Алгоритм наилучшего приближения выпуклого компакта шаром произвольной нормы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.853.3

С. И. Дудов, И. В. Златорунская

АЛГОРИТМ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА ШАРОМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НОРМЫ'

1. Пусть D заданный выпуклый компакт из RF, функция п(х) удовлетворяет аксиомам нормы на Rp, р(А, В) = sup inf п(х-у) - уклонение

хеА уеВ

множества А от множества В, h(A, В) = max {р(А, В), р(В, А)} - расстояние Хаусдорфа между множествами А и В в норме п(х), Вп(х,г)= [у е Rp : п(х - у) < г | - шар в норме п(х) с центром в точке х и радиусом г. Тогда задачу о наилучшем приближении выпуклого компакта D шаром нормы п(х) в метрике Хаусдорфа, порожденной этой нормой, можно записать в виде

h{D,Bn(x,r)) ^ min. (1)

xeRp ,г>О

Свойства решения этой задачи изучались в [1] для случая евклидовой нормы и в [2] для произвольной нормы п(х).

В данной статье предлагается алгоритм получения приближенного решения задачи (1). Отправным моментом для его построения послужила доказанная в [2]

ТЕОРЕМА 1. Задача (1) эквивалентна задаче

Ф(х) = R(x) + Р{х) -> min, (2)

xeRp

где R(x) = max п(х - у), Р(х) = pD(x) - рп(х), рА(х) = min п(х - у),

yeD ye А

Q = Rp \D. При этом, если пара (х0, г0) является решением задачи (1), то точка х0 является решением задачи (2). И наоборот, если точка х0 - решение задачи (2), то пара (х0, г0), где r0 = (R(x0)~ Р(х0))/2 является решением задачи (1). При этом

min h(D, Вп(х, г)) = (R(x0) + Р(х0))/2.

xeRp ,г>О

В [2] показано, что функция Ф(х) является выпуклой на Rp. Поэтому к решению задачи (2) можно применять известные методы минимизации выпуклых функций. Предлагаемый ниже в п. 3 алгоритм использует специфику свойств целевой функции Ф(х), как суммы функций маргинального вида.

Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы", проект № 00-15-96123.

2. Сначала рассмотрим случай, когда задача (2), а следовательно и задача (1), может быть сведена к задаче линейного программирования.

Пусть компакт D и шар Вп{0р, 1) являются многогранниками, заданными в виде

D = {yeRp: (Ai,y) + ai>0, i = (3)

Bn(Op,l)={yeRP: (Bj,y) + bj>0, j = \j), (4)

где А, и Bj из Rp, а, и bj из R\ bj > 0, {•, •) - скалярное произведение. Нетрудно доказать, что справедлива

ЛЕММА 1. Если D и Вп(Ор, 1) имеют вид (3) и (4) соответственно, а xsD,TO

R(x) = шах { (d, , х) + dj j, (*) = mm {(С,, x) +с,-},

7=1, / ¿=1, m

В A Ü

где dj = max(Dj,y), С,- =-T-i—, ,

J bj ye-D^ * n (Д) П (A,-)

n'(A,) = max (v, A,).

n(v)<l '

Как показано в [2], центр хотя бы одного шара наилучшего приближения содержится в D. Поэтому, как следует из теоремы 1 и леммы 1, для получения хотя бы одного решения задачи (1) нам достаточно решить задачу

max\{D: + -с ->max. (5)

1=1^т, 1 ' J xeD

Осталось заметить, что задача (5) известным приемом [3] сводится к задаче линейного программирования. А именно, имеет место

ТЕОРЕМА 2. Если D и Вп(Ор, 1) являются многогранниками (3) и

(4) соответственно, то задача (5) эквивалентна задаче z —> min,

^{Dj-Ci,x) + dJ■-ci<z, / = 1 ,т, у = 1, /, (6)

х е В.

При этом, если (г', х') - решение задачи (6), то х - решение задачи (5). И наоборот, если х - решение задачи (5), то (т. , х ), где г = R(x ) - Рп(я ), есть решение задачи (6).

3. Для произвольного выпуклого компакта £> и произвольной используемой нормы п(х) предлагается следующая схема построения последовательности приближений решения задачи (2), принадлежащего множеству й.

Пусть на к-м шаге алгоритма получена тройка объектов {Ок,Мк,хк}.

В ней Dk и Мк являются многогранниками, содержащими соответственно множества D и Вп(Ор, 1), а точка хк е Dk является решением задачи

Rk(x)-Pk(x)-*mm. (7)

xzDk

Здесь Rk(x) = maxnM (у-х), /jw (х) =inf{а>0/хеаAf*} - функция

yeD

Минковского множества Мк, Рк (х) = min п(х - у). При к=О выбор мно-

ysRp\Dk

гогранников D,dD и М0 zd Вп(Ор, 1) осуществляется произвольно. Важно отметить, что задача (7) приёмом, использованным в п. 2, сводится к задаче линейного программирования.

Переход к новой тройке {Dk, Мк, хк} осуществляется следующим образом.

Построение ¿Vw. Если хк е D, то в любой точке ук s Q, для которой Рп(хк) ~ п(хк~Ук)' строим опорную гиперплоскость п(ук) к D. Если же хк <£ D, то берем любую точку ук eD, для которой pD(хк) = п(хк - ук), и находим гиперплоскость л{ук), разделяющую D и Вп(хк,р D(xk)). Построенная гиперплоскость ) вместе с гранями многогранника образует новый многогранник Dk+X з D.

Построение М±+±. Берем любую точку zkeD, для которой

R(xk) — п(хк - zk) и в точке ————— находим опорную гиперплоскость

Фк ~хк)

it(zk) к Вп(Ор, 1). Вместе с гранями многогранника Мк она образует новый

многогранник Мк+Х z3Bn(0p>X).

Теперь в качестве xk+i берём решение задачи (7) при к:=к+1. Доказано, что справедлива

ТЕОРЕМА 3. Любая предельная точка х последовательности {х*}

. Ä(x*) + pn(x*)

является центром шара наилучшего приближения, а г =--—---

его радиусом, причем

Доказательство теоремы 3 основано на использовании формулы субдифференциала функции Ф(х), полученной в [2], её липшицевости, применения теоремы 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никольский М. С., Силин Д. Б. О наилучшем приближении выпуклого компакта элементами аддиала // Труды МИРАН. 1995. Т. 211. С. 338 - 354.