Сжимающие проекторы в пространствах Лебега с переменным показателем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 1, С. 72-78

УДК 517.98

СЖИМАЮЩИЕ ПРОЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С ПЕРЕМЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Б. Б. Тасоев

В работе приведено описание структуры положительных сжимающих проекторов в пространствах Лебега Ьр(:) с ст-конечной мерой и с существенно ограниченным переменным показателем р(-). Показано, что всякий положительный сжимающий проектор Р : Ьр() ^ ^р( ) допускает матричное представление, а ограничение Р на полосу, порожденную слабой порядковой единицей своего образа, представляет собой взвешенный оператор условного ожидания. Попутно получено описание образа Ш(Р) положительного сжимающего проектора Р. Отметим, что в случае конечной меры при постоянном показателе существование слабой порядковой единицы в ¿Я(Р) очевидно. В нашем же случае наличие слабой порядковой единицы в ¿Я(Р) требует доказательства и мы строим ее конструктивно. Слабая порядковая единица в образе положительного сжимающего проектора играет ключевую роль в его представлении.

Ключевые слова: оператор условного ожидания, сжимающий проектор, пространство Лебега с переменным показателем, пространство Накано, ст-конечная мера.

1. Введение

Р. Г. Дуглас в своей работе [8] показал, что всякий сжимающий проектор в пространстве с конечной мерой, который оставляет константы неподвижными, представляет собой оператор условного ожидания. Т. Андо в работе [4] обобщил этот результат па Ьр(&, с конечной мерой. Посредством оператора условного ожидания П. Г. Доддс, Ч. Б. Хюсманс и Б. де Пахте в работе [7] привели полное описание положительных порядково непрерывных проекторов, действующих в идеальных подпространствах в с конечной мерой. Пользуясь техникой банаховых решеток, Ю. А. Абрамович, К. Д. Алипрантис и О. Буркиншо в [2], для р = 1, и Ю. А. Абрамович и К. Д. Алипрантис в [3, §5.3, 5.4], для 1 ^ р < то, привели другое элегантное доказательство результатов Р. Г. Дугласа и Т. Андо. Д. Е. Уолберт в работе [9] показал, что всякий положительный сжимающий проектор в с произвольной мерой есть оператор условного ожидания при условии, что сужение этого оператора на также является сжимающим. С. Бернау и Е. Лейси в работе [5] показали, что если положительные сжимающие проекторы в ^-пространствах с произвольной мерой ограничить на полосы, порожденными элементами из его образа, то эти ограничения описываются с помощью оператора условного ожидания.

В настоящей работе приводится описание структуры положительных сжимающих проекторов в .¿^^-пространствах с ст-конечной мерой с переменным показателем р(-).

© 2017 Тасоев Б. Б.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 14-01-91339 IIIIIК)_;ь

Попутно мы получили описание образа этого проектора. Следует отметить, что во всех вышеперечисленных работах в случае конечной меры при постоянном показателе существование слабой порядковой единицы в образе положительного сжимающего проектора очевидно. В нашем же случае наличие единицы требует доказательства, и мы строим ее конструктивно. Слабая порядковая единица в образе положительного сжимающего проектора играет ключевую роль в его представлении.

2. Вспомогательные леммы и определения

Пусть (П, £, у) — пространство с ст-конечной мерой, т. е. П — непустое множество, £ — ст-алгебра подмножеств мн ожества П, у — полная мер а на £, и существует возрастающая по включению последовательность {Пп} С £ такая, что П = Пп, у(Пп) < ж для

всех п £ N. Для произвольного множества А £ £ символом 1а будем обозначать его характеристическую функцию.

Как обычно, символом Ьо(П, £,у) будем обозначать множество классов эквивалентности измеримых почти всюду конечных функций. Всюду далее функция р(-) £ Ьте(П, £,у) такая, что 1п ^ р(-) почти всюду на П. Обозначим символом Ьр(.)(П, £,у) множество всех функций / £ Ьо(П, £, у), для которых |/(t)|p(t)dц(t) < ж. В пространстве £р(.)(П, £,у) введем норму || ■ || по формуле

:= if Л > 0 :

f (t)

Л

p(t)

d»(t) < l} (f e Lp{.)(n, £,ц)).

Тогда (Lp^)(fi, £, ц), || ■ ||) является банаховым пространством ввиду [6, Theorem 2.71]. Кроме того, из определения Lp^)(fi, £,ц) видно, что оно идеальное подпространство в Lo(fi, £, ц). Алгебраические и решеточные операции в Lp^(fi, £,ц) осуществляются поточечно почти всюду.

Определение 1. Норма произвольной нормированной решетки (E, || ■ ||) называется строго монотонной, если из соотношения |x| < |y| следует ||x|| < ||y|| для всех x,y e E.

Лемма 1. Норма в пространстве Lp^) (fi, £, ц) строго монотонна и порядково непрерывна.

< Доказательство порядковой непрерывности нормы в Lp^)(fi, £,ц) можно найти в f6, Theorem 2.62]. Покажем строгую монотонность нормы. Возьмем произвольные f,g e Lp(^)(fi, £,ц) такие, что 0 < |f | < |g|. Предположим от противного, что ||f || ^ ||g||. Так как функция p(-) существенно ограничена, то в силу f6, Proposition 2.21] выполняются соотношения

п п п

Из полученного противоречия следует ||f || < ||g||. >

Определение 2. Оператор T : X ^ Y между нормированными пространствами X, Y называется сжимающим, если его норма меньше единицы.

Всюду далее E — замкнутый по норме порядковый идеал в Lp(^ (fi, £, ц), P : E ^ E — положительный сжимающий проектор, т. е. P2 = P, Pf ^ 0 для всех f ^ 0 и ||P|| ^ 1. Символом R(P) := {P(f ) : f e E} будем обозначать его образ. Напомним, что f e E

называется слабой порядковой единицей пространства М, если вирр f = вирр М, где вирр М — носитель М (см. [1, глава 4, §3]). Положим по определению

Ее := {А £ Е : А = виррf, f £ Я(Р), f ^ 0},

т. е. система множеств Ее состоит из носителей положительных функций, классы эквивалентности которых содержаться в Я (Р).

Лемма 2. Пространство Я(Р) является порядково замкнутой банаховой подрешет-кой в Е со слабой порядковой единицей е £ Я (Р).

< Ввиду того, что Р2 = Р и Р — непрерывный оператор, пространство Я(Р) замкнуто по норме в Е. Так как норма порядково непрерывна, Я(Р) — порядково замкнутое банахово пространство. Покажем, что Я(Р) — векторная решетка. Возьмем произвольный элемент f £ Я(Р). В силу положительности Р верно неравенство Р(^I) ^ |Р(f)1 = ^I- Предположим, что Р(^|) > |f Тогда в силу строгой монотонности нормы (лемма 1) следует ||Р(^|)|| > ||, что противоречит условию ||Р|| ^ 1. Таким образом, Р(^|) = ^| и |f | £ Я(Р). Тем самым, Я(Р) — порядково замкнутая банахова подрешетка. Чтобы показать существование слабой порядковой единицы положим по определению М := {1а : А £ Ее} С Ее(П, Е,Тогда существует вирМ £ Ее(П, Е,^) и в силу [1, глава 1, §6, теорема 17] найдется последовательность (Ап) С Ее такая, что вир М = 8ир{1лп : п £ М}. Пусть е := Т,п=1 ц/р"» гДе е /« > 0, Ап = яирр /„ (п £ Н). Так как Я(Р) замкнута по норме в Е, то е £ Я(Р). Ясно, что вирр е = виррЯ(Р). Следовательно, е — слабая порядковая единица в Я(Р). >

Лемма 3. Пусть е из леммы 2. Система множеств Ее является а-подкольцом в £ с единицей := вирр е.

< В силу леммы 2 Я(Р) содержит слабую порядковую единицу е. Следовательно, ^о = вирр е будет единицей системы Ее.

Возьмем произвольную последовательность (Ап) С Ее- Тогда Ап = вирргде ^ £ Я{Р), /га ^ о (п £ М). Положим ПО ОПреДвЛвНИЮ / := \\/"\2п • ® силу леммы 2

f £ Я(Р). Ясно, что виррf = иАп. Следовательно, Ап £ Ее.

Возьмем произвольные А, В £ Ее и покажем что их разность А \ В £ Ее- Пусть 0 ^ ^ д £ Я (Р) такие, что А = вирр ^В = вирр д. Положим по определению fn := ^ — пд) V 0 для всех п £ N. В силу леммы 2 последовательность (/п) содержится в Я(Р). Так как (/п) порядково сходится к функции 1а\вf £ Е, т0 п0 т°й же лемме 2 1а\вf £ Я(Р)• Ясно, что вирр 1а\вf = А \ В. Следовательно, А \ В £ Ее. >

Символом {е}^ мы будем обозначать полосу в Е, порожденную элементом е £ Е.

Лемма 4. Пусть е из леммы 2. Справедливо равенство Р(1^) = 1аР(f) Для всех А £ Ее и f £ {е}Х±

< Пусть 0 ^ f £ {е}^ и А £ Ее. Тогда f Лпе f. Следовательно, в силу линейности и порядковой непрерывности оператора Р достаточно доказать лемму для всех 0 ^ f ^ е. Итак, пусть 0 ^ f ^ е. Возьмем Н £ Я(Р) такой, что А = вирр Н. Тогда е Л пН 1^е и ввиду того, что Я(Р) — порядково замкнутая подрешетка (лемма 2), следует 1^е £ Я(Р).

В силу положительности оператора Р выполняются неравенства 0 ^ Р (1^) ^ Р (f) и 0 ^ Р(1^) ^ Р(1^е) = 1^е. Следовательно, ввиду соотношения А С вирр е получим виррР(^) С А И Р(1^) < 1аР(f)•

В рассуждениях выше вместо ^ ^^^ставпм е — f. Тогда справедливы соотношения 1Ае — Р(1аf) = Р(1А(е — f)) < 1аР(е — f) = 1аР(е) — 1аР^)• Следовательно, Р(1^) ^ 1аР(f )• Таким образом, Р(1аf) = 1аР(f)• >

Возьмем порядковую единицу е £ Я(Р) (лемма 2) и положим по определению

Р := е-1Я(Р) := {е-1/ : / £ Я(Р)} , где функция е-1 / определяется формулой

I 0, £ £ П \ яирр е.

Ясно, что Р — векторная подрешетка в ¿о(П, Е, с носителем П0 := яирр е. Обозначим ограничение всех функций из Р на По через Р|п0. Тогда отображение / ^ е-1 / является решеточным изоморфизмом из Я(Р) на Р|п0.

Лемма 5. Все функции из Р|п0 Е0-измеримы, символически, Р|п0 С ¿0(П0, Е0

< Возьмем произвольную положительную функцию / £ Р. Тогда существует положительная функция д £ Я(Р) такая, что / = е-1 д. Возьмем произвольное число а ^ 0. В силу того, что Я(Р) — векторная решетка, е, д £ Я(Р) и яирр д С яирр е, выполняются равенства £ П : /(£) > а} = £ П : е-1 (£)д(£) > а} = £ П : д(£) > ае(£)} = £ П : д(£) V ае(£) — ае(£) > 0} = зирр(д V ае — ае) £ Е0. >

3. Основной результат

Определение 3. Пусть (П, S,^) — пространство с ст-копечпой мер ой и So — некоторое ст-подкольцо в S с единицей По. Функция f G Lo(n, S, называется So-измеримой, если suppf С По и ее ограничение f |п0 на По So-измеримо.

Все So-измеримые функции из Lo(n, S, будем обозначать символом Lo(n, So,^). В частности, ¿р(.)(П, So:= ¿р(.)(П, S,^) П Lo(n, So, Ясно, что Lo(n, So,^) подалгебра в Lo(n, S,

Пусть 0 < e G Lp(.) (П, S, и So — некоторое ст-подкольцо в S с единицей no = supp e. Так как 1 ^ p(-) G ¿<^(П, S,^), то в силу f6, Proposition 2.12] ep(') G ¿1(П, S,^). Введем конечную меру ep('V 110 формуле для всех A G S. Возьмем про-

извольную функцию h G Li (П, S,ep(-)и положим по определению A(A) := ja hep(')d^ для всех A G So- Тогдa A : So ^ R — конечная мера, и по теореме Радона — Никодима существует единственная функция EeP( ^(h|So) G ¿1(П, So,ep(-)такая, что

J hep(') ф = J EeP('^(h|So)ep(') d^ ^

aa

p( ' ) P( ' )

для всех A G So- Продолжим функцию Ee ^(h|So) на П, полагая

E M(h|So)(t) = 0

p( • )

для всех t G П \ Œo, и обозначим это продолжение с нова через Ee ^(h|So )• Тогда в силу определения 2 EeP ^(h|So) — единственный элемент из ¿1(П, So,ep(-)удовлетворяющий соотношению (1).

Определение 4. Отображение EeP( '^(-|So) : h ^ EeP( '^(h|So) из ¿1(П, S,ep(') в ¿1(П, So, ep('V), определяемое соотношением (1), называется оператором условного ожидания для меры ep('V относительно ст-кольц a So с единиц ей

Лемма 6. Оператор условного ожидания

(-|So) : L1 (П, S,ep(-)^ ¿1(П, So,ep(,)является линейным положительным порядково непрерывным проектором с нормой меньшей единицы.

< Доказательство леммы легко следует из теоремы Радона — Никодима и определения оператора ЕеР( ^Н^о). >

Теорема 1. Пусть (П, Е,^) — пространство с а-конечной мерой, Е — замкнутый по норме порядковый идеал в Рр(.)(П, Е,^), Р : Е ^ Е — положительный сжимающий проектор. Тогда существуют 0 < е £ Я(Р) а-нодкольцо Е0 в Е с единицей П0 := яирр е и единственная положительная функция т £ ^(П, Е,ер(-)такие, что яиррЯ(Р) = По, йирр т С 8иррП0 и справедливо представление Р(/) = еЕеР м(е-1 т/|Е0) для всех / £ {е}^ С Е.

< Пуст ь е, П0 = яирр еж Е0 го лемм 2 и 3. В силу леммы 5 функция е-1Р (/) £ ¿0(П, Е,^) Е0-измерима для всех / £ Е, в частности, для / £ {е}^. Осталось доказать представление

е-1

j e-1 P(/ )ep(^ = J e-1w/epWd^

a a

для всех / £ {e}^ и A £ Eo.

Положим по определению M := {e-1 / : / £ {e}^}. Тогдa M — порядковый идеал в Lo(fi, E, Более того, так как мера ep(^ конечна, то ввиду f6, Corollary 2.48] справедливы включения M С Lp(^(fi, E,ep(^С E(fi, E,ep(^Введем оператор T : M ^ M по формуле T (g) := e-1P (eg) для вс ex g £ M. Тогда T — положительный порядково непрерывный оператор в M. С помощью оператора T определим порядково непрерывный функционал Ф : M ^ Ж по формуле $(g) := fn T(g)ep(^d^ для всех g £ M. В силу [3, Theorem 5.26] существует единственнар положительная функция w £ Lo(fi, E,ep(^) такая, что supp w С supp e = suppfio и fQ T(g)ep(^ d^ = $(g) = fn wgep(^ d^ для всех g £ M g := e-1/

J e-1 P(/)ep(^ = У lae-1 P(/)ep(^ = J e-1 P(1a/)ep(^

аП П

= У T(lag)epWd^ = J wlagep(^)d^ = J e-1w/epWd^

П П a

для всех / £ {e}^ и A £ Eo. >

Замечание 1. Если в теореме 1 мера ц конечна, показатель 1 ^ p(-) < то есть константа и P(1) = 1, где 1 — тождественная единица на fi, то иолагая e = 1, мы получим результат типа Дугласа — Андо [3, Corollary 5.52, 5.53], [7, Proposition 3.3]. В случае, когда ^ ст-конечна, то из упомянутой теоремы следует результат Бернау и Лейси [5, Theorem 3.4].

Следствие 1. Пусть (fi, E,^) — пространство с a-конечной мерой, E — замкнутый по норме порядковый идеал в Lp(^(fi, E,^), P : E ^ E — положительный сжимающий проектор. Тогда существуют замкнутые идеальные подпространства E1, E2 в Ей положительные сжимающие операторы P11 : E1 ^ E1 и P12 : E2 ^ E1 такие, что E = E1 ©E2, PuP12 = P12, P>121 = P11, и оператор P имеет матричное представление

P = fP11 P12 V 0 0

Более того, существуют 0 < e £ R(P), a-подкольцо Eo в E с единицей fio = supp e и единственная положительная функция w £ Lo(fi, E,ep(^такие, что suppR(P) = fio, supp w = fio, и имеет место представление P11(/) = eEe? m(e-1 w/|Eo) для всех / £ E1.

< В силу теоремы 1 суще ствуют 0 < e G R (P), ст-иодколь цо So в Ее единицей По = supp e и единственная положительная функция w G Lo(n, S,ep(^) такие, что suppR(P) = no, suppR(P) = no, и справедливо представление

P (/ ) = eEeP( • >M(e-1w/|So) (2)

для всех / G {e}^. Положим в качестве Ei := 1q0E = {e}^ и E2 := ln\n0E = |e}^. Введем операторы P11 : E1 ^ E1 и P12 : E2 ^ E1 то формулам Рц (/) := P(/) для всех / G E1 и P12 (g) := P(g) для всex g G E^. Ясно, что P^ = P11. Так как R(P12) С R(P) С {e}x± = Eb то P11P12 = P12. Очевидно, что E = E1 ® E2, и Pb P2 P

на E1 есть P11. Следовательно, в силу (2) выполняются равенства P11 (/) = P(/) = eEeP( ^(e-1 w/|So) для всех / G E^ >

В заключение рассмотрим вопрос об описании образа положительного сжимающего проектора P, действующего в Lp^)(n, S,^).

Предложение 1. Пусть (П, S,^) — пространство с ст-конечной мерой, P — положительный сжимающий проектор, действующий в (П, S, . Тогда существуют функция 0 < e G R (P) и ст-подкольцо So с единиц ей По = supp e такие, что выполняется равенство R(P) = e ■ Lp0)(n, So,ep(^)

< Ввиду лемм 2 и 3 возьмем порядковую единицу 0 < e G R(P) и ст-подкольцо So с единицей no = suppe. Рассмотрим пространство Lp^)(no, So,^o), где мера есть сужение меры ep(^ на So, а под функцией p(-) мы подразумеваем ее сужение на no. Ввиду леммы 5 для доказательства нашего утверждения достаточно установить, что (e-1R(P))|n0 = Lp(^)(no, So,^o), где (e-1 R(P))|n0 обозначает сужение всех функций из e-1 R(P) на no. В силу леммы 4 множество (e-1R(P))|п0 содержит все характеристические функции множеств из So- Так как (e-1R(P))|п0 является порядково замкнутой подрешеткой в Lp^)(no, Soто в силу спектральной теоремы Фрейденталя следует справедливость утверждения. >

Литература

1. Канторович JI. В., Акидов Г. П. Функциональный анализ.—СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.^812 с.

2. Abramovicb Y. A., Aliprantis С. D., О. Burkinsbaw О. An elementary proof of Douglas theorem on contractive projections on Li spaces // J. Math. Anal. Appl.—1993.—Vol. 177.—P. 641-644.

3. Abramovicb Y. A., Aliprantis C. D. An Invitation to Operator Theory.—Providence., R.I.: Amer. Math. Soc., 2002.^(Graduate Stud, in Math., 50).

4. Aiido T. Contractive projections in Lp spaces // Pacific J. Math.—1966.—Vol. 17.—P. 391-405.

5. Bernau S. J., Lacey E. H. The range of contractive projection on an Lp space // Pacific J. Math.— 1974,—Vol. 53, № l.-P. 21-41.

6. Cruz-Uribe D. V., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces.^Springer, 2013.

7. Dodds P. G., Huijsmans С. В., de Pagter B. Characterizations of conditional expectation-type operators // Pacific J. Math.—1990.—Vol. 141, № l.-P. 55-77.

Li

462.

9. Wulbert D. E. A note on the characterization of conditional expectation operators // Pacific J. Math.— 1970,—Vol. 34, № l.-P. 285-288.

Статья поступила 25 августа 2016 г. Тасоев Батрадз Ботазович

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, научный сотрудник отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: tasoevbatradz®yandex.ru

CONTRACTIVE PROJECTIONS IN VARIABLE LEBESGUE SPACES

Tasoev B. B.

In this article we describe the structure of positive contractive projections in variable Lebesgue spaces Lp(.) with a-finite measure and essentially bounded exponent function p(-). It is shown that every positive contractive projection P : Lp(.) ^ Lp(.) admits a matrix representation, and the restriction of P on the band, generated by a weak order unite of its image, is weighted conditional expectation operator. Simultaneously we get a description of the image R(P) of the positive contractive projection P. Note that if measure is finite and exponent function p(^) is constant, then the existence of a weak order unit in R(P) is obvious. In our case, the existence of the weak order unit in R(P) is not evident and we build it in a constructive manner. The weak order unit in the image of positive contractive projection plays a key role in its representation.

Key words: conditional expectation operator, contractive projection, variable Lebesgue space, Nakano space, a-finite measure.