МАТЕМАТИКА
УДК 517.98
Н. М. Ефремов Астраханский государственный технический университет
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УСЛОВИЙ ИЗОМЕТРИЧНОСТИ БАНАХОВА ПРОСТРАНСТВА СОПРЯЖЕННОМУ В ТЕРМИНАХ ФУНКЦИОНАЛОВ, ДОСТИГАЮЩИХ НОРМЫ
Введение
В данной статье рассматриваются некоторые приложения результатов, полученных в [1, 2]. Одна из основных трудностей, возникающих при исследовании различного рода проблем, связанных с бесконечномерными банаховыми пространствами, заключается в том, что единичный шар такого пространства не является компактным в сильной топологии. Для довольно большого класса задач (например, теоремы существования и единственности решения операторных уравнений в банаховых пространствах) разработанные методы их решения, по существу, требуют, чтобы единичный шар был компактен в какой-нибудь более слабой топологии, связанной с исходной топологией банахова пространства. В этом отношении сопряженное банахово пространство является удобным объектом исследования такого класса задач, поскольку его единичный шар компактен в слабой топологии. С другой стороны, не всякое банахово пространство будет изометрично сопряженному пространству Банаха. Например, как показывают простые рассуждения с использованием теоремы Крейна - Мильмана, банаховы пространства с0, С[0, 1] и Х1[0, 1] не являются сопряженными пространствами. Более того, эти пространства ни в какой эквивалентной норме не будут сопряженными, т. е. не будут изоморфны никакому сопряженному пространству Банаха [3, 4]. Как установили В. Дэвис и В. Джонсон [5], каждое нерефлексивное банахово пространство можно эквивалентно перенормировать таким образом, что оно не будет изо-метрично никакому сопряженному банахову пространству. В связи с этим возникает задача установления условий, при которых данное банахово пространство будет изометрично сопряженному.
Пусть Х - банахово пространство, Е - сильно замкнутое тотальное подпространство сопряженного Х. Обозначим: / - естественное вложение Е в Х, пх - каноническое вложение Х в Х*. Тогда линейный непрерывный оператор ] = /'* пх : X ® Е* будет инъективным в силу тотальности Е над Хи || ] || < 1. Допуская некоторую вольность речи, будем говорить, что Х канонически изометрично Е , если] является изометрией между Х и Е .
Выбор оператора] в качестве канонического не случаен. Как показывает равенство (е, ]х) = = (х, /е) = (х, е), в случае канонической изометричности Х и Е мы можем говорить о равенстве Х= = Е* в установленной между Х и Х двойственности.
Из слабой* компактности единичного шара пространства Х, сопряженного к банахову пространству Х, вытекает, что каждый элемент х из Х достигает своей нормы на единичном шаре Х, т. е. существует х* е Х такой, что ||х*|| = 1 и (х, х*) = || х ||. Р. Джеймс показал, что обратное верно только в том случае, когда Х рефлексивно. Точнее: если Х - банахово пространство, Е = = Х и каждый элемент из Е достигает своей нормы на единичном шаре пространства Х, то Х
г-1*
канонически изометрично Е .
В дальнейшем будем говорить, что Е обладает свойством (ТД), по первым буквам слов «тотально» и «достигать» (обозначение Е е (ТД)) относительно банахова пространства Х, если Е является сильно замкнутым тотальным над Х подпространством в Х, все элементы которого достигают своей нормы на единичном шаре пространства Х. Как было указано выше, условие Е е (ТД) является необходимым для канонической изометрии Х и Е*. Однако в общем случае, как показывают примеры Х = /1 [0,1], Е = С[0,1] с X и Х = т0(Г), Е = /1(Г) с Х для некоторого несчётного множества Г, это условие не является достаточным. Поэтому естественно поставить
вопрос: при каких дополнительных ограничениях на Е условие Е е (ТД) влечёт каноническую изометричность Х и Е*?
С решением этой задачи и связаны, по существу, работы [1, 2].
Теорема Рейнуотера [6] утверждает: Для того чтобы последовательность {хп}¥= из нормированного пространства X сходилась к х0 е X, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и для любой крайней точки х* е *) последовательность (хп,х*) сходилась к (х0,х*).
Так как любой элемент достигает своей нормы хотя бы в одной крайней точке шара Б(Х), то совокупность крайних точек Б(X) образует границу Б(Х). Поэтому результат Рейнуотера представляет собой частный случай следствия 2, непосредственно вытекающего из следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть X- банахово пространство и Г с Б(Х) - некоторая граница шара Б(X). Тогда, если ограниченная двойная последовательность {хпт }¥от=1 с X такова, что Пшп т (хпт, х*) = (х0, х*) для всех х* еГ, то эта последовательность сходится слабо к х0.
Доказательство. Допустим, что последовательность {хпт}1°° не сходится слабо к х0 и в то же время Ншп т(хпт,х*) = (х0,х*) для каждого х* из Г . Тогда существуют Ре* (0; 1), линейный
п,тУ пт? ' V 0’
*
є Н( X ) и пос ле дпкяте льность {х } с , х }
пктк У— I пт У п,т =
* ч
функционал х є Н(Х*) и последовательность {хп т } с (хпт)¥т=1 такие, что пк > к и тк > к
(хпт — х0, х0)| > Ь для любого натурального к. Очевидно, мы можем считать, что
(хпіті — ^ х0*) >Р . (1)
В силу ограниченности исходной последовательности будем, не уменьшая общности, предполагать, что последовательность ук = хпт — х0 содержится в единичном шаре пространства X. Имея в виду (1), можем применить лемму Джеймса [1]. Тогда для произвольной последовательности положительных вещественных чисел {1 к }¥= такой, что Е 1 к = 1, найдутся а є (Р;1)
і
и последовательность gk є сопу{хі }°=к такие, что
= а;
к+1
В силу выбора подпоследовательности {х }¥=1 имеем (ук, х ) ® 0 для каждого х из границы Г . Следовательно, (gk, х*) ® 0 для х еГ. Поэтому для произвольного х еГ найдется номер к такой, что (gi, х*) < аР для всех / < к.
¥ /к ¥ ¥ ¥
Тогда (Е1 igi, х*) < (Е1 igi, х*) + аРЕ 1 / £ (1 -РЕ 1 / )а + аРЕ 1 / =а, т. е. элемент
1 1 к+1 к+1 к+1
Е1 kgk из Xне достигает своей нормы ни в одной точке из Г . Это противоречит тому, что Г -
1
граница шара Б(Х). Таким образом, последовательность {хпт }¥ сходится слабо к х0.
Следствие 2. Пусть X - банахово пространство. Для того чтобы последовательность {хп }¥=1 с X слабо сходилась к х0 е X, необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность была ограничена и существовала такая граница Г сБ(Х), что Пшп(хп,х*) = (х0,х*) для любого х * из Г .
Для доказательства надо только заметить, что сходимость последовательности {хп}¥п=1 эк-
„ „ хп + хт ,
вивалентна сходимости двойной последовательности хпт =" , и применить теорему 1.
Замечание 3. Может показаться, что следствие 2 не является полным обобщением теоремы Рейнуотера, т. к. последняя остается верной и в случае, когда X - нормированное пространство. С другой стороны, в доказательстве теоремы 1 мы существенно использовали полноту пространства X. Простейшие примеры показывают, что следствие 2 не будет верным, если опустить требование полноты X. На самом деле теорему 1, а значит, и следствие 2 можно сформулировать для случая нормированного пространства X. Нужно только потребовать, чтобы Г было границей шара Б(X7*) относительно пополнения пространства X . Множество крайних точек, фигурирующее в теореме Рейнуотера, является как раз такой границей шара Б(Х).
Следствие 4. Для того чтобы последовательность {хп }¥ из банахова пространства X была слабо фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и Нш пт (хп — хт, х*) = 0 для всех х * из некоторой границы Г с Б(X*).
Следствие 5. Если банахово пространство X таково, что шар Б(Х) слабо* секвенциально компактен и Ее (ТД), то Е не содержит изоморфной копии 11.
Доказательство. В силу слабой* секвенциальной компактности Б(Х), из любой ограниченной последовательности {еп }¥=1 с Е можно выбрать слабо* сходящуюся подпоследовательность, а следовательно, и слабо* фундаментальную. Учитывая теперь, что образ j(Б(X)) шара В(^ образует границу Б(Е ), и применяя следствие 4, получаем, что из любой ограниченной последовательности в Е можно выделить слабо фундаментальную подпоследовательность. Воспользовавшись характеризацией Розенталя [7], заключаем, что Е не содержит подпространств, изоморфных 11.
Следствие 6. Если банахово пространство X таково, что шар В(Х) слабо* секвенциально компактен; Е е (ТД) и Е сепарабельно, то X канонически изометрично Е .
Доказательство. По следствию 5, пространство Е не содержит 11. Следовательно, остается применить следствие 2.
Следствие 7. Если сопряженное X к банахову пространству X обладает свойством Радона -Никодима, Ее (ТД) и Е сепарабельно, то X канонически изометрично Е .
Для доказательства нужно только учесть, что если X обладает свойством Радона - Никодима, то шар В(Х) слабо* секвенциально компактен.
Теорема 8. Пусть банахово пространство X таково, что слабое секвенциальное замыкание р х (X) в X* совпадает с X*. Тогда каждое выпуклое слабо* компактное множество К с X * совпадает с сильным замыканием выпуклой оболочки любой своей границы относительно X.
Доказательство. Возьмем произвольное слабо* компактное выпуклое множество К с X*, и пусть Г с К - какая-нибудь граница относительно X. Предположим, что сильное замыкание К выпуклой оболочки множества Г не совпадает с К. Тогда найдутся х* е Б(X **)
и функционал х** е Б(X**), который разделяет х* и К . Мы можем считать, что для некоторого скаляра а выполнены неравенства:
I < 8ир{(х*, х**): х* е К < а < (х**,х**), I < М{(х*, х**): х* е К}.
Пусть V обозначает выпуклую оболочку множества Ж = Б(X*) и К и (—К). Нетрудно видеть, что множество Г = Б(X*) и Г и (—Г) образует некоторую границу для V. Введем на X эквивалентную норму р как калибровочную функцию поляры V0 с X . Тогда шар сопряженного пространства X в этой норме V °° совпадает с V. Но из неравенств 8ир{(х*,х**): х* е (—К)} < —1 £ а , 8ир{(х*,х**): х* е Б^*)} £ 1 £ а и того факта, что х0 не содержится в К, вытекает, что V не совпадает с сильным замыканием выпуклой оболочки границы Г . Поэтому, по теореме 4 из [1], найдется банахово пространство У такое, что Е = (X, р) изометрично вкладывается в У*, Ее (ТД) относительно У, но У не изометрично канонически Е*. В то же время, Е = (X, р) изоморфно X, и, следовательно, слабое* секвенциальное замыкание РЕ (Е)
в E** совпадает с E**. По теореме 2 из [2], пространство Y должно быть канонически изометрич-но E . Полученное противоречие убеждает нас в том, что K совпадает с сильным замыканием выпуклой оболочки своей границы Г .
Следствие 9. Пусть X такое же, как и в предыдущей теореме. Тогда для каждого слабо счетно компактного множества С с X* сильное и слабое* замыкания его выпуклой оболочки совпадают.
Для доказательства надо заметить, что C является границей для своей слабо замкнутой выпуклой оболочки, и применить теорему 8.
Следствие 10. ЕслиX обладает свойством (С), то Xтакже обладает свойством (С).
Доказательство. Как следует из [8], достаточно показать, что для произвольного ограниченного множества A с X* и любого элемента х из слабого* замыкания A множества A найдется счетное подмножество B с A такое, что х принадлежит слабому замыканию D выпуклой оболочки B. Пусть C будет слабым* счётным замыканием множества А. Тогда C будет слабо* счётно компактным. Очевидно, что х содержится в слабом замыкании выпуклой оболочки C. По следствию 9, х содержится в сильном замыкании выпуклой оболочки C. Теперь нетрудно видеть, что найдется счетное подмножество в А, слабому замыканию которого принадлежит х .
Следствие 11. Пусть X такое же, как и в теореме 8, и, кроме того, шар B(X) слабо* секвенциально компактен. Тогда для каждого ограниченного выпуклого множества V с X* его слабое* и секвенциальное слабое* замыкания совпадают.
Доказательство. Очевидно, что слабое* секвенциальное замыкание V множества V будет
сильно замкнуто. Поэтому, имея в виду теорему 8, достаточно показать, что V образует границу для слабого замыкания V относительно X. Возьмем произвольный элемент х из X. Если a является точной верхней гранью х на V, то существует последовательность {vn )¥=1 с V такая, что (х, vn) ® a . Так как эта последовательность ограничена, то, по условию, из нее можно выбрать подпоследовательность, слабо* сходящуюся к некоторому v е X*. Нетрудно видеть, что v е V и (х, v) = a . Следовательно, V образует границу для слабого* замыкания множества V, чем и завершается доказательство.
Замечание 12. Пространство X из следствия 11 удовлетворяет условиям теоремы 2 из [1].
Следствие 13. Пусть X такое же, как и в теореме 8, и, кроме того, либо шар B(X) слабо*
секвенциально компактен, либо подпространство Y с X* не содержит изоморфной копии /1. Тогда, для того чтобы Y было нормирующим над X, необходимо и достаточно, чтобы слабое* секвенциальное замыкание Y совпадало с X*.
Доказательство. Необходимость. Пусть Y нормирующее для X. Это означает, в частности, что слабое* замыкание шара B(Y) подпространства Y содержит шар rB(X) для некоторого r > 0. Поэтому в случае, когда B(X) слабо* секвенциально компактен, наше утверждение непосредственно вытекает из следствия 11. Если же Y не содержит подпространств, изоморфных l1, то так же, как в следствии 11, можно показать, что слабое секвенциальное замыкание шара B(Y) является границей для его слабого* замыкания. Применение теоремы 8 завершит доказательство необходимости.
Достаточность доказывается так же, как соответствующее утверждение в [9, с. 47, теорема 1], которое справедливо для любого нормированного X.
В заключение частично (для пространств, изоморфных сопряжённым) восполним пробел в схеме Эдгара [10, Figure 1], заключающей в себе известные импликации между различными свойствами пространств Банаха.
Предложение 14. Если банахово пространство X таково, что слабое секвенциальное замыкание p X (X) в X** совпадает с X** , то X удовлетворяет условию Мазура.
Доказательство. Допустим, что X не удовлетворяет условию Мазура. Это значит, что най-
• • Л *** -гг *** ^ ^ ^ *
дётся функционал х е X , который будет слабо секвенциально непрерывен, но не непрерывен в слабой* топологии на X**. Так как для третьего сопряжённого верно разложение X*** = X* © (pX (X))Х, то х *** можно выбрать из (pX (X))± - аннулятора PX (X) с X**. Ядро
функционала x *** будет содержать (pX (X)). Но (px (X)) слабо* секвенциально плотно в X"**
и x *** Ф 0 . Значит, x *** не может быть слабо* секвенциально непрерывным. Полученное противоречие доказывает предложение.
Следствие 15. Если банахово пространство X изоморфно сопряженному и обладает свойством (С), то X удовлетворяет условию Мазура.
Это утверждение немедленно вытекает из теоремы 5 и предложения 14.
Замечание 16. Как показывает пример пространства X = l1 (Г), где мощность Г не является вещественно измеримым кардиналом, обратное неверно: X удовлетворяет условию Мазура [10], но не обладает свойством (С).
Напомним, что кардинал m называется вещественно измеримым, если существует вещественнозначная мера, определённая на всех подмножествах множества мощности m, для которой одноточечные подмножества имеют меру ноль.
Заключение
Как видно из изложенного выше, свойства тотального пространства Е весьма существенным образом сказываются на возможности описания сопряжённого пространства в смысле канонической изометрии в терминах линейных функционалов, достигающих своей нормы на единичном шаре исходного пространства Банаха.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Ефремов Н. М. Условия изометричности банахова пространства сопряжённому в терминах границы единичного шара // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2006. - № 1. - С. 8-15.
2. Ефремов Н. М. Условия изометричности банахова пространства сопряжённому в терминах тотального подпространства сопряжённого пространства // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2006. - № 1. -С. 16-23.
3. Karlin S. Bases in Banach spaces // Duke math. J. - 1948. - 15. - P. 971-985.
4. Гельфанд И. М. К теории абстрактных функций // ДАН. - 1937. - 17 : 5. - С. 237-239.
5. Davis W. J., Johnson W. S. A renorming of nonreflexive Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. - 1972. -31, 1. - P. 109-111.
6. Rainwater J. Weak convergence of founded sequences // Proc. Amer. Math. Soc. - 1963. - 14. - P. 999.
7. Rosenthal H. P. A characterization of Banach spaces containing 11 // Proc. Nat. Acad. Sci. Usa. - 1974. - 71. - P. 2411-2413.
8. PolR. On a quastion of H. H. Corson and same related problems // Fund. Math. - 1980. - P. 143-154.
9. Петунин Ю. И., Пличко А. Н. Теория характеристик подпространств и её приложения. - Киев: Вища школа, 1980. - 216 с.
10. Edgar G. A. Mesurability in a Banach space, 11 // Ing. University Math. Journ. - 1979. - 28 : 4. - P. 559-579.
Получено 1.10.2006
SOME APPLICATIONS OF ISOMETRIC CONDITIONS FOR BANACH SPACE TO BE CONJUGATE IN TERMS OF NORM ATTAINING FUNCTIONALS
N. M. Efremov
The symbol Е e (TA) (is the abbreviation for "total" and "attain") is used by us in case when Е is strongly closed total subspace over Banach space X inX , and all its elements attain their norm on the unit ball B (X) of Banach space X. Е e (TA) is a necessary condition for canonical, i. e. in established between X and Х duality, and for the natural isometry of X and Е, but it is not a sufficient condition. The main results of this paper are the following: Consequence 5. Let Banach space X is such that the ball B (X) is weakly sequentially compact and Е e (TA). Then Е does not contain an isomorphic copy l1. Theorem 8. Let Banach space X is such that weak sequential closure is congruent with X in X . Then every convex weakly compact set is congruent with strong closure of convex hull of its any frontier relatively to X. Consequence 10. Let X possess the quality (C), then X also possesses the quality (C). Consequence 11. Let X is the same as in the theorem 8, and, moreover, the unit B (X) is weak sequential compact. Then for every limit convex set its weak and weak sequential closure are congruent. Supposition 14. Let Banach space X is such that weak sequential closure is congruent with X , then X meets Masur conditions.