CC BY
24
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 9 Выпуск 1 (2008)
УДК 512.554.32+512.554.34+512.554.36
О НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ РАДИКАЛАХ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБР ЛИ1
С. А. Пихтильков, О. А. Пихтилькова (г. Тула)
Аннотация
Изучены соотношения между верхним слабо разрешимым радикалом В. А. Парфенова, первичным радикалом, локально нильпотентным, радикалом Джекобсона и некоторыми другими для специальных алгебр Ли.
Нас интересуют соотношения между радикалами первичным или нижним слабо разрешимым P(L) [13], слабо разрешимым Парфенова S(L) [2]; P(L); локально нильпотентным для специальных алгебр Ли N (L) [3] и радикалом Джекобсона J(L).
Алгебра Ли называется слабо разрешимой, если любое ее конечномерное подпространство удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой ступени.
L
ший слабо разрешимый идеал, который называется верхним слабо разрешимым радикалом S(L).
Первичным радикалом P(L) алгебры Ли L называется пересечение всех ее первичных идеалов.
Обозначим через p(L) сумму абелевых идеалов алгебры Ли L. Так как сумма двух нильпотентных идеалов алгебры Ли является нильпотентным идеалом, идеал p(L) является локально нильпотентным.
С помощью трансфинитной индукции определим для каждого порядкового числа а идеал р(а) следующим образом.
1. р(0) = 0 р(1) L
2. Предположим, что р(а) определено для всех а < в• Тогда определим р(в) следующим образом.
а) если в = у + 1 не является предельным порядковым числом, то р(в) L что р(в)/р(у) = p(L/p(y)).
в
р(в) = U p(y)-
Y<P
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 08-01-00790.
Из соображений мощности следует, что р (в) = Р (в + 1) Для некоторого порядкового числа в- Идеал р(в) называется нижним слабо разрешимым ра-
L
Известно, что первичный радикал совпадает с нижним слабо разрешимым [13].
В 1963 г. В. И. Латышев ввел новый класс алгебр Ли [4], которые он назвал специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.
Скажем, что алгебра Ли L специальная или SPI-алгебра Ли, если существует ассоциативная PI-алгебра А такая, что L вложена в А(-) как алгебра Ли, где А(-) - алгебра Ли, заданная на А с помощью операции коммутирования [x,y] = xy - yx.
Локально нильпотентный радикал специальных алгебр Ли является обобщением нильпотентного радикала конечномерных алгебр Ли [3].
PI L
А( L) PI
рой.
Для обобщенно специальных алгебр Ли естественным обобщением конечно-
PI
PI PI
лений алгебр Ли можно ввести аналог наибольшего идеала нильпотентности.
L PI
эндоморфизмов векторного пространства M. Тогда
г) Все идеалы, J алгебры, L такие, что xM нильпотентно для любого x Е L, содержатся в одном, из них, например U.
гг) Образ U идеал,a, U является, локально нильпотентным в алгебре End M. Hi) Идеал U является, множеством элементов x Е L таких, что xM принадлежит первичному радикалу P ассоциативной алгебры, A(L), ассоциирован-
L
U
идеалом локальной нильпотентности представления.
Назовем локально нильпотентным радикалом N(L) специальной алгебры Ли L над полем F пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности всех PI-представлений алгебры Ли L над полем F.
N (L) L
локально нильпотентным идеалом.
Нас также интересует радикал Джекобсона. Назовем радикалом Джекобсо-LL
нет [5].
Отметим, что для конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль нильпотентный радикал совпадает с радикалом Джекобсона [5].
Для бесконечномерных алгебр Ли свойства радикала Джекобсона исследовал F. Kubo [6].
Известно, что существует специальная алгебра Ли, локально нильпотентный радикал которой строго содержится в радикале Джекобсона [3, пример 1].
Радикал Джекобсона для алгебр Ли при таком определении не является хорошим радикалом. Приведем пример, показывающий, что радикал Джекобсона специальной алгебры Ли может содержать первичный радикал.
Пример. Пусть її - поле характеристики нуль, Д - кольцо многочленов от одной переменной над її без свободного члена. Обозначим через Ь следующую алгебру Ь = бі2(Р) 0р А-
Легко проверить, что Ь является первичной специальной алгеброй Ли. Следовательно, Ра) = 0.
Алгебру Ли бі2(Р) можно представлять себе как линейную оболочку следующих элементов е-|2> е-|2, Єц — е22- Рассмотрим идеал I, порожденный элементами Є12 ® ^х), Є21 ® д(х), (Є11 — е22) ® Н(х), где элементы f(х), д(х), Н(х) Є А имеют нулевые коэффициенты при х в 1-ой степени.
Алгебра Ь/1 является абелевой трехмерной алгеброй Ли. Следовательно, Ш С I.
Если максимальный идеал М алгебры Ли Ь не содержит ненулевой элемент ИЗ I, ТО ОН не содержит элементы Є12 ® X, Є21 ® х, (е 11 — Є22) 0 х и не является максимальным.
М
31 0 X + Б2 0 X2 + ... + 0 ХП,5і Є 5і2(?),81 = 0,
то М те содержит элемент в1 0 X. Так как М - максимальный, то справедливо включение М Э I.
Мы доказали, что радикал Джекобсона |(Ь) = I строго содержит первичный радикал, равный нулю.
Итак, радикал Джекобсона специальных алгебр Ли может строго содержаться в первичном радикале (для конечномерных алгебр над полем характеристики нуль), а может и строго содержать первичный радикал. Мы считаем, что это означает неудачное определение радикала Джекобсона.
В теории радикалов ассоциативных алгебр радикалом Брауна-Маккоя называется пересечение идеалов, факторы по которым простые кольца с единицей. Назовем, по аналогии, радикалом Брауна-Маккоя ВМ(Ь) алгебры Ли Ь пересечение идеалов, фактор по которым является простой алгеброй Ли (только тривиальные идеалы и не является абелевой).
Обозначим через NPI(L) пересечение аннуляторов всех неприводимых Р!-представлений алгебры Ли Ь.
Ю. А. Бахтурин использовал пересечение аннуляторов конечномерных неприводимых представлений для доказательства теоремы Леви-Мальцева для конечномерных алгебр Ли [7]. Известно, что для конечномерных алгебр Ли пересечение аннуляторов конечномерных представлений совпадает с нильпотентным радикалом [8].
Справедлива следующая теорема.
L
включения BM(L) D P(L) D N(L).
Доказательство. Известно, что первичный радикал специальной алгебры Ли совпадает с верхним слабо разрешимым радикалом Парфенова и является
L
Включение N(L) С P(L) следует из локальной нильпотентности радикала N(L).
Пусть M С L - максимальный идеал алгебры Ли L, фактор по которому простая алгебра.
Из локальной теоремы Мальцева следует, что простая алгебра Ли не может быть локально разрешимой. Следовательно, P(L) С M.
Интерес представляет также следующая теорема.
Теорема 3. Для произвольной специальной алгебры, Ли L над полем F характеристики нуль имеют м,есто включения J(L) D NPI(L).
I С L L
ли алгебра L = L/I - абелева одномерная алгебра Ли, то она имеет точное неприводимое представление в одномерном векторном пространстве над полем F, аннулятор которого совпадает с I.
LL = L/I
ление ad : L —> AdL является неприводимым PI-представлением с аннулятором I
Следует включение J(L) D NPI(L).
Пока непонятно, как соотносится радикал NPI(L) с первичным радикалом P(L)
Ответ на следующий вопрос неизвестен автору: существует ли ненулевая первичная специальная алгебра Ли L такая, что NPI(L) = 0?
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Ба. [аба И. Н.,Михалев А. В., Пихтильков С. А. Первичный радикал градуированных Q-групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12. № 2. С. 159-174.
[21 Парфенов В. А. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли// Сиб. мат. журнал. 1971. Т. 12. № 1. С. 171-176.
[3] Пихтильков С. А. О локально нильпотентном радикале специальных алгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8. Вып.
3. С. 769-782.
[4] Латышев В. Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями// Сиб. мат. журнал. 1963. Т. 4. №4. С. 821-829.
[5] Marshall Е. I. The Krai I ini subalgebras of a Lie algebra. J. London Math. Soc. 1967. V. 42. P. 416-422.
[6] Kubo F. Infinite-dimensional Lie algebras with null Jacobson radical // Bull. Kyushu Inst. Technol. Math. Nat. Sci. 1991. V. 38. P. 23-30.
[7] Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.
[8] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III). М.: Мир, 1976.
[9] Бейдар К. И., Пихтильков С. А. Первичный радикал специальных алгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. Вып. 3. С. 643-648.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого. Получено 2.10.2008. e-mail: [email protected]
