Пример канонического вложения х в е*, являющегося существенно плотным Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Н. М. Ефремов Астраханский государственный технический университет

ПРИМЕР КАНОНИЧЕСКОГО ВЛОЖЕНИЯ ^В Е,

ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ СУЩЕСТВЕННО ПЛОТНЫМ

Введение

В данной работе построением соответствующего примера показана существенность требований, наложенных в [1, 2] на банаховы пространства в плане канонической изометричности. Во многих задачах теории автоматического регулирования основой математической модели является операторное (дифференциальное, интегральное и пр.) уравнение, решения которого образуют некоторое топологическое векторное пространство, в частности банахово. При исследовании свойств решений таких задач (например, существование и единственность решения) разработанные методы, по существу, требуют, чтобы некоторое ограниченное замкнутое выпуклое подмножество пространства решений было компактно в какой-нибудь более слабой топологии, связанной с исходной топологией пространства. При этом, как известно, единичный шар бесконечномерного банахова пространства не является компактным в сильной топологии. В связи с этим сопряженное банахово пространство является удобным объектом исследования такого класса задач, поскольку его единичный шар компактен в слабой топологии. С другой стороны, не всякое банахово пространство будет изометрично сопряженному пространству Банаха. Например, как показывают простые рассуждения с использованием теоремы Крейна - Мильмана, банаховы пространства с0, С[0, 1] и Х1[0, 1] не являются сопряженными пространствами. Более того, эти пространства ни в какой эквивалентной норме не будут сопряженными, т. е. не будут изоморфны никакому сопряженному пространству Банаха. Таким образом, актуальной становится задача установления условий, при которых данное банахово пространство будет изомет-рично (изоморфно) сопряженному.

Если пространство X изометрично (изоморфно) сопряженному Е* к банахову пространству Е, то X будет изометрично (изоморфно) второму сопряженному Е**. Следовательно, для того чтобы Х было изометрично (изоморфно) Е*, необходимо, чтобы сопряженное Х содержало некоторое «особое» подпространство, а именно образ пространства Е с Е** при изометрии (изоморфизме) Е** на Х, который будет 1-нормирующим (нормирующим) над Х. Отталкиваясь от этого, чаще всего задачу о сопряженности данного банахова пространства формулируют следующим образом.

Пусть Х - банахово пространство, Е - сильно замкнутое тотальное (/-нормирующее, нормирующее) подпространство сопряженного Х. Обозначим: / - естественное вложение Е в Х, ПХ -каноническое вложение Х в X*. Тогда линейный непрерывный оператор ] = /'* Пт : X ® Е* будет инъективным в силу тотальности Е над Хи ||] || < 1. Допуская некоторую вольность речи, будем говорить, что Х канонически плотно вкладывается в Е или Х канонически изометрично (изоморфно) Е , если образ ](Х) сильно плотен в Е или ] является изометрией (изоморфизмом) между Х и Е . При каких условиях Х канонически плотно вкладывается в Е или Х канонически изометрично (изоморфно) Е ?

Выбор оператора] в качестве канонического не случаен. Как показывает равенство (е, ]х) = = (х, /е) = (х, е), в случае канонической изометричности Х и Е мы можем говорить о равенстве Х = Е* в установленной между Х и Х двойственности.

Из слабой * компактности единичного шара пространства Х, сопряженного к банахову пространству Х или из хорошо известного следствия теоремы Хана - Банаха вытекает, что каждый элемент х из Х достигает своей нормы (супремума) на единичном шаре Х, т. е. существует х* е Х такой, что ||х*|| = 1 и (х, х*) = || х ||. Р. Джеймс показал, что обратное верно только в том случае, когдаХрефлексивно. Точнее: еслиХ- банахово пространство, Е = Х и каждый элемент из Е достигает своей нормы на единичном шаре пространства Х, то Х канонически изометрично Е*.

В дальнейшем будем говорить, что Е обладает свойством ТД (по первым буквам слов «тотально» и «достигать») (обозначение Е е (ТД)) относительно банахова пространства Х, если Е является сильно замкнутым тотальным над Х подпространством в Х, все элементы которого достигают своей нормы на единичном шаре пространства Х. Как было указано выше, условие Е е (ТД) является необходимым для канонической изометрии Х и Е*. Однако в общем случае, как показывают примеры Х = /1[0, 1], Е = С[0, 1] с X и Х = т0(Г), Е = /1(Г) с Х для некоторого несчетного множества Г, это условие не является достаточным. Поэтому естественно поставить вопрос: при каких дополнительных ограничениях на Х, Е или двойственность между Х и Е условие Е е (ТД) влечёт каноническую изометричность Х и Е ?

В [1, 2] было показано, что для довольно широких классов пространств Х и Е имеет место теорема об изометричности канонического вложения Х в Е .

В данной статье мы построим пример банахова пространства Х, подпространства Е сопряженного Х такого, что Е е (ТД) и каноническое вложение ] : X ® Е* является плотным, но ] не является изоморфизмом между Х и Е*.

Пример 1. Положим X = (/1(Г1) ©... © 11 (Г „) © ...)г , где все множества Гп несчетны. Тогда

сопряженное кХ X* = (1¥ (Г1) ©... © 1¥ (Гп) © ...) .

Введем следующее обозначение: для произвольного множества А с Гп под ХА будем понимать элемент из 1¥ (Г п), соответствующий характеристической функции множества А, т. е. для уе Г п

[1, уе А,

XА (у) = Г Г.

[0, уг А.

Через XГ е 1¥(Гп) будем обозначать функцию, тождественно равную единице. Далее

рассмотрим пространство Ь = ((с0(Г1) + [хГ ]) © ... © (с0(Гп) + [хГ ]) © ...) .

Очевидно, что Ь естественным образом изометрично вкладывается в Х.

Предложение 2. Каждый элемент из Ь достигает своей точной верхней грани на единичном шаре Х.

Доказательство. Возьмем произвольный элемент / е Ь. Он представлен в виде / =(/^ ..., /п, ...К где /п е с0(Гп) + [хГпЬ ЦЛЦ ® 0 и ||/|| = ^рЦЛЦ . Так как последователь-

п

ность I /.II, 1", положительна и стремится к нулю, то найдется номер п такой, что ||/|| = ||/п||п . Значит, нам остается показать, что /п е с0(Гп) + [хГ ] достигает своей нормы на единичном шаре пространства /1(Г п). Очевидно, что достаточно показать это для функционалов /п е с0(Гп) + [хГ ], представимых в виде /п =ф + х^ , где фе с0(Гп). В этом случае могут представиться две возможности:

1. Существует у/е Гп такое, что ф(уО > 0 .

2. Для всех уе Гп ф(у) < 0 .

Рассмотрим первую возможную ситуацию. Если для некоторого у/е Гп ф(у^) > 0 , то по определению пространства с0(Гп) множество {уе Гп : ф(у) >ф(у/)} конечно. Поэтому найдется такое у0 е Гп, что ф(у0) = 8ир{ф(у): уе Гп}> 0. Нетрудно видеть, что для любых чисел а> 0 и Ь таких, что а>Р, выполнено неравенство 1 + а>|1 + Ь . Поэтому для любого уе Гп

/п (у 0) =1 + ф(у 0 ) >1 + ф(у^ = I /п (у^.

Это означает, что /п(у0) = ||/п||п . Если через 5^ обозначить элемент /1(Гп) такой, что

для уе Г п

6To(g) =

[1, 7 = 70,

1°,

то можно записать ||/п||п = (5^, /п). Следовательно, /п достигает своего супремума в точке 5^ . Обратимся теперь к случаю (2). Если для всех уе Гп ф(у) < 0, то для каждого уе Гп

1 > I1+ф(у^ = | /п М|.

Это означает, что ||/п||п < 1. Поскольку множество {уе Гп: ф(у)^ 0} не более чем счетно, то найдется у0 е Гп такой, что /п(у0) = 1 = ||/п||п = (5уо,/п). Таким образом, показано, что все

функционалы из Ь достигают своей точной верхней грани на единичном шаре пространства Х. Теперь для каждого целого положительного п выберем уп е Гп и последовательность

{еп 1¥¥=1 с (0,5; 1), стремящуюся к единице. Обозначим далее:

еп = (1/ еп )хуп - хГп ,

Ип = С0(Г п) п Кег51п,

Еп = Ип +[еп ]с С0(Гп ) + [ хГп ].

В качестве искомого пространства Е возьмем Е = (Е1 © ... © Еп © ...) с Ь .

Из предложения 2 следует, что все элементы Е достигают своей нормы на В(Х). Для того чтобы доказать тотальность Е над Х, достаточно показать, что каждое Еп тотально над /1(Гп).

Пусть элемент х = (ау)уеГ е /1(Гп) таков, что (х, е) = 0 для всех е е Еп . Так как хуе Еп для всех уе Гп и у*уп, то ау = 0 для уе Г\{уп}. Тогда 0 = (х,еп) = (—-----1)а^ .

е п

Следовательно, х = 0 , т. е. Е тотально над Х и Е е (ТД).

Покажем, что Хканонически плотно вкладывается в Е = (Е1 ©... © Еп ©...) .

Для этого покажем, что сужение отображения ] : X ® Е* на пространство Xn = /1(Гп) осуществляет изоморфизм между Xn и Еп. Обозначим: Хп = с0(Гп), Уп = Хп + [хГ^ ] с X* и р : Уп ® X*, q : Еп ® Уп, г : Хп ® Уп - естественные вложения. Рассмотрим оператор

A = p*Пх : Xn ® YI. Он связан с каноническим вложением Xn в E* следующим равенством:

I V . / J . v/ll VU/1JU11 V ivvivnivi I)J1Uyivv 1ШV1V1 У1 I) I J

Xn n n n n

j = q*p*Пх = q*A : Xn ® E*. Докажем, что A(Xn) представляет собой замкнутую гиперплоскость в Yn . Так как Zn, очевидно, является минимальным тотальным над Xn подпространством в Xn , то оператор B = r A : Xn ® Zn является изоморфизмом. Нетрудно видеть также, что отображение r * : Yn ® Z* является сюръекцией с одномерным ядром Ker r * = Z^ с Yn*. Поэтому существует такой y* е Yn*, что Kerr * = [ y*]. Из инъективности B следует, что

* * * * -* * _* Л, *

yn £ A(X n) . Если два элемента y , у е Yn таковы, что r y = r у , то y — y = 1yn для

некоторого вещественного 1. Значит, по определению yn, два элемента y* и y * совпадают

* * *—*/ лт *\ /it —*\ъ * Т7*

тогда и только тогда, когда r y = r y и (XГ , y ) = (XГ,y ). Для произвольного y е Yn эле * , Г1И-1 * * Л * Т7.* Л , -гг *ч //тг *ч * * *—*

’• = AB r y + 1yn е Yn, гд" i='v ’• 4 - - - - — -

*ч . *. * *

Г Г n

* J T\ n— I **Л*Т7-* Л /17- * \ /✓ XT' * \ ** *

ментy = AB ry +1y„ е Yn , где 1 = (Xr ,y )/(XГ ,yn) таков, что ry = ry

и (X г* , y-) = (X г* , П, т. е. y * = y*.

L n ± n

Так как, очевидно, АВ V * у * е А( Xn), то подпространство А( Xn ) является гиперплоскостью в Уп , замкнутость которой вытекает из 1-нормируемости Уп над Xn.

Покажем теперь, что любое замкнутое по норме подпространство М с Уп коразмерности два не будет тотальным над Xп. На самом деле, для такого подпространства найдутся линейно независимые функционалы у* и у*, принадлежащие Уп , и такие, что М = Кег у* п Кег у*. Поэтому аннулятор М1 = [у1, у2] с Уп будет иметь размерность равную двум. Так как А(Xn ) имеет коразмерность равную единице, то существует Ахе А(Xп) пМ1, не равный нулю. Следовательно, М не тотально над Xп.

С другой стороны, Еп с Уп имеет коразмерность равную единице, замкнуто по норме и ] = q*А. Следовательно, каждая сильно замкнутая гиперплоскость в Еп не будет тотальной над Xп, т. е. Еп - минимальное тотальное подпространство X** . Отсюда, очевидно, вытекает, что j осуществляет изоморфизм между Xn = /1(Гп) и Еп .

Р-М-1 * ^ х ¥ у-г* *

Так как множество элементов е = (с*)*= е Е таких, что лишь конечное число с* отлично от нуля, плотно в Е*, то и множество j(X) будет плотно в Е*.

Наконец, докажем, что j не является сюръекцией. Для этого достаточно показать, что

||у5у || ® 0 , в то время как ||5у|| = 1.

Действительно,

||у5у || = 8ир{(е,]'5у ):ее Е, ||е||< 1}= 8ир{(5^,е):ее Еп, ||е||< 1}<8ир{(5^, 1е + И): Ц< 1,Ие Ип}.

Последнее неравенство следует из того, что если е е Еп, то элемент е допускает единственное представление в виде 1еп + И с И е Ип, и, если |1| > 1, то ||е|| = }Цеп + И|| > 1.

Продолжим цепочку неравенств, учитывая, что для каждого И е Ип (5у , И) = 0 .

8ир{(5^, 1еп + И): Ц < 1,И е Ип }= 8ир{(5^, 1еп): |1| < 1}= (5^,еп) =-^ -1. Таким образом,

е п

||у'5у || < -1— 1. Вспоминая, что еп стремится к единице, получим ||]'5у || ® 0 , чем и завершается построение примера.

Заключение

Таким образом, условие Е е (ТД) для Х не обязательно влечёт за собой изометричность вложения Х в Е*. В связи с этим возникает естественный вопрос: при каких условиях наХ, Е или двойственность между ними из Е е (ТД) следует, что Хи Е изоморфны или Хвкладывается в Е плотным образом?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ефремов Н. М. Условия изометричности банахова пространства сопряжённому в терминах границы единичного шара // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2006. - № 1. - С. 8-15.

2. Ефремов Н. М. Условия изометричности банахова пространства сопряжённому в терминах тотального подпространства сопряжённого пространства // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2006. - № 1. - С. 16-23.

Статья поступила в редакцию 17.06.2006

EXAMPLE OF EMBEDDING X IN E *,

BEING ESSENTIALLY DENSE

N. M. Efremov

LetX- Banah space, Е - strongly closed total subspace inX . We shall designate: i - natural embedding Е in X , p - natural embedding X in X . Then the

linear continuous operator j = i px : X ® E will be injective because Е is total above X and || j || < 1. We shall speak, that X is naturally densely embeded in Е or X is naturally isometric (isomorphic) Е if the image j (X) is strongly dense in Е or j is an isometry (isomorphism) between X and Е . Designation Е e (TA) (is the abbreviation for "total" and "attaiu") is used by us in case when Е is strongly closed total subspace in X and all elements from Е attain its norm on the unit ball B (X) of Banach space X. Е e (TA) is necessary condition for the natural isometry of X and Е , i. e. in established duality between X and Х, but it is not a sufficient condition. There is constructed the example of Banach space X, subspace Е in X such that

E e (TA) and natural embedding j : X ® E is dense, but j is not isomorphism between X and Е .