Условия изометричности банахова пространства сопряженному в терминах границы единичного шара Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Н. М. Ефремов Астраханский государственный технический университет

УСЛОВИЯ ИЗОМЕТРИЧНОСТИ БАНАХОВА ПРОСТРАНСТВА СОПРЯЖЕННОМУ В ТЕРМИНАХ ГРАНИЦЫ ЕДИНИЧНОГО ШАРА

Введение

Во многих задачах теории автоматического регулирования основой математической модели является операторное (дифференциальное, интегральное и пр.) уравнение, решения которого образуют некоторое топологическое векторное пространство, в частности банахово. При исследовании свойств решений таких задач (например, существование и единственность решения) разработанные методы, по существу, требуют, чтобы некоторое ограниченное замкнутое выпуклое подмножество пространства решений было компактно в какой-нибудь более слабой топологии, связанной с исходной топологией пространства. При этом, как известно, единичный шар бесконечномерного банахова пространства не является компактным в сильной топологии. В связи с этим сопряженное банахово пространство является удобным объектом исследования такого класса задач, поскольку его единичный шар компактен в слабой топологии. С другой стороны, не всякое банахово пространство будет изометрично сопряженному пространству Банаха. Например, как показывают простые рассуждения с использованием теоремы Крейна - Мильмана, банаховы пространства с0, С [0, 1] и Ь1 [0, 1] не являются сопряженными. Более того, эти пространства ни в какой эквивалентной норме не будут сопряженными, т. е. не будут изоморфны никакому сопряженному пространству Банаха. Таким образом, актуальной становится задача установления условий, при которых данное банахово пространство будет изометрично (изоморфно) сопряженному.

Если пространство X изометрично (изоморфно) сопряженному Е* к банахову пространству Е, то X будет изометрично (изоморфно) второму сопряженному Е . Следовательно, для того чтобы Х было изометрично (изоморфно) Е*, необходимо, чтобы сопряженное Х содержало некоторое «особое» подпространство, а именно образ пространства Е с Е при изометрии (изоморфизме) Е** на Х, который будет 1 -нормирующим (нормирующим) над Х. Отталкиваясь от этого, чаще всего задачу о сопряженности данного банахова пространства формулируют следующим образом.

Пусть Х - банахово пространство, Е - сильно замкнутое тотальное (1-нормирующее, нормирующее) подпространство сопряженного Х. Обозначим: / - естественное вложение Е в Х, Пх - каноническое вложение Х в X*. Тогда линейный непрерывный оператор ] = Пх : X ® Е* будет инъективным в силу тотальности Е над Хи || ] || < 1. Допуская некоторую вольность речи, будем говорить, что Х канонически плотно вкладывается

в Е*, или Х канонически изометрично (изоморфно) Е*, если образ ](Х) сильно плотен в Е или ] является изометрией (изоморфизмом) между Х и Е . При каких условиях Х канонически плотно вкладывается в Е или Х канонически изометрично (изоморфно) Е ?

Выбор оператора ] в качестве канонического не случаен. Как показывает равенство (е, ]х) = (х, \ё) = (х, е), в случае канонической изометрич-ности Х и Е мы можем говорить о равенстве Х = Е в установленной между Хи Х двойственности.

Нетрудно видеть, что приведенные в постановке задачи условия достаточны для канонической изометрии Х и Е лишь в классе рефлексивных пространств Х. Поэтому приходится искать дополнительные условия на Х, Е и двойственность между Х и Е. В [1-6] даются различные варианты таких условий, которые так или иначе связаны со свойством компактности единичного шара пространства Х в топологии а (X, Е) или с каким-нибудь из следствий теоремы Хана - Банаха, перенесенным на топологию а (X, Е).

В каком-то смысле совмещенный подход к этой проблеме предложил Р. Джеймс [7-10], результаты которого уже нашли применения в общей теории наилучших приближений в нормированных линейных пространствах [11] и в теории векторных мер [12]. Из слабой компактности единичного шара пространства Х*, сопряженного к банахову пространству Х или из хорошо известного следствия теоремы Хана - Банаха вытекает, что каждый элемент х из Х достигает своей нормы (супремума) на единичном шаре Х, т. е. существует х* е Х такой, что ||х*|| = 1 и (х, х*) = || х ||. Джеймс показал, что обратное верно только в том случае, когда Х рефлексивно. Точнее: если Х- банахово пространство, Е = Х и каждый элемент из Е достигает своей нормы на единичном шаре пространства Х, то Х канонически изометрично

В дальнейшем будем говорить, что Е обладает свойством (ТД) (по первым буквам слов «тотально» и «достигать») (обозначение Е е (ТД)) относительно банахова пространства Х, если Е является сильно замкнутым тотальным над Х подпространством в Х, все элементы которого достигают своей нормы на единичном шаре пространства Х. Как было указано выше, условие Е е (ТД) является необходимым для канонической изометрии Хи Е . Однако в общем случае, как показывают примеры Х = 11 [0, 1], Е = С [0, 1] с X* и Х = т0 (Г), Е = 11 (Г) с Х для некоторого несчетного множества Г, это условие не является достаточным. Поэтому естественно поставить вопрос: при каких дополнительных ограничениях на Х, Е или двойственность между Х и Е условие Е е (ТД) влечёт каноническую изо-метричность Х и Е*?

С решением этой задачи и связана, по существу, настоящая работа.

Первый результат в этом направлении был получен Де Вито [13]. Он показал, что, если ограничиться классом сепарабельных банаховых пространств Х и потребовать дополнительно, чтобы Е было 1-нормирующим над Х, то условие Е е (ТД) влечет каноническую изометричность Х и Е . В дальнейшем Ю. И. Петуниным и А. Н. Пличко [14] было показано, что

в этом случае требование нормируемости Е над Х является излишним. Там же было доказано, что если норма Е является гладкой, то для любого банахова пространства Х условие Е е (ТД) относительно Х влечет каноническую изометричность Х и Е . И, наконец, А. Н. Пличко [15] доказал, что если Х является слабо компактно порожденным пространством Банаха и Ее (ТД), то Х канонически изометрично Е .

Начнем с леммы, которая будет играть существенную роль в последующих построениях.

Лемма 1. Пусть Х - банахово пространство. Если последователь-

кГ=1

ность

{х**}п=1 с Б^*) и элемент х** е X* таковы, что {х* |и=1 сходится сла-

бо к х0 и для каждого х из выпуклой оболочки последовательности {х**}п=1 И| ^Р, в то время как ||х°|| <Р2 для некоторого Ре (0; 1), то для

произвольных 1п > 0 таких, что Е 1п = 1, найдется последовательность

1

gn е сопи{х0}=п такая, что функционал Е 1пРп не достигает своей нормы

1

на единичном шаре пространства Х.

Доказательство. По лемме Джеймса найдутся ае [Р; 1] и последовательность р е сопих} такие, что

оп I г М=п ’

= а.

< а

1 -РЕ 1

V п+1 у

В силу локальной выпуклости слабой* топологии и того факта, что рп е сопи{х0 }=п, для каждого х из Х имеем (х, рп) ® (х, х0).

Возьмем произвольный х е и выберем п так, чтобы

(х, рк) < р2 < аР для всех к > п .

Тогда

х,

У V '1

п+1

I ^

,ЕхкРк <|хЕхкРк +аРЕ^<а 1-РЕ^ +аРЕ^=а.

V п+1 у

п +1

Таким образом, функционал Е1 кРк , принадлежащий сильному за-

1

мыканию выпуклой оболочки последовательности {х*п}п=1 , не достигает своей нормы на единичном шаре пространства Х.

х

Теперь, ограничившись некоторым, как будет показано далее, довольно широким классом пространств Х, покажем, что в этом классе имеет место теорема об изометричности канонического вложения Х в Е .

Теорема 2. Пусть банахово пространство Х таково, что для любого

ограниченного выпуклого множества V с X* совпадают слабое* и секвенциальное слабое замыкания. Тогда для того, чтобы Х было канонически изометрично Е , необходимо и достаточно, чтобы Е е (ТД) относительно Х.

Доказательство необходимости очевидно.

Достаточность. Предположим, что у - не изометрия. Тогда образ ](в(Х)) шара В(Х) не накрывает единичного шара пространства Е*. Более того, можно утверждать [16, с. 57, лемма 2], что в этом случае замыкание множества ]{В{Х)) в сильной топологии Е не совпадает с в(е*). Значит, существуют Р е (0; 1) и линейный функционал е0* е Е** такой, что ||е**|| = 1, 8ир|(ух, е**): х е В(Х)}<р2 и элемент е* е в(е* ), для которого (е*,е**)>р> 0.

** ** * ** *

Очевидно, что множество О = |е е Е : ^е0, е ^>р/ слабо открыто в Е**. Так как образ РЕ (В(Е)) единичного шара пространства Е слабо* плотен в шаре в(е** ) и О открыто, то и множество О пре(В(Е)) слабо* плотно в О п в(е** ). Кроме того, оператор у*: Е** ® X * непрерывен в топологиях s(E**, Е*) и s(x*, X). Следовательно, выпуклое ограниченное множество V = у* (О пре (В(Е)))с X* слабо* плотно в множестве

V = / (о п в(е** )). _

По условию теоремы V слабо секвенциально плотно в V .

Значит, существует последовательность |е„}¥¥=1 с В(Е) такая, что

п-1п=

пРи любом х е X (е„, JX) = (jx, %Ееп) = (х, /кЕеп) ® (jx, е*) = (х, j*e*) и при

п ’

кажДом п (еп, е* ) = (e0*, pEen ) > Р .

Следовательно, ||е|| > Р для каждого е из выпуклой оболочки последовательности {еп } Таким образом, выполнены все условия предыдущей леммы. Поэтому найдется функционал, принадлежащий сильному замыканию выпуклой оболочки последовательности {еп} который

не достигает своей точной верхней грани на единичном шаре пространства Х, что, в силу замкнутости Е, противоречит условию Е е (ТД). Значит, Х канонически изометрично Е .

Определение. Пусть (Х, Е) - дуальная пара линейных пространств и V с X таково, что каждый элемент из Е достигает своей точной верхней грани на нем. Говорим, что Г с V является границей V относительно Е, если для любого е е Е существует j е Г такой, что (j, е) = sup {(х, е) : х е V}. В случае, когда Х = Е*, а V = B (Е*), говорим, что Г является границей В (Е*) (подразумевая относительно Е).

Напомним, что сопряженное Х к банахову пространству Х называется слабо* ангельским, если для каждого ограниченного множества S с X* его слабое* и секвенциальное слабое* замыкания совпадают. Таким образом, теорема 2 верна, если Х обладает ангельским в слабой топологии сопряженным. Класс пространств со слабо ангельским сопряженным содержит все слабо счетно определенные (WCD) пространства,

а, значит, и все WCG-пространства, поэтому теорема 2 является обобщением результата А. Н. Пличко [15].

Теорема 3. Пусть Х - банахово пространство, Е е (ТД). Если шар b(e *) совпадает с сильным замыканием абсолютно выпуклой оболочки

любой своей границы, то Х канонически изометрично E*.

Доказательство. Поскольку каждый элемент е е E достигает своей точной верхней грани на единичном шаре B(X ) пространства Х, то в силу

равенства (х,е) = (е, jx) и того факта, что ||j|| < 1, образ j(B(X))с b(e*)

будет границей шара b(e*). По условию теоремы, сильное замыкание абсолютно выпуклого множества j(B(X)) должно совпадать со всем шаром b(e*). Более того, как следует из [16, с. 57, лемма 2], множество j(B(X)) содержит шар tb(e*) для некоторого r > 0, т. е. j является изоморфизмом между Х и Е . Следовательно, образ j(B(X)) замкнут в Е

и потому совпадает с b(e *), что и требовалось доказать.

Справедливо утверждение, обратное к теореме 3:

Теорема 4. Пусть Е - банахово пространство. Если существует такая

граница Г с b(e* ), что сильное замыкание ее абсолютно выпуклой оболочки не совпадает с единичным шаром b(e *), то найдется банахово пространство Х такое, что Е изометрично вкладывается в Х, Е е (ТД) относительно Х, но Х не изометрично канонически Е* .

Доказательство. Пусть В - сильное замыкание абсолютно выпуклой оболочки Г. Тогда калибровочная функция pB множества В является нормой в линейной оболочке L множества В. Пополнение этой линейной оболочки по норме pB обозначим Х. Естественно, (X, pB) - банахово

пространство. Норма pB на L сильнее нормы E*, поэтому всякий элемент е из Е непрерывен на L в топологии, определяемой нормой pB . Следовательно, каждый е е E однозначно продолжается до непрерывного линейного функционала ie е X*. Тем самым определена линейная инъекция i: E ® X*. Так как В является границей b(e*), то для каждого е е E

||ie|| = sup{(x,ie): хе B(X)} = sup{(x,ie): xе B} = sup{(e,x): xе B}= ||e||.

Это означает, что / является изометричным вложением Е в Х и Е е (ТД) относительно Х. Тем не менее у = /*лх не является изометрией между Х и Е , т. к. если бы образ у(В(X)) содержал шар в(е*), то В совпадало бы с в(е*) в силу своей плотности в В(X) и замкнутости в Е , что невозможно.

Следствие 5. Пусть Х - банахово пространство, Е е (ТД). Если в(е*) совпадает с сильным замыканием выпуклой оболочки своих слабо* выставленных точек, то Х канонически изометрично Е*.

Замечание 6. Из следствия 5 и теоремы Бишопа - Фелпса сразу вытекает следующий результат [17, с. 57, теорема 2]:

Пусть Х - банахово пространство, Е е (ТД) и Е гладко, тогда Х ка*

нонически изометрично Е .

Предложение 7. Пусть Х - банахово пространство, Е с X*, Е е (ТД) и Е изометрично 11. Тогда Х канонически изометрично Е , которое в свою

очередь изометрично .

Доказательство. Отметим, что каждая крайняя точка единичного шара В(/¥) является слабо* выставленной. Действительно, множество

крайних точек ехВ(1¥) имеет вид ехВ(/¥) = |(ап)¥= е 1¥ : |ап| = 1}, поэтому элемент (апап )¥= е 11 такой, что все ап > 0 и (ап )¥= е 11, выставляет крайнюю точку (ап)¥¥=1 е ехВ(/¥). Имея в виду следствие 5, для доказательства нашего утверждения достаточно показать, что шар В(/¥) совпадает с сильным замыканием выпуклой оболочки своих крайних точек. Возьмем произвольный элемент (Ьп )¥= из шара В(/¥). Так как |Ьп| < 1, то можно разложить Ьп в двоичную дробь Ьп = 0, рп, ... ,Рп , ... , где {рп }¥=1 с|0; -1}, если Ьп отрицательно и {рп п , с|0; 1} в противном случае. Теперь последовательность {рп }п= для всех к будет состоять из элементов множества |— 1, 0, 1} и, значит, лежать в выпуклой оболочке крайних точек. Элемент (Ьп из шара В(1¥) в свою очередь представляется в виде

(Ь )~ = V — (рк)°”

\ип)п=1 ^ ~к^п)п=1 •

к=1 2

Следовательно, (Ьп )¥= принадлежит сильному замыканию выпуклой оболочки крайних точек шара В(1¥), чем и завершается доказательство.

Заключение

Предложение 7, которое опирается на теорему 3, показывает, что если в своей естественной норме l1 с X* и l1 с (ТД), то Х обязано быть канонически изометрично l¥ = l1*, что, кстати говоря, неверно, если в качестве Е взять l1 (Г) для некоторого несчетного Г, а X = m0 (г) - пространство ограниченных вещественных функций на Г со счетным носителем и с нормой, индуцированной из l¥ (Г).

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Alaoglu L. Weak topologies of normed spaces // Ann. Math. - 1940. - 41:7. -P. 252-267.

2. Brigola R. A characterization of conjugate WCG-Banach spaces // Maruscripta Math. - 1983. - 44. - P. 95-102.

3. Dixmier J. Sur un theorema de Banach // Duke Math. Journ. - 1948 - 15 : 5. -P. 1057-1071.

4. Singer I. On Banach spaces reflexive whith respect to a linear subspace of their conjugate space, 11 // Math. Ann. - 1962. - 145. - P. 64-76.

5. Singer I. On Banach spaces reflexive whith respect to a linear subspace of their conjugate space, 11 // Rev. Math. - Pures et Appl. - 1963. - 8 : 1. - P. 139-150.

6. Ефремов Н. М. Об одном условии сопряжённости пространства Банаха // Изв. высш. учеб. завед. Математика. - 1984. - № 4. - С. 11-13.

7. James R. C. Reflexivity and the sup of linear functionals // Isr. Math. J. - 1972. -13. - P. 289-300.

8. JamesR. C. Characterization of reflexivity // Studia Math. - 1964. - 23. - P. 205-216.

9. Lames R. C. Reflexivity and the supremum of linear functionals // Ann. Math. -1957. - 66. - P. 159-169.

10. James R. C. Weakly compact sets // Trans. Amer. Math. Soc. - 1964. - 113. -P. 129-140.

11. Singer I. Best Approximation in Normed Linear Spaces. - Berlin - Heidelberg -New York: Springer Verlag, 1970.

12. ^йоп N. J. Topologies on Riesz groups and applications to mesura theory // Proc. London. Math. Soc. - 1976. - 3 : 28. - P. 253-273.

13. De Vito C. A coletness theorem for locally convex spaces and some application // Math. Ann. - 1968. - 177. - P. 221-229.

14. Петунин Ю. И., Пличко А. Н. Некоторые свойства множества функционалов, достигающих SUPREMUM на единичной сфере // Украинский математический журнал. - 1974. - 26 : 1. - С. 102-106.

15. Пличко А. Н. Условие сопряжённости WCG-пространств // Математические заметки. - 1978. - 23 : 2. - С. 281-284.

16. Бурбаки Н. Топологически векторные пространства. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1959.

17. Петунин Ю. И., Пличко А. Н. Теория характеристик подпространств и её приложения. - Киев: Вища школа, 1980.

Получено 19.09.05

ISOMETRIC CONDITIONS OF A BANACH SPACE DUAL IN TERMS OF BOUNDS OF THE UNIT BALL

N. M. Efremov

The symbol Е e (T,fl,) is used by us in the case when Е is strongly closed total subspace above a Banach space X in X , and all its elements obtain their norm on an unit ball of the space X. The condition Е e (T^) is necessary for canonical, i. e. set in between X and X duality, isometry X and Е , but not sufficient. There are some basic results. They are the following ones. Theorem 3. Let Х be a Banach space, Е e (T^). If the ball B Е is congruent with a strong short of absolutely convex hull of any its bound, then X is canonical isometric . Theorem 4. Let Е be a Banach space. If there is such a bound r c В Е , that a strong short of its absolutely convex hull is not congruent with an unit ball В Е , then there is such a Banach space X, that Е is isometric put in X , ' Е e T,fl, is relative to X, but X is not canonical isometric . Offer 7. Let X be a Banach space, E c X , Е e T,fl, and Е is isometric to /j. Then X is canonical isometric , that in turn is isometric to /„.