необходимое условие экстремума в задаче с ограничением в банаховой решетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES

NECESSARY EXTREMUM CONDITIONS IN PROBLEMS WITH CONSTRAINTS IN BANACH LATTICES Sadygov M.A. (Republic of Azerbaijan) Email: Sadygov562@scientifictext.ru

Sadygov Misraddin Allahverdi oglu - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL METHODS OF CONTROL THEORY, FACULTY OF MECHANICS AND MATHEMATICS, BAKU STATE UNIVERSITY, BAKU, REPUBLIC OF AZERBAIJAN

Abstract: in the work received the necessary extremum conditions for nonsmooth extremal problems with restrictions in a Banach space. Some generalizations of the Fan theorem in an ordered Banach space have been considered and the necessary optimality conditions for the regular and nonregular problem of mathematical programming with restriction in a Banach lattice have been obtainned by using ф — (o(P), 5) and S — (o(-), 5) locally Lipschitz mappings at point. The Lagrange principle for regular and irregular vector problems of mathematical programming are also considered.

Keywords: sublinear function, lipschitz function, set, map, local minimum.

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ С ОГРАНИЧЕНИЕМ В БАНАХОВОЙ РЕШЕТКЕ Садыгов М.А. (Азербайджанская Республика)

Садыгов Мисраддин Аллахверди оглы - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математических методов теории управления, механико-математический факультет, Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: в работе установлены необходимые условия экстремума для негладких экстремальных задач при наличии ограничений в банаховом пространстве. В работе рассмотрены некоторые обобщения теоремы Фана в упорядоченном банаховом пространстве и используя классы ф — (o(P), 5) и S — (o(-), 5) локально липшицевых отображений в точке, получе-ны необходимые условия оптимальности для регулярной и нерегулярной задач математического программирования с ограничением в банаховой решетке. Рассматривается принцип Лагранжа для регулярных и нерегулярных векторных задач математического программирования.

Ключевые слова: сублинейная функция, липшицевая функция, множество, отображение, локальный минимум.

Введение

Исследование гладких экстремальных задач с ограничением (задача на условный экстремум) основано на принципе Лагранжа, предложенном Ж. Лагранжем в конце XVIII века. Строгое обоснование принципа Лагранжа для широкого класса задач потребовало серьезных усилий многих математиков и было в основном закончено во второй половине ХХ века.

Негладкие экстремальные задачи с ограничением рассмотрены в книгах [1] и [2], и в классах локально липшицевых функций получены необходимые условия экстремума первого порядка. В работе [3] установлены необходимые условия экстремума произвольного порядка для негладких и, в частности, для гладких экстремальных задач при наличии ограничений. В [4] получены необходимые условия в том случае, когда минимизируемая

функция, отображении ограничения равенства и неравенства удовлетворяют условию Липшица, которая является обобщением работы Кларка (см.[1]).

В работе [3], [5] используя классы ф — (o(ß),5) и S — (o(ß), 5) локально липшицевых отображений в точке, получены необходимые условия экстремума при наличии ограничений. Отметим, что такое доказательство необходимых условий применима лишь, когда отображение ограничения равенства гладкая. В данной работе аналогичная методика применяется к математическому программированию с ограничением в банаховой решетке.

1. Основные определения и обозначения

Пусть X и Z банаховы пространства, ||х||х и ||z||z нормы в X и Z соответственно, K выпуклый замкнутый конус в Z и K П (—K) = {0}. С конусом K можем связать отношение порядка в Z (см.[6], [7]), которую обозначим через<. Если KП(—K) = {0}, то из z < z2 и z2 < z следует, что z = z2.

Пусть C с X выпуклое множество, Q: C ^ Z оператор. Оператор называется выпуклый по отношению <, если

Q(ax + (1 — a)x2) < aQ(x) + (1 — a)Q(x2)

при x, X e C и a e [0,1].

Отметим, что если C с X выпуклое множество, Q: C ^ Z выпуклый оператор, то E(Q) = {(x, u) e X x Z: Q(x) < u, x e C} и {u e Z: Q(x) < u, 3x e C} выпуклые множества.

Элемент e e K называется порядковой единицей в Z, если порядковый интервал [—e, e] радиальный, т.е. [—e, e] поглощает любое конечное подмножество.

Норма У в векторной решетке Z называется монотонной, если из Z,z2 e Z и

|z| < |z2| вытекает, что <||z2|| (см. [6], c.376). Нормированной решеткой называется векторная решетка, снабженная монотонной нормой. Полная по норме нормированная решетка называется банаховой решеткой. Если банахово решетка Z является К-пространство, то говорят, что Z банахово К-пространство (см. [6], с.377).

Если Z является банаховой решеткой, то множество порядково ограничено тогда и только тогда, когда множество ограничено по норме, т.е. если D с Z и ||z|| < d, то

существуют элементы z , z с Z такие, что D с [z , z ] и обратно (см. также [7], с.31, с.34 и теорему 1.6.6). Кроме того, если Bz с Z единичный шар, то множество [Bz] = (B + K) П (B — K) ограничено (см.[7], с.32). Так как Bz с (Bz + K) П (Bz — K), то B также ограничено.

Положим z < 0, если — z eK, z ^ 0 и z «0, если — z e int K. Оператор S : X ^ Z назовем устойчивым по знаку относительно <, если из S(x) << 0 следует, что существуют числа a > 0 и 5 > 0 такие, что S(x) < —ae при x e B(x, 5), где e e int K.

Лемма 1.1. Если X банахово пространство, Z банахово решетка и intK , где K = {z e Z: z > 0}, S(x) << 0, S: X ^ Z непрерывный оператор, e e int K, то существуют числа a > 0 и 5 > 0 такие, что S(x) < -ae при x e B(x, 5).

Доказательство. Так как Z банахово решетка и int K ^ 0, то существует z е int K такой, что — z < z при z е Bz, где Bz ^ Z единичный шар. Поэтому — sz < sz при z е Bz и s > 0. Пусть число V > 0 такое, что — S(x) — vz >> 0 и {z е Z : ||z + S(X)|| < v} ^ int K. Так как S: X ^ Z непрерывный оператор, то для v > 0 существует 5 > 0 такое, что ||S(x) — S(x)|| < v при x е X, ||x — X <8 , т.е.

— S(x)е—S(X) + vBz при xе X, ||x — X||<5 . Ясно, что

— S(X) + vz > —S(X) — vz >> 0 при z е Bz. Положив h = — S(X) — vz имеем, что

S(x) <—h при xе B(x,5) . Пусть число a> 0 такое, что ae <h (см.[7], с.35). Тогда

имеем, что S(x) < —ae при x е B(x, 5) . Лемма доказана.

Если выполняются условия леммы 1.1 и Z банахово К-пространство, то существуют элемент и е int K и число 5 > 0 такие, что и = inf{—S(x) : x е B(x, 5)}.

Если L(x + x2) < L(x) + L(x2) при x, x2 е X, то оператор L: X ^ Z называется субаддитивной. Выпуклый положительно однородный или субаддитивный положительно однородный оператор L : X ^ Z называется сублинейной (см.[8]).

Пусть Q:X^Z, S:X^Z, ш:X^Z, f:X^R, Ф:X^R, ß>0, 5>0,

R = [0,+да). Положим B = {x е X: ||x|| < l}, B(x,5) = {x е X: ||x — x|| < 5}.

Пусть e е int K. Оператор ш: X ^ Z назовем o — малым, если для любого s > 0

существует 5 > 0 такое, что —(—) е s[0,e] при 0 < t <5 и x е B.

Пусть Z банахово решетка. Тогда из —^ е s[0, e] при 0 < t <5 и x е B имеем, что

ffl(tx)

^ < s e|| при 0 < t <5 и x е B. Отсюда следует, что если ю: X ^ Z o —

малый,

то lim 1|| Q(tx)| = 0.

t^0

Если существует o — малый оператор ю: X ^ Z такой, что

Q(X + x) — Q(x) - S(x) <ю(х)

при x е X, ||x|| < 5, то отображению Q : X ^ Z назовем S — (o(-), 5) локально липшицевым в точке x .

Если существует функция o: R+ ^ R+, где lim ( ) = 0 такая, что

f(x + x) — f(x)- 9(x) < o(||x||ß)

при x е X, ||x|| <5, то функцию f назовем ф — (o(ß),5) локально верхней полу-липшицевой в точке x.

Если f удовлетворяет липшицеву условию в а -окрестности точки x 0, то по лемме

2.4.2[3] для любого S > 0 существует 5 > 0, где 5 < а, такое, что

f(x) < f(x0) + sup (p,x — x0) + SIx — x0||

pe8f(x0)

при x е B(x, 5) . Если s = , где n е N, то существует 5n > 0 такое, что

8

f(x) < f(x0) + sup(p,x - x„) + ^Цх - x0|| (1.1)

peSf(xo) n

при x e B(x0, 8n). Считаем, что 8n >8n+1. Положив o(t) = — при t e (8n+13 8n ] из (1.1)

n

имеем, что f(x0 + h) < f(x0) + sup (p,h) + o(||h||) при h e B(0,8x) .

pe9f(xo)

В частности отсюда имеем, что если f : X ^ R непрерывная выпуклая функция, то существует функция o:R+ ^ R+, где lim ( ) = 0 и 8> 0 такие, что

f(x0 + x) - f(x0)-f '(x0;x) < o(||x||) при x e B(0,8). Тогда из предложения 4.3.4[9] имеем, что 0 < f(x0 + x) - f (x0) - f '(x0; x) < o(||x||) при x e B(0,8).

Далее считаем, что если Z банахово решетка, то K = {z e Z: z > 0} выпуклый замкнутый конус и K П (—K) = {0} (см. [7], c.31 и с.45, в эквивалентных терминах). Кроме

того конус K является воспроизводящим. 2. Об обобщении теоремы Фана

Рассмотрим бесконечный вариант теоремы Фана, которая далее применяется к получению необходимых условий в экстремальной задаче.

Теорема 2.1. Пусть X и Y банаховы пространства, C ^ X выпуклое множество и intC , f: C ^ R выпуклая непрерывная функция, Z банахово решетка и int K ^ 0, Q : C ^ Z выпуклый непрерывный оператор, A : X ^ Y непрерывный аффинный оператор, т.е. Ax = Ax + y, где Л : X ^ Y непрерывный линейный оператор, y e Y, Im A =Y и система

f(x) < 0, Q(x) << 0, Ax = 0 (2.1)

не имеет решения в C . Тогда существуют число X > 0, векторы z* e K* (см. [7, с. 13]) и y e Y не равные нулю одновременно и такие, что

Xf(x) + (z*,Q(x)) + (y*,Ax) > 0 (2.2)

при всех x e C.

Доказательство. Обозначим u = (uj,u2,u3). Рассмотрим множества

U = {(uj,u2,u3) e Rx Zx Y: f(x) < ц, Q(x) < u2, A(x) = u3 при некотором x e C }, U2 = {(^,u2,u3) e RxZx Y: ^ < 0, u2 <<0, u3 = 0}. Отсутствие решений системы (2.1) означает, что U П U2 =0. Действительно, если (uj,u2,u3) e U П U, то существует вектор x e C такой, что

f(x) < u, Q(x) < u2, A(x) = u, где u < 0, u2 <<0, u3 = 0. Отсюда имеем, что f(x) < 0, Q(x) << 0, A(x) = 0 и x e C. Получим противоречие. Поэтому U П U2 =0. Непосредственно проверяется, что U и U2 = (-да,0) x (- int K) x {0} выпуклые множества.

Покажем, что intüj ^ 0 . Пусть x е intC. Так как Im Л = Y, то по теореме об открытом отображении [10,с.51] Л открытое отображение. Если x е int C, то существует 5 > 0 такое, что U(x, 5) С int C, где U(x, 5) = {x е X : ||x — x|| < 5 }. Тогда

A(U(x, 5 )) = Л(и^, 5 )) + У открытое множество и A(U(x, 5 )) С A(C).

По условию f (x) непрерывная функция в точке x . Пусть s > 0. Тогда существует число 5 > 0 такое, что |f (x) — f (x)| < s при x е X, ||x — x|| < 52 . Отсюда следует, что f (x) < f (x) + s при x е X, ||x — x|| < 52 .

Так как оператор Q : C ^ Z непрерывен в точке x, то существует число 53 > 0 такое, что ||Q(x) — Q(x)|| <s при x е X, ||x — x|| <5 и B(x, 53 ) С C. Поэтому существует элемент z е Z такой, что Q(x) < z при x е B(x, 53). Положив 5 = min{5,5,5 } получим, что

{(ц,и2,и3) е R х Z х Y :f(x) + s < ц, z < и2, Ц е A(U(x,5))} с Ц, т.е. intUj ^ 0. По теореме отделимости [11, с.25] существует вектор (А,, z*, y*) е R х Z* х Y* отличный от нуля такой, что

(А,ц) + (z*,ц) + (У*,и3) ><А,ц) + (z*,иг) + (У*,и,) при (ц,и2,из) е U, (ц,и,из) е U2. Отсюда вытекает, что

(A,Ui) + (z*,uj^y*,и3) >(А,ц)+ (z*,и2) (2.3)

при (ц,и2,и3) еU, и1 <0, и2 <0. Тогда положив и1 ^—да и и2 =аи при а^—да, иеK, имеем, что А> 0, z* е K*. Для любого x е C рассмотрим вектор (ц,и2,и3), где ц = f(x), ц = Q(x), и = A(x). Ясно, что (ц,и2,и3) е U .

Подставляя этот вектор в (2.3) и полагая там и = 0, и = 0 приходим к (2.2). Теорема доказана.

Следствие 2.1. Пусть X и Y банаховы пространства, C С X выпуклое множество и intC ^ 0, Z0 банахово решетка и intK0 ^0, где K0 = {zе Z0: z >0}, и Q0 : C ^ Z0 выпуклый непрерывный оператор, Z банахово решетка и int K ^ 0, Q : C ^ Z выпуклый непрерывный оператор, A : X ^ Y непрерывный аффинный оператор, т.е. Ax = Лк + y, где Л : X ^ Y непрерывный линейный оператор, y е Y, Im Л =Y и система

Q0(x) << 0, Q(x) << 0, Ax = 0

не имеет решения в C . Тогда существуют z* е K*, z* е K* и y * е Y * не равные нулю одновременно и такие, что

(z0,Q0(x)) + (z*,Q(x)) + (y*,Ax) > 0

при всех x е C.

Ясно, что если условие (2.1) заменить условием f(x) < 0, Q(x) < 0, Ax = 0, то теорема 2.1 остается также верной.

Аналогично теореме 2.1 доказывается следующая теорема 2.2.

Теорема 2.2. Если X линейное пространство, C С X выпуклое множество, K С Rm телесный (т.е. ядро непусто) выпуклый конус и K П (-K) = {0}, f : C ^ R выпуклая

функция, Q: C ^ Rm выпуклый оператор и A : X ^ Rk аффинный оператор и система

f(x) < 0, Q(x) << 0, Ax = 0

не имеет решения в C , то существуют число X > 0, векторы z* e K* и y* e Rk не равные нулю одновременно и такие, что

Xf (x) + (z*, Q(x)> + {y*, Ax > 0

при всех x e C.

3. Необходимое условие первого порядка

Пусть X банахово пространство, C С X и x0 e C. Через Tc(x0) обозначим касательный конус Кларка (см.[1]) к множеству C в точке x0 e C, т.е. положим

Tc(x0) = {ueX:Vhn >0, h ^0,Vxn ^x0, xn e C, ^u, xn + h^ e C}. Положим Nc(x0) = T(x)- = {p e X* :(p,x) < 0 при x e Tc(x0)}. Множество всех гиперкасательных к множеству C в точке x0 e C обозначим через Ic(x0) [1, c.59]. Если Ic(x0) непусто, то из теоремы 2.4.8[1] следует, что

TC(x0) = clIC(x0).

Отметим, что если C выпуклое множество и int C ^ 0, то из предложения леммы [1, c.95] следует, что IC(x0) = intTC(x0) = U KintC -x0).

X>0

Пусть X, Y и Z - банаховы пространства, f : X ^ R, F: X ^ Y, Q: X^Z и CСX. Рассмотрим задачу

f(u)^min, ueP = {xeX: Q(x)<0, F(x) = 0, xe C}. (3.1) Точка x0 e P называется точкой локального минимума f на P , если существует окрестность U точки x0 такое, что f(x0) < f(x) при x e P П U.

Теорема 3.1. Пусть X и Y банаховы пространства, x0 -точка локального минимума в задаче (3.1), функция f удовлетворяет ф-(o(l),8) локально верхней полулипшицеву условию в точке x0, ф : X ^ R сублинейная непрерывная функция, Z банахово решетка и int K ^ 0, оператор Q: X ^ Z удовлетворяет S - (o(-), 8) локально полулипшицеву условию в точке x , Q(x0) = 0, S:X ^ Z сублинейный непрерывный оператор, оператор F:X ^ Y строго дифференцируем в точке x0 и F'(x0)X = Y, C С X и

Ic(x0) ^ 0 . Тогда существуют число X > 0, векторы z* e K* и y* e Y* не равные нулю одновременно и такие, что

Хф(x) + (z*,S(x)) + (y*,F'(x0)x) > 0

при всех x e T(x) .

Доказательство. Обозначим Л = Б'(х0). Покажем, что система

ф(х) < 0, Б(х) << 0, Лх = 0 не имеет решения на I (х ) . Предположим противное. Пусть существует х е I (х ) такая, что ф(х) < 0, Б(х) << 0 и Лх = 0. Так как Лх = Р'(х0)х = 0 и Р'(х0)Х = У, то по теореме Люстерника [10,с.59] существует £ > 0 и отображение г : [0, в] ^ X такие, что ^ ^ 0 при 1 ^ 0 и Б(х0 + -х + г(-)) = 0 при 1 е [0, в].

По условию функция Г удовлетворяет ф — (о(1), 5) локально верхней полулипшицеву условию с постоянной К в точке х 0. Тогда

АХ + -х + г(-)) — ^х,) - ф(-х + г(-)) < о(||-х + г(-)||)

при 1 е [0, в], ||-х + г(-)| < 5 . Так как ф непрерывная функция, то существует

0 < 8„ < — S такое, что 0 2

Ф(х + -ф(х)

< — |ф(х)| при

r(t)

. Тогда получим,

что ф; (х + -(-)) < 1 ф; (х) при Ц-^Ц < 5. Так как ^ 0 при 1 ^ 0, то существует X, где 0 < X < 1, такое, что И < 50 при - е (0, X]. Тогда ||-х + г(-) <5 при - е [0, X],

где

Xi = min{ А, -¡Гц- S, £}. 211х11

Поэтому

имеем,

что

Ах + -х + г(-)) — ^) < 0,5 -ф(х) + о(-|х +1- г(-)||) < 0,5 -ф(х) + о(-|х +1- г(-)||)

при - е [0, X ].

По условию оператор Q : X ^ Z удовлетворяет Б — (о(-), 5) локально полулипшицеву условию в точке х . Поэтому существует о — малый оператор ю: X ^ Z такой, что

Q(x0 + -х + г(-))—Q(x0) < -Б(х + + ю(-х + г(-))

при - е [0, в], 1-х + г(-)|| < 5. Так как Б(х) << 0, то существуют числа а > 0 и 5 > 0

r(t)

<S

такие, что S(x) < -ae при х е B(x, S), где e е int K. Пусть Х2 > 0 такое, что

при t е [0, Х2 ]. Поэтому S(x + ^р) < -ae при t е [0, Х2 ]. Так как оператор ю: X ^ Z

w(tx + r(t))

О — малый, то для 0,5a существует А3 > 0 такое, что -< 0,5ae при

t

0 < t < А3 (ясно, что

S(x + + — w(tx + r(t)) <—0,5ae при 0<t <А0, где А0 = min{А2, А3}.

w(tx + r(t))

< ю(1х + < 0,5ae). Поэтому

t

t

Следовательно, существует число Х > 0 такое, что

^(х0 + IX + г(1)) - < 0, д(хо + IX + г(1)) < 0, Б(Хо + IX + г(1)) = 0 при 1 е (0, X]. Если х е 1с(х0) , то по определению 1с(х0) существует а0 > 0 такое, что х + 1х + г(1) е С при 1 е[0, а0 ].

Так как х0 - точка локального минимума в задаче (3.1), то получим противоречие. Поэтому система ф(х) < 0, Б(х) << 0, Лх = 0 не имеет решение на 1с(х0) . Тогда по теореме 2.1 существуют число Х> 0, векторы z* е К* и у е V не равные нулю одновременно и такие, что Хф(х) + ^z*^(х)^ + ^у*,Лх^ > 0 при х е 1с(х0) . Так как ф : X ^ Я непрерывная функция, Б:Х ^ Z и Л = Б'(х0) непрерывные операторы, то по теореме 2.4.8[1] получим, что Хф(х) + ^z*,S(x)^ + ^у*,Лх^ > 0 при х е Тс(х0). Теорема доказана.

Из теоремы 3.1 следует, что Хф(х) + ^z*^(х)^ + ^у*,Лх^ + 8Тс(х0)(х) > 0 в X . Поэтому точка нуль минимизирует выпуклую функцию

Хф(х) + + ^У*,Лх^ + 8тс(х0)(х) в X . Тогда получим

0 е 5(Хф (х) + (z*, ад) + (у*, К(х„)х) + 8^в(^)(х))х=0-

Применяя теорему Моро-Рокафеллара [11, с.59] имеем

0 е Х5ф(0) + д( z*, S(x^o + Б^)* у* + К^).

Пусть и окрестность точки х0 в X, отображение Б: и ^ У дважды дифференцируемо по Фреше в точке х0. Пологая (см.[12]), что Р — проектор на некоторое прямое дополнение 1т Р'(х0) = Р'(х0 )X в У, введем семейство линейных операторов щ(Р,Ь) : X ^ У, щ(Р,Ь) = К(х0) + РР"(х0)(ЬД где Ь е X и конус Т2 = {Ь е КегБ'Ю ^Ю^Ь) е МЮ}.

Отображение Б называется 2-регулярным в точке х0 на элементе Ь е X, если 1т щ (Р, Ь) = У. Отображение Б называется 2-регулярным в точке х0, если оно 2-регулярно в этой точке на любом элементе Ь е Т2 \ {0} (см. [12]).

Замечание 3.1. Пусть отображение Б: И ^ У дважды дифференцируемо по Фреше в точке х0. Подпространство 1тР'(х0) замкнуто. Положим

V = 1тР'(х0) х (У/1тР'(х0)). Пусть к :У ^ (У/1тР'(х0)) фактор отображение.

Для каждого Ь е X рассмотрим отображение О^^Ь)^ ^ V, определенное по

формуле О(х0, Ь)х = ( Б'(х0 )х, к Р"(х0 )(Ь, х)). Если 1т О(х0, Ь) = V, то

отображение Б называется регулярным в точке х0 на элементе Ь е X [13].

Отметим, что равенство ImF'(x0) + F"(x0)(h,KerF'(x0)) = Y также является условием 2- регулярности отображения F в точке x0 на элементе h е X и эквивалентно введенному понятию регулярности отображения F в точке x0 на элементе h е X.

Пусть ~ = {h е X :F"(x0)(h,h) е ImF(x0),Imщ(P,h) = Y} U{0} (или

T2 с {h е X:F"(x0)(h,h) е ImF'(x0),Imщ(P,h) = Y} U {0}, или

T2 с {h е X :F"(x0)(h,h) е ImF'(x0),ImG(x0,h) = V} U {0}).

Замыкание Lin T в X обозначим через Lin T2. Совокупность относительно внутренних точек множества T2 в Lin T2 обозначается через ri T2.

Положим T2 = cl T2, T = Tc(x0) П T2, H = Im F(x0) = F'(x0 )X.

Теорема 3.2. Если X и Y банаховы пространства, x 0 -точка локального минимума в задаче (3.1), функция f удовлетворяет ф — (o(1),ô) локально верхней полулипшицеву условию в точке x 0, ф : X ^ R сублинейная непрерывная функция, Z банахово решетка и int K ^ 0, оператор Q : X ^ Z удовлетворяет S — (o(-), ô) локально полулипшицеву условию в точке x0, Q(x0) = 0, S : X ^ Z сублинейный непрерывный оператор, отображение F : X ^ Y дважды дифференцируемо по Фреше в точке x0, H = ImF'(x0) замкнуто и топологически дополняемо в Y, T2 выпуклый конус, C с X, Ic(x0) П riT2 ^ 0 и F'(x0)(Lin T) = ImF'(x0), то существуют число X > 0, векторы

* TT" * * т т*

z е K и y е H не равные нулю одновременно и такие, что Хф(x) + (z*,S(x)) + (y*,Л^) > 0 при x е T, где T = Tc(x0) ПT2.

Доказательство. Обозначим Л = F'(x0 ). Покажем, что система

ф^) < 0, S(x) << 0, Лx = 0 не имеет решение на Ic(x0) П T2. Предположим противное. Пусть существует x е Ic(x0) П T2 такая, что ф(^) < 0, S(x) << 0 и Ля = 0. Так как Л^ = 0 и x е T2 , то по теореме 4[12,c.65] (или по теореме о поправке[13,с.32]) существует £ > 0 и

r(t)

отображение r : [0, £] ^ X такие, что--> 0 при t ^ 0 и F(x0 + tx + r(t)) = 0 при

t е [0, £]. По условию функция f удовлетворяет ф — (o(1), ô) локально верхней полулипшицеву условию в точке x . Тогда из доказательства теоремы 3.1 следует, что существует число X > 0 такое, что

fx + tx + r(t)) — f(x0 ) < 0,5 tф(x) + o(t||x +1 r(t)||) < 0,5 tф(x) + o(t||x +1 r(t)||) при t е [0, X ].

По условию оператор Q : X ^ Z удовлетворяет S — (o(-), ô) локально полулипшицеву условию в точке x . Поэтому существует o — малый оператор га : X ^ Z такой, что

Q(x0 + tX + r(t))—Q(x0) < tS(X + + ra(tX + r(t))

при t e [0, s], ||tx + r(t)|| < ô. Тогда из доказательства теоремы 3. 1 следует, что существует

число Х0 >0 такое, что S(X ++1 ra(tx + r(t)) <—0,5ae при 0<t <X0, т.е.

Q(x0 + tx + r(t)) < —t0,5ae при 0 < t < X0.

Следовательно, существует число X > 0 такое, что

f0(x0 + tx + r(t)) — f0(x0) < 0, Q(x0 + tx + r(t)) < 0, F(x0 + tx + r(t)) = 0

при t e (0,X]. Если x e Ic(x0), то по определению Ic(x0) существует a0 > 0 такое, что x + tx + r(t) e C при t e[0, a0 ].

Так как x0 - точка локального минимума в задаче (3.1), то получим противоречие. Поэтому система 9(x) < 0, S(x) << 0, Ax = 0 не имеет решение на Ic (x0 ) П T2 . Если в теореме 2.1 заменить X через LinT2, Y через H, то по теореме 2.1 существуют число X > 0, векторы z* e K* и y e H не равные нулю одновременно и такие, что Xf(x) + ^z*,S(x)) + (y*, Ax) > 0 при x e Ic(x0) П T2. Так как ф :X ^ R непрерывная функция, S:X ^ Z и A = F'(x0) непрерывный оператор, то по теореме 2.4.8[1, с.59] имеем, что Хф(x) + (z*,S(x)) + (y*, Ax) > 0 при x e T = cl(Ic(x0) П Если Ic(x0) П riT2 ^ 0, то по теореме 2.4.8[1,с.59] имеем, что

T = Tc(x0) П T = cl(Ic(x0) П T). Теорема доказана.

Замечание 3.2. Из теоремы 2.2 следует, что если Y и Z конечномерные пространства, то теорема 3.2 верна без условия F'(x0)(Lin T) = ImF'(x0) .

Если F"(^)(h,^) e ImF'(x0) при h,h2 e T2, то легко проверяется, что T2 выпуклое множество.

Если Ic(x0) П riT2 ^0, то из теоремы 3.2 имеем, что точка нуль минимизирует выпуклую функцию Хф (x) + ^ z*, S(x)) + ^ y *, Ax) + ÔTc (Хо )П ^ (x) в X . Так как T выпуклый конус, то получим

0 e 5(Хф(x) + (z*,S(x)> + (y*, Ax) + ô^t (x))x=0 =

= Х5ф(0) + д( z* ,S(x))i=o + F'W* y* + Nc(x0) + (T2)—. Если в теореме 3.2 выпуклость множества T2 заменить на выпуклость множества Ic(x0) ПT,то существуют число Х> 0, векторы z* e K* и y* e H* не равные нулю

одновременно и такие, что XI (x) + ( z , S(x

Xf(x) + (z*,S(x))+ (y*, Ax) > 0 при x e cl(Ic(x0) ПT2).

Положим T0 = {h g KerF(x) : F"(x0)(h,h) g ImF'(x), ImG(x0,h) = V} U{0} (или T с {h g KerF'(x) : F"(x0)(h,h) g ImF'(x0), ImG(x0,h) = V} U {0}, или To с {h g KerF(xo) : F"(xo)(h,h) g ImF'(xo), Imv2(P,h) = Y} U {0}.)

Используя из теоремы 2.2, аналогично теореме 3.2 доказывается следующая теорема 3.3. Теорема 3.3. Если X и Y банаховы пространства и Z = Rm, x0 -точка локального минимума в задаче (3.1), функция f удовлетворяет ф — (o(1),ô) локально верхней полулипшицеву условию в точке x0, ф :X ^ R сублинейная непрерывная функция, Z банахово решетка и int K ^ 0, оператор Q : X ^ Rm удовлетворяет S — (o(-), ô) локально полулипшицеву условию в точке x0, Q(x0) = 0, S:X ^ Z сублинейный непрерывный оператор, отображение F : X ^ Y дважды дифференцируемо по Фреше в точке x0, ImF'(x0) замкнуто и топологически дополняемо в Y, T0 выпуклый конус

(либо Ic(x0) П T0 выпуклый конус), C с X, Ic(x0) П T ^ 0, то существуют одновременно не равные нулю 0 и z* g K* такие, что Хф(х) + ^z*,S(x)) > 0 при x G cl(Ic(X0) ПT0).

Отметим, что если Ic(x0) П riT0 и T0 выпуклое множество, то

cl(Ic(x0) ПT) = Tc(x0) П clT0, где riT0 внутренность множества T0 относительно

Lin T0, а Lin T0 замыкание Lin T0 в X .

Пусть Z банахово пространство, K выпуклый замкнутый конус в Z и определяет в

Z0 отношение порядка, где K0 П (—K0) = {0} и G : X ^ Z0. Рассмотрим задачу

G(u) ^ min, u g P = {x g X : Q(x) < 0, F(x) = 0, x g C}. (3.2) Если существует элемент w =

inf G[P], то w называется значением программы. Допустимый элемент x0 называется оптимальным, или решением векторной программы, если w = G(x0). Иногда говорят, x0 есть идеальный оптимум в

рассматриваемой программе.

Аналогично можно получить необходимое условие экстремума для задачи (3.2). Например, аналогично теореме 3.1 доказывается следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть X и Y банаховы пространства, x0 - является решением задачи

(3.2), Z0 банахово решетка и intK0 ^0, где K = {z g Z0 : z > 0}, оператор

G : X ^ Z0 удовлетворяет S — (o(-), ô) локально полулипшицеву условию в точке

X, S : X ^ Z0 сублинейный непрерывный оператор, Z банахово решетка и

intK^0, где K = {zgZ:z>0}, оператор Q:X^Z удовлетворяет S — (o(-),ô)

локально полулипшицеву условию в точке x , Q(x0) = 0, S:X ^ Z сублинейный

непрерывный оператор, оператор F:X ^ Y строго дифференцируем в точке X и

F'(x0)X = Y, C с X и Ic(x0) ^0 . Тогда существуют z* g K*, z* g K* и y* G Y*

не равные нулю одновременно и такие, что ^z*^0(х)у + ^z*^(х)у + уу*,Е'(х0)ху > 0

при всех х е Тс(х0) .

Список литературы /References

1. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.:Наука,1988.- 280 с.

2. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.:Наука,1988. 356 с.

3. Садыгов М.А. Субдифференциал высшего порядка и оптимизация. Deutschland, LAP LAMBERT Academic Publishing. 2014.-359 p.

4. Садыгов М.А. Необходимое условие экстремума первого и второго порядков в локально выпуклом пространстве. //East European Scientific Journal.-2019.-3(43), p.1.-C.53-67.

5. Садыгов М.А. О принципе Лагранжа в задачах на экстремум./M.cademy. 2019. № 1(40). C. 4-13.

6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ/ М.: Наука, 1977. 741 с.

7. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. М.: Наука, 1985. 255c.

8. Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные пространства. Новосибирск: Наука, 1978. 367 с.

9. ОбенЖ.П., ЭкландИ. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 510 с.

10.Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. Москва, 2004. 167 с.

11. ИоффеА.Д., ТихомировВ.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 479 с.

12. Измаилов А.Ф. Теоремы о представлении свойств нелинейных отображений и теоремы о неявной функции. // Математические заметки.- 2000.-т.67, вып.1.- С.57-68.

13. Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О принципе Лагранжа в задачах на экстремум при наличии ограничений. //Успехи математических наук. 2013. т.68, вып.3(411). С.5-38.