О гомологическом описании радикала Джекобеона для алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 3 (2010)

О ГОМОЛОГИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ РАДИКАЛА ДЖЕКОБСОНА ДЛЯ АЛГЕБР ЛИ1

Кучеров А. А., Пихтильков С. А., Пихтилькова О. А.

(г. Оренбург)

Семидесятилетию А. Л. Шмелъкина посвящается

Аннотация

В работе обсуждается возможность гомологического описания радикала Джекобсона для алгебр Ли. Предлагается считать радикалом Дже-кобсона алгебры Ли Ь пересечение аннуляторов всех неприводимых Р1-представлений алгебры Ли Ь и саму алгебру Ь если их нет.

На Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г.Куроша (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2008) Борис Исаакович Плоткин поставил вопрос о гомологическом описании радикала Джекобсона для алгебр Ли.

В работе обсуждается вопрос о возможности гомологического описания радикала Джекобсона.

Следующее определение радикала Джекобсона было дано Е. Маршаллом: назовем радикалом Джекобсона /(Ь) алгебры Ли Ь пересечение максимальных идеалов и саму алгебру Ь, если их нет [1].

Отметим, что для конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль нильпотентный радикал совпадает с радикалом Джекобсона [1].

Для бесконечномерных алгебр Ли свойства радикала Джекобсона исследовал Г. КиЬо [2].

В 1963 г. В. Н. Латышев ввел новый класс алгебр Ли [3], которые он назвал специальными по аналогии с норда новыми алгебрами.

Скажем, что алгебра Ли Ь специальная или б'РТ-алгебра Ли, если существует ассоциативная Р/-алгебра А такая, что Ь вложена в А(-) как алгебра Ли, где А(-) - адгебра Ли, заданная на А с помощью операции коммутирования [х,У] = хУ - Ух

Известно, что существует специальная алгебра Ли, локально нильпотентный радикал которой строго содержится в радикале Джекобсона [4, пример 1].

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, грант № 08-01-00790а

Обозначим через /гг(Ь) пересечение аннуляторов неприводимых модулей над алгеброй Ли Ь и саму алгебру Ь если их нет.

Пусть М неприводимый Ь-модуль, Обозначим через А(М) ассоциативную алгебру, порожденную элементами алгебры Ь в алгебре Еп^М),

Назовем Р/-представлением алгебры Ли Ь представление алгебры Ь в алгебре эндоморфизмов Еп^М )(-) модул я М над алгеброй Ь, для которого ассоциированная алгебра представления А(Ь) является Р/-алгеброй,

Обозначим через /ггР/(Ь) пересечение аннуляторов всех неприводимых Р/-

ЬЬ Ю, А, Бахтурин использовал пересечение аннуляторов конечномерных неприводимых представлений для доказательства теоремы Леви-Мальцева для конечномерных алгебр Ли [5], Известно, что для конечномерных алгебр Ли пересечение аннуляторов конечномерных представлений совпадает с нильпотент-ным радикалом [6] и, следовательно, с радикалом Джекобсона для поля нулевой характеристики [1],

Обозначим через /ггРт(Ь) пересечение аннуляторов всех неприводимых

ЬЬ Л, А, Симонян рассмотрел пары Ь С А(-), где Ь - алгебра Ли над полем Р характеристики нуль, А - локально конечная ассоциативная алгебра [7], Он ввел обозначение ЬА(Ь) = Ь П Ь(А),

В [7] было доказано:

ЬА

лежит в Ь^(Ь);

2, Если Я - локально разрешимый идеал Ь, то [Я, Ь] С Ьа(Ь),

Докажем следующие утверждения,

Ь

/гг(Ь) = Ь П 7(и(Ь)), где и(Ь) - универсальная обертывающая алгебра.

Доказательство. Пусть М — произвольный неприводимый и(Ь)-модуль, МЬ Имеет место включение /гг(Ь) содержится в аннул яторе и (Ь) модул я М, Так как радикал Джекобсона Ь(и(Ь)) ассоциативной алгебры и(Ь) совпа-

и(Ь)

/гг(Ь) С 7(и(Ь)).

Пусть х Є Ь П Ь(и(Ь)) - произвольный, М - произвольный неприводимый Ь А(Ь) Ь

и а : Ь ^ А(Ь)(-) - гомоморфизм алгебр Ли, задающий Ь-модуль М,

Тогда существует его продолжение а : и(Ь) ^ А(Ь), где <5 - гомоморфизм ассоциативных алгебр и а(І) = а(І) для всех І Є Ь,

М и(Ь)

Модуль М неприводим над и(Ь) тогда и только тогда, когда неприводимым является Ь-модуль М,

Следовательно, х содержится в аннуляторе модуля ^х € /гг(Ь), Включение Ь(и(Ь)) С /гг(/) завершает доказательство теоремы.

Пример 1. Пусть Ь = {ах + ву | а, в € Ь} - двумерная абелева алгебра Ли над полем Ь,

и(Ь)

членов Ь[х, у] от коммутирующих переменных х и у.

Как известно, Ь(Ь[х,у]) = 0,

Следовательно, /гг(Ь) = 0,

Этот пример никоим образом не противоречит нашим представлениям о радикалах конечномерных алгебр Ли, Нильпотентный радикал N(Ь) алгебры Ли Ь

Пример 2. Дадим новую интерпретацию следующего известного примера. Пусть Ь - поле характеристики пуль, Ь[х] - кольцо многочленов.

Зададим для произвольного / (х) € Ь[х] три отображения:

а(/(х)) = //(х)> Ь(/(х)) = х ■ /(х) е(/(х)) = /(х).

Легко проверить, что тождественное отбражение е коммутирует с а и Ь, [а, Ь] = е.

Мы получили представление трехмерной разрешимой алгебры Ли

Ь = {аа + вЬ + 7С | а, в, 7 € Ь}

в алгебре эндоморфизмов End (Ь[х]).

Легко проверить, что векторное пространство Ь[х] является неприводимым Ь-модулем, Следовательно, /гг(Ь) = 0, и(Ь)

геброй многочленов от трех коммутирующих переменных [6],

Легко проверить, что круговая КОМПОЗИЦИЯ и О V = и + V — м^пе может быть равна нулю для элементов € и(Ь) не совпадающих со свободным членом.

Как известно, радикалом Джекобсона ассоциативной алгебры является наи-

и(Ь)

ну. но.

Следовательно, Ь(и(Ь)) = 0,

Согласно [6], N(Ь) = {ае | а € Ь}.

Покажем, что не существует неприводимого Ь-модуля задающего Р/- пред-Ь

М

А(Ь)

образом Ь Ли Ь,

А(Ь)

ланского [8], она простая, конечномерная над своим центром А(Ь)

модуле V размерности п над

Пусть ^алгебраическое замыкание Z,

Конечномерная алгебра . А(Ь) над . имеет конечномерное представление в модуле . V, которое может не быть неприводимым.

Рассмотрим композиционный ряд . А(Ь)-модулей:

М\ С М2 С ... С Мп-1 С Мп = ^7 V,

в котором каждый фактор Мк/Мк-1 (к = 2, ...,п) - неприводим.

Согласно теореме Ли [9, стр. 62], разрешимая алгебра . Ь представима треугольными матрицами в некотором базисе модуля Мк/Мк-1, а, следовательно, и порожденная ей алгебра . А(Ь).

Из неприводимости модуля Мк/Мк-1 над .А(Ь) следует dimzМк/Мк-1 = = 1.

Алгебра . Ь имеет треугольное представление в некотором базисе модуля . V. Следовательно, алгебры . А(Ь) и А(Ь) также имеют треугольное

А(Ь)

Алгебра Ли Ь является разрешимой ступени 2. Получим, Р(Ь) = Ь (первичный радикал совпадает с разрешимым для конечномерных алгебр [10]).

Используя рассуждения аналогичные рассуждениям из примера 2, можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Пусть Ь - конечномерная алгебра Ли над полем Ь характеристики, нуль. Тогда, /ггР/(Ь) = N(Ь), где N(Ь) - нильпотентный радикал Ь

Теорема 3. Пусть основное поле имеет нулевую характеристику. Тогда, следующие включения в общем случае строгие:

/гг(Ь) С /ггР/(Ь) С /ггЬгп(Ь).

Доказательство. Строгость первого включения следует из примера 2. Докажем строгость второго включения.

Пусть Ь С К - расширение поля Ь, которое не является конечномерным. Таким, например, будет поле рациональных функций с коэффициентами из Ь.

Алгебра в/2К является простой алгеброй Ли над К. Несложно проверить, что в/2К является простым кольцом Ли и, следовательно, простой алгеброй Ли над Ь.

Алгебра в/2К имеет точное Р/-предетавление над двумерным арифметиче-

К2

Следовательно, /ггР/(в/2К) = 0.

В силу бесконечномерное™ над полем F и простоты алгебра s/2K не может

F

Следовательно, IrrFm(s/2K) = s/2K,

L

PI L

L если их нет. Из теоремы 2 и результата Маршалла следует, что IrrPI(L) = J(L)

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Marshall Е. I. The Frattini subalgebras of a Lie algebra. J. London Math. Soc. 1967. V. 42. P. 416-422.

[2] Kubo F. Infinite-dimensional Lie algebras with null Jacobson radical // Bull. Kyushu Inst. Technol. Math. Nat. Sci. 1991. V. 38. P. 23-30.

[3] Латышев В. И. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями// Сиб. мат. журнал. 1963. Т. 4. N 4. С. 821-829.

[4] Пихтильков С. А. О локально нильпотентном радикале специальных алгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8. Вып.

3. С. 769-782.

[5] Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

[6] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III), М.: Мир, 1976.

[7] Симонян Л. А. О радикале Джекобсона алгебры Ли // Латвийский математический ежегодник. 1993. Вып. 34. С. 230-234.

[8] Херетейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.

[9] Джекобсон Н. Алгебры Ли. М,:Мир, 1964.

[10] Бейдар К. И., Пихтильков С. А. Первичный радикал специальных алгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. Вып. 3. С. 643-648.

Оренбургский государственный университет Получено 23.11.2009 г.