CC BY
22
МАТЕМАТИКА
УДК 517.98
Н. М. Ефремов Астраханский государственный технический университет
УСЛОВИЯ ПЛОТНОСТИ КАНОНИЧЕСКОГО ВЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА БАНАХА В СОПРЯЖЕННОЕ В ТЕРМИНАХ ЕСТЕСТВЕННОЙ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Введение
Во многих задачах теории автоматического регулирования основой математической модели является операторное (дифференциальное, интегральное и пр.) уравнение, решения которого образуют некоторое топологическое векторное пространство, в частности банахово. При исследовании свойств решений таких задач (например, существование и единственность решения) разработанные методы, по существу, требуют, чтобы некоторое ограниченное замкнутое выпуклое подмножество пространства решений было компактно в какой-нибудь более слабой топологии, связанной с исходной топологией пространства. При этом, как известно, единичный шар бесконечномерного банахова пространства не является компактным в сильной топологии. В связи с этим сопряженное банахово пространство является удобным объектом исследования такого класса задач, поскольку его единичный шар компактен в слабой топологии. С другой стороны, не всякое банахово пространство будет изометрично сопряженному пространству Банаха. Например, как показывают простые рассуждения с использованием теоремы Крейна -Мильмана, банаховы пространства с0, С[0, 1] и Х1[0, 1] не являются сопряженными пространствами. Более того, эти пространства ни в какой эквивалентной норме не будут сопряженными, т. е. не будут изоморфны никакому сопряженному пространству Банаха. Таким образом, актуальной становится задача установления условий, при которых данное банахово пространство будет изометрично (изоморфно) сопряженному.
Если пространство X изометрично (изоморфно) сопряженному Е* к банахову пространству Е, то X будет изометрично (изоморфно) второму сопряженному Е**. Следовательно, для того чтобы Х было изометрично (изоморфно) Е*, необходимо, чтобы сопряженное Х содержало некоторое «особое» подпространство, а именно образ пространства Е с Е при изометрии (изоморфизме) Е** на Х, который будет 1-нормирующим (нормирующим) над Х. Отталкиваясь от этого, чаще всего задачу о сопряженности данного банахова пространства формулируют следующим образом.
Пусть Х - банахово пространство, Е - сильно замкнутое тотальное (1-нормирующее, нормирующее) подпространство сопряженного Х. Обозначим: / - естественное вложение Е в Х, Пх -каноническое вложение Х в X*. Тогда линейный непрерывный оператор] = /'* Пх : X ® Е* будет инъективным в силу тотальности Е над Хи ||] || < 1. Допуская некоторую вольность речи, будем говорить, что Х канонически плотно вкладывается в Е или Х канонически изометрично (изоморфно) Е , если образ ](Х) сильно плотен в Е или ] является изометрией (изоморфизмом) между Х и Е . При каких условиях Х канонически плотно вкладывается в Е или Х канонически изометрично (изоморфно) Е ?
Выбор оператора] в качестве канонического не случаен. Как показывает равенство (е, ]х) = = (х, /е) = (х, е), в случае канонической изометричности Х и Е мы можем говорить о равенстве Х = Е* в установленной между Х и Х двойственности.
Нетрудно видеть, что приведенные в постановке задачи условия достаточны для канонической изометрии Х и Е лишь в классе рефлексивных пространств Х. Поэтому приходится искать дополнительные условия на Х, Е и двойственность между Х и Е. В [1-6] даются различные варианты таких условий, которые так или иначе связаны со свойством компактности единичного шара пространства Х в топологии а (X, Е) или с каким-нибудь из следствий теоремы Хана -Банаха, перенесенным на топологию а (X, Е).
В каком-то смысле совмещенный подход к этой проблеме предложил Р. Джеймс [7-10]. Результаты использования этого подхода уже нашли применение в общей теории наилучших приближений в нормированных линейных пространствах [11] и в теории векторных мер [12]. Из слабой* компактности единичного шара пространства Х, сопряженного к банахову пространству Х, или из хорошо известного следствия теоремы Хана - Банаха вытекает, что каждый элемент х из Х достигает своей нормы (супремума) на единичном шаре Х, т. е. существует х* е Х такой, что ||х*|| = 1 и (х, х*) = || х ||. Р. Джеймс показал, что обратное верно только в том случае, когда Х рефлексивно. Точнее: если Х - банахово пространство, Е = Х и каждый элемент из Е достигает своей нормы на единичном шаре пространства Х, то Х канонически изометрично Е .
В дальнейшем будем говорить, что Е обладает свойством (ТД) (по первым буквам слов «тотально» и «достигать») (обозначение Е е (ТД)) относительно банахова пространства Х, если Е является сильно замкнутым тотальным над Х подпространством в Х, все элементы которого достигают своей нормы на единичном шаре пространства Х. Как было указано выше, условие Е е (ТД) является необходимым для канонической изометрии Х и Е . Однако в общем случае, как показывают примеры Х = Д[0, 1], Е = С[0, 1]с X и Х = т0(Г), Е = /](Г) с Х для некоторого несчетного множества Г, это условие не является достаточным. Поэтому естественно поставить вопрос: при каких дополнительных ограничениях на Х, Е или двойственность между Х и Е условие Е е (ТД) влечёт каноническую изометричность Х и Е ?
Основные результаты в этом направлении содержатся в [13-17]. Некоторые их приложения получены в [18]. Однако в [19] построен пример банахова пространства Х и Е е (ТД) относительно Х, для которых образ j(X) сильно плотен в Е , т. е. Х канонически плотно вкладывается в Е , но j(X) не совпадает с Е . Это означает, что образ единичного шара ](В(X)) является пред-компактным множеством в слабой топологии пространства Е , что также может быть полезным при рассмотрении вопросов, связанных с операторными уравнениями, отмеченными выше. Таким образом, актуальной становится задача установления условий, при которых Е е (ТД) относительно Х влечёт, что Х канонически плотно вкладывается в Е*. Имея в виду результаты [10, 17, 18], естественно будет предположить, что адекватное описание таких условий может быть получено в терминах топологии а (Е, Х), т. е. естественной двойственности между дуальной парой банаховых пространств Х и Е. Изучению этой проблемы в указанном направлении посвящена данная статья.
Мы рассматриваем векторные пространства только над полем вещественных чисел Я и обозначаем их прописными латинскими буквами. Для дуальной пары векторных пространств (Х, Е) обозначаем через (х, е) значение билинейной формы, приводящей в двойственность пространства Х и Е, в точке <х, е > е X х Е.
Нами будет использована следующая символика:
а (Е, Х) - слабая топология в Е, определяемая двойственностью между Х и Е;
- пространство, сопряженное к локально выпуклому пространству Х;
/ - оператор, сопряженный к линейному непрерывному оператору /;
[А] - замыкание линейной оболочки множества А в локально выпуклом пространстве Х;
еопу А - выпуклая оболочка множества А;
кег е - ядро линейного функционала е в Х, т. е. кег е = { х е X : (х, е) = 0 };
А° - поляра множества А сХ, т. е. А° = { е е Е: | (х, е) | < 1 для х е А };
B(X) - единичный шар банахова пространства Х.
Для удобства изложения приведём сначала несколько простых утверждений.
Лемма 1. Пусть (X, Е) - дуальная пара. Если каждый элемент е из Е достигает своей точной верхней грани на множестве А с Х, то для любого множества В з А и содержащегося в а (Х, Е)-замыкании множества А, все элементы е из Е достигают своей точной верхней грани на множестве В.
Доказательство очевидно.
Лемма 2. Пусть Е - замкнутое нормирующее подпространство Х, сопряженное к банахову пространству Х, характеристики г(Е) > 0. Тогда для любого х е Х г(Е) || х || < || Дх || < || х ||.
Доказательство. Неравенство || Дх || < || х || следует из того факта, что || Д || < 1. Левое неравенство вытекает из следующей цепочки очевидных тождеств:
(/*)_1(В(Е*)) = (/*)_1(В(Е) °) = (/(В(Е)))°, из которой, по определению Д, получаем ]"1(В(Е*)) = = П/оУВЕ*)) = ПХ1((/(В(Е)))°).
Так как характеристика r(E) > 0, то Пх"1((/'(5(£)))°) с —1— B(X).
r (E)
Следовательно, j(B(X)) с r (E) B (E ), что и доказывает нужное неравенство.
Лемма 3. Если образ j(X) сильно замкнут в Е , то Е - нормирующее над Х. Доказательство. По условию j(X) представляет собой полное по норме Е линейное подпространство. По теореме о замкнутом графике j задает изоморфизм между Х и j(X). Следовательно, j(B(X)) содержит множество r(B(j(x)) = j(X)nrB(E ) для некоторого r > 0. Теперь, учитывая, что для каждого х е Х и е е Е (х, е) = (е, jx), получаем, что характеристика Е положительна.
Теорема 1. Пусть Х - банахово пространство, Е е (ТД). Тогда, для того чтобы образ j(X) был всюду плотен в Е в сильной топологии, необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного выпуклого множества V с E его с (Е, Х)-замыкание и секвенциальное с (Е, Х)-замыкание совпадали.
Необходимость. Пусть j осуществляет плотное вложение Х в Е и V - ограниченное выпуклое подмножество Е. Необходимость условия теоремы о совпадении с (Е, Х)-замыкания и секвенциального с (Е, Х)-замыкания будет, очевидно, вытекать, если мы покажем, что с (Е, Х) - замыкание множества Vсовпадает с его слабым (с (Е, Е )), а следовательно [20, следствие 2.1.7], с замыканием по норме. Пусть V обозначает замыкание Vв сильной топологии. Покажем, что V будет
замкнуто в топологии с (Е, Х). Возьмем произвольный элемент е, который не содержится в V . Тогда [20, следствие 2.1.4] найдется непрерывный линейный функционал е* е Е* такой, что
a = sup { (v, в*) : v е V } < (e, e*) = p.
Далее, т. к. j(X) плотно в Е*, существует последовательность {xn }¥=1 с X такая, что || j xn - в* || ® 0 при n ® ¥.
Пусть g таково, что a < g < Р. В силу того, что jxn сходится к е равномерно на каждом ограниченном множестве, sup {(v, jxn) : v е V } ® a и (е, jxn) ® p.
Поэтому найдется номер m такой, что sup {(v, jxm ) : v е V } < g < (е, jxm).
Учитывая, что для любого е е Е и х е Х имеет место равенство (е, jx) = (e, /*ПХх) = (/е, ПХх) =
= (х, ie) = (х, е), получаем sup {(xm,v) : v е V } < (xm, e), т. е. е не принадлежит с (Е, Х)-замыканию V.
В силу произвольности выбора е й V заключаем, что с (Е, Х)-замыкание множества V совпадет
с его сильным замыканием V .
Достаточность. Пусть теперь для любого ограниченного выпуклого множества V с E его с(Е, Х)-замыкание и секвенциальное с(Е, Х)-замыкание совпадают. Зафиксируем произвольный функционал ее Е . Введем следующие обозначения:
H = ker e* = {e е E: (e, e*) = 0 },
B(H) = { h е H: || h || < 1 },
B(H) - замыкание В(Н) в топологии с (Е, Х).
Тогда могут представиться две возможности:
1. B(H) \ Н ф 0.
2. B( H ) с H.
Рассмотрим сначала случай 1. Как следует из условий, для каждого е0 е B(H) \ Н существует последовательность {hn }¥=1 с В(Н), которая сходится к е0 в топологии с (Е, Х), т. е. для каждого х е Х (х, hn) ® (x, e0) при n ® ¥.
Так как е0 й Н, то найдется число Р такое, что 0 < Р < 1 и (е0, е ) > p. Рассмотрим последовательность еп = е0 - hn е E. Так как последовательность {en }¥=1, очевидно, ограничена, то,
не уменьшая общности, мы можем считать, что ||еп|| < 1. Отметим, что для нее выполняются следующие соотношения: (еп, е*) = (е0 - к„, е*) = (е0, е*) > р, а значит, и для любого е из выпуклой оболочки этой последовательности || е || > (е, е ) > р.
Вместе с тем для каждого х е Х (х, еп) = (х, е - к„) ® 0.
n
1
Теперь, применяя лемму Джеймса, получим, что для любых 1п > 0 таких, что Ё 1п = 1, найдутся такие а е [Р; 1] и последовательность {^п }¥=1, что gn е еопу {ет}т=п
||Ё ^т ||=a,
1
||Ё 1 иgи ||<а(1 -Р! 1т).
1 п+1
В силу выбора gn для каждого х е Х (х, gn) ® 0 при п ® ¥
Пусть х е Хи || х || < 1. Выберем номер п таким, чтобы при т > п + 1 выполнялось неравенство (х, gm) < ар. Тогда
(^ Ё'1 mgm ) =Ё 1 т (X, gm ) <Ё 1 т (X, gm ) + арЁ1 т <
111 п+1
<У Ё1 mg т || +ар ЁК < а(1 -Р^^т ) + ар ЁК = а.
1 п +1 п +1 п +1
Это означает, что функционал Ё 1^т , принадлежащий Е, не достигает своей точной
1
верхней грани на единичном шаре Х, что противоречит условию Е е (ТД). Таким образом, наше предположение, что может иметь место В(Н) \ Н Ф 0, неверно. Следовательно, для любого
функционала е е Е В(Н) с Н.
Рассмотрим этот случай. Вы Для каждого целого положительного числа п обозначим через Ап выпуклую оболочку, на-
Рассмотрим этот случай. Выберем е0 є Етак, чтобы jj е0 jj = і и (е0, е*) > 0.
тянутую на объединение множеств {—} и B(H) . Тогда очевидно, все Ап будут замкнуты в то-
n
г і e
пологии а(Е, X). Последовательность {Ап },,=1 убывает по включению, и — ї An+1. В силу отде-
п п
лимости и локальной выпуклости топологии а(Е, X) для любого п существует хп є X, который
ee
разделяет — и Ап+1 т. е. ^-°, jx,) > (e0, е ) > sup { (e, jx,) : e є А,+і}. nn
Это означает, в частности, что последовательность {jxn }^^=1 равномерно ограничена на
B(H), т. е.
и, кроме того,
supsup{(e, jxn): e є B(H )}< (e0, е*), (1)
е0, jxn J > (e0,є*) > ^П+_, jxn |. (2)
Покажем, что последовательность ^ сходится по норме к е . Учитывая уравнове-
Пп=1
шенность множества B(H) и неравенство (і), имеем
n
0 < 8ир(В(Н ),^) <
п п
ЇХ
Таким образом, последовательность <—- > стремится к нулю на В(Н), а значит, и на
п=1
В(Н) равномерно. Другими словами можно сказать, что <! 1 сходится равномерно на В(Н)
I Пп=1
к е , поскольку Н = кег е . Несложными преобразованиями из неравенства (2) получаем
п+1 (ер,е*) > (Єр,^ЇХп-) > (ер,е*). п п
Отсюда заключаем, что
Так как Н замкнуто в сильной топологии, то Е изоморфно произведению Н X [е0]. Но нами уже доказано, что на каждом из координатных пространств этого произведения последовательность <| —п [■ сходится к е* равномерно на каждом ограниченном множестве. Следовательно, п
она сходится к е равномерно на ограниченных подмножествах произведения Н X [е0]. Поэтому
В силу произвольности е* е Е* заключаем, что — (X) плотно в сильной топологии в Е*. Следствие 2. Пусть Х - банахово пространство, Е е (ТД) и для любого ограниченного выпуклого множества V с Е его с(Е, Х)-замыкание и секвенциальное с(Е, Х)-замыкание совпадают. Тогда существует, вообще говоря, более слабая норма || ||1 на Х такая, что для каждого х е Х | |х||] < ||х|| и пополнение Х по этой норме изометрично Е .
Доказательство. В качестве искомой нормы ||-||1 можно взять калибровочную функцию поляры V = В(Е)° с X единичного шара пространства Е. Тогда, т. к. поляра В(Х)° с Е единичного шара пространства Х совпадет с В(Е), получаем, что V = В(Е)° = В(Х)°°с X, т. е. множество V является замыканием В(Х) в топологии с(Х, Е). Отсюда вытекает, что || х ||1 < || х ||. Из леммы 1
А
следует, что Е е (ТД) относительно пополнения X пространства Х по этой норме. Совпадение
А А
с(Е, X )-замыкания и секвенциального с(Е, X )-замыкания для любого ограниченного выпуклого множества V с Е следует из наличия этого свойства у топологии с(Е, Х) и плотности Х
А
по норме || ||1. Теперь, применив теорему 1, получим, что X изометрично Е .
Следствие 3. Пусть Е е (ТД). Тогда, для того чтобы Хбыло канонически изоморфно Е , необходимо и достаточно, чтобы Е было нормирующим над Х и для любого ограниченного выпуклого множества Vс Е его с(Е, Х)-замыкание и секвенциальное с(Е, Х)-замыкание совпадали. Доказательство необходимости непосредственно следует из леммы 3 и теоремы 1. Доказательство достаточности вытекает из леммы 2 и теоремы 1.
В случае 1-нормируемости Е над Х можно несколько усилить формулировку, а именно априорное требование, чтобы Е е (ТД), можно сделать апостериорным.
Следствие 4. Для того чтобы Х было канонически изометрично Е , необходимо и достаточно, чтобы Е е (ТД), Е было 1-нормирующим над Х и для любого ограниченного выпуклого множества V с Е его с(Е, Х)-замыкание совпадало с секвенциальным с(Е, Х)-замыканием. Утверждение следует из леммы 2 и следствия 3.
Следствие 5. Пусть каждый элемент е из Е достигает своей точной верхней грани на замыкании B (X) шара B(X) в топологии c(E, Х) и для любого ограниченного выпуклого множества V с E его c(E, Х)-замыкание и секвенциальное c(E, Х)-замыкание совпадают. Тогда Х ка-
I—*
нонически плотно вкладывается в Е .
Доказательство этого результата такое же, как и следствия 2.
Заключение
Полезно сравнить результаты, полученные выше, с построениями в [19]. Имея же в виду результаты работы [16], можно ожидать, что другим естественным способом описания условий, при которых Х канонически плотно вкладывается в Е , будет описание в терминах границы единичного шара В(Х).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Alaoglu L. Weak topologies of normed spaces // Ann. Math. - 1940. - 41:7. - Р. 252-267.
2. BrigolaR. A characterization of conjugate WCG-Banach spaces // Manuscripta Math. - 1983. - 44. - Р. 95-102.
3. Dixmier J. Sur un theorema de Banach // Duke Math. Journ. - 1948. - 15:5. - Р. 1057-1071.
4. Singer I. On Banach spaces reflexive with respect to a linear subspace of their conjugate space, 11 // Math.
Ann. - 1962. - 145. - Р. 64-76.
5. Singer I. On Banach spaces reflexive with respect to a linear subspace of their conjugate space, 11 // Rev. Math., Pures et Appl. - 1963. - 8:1. - Р. 139-150.
6. Ефремов Н. М. Об одном условии сопряжённости пространства Банаха // Изв. высш. учеб. завед. Математика. - 1984. - № 4. - С. 11-13.
7. James R. C. Reflexivity and the sup of linear functionals // Isr. Math. J. - 1972. - 13. - Р. 289-300.
8. James R. C. Characterization of reflexivity // Studia Math. - 1964. - 23. - Р. 205-216.
9. James R. C. Reflexivity and the supremum of linear functionals // Ann. Math. - 1957. - 66. - Р. 159-169.
10. James R. C. Weakly compact sets // Trans. Amer. Math. Soc. - 1964. -113. - Р. 129-140.
11. Singer I. Best Approximation in Normed Linear Spaces. - Berlin - Heidelberg - New York: Springer Verlag, 1970.
12. Kalton N. J. Topologies on Riesz groups and applications to measure theory // Math. Soc. - 1976. - 3:28. -Р. 253-273.
13. De Vito C. A completeness theorem for locally convex spaces and some applications // Math. Ann. - 1968. -177. - Р. 221-229.
14. Петунин Ю. И., Пличко А. Н. Некоторые свойства множества функционалов, достигающих SUPREMUM на единичной сфере // Украинский математический журнал. - 1974. - 26:1. - С. 102-106.
15. Пличко А. Н. Условие сопряжённости WCG-пространств // Математические заметки. - 1978. - 23:2. -С. 281-284.
16. Ефремов Н. М. Условия изометричности банахова пространства сопряжённому в терминах границы единичного шара // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2006. - № 1. - С. 8-15.
17. Ефремов Н. М. Условия изометричности банахова пространства сопряжённому в терминах тотального подпространства сопряжённого пространства // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2006. - № 1. -С. 16-23.
18. Ефремов Н. М. Некоторые приложения условий изометричности банахова пространства сопряжённому в терминах функционалов, достигающих нормы // Вестн. Астрахан. гос. ун-та. - 2007. - № 1. -С. 9-14.
19. Ефремов Н. М. Пример канонического вложения Х в Е , являющегося существенно плотным // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2007. - № 4. - С. 259-264.
20. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. - М.: Изд. иностр. лит., 1959. - 588 с.
Статья поступила в редакцию 9.11.2007
CONDITIONS OF DENSITY OF THE CANONICAL EMBEDDING OF BANACH SPACE IN CONJUGATE SPACE IN TERMS OF THE NATURAL DUALITY
N. M. Efremov
The symbol Е e (TD) - (abbreviated from "total" and "reach") is used by us in case when Е is strongly closed total subspace in X and all elements from Е attain their norms on the unit ball B (X) of Banach space X. The condition Е e (TD) is necessary for canonical isometry of X and Е , i. e. established between X and Х duality, but it is not a sufficient condition. Moreover, as it has been shown earlier, X can canonically densely on norm be embedded in Е . Let *
j : X ® E - canonical embedding. The main results of this paper are the following. Theorem 1. Let X - Banach space, Е e (TD). Then the image j (X) is everywhere dense in strong topology, if and only if, for any bounded convex subset V c E it a^, X)-closure and sequentially a^, X)-closure coincides. Consequence 4. X is canonically isometry Е , if and only if, for any bounded convex subset V c E it a(£, X)-closure and sequentially a(£, X)-closure coincides and Е is 1-norming above X. Consequence 5. Let each element е from Е attains the supreme on closure B(X) of ball B (X) in topology a(£, X) and for any bounded convex subset V c E it a(£, X)-closure and sequentially a(£, X)-closure coincides. Then X is canonically densely embedded in Е .
