CC BY
22
7. Sierpinski W. General topology. Toronto, Univ. Toronto Press, 1952, 304 p.
8. Gross W. Eine ganze Funktion, für die jede Komplexe Zahl Konvergenzwert ist. Math. Ann., 1918, vol. 79, iss. 1-2, pp. 201-208.
9. Heins M. The set of asymptotic values of an entire function. Proceedings of the Scandinavian Math. Congress, Lund, 1953, 1954, pp. 56-60.
10. Ganenkova E. G., Starkov V. V. Asymptotic values of functions, analytic in planar domains. Issues of Analysis, 2013, vol. 2(20), no. 1, pp. 38-42.
11. Ganenkova E. G., Starkov V. V. Analytic in planar domains functions with preassigned asymptotic set. J. Appl. Anal., 2014, vol. 20, iss. 1, pp. 7-14. DOI: 10.1515/jaa2014-0002.
УДК 519.853
12. Liczberski P., Starkov V. V. On locally biholomorhic mappings from multi-connected onto simply connected domains. Ann. Polon. Math., 2005, vol. 85, no. 2, pp. 135-143.
13. Goluzin G. M. Geometricheskaja teorija funkcij kompleksnogo peremennogo [Geometric theory of functions of complex variables]. Moscow, Nauka, 1966, 628 p.
14. Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformal maps. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1992, 301 p.
15. Ahlfors L. V. Untersuchungen zur Theorie der konformen Abbildung und der ganzen Funktionen. Acta Soc. Sci. Fenn. Nova Series A, 1930, vol. 1, no. 9, pp. 1-40.
16. Bagemihl F. Curvilinear cluster sets of arbitrary functions. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1955, vol. 41, no. 6, pp. 379-382.
О ПОДХОДЕ К ПРИБЛИЖЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ВЫПУКЛОГО ТЕЛА ШАРОМ ФИКСИРОВАННОГО РАДИУСА
С. И. Дудов1, М. А. Осипцев2
1 Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математической экономики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
2Старший преподаватель кафедры математического анализа, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Рассматривается конечномерная задача о наилучшем приближении в метрике Хаусдорфа выпуклого тела шаром произвольной нормы с фиксированным радиусом. Показано, что в случае, когда приближаемое тело и шар нормы являются многогранниками, задача сводится к задаче линейного программирования. Это позволяет предложить получение приближённого решения задачи через предварительную аппроксимацию приближаемого компакта и единичного шара нормы многогранниками.
Ключевые слова: выпуклое тело, метрика Хаусдорфа, функция расстояния, аппроксимация, субдифференциал.
1. Пусть D — заданное выпуклое тело из конечномерного действительного пространства , а n(x) — некоторая норма на Рассматривается задача
ф(х,г) = h(D,Bn(x,r)) ^ min . (1)
Здесь Bn(x, r) = {y <G : n(x — y) ^ r} — шар радиуса r с центром в точке х,
h(A, B) = max < sup inf n(a — b), sup inf n(a — b) — (2)
расстояние Хаусдорфа между множествами A и B, индуцированное нормой n(-).
Впервые задача о приближении выпуклого компакта евклидовым шаром в метрике Хаусдорфа, причём произвольного радиуса, т.е. когда функция Ф(х,г) минимизируется по (x,r) <G х R+, рассматривалась в [1]. Для случая произвольной нормы эта задача исследовалась в работе [2].
В работе [3] показано, что задача (1) своими решениями для значений радиуса r из определённых диапазонов, выражает решения задач об описанном и вписанном шарах для D и задачи наилучшего приближения шаром произвольного радиуса. Авторам известны и другие задачи по шаровым оценкам выпуклого компакта (например, задача об асферичности [4]), на которое распространяется это универсальное свойство задачи (1).
Важное значение имеет полученная в [2] формула, выражающая расстояние Хаусдорфа (2) между выпуклым компактом D и шаром Bn(x,r):
h(D, Bn(x, R)) = max{R(x) — r, P(x) + r}. (3)
Здесь функция Я(х) выражает расстояние в норме п(-) от точки х до самой удалённой от неё точки из Б, т. е.
Д(х) = тах п(х — у), уев
а функция Р(х) определяется формулой
Р (х) = рв (х) — рп (х),
где О = Rp \ D, рА(x) = minn(x — y) — расстояние от точки x до множества A в норме n(-).
y&A
Известно [5-7], что функции R(x) и pD(x) выпуклы на Rp, а р^(x) вогнута на D. Функция P(x), введённая в [8], также является выпуклой на Rp. Эти факты позволяют считать задачу (1) задачей выпуклого программирования и применять для её численного решения широкий спектр методов оптимизации, например [6,9], используя формулы субдифференциалов функций R(x) и P(x) (см., например, [2]).
Цель данной работы — показать, что в случае, когда выпуклое тело D и шар нормы n(-) являются многогранниками, задача (1) сводится к задаче линейного программирования. Этот факт может быть положен в основу подхода к получению приближённого решения задачи (1) через предварительную аппроксимацию компакта D и единичного шара нормы n(-) многогранниками. Отметим, что данный приём уже применялся для других задач по шаровым оценкам выпуклого компакта, например, [4,10].
В работе будут использованы следующие обозначения:
A, int A, co A — замыкание, внутренность, выпуклая оболочка множества A;
(x, y) — скалярное произведение элементов x и у;
K(x, A) — конус возможных направлений множества A в точке x;
K + — сопряжённый конус к конусу K;
K(A) — коническая оболочка множества A;
df (x) — субдифференциал выпуклой функции в точке x;
n*(x) — полярная норма по отношению к норме n(-); 0p = (0,0,..., 0) e Rp, A + B = (a + b : a e A, b e B}.
2. Если шар нормы n(-) является многогранником, норма представима в виде
n(x) = max Kb,, x)|. (4)
i=1,m
При этом вектора (±Bi : i = 1,m} — это нормали к граням многогранников, являющихся шарами. Естественно считать (±Bi : i = 1,m} угловыми точками множества M = co (±Bi : i = 1,m} и 0p e int M. Очевидно, полярная норма n*(v) = max (v,x) является функцией Минковского множества M.
Для нормы (4) легко получается представление функции R(x) в виде максимума от аффинных функций:
R(x) = max max{ (B,. x) — bil, bi2 — (B^ x)}, (5)
i=1,m
где bil = min(Bi, y), bi2 = max(Bi, y).
yeD yeD
Пусть также выпуклое тело D является многогранником, заданным в виде
D = (y e Rp : (Aj, y) ^ aj, j = M}, (6)
где Aj e Rp, aj e R. Предполагается, что 0p e intco(Aj : j = 1, 1}, а также без потери общности n*(Aj) = 1, j = 1,1. Очевидно, для точки x e D справедливо
pn(x) = min Pw, (x), (7)
j=i,i j
где oj = (y e Rp : (Aj, y) — aj = 0}, j = 1, 1, — гиперплоскости, образующие грани многогранника D. Известно, что
р (x) = (Aj, y) — aj (8)
P-j(x) = n* (Aj) . (8)
Поэтому из (6)-(8), учитывая и*(Aj) = 1, получаем:
Pn(ж) = min {aj — (Aj, ж)}, V ж е D. (9)
j=i,i
3. Теперь, как и для функции R(x) (см. (5)), получим представление функции P(ж) в виде максимума от аффинных функций. Обозначим G(a) = {ж е Rp : pD(ж) ^ а}. Нетрудно доказать, что справедлива
Лемма 1. Если а ^ 0, то
G(a) = D + Bu(0p, а). (10)
Поскольку множества D и Eu(0p, а) являются многогранниками, то из леммы 1 вытекает, что и множество £(а) также является многогранником. Предположим, что нам известно его представление в виде
ОД = {y е Rp : (Cj, y) ^ dj(а), j = ITk}, (11)
где Cj е Rp, dj (а) е R, u* (Cj) = 1 и все гиперплоскости
{y е Rp : (Cj ,y) = dj (а), j =^}
являются опорными к 0(а).
Замечание 1. Нетрудно видеть, что набор нормалей {Cj : j = 1,k} к граням многогранника £(а) можно считать инвариантными относительно значений а > 0. Как следует из (4), (6) и (10), в этот набор входят {Aj : j = 1,1} и {Ei : i = 1,m}, но при этом, как показывают простые примеры, могут содержаться и другие элементы. Вопрос практического получения набора {Cj : j = 1, k} обсудим в §4.
Лемма 2. Для точек ж / D справедлива формула
PD(ж) = max{(Cj, ж) — Cj}, (12)
j=l,k
где Cj = max(Cj, y).
yeD
Доказательство. Гиперплоскости
П = {y е Rp : (Cj, y) = Cj}, j =1Tfe являются опорными для тела D, причём
D С j = {y е Rp : (Cj, y) ^ Cj}, j = 1"k. Поэтому имеют место неравенства
PD(ж) ^ Pn+(ж) j = 1,k (13)
Поскольку n*(Cj) = 1, то, учитывая формулу (8) расстояния от точки до гиперплоскости, получаем:
Pn+ (ж) = max{0, (Cj, ж) — Cj }. (14)
Из (13) и (14) следует
PD (ж) ^ max {(Cj, ж) — Cj }. (15)
j=l,k
Точка ж / D является граничной для множества £(а) при а = pd(ж), а значит, ввиду представления £(а) в виде (11),
J(ж) = {j е [1 : k] : (Cj, ж) = dj (а)} = 0. Покажем, что для произвольного индекса j0 е J(ж) выполняется
PD (ж) = Pn+ (ж). (16)
Предположим противное, т. е. учитывая (13),
PD (ж) >P+j0 (ж). (17)
Пусть точка уо принадлежит проекции точки x на гиперплоскость nj0:
(Cjo, Уо) = cjo, n(x - Уо) = Pj (x). (18)
Гиперплоскость nj0 является опорной к D, а гиперплоскость {у е : (Cj0, ) = dj0(а)}, содержащая точку x, является опорной к G(a). Поэтому из (10), (11) следует D с intG(a), а следовательно,
(Cj0, x) > (Cj0, уо), (19)
(x) = Pj (x) = (Cj-0, x) - cj . (20)
j0 0
Пусть точка z е nj0 P| D. Рассмотрим точку
z* = z + PD(x\(x - уо) е D + Bn(0p, а). (21)
n(x - уо)
Поскольку точки z и уо содержатся в nj0, то (Cj0, z) = (Cj0, уо). Учитывая также (Cj0, x) = dj0(а), из (17)-(21) получаем:
(Cj0 , z*) = (Cj , z) + PD (x) 4 (Cj , x - Уо) = ( PD (x\ - 1)(Cj , x - Уо) + j (а) > j (а)-n(x — Уо) n(x — Уо)
Это противоречит тому, что z* е D + Bn(0p, а) ввиду (10), (11). Тем самым мы доказали справедливость равенства (16). А тогда ввиду (20) имеем:
PD (x) = (Cj , x) — cj • (22)
Из (15) и (22) получаем (12). Лемма доказана.
Теорема 1. Для любого x е справедлива формула
P(x) = max {(Cj, x) — Cj }, (23)
j = 1,k
где {Cj j = 1, k} — нормали к граням многогранника £(а) в представлении (11), причём n* (Cj) = 1, а Cj = max(Cj, у).
yeD
Доказательство. Гиперплоскости nj = {у е : (Cj, у) = Cj}, j = 1,k, являются опорными к D. Поэтому расстояние от точки x е D до любой из них не меньше чем до множества О = \ D. Таким образом, имеем:
Po(x) ^ min pnj (x) = min {c7 — (Cj, x)}, x е D. (24)
j=1,k j=1,k
Как указывалось в замечании 1, набор {Aj : j = 1,1} входит в набор нормалей {Cj : j = 1,k}. Поэтому и опорные гиперплоскости ^j = {у е : (Aj, у) = aj}, j = 1,1 к многограннику D (см. (6)) входят в набор {nj : j = 1, k}. А тогда из (9) и (24) следует
Pn(x) = min {cj — (Cj, x)}, V x е D. (25)
j=1,k
Теперь из (12) и (25) для функции P(x) = pD(x) —p^(x) получаем формулу (23). Теорема доказана.
4. Рассмотрим вопрос практического отыскания набора нормалей {Cj : j = 1,k} через заданные наборы нормалей {Aj : j = 1,1} в (6) и {Bj : j = 1,m} в (4).
Известна [7] формула субдифференциала функции pD(x) для точки x / D:
dpD(x) = dn(x — z)p| — K + (z, D), (26)
где z — любая точка из Qp(x, D) = {у е D : n(x — у) = pD(x)}. Исходя из задания тела D в виде (6), нетрудно получить формулу [6, гл. 2, § 6]
—K + (z, D) = K(co{Aj : j е I(z)}). (27)
Здесь I(г) = е [1 :1] : (А, г) = }. Известна также формула субдифференциала нормы [5]:
|(vG Rp : n*(v) ^ 1}, если x = 0p,
dn(x) = <
(vG Rp : n*(v) = 1, (v, x) = n(x)}, если x = 0p.
(28)
Из формы (4) представления нормы n(-) вытекает, что многогранник M = co (±B^ : i = 1,m} является единичным шаром полярной нормы, т.е. M = (v G : n*(v) ^ 1}. Поэтому в силу (28) возможными значениями для dn(x) при x = 0p являются вершины и грани многогранника M размерности от 1 до р. Таким образом, пересечение многогранника dn(x — z) с многогранным конусом (27) также является многогранником.
С другой стороны, с соответствии с субдифференциальным исчислением (см. например, [6, гл. 1, §5]) из (12) следует
dpD(x) = co (Cj : j G Jp(x)}, x / D, (29)
где Jp(x) = (j G [1 : k] : pD(x) = (Cj, x) — Cj}. Это означает, что вектора (Cj : j = 1,k} является вершинами для многогранников dpD(x) в различных точках x / D. Таким образом, сравнение (26) и (29) говорит о том, что для отыскания набора нормалей (Cj : j = 1,k} достаточно найти вершины многогранников вида dn(x — z) Р|K(co(Aj : j G I(z)}), которых в силу конечности наборов (Aj : j = 1,1} и (Bj : j = 1,m} также конечное число.
5. Формулы (3), (5) и (23) позволяют записать задачу (1) в виде
0(x, r) = max((B^, x) — — r, — (B^, x) — r, (Cj, x) — Cj + r} ^ min, (30)
j=Tk 1 2 \ / \ j / J J x£Rp
i=1,m
где bi1 = min(Bi, y), = max(B*, y), Cj = max(Cj, y). 1 yeD 2 yeD yeD J
Известным приёмом (см., например, [11]) это задача сводится к задаче линейного программирова-Теорема 2. Задача (30) эквивалентна задаче
z ^ min
^ (Вг, x) — bii — r ^ z, i = 1, m, (31)
bi2 — (B^, x) — r ^ z, i = 1, m, (Cj, x) — Cj + r ^ z, j = 1, k.
При этом, если х* — одно из решений задачи (30), то х* = (х*, г*) е где г* = ф(х*, г), одно
из решений (31). И наоборот, если х* = (х*, г*) — одно из решений задачи (31), то х* — одно из решений задачи (30), а г* = ф(х*, г) — оптимальное значение целевой функции ф(х,г).
В итоге мы можем предложить следующий подход к получению приближённого решения задачи (1). Следует аппроксимировать выпуклое тело многогранником, представив его в виде (6), а также аппроксимировать единичный шар нормы п(-), представив его в виде Вп(0р, 1) = (х е :
(±В, х) ^ М = 17т}.
Отметим, наличие широкого спектра методов полиэдральной аппроксимации выпуклых тел (см. например, обзор [12]). После этого остаётся решить задачу линейного программирования вида (31). Конечно, при этом возникает вопрос об устойчивости решения задачи (1) и его чувствительности к погрешности приближения тела Б и единичного шара нормы многогранниками.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-00238, 13-01-00175).
Библиографический список
1. Никольский M. C., Силин Д. Б. О наилучшем приближении выпуклого компакта элементами аддиала // Тр. МИАН. 1995. Т. 211. С. 338-354.
2. Дудов C. И., Златорунская И. В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 10. С. 13-38. 001: 10.4213/зш513.
3. Дудов C. И. Взаимосвязь некоторых задач по оценке выпуклого компакта шаром // Мат. сб. 2007. Т. 198, № 1. С. 43-58. 001: 10.4213Дш1479.
4. Дудов C. И., Мещерякова Е. А. О методе приближённого решения задачи об асферичности выпуклого тела // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 2013. Т. 53, № 10. С. 1668-1678. 001: 10.7868/Б0044466913100050.
5. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М. : Наука, 1980.
6. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируе-мая оптимизация. М. : Наука, 1981.
7. Дудов C. И. Субдифференцируемость и супердиффе-ренцируемость функции расстояния // Мат. заметки. 1997. Т. 64, № 4. C. 530-542. DOI: 10.4213/mzm1532.
8. Hiriart-Urruty J. B. Tangent cones, generalized gradients and mathematical programming in Banach spaces // Math. Oper. Research. 1979. Vol. 4, № 1. P. 79-97.
9. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М. : МЦН-МО, 2011.
10. Dudov S. I., Zlatorunskaya I. V. Best approximation of compact set by a ball in an arbitrary norm // Adv. Math. Res. 2003. Vol. 2. P. 81-114.
11. Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. М. : Наука, 1964.
12. Bronstein E. M. Approximation of convex sets by polytopes // J. of Math. Sciences. 2008. Vol. 153, № 6. P. 727-762. DOI: 10.1007/s10958-008-9144-x.
On an Approach to Approximate Solving of the Problem for the Best Approximation for Compact Body by a Ball of Fixed Radius
S. I. Dudov, M. A. Osipcev
Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, [email protected], [email protected]
In this paper, we consider the problem of the best approximation of a compact body by a fixed radius ball with respect to an arbitrary norm in the Hausdorff metric. This problem is reduced to a linear programming problem in the case, when compact body and ball of the norm are polytops.
Key words: convex compact body, Hausdorff metric, function of distance, approximation, subdifferential.
This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 13-01-00238, 13-01-00175).
References
1. Nilol'skii M. S., Silin D. B. On the best approximation of a convex compact set by elements of addial. Proc. Steklov Inst. Math., 1995, vol. 211, pp. 306-321.
2. Dudov S. I., Zlatorunskaya I. V. Best approximation of compact set by a ball in an arbitrary norm. Sb. Math., 2000, vol. 191, no. 10, pp. 1433-1458. DOI: http:// dx.doi.org/10.1070/SM2000v191n10ABEH000513.
3. Dudov S. I. Relations between several problems of estimating convex compacta by balls. Sb. Math., 2007, vol. 198, no. 1, pp. 43-58. DOI: http://dx.doi.org/ 10.1070/SM2007v198n01ABEH003828.
4. Dudov S. I., Meshcheryakova E. A. Method for finding an approximate solution of the asphericity problem for a convex body. Comp. Math. and Math. Physics, 2013, vol. 53, no. 10, pp. 1483-1493. DOI: 10.1134/S0965542513100059.
5. Pschemichnyi B. N. Vypuklyj analiz i jekstremal'nye zadachi [Convex Analysis and Extremal Problems]. Moscow, Nauka, 1980 (in Russian).
6. Dem'yanov V. F., Vasil'ev L. V. Nondifferetiable opti-
mization. New York, Optimization software, Inc., Publications Division, 1985.
7. Dudov S. I. Subdifferentiability and superdifferentiability of distance functions. Math. Notes, 1997, vol. 61, no. 4, pp. 440-450. DOI: 10.1007/BF02354988.
8. Hiriart-Urruty J. B. Tangent cones, generalized gradients and mathematical programming in Banach spaces. Math. Oper. Research, 1979, vol. 4, no. 1, pp. 79-97.
9. Vasil'ev F. P. Metody optimizacii [Methods of Optimization]. Moscow, MCSMO, 2011 (in Russian).
10. Dudov S. I., Zlatorunskaya I. V. Best approximation of compact set by a ball in an arbitrary norm. Adv. Math. Res., 2003, vol. 2, pp. 81-114.
11. Zuhovickij S. I., Avdeeva L. I. Linejnoe i vypukloe programmirovanie [Linear and convex programming]. Moscow, Nauka, 1964 (in Russian).
12. Bronstein E. M. Approximation of convex sets by polytopes. J. of Math. Sciences, 2008, vol. 153, no. 6, pp. 727-762. DOI: 10.1007/s10958-008-9144-x.
