О ФАКТОРИЗАЦИИ $(\mathbb{B},p)$-СУММИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 4, С. 75-79

УДК 517.98

О ФАКТОРИЗАЦИИ (В,р)-СУММИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ1

Б. Б. Тасоев

Для полной булевой алгебры В и числа 1 < р е К вводится класс (В,р)-суммирующих операторов

из банаховой решетки в В-циклическое банахово пространство. Устанавливается теорема о факторизации для этого класса.

В ( В , р )

( В , р)

В работе [1] были введены В-суммирующие операторы, действующие из банаховой решетки в В-циклическое банахово пространство, где В— полная булева алгебра проекторов, и доказана теорема об факторизации таких операторов. Цель данной работы — ввести класс (В,р)-суммирующих операторов, где 1 ^ р £ Ж и установить аналогичный результат о факторизации. Необходимые сведения имеются в книгах [2, 3].

Всюду далее — векторные пространства, ^^ — банаховы решетки, У) —

множество всех линейных операторов из X в У, 1 ^ р < го. Ир и X = У будем писать .¿(X) вместо .¿(X, X). Под булевой алгеброй проекторов в векторном пространстве X понимается множество В коммутирующих линейных идемпотентных операторов, действующих в X, в котором роль пуля и единицы играют соответственно нулевое и тождественное отображения, а булевы операции имеют вид:

п Л р := п о р = р о п, п V р := п + р — п о р, п^ := 1х — п (п,р £ В).

Если булева алгебра В изоморфпа В, то будет также писать В с ¿(X).

Определение 1. Пусть X — нормированное пространство, их := {ж £ X : ||ж|| ^ 1}. Предположим, что в ¿(X) имеется полная булева алгебра проекторов единичной нормы Ж Нормированное пространство X называется В-циклическим, если для произвольного разбиения единицы (п^) с В и любого семейства (ж^) с их существует и при том единственный ж £ их для которого выполняется п^ж^ = п^ж при всех см. [2, §7.3.3].

Подпространство Xo В-циклического банахова пространства X называется В-плотным, если для любого ж £ X и 0 <е £ Ж существуют же £ X, разбиение единицы (п^ в В и семейство (ж^в Xo такие, что ||ж — же|| ^ ей п^же = п^ж^ (£ £ 2). Пусть X, у _ банаховы пространства, В с ¿(X) и В с ¿(У). Оператор Т £ ¿(X, У) называется В-линейным,, если п(Тж) = Т(пж) для всех п £ В и ж £ X.

© 2015 Тасоев Б. Б.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 14-01-91339_ННИО-а.

76

Тасоев Б. Б.

Символом PrtCT := PrtCT (B) обозначим множество всех счетных разбиений единицы в B. Пусть E — банахова решетка, Y — B-циклическое банахово пространство. Для произвольного линейного оператора T G L(E, Y) положим по определению

( / n \1 /р ,, n ]

a„(T) := sup < inf sup ( Y^ \\nk Txi\\p) : xb...,xn G E, II Y^ |x,| ^ 1, n G N >.

у (nfc)ePrtCT keN V J 11 = J

Определение 2. Оператор T g L(E, Y) называется (B,р)-суммирующим, если ap(T) < го. Таким образом, T является (В,р)-суммирующим тогда и только тогда, когда существует константа C > 0 такая, что для любого конечно го набора xi,..., xn G E найдется счетное разбиение единицы ) G PrtCT(B), для которых выполняется соотношение

/ n \ 1/р n

sup V \\nkTxi\\p) < C V |xi|

keNV 1=1 J Ы

Как видно, если p = 1, то приходим к определению B-суммирующего оператора, введенному в [1, определение 7.1], см. также [4, определение 5.13.1].

EB проекторов в L(E) единичной нормы, 1 ^ p < го. Норма \\ ■ \\ в E называет ся (B,p)-cy-пераддитпивной, если выполняется соотношение

inf sup (\\nkx\\p + \\nky\p)1/p < \\x + y\\

(nfc)ePrtCT keN

для всех x, y G E, |x| Л |y| = ^^ли B = {0, Ie}, то говорят о р-супераддитивной норме, т. е. в этом случае (\\x\\p + \\y\\p)1/p ^ ||x + y\\ для всех x, y G E, |x| Л |y| = 0, см. [3, p. 138].

E ( B , p)

тогда и только тогда, когда для любых x1,..., xn G E+ выполняется

/ n \ 1/р

inf sup V \\nkxi\\p) ^ \\x 1 + ... + xn\. (nk )ePrt ^ keN \ •_-i /

Все уже готово, чтобы сформулировать основной результат настоящей заметки, но прежде рассмотрим два примера банаховых решеток с (B,p)-супераддитивной нормой.

Пример 1. Пусть E — банахова решетка с р-супераддитивной нормой, (П, X, — пространство с мерой. Рассмотрим L^(E) — пространство измеримых по Бохнеру вектор-функций / со значениями в Е, у которых поточечная норма |/| : t н-» ||/(i)|| (i G fi) принадлежит L°°(/i). Введем норму в L°°(E) по формуле ||/|| := |||/|||оо, где || • ||оо — норма в L^(^). Обозначим через B булеву алгебру всех характеристических функций измеримых множеств. Тогда L^(E) будет B-циклической банаховой решеткой. Норма в L^(E) будет (B,p)-супераддитивной тогда и только тогда, когда норма в E р-супераддитивна.

Пример 2. Пусть Q — экстремальный компакт, E — банахово решетка. Обозначим символом C^(Q,E) множество классов эквивалентности непрерывных вектор-функций, действующих из котощих множеств dom(u) С Q в E. Напомним, что множество в топологическом пространстве называют котощим, если его дополнение является тощим. Множество C^(Q,E) можно естественным образом снабдить структурой модуля над кольцом C^(Q). Более того, непрерывное продолжение поточечной нормы t ^ ||/(t)\\ (t G dom(/), / G C00(Q,E)) определяет разложимую норму || на C00(Q,E) со значениями в Coo(Q). Введем пространство C#(Q,E) := {/ G Cqo(Q,E) : |/| G C(Q)} и

ному в нем ||/|| := |||/|||оо- Обозначим через В булеву алгебру всех характеристических функций открыто-замкнутых подмножеств множества Тогда ) будет В-циклической банаховой решеткой. Норма в ) будет (В,р)-супераддитивпой тогда и только тогда, когда норма в Е р-супераддитивпа.

Теперь приведем формулировку и доказательство нашей факторизационной теоремы.

Теорема. Пусть Е — банахова решетка, У — В-циклическое банахово пространство. Оператор Т е ¿(Е, У) является (В, р)-суммирующим тогда и только тогда, когда существуют главный идеал Во в В Во-циклическая банахова решетка Ее (Во,р)-супераддитивной нормой, решеточный гомоморфизм Q : Е ^ Е с Во -плотным образом в Е и Во-линейный опер а тор Б е ¿(Е, У) такие, что

Т = ||Б|| < ||1||, ||QM < ар(Т).

< Достаточность. Так как всякое разбиение единицы в Во может быть дополнено

В

единицы в Во. Пусть (пк) — произвольное разбиение единицы в Во, Ж1, ..., жп е Е. Тогда в силу Во-линейности Б и (Во, р)-супераддитивности нормы в Е выполняются соотношения

вир ( У^ |ПТхн

ке N

¿=1

1/р / п \ 1/р

вир РТ ||Б(ПкQжг)||p < вир РТ ||пк

kеN

kеN

1/р

<

= ^^ |ж»|

< Ор(Т)

Ём

Следовательно, оператор Т является (В,р)-суммирующим.

Необходимость. Ввиду [2, теорема 7.3.3(1)] отождествим (У, || ■ ||) с 6о-полным пространством (У, ||, Л), нормирующая решетка которого Л служит порядково полным АМ-пространством с единицей 1, причем ||у|| = |||у|||оо ("У £ У), где || • ||оо — равномерная норма в Л. Более того, множество всех порядковых проекторов в Л изоморфно пол-В

Определим оператор р : X ^ Л+, полагая

р(ж) := вир \ (

1/р

ж1 ,

п 1

е Е, Ё |ж»| < |ж|, п е Ю (ж е Е).

¿=1 ^

, р)-сум-

Супремум в указанной формуле существует, так как ввиду [5, лемма 5.1] и мируемости оператора Т выполняется условие ^ сгр(^1)Нж1|1 Для всех

Ж1, . . . ,Жп е

Е> ^п=1 |ж» 1 ^ |ж|- Покажем, что р : х ^ Л является полунормой. Ясно, что р(Аж) = |Л|р(ж) для всех ж е X и А е М. Пусть ¿1,...,£п,ж,у е Е такие, что | ^ |ж + у|. В силу [3, РгоровШоп 1.1.3] найдутся щ, у (г = 1,... ,п) из Е+ такие, что = иг + (г = 1,..., п), ^п=1 П ^ |ж^ ^п=1 У ^ |у|- Из неравенства Минковского следует справедливость соотношений

, 1/Р

р(х)+р(У) > (Е\Ти>\РУ/Р + Шт^\р)1/Р > (Е(1т^1 + 1т^1)г

¿=1

1/р .^^р

1

1

1/р

УМ

п

р

р

п

п

п

р

78

Тасоев Б. Б.

Переходя к супремуму по всем zi,..., zn G Е, ^П=1 |zi| ^ |x + y|, получим p(x) + p(y) ^ p(x + y). Ясно, что го соотношения |x| ^ |y| следует p(x) ^ p(y) Поэтому множество p-1(0) := {x G Е : p(x) = 0} является равномерно замкнутым порядковым идеалом в Е. Обозначим фактор-решетку Е/p-1 (0) через Ео и пусть Q : Е ^ Ео — канонический фактор-гомоморфизм. Определим норму на Ео по формуле ||Qx|| := ||p(x)|(x G Е). Тогда (Eo,p, Л) — решеточно нормированная решетка. Из определения p и [5, лемма 5.1] следует справедливость соотношений

\Тх\ < р(ж) < сгр(Т)||ж||1 (ж G Е).

Следовательно, оператор So : Ео ^ К, действующей по формуле S0(Qx) := Tx (x G Е) корректно определен и ||So|| ^ 1, ||Q|| ^ ^P(T)• Возьмем bo-пополнение решеточно нормированной решетки (Ео,p,Л) и обозначим его через Е = (Е,p,Л). Тогда Е является банаховой решеткой, где норма определяется по формуле ||x|| := ||p(x)||^ (x G Е). Пусть т обозначает порядковый пр оектор в Л на шло су p^)^. Существует изомо рфпзм h из главного идеала Во := {п G B : п ^ т} в булеву алгебру порядковых проекторов в Е такой, что n(px) = p(h(n)x) для всех x G Е. Следовательно, Е является Во-циклической банаховой решеткой. Из определения bo-пополнения следует, что Ео = Q(X) — это Во-плотпое подпространство в Е. Проверим (Во, p)-супераддитивность нормы в Е. Из определения p следует, что (p(x)p + p(y)p)1/p ^ p(x + y) для всех x, y G Ео, x ± y. Отсюда в силу леммы [5, лемма 5.1] для произвольных дизъюнктных x, y G Е справедливы соотношения

inf sup(||nfc x||p + |Пк y||p)1/p = inf sup(|nfc p(x)|Pc + |nk p(y)|&)1/p

(nfc)ePrtCT(Bo) keN (nfc)ePrtCT(B0) keN

= |(p(x)p + p(y)p)1/p|U < ||p(x + y)|U = ||x + y||.

В силу [2, теорема 2.2.11] Е = г^(Ео). Всякий элемент из ) имеет вид ^^ п^x^, где (п^) С Во — разбиение единицы в Во, а семейст во (x^) С Ео ограничен о по решеточной норме р. Ввиду того, что |<So(®)| ^ р(ж) для всех ж G Ео, положим г^ж^) :=

). Переходя к более мелкому разбиению, можно показать, что определение оператора S не зависит от разбпения (п^) и семейства (x^) С Е. Далее продолжим оператор S с ) на Е = г^(Ео) по br-непрерывности и обозначим его снова через S. Тогда ||S|| ^ 1, S является Во-линейным оператором и T = SQ. >

Замечание. При p = 1 установленный результат превращается в эквивалентность (1) ^^ (3) из [1, теорема 7.6], причем в [1] используется булевозначный анализ.

Литература

1. Kusraev A. G. Boolean Valued Analysis Approach to Injective Banach Lattices.—Vladikavkaz: SMI VSC RAS, 2011.-28 p.-(Preprint JVM).

2. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—M.: Наука, 2003.—619 с.

3. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices.—Berlin etc.: Springer, 1991.—395 p.

4. Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Boolean Valued Analysis: Selected Topics.—Vladikavkaz: SMI VSC RAS, 2014.—iv+400 p.—(Trends in Science: The South of Russia. Math. Monogr. Issue 6).

5. Kusraev A. G. Boolean Valued Analysis Approach to Injective Banach Lattices II.—Vladikavkaz: SMI VSC RAS, 2012.-16 c.—(Preprint № 1).

Статья поступила SO ноябрь 2015 г.

Тасоев Батрадз Ботазович Южный математический институт ВНЦ РАН, научный сотрудник отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

FACTORIZATION OF CONE (B,p)-SUMMING OPERATORS

Tasoev B. B.

For a complete Boolean algebra B and a real p > 1 we introduce the class of cone (B, p)-summing operators and prove a factorization result for this class.

B (B, p) (B, p)

superadditive norm.