О приближении выпуклого компакта шаром фиксированного радиуса Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. И. Дудов

УДК 519.853

О ПРИБЛИЖЕНИИ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА ШАРОМ ФИКС ИРОВАННОГО РАДИУСА"

1. Пусть D - приближаемый выпуклый компакт из конечномерного пространства R , п( ) - некоторая норма на R ,

р(А,В) = supinf n{a-b),

аеАЬеВ

h(A,ß) = max\p(A,B),p(B,A)} - уклонение множества А от множества В и расстояние Хаусдорфа между А к В соответственно,

Bn(x,r) = {yzRp : п(х - у) <г) -шар с центром в точке х и радиусом г.

Рассмотрим задачу о наилучшем приближении заданного выпуклого компакта D шаром фиксированного радиуса г в метрике Хаусдорфа:

<р(х,r) = h(D,Вп(х,г)) min . (] )

Основная цель статьи — установить связь задачи (1) с задачами о внешней, внутренней и равномерной оценке компакта D шаром нормы и() :

R(x) = max п{х - у) —> min, (2)

ycD X£RP

pn (x) = min n(x -y)-* max, Q = RP \ D, (3)

>'eC2 xsD

Ф(x,r) min (4)

xeRp,r> 0

Далее будем пользоваться обозначениями: Р(х) = Рр(х) - Ро(х), tf* = min/?(x), Р* = min Р{х), f(r) ~ min ф(х, г),

xeRp x^Rp x^R-"

CR = Arg min R(x), CP = Arg min P(x), C(r) = Arg min tp(x,r),

xePp xeR" xeR"

R± = max(min)Ä(x), P± - max(min)P(x),

xeCp

± R* - P* + R±-P'

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

2. Ниже устанавливается, что задачи (2) — (4) являются частными случаями задачи (1) в зависимости от значений параметра г на положительной полуоси, разделенной точками

О < Гд <Гр <Гр <Гр <00.

В [1] доказано, что при всех x&R1 и г > 0 выполняется

(р(х,г) = max{Ä(jc) — г, г + P(jx)}. (5)

ШййС'Ши [2], ЧШ Н\л) п являются выпуклыми конечными на

Rp функциями. Поэтому из (5) следует, что tp(x,r) является выпуклой по

enaak-vnmcm переменных (х,у) на Rr kR. в соответствии с субдифференциальным исчислением дм выпуклых функций [3] субдифференциал функции ср(х,г) по х выражается через субдифференциалы функций R{x) и />(jr) следующим образом:

öR{x), если R(x) -г> Р(х) + г,

дхц>(х,г)~- дР(х), если R(x) - г < Р(х) + г, (6)

co{dR(x),dP(x)}, если Rix) - г = Р(х) + г.

Здесь со А - выпуклая оболочка множества А. ТЕОРЕМА. Имеет место формула

= ¡СяГ\{хеЛр :R* - rZP(x) + r}, если re[0,r£], (?) {СРГ\{хеЯР :R(x)-r<P* +г], если г e[rP ,оо),

дг) = 1Л*-''( если (g)

[Р +г, если г е[гР,со). Доказательство. Пусть г е[0,Гд] и, следовательно, R" - г > min Р(х) + г. Поэтому существует xeCR, для которого

хеСк

R —г> Р(х) + г, то есть множество

C(r) = CR П {х е Rp : R" - г > Р(х) + г} Ф 0.

Возьмем произвольный элемент хеС(г). С одной стороны, то, что хеСл, то есть х является точкой минимума выпуклой функции R(x) на

Rp, в соответствии с известным фактом выпуклого анализа [3, с. 142] означает, что выполняется включение

Ор е dR(x). (9)

С другой стороны, имеем

R{x)-r = R'-г>Р(х) + г. (10)

Из (9), (10) и (6) получаем едхц>(х,г), то есть точка х является точкой минимума выпуклой по х функции <p(x,r): х е С (г) [3, с. 142]. Тем самым мы показали, что

ОДсОД. (11)

Из (10), (11) и (5) следует

f(r) = R* -г. (12)

то есть формула (8) в рассматриваемом случае.

Теперь докажем обратное к (11) включение. Допустим противное, и тогда найдется точка дгеС(г) и .v £ С (г). Это означает, что либо xiCR и поэтому

ф(x,r)>R(x)-r> R* -г,

«

либо .reCj, но R -г < Р(х) + г, и, следовательно, ф(л-,г) > Р(х) + г > R* — г.

В обоих случаях ввиду (12) получаем противоречие с тем, что х е С(г). Таким образом, в рассматриваемом случае справедливость формул (7), (8) доказана. Случай г е [гр ,оо) рассматривается аналогично, О Непосредственно из доказанной теоремы получаем Следствие 1.

¡С я, re[0,rR], [СР, ге[гр,х),

то есть задача (1) становится эквивалентной задаче (2) или задаче (3) при соответствующих значениях г.

Нетрудно доказать, что функция f(r) является выпуклой на i?+, поэтому формула (8) влечет

С(г) -

Следствие 2.

Arg min /(г) = [г ,г+] с [rR ,гР].

Поэтому множество центров шаров наилучшего приближения в задаче (4) выражает формула

с= уем-

/"£[/•_ , Г.. ]

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Dudov S. /., Zlaiorunskaya I. V. Best approximation of a compact convex set by a ball in an arbitrary norm // Advances in Math. Research. 2003. Vol. 2. P. 81 - 114.

2. Дудов С. И.. Златорунская И. В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Мат. сб. 2000. № 10. С. 13 - 38.

3. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.