Локальные дифференцирования и автоморфизмы нильпотентных алгебр матриц малых порядков Текст научной статьи по специальности «Математика»

граммным комплексом для любого версионного состава.

4. Предложен и программно реализован алгоритм мультиверсионного формирования программноинформационных технологий с гарантированной доступностью ресурсов.

Библиографические ссылки

1. Антамошкин А. Н., Ковалев И. В. Определение оптимальной структуры мультиверсионного программного обеспечения при ограничениях по времени

E. L. Vaytekunene

MODEL OF RECOURSES USAGE AT MULTIVERSION FORMATION OF PROGRAM-INFORMATION TECHNOLOGIES FOR DISTRIBUTED SYSTEMS WITH THE RECOURSES RESTRICTION

The paper considers the model of recourses usage at multi-version formation of program-information technologies for distributed systems with the account of recourses base and limitations at the time of implementation.

Keywords: multi-version program complex (MPC), configuration vector of MPC.

© Вайтекунене Е. Л., 2012

и стоимости // Вестник Сиб. аэрокосмич. акад. 2000. Вып. 1. С. 111-124.

2. Методы анализа и синтеза структур управляющих систем / Б. Г. Волик и др. ; под ред. Б. Г. Волика. М. : Энергоатомиздат, 1988.

3. Ковалев И. В. Система мультиверсионного формирования программного обеспечения управления космическими аппаратами : дис. ... д-ра техн. наук. Красноярск, 1997.

4. Лебедев В. А., Трохов Н. Н., Царев Р. Ю. Параллельные процессы обработки информации в управляющих системах / НИИ СУВПТ. Красноярск, 2001.

УДК 512.54-512.55

А. П. Елисова

ЛОКАЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И АВТОМОРФИЗМЫ НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБР МАТРИЦ МАЛЫХ ПОРЯДКОВ*

Изучаются локальные дифференцирования и локальные автоморфизмы алгебры Я нижних нильтреугольных (п х п)-матриц над ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей и ассоциированной с Я алгебры Ли. Их описания завершаются при п = 3, а когда К - поле, также при п = 4.

Ключевые слова: алгебра нильтреугольных матриц, локальное дифференцирование, локальный автоморфизм.

Локальным дифференцированием алгебры A над ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей называют эндоморфизм K-модуля A, действующий на каждый элемент а из A как дифференцирование алгебры, вообще говоря зависящее от выбора а. Тривиальное локальное дифференцирование дает всякое ее дифференцирование 5 алгебры, т. е. эндоморфизм K-модуля A с условием 8(аР) = 8(а)Р + а8(Р)

(а, р е A). Аналогично определяют локальные автоморфизмы [1; 2].

В 2000 г. R. Crist [3] указал пример нетривиального локального автоморфизма подалгебры

C(e12 + e21) + Ce13 + Ce в M (3, C), где eij обозначают,

как обычно, матричные единицы соответствующего порядка, e - единичная матрица. Автоморфизмы

и антиавтоморфизмы полной алгебры M (n, C) комплексных (п х п)-матриц исчерпывают ее локальные автоморфизмы [2]. Локальные автоморфизмы произвольной алгебры A образуют группу по умножению [4], обозначаемую через Laut A.

Локальные дифференцирования алгебры A образуют подалгебру Locder A алгебры End(A+) всех K-линейных эндоморфизмов аддитивной группы A+.

Как показали A. Nowicki и I. Nowosad [5], локальные дифференцирования кольца M (n, K) всех (п х п)-матриц над коммутативным кольцом K с единицей, а также некоторых ее подколец исчерпываются ее дифференцированиями.

*Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01-00968) и Министерства образования и науки (тема 1.34.11).

Пусть Я есть алгебра ЫТ(п, К) нижних нильтре-угольных (п х п)-матриц (с нулями на главной диагонали и над ней) над К. Дифференцирования и автоморфизмы алгебры Я и ассоциированной с нею алгебры Ли Л(Я) известны [6-8]. Мы исследуем локальные дифференцирования и автоморфизмы алгебр Я и Л(Я). Описание Locder Я известно при п = 3 [4] и с ограничениями на К при п = 4 [9; 10].

Исследуются локальные дифференцирования алгебры Я произвольной размерности. Доказывается теорема об описании всех локальных лиевых дифференцирований алгебры Я над ассоциативнокоммутативным кольцом К с единицей при п = 3, а также в случае, когда п = 4 и К - поле. См. также [11].

Предварительные замечания и основные теоремы при п £ 4. Напомним, что если А - ассоциативная алгебра и а * р = ар - Ра(а, Р є А) - ассоциированное лиево умножение, то Л(А) := (А, +,*) есть алгебра Ли, называемая ассоциированной с А. Ее (локальное) дифференцирование называют также (локальным) лиевым дифференцированием алгебры А.

Отметим, что дифференцирования (и автоморфизмы) характеризуются действием на порождающих элементах алгебры. С другой стороны, очевидна лемма 1.

Лемма 1. Всякое локальное дифференцирование произвольной К-алгебры А характеризуются действием на элементах, порождающих А как К-модуль. Таким образом, локальное дифференцирование нетривиально, если оно ненулевое, но является нулевым на каком-либо множестве, порождающем эту алгебру.

Очевидно, что к локальным лиевым дифференцированиям относятся все локальные дифференцирования алгебры А.

Всюду далее К есть ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, п > 3 и Я = ЫТ(п, К). Очевидно, алгебру Я порождают матричные единицы ег+1г, 1 < і < п, а все матричные единицы ег], 1 < ] < і < п порождают Я как К-модуль.

Следующие две теоремы дают описания локальных лиевых дифференцирований и автоморфизмов алгебры Я при п = 3 и в случае, когда К - поле и п = 4. Когда п = 4, выделим при к є К и у = Цс^ || є М(2, К) эндоморфизмы К-модуля Я вида

а ^ а + (Яз1с11 — а42с21 )е31 + (а42с22 — а31с12)е42 +

+ а41(с11с22 + с12с21 )е41,

а ^ (а31С11 + а42С21)е31 + (а42С22 + а31с12)е42’ (2)

(1)

pk :а ^ ka43e42 (а = aJ є R).

(3)

Обозначим через у отображение (1) при у є GL(2,K) и 2cjjc12 = 2с21с22 = 0, через у - отображение (2) при 2с12 = 2с21 = 0 .

Теорема 1. Если n = 3, то

Locder A(R) = Locder R + Der Л(R). Когда n = 4 и K -

поле, всякое локальное лиево дифференцирование алгебры R над K есть сумма локального дифференцирования алгебры R, ее лиева дифференцирования и

локальных лиевых дифференцирований вида у и pk .

Теорема 2. Если п = 3, то

Laut A(R) = Laut R • Aut A(R). Когда п = 4 и K - поле, всякий локальный лиев автоморфизм алгебры R над K есть произведение локального автоморфизма алгебры R, ее лиева автоморфизма и локальных лиевых автоморфизмов вида у и 1 + pk.

Теоремы 1 и 2 доказываются далее.

Нам потребуется описание из [7] группы Der R , а

также ее основных подгрупп. Для треугольной (п х п)-матрицы у над K отображение а ^ а * у(а е R) дает треугольное (или диагональное, когда матрица у диа-гональна) дифференцирование; при у е R его назы-

вают внутренним.

Заметим,

что

степени

R = R1,R2,R3Rn = 0 образуют центральный ряд алгебры R, причем Rn-1 = Ken1 совпадает как с анну-лятором, так и с центром Z алгебры R. В [7] доказана лемма 2.

Лемма 2. Аддитивная группа Der R дифференцирований алгебры R есть сумма подгрупп треугольных и центральных дифференцирований.

Известно, что центральные дифференцирования алгебры R (т. е. нулевые по модулю центра) порождаются всевозможными дифференцированиями:

%i,c ■ а ^ cai +1ien1 (а =1 akm II е R)> 1 <i < n,c eK.

Для описания в [7] существенны следующие идеалы алгебры R и лемма о них.

Лемма 3. В алгебре R при 1 < j < i < п идеалы

Qi] = (Keuv 11 < v < j < i < u < n,(u,v) * (i, j)),

Nj = Qij + Kej

являются (Der R)-инвариантными. Относительно

Der A(R) инвариантны идеалы

R, R2Rn-1, N21 + N„3, Nnn _1 + Nn_21,

Ny (j < i, i > 2, j < n -1).

Редукционные теоремы. Здесь R = NT(n, K), n > 4 . При любом t е K далее полагаем

at ■ а ^ ta31 e31 + ta42e42 +••• + tann-2enn-2

(а =|Ы| е R).

Теорема 3. Всякий локальный автоморфизм алгебры R с точностью до умножения на автоморфизм тождественен на элементах eii-1, 1 < i < п , а на элементы

eii-2, 2 < i < п действует по модулю R3 как 1 + rot, где

1 +1 е K« фиксировано.

Теорема 4. Всякое локальное дифференцирование Ф алгебры R с точностью до прибавления дифференцирования является нулевым на элементах eii-1,

(4)

1 < i < n, а на элементах eii_2, 2 < i < n по модулю R3 совпадает с отображением rot для фиксированного

t e K.

Теорему 3 совместно доказали автор и В. М. Левчук. Ее доказательство удается перенести и на теорему 4.

Прежде всего замечаем, что из леммы 3 сразу же вытекает лемма 4.

Лемма 6. Для произвольного локального дифференцирования ф алгебры R существуют элементы

cij e K такие, что

lJ

ф(еу ) = cyey m0d6y (1 < j < i < n)- (5)

Из леммы 2 легко вытекают также (полагаем Nj = 0, если k > n или j < 1) леммы 5, 6.

Лемма 5. Пусть R = NT(n, K) и ye Der R . Если 1 < j < i < n и y(ej) = 0 по модулю Ni+1 j_j, то выполняется равенство y (e^) = 0 при i _ j > 1, а по модулю центра Z также при i _ j = 1.

Лемма 6. Произвольное локальное дифференцирование ф алгебры R с точностью до прибавления ее дифференцирования удовлетворяет условию

ф^й _1) = 0, i = 2,3,..., n. (6)

Доказательство. В силу леммы 4, с точностью до прибавления к ф диагонального дифференцирования, имеем

фО^О = 0mod6ii_1> i = 2,...>n-

Внутреннее дифференцирование а ^ а * ß с матрицей вида ß = Xn=i2 xiei+22 (xi eK) дает ф^21) = 0. Далее, применяя для каждого i = 3,..., n _1 внутреннее дифференцирование с матрицей вида

xet_11 n=i+1 ysesi, приходим к равенствам

ф^О = ki2ei2 + k,3e,3 +... + kii_ 2 eii_2 mod Ni+1i_2 . (7)

При i = n внутреннее дифференцирование с матрицей вида xen_11 (и соглашение Nn+1n_2 = 0) также дает (7). Из (7) следует равенство (6) по модулю идеала Ni+1i _2 на элементы eii_1 для i = 2, 3. Далее проводим индукцию. При i = 4 находим

ф^43) = k42 e42 mod N52, ф(e21 + e43) = ф(e21) + ф(e43) = k42 e42 mod N52.

Если дифференцирование y e Der R действует как ф на элемент а = e21 + e43, то для подходящей матрицы у = HyJ e R по модулю N52 получаем равенство

y (e21 + e43) = ау _ уа =

= У32 (e42 _ e31) + (У31 _ У 42 )e41 _ У54e53 _ ... _ Уn4en3 >

откуда у32 = 0 = k42. Равенство kii_2 = 0 для оставшихся i получаем аналогично.

Фиксируя i < п , докажем равенства ky = 0 коэффициентов в (7) в предположении, что равенства kst = 0 при всех s < i доказаны. Допустим также, что

kim+1 = kim+2 = ... = kii-2 = 0

для некоторого 1 < m < i -1. Выбирая дифференцирование у е Der R, действующее на элемент

emm-1 + en-1 как Ф, по модулю

Nm+1m-2 + Ni+1i-2 + Nim-J, получаем

y(emm-1 + e„-1) = Ф(emm-J + eii-1) =

= Ф^тт- ) +Ф(e,■,■-J) = kmeim •

Отсюда и из описания группы Der R (лемма 2) следует, что в этих соотношениях у можно считать внутренним дифференцированием с подходящей матрицей у = ЦуЛ е R . В этом случае

У (emm-1 + eii-1) =

= уi-Jm (eim - ei-Jm-J)mod(Nm+1m-2 + Ni+1i-2 + Nim-1)

и, следовательно, у,-1m = 0 = kim = 0. Произвол в выборе т дает равенства kj = 0 в (7) для всех j.

Таким образом, доказаны соотношения Ф^^) = 0mod Ni+Ji-2. Вместе с леммой 5 они показывают, что Ф^-^) = 0 для всех i, с точностью до прибавления центрального дифференцирования.

Доказательство теоремы 4 завершает лемма 7.

Лемма 7. Если локальное дифференцирование ф алгебры R удовлетворяет условию (6), то все элементы cii-2 из леммы 4 попарно совпадают.

Доказательство. Для произвольного локального дифференцирования Ф алгебры R существуют элементы cj е K такие, что выполняются равенства (5).

Пусть 2 < i < п . Положим а = eii-2 + ei-Ji-2 + + ei+Н-1 - ei+и. Согласно описанию дифференцирований (лемма 2), ф действует на а по модулю центра Z как треугольное дифференцирование с треугольной матрицей у = | |xj, в частности,

Cii-2eii-2 + ci+1i--1ei+1i--1 = Ф(а) = а *ут^R3 .

Сравнение в левой и правой частях этого равенства элементов на позициях (i -1, i - 2) и (i +1, i) дает равенства соответственно di-1 = di-2 и dt+1 = dt. Сравнивая элементы на позициях (i, i - 2) и (i +1, i -1), получаем соответственно равенства

di-2 - di - Xii-1 = Cii-2, di-1 - di+1 - Xii-1 = Ci+Ji-J.

Отсюда dl-J - di - Xi- = Cii-2, di-1 - di - xii-1 = с,-+И_1

и, следовательно, cii-2 = с,+Ji-J. В силу произвольного выбора i получаем c31 = с42 =... = cnn-2.

Теорема о локальных лиевых дифференцированиях. Целью этой части работы является доказа-

тельство теоремы 1; теорема 2 доказывается по аналогичной схеме. Описание группы Der A(R) дано в [7, теорема 5].

Случай п = 3 теоремы 1 устанавливает лемма 8.

Лемма 8. Пусть K есть ассоциативно-

коммутативное кольцо с единицей и R = NT(3, K). Тогда Locder A(R) есть сумма подгрупп Der A(R) и Locder R.

Доказательство. Произвольное локальное лиево дифференцирование у алгебры R = NT (3, K) действует на элементы e21 и e32 так, что

у ■ ei+1i — aie21 +bie32 mod R2 ,i = 1,2 (ai ,bi е K).

Учитывая [7, теорема 5], можем считать, что у действует по модулю центра как нулевое отображение на элементы e21 и e32 . Тогда все идеалы Nij являются ^-инвариантными и поэтому у е Locder R .

С учетом теоремы 4 несложно доказывается (см. [4]) лемма 9.

Лемма 9. Если R = NT(3, K), то Locder R аддитивно порождают Der R и локальные дифференцирования вида

5t :а — (а=|\akm\\ е R)t е K. (8)

Далее полагаем R = NT(4, K). При t е K выделяем эндоморфизмы K-модуля R,

Ф31^ :а—' ^31^

Фпп-l.t :а—' tann-2 en1 (ае R).

Следующая теорема анонсирована в [9]. См. также [10].

Теорема 5. Если K - поле, то Locder R аддитивно порождают Der R и локальные дифференцирования вида (9), (8) и (4).

Описание лиевых дифференцирований приведено в [7]. Выделим эндоморфизмы

аа ■ e21 — aen2 ,CT'b ■ enn-1 — ben-11 a, b е K, фс : e21 — ce43 , e31 — ce42,

Ф d ■ e43 —— de21, e42 —— de31, c, d е K,

аддитивной группы A(R +). (Считаем, что матричная единица eij обращается в нуль, если ее образ не указан.) Описание Der A(R) в [7] использует подгруппы

L =(фс|с е K,2с = 0), L3 = (ф'd|d е K,2d = 0^;

L 2 = (CTa Ia е K), V 2 = (ст ' b|b е K) .

Лемма 10. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда

Der A(R) = L 2 + L ' 2 + L3 + L' 3 + Der R (n = 4).

Как и в (2), выберем у = Цс- || е M(2, K). Отображения у и pk введены перед теоремой 1 и в (3). Они дают нетривиальные локальные лиевы дифференцирования, как показывают следующие две леммы.

(9)

Лемма 11. Если K - поле и 2с12 = 2с21 = 0, то отображение у есть локальное лиево дифференцирование алгебры R.

Доказательство. Фиксируя а = Hai-1| е R, найдем у е Der A(R) такое, что

у(а) = у (а). (10)

Пусть a31cn + a42c21 и a42 c22 + a31c12 одновременно

ф 0 , иначе ß(а) = 0 . Когда а е N32, дифференцирование у в (10) даст сумма диагонального дифференцирования с матрицей diag{d1, d2, d3, d1} над K и дифференцирования фс +ф ' d, где фс е L3, с = с12 и

Ф 'd е L'3, d = C21 .

Если a21 ф 0 , то у (а) = (aa + %)(а) для X : а — ау -уа, у = (-a- (a^^ + a42C21))e32 и

CTa е L 2, a = a- (a42C22 + a31C12) +

+ a43a21 (a3JCJJ + a42C21).

Когда a21 = 0 и a43 ф 0, выбираем у аналогично, используя замену aa на 'b.

Лемма 12. Если K - поле, то pk есть локальное лиево дифференцирование алгебры R для любого элемента k е K.

Доказательство. Зафиксируем k е K. Для произвольной матрицы а = Hai-1| е R найдем лиево дифференцирование у е DerA(R) такое, что

Pk (а) = ka43e42 =у(а). (11)

Если ka43 = 0, то можно взять у = 0. Поэтому далее ka43 ф 0.

При a21 ф 0, полагая b = ka^a- е K и у = ke32, получаем pk (а) =ст 'b(а) + а*у, так что в (11) можно взять у = ст'b(a) + а*у. Пусть a21 = 0. Тогда у действует на а как внутреннее дифференцирование с матрицей ke32 .

Замечание. Построенные нетривиальные локальные дифференцирования у и pk не обязаны лежать в Der A(R) + Locder R . Кроме того, если k ф 0 , то pk есть нетривиальное локальное лиево дифференцирование, относительно которого все идеалы NiJ- инвариантны, хотя pk е Locder R .

Лемма 13. Всякое локальное лиево дифференцирование алгебры R над полем K действует на совокупность элементов et+1 (1 < i < 3) как сумма лиева дифференцирования и локального лиева дифференцирования вида pk.

Доказательство. Пусть у е Locder A(R). В силу леммы 3, у индуцирует линейные преобразования фактор-алгебр A(R)/N32,(N21 + N43)/R2, N32 /R2 и,

следовательно, однозначно определяет элементы ci, d: е K такие, что

* J

у(e21) = d1e21 + c1e43 ’ у(e43) = c2e21 + d2e43 ’

у (e32) = d3e32 mod R2.

Поэтому у действует как нулевое отображение по

модулю R2 на всех элементах e{+н, с точностью до прибавления дифференцирований из L3, L '3 и диагонального дифференцирования.

Далее, для каждого i добиваемся равенства y(ei+н) = 0 по модулю центра Z = R3. С этой целью прибавляем к у внутреннее дифференцирование а ^ а * у(а е R) с матрицей у е (Ke21 + Ke43) для i = 2, а для i = 1 - с матрицей у е Ke32 и, кроме того, прибавляем дифференцирование вида ф0. (Условие y(e32) = 0mod R3 при этом не изменяется.) Для случая i = 3 достаточно прибавить к у дифференцирование вида ф ' d и локальное лиево дифференцирование вида рк .

Наконец, прибавляя к у центральное дифференцирование алгебры R, добиваемся точных равенств

y(ei+1i) = °.

Доказательство теоремы 1. Исследуем произвольное локальное лиево дифференцирование у алгебры R = NT (4, K) над полем K. С учетом леммы 15 можем считать, что у действует как нулевое отображение на элементы e21, e32, e43. В силу линейности у на R2 / R3, существует матрица ||by || е M(2, K) такая, что

уОч-+2i ) = bi1e31 + bi2e42 modR3 > i = 1 2

Нам достаточно доказать, что 2b12 = 2b21 = 0 . Можно считать, что K - поле характеристики Ф 2. Пусть b12 Ф 0 . Ясно, что идеал N31 инвариантен относительно подгруппы T дифференцирований а ^ а * у(а е R) для треугольных матриц у над K. Поскольку у е LocderA(R), то существует 9 е DerA(R) с условием 0(e31) = у^31). По лемме 10, 9еL3 + T , т. е. 0 = ц + ф£,, где це T, ф0 е L3, в частности c е K, 2c = 0 . Отсюда и из связи 9, у получаем c = b12, 2c = 2b12 = 0 и поэтому b12 = 0 . Аналогично,

b21 = 0. Таким образом, несложно видеть, что всегда 2b12 = 2b21 = 0 и прибавлением к у подходящего

локального лиева дифференцирования у добиваемся по модулю центра Z равенств у^31) = 0 и у^42) = 0. К точным равенствам приходим, прибавляя к у локальные дифференцирования вида ф31^ и ф42^. И, наконец, у(e41) = 0 , с точностью до прибавления к у локального дифференцирования вида 5t. Тем самым доказательство теоремы завершено.

Библиографические ссылки

1. Kadison R. Local derivations // J. Algebra. 1990. Vol. 130. P. 494-509.

2. Larson D. R., Sourour A. R. Local derivations and local automorphisms of B(H) // Proc. Sympos. Pure Math. 1990. Vol. 51. P. 187-194.

3. Crist R. Local automorphisms // Proc. Am. Math. Soc. 2000. Vol. 128. P. 1409-1414.

4. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных матричных алгебр / А. П. Елисова, И. Н. Зотов, В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова // Изв. Иркут. гос. ун-та. 2011. Т. 4, № 1. С. 9-19.

5. Nowicki A., Nowosad I. Local derivations of subrings of matrix rings // Acta Mathematica Hungarica. 2004. Vol. 105, № 1-2. P. 145-150.

6. Ou S., Wang D., Yao R. Derivations of the Lie algebra of strictly upper triangular matrices over a commutative ring // Linear Algebra and its Applications. 2007. Vol. 424. P. 378-383.

7. Levchuk V. M., Radchenko O. V. Derivations of the locally nilpotent matrix rings // J. Algebra and Applications. 2010. Vol. 9, № 5. P. 717-724.

8. Левчук В. М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. II. Группы автоморфизмов // Сиб. мат. журн. 1983. Т. 24, № 4. С. 543-557.

9. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования алгебр нильтреугольных матриц // Тез. докл. междунар. конф. по теории колец. Новосибирск, 2011. С. 8-10.

10. Wang X. Local derivations of a matrix algebra over a commutative ring // J. of Math. Research and Exposition. 2011. Vol. 31, № 5. P. 781-790.

11. Elisova A. Local automorphisms and derivations of nilpotent matrix algebras // Book of abstracts of the Int. conf. on algebra. Kiev, 2012. P. 46.

A. P. Elisova

LOCAL DERIVATIONS AND LOCAL AUTOMORPHISMS OF NILPOTENT ALGEBRAS OF MATRICES OF SMALL ORDERS

Let K be associative and commutative ring with identity. In the article we study local derivations and local automorphisms of algebra R of lower niltriangular n*n matrices over K and associated with R of Lie algebra. Their descriptions are completed under n = 3 and when K is a field, under n = 4.

Keywords: algebra of niltriangular matrices, local derivation, local automorphisms.

© EmcoBa A. n., 2012