Об одном радикале алгебр со свойством трансвербальности по минимальным многообразиям Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2004. № 2. С. 19-21.

\Т TTV о pf7Q

© Омский государственный университет ** ^ oiz.o/o

ОБ ОДНОМ РАДИКАЛЕ АЛГЕБР СО СВОЙСТВОМ ТРАИСВЕРБАЛЬНОСТИ ПО МИНИМАЛЬНЫМ

МНОГООБРАЗИЯМ

JI.M. Мартынов

Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры 64-4-099, Омск, наб. Тухачевского, 141

Получена 1 марта 2004 г-

We prove that in any algebry A from arbitrary variety V there exists the largest complete scatter. If V is transverbal by minimal subvarieties then this scatter admits the congruence p of A such that A/p is a reduced algebra.

В теории абелевых групп важную роль играют понятия полноты (делимости) и редуцированности. В частности, в любой абелевой группе существует наибольшая полная подгруппа, факторгруппа по которой редуцирована. Тем самым в классе всех абелевых групп определяется радикал [1], который будем называть в дальнейшем полным радикалом.

В работе [2] определены аналоги понятий полноты и редуцированности для произвольных алгебр. А именно алгебра из данного многообразия V алгебр называется (атомно) полной тогда и только тогда, когда она не имеет гомоморфизмов на нетривиальные алгебры из атомов решетки L(V) подмногообразий многообразия V. Редуцированной называется алгебра, не имеющая нетривиальных полных подалгебр.

Основной целью настоящей статьи является получение достаточного условия существования аналога полного радикала абелевых групп для произвольных алгебр.

Формулировке основного результата представим необходимые определения и обозначения. Одноэлементную алгебру мы называем тривиальной. Элемент алгебры А называется идем-потентом, если он порождает тривиальную подалгебру. Произвольное дизъюнктное семейство подалгебр алгебры А называется россыпью алгебры А, а алгебры, которые ее составляют, называются компонентами россыпи. На множестве S{A) всех россыпей алгебры А естественным образом определяется частичный порядок ■<: для любых россыпей А и В считают А ^ В тогда и только тогда, когда каждая компонента россыпи

1 e-mail: [email protected]

А является подалгеброй некоторой компоненты россыпи В. Ясно, что в (А) есть полная (в обычном смысле) решетка, наименьшим элементом которой является пустая россыпь. Условимся через £4 обозначать тривиальную россыпь, т. е. либо россыпь, компонентами которой являются в точности все тривиальные подалгебры алгебры А, либо пустую россыпь в случае отсутствия идемпотентов в алгебре А. Россыпь будем называть полной, если все ее компоненты являются полными алгебрами. В частности, тривиальная россыпь алгебры А является полной.

Блоки конгруэнции р алгебры А, которые являются ее подалгебрами, образуют россыпь кег(р) алгебры А, которую мы называем ядром р. Россыпь Т из в (А) будет называть конгруэнц-допустимой в А, если Т = кег(р) для некоторой конгруэнции р на А. Для конгруэнц-допустимой россыпи Т из в (А) наименьшую конгруэнцию с ядром Т будем называть конгруэнцией, порожденной россыпью Т, и обозначать через р-р ■ Условимся при этом фактор-алгебру А/р-р обозначать через А/Т). Мы говорим, что алгебра А есть расширение россыпи Т) посредством алгебры В, если Т> конгруэнц-допустима в А и А/Т> = В.

Будем говорить, что россыпь Т принадлежит классу К алгебр, если все ее компоненты принадлежат К. Напомним, что К-произведением [3] подклассов X, V класса К называется его подкласс Хок V, состоящий из алгебр, являющихся расширенем россыпей из X с помощью алгебр из V. Если X ок X = X, то мы говорим, что X замкнут относительно расширений в К .

Пусть V - многообразие алгебр, Ь(У) - ре-

20

J1.M. Мартынов

шетка его подмногообразий, X £ L(V) и А £ V. Ядро Х-вербальной конгруэнции р(Х, А) алгебры А называется ~Х.-вербалом алгебры А и обозначается через Х(А). Если V = {A¿ : i £ 1} есть россыпь алгебры А, то россыпь Х(Х>) = U¿e/X(A¿) называется ~Х.-вербалом россыпи Т>.

Алгебра А называется трансвербальной [3] по многообразию X, если для любой конгруэнц-допустпмой россыпи Т> алгебры А ее Х-вербап Х(Х>) также является конгруэнц-допустимой россыпью алгебры А. Если любая алгебра из многообразия V трансвербальна по X, то V будем называть трансвербальным по подмногообразию X. Если многообразие V трансвербально по любому своему подмногообразию, то оно называется трансвербальным.

Основным результатом статьи является теорема.

1. Пусть V - произвольное многообразие алгебр. В любой алгебре А многообразия V существует наибольшая полная россыпь С (А).

2. Если V трансвербально по минимальным многообразиям, то

а) россыпь С (А) является конгруэнц-допус-тимой;

б) фактор-алгебра алгебры А по конгруэнции рС[А), порожденной россыпью С (А), является редуцированной.

Доказательство.

1. Пусть V - произвольное многообразие алгебр и А - любая алгебра из V. Рассмотрим россыпь С (А), порожденную всеми полными россыпями алгебры А, и покажем, что она является полной. Действительно, для любой полной россыпи С и любого минимального многообразия Р имеем С ^ С (А) и поэтому Р(С) = С < Р(С(А)). Отсюда С (А) < Р(С(А)). Учитывая очевидное обратное включение Р(С(А)) С (А), получаем равенство Р(С(А)) = С(А).

2. Пусть теперь V трансвербально по минимальным многообразиям.

Покажем сначала, что россыпь С (А) является конгруэнц-допустимой. Рассмотрим наименьшую конгруэнц-допустимую россыпь Т>, содержащую С (А). Для любого минимального многообразия Р из включения С (А) Т> следует включение Р(С(А)) ■< Р(2?). Учитывая, что Р(С(А)) = С(А), имеем С (А) ^ Р(Х>). Поскольку Т> - конгруэнц-допустимая россыпь, в силу трансвербальностп V по минимальным многообразиям россыпь Р (2?) также конгруэнц-допустима, и поэтому Т> ■< Р(Х>). Так как обратное включение очевидно, получаем требуемое равенство Р (2?) = 2?. В силу произвольности выбора минимального многообразия Р делаем вывод о полноте россыпи 2?. Но С (А) - наибольшая полная россыпь и, следовательно, Т> ■< С (А). Таким об-

разом, Т> = С (А) и С (А) - конгруэнц- допустимая росссыпь.

Покажем теперь,что фактор-алгебра А = А/р, где р = рс(А) ^ редуцирована. Пусть С - полная подалгебра алгебры А и С - прообраз С при естественном гомоморфизме А на А. По доказанному наибольшая полная россыпь С (С) алгебры С является конгруэнц-допустимой в С. Пусть а = рс(с) ~ соответствующая конгруэнция алгебры С. Тогда из очевидного включения С(С) < С (А) следует включение а С р и по третьей теореме об изоморфизме алгебр ([4], теорема 3.11, с. 75) получаем (С/а)/(р/а) = С/р. Поскольку в силу утверждения 1 работы [2] фактор-алгебра полной алгебры является полной, кег(р/а) - полная россыпь. Применяя теперь дважды (сначала к (С/а)/(р/а), а затем к С /а) утверждение 2 работы [2] о том, что расширение полной россыпи с помощью полной алгебры является полной алгеброй, получим, что С -полная подалгебра алгебры А. Но тогда ^ С (А) и, значит, подалгебра С алгебры А тривиальна. Таким образом, алгебра А не имеет нетривиальных полных подалгебр и, следовательно, является редуцированной.

Замечание 1. Доказанная теорема показывает, что любая алгебра многообразия V, трансвербального по минимальным многообразиям, является расширением ее наибольшей полной россыпи при помощи редуцированной алгебры. Таким образом, в многообразии V определен радикал (Ы., Э) (в смысле Куроша), где радикальный класс 11 состоит из всех полных алгебр из V, а полупростой класс Э - из всех редуцированных алгебр из V. Многообразие V при этом совпадает с V- произведением Иоу Э. Заметим, что, согласно утверждениям 1 и 2 работы [2], класс И. является замкнутым относительно гоморфных образов и расширений, а, согласно утверждению 5 той же работы, класс Э является предмногообразием, замкнутым относительо расширений в V. Заметим, что отображение г, ставящее в соответствие каждой алгебре А из V наибольшую полную конгруэнц-допустимую россыпь г (А) (= С (А)), удовлетворяет условиям аксиоматического определения радикала [1]:

Ш) если (р : А —>■ В - такой гомоморфизм алгебры А в алгебру В, что образ (р(г(А)) есть россыпь алгебры В, то (р(г(А)) г((р(А));

И2) в любой алгебре А россыпь г (А) является г-радикалом алгебры А, т. е. наибольшей конгруэнц-допустимой г-радикальной (полной) россыпью;

ИЗ) для любой алгебры А имеет место г(А/Г(А))=£а/г{А).

На самом деле этот радикал г строгий [5], так

Об одном радикале алгебр со свойством трансвербальности по минимальным многообразиям

21

как г (А) содержит любую г-радикальную россыпь алгебры А.

Замечание 2. В любой алгебре А из многообразия V алгебр с единственным идемпотен-том наибольшая полная россыпь состоит из одной компоненты - наибольшей полной подалгебры С (А), - которая, согласно доказанной теореме, является конгруэнц-допустимой в случае, если V трансвербально по минимальным многообразиям. В этом случае С (А) совпадает с подалгеброй алгебры А, порожденной всеми полными подалгебрами алгебры А. В общем случае, как отмечалось в [2], наибольшей полной подалгебры в алгебре А может и не быть.

Замечание 3. Поскольку любой подмодуль произвольного модуля над ассоциативным кольцом Д с единицей является конгруэнц-допустимым, многообразие всех Д-модулей является трансвербальным. Многообразие всех групп также трансвербально, так как для любого многообразия X групп вербальная подгруппа Х(Д~) любой нормальной подгруппы Н данной группы С является вполне характеристической подгруппой в Н и потому нормальной подгруппой в С. Таким образом, в указанных многообразиях определен полный радикал.

Замечание 4. Трансвербальность многообразий линейных алгебр над произвольным ассоциативным и коммутативным кольцом Д с единицей довольно редкое явление, так как уже, например, многообразие всех ассоциативных колец не является таковым (см., напр., [3]). Однако со свойством трансвербальности по минимальным многообразиям дело обстоит иначе. Напомним, что, как отмечалось в [6] (теорема 12), минимальные многообразия моноассоциативных Д-алгебр исчерпываются многообразиями Zм, заданными в классе всех моноассоциативных Д-алгебр системами тождеств {Мх = 0,.г у = 0} для любых максимальных идеалов М кольца Д, и многообразиями заданными системами тождеств {Мх = 0, хр = .г} для любых максимальных идеалов М кольца Д, имеющих конечный индекс, и любых простых чисел р. Учитывая, что Ъм -вербал Zм{1) любого идеала I моноассоциативной Д-алгебры А есть идеал в /, порожденный подалгеброй М1+Т2 , а фактор-алгебра 1/¥м(1) не имеет нильпотентных элементов, заключаем, что некоторое многообразие М моноассоциативных Д-алгебр будет трансвербальным по минимальным многообразиям, если выполнены, например, следующие два условия:

1) квадрат идеала любой алгебры А из М является идеалом в А;

2) если А - любая алгебра из М, В - идеал в А, С - идеал в В и В/С - алгебра без нильпотентных элементов, то С - идеал в А.

Как отмечалось в работе [7], в силу известных результатов второе условие выполняется для ассоциативных, альтернативных, лиевых и йорда-новых Д-алгебр (предполагается, что 1/2 € Д в случае йордановых алгебр). Все перечисленные виды Д-алгебр, кроме последнего, удовлетворяют и первому условию, и поэтому в них существует полный радикал. В случае йордановых алгебр куб идеала является идеалом ([8], лемма 3, с. 109) и нам не известно, является ли многообразие йордановых алгебр трансвербальным по многообразию Ъм ? Так что мы оставляем открытым вопрос о существовании полного радикала в йордановых алгебрах.

Для линейных алгебр, в которых имеется полный радикал, последний является в некотором смысле антиподом к хорошо известному радикалу Джекобсона, поскольку, например, любая нильпотентная ассоциативная Д-алгебра, аддитивная группа которой редуцирована, является полупростой в нашем смысле, а любое не простое Д-поле является радикальной алгеброй.

[1] Курош А.Г. Радикалы колец и алгебр // Матем. сб. 1953. Т. 33. С. 13-26.

[2] Мартынов Л.М. О понятиях примарности, полноты, редуцированности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды межд. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 179-190.

[3] Мальцев А.И. Об умножении классов алгебраических систем // Сиб. мат. журн. 1967. Т. 8. № 2. С. 346-365.

[4] Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.

[5] Курош А.Г. Радикалы в теории групп // Сиб. матем. журн. 1962. Т. 3. С. 912-931.'

[6] Артамонов В.А. Решетки многообразий линейных алгебр // Успехи мат. наук. 1978. Т. 33. № 2. С. 135-167.

[7] Мартынов Л.М. О примарных и редуцированных многообразиях моноассоциативных алгебр // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. № 1. С. 103-112.

[8] Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.