m = [n-3i] + 1, djM - кратности из разложения 1.

Опираясь на теорему 1 удалось получить следующий результат, показывающий связь между подмногообразиями многообразий Jsc и L.

Теорема 2. Пусть L - решетка подмногообразий многообразия алгебр Ли L, а J - решетка подмногообразий многообразия Jsc. Существует решеточный мономорфизм f : L ^ J.

При этом легко строятся примеры подмногообразий W С Jsc, для которых нет прообразов в L. Таким образом, многообразие Jsc обладает даже более богатой структурой подмногообразий, чем многообразие L.

Библиографический список

1.Hong J., Kwon J-H. Decompose of Free Lie Algebras into Irreducible Components // Journal of Algebra. 1997. Vol. 197.

2. Скосырский В. Г. Разрешимость и сильная разрешимость йордано-вых алгебр // Сибирский матем. журнал. 1989. № 2.

ПРОСТЫЕ КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ УНИТАЛЬНЫЕ СУПЕРАЛГЕБРЫ С АССОЦИАТИВНО-КОММУТАТИВНОЙ

ЧЁТНОЙ ЧАСТЬЮ С. В. Пчелинцев, О. В. Шашков (г. Москва) E-mail: [email protected], [email protected]

Супералгебра B = A 0 M называется супералгеброй абелева типа, если A ассоциативна и коммутативна, а M - ассоциативный A-бимодуль [1].

Примерами супералгебр абелева типа являются супералгебры чётного векторного типа J (Г, 6) и B (r,D,Y). Первая из них была введена К. МакКриммоном [2] и является йордановой, вторая - правоальтерна-тивной и введена И. П. Шестаковым [3]. Известно, что грассмановы оболочки первичных йордановых супералгебр векторного типа J (Г, 6) над

полем характеристики 0 имеют одни и те же идеалы тождеств; аналогичный результат верен и для чётных скрученных супералгебр В (Г, ^,7).

С другой стороны, в [4] были введены и классифицированы простые конечномерные правоальтернативные супералгебры абелева типа над полем характеристики нуль. Недавно мы доказали, что всякая простая конечномерная правоальтернативная унитальная супералгебра с полупростой сильно ассоциативной чётной частью над алгебраически замкнутым полем характеристики р = 2 изоморфна одной из следующих супералгебр:

Mn

л/1

Mm|n В!|2 (p =3) , В2|2 (v) , Bn|n

Отметим, что классификация простых конечномерных ассоциативных супералгебр над алгебраически замкнутым полем приведена в [4].

В [5] построен пример 5-мерной простой правоальтернативной неуни-тальной супералгебры В2|3, чётная часть которой - двумерная алгебра с нулевым умножением, а нечетная часть является неприводимым бимо-дулем над чётной частью. Нами доказано, что не существует простых правоальтернативных супералгебр с унитарной четной частью (алгебра называется унитарной, если она получена внешним присоединением единицы к ниль-алгебре).

Справедлива следующая

Теорема. Пусть В = A 0 M - простая конечномерная правоальтернативная унитальная супералгебра и A - ассоциативно-коммутативная алгебра. Если алгебра A полупроста, то супералгебра В либо ассоциативна, либо является супералгеброй абелева типа. Если характеристика основного поля нуль, то алгебра A полупроста.

По теореме Веддерберна четная часть представима в виде прямой суммы полупростой части и радикала A = Фв1 0 ... 0 Феп 0 Nil (A) (основное поле Ф можно считать алгебраически замкнутым). Метод доказательства основан на изучении йордановых пирсовых компонент Mj = = {xj := (e^x) ej + (ejx) e | x £ M} в правоальтернативной супералгебре, возникающих по полной ортогональной системе единиц e1,..., en простых слагаемых в полупростой части. Решающее значение играет представление идемпотента в виде произведения нечетных элементов. Мы вводим понятие ростка йордановой компоненты: идемпотент e^ назовем ростком компоненты Mjk, если eit £ M?k, и доказываем две предварительные леммы о строении компонент, имеющих один или два роста соответственно (всякая компонента имеет 1 или 2 ростка).

Затем описываются структуры 1-ростковой и 2-ростковой компонент, на основании которых и завершается доказательство приведенной теоремы.

Библиографический список

1. Пчелинцев С. В., Шашков О. В. Простые конечномерные правоаль-тернативные супералгебры абелева типа характеристики нуль // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т. 79, № 3.

2. McCrimmon K. Speciality and non-speciality of two Jordan superal-gebras //J. Algebra. 1992. Vol. 149, № 2.

3. Шестаков И. П. Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 6.

4. Wall C. T. C. Graded Brauer groups //J. Reine Angew. Math. 1964. Vol. 213.

5. Silva J. P., Murakami L. S. I., Shestakov I. P. On right alternative syperalgebras // Comm. in Algebra. 2016. Vol. 44, № 1.

ПРОСТЫЕ ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ СУПЕРАЛГЕБРЫ АБЕЛЕВА ТИПА ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ, ЧЁТНАЯ ЧАСТЬ КОТОРЫХ ПОЛЕ С. В. Пчелинцев, О. В. Шашков (г. Москва) E-mail: [email protected], [email protected]

Следуя [1], супералгебра B = Г0M называется супералгеброй абелева типа, если её чётная часть Г ассоциативна и коммутативна, а нечётная часть M является ассоциативным Г-бимодулем.

Примерами супералгебр абелева типа являются супералгебра B^2, скрученная супералгебра B (r,D,Y) и скалярный ш-дубль B (Г,*, Яш). Супералгебры B (Y,D,y) были введены И. П. Шестаковым [1, 2] при классификации простых альтернативных супералгебр и простых (-1,1)-супералгебр.

Дубли B (Г,*, Яш) возникли в [3] при классификации простых конечномерных правоальтернативных супералгебр абелева типа над полем характеристики 0.

Напомним также, что B^2 - коммутативная супералгебра с базисом 1,x,y (x, y - нечетны) и умножением xy = — yx = 1, x2 = y2 = 0.

Отметим также, что в 2004 г. простые специальные йордановы супералгебры абелева типа изучались В. Н. Желябиным и И. П. Шеста-