CC BY
49
42
УДК 512.554
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 4(78).
ОБ ОБОБЩЕННОМ ДУБЛЕ КАНТОРА1
© 2010 И.Б. Кайгородов2
В работе рассматривается обобщение широко известной конструкции "дубль Кантора". Найдено условие йордановости обобщенного дубля Кантора и описаны его ¿-супердифференцирования с первичной четной частью.
Ключевые слова: дубль Кантора, йорданова супералгебра, ¿-супердифференцирование.
1. Предварительные сведения
Пусть Г — поле характеристики р = 2. Супералгеброй над полем Г называется алгебра А такая, что А — Ао 0 А\ с условием А^А^ С Аг+^(то^2). Элементы супералгебры А — Ао 0 А1 из множества А* — Ао и А1 будем называть однородными. Для однородного элемента х супералгебры А будем считать р(х) — г, если х е Аг.
Алгебра А над полем Г называется йордановой, если она удовлетворяет тождествам
ху — ух, (х2у)х — х2(ух).
Пусть О — алгебра Грассмана над Г, заданная образующими 1, £1,..., £п,... и определяющими соотношениями: £2 — — £г. Элементы 1,£г1 ...£гк
(¿1 < ... < ) образуют базис алгебры О над Г. Обозначим через Оо и О1 подпространства, порожденные, соответственно, произведениями четной и нечетной длины; тогда О представим в виде прямой суммы этих подпространств: О — Оо 0 О1, при этом справедливы соотношения ОгО^ С Ог+^(тоЛ2),г,3 — 0,1.
Под суперпространством мы понимаем Z2-градуированное пространство. На пространстве ЕиЗ,(А) эндоморфизмов супералгебры А — Ао + А1 зададим структуру супералгебры таким образом, что четными элементами будем считать те эндоморфизмы, которые инвариатны на Ао и А1 , а нечетными элементами будем считать такие эндоморфизмы ф, что ф(Аг) С Аг+1.
Для супералгебры А подалгебра
О(А) — Оо ® Ао + О1 ® А1
1 Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразования "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1.419), гранта РФФИ 09-01-00157-А, Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-3669.2010.1, МД-2438.2009.1), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг. (гос. контракты № 02.740.11.0429, № 02.740.11.5191, № 14.740.11.0346), интеграционного проекта СО РАН № 97, Лаврентьевского гранта для коллективов молодых ученых СО РАН, постановление Президиума СО РАН № 43 от 04.02.2010.
2Кайгородов Иван Борисович ([email protected]), лаборатория теории колец Института математики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Коптюга, 4.
в тензорном произведении О ® А называется грассмановой оболочкой супералгебры А.
Пусть О — некоторое многообразие алгебр над Е. Супералгебра А называется О-супералгеброй, если О(А) € П. Таким образом, супералгебра А является йор-дановой супералгеброй, если ее грассманова оболочка О(А) является йордановой алгеброй.
Дубль Кантора [1]. Пусть Г = Го ф Г1 — ассоциативная суперкоммутативная супералгебра с единицей 1 и {, } : Г х Г ^ Г — суперкососимметрическое билинейное отображение, которое мы будем называть скобкой. По супералгебре Г и скобке {, } можно построить супералгебру . (Г, {, }). Рассмотрим . (Г, {, }) =Г ф Гх — прямую сумму пространств, где Гх — изоморфная копия пространства Г. Считаем, что Б(а) = {а, 1}. Пусть а,Ь — однородные элементы из Г. Тогда операция умножения • на .(Г, {,}) определяется формулами
а • Ь = аЬ, а • Ьх = (аЬ)х, ах • Ь = ( — 1)р(ь) (аЬ)х, ах • Ьх = ( — 1)р(ь){а, Ь}.
Положим А = Г0 + Г1х, М = Г1 + Г0х. Тогда .(Г, {,}) = А ф М — Z2-градуированная алгебра.
Для унитальной супералгебры скобка {,} называется йордановой, если при однородных элементах ¡г,дг,Нг € Г выполняются следующие соотношения:
{¡ид,Ь,н} = {¡идо}Ни + (-1)''д,{¡и Нк} - Б^д,Нк, (1)
{¡и {до, ^к}} = {{¡и до}, Ьк} + (-1)''{до, {¡и Ы}+
+0(/){дз, Нк} + (-1)'^'){Нк¡¿} + (-1)к'+^(^Щи д,}. (2)
В дальнейшем элементы к^, ¡1,д1,Нг мы будем всегда считать однородными.
Хорошо известно [2, 3], что супералгебра .(Г, {,}) йорданова тогда и только тогда, когда скобка {, } является йордановой. В силу йордановости супералгебры .(Г, {, }) получаем, что Б : а ^ {а, 1} — дифференцирование супералгебры Г.
Если Б — нулевое дифференцирование, то {, } является скобкой Пуассона, т. е.
{а, Ьс} = {а, Ь}с + (-1)р(а)р(ь)Ь{а, с}
и Г — супералгебра Ли относительно операции {,}. Произвольная скобка Пуассона является йордановой скобкой [4].
Хорошо известно [2, 3], что йорданова супералгебра . = Г + Гх, полученная с помощью процесса удвоения Кантора, будет являться простой тогда и только тогда, когда Г не имеет ненулевых идеалов В с условием {Г, В} С В.
Супералгебра векторного типа .(Г, Б). Пусть Г — ассоциативная суперкоммутативная супералгебра с ненулевым четным дифференцированием Б. Определим на Г скобку {, } полагая {а,,Ь} = Б(а)Ь - аБ(Ь). Тогда скобка {, } — йорданова скобка. Полученную супералгебру .(Г, {,}) будем обозначать как .(Г, Б).
2. Иордановость обобщенного дубля Кантора
В данной части работы мы рассмотрим обобщенный дубль Кантора. Мы ослабим условие унитальности и суперкоммутативности супералгебры Г и построим супералгебру . (Г, {, }) по аналогии с вышеприведенной конструкцией. Если супералгебра Г обладает дифференцированием Б, то, задав скобку {, } по правилу
{a,b} = D(a) — aD(b), мы получим супералгебру векторного типа (необязательно унитальную).
Легко заметить, что условие простоты супералгебры J(Г,{,}) влечет отсутствие идеалов I в супералгебре Г c условием {I, Г} С I. В противном случае в супералгебре J (Г, {, }) мы имели бы ненулевой градуированный идеал I + Ix. Скобка {,}, определенная на супералгебре Г, называется йордановой, если
(—1)(i+j)i{{fi, hk}gj, k} + (—1)(k+j)i{{hk,ki}gj,fi}+ +(—1)(i+j)k{{ki,fi}gj, hk} = (—1)(i+j)i{fi, hk}{gj, ki}+
+( — 1)(k+j)i{hk, ki}{gj,fi} + ( — 1)(i+j)k{ki, fi}{gj, hk}, (3)
( — 1){k+j)i({hk ki ,gj }fi — hk ki {gj ,fi}) = = ( — I)(i+j)k ({kifi,gj }hk — kifi{gj ,hk }), (4)
(—1){i+j)i({fihkgj ,ki} — fihk {gj ,ki}) =
= ( — 1)(k+j)i({hk ki, gj }fi — {hk ki, gj f})+
+( — 1)(i+j)k ({kifi ,gj }hk — {kifi,gj hk}). (5)
Теорема 2.1. Обобщенный дубль Кантора J (Г, {,}) является йордановой супералгеброй тогда и только тогда, когда скобка {, } является йордановой и супералгебра Г суперкоммутативна.
Доказательство. Известно, что йорданова супералгебра удовлетворяет тождествам
fi • gj — ( — l)ijgj • fi = 0, (6)
( —1)(i+j)i[fi • hk,gj,ki] +
+( — 1)(k+j)i[hk • ki, gj, fi] + ( — 1)(i+j)k[ki • fi,gj,hk] = 0, (7)
где [f,g,h] = (f • g) • h — f • (g • h) — обычный неградуированный ассоциатор и fi = = fi + fi+ix — базисные элементы Ji = Fi + Fi+ix.
Легко заметить, что супералгебра J (Г, {,}) удовлетворяет условию (6) тогда и только тогда, когда Г — суперкоммутативная супералгебра.
Для установления эквивалентности между тождеством (7) и соотношениями йордановой скобки (3)—(5) нам достаточно проверить эквивалентность на однородных элементах супералгебры J (Г, {, }). В дальнейшем считаем, что ft ,gt,ht,kt G G Г^ Поскольку Г ассоциативна, то
[fi • hk ,gj ,ki ] = 0, [fix • hk, gj, ki] = 0, [fi • hk x,gj, ki] = 0,
[fi • hk,gjx, ki] = 0, [fi • hk,gj, kix] = 0.
Таким образом, достаточно рассмотреть случаи, когда в тождестве (7) среди элементов fi, gj, hk, ki два или более являются элементами Гx. Проведем последовательные вычисления.
0 = ( — 1)(i+j)i[fi+ix • hk+ix,gj+ix,ki+ix] + + ( — 1)(k+j)i[hk+ix • ki+ix,gj+ix, fi+ix] + ( — 1)(i+j)k[ki+ix • fi+ix, gj+ix, hk+ix] =
= (-^^^({{¡.^ Нк+1}д,+1, к+Л - {¡г+1, Нк+1}{д,+1, к+1}) + + (-1)(к+з')®+г+®({{Нк+1, к1+1}д,+1, ¡.+1} - {Нк+1, к1+1}{дз+и ¡.+1}) + + (-1)(г+')к+.+к({{к+и^}д,+1, Нк+1} - {к+1, ¡.+1}{д'+1, Нк+1}).
Легко заметить, что мы получаем аналог тождества (3).
0 = (-^(^[¡^х • Нк+1х, д+х, к]+
+(-1)(к+з).[Нк+1х • к1,д,+1 x,¡i+lx] + (-1)(l+j)k[к, • ¡.+ 1х,д,+1х,Нк+1х] = (8)
= (-l)(i+j)l+k+l+1({¡i+l,Нк+1}д,+1к - {¡г+1,Нк+1}д,+1к)х + + (-1)(к+').+1+'+1({Нк+1к1 ,д,+1}Л+1 - Нк+1к,{д,+1, ¡.+ 1})х + + (-1)(l+j)k+j+1({kl¡i+l,gj+l}hk+l - кф+^д'+ьНк+^х.
Заметим, что мы имеем аналог тождества (4).
Вычисляя, видим, что [¡х • Нх, д, кх] = 0, следовательно, при подстановке ^ = = ¡.+1х, gj = д', Ьк = Нк+1х, кх = kl+lx в соотношение (7) в правой части мы имеем нулевое выражение.
0 = ( 1)(.+з)1 [¡.+1х • Нк,д,+ 1 х,к+1х] + + (-1)(к+з).[Нк • к+1х,д'+1 х,^+1х] + (-1)(l+j)k[kl+lx • ¡.+1х,д,+ 1х, Нк].
Отметим, что при замене ¡. ^ Нк,Нк ^ к,к ^ ¡. мы получим выражение (8), которое эквивалентно (4):
0 = (-1)(i+j)l[¡i • hk+lx,gj+lх, к+1х] + + ( 1)(к+[Нк+1х • kl+lx,gj+lx,¡i] + (-1)(l+j)k[kl+lx • ¡ид,+1х, Нк+1х].
Элементарно заметить, что при замене ¡. ^ к ,к ^ Нк ,Нк ^ ¡. мы получим выражение (8), которое также эквивалентно (4):
0 = (-l)(i+j)l[¡i • Нк,gj+lx,kl+lx] +
+(-1)(к+Л.[Нк • kl+lX,gj+lX,¡i] + (-1)(l+j)k[к+1х • ¡i,gj+lx,hk] = (9)
= (-l)(i+j)l+l+1({¡ihkд,+ ъ к+} - ¡НкЬ'+Ъ кш}) + + (-1)(k+j)i+j+1({hkkl+l,gj+l}¡i - {Нкkl+l,gj+l¡i}) + + (-1)(l+j)k+i+j+1({kl+l¡i,gj+l}hk - {kl+l¡i,gj+lhk}).
Очевидно замечаем, что мы имеем аналог тождества (5):
0 = (-l)(i+j)l[¡i • Нк+1х,д',к+х] + + ( 1)(к+[Нк+1х • кшх, д', ¡] + +(-1)(l+j)k [к1+1х • ¡и д,, Нк+1х] = = (-1)(.+3)1+'+1+1 ({¡Нк+д,кш} - {¡Нк+идзк+1}) + + (-1)(k+j)i+l+1({hk+l, к+1}д'и - {Нк+1, к+1}д'¡0 + + (-l)(l+j)k+i+j+k+1({kl+l¡igj ,hk+l}-{kl+l¡i,gj Нк+1}).
Легко заметить, что полученное соотношение эквивалентно
(-l)(i+j)l({¡ihkgj,к} - {¡Нк,д'к}) =
= (-l)(l+j)k(^¡д,Нк} - {кЛ,д,Нк}). (10)
0 = (-l)(i+j)l[¡i • Нк+1х,д,+ 1 х, к] + + (-1)(к+^[Нк+1х • к,д,+1 х, ¡] + (-1)(l+j)k[kl • ¡^ д,+ 1х, Нк+1х].
Заметим, что при замене ¡,1 ^ Нк,Нк ^ к,к ^ ¡■1 мы имеем выражение (9), которое эквивалентно (5):
0 = (-^^[^х • Нк,д',к+ 1х] + + (-l)(k+j)i[hk • к+1х,д', ¡¿+1х] + (-^'^[к^х • ^х,д',Нк+1].
Легко заметить, что при замене ¡,1 ^ к, к ^ Нк,Нк ^ ¡-I мы получим выражение, эквивалентное (10):
0 — ( — 1)(г+Л1ц.+1х • нк,д+ х, к1] + + ( — 1){к+Щнк • к1,д^+1х,!г+1х] + ( — 1)(1+о)к[к1 • ¡г+1х,дз+1х,Нк].
Очевидно замечаем, что при замене /г ^ к,к ^ Нк,Нк ^ /г мы имеем выражение (9), которое эквивалентно (5):
0 — ( — 1)(г+)1^+1х • Нк+1х, дэ, к1] + + ( — 1)(к+Лг[нк+1х • к1,дэ,!г+1х] + ( — 1)(1+э)к[к1 • ¡г+1х,дэ,Нк+1х].
Легко заметить, что при замене /г ^ Нк,Нк ^ к, к ^ /г мы получим выражение, эквивалентное (10).
Для доказательства теоремы осталось показать, что система тождеств (5), (10) эквивалентна системе тождеств (4), (5). Из (10) и (5) можем получить:
( — 1)(г+Э)1Шк,дэк} + ( — 1)(1+э)к{кфд,, Нк} + ( — 1)(к+Э)г{Нкк1 ,дэ/г} —
— ( — 1)(г+Э)1/гНк{дэ,к} + ( — 1)(1+э)к{к/г, дэ}Нк + ( — 1)(к+Э)г{Нкк1,дэ/
Откуда путем замены Нк ^ к, к ^ Нк получим
( — 1)И+э)к {/.к1,д. Нк } + ( — 1)(к+э)1{Нк /гдэ ,к1} + ( — 1)(1+э)г{к1Нк ,д, /г} —
— ( — 1)(г+э)к /гк1{дэ ,Нк } + ( — 1)(к+Э)1{Нк /г,дэ }к1 + ( — 1)(1+э)г{к1Нк ,дэ }/г.
Применим (5) и получим
( — 1)(г+э)к /.к1{д. ,Нк } + ( — 1)(к+э)1{Нк /г,дэ }к1 + ( — 1)(1+э)г{к1Нк }/ — — ( — 1ук+и+1к (( — 1)И+о1/.Нк {д. ,к{} + ( — 1)(к+э)г {Нк к1,дэ }/г + ( — 1)(1+э)к {к1 /г,дэ }Нк). Откуда путем замены /г ^ к, к ^ /г получаем
( — 1)И+з)кк1/.{д., Нк} + ( — 1)(к+э)1{Нкк1, дэ}/г —
— ( — 1)(к+э)гНкк{дэ, /г} + ( — 1)(1+э)к{к1 /г,дэ}Нк,
что, в свою очередь, является полным аналогом (4). Таким образом, теорема доказана.
Отметим, что для неунитальной ассоциативно-суперкоммутативной супералгебры Г с дифференцированием Б супералгебра векторного типа J(Г, Б) будет являться йордановой. Доказательство легко следует из проверки тождеств (3)-(5).
3. О ^-супердифференцированиях обобщенного дубля Кантора с первичной четной частью
Исследование ¿-дифференцирований вытекает из работ Н.С. Хопкинс [5] и В.Т. Филиппова [6], где рассматривались антидифференцирования (т. е. (-1)-дифференцирования) алгебр Ли. Затем эти результаты получили обобщение в работах В.Т. Филиппова [7, 8]. Дальнейшее исследование ¿-дифференцирований связано с работами В.Т. Филлипова [9], И.Б. Кайгородова [11, 12, 13, 15], И.Б. Кайгородова и В.Н. Желябина [14] и П. Зусмановича [10]. В результате были описаны ¿-дифференцирования первичных ассоциативных, альтернативных, лиевых и мальцевских нелиевых алгебр, полупростых йордановых алгебр, первичных лиевых супералгебр, полупростых конечномерных йордановых супералгебр и простых унитальных супералгебр йордановой скобки. Более подробную информацию по описанию ¿-дифференцирований и ¿-супердифференцирований можно найти в обзоре [16].
Однородный элемент ф суперпространства эндоморфизмов А ^ А называется супердифференцированием, если
ф(ху) = ф(х)у + (-1)р(х)р(^хф(у).
Рассмотрим супералгебру Ли А и зафиксируем элемент х € а.. Тогда их : у ^ [х,у] является супердифференцированием супералгебры А, и его четность р(их) =
= г.
Для фиксированного элемента 6 из основного поля, под 6-супердифференциро-ванием супералгебры А = Ао ©А1, мы понимаем однородное линейное отображение ф : А ^ А такое, что для однородных х,у € А выполнено
ф(ху) = 6(ф(х)у + (-1)р(х)р(ф)хф(у)). (11)
Под суперцентроидом Г8(А) супералгебры А мы будем понимать множество всех однородных линейных отображений х : А ^ А для произвольных однородных элементов а, Ь, удовлетворяющих условию
х(аЬ)= х(а)Ь = (-1)р(а)р(х)ах(Ь).
Центроид алгебры А определяется по аналогии и обозначется Г(А). Заметим, что 1-супердифференцирование является обыкновенным супердифференцированием; 0-супердифференцированием является произвольный эндоморфизм ф супералгебры А такой, что ф(А2) =0.
Ненулевое 6-супердифференцирование ф будем считать нетривиальным, если
6 = 0,1 и ф € г8(А).
В данной части мы рассмотрим 6-супердифференцирования обобщенного дубля Кантора . (Г, {, }), построенного исходя из А = Г — первичной ассоциативной алгебры и скобки {, }. Напомним, что А является первичной алгеброй, если из равенства аАЬ = 0 для некоторых элементов а, Ь алгебры А следует, что либо а = 0, либо Ь = 0.
В дальнейшем через (Д1 (.(Г, {, }))^ будем обозначать пространство 2-супердифференцирований супералгебры .(Г, {,})), имеющих четность г.
Теорема 3.1. Супералгебра .(Г, {,}) не имеет ненулевых 6-супер-дифференцирований, если 6 = 0, 1, 1. Если ф — четное 1 -супердифференцирование .(Г, {, }), то {ф\А, ф € (Д1 (.(Г, {, })))0} = Г(А) П Д1 (А, {, }) и ф(ах) = = ф\А(а)х. В частности, если .(Г, {,}) — супералгебра векторного типа, то {ф\А,ф € (Д2(.(Г, {, })))о} = Г(А).
Доказательство. Пусть ф — четное 6-супердифференцирование и ф(сх) = = фсх. Рассмотрим ограничение ф\А на подалгебру А. Таким образом, ф\А есть 6-дифференцирование первичной ассоциативной алгебры А. Согласно [9], при 6 = = 1 имеем ф\А € Г(А), а при 6 = 2 имеем ф\А = 0.
Затем через а, Ь, с, ! мы обозначаем произвольные элементы алгебры А. Рассмотрим случай 6 = 1, тогда
62аЬф(сх) = 6аф(Ьсх) = ф(аЬсх) = 6аЬф(сх),
что влечет аЬф(сх) = 0, то есть аЬфс = 0. В силу первичности А это влечет фс = 0. Таким образом, мы имеем тривиальность ф. Если 6 = 1, то
1 ф(а)Ьсх + 4 аф(Ь)сх + ц аЬф(сх) = ф(аЬсх) = ц ф(аЬ)сх + ц аЬф(сх).
Откуда, пользуясь тем, что ф(а)Ьс = аЬф(с) = аф(Ь)с = ф(аЬ)с, легко получаем
аЬ(фс - ф(с)) = 0, что в силу первичности А дает ф(с) = фс. Отметим, что
ф{а, Ь} = ф(ах ■ Ьх) = ц(ф(ах) ■ Ьх + ах ■ ф(Ьх)) = ц{ф(а), Ь} + ц{а, ф(Ь)},
то есть ф\А € Д1 (А, {, }). Заметим, что любой элемент ф\ц € Г(А)ПД 1 (А, {, }) продолжается до четного 1 -супердифференцирования ф по правилу ф(ах) = ф\А(а)х. Пусть ф — нечетное 1 -супердифференцирование супералгебры .(Г, {, }), тогда
62ф(а)Ьс + 62 аф(Ь)с + 6аЬф(с) = ф(аЬс) = 6ф(а)Ьс + 62аф(Ь)с + 62аЬф(с).
Откуда легко следует ф(а) Ьс = аЬф(с), далее имеем
ф(аЬ)!с = аЬ!ф(с) = аф(Ь)!с.
Затем в силу первичности А вытекает ф(аЬ) = ф(а)Ь = аф(Ь). Воспользовавшись (11), имеем
ф(аЬ) = 6(ф(а)Ь + аф(Ь)) = 26ф(аЬ).
Таким образом, возможны два случая 6 = 1 или 6 = 1 и ф(аЬ) = 0.
Из второго случая легко вытекает 0 = ф(аЬ)с = ф(а)Ьс. Откуда в силу первичности А получаем ф(А) = 0. Осталось заметить, что
6аЬф(сх) + 6ф(аЬ) ■ сх = ф(аЬсх) = 6ф(а)(Ьсх) + 62а(ф(Ь) ■ сх) + 62аЬф(сх),
то есть (62 - 6)аЬф(сх) = 0. Таким образом, используя первичность А, имеем ф(сх) = 0. Основное утверждение теоремы доказано.
Отметим, что если .(Г, {,}) — супералгебра векторного типа и ф\А € Г(А), то
В(а,ф\А(Ь) - фА(а)Ь) = 0, П(а)ф\А(Ь) + аП(ф\А(Ь)) - (В(фА(а))Ь - ф\аП(Ь)) = 0, 2ф\А(П(а)Ь - аП(Ь)) = Б(фЦ(а))Ь - фЦ(а)Б(Ь) + Да)фЦ(Ь) - аП(фА(Ь)),
ф\А{а, Ь} = ^{ф\ц(а), Ь} + 1 {а, ф\ц(Ь)},
то есть ф\ц € Д1 (А, {, }). Теорема доказана.
Отметим, что в случае когда Г является ассоциативно-коммутативной первичной алгеброй и скобка {, } является йордановой скобкой, то по теореме 2.1 мы получаем отсутствие ненулевых 6-супердифференцирований при 6 = 0,1, 1 для супералгебр йордановой скобки с первичной коммутативно-ассоциативной четной частью.
Литература
[1] Кантор И.Л. Йордановы и лиевы супералгебры, определяемые алгеброй Пуассона // Алгебра и анализ. Томск: Изд-во ТГУ, 1989. С. 55-80.
[2] King D., McCrimmon K. The Kantor construction of Jordan Superalgebras // Comm. Algebra. 1992. V. 20. № 1. P. 109-126.
[3] King D., McCrimmon K. The Kantor doubling process revisited // Comm. Algebra. 1995. V. 23. № 1. P. 357-372.
[4] Kantor I.L. Connection between Poisson brackets and Jordan and Lie superalgebras // Lie Theory, Differential Equations and Representation Theory, publications in CRM. Montreal, 1990. P. 213-225.
[5] Hopkins N.C. Generalizes Derivations of Nonassociative Algebras // Nova J. Math. Game Theory Algebra. (1996). V. 5. № 3. P. 215-224.
[6] Филиппов В.Т. Об алгебрах Ли, удовлетворяющих тождеству 5-й степени // Алгебра и логика. 1995. Т. 34. № 6. C. 681-705.
[7] Филиппов В.Т. О ¿-дифференцированиях алгебр Ли // Сиб. матем. ж. 1998. Т. 39. № 6. С. 1409-1422.
[8] Филиппов В.Т. О ¿-дифференцированиях первичных алгебр Ли // Сиб. матем. ж. 1999. T. 40. № 1. С. 201-213.
[9] Филиппов В.Т. О ¿-дифференцированиях первичных альтернативных и маль-цевских алгебр // Алгебра и логика. 2000. Т. 39. № 5. С. 618-625.
[10] Zusmanovich P. On ¿-derivations of Lie algebras and superalgebras // J. of Algebra. 2010. T 324. № 12. P. 3470-3486.
[11] Кайгородов И.Б. О ¿-дифференцированиях простых конечномерных йордано-вых супералгебр // Алгебра и логика. 2007. T. 46. № 5. С. 585-605.
[12] Кайгородов И.Б. О ¿-дифференцированиях классических супералгебр Ли // Сиб. матем. ж. 2009. T. 50. № 3. С. 547-565.
[13] Кайгородов И.Б. О ¿-супердифференцированиях простых конечномерных йор-дановых и лиевых супералгебр // Алгебра и логика. 2010. T. 49. № 2. С. 195-215.
[14] Желябин В.Н., Кайгородов И.Б. О ¿-супердифференцированиях простых супералгебр йордановой скобки // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23. URL: http://math.nsc.ru/~kaygorodov/art/st_delta_4_rus.pdf.
[15] Кайгородов И.Б. О ¿-супердифференцированиях полупростых конечномерных йордановых супералгебр // Математические заметки. 2011. T. 88 URL: http://math.nsc.ru/~kaygorodov/art/st_delta_5_rus.pdf.
[16] Кайгородов И.Б. О ¿-дифференцированиях алгебр и супералгебр // Проблемы теоретической и прикладной математики: тез. докл. 41-й Всероссийской молодежной школы-конф., Екатеринбург, 1-5 февраля 2010 г. URL: http://home.imm.uran.ru/digas/School-2010_A5.pdf.
Поступила в редакцию 09/////2010;
в окончательном варианте 09/////2010.
50
H.B. KaüsopoöoB
GENERALIZED KANTOR DOUBLE
© 2010 I.B. Kaygorodov3
Generalization of a widely known construction "Kantor double" is viewed in this work. The condition of Jordan superalgebra of the generalized Kantor double is found and ¿-superderivations of the generalized Kantor double which primary part is even are described.
Key words: Kantor double, Jordan superalgebra, ¿-superderivation.
Paper received 09/1/7/2010. Paper accepted 09/777/2010.
3Kaygorodov Ivan Borisovich (kibamath.nsc.ru), Institute of Mathematics SO RAS, Novosibirsk, 630090, Russia.
