О почти локально разрешимых алгебрах Ли с нулевым радикалом Джекобсона и локально нильпотентном радикале для алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

Кучеров А.А.

Оренбургский государственный университет E-mail: [email protected]

О ПОЧТИ ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ С НУЛЕВЫМ РАДИКАЛОМ ДЖЕКОБСОНА И ЛОКАЛЬНО НИЛЬПОТЕНТНОМ РАДИКАЛЕ ДЛЯ АЛГЕБР ЛИ

В работе доказывается аналог теоремы Ф. Кубо [1] для почти локально разрешимых специальных алгебр Ли с нулевым радикалом Джекобсона. Также показано, что для специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль рі -неприводимо представленный радикал совпадает с локально нильпотентным. Приведен пример алгебры Ли, локально нильпотентный радикал которой не является ни локально нильпотентным, ни локально разрешимым.

Ключевые слова: алгебра Ли, специальная алгебра Ли, неприводимое рі -представление, радикал Джекобсона, локально нильпотентный радикал, редуктивная алгебра Ли, почти локально разрешимая алгебра Ли.

На Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008), Борис Исаакович Плоткин поставил вопрос о гомологическом описании радикала Джекобсона для алгебр Ли.

Эта работа направлена на выяснение некоторых аспектов гомологического описания радикала Джекобсона и локально нильпотент-ного радикала.

1. О почти локально разрешимых алгебрах

Ли с нулевым радикалом Джекобсона

Следующее определение радикала Джекобсона было дано Е. Маршаллом: назовем радикалом Джекобсона J(L) алгебры Ли Ь пересечение максимальных идеалов и саму алгебру Ь, если их нет [2] (у Е. Маршалла было только пересечение максимальных идеалов, прибавка «сама алгебра Ь, если их нет» добавлена Ф. Кубо для бесконечномерных алгебр Ли [3]).

Назовем нильпотентным радикалом К(Ь) для конечномерной алгебры Ли Ь пересечение ядер ее неприводимых конечномерных представлений [3].

Отметим, что для конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль нильпотентный радикал совпадает с радикалом Джекобсона [2].

Е. Маршалл доказал следующую теорему.

Теорема 1. Если конечномерная алгебра Ли Ь над полем характеристики нуль имеет разложение Леви в прямую сумму L = S ® а^), тогда радикал Джекобсона алгебры Ли Ь равен 1^) = а^)], где Б - полупростая алгебра,

а а^) - разрешимый радикал Ь.

В формулировке следующей теоремы важную роль играет понятие подидеала. Назовем подидеалом идеал идеала алгебры Ли.

Теорема 2 ([4]). Если алгебра Ли Ь порождена конечномерными локальными подидеала-ми Ь, тогда радикал Джекобсона алгебры Ли Ь равен 1(Ц) = а^)], где а^) - максималь-

ный локально разрешимый идеал Ь.

Свойства радикала Джекобсона для бесконечномерных алгебр Ли исследовал также Ф. Кубо [1].

Он показал, что результаты Е. Маршалла и Н. Камийя в общем случае неверны для бесконечномерных алгебр Ли даже в случае локально-конечных алгебр.

Им были также изучены бесконечномерные алгебры Ли с нулевым радикалом Дже-кобсона.

Теорема 3 ([1]). Пусть Ь - локально-конечная алгебра Ли. Справедливо: J(L) = 0 тогда и только тогда, когда алгебра Ли Ь имеет разложение Леви L = S ® Z(L), где Z(L) -центр алгебры Ь, Б - подалгебра Ь такая, что 1ф) = 0.

В 1963 г. В.Н. Латышев ввел новый класс алгебр Ли [5], которые он назвал специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.

Скажем, что алгебра Ли Ь специальная или БРІ-алгебра Ли, если существует ассоциативная РІ-алгебра А такая, что Ь вложена в А( -) как алгебра Ли, где А( -) - алгебра Ли, заданная на А с помощью операции коммутирования [х,у] = ху - ух.

Назовем присоединенной ассоциативной алгеброй AdL ассоциативную алгебру, порожден-

ную в алгебре End L линейными преобразованиями {adx | x є L}, где adx(y) = [x,y],x,y є L.

Следующее определение, обобщающее определение В.Н. Латышева, было дано С.А. Пих-тильковым [6].

Алгебра Ли L называется обобщенно специальной, если ее присоединенная алгебра AdL является РІ-алгеброй.

Свойство быть обобщенно специальной алгеброй сохраняется при гомоморфизмах в отличие от специальности [6], [7].

Назовем алгебру Ли L почти разрешимой (почти локально разрешимой), если в ней существует разрешимый (локально разрешимый) идеал R такой, что алгебра L / R - конечномерна.

Пусть R - идеал алгебры Ли L, G - подалгебра. Скажем, что L представима в виде полу-прямого произведения L = G^R, если:

1. L = G + R ;

2. G n R = 0 .

Пусть R - разрешимый (почти разрешимый) радикал алгебры Ли L, если он существует.

Назовем полупростую конечномерную подалгебру G алгебры Ли L подалгеброй Леви, если L представима в виде полупрямого произведения L = G^R.

Теорема 4 (Леви [8]). Пусть L - конечномерная алгебра Ли над полем характеристики нуль с радикалом R. Тогда в L существует полу-простая подалгебра G такая, что L = G^R.

Заметим, что подалгебра G является подалгеброй Леви.

Ю.А. Бахтурин доказал следующий аналог теоремы Леви.

Теорема 5 ([9]). Пусть L - конечно порожденная почти разрешимая специальная алгебра Ли над полем характеристики нуль. Тогда в L существует подалгебра Леви.

Ю.А. Терехова следующим образом обобщила теорему Ю.А. Бахтурина.

Теорема 6 ([10]). Пусть L - специальная алгебра Ли над полем характеристики нуль, R - локально разрешимый радикал, фактор-алгебра LIR - конечномерна. Тогда в L существует полупростая конечномерная подалгебра G такая, что L представима в виде полупрямой суммы L = GXR.

Обобщим теорему Е. Маршалла на случай почти локально разрешимых алгебр Ли. Доказательство теоремы основано на идеях из [2].

Теорема 7. Пусть Ь - почти локально разрешимая алгебра Ли над полем Б характеристики нуль. Если алгебра Ли Ь имеет разложение Леви Ь = 5 © Я, где Б - конечномерная подалгебра Ь такая, что J(L) = 0, а Б - разрешимый радикал, то .ПГ) = ^Д].

Доказательство. Сделаем сначала очевидное замечание: радикал Джекобсона абелевой алгебры Ли равен нулю.

Следовательно, ] (Ь) с Ь.

Пусть I - максимальный идеал алгебры Ь. Фактор - алгебра Ь/1 не содержит собственных идеалов, является простой или абелевой.

Если алгебра Ь /1 - простая, то идеал Iсодержит И и представим в виде 1=Ы+Я, где М -максимальный идеал 5. Мы пользуемся тем, что алгебра 5 п Я является разрешимой и, следовательно, 5 п Я = 0.

Полупростая конечномерная алгебра 5 над полем характеристики нуль представима в виде суммы идеалов, являющихся простыми алгебрами Ли.

Следовательно, пересечение идеалов I таких, что фактор-алгебра Ь /1 - простая, совпадает с Я и ] (Ь) с Я .

Учитывая замечание, получили ] (Ь) с Ь2 п Я.

Если фактор-алгебра Ь/1 - абелева, то I содержит Ь2 и пересечение всех таких идеалов содержит Ь2 .

Пересечение всех максимальных идеалов содержит Ь2 п Я .

Получаем включение ] (Ь) з Ь2 п Я.

Следовательно, ] (Ь) = Ь2 п Я.

Запишем один из коммутаторов алгебры Ь.

Пусть Іі = яі + гі , где і = 1,2, ^ є 5, гі є Я.

Тогда

[І1, І2І = [ 81, 8 2] + [ 81, Г2 ] + [Гі, 8 2 ] + [Гі, Г2І.

Если [Іі,у є Я, то [8і, 82] = 0.

Тогда [Іі,І2] = [8і,Г2] + [Гі,82] + [Гі,Г2].

Следует, что Ь2 п Я с [Ь, Я].

Включение [ Ь, Я] с Ь2 п Я - очевидно.

Окончательно получили ] (Ь) = [ Ь, Я].

Докажем следствие, которое является аналогом теоремы Ф. Кубо.

Следствие 1. Пусть Ь - специальная почти локально разрешимая алгебра Ли над полем ^ характеристики нуль. Справедливо: ] (Ь) = 0 тогда и только тогда, когда алгебра Ли Ь имеет разложение Леви Ь = 5 © X (Ь), где X (Ь) -центр алгебры Ь, 5 - конечномерная подалгебра Ь такая, что ](5) = 0 .

Доказательство. Пусть L - специальная почти локально разрешимая алгебра Ли, R - ее локально разрешимый радикал.

Согласно теореме 6, для алгебры L имеет место разложение Леви L = S + R , где S - по-лупростая конечномерная алгебра, а R - локально разрешимый радикал.

Из теоремы 7 получаем J (L) = [L, R].

Следовательно, J (L) = 0 тогда и только тогда, когда R = Z (L).

2. О локально нильпотентном радикале

для алгебр Ли

Локально нильпотентный радикал специальных алгебр Ли является обобщением ниль-потентного радикала конечномерных алгебр Ли [3], [12].

Если модуль M - конечномерный, то наибольший идеал U алгебры L такой, что эндоморфизм xM, соответствующий элементу x, является нильпотентным для всех x е L, в алгебре End M, - называется наибольшим идеалом нильпотентности представления.

Для конечномерной алгебры Ли L нильпотентный радикал N (L) характеризуется также как пересечение наибольших идеалов нильпотентности конечномерных представлений алгебры L [3].

Назовем PI-представлением алгебры Ли L представление алгебры L в алгебре эндоморфизмов End M(-) модуля M над алгеброй L, для которого ассоциативная ассоциированная алгебра представления A( L), порожденная образами элементов из L, является PI-алгеброй.

Обозначим через IrrPI (L) пересечение ан-нуляторов всех неприводимых PI-представлений алгебры Ли L и саму алгебру L, если их нет. Назовем идеал IrrPI(L) алгебры Ли L PI-неприводимо представленным радикалом.

Если алгебра Ли имеет точное PI-представление, то она является специальной. Для PI-представлений алгебр Ли можно ввести аналог наибольшего идеала нильпотентности.

Теорема 8 ([12]). Пусть алгебра Ли L имеет PI-представление в кольце эндоморфизмов векторного пространства M. Тогда

i) все идеалы J алгебры L такие, что xM нильпотентно для любого x е L, содержатся в одном из них, например U;

ii) образ U идеала U является локально нильпотентным в алгебре End M ;

iii) идеал U является множеством элементов x є L таких, что xM принадлежит первичному радикалу P ассоциативной алгебры A(L), ассоциированной с представлением алгебры L.

По аналогии с конечномерными алгебрами, назовем идеал U наибольшим идеалом локальной нильпотентности представления.

Назовем локально нильпотентным радикалом N(L) специальной алгебры Ли L над полем F пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности всех PI-представлений алгебры Ли L над полем F.

В работе [12] показано, что радикал N(L) специальной алгебры Ли L является локально нильпотентным идеалом.

В работе [1З] показано включение N(L) с IrrPI(L) для специальных алгебр Ли над полем F характеристики нуль. Этот результат обобщает следующая теорема.

Теорема 9. Для произвольной специальной алгебры Ли L над полем F характеристики нуль справедливо равенство N (L) = IrrPI (L).

Скажем, что алгебра Ли - редуктивная, если она является произведением полупростой и коммутативной подалгебр [З].

Для доказательства теоремы нам потребуется следующие леммы.

Лемма 1. Пусть А - тело характеристики нуль, удовлетворяющее полиноминальному тождеству.

Рассмотрим алгебру матриц L = А n (-) как алгебру Ли по отношению к операции коммутирования над простым подполем Q. Рассмотрим лиевский разрешимый идеал I алгебры L.

Тогда множество I лежит в центре алгебры матриц А n.

Доказательство. Обозначим через Z центр тела А. Согласно теореме Капланского, тело А является конечномерным над центром Z.

Рассмотрим представление А n над Ап (пространство векторов-столбцов) с помощью левых умножений.

Хорошо известно, что такое представление матричной алгебры над телом - неприводимо.

Алгебра L имеет точное конечномерное над Z представление. Следовательно, N(L)=0.

Согласно [З], алгебра Ли L - редуктивна.

Редуктивная алгебра L является произведением полупростой алгебры S и центра Z.

Полупростая конечномерная алгебра Ли S над полем характеристики нуль раскладывает-

ся в произведение простых подалгебр ai, i = 1,..., k.

Подалгебры ai являются идеалами алгебры Ли L. Любой идеал алгебры L является суммой нескольких идеалов at и, возможно, Q -подпространства центра Z.

Множество ZI является разрешимым лиев-ским идеалом алгебры Ли L над Z. Оно не может содержать простых подалгебр аi.

Следовательно, ZI с Z и I с Z.

Лемма 2. Пусть алгебра Ли L над полем F характеристики нуль имеет неприводимое PI -представление в алгебре эндоморфизмов End(M)(-) векторного пространства M над F. Пусть I - некоторый локально разрешимый идеал L. Тогда образ I идеала I в алгебре End (M)(-) лежит в центре алгебры L.

Доказательство. Пусть M-неприводимый A( L)-модуль, алгебра A( L) порождена как ассоциативная алгебра гомоморфным образом L алгебры Ли L.

Алгебра A(L) является примитивной PI-алгеброй.

Согласно теореме Капланского [11], она простая, конечномерная над своим центром Z изоморфна алгебре матриц над телом A(L) = Аm,mє N.

Пусть I - гомоморфный образ идеала І в алгебре A(L). В конечномерной алгебре локально разрешимый идеал является разрешимым.

Согласно лемме 1, идеал I лежит в центре Z алгебры A(L).

Следовательно, идеал I лежит в центре алгебры L.

Доказательство теоремы. Локально ниль-потентный радикал N(L) специальной алгебры Ли L является локально нильпотентным [12]. Заметим, что локально нильпотентный идеал является локально разрешимым.

Пусть специальная алгебра Ли L имеет неприводимое PI-представление в алгебре эндоморфизмов ф : L ^ End (M)(-) векторного пространства M над полем F.

Тогда, согласно лемме 2, ф^^)) с Z^(L)).

Алгебра Ли ф^) порождает ассоциативную алгебру A(L). Ее центр Z( фЪ)) лежит в центроиде неприводимого L-модуля M.

Согласно лемме Шура [11], центроид неприводимого модуля является телом. Вложение в тело можно было также вывести из теоремы Капланского.

Следовательно, ненулевые элементы ф^^)) не лежат в наибольшем идеале локальной нильпотентности модуля M. Получили 9(N(L)).

Из произвольности неприводимого PI-представления M следует включение N(L) с IrrPI(L).

Снова рассмотрим неприводимое pi -представление алгебры Ли L в алгебре эндоморфизмов ф: L ^ End(M)(-векторного пространства M над полем F.

Согласно пункту iii теоремы 6, наибольший идеал U локальной нильпотентности представления является пересечением L n P(A(L)).

Первичный радикал ассоциативной алгебры A(L) является локально нильпотентным идеалом алгебры A(L) и, следовательно, содержится в радикале Джекобсона P(A(L)) с J(L).

Алгебра A(L) является примитивной ассоциативной алгеброй, радикал Джекобсона которой равен нулю.

Следовательно, U содержится в ядре неприводимого PI-представления M алгебры L.

Тогда в нем же будет содержаться локально нильпотентный радикал N(L) алгебры Ли L.

Учитывая произвольность неприводимого PI-представления получаем включение irrPl(L) с N(L), которое завершает доказательство теоремы.

Также как и для специальных алгебр Ли, назовем локально нильпотентным радикалом N(L) алгебры Ли L над полем F пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности всех PI-представлений алгебры Ли L над полем F и саму алгебру Ли, если их нет.

Приведем пример алгебры Ли, локально нильпотентный радикал которой не является ни локально нильпотентным, ни локально разрешимым.

Он основан на примере Ф. Кубо [1], но используется для других целей.

Пример 1. Пусть L - множество линейных отображений конечного ранга бесконечномерного векторного пространства V над полем F в себя.

Обозначим через S множество отображений из L со следом нуль. Рассмотрим L и S как алгебры Ли по отношению к операции коммутирования.

Легко проверить, что L2 = S,S - простая алгебра Ли.

Все нетривиальные идеалы L - это векторные пространства, содержащие S.

тный радикал N(H) алгебры H равен нулю. Получили N(L) = S.

Алгебра S не является ни локально разрешимой, ни локально нильпотентной.

Следовательно, радикал Джекобсона J(L), IrrPI(L) и локально нильпотентный радикал N(L) произвольной алгебры Ли L могут не быть ни локально разрешимыми, ни локально ниль-потентными.

14.11.2012

Список литературы:

1. Kubo, F. Infinite-dimensional Lie algebras with null Jacobson radical / F. Kubo // Bull. Kyushu Inst. Technol. Math. Nat. Sci. -1991. - V. 38. - P. 23-30.

2. Marshall, E. I. The Frattini subalgebras of a Lie algebra / E. I. Marshall // J. London Math. Soc. - 1967. - V. 42. - P. 416-422.

3. Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III) / Н. Бурбаки. - М. : Мир, 1976. - 496 с.

4. Kamiya, N. On the Jacobson radicals of infinite-dimensional Lie algebras / N. Kamiya // Hiroshima Math. J. - 1979. - V. 9. -P. 37-40.

5. Латышев, В. Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями / В. Н. Латышев // Сиб. мат. журнал. - 1963. - Т. 4. -Р. 821-829.

6. Пихтильков, С. А. О специальных алгебрах Ли / С. А. Пихтильков // Успехи матем. наук. - 1981. - Т. 36, № 6. - P. 225-226.

7. Биллиг, Ю. В. О гомоморфном образе специальной алгебры Ли / Ю. В. Биллиг // Матем. сборник. - 1988. - Т. 136, № 3. - С. 320-323.

8. Джекобсон, Н. Алгебры Ли / Н. Джекобсон. - М. : Мир, 1964. - 355 с.

9. Бахтурин, Ю. А. Тождества в алгебрах Ли / Ю. А. Бахтурин. - М. : Наука, 1985. - 447 с.

10. Терехова, Ю. А. О теореме Леви для специальных алгебр Ли / Ю. А. Терехова // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. - Тула : Изд-во ТГПИ им. Л. Н. Толстого, 1994. - С. 97-103.

11. Херстейн, И. Некоммутативные кольца / И. Херстейн. - М. : Мир, 1972. - 191 с.

12. Пихтильков, С. А. О локально нильпотентном радикале специальных алгебр Ли / С. А. Пихтильков // Фундаментальная и прикладная математика. - 2002. - Т. 8, вып. 3. - С. 769-782.

13. Кучеров, А. А. О гомологическом описании локально нильпотентного радикала для специальных алгебр Ли / А. А. Кучеров, С. А. Пихтильков, О. А. Пихтилькова // Вестник ОГУ. - 2010. - № 9. - С. 40-43.

Сведения об авторе:

Кучеров А.А., старший преподаватель кафедры математического анализа Оренбургского государственного университета 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, тел. (3532) 372533, e-mail: [email protected]

UDC 512.554.36 Kucherov A.A.

Orenburg state university, e-mail: [email protected]

ON ALMOST LOCALLY SOLVABLE ALGEBRAS WITH NULL JACOBSON RADICAL AND LOCALLY NILPO-TENT RADICAL FOR ALGEBRAS

The analog of the F. Kubo theorem [1] for almost locally solvable special Lie algebras with null Jacobson radical is proved in the artocle. It is also shown, that for special algebras over a characteristic field zero the irreducible PI-presented radical coincides with the locally nilpotent. There is given an example the algebra which locally nilpotent radical is not neither locally nilpotent, nor locally solvable.

Key words: Lie algebra, special Lie algebra, irreducible PI-representation, Jacobson radical, locally nilpotent radical, reductive Lie algebra, almost locally solvable algebra.

Алгебра Ли S не является специальной и, следовательно, содержится в аннуляторах неприводимых PI-представлений.

Алгебра H = L / S является абелевой. Радикал Джекобсона абелевой алгебры Ли равен нулю. Следовательно, J(H) = 0 и IrrPI(H) = 0.

Установили равенства J(L) = S,IrrPI(L) = S.

Фактор-алгебра H = L/S - абелева и, следовательно, специальная. Локально нильпотен-