Cтруктура лиевых дифференцирований алгебр измеримых операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 3, С. 58-62

УДК 512.54

СТРУКТУРА ЛИЕВЫХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ АЛГЕБР ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ

И. М. Жураев

В работе доказана теорема о представлении лиева дифференцирования в стандартном виде для

случая алгебр измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М.

Ключевые слова: алгебра фон Неймана, измеримый оператор, алгебра фон Неймана типа I,

дифференцирование, лиево дифференцирование, внутреннее дифференцирование, центрозначный

след.

Задача о представлении лиева дифференцирования в стандартном виде является одной из важных задач функционального анализа. Помимо этого в последнее время интенсивно изучаются лиевы дифференцирования на С*-алгебрах и на более общих банаховых алгебрах.

Пусть А — некоторая алгебра. Линейный оператор О : А ^ А называется дифференцированием, если О(ху) = О(х)у + хО(у) при всех х,у £ А. Каждый элемент а £ А определяет дифференцирование Оа по правилу Оа(х) = ах — ха, х £ А. Дифференцирования вида Оа называются внутренними.

Линейный оператор Ь : А ^ А называется лиевым дифференцированием, если Ь ([ху]) = [Ь(х), у] + [х, Ь(у)] для всех х, у £ А.

Обозначим через 2(А) центр А. Линейный оператор т : А ^ 2(А) называется цен-трозначным следом, если т(ху) = т(ух) для всех х, у £ А.

В работе В. Е. Джонсона [3] доказано, что каждое непрерывное лиево дифференцирование Ь из С *-алгебры А в банаховый А-бимодуль X может быть представлено в виде Ь = О + т, где О : А ^ X — ассоциативное дифференцирование и т — цен-трозначный след из А в центр X. А. Р. Виллена [6], исследуя неограниченные лиевы дифференцирования на унитальных банаховых алгебрах, получил аналогичный результат. В работе М. Мэтью и А. Р. Виллена [5] была доказана теорема о стандартном разложении лиева дифференцирования для унитальных С*-алгебр.

В теории колец проблема стандартного разложения лиевого дифференцирования изучалась в работах Херстейна [2] и Мартиндейла [4]. В работе Херстейна получено решение этой проблемы для простых, ассоциативных колец. Для примитивных колец, содержащих нетривиальные идемпотенты, и характеристикой, не равной двум, эта задача решена Мартиндейлом. Следуя этим результатам, полученным для колец, Роберт Майерс [7] решил проблему стандартного разложения лиевого дифференцирования для случая алгебр фон Неймана.

Настоящая работа посвящена стандартному разложению лиевых дифференцирований, действующих на алгебрах измеримых операторов относительно алгебр фон Неймана.

© 2012 Жураев И. М.

Пусть Н — гильбертово пространство, В(Н) — алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в Н, М — подалгебра фон Неймана в В(Н), Р(М) — полная решетка всех ортопроекторов из М.

Линейное подпространство О в Н называется присоединенным к М (обозначение ОпМ), если и(О) С О для любого унитарного оператора и из коммутанта М' = {у € В(Н) : жу = уж Vж £ М} алгебры фон Неймана М.

Линейный оператор ж, действующий в Н, с областью определения О(ж) С Н называется присоединенным к М (обозначение жпМ), если и (О (ж)) С О(ж) для любого унитарного оператора и £ М, и иж(£) = жи(£) для всех £ £ О(ж).

Линейное подпространство О в Н называется сильно плотным в Н относительно алгебры фон Неймана М, если: 1) ОпМ; 2) существует такая последовательность проекторов , что Рп | 1, Рп(Н) С О, Р^ = 1 — Рп — конечный проектор в М для всех п £ N где 1 — единица в М.

Замкнутый линейный оператор ж, действующий в гильбертовом пространстве Н, называется измеримым относительно алгебры фон Неймана М, если жпМ, и О (ж) является сильно плотным в Н. Обозначим через Б(М) множество всех операторов, измеримых относительно М.

Множество Б(М) всех измеримых операторов относительно М является унитальной *-алгеброй относительно операций сильного сложения и умножения и перехода к сопряженному оператору [8].

Пусть М — алгебра фон Неймана с центром Обозначим центр алгебры Б (М) через Z(Б(М)). Пусть Ь : Б(М) ^ Б(М) — произвольное лиево дифференцирование. Если р^ Р] — проекторы в Б(М), то р^Б(М)р = {р^р^ : А £ Б(М)} , г, ^ = 1, 2. Положим р1 = р и Р2 = 1 — Р. Тогда Б(М) = £2=1 £?=1 ^Б(М)р,-. Пусть, далее, М] = КБ(М)р,-, г, ^ = 1, 2. Напомним, что М] = М^М^- для г, ^ = 1, 2.

Лемма 1. Пусть р — проектор в Б(М). Тогда для всех ж £ Б(М),

ж {рЬ (р) + Ь (р) р + рЬ (р) р — Ь (р)} — {рЬ (р) + Ь (р) р + рЬ (р) р — Ь (р)} ж = 3рж {рЬ (р) + Ь (р) р — Ь (р)} — 3 {рЬ (р) + Ь (р) р — Ь (р)} жр.

(1)

< Для всех ж £ Б(М) имеет место равенство

[[[жр] р] р] = [жр] . (2)

Применяя Ь к тождеству (2), получим

[[[Ь(ж),р] + [ ж, Ь(р)] ,р] + [[жр] ,Ь(р)] ,р] + [[[жр] р] ,Ь(р)] = [Ь(ж),р] + [ж, Ь(р)] . (3)

Отсюда получим требуемое равенство. >

Лемма 2. Ь(р) = [ре] + г для некоторого в £ Б(М) и г £ Z(Б(М)).

< Пусть Ь(р) = £ в], е] £ М] (г,^ = 1,2). Применяя (1) для всех ж £ Б(М), получим

ж(2в11 — в22) — (2в11 — в22 )ж = 3рж(в11 — в22) — 3(вИ — в22 )жр. (4)

Если ж £ М12, то из (4) заключаем, что е11 ж = же22, откуда

(в11 + в22)ж = ж(еИ + в22) (ж £ М12).

Аналогично, (е11 + е22)ж = ж(е11 + е22) (ж £ М21). Пусть теперь ж £ М11 и у £ М12. Тогда

{(ец + е22)ж — ж(еи + е22)} у = (ец + е22)жу — жу(еи + е22) = (ец + е22 )жу — (еи + е22)жу = 0,

поскольку у,ху £ М12. Отсюда получаем

(бц + б22)х — х(б11 + б22) =0 (х £ М11).

Аналогично

(е11 + б22)х — х(б11 + б22) =0 (х £ М22),

т. е. е11 + е22 = г £ 2(Б(М)). Следовательно, Ь(р) = (е12+е21)+г и, полагая в = е12 — е21, получим, что Ь(р) = (рв — вр) + г. >

Отсюда следует, что нам достаточно рассмотреть случай, когда Ь(р) £ 2(Б(М)), поскольку если мы докажем основную теорему для этого случая, то, полагая Ь' = Ь — где О8 — внутреннее дифференцирование, мы получим стандартное разложение в общем случае.

Лемма 3. Ь (Мц) С Мц для г =

< Пусть х £ М12 и Ь(х) = ^ уц (г,^ = 1, 2). Тогда, привлекая равенство х = [р,х], получим

= Ь(х) = Ь([р,х]) = [Ь(р),х] + [р,Ь(х)] = [р,Ь(х)] = у12 — у21.

Отсюда следует, что у11 = у21 = у22 = 0. Таким образом, Ь(х) £ М12. Аналогично рассматривается случай х £ М21. >

Лемма 4. Ь (Мй) С Мй + 2(Б(М)).

< Пусть х £ Ми и Ь(х) = £ уц, уц £ Мц (г = 1, 2). Тогда 0 = Ь([р,х]) = [Ь(р),х] + [р,Ь(х)] = [р,Ь(х)] = у12 — у21, следовательно, у12 = у21 =0 и Ь(х) £ Ми + М22. Аналогично, если х £ М22, то Ь(х) £ М11 + М22. Пусть х £ М11 и у £ М22, Ь(х) = ац + а22, Ь(у) = 6И + 622 (а,,,6Й £ М,,). Тогда 0 = Ь([х,у]) = [Ь(х),у] + [х,Ь(у))] = [а22,у] + [х,611] = 0. Отсюда, в частности, [а22,у] = 0 для всех у £ М22, т. е. а22 является центральным элементом таким, что а22 = (1 — р) г, г £ 2(5(М)). Поэтому Ь(х) = а11 + (1 — р) г = [а11 — рг + г] £ М11 + 2(Б(М)). Таким же образом заключаем, что Ь(М22) £ М22 + 2(5(м)). >

Из полученных результатов заключаем, в частности, что если х £ Мц (г = ^), то Ь(х) = х* £ Мц; если х £ Мй, то Ь(х) = х* + г, х* £ Мй, г £ 2(Б(М)).

Исходя из этих соотношений, можно определить отображение О из Б(М) в Б(М), полагая О(х) = х*, если х £ Мц для всех г,

Теперь рассмотрим отображение т из 5(М) в 2(Б(М)), определяемое равенством

т(х) = Ь(х) — О(х), х £ Б(М).

Лемма 5. Отображение т : 5(М) ^ 2(Б(М)) является линейным.

< Достаточно доказать аддитивность т на Мй. Если х, у £ Мй, то

т (х + у) — т (х) — т (у) = Ь(х + у) — О(х + у) — Ь(х) + О(х) — Ь(у) + О(у) = [О(х) + О(у) — О(х + у)] £ Мй П 2(Б(М)) =0. >

Следствие. Отображение О : Б(М) ^ 5(М) является линейным.

Лемма 6. О(хух) = О(х)ух + хО(у)х + хуО(х) для всех х £ Мц (г = ^) и для всех

у £ 5(М).

< Для ж £ М] (г = ^), 2жуж = [[ж, у]ж]. Тогда

2О(жуж) = Ь(2жуж) = Ь([[ж, у] ж]) = [[Ь(ж),у] + [ж,Ь(у)],ж] + [[ж,у],Ь(ж)] = [[О(ж), у] + [ж, О(у)], ж] + [[ж, у], О(ж)] = 2 {О(ж)уж + жО(у)ж + жуО(ж)} ,

что и требовалось. >

Лемма 7. Для ж £ Мц и у £ М^к (^ = к), выполняется О(жу) = О(ж)у + жО(у).

< Пусть ж £ М11 и у £ М12. Тогда

О(жу) = Ь(жу) = Ь([ж,у]) = [Ь(ж),у] + [ж,Ь(у)] = [О(ж),у] + [ж,О(у)] = О(ж)у + жО(у). >

Лемма 8. Для ж £ М11 и у £ М], выполняется О(жу) = О(ж)у + жО(у).

< Пусть ж, у £ Мц. Для г £ М12, используя лемму 7, получим

О(жу)г = О(жуг) — жуО(г) = О(ж)уг + жО(уг) — жуО(г) = О(ж)уг + ж {О(у)г + уО(г)} — жуО(г) = {О(ж)у + жО(г)}г.

Следовательно, {О(жу) — О(ж)у — жО(у)}г = 0 для всех г £ М12. Отсюда заключаем, что О(жу) — О(ж)у — жО(у) = 0. >

Теорема 1. Отображение О из Б(М) в Б(М) является ассоциативным дифференцированием.

< Пусть 0 = ж £ М12 и у £ М21. Имеем

т ([ж, у]) = Ь([ж, у]) — О([ж, у]) = [Ь(ж), у] + [ж, Ь(у)] — О([ж, у]) = [О(ж), у] + [ж, О(у)] — О(жу) + О(уж).

Отсюда

{О(ж)у + жО(у) — О(жу)} + {О(уж) — О(у)ж — уО(ж)} = г £ Z(Б(М)). (5)

Если г = 0, то [О(ж)у + жО(у) — О(жу)] £ М11 П М22, т. е. О(ж)у + жО(у) — О(жу) = 0. Предположим, что г = 0. Умножая равенство (5) слева на ж, получим жО(уж) — жО(у)ж — жуО(ж) = жг. Применяя лемму 7, находим, что О(жуж) — О(ж)уж — жО(у)ж — жуО(ж) = жг. Согласно лемме 6 получаем жг = 0. Отсюда ж = 0, из противоречия получим требуемое равенство. >

Следствие. Равенство т(жу — уж) = 0 выполняется для всех ж, у £ Б(М). Итак, мы получаем следующую основную теорему.

Теорема 2. Всякое лиево дифференцирование на Б(М) единственным образом представляется в виде

Ь = О + т,

где О — ассоциативное дифференцирование и т — центрозначный след из Б (М) в Z(Б(М)).

Пусть Ь°(П) = Ь°(П, — алгебра классов эквивалентности всех комплексных измеримых функций на (П, Х,^). Рассмотрим произвольное дифференцирование 5 : Ь°(П) ^ Ь°(П), и Д5 — «покоординатное» дифференцирование на Мп (Ь°(П)) матриц размера п х п над Ь°(П), определенное по правилу

О, ((А])?.=1) = (5 (А])П,-=х)

где (Ajj)n=1 е Mn (L0(П)) . Оператор является дифференцированием на Mn (L0(^)) . Исходя из этого можно определить дифференцирование D5 на S(M) [1], где M — алгебра фон Неймана типа I, положив

D5(х) = (D5a(xQ)), x = (xQ) е S(M). (6)

Из [1, теорема 3.6] получим следующее

Следствие. Пусть M — алгебра фон Неймана типа I. Тогда каждое лиево дифференцирование на S (M) единственным образом представляется в виде

L = Da + D5 + Т,

где Dtt — внутреннее дифференцирование, D5 — дифференцирование вида (6).

Литература

1. Albeverio S., Ayupov Sh. A., Kudaybergenov K. K. Structure of derivations on various algebras of measurable operators for type I von Neumann algebras // J. Func. Anal.—2009.—Vol. 256.—P. 29172943.

2. Herstein I. N. Lie and Jordan structures in simple, associative rings // Bull. Amer. Math. Soc.—1961.— Vol. 67.—P. 517-531.

3. Johnson B. E. Symmetric amenability and the nonexistence of Lie and Jordan derivatuons // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.—1996.—Vol. 120.—P. 455-473.

4. Martindale W. S. Lie derivations of primitive rings // Mich. Math. J.—1964—Vol. 11.—P. 183-187.

5. Mathieu M., Villena A. R. Lie derivations on C*-algebras // J. Func. Anal. Acad Press.—2003.— Vol. 202.—P. 504-525.

6. Villena A. R. Lie derivations on Banach algebras // J. Algebra.—2000.—Vol. 226.—P. 390-409.

7. Robert Miers C. Lie derivations of von Neumann algebras // J. Math.—1972.—P. 403-409.

8. Segal I. A non-commutative extension of abstract integration // Ann. of Math.—1953.—Vol. 57.—P. 401457.

9. Sakai S. Derivations of W'-algebras // Ann. of Math.—1966.—Vol. 83.—P. 273-279.

Статья поступила 23 сентября 2011 г.

Жураев Илхом Мухитдинович

Национальный университет Узбекистана,

докторант кафедры алгебры и функционального анализа

УЗБЕКИСТАН, 100174, Ташкент, Вузгородок

E-mail: [email protected]

STRUCTURE OF LIE DERIVATIONS ON ALGEBRAS OF MEASURABLE OPERATORS

Juraev I. M.

We prove that every Lie derivation on algebras of measurable operators is of standard form, that is, it can be uniquely decomposed into the sum of a derivation and a center-valued trace.

Key words: von Neumann algebras, measurable operator, type I von Neumann algebras, derivation, inner derivation, Lie derivation, center-valued trace.