Простые правоальтернативные супералгебры абелева типа произвольной размерности, чётная часть которых поле Текст научной статьи по специальности «Математика»

Затем описываются структуры 1-ростковой и 2-ростковой компонент, на основании которых и завершается доказательство приведенной теоремы.

Библиографический список

1. Пчелинцев С. В., Шашков О. В. Простые конечномерные правоаль-тернативные супералгебры абелева типа характеристики нуль // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т. 79, № 3.

2. McCrimmon K. Speciality and non-speciality of two Jordan superal-gebras //J. Algebra. 1992. Vol. 149, № 2.

3. Шестаков И. П. Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 6.

4. Wall C. T. C. Graded Brauer groups //J. Reine Angew. Math. 1964. Vol. 213.

5. Silva J. P., Murakami L. S. I., Shestakov I. P. On right alternative syperalgebras // Comm. in Algebra. 2016. Vol. 44, № 1.

ПРОСТЫЕ ПРАВОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ СУПЕРАЛГЕБРЫ АБЕЛЕВА ТИПА ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ, ЧЁТНАЯ ЧАСТЬ КОТОРЫХ ПОЛЕ С. В. Пчелинцев, О. В. Шашков (г. Москва) E-mail: [email protected], [email protected]

Следуя [1], супералгебра B = Г0M называется супералгеброй абелева типа, если её чётная часть Г ассоциативна и коммутативна, а нечётная часть M является ассоциативным Г-бимодулем.

Примерами супералгебр абелева типа являются супералгебра B^2, скрученная супералгебра B (r,D,Y) и скалярный ш-дубль B (Г,*, Яш). Супералгебры B (Y,D,y) были введены И. П. Шестаковым [1, 2] при классификации простых альтернативных супералгебр и простых (-1,1)-супералгебр.

Дубли B (Г,*, Яш) возникли в [3] при классификации простых конечномерных правоальтернативных супералгебр абелева типа над полем характеристики 0.

Напомним также, что B^2 - коммутативная супералгебра с базисом 1,x,y (x, y - нечетны) и умножением xy = — yx = 1, x2 = y2 = 0.

Отметим также, что в 2004 г. простые специальные йордановы супералгебры абелева типа изучались В. Н. Желябиным и И. П. Шеста-

ковым [4]. Ими было доказано, что при некоторых ограничениях такая супералгебра является центральным порядком в йордановой супералгебре векторного типа J (Г, 5), где 5 - ненулевое дифференцирование уни-тальной ассоциативно-коммутативной 5-простой алгебры Г. Некоторые применения супералгебр векторного типа В(Г, Л, 7) и J (Г, 5) к структурной теории указаны в [5].

Вектор х Е М называется изотропным, если х2 = 0. Супералгебру В = Г 0 М абелева типа назовем исключительным дублем, если М = Гх и [х, Г] = 0, [х, М] = 0 для некоторого неизотропного вектора х Е М.

Мы изучаем простые правоальтернативные супералгебры В = Г 0 М абелева типа произвольной размерности при условии, что чётная часть Г является полем (основное поле Ф предполагается алгебраически замкнутым характеристики = 2). Сначала доказывается, что нечётная часть М некоммутативной супералгебры В = Г 0 М содержит неизотропный вектор (теорема 1).

Затем доказана теорема 2: скалярная супералгебра В = Г 0 М является ш-дублем или изоморфна супералгебре В^2. Кроме того, там же доказано предложение 1: супералгебра В = Г 0 М является либо супералгеброй В^2, либо супералгеброй Шестакова, либо ш-дублем, либо исключительным дублем.

Наконец, доказывается, что всякий исключительных дубль В = Г 0 Гх изоморфен гипотетической супералгебре В (Г,*, Л, . Оказывается, что такая супералгебра не может быть правоальтернативна. Тем самым, справедлива

Основная теорема. Простая правоальтернативная супералгебра В = = Г 0 М абелева типа, в которой чётная часть Г является полем характеристики = 2 (основное поле Ф предполагается алгебраически замкнутым), изоморфна либо коммутативной альтернативной супералгебре В^2 или В (Г, Л, 0) (еЬаг(Ф) = 3), либо скрученной (—1,1)-супералгебре Шестакова В (Г, Л, 7), либо скалярному ш-дублю В (Г,* ).

Библиографический список

1. Пчелинцев С. В., Шашков О. В. Простые конечномерные правоальтернативные супералгебры абелева типа характеристики нуль // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т. 79, № 3.

2. Шестаков И. П. Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 6.

3. Шестаков И. П. Простые (-1,1)-супералгебры // Алгебра и логика. 1998. Т. 37, № 6.

4. Желябин В. Н., Шестаков И. П. Простые специальные йордановы супералгебры с ассоциативной четной частью // Сиб. матем. журн. 2004. Т. 45, № 5.

5. Pchelintsev S. V., Shestakov I. P. Prime (-1,1) and Jordan monsters and superalgebras of vector type //J. Algebra. 2015. Vol. 453.

ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ РЕШЕТКИ ФОРМАЦИЙ УНАРОВ А. Л. Расстригин (г. Волгоград) E-mail: [email protected]

Класс алгебраических систем называется формацией, если он замкнут относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Формации получили широкое распространение в теории конечных групп [1, 2]. Также разными авторами изучались формации и некоторых других типов алгебраических систем. Общие моменты, касающиеся формаций произвольных алгебраических систем описаны в [3].

Совокупность формаций, которой вместе с любыми двумя ее формациями принадлежит их пересечение и наименьшая формация, содержащая две данные, образует решетку относительно включения классов. Например, множество всех формаций конечных алгебраических систем некоторого типа или класс всех формаций, являющихся подформациями данной формации, относительно включения образуют решетки. Свойства и строение различных решеток формаций можно найти в [2-4].

Напомним, что алгебру с одной единственной унарной операцией называют унаром. В работах [5, 6] описана решетка формаций конечных унаров, в [7] сформулированы свойства решеток формаций не более чем счетных унаров.

В настоящей работе найдено необходимое и достаточное условие для того, чтобы решетка подформаций произвольной формации унаров являлась цепью.

Библиографический список

1. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М. : Наука, 1978.

2. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Минск : Беларуская навука, 1997.

3. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М. : Наука, 1989.