CC BY
10Предположим, что указанные копии Н совпали. Тогда применим (3). Вычислим матрицу Ад по следующей формуле [2, с. 67]:
Ад = ^ (ЕЪ] ^ О-1) ® ЩрУд^ Ерд,
где V = {и^} = ^11. Тогда при д = аУЪ11 мы получаем, что Ад является матрицей размера п2 х п2, состоящей из п блоков вида где г,] = 1,... ,п. Затем, выполняя суммирование по V
и п, находим, что правая часть (3) не равна нулю только при Хь,-ш = 1, причем при этом справа мы имеем диагональную матрицу со степенями Ха,т на диагонали. Но в случае и = Е, используя формулу (6), нетрудно получить, что Ха,т = 1 для любого и> € С(Н). Итак, Zw ® Zw = Егагхп2. Следовательно, Zw = ±Е для любого и> € С(Н). Тогда С(Н) состоит всего лишь из двух элементов. Но это противоречит работе [6], согласно которой С имеет ровно 2п одномерных представлений, определяемых, как известно [2, предложение 5.2], элементами С(Н).
Работа частично поддержана грантом РФФИ № 09-01-00058.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Artamonov V.A., Chubarov I.A. Properties of some semisimple Hopf algebras // Proc. Conf. on Algebras, Representations and Applications. Contemp. Math. Vol. 483 / Ed. by V. Futorny, V. Kac, I. Kashuba and E. Zelmanov; Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2009.
2. Artamonov V.A., Chubarov I.A. Dual algebras of some semisimple finite dimensional Hopf algebras // Modules and comodules. Trends in Mathematics. Basel: Birkhauser-Verlag, 2008. 65-85.
3. Артамонов В.А. О полупростых конечномерных алгебрах Хопфа // Матем. c6. 2007. 198, № 9. 3-28.
4. Montgomery S. Hopf Algebras and Their Actions on Rings // CBMS Lect. Notes. Vol. 82. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 1993.
5. Мухатов Р.Б. О полупростых конечномерных алгебрах Хопфа // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, № 2. 133-143.
6. Masuoka A. Some further classification results on semisimple Hopf algebras // Communs Algebra. 1996. 24. 307-329.
Поступила в редакцию 07.10.2009
УДК 519.853.3, 517.518.8, 514.172.45
ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ ПРОЕКЦИЯМИ МНОГОГРАННИКОВ
Е. С. Горская1
В работе предлагается метод приближенного решения задач минимизации выпуклых функций многих переменных при выпуклых ограничениях. Основная идея состоит в приближении целевой функции и функций ограничений кусочно-линейными, после чего задача выпуклого программирования сводится к задаче линейного программирования. Представляются алгоритмы построения приближающих многогранников для некоторых классов выпуклых функций одной переменной, затем с помощью индуктивной процедуры многомерная задача сводится к одномерной. Эффективность метода иллюстрируется на примерах.
Ключевые слова: выпуклые задачи, проекции многогранников, приближение функций, сложность алгоритмов.
A method for approximate solution of minimization problems for multivariate convex functions with convex constraints is proposed in the paper. The main idea consists in approximation of the objective function and constraints by piecewise linear functions, then the problem of convex programming can be reduced to a problem of linear programming. We present algorithms for construction of approximating polygons for some classes of univariate convex functions. The
1 Горская Елена Сергеевна — асп. каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: allena@mccme.ru.
many-dimensional problem is reduced to a one-dimensional one by an inductive procedure. The efficiency of the method is illustrated by numerical examples.
Key words: convex problems, projections of polyhedra, approximation, complexity of algorithms.
1. Введение. Рассмотрим произвольную задачу выпуклого программирования
/о(ж) ^ min, ж = (ж1,...,жп) G G, (1)
где G С Rn — выпуклое множество, заданное системой неравенств /¿(ж) ^ 0, i = 1,...,m; f — выпуклые (необязательно дифференцируемые) функции, i = 0,...,m. Нужно найти ее решение с точностью е, т.е. указать такую точку ж* G G, что | тшжес /о(ж) — /о(ж*)| ^ е. Основной сложностью является отсутствие универсальных методов решения подобных задач, которые эффективно бы работали на всех классах функций. Особенно это актуально для задач, в которых число переменных n велико. Исключением являются задачи линейного программирования (целевая функция и функции ограничения линейные), которые даже при очень большом числе переменных n (сотни тысяч) эффективно решаются симплекс-методом и методом внутренней точки (см., например, [1, 2]). Поэтому вполне естественно попытаться свести задачу выпуклого программирования (1) к задаче линейного программирования с некоторой погрешностью. Для этого необходимо приблизить выпуклые функции /о и f линейными. Геометрически это означает, что нужно приблизить их надграфики многогранниками. Главный вопрос — как строить приближающий многогранник для данного выпуклого тела. Задача приближения выпуклых тел многогранниками в метрике Хаусдорфа исследовалась во многих работах (см., например, [3-11]). В частности, было доказано, что
число граней приближающего многогранника асимптотически эквивалентно (где п — размерность,
е — точность приближения), что очень велико при больших значениях n. Эта оценка неулучшаема уже для евклидова шара. При этом константа C зависит от формы приближаемого тела. Кроме того, задача нахождения такого многогранника алгоритмически сложная. Во всех упомянутых работах постановка задачи отличалась от рассматриваемой в нашей тем, что расстояние между выпуклыми телами измерялось в метрике Хаусдорфа, а не в равномерной метрике.
В данной работе будет разработан эффективный подход, основанный на идее, принадлежащей А. С. Немировскому: приближать надграфик выпуклой функции не многогранником той же размерности, а проекцией многогранника большей размерности. Эта идея основана на простом геометрическом факте: у проекции многогранника может быть гораздо больше граней, чем у самого многогранника. Например, у n-мерного (возможно, искаженного) куба 2n граней, а его двумерная проекция может иметь порядка 2n сторон. Таким образом, чтобы задать плоский 2п-угольник, мы можем попытаться представить его в виде проекции n-мерного искаженного куба и хранить не 2n уравнений его сторон (или координат вершин), а всего лишь 2n уравнений граней проецируемого куба.
Напомним, что надграфиком выпуклой функции /(ж) : Rn ^ R называется множество epi / = {(ж,t), где ж G Wn,t G R | t ^ /(ж)}. Обозначим через ж набор координат (х\,..., хп). Скажем, что проекция многогранника G С Rk (k > n) приближает надграфик / (ж) : Rn ^ R на выпуклом множестве V С Rn снизу с точностью е, если выполняются два условия:
1) для любой точки (ж,у) G epi /, такой, что ж G V, существует набор z = (z\,..., Zk-n-i)i Для которого точка с координатами (ж,z,y) принадлежит G;
2) для любой точки (ж1,...,жк;) G G ее первые n координат и последняя координата таковы, что жк > /(ж1, ...,ж„) — е.
(Аналогично можно вести речь о приближении подграфика вогнутой функции.)
Для решения задачи приближения надграфика функции многих переменных многогранником большей размерности поступим следующим образом:
1) сначала решим соответствующую задачу в размерности 1;
2) затем индуктивным переходом сведем многомерную задачу к одномерной.
В работе [12] был подробно исследован оптимальный алгоритм приближения надграфика выпуклой функции / одной переменной с точностью е многоугольником. При этом число узлов ломаной оценивалось сверху как С(/)-^ и были получены асимптотически точные оценки для константы С(/). В данной статье мы будем сразу приближать надграфик функции одной переменной многогранником большей размерности, при этом его размерность оценивается сверху как С (in . Далее будет показано, как можно перейти от одномерных задач к многомерным. Отметим, что алгоритмы приближения будут получены не для всех выпуклых функций, а лишь для некоторых классов, которые тем не менее содержат много важных для приложений примеров.
В п. 2 мы подробно опишем метод А.С. Немировского приближения квадрик проекциями многогранников в метрике Хаусдорфа (см. [13]) и вычислим размерность приближающих многогранников для полуокружности и параболы. При этом размерность многогранника, приближающего надграфик функции /(ж) = ж2 снизу с точностью е на отрезке [0,1], не превосходит N = 1 + 2Ш2 е> а число неравенств, его задающих (граней многогранника), не превосходит 2N.
В п. 3 будут получены результаты, позволяющие строить приближающие многогранники для выпуклых функций одной переменной, представимых в виде суммы, поточечного максимума или композиции выпуклых функций, для которых соответствующая задача уже решена.
В п. 4 мы расширим класс приближаемых функций одной переменной, в частности покажем, как строить многогранники, приближающие ж2™, ех, — Inж, При этом размерности приближающих многогранников оцениваются сверху как N = С ^ln ^ , а число задающих их неравенств не превосходит 2N.
В п. 5 будет показано, как для некоторых классов функций многих переменных задачу приближения проекцией многогранника большей размерности можно свести к одномерной задаче. Такое возможно, например, если рассматриваемая функция раскладывается в сумму выпуклых функций одной переменной или если она представима в виде композиции функции одной переменной и функции многих переменных.
В заключение мы продемонстрируем, как при помощи такого подхода можно эффективно решать нелинейные выпуклые задачи. В качестве примера рассмотрим задачу А.Ю. Левина (см. [14]), для решения которой ему пришлось придумать метод центрированных сечений:
fo(x) = J2 Ci0e(bi0'x) ^ min,
i=1 (2)
m ^ '
fj (x) cij e(bij 'x) < aj, j = 1,...,k, x e R40,
i=1
где с^ ^ 0, Ъ^ € М. Мы покажем, что ее можно свести к задаче линейного программирования, после чего она эффективно решается.
2. Метод А. С. Немировского приближения квадрик. Рассмотрим приближение полукруга проекцией многогранника в метрике Хаусдорфа. Пусть 5 — надграфик функции /(х) = -у/1 — х2, Р — многоугольник, приближающий Б с точностью е (т.е. Б С Р и Р С Б). При этом число вершин Р оценивается как Покажем, что Р можно представить в виде проекции многогранника С С
(ТУ > 2), задающегося 2N неравенствами, где N = и вычислим константу С.
makepicture-76gorsk1.epsРис. 1 Пусть Оп С Мп многогранник, проекция Тп которого на плоскость (хп,Х2) (п ^ 3, на первом шаге С2 проецируется на плоскость (х1,х2)) приближает с точностью е сегмент единичного круга с раствором а (рис. 1, а). То есть (хп,х2) € Тп, следовательно, существуют х1, х3,..., хп-1, такие, что (х1,..., хп) € Сп, и для любой точки (х1,..., хп) € Сп имеем (хп, х2) € Тп. Рас-
{(х 1, . . . , хп) € Gn,
Его проекция на плоскость (хп+1,х2) с точностью е
| хп+11 ^ хп ■
приближает Тп+1 — сегмент единичного круга с раствором 2а (рис. 1, б). Таким образом, мы приблизили вдвое больший сегмент, добавив одну переменную и два неравенства. (Для перехода к следующему шагу следует повернуть полученный многогранник на угол а в плоскости (хп+1 ,х2).) На N-м шаге получим многогранник ОN € Мм, который задается 2N неравенствами. Если на первом шаге мы приблизили сегмент с достаточно малым раствором а, то для того чтобы приблизить полукруг, нам необходимо сделать N < 2 + 2^2 1п е шагов.
Аналогичный подход позволяет приблизить проекцией многогранника по Хаусдорфу любую кривую второго порядка на плоскости. Пусть 7 = {х € М2| (Ах, х) + (у,х) = 1}, где А — симметричная (2 х 2)-матрица. Пусть дуга ВА квадрики 7 приближена с точностью е проекцией многогранника Оп С Мп на плоскость (хп,х2). Проведем касательную ¿1 к 7 в точке А и диаметр ¿2, сопряженный направлению ¿1 (рис. 2). Рассмотрим многогранник Оп в системе координат с осями ¿1 (х'п) и ^(х^). Поскольку ¿2 делит
( (х1 , х2€ Оп, пополам все хорды 7, параллельные ¿1, проекция Оп+1 = <
[ |жп+11 ^ Хп
на плоскость (хп+1,х2) приближает с точностью е вдвое большую дугу ВС квадрики (при этом размерность многогранника увеличилась на 1, а количество задающих его неравенств — на 2).
В каждом случае можно явно вычислить размерность N многогранника, проекция которого приближает квадрику с точностью е. Кроме того, в случае параболы та же идея позволяет приблизить проекцией многогранника надгра-фик функции /(х) = х2 в смысле расстояния между графиками функций, а не в смысле метрики Хаусдорфа (поскольку сопряженный диаметр всегда параллелен оси ординат). Несложно показать, что размерность N многогранника О С , проекция которого приближает надграфик х2 снизу с точностью е
1
2 1п 2
1п ■
а количество
Рис. 2
на отрезке [0,1], не превосходит N = 2 + ^ = 1 + задающих его неравенств не превосходит 2N.
Замечание 1. Надграфик х2 с точностью е на отрезке [0, Ь] приближается проекцией многогранника С С где N = 1 + + 1п задающегося 2Ж неравенствами.
3. Приближение сумм и композиций. Далее будем говорить, что "многогранник О приближает / с точностью е", если его проекция О приближает надграфик выпуклой функции / снизу с точностью е. При этом для выпуклой функции речь идет о приближении снизу, а для вогнутой — о приближении сверху. Кроме того, условимся, что мы всегда рассматриваем проекцию многогранника на плоскость первой и последней координат.
Замечание 2. Пусть многогранник О задан системой неравенств Ах ^ Ь и его проекция на плоскость (х&) приближает надграфик функции / с точностью е. Пусть А' — матрица, полученная из А перестановкой первого и к-го столбцов и 1-го и п-го столбцов. Тогда проекция многогранника О', заданного системой А'х ^ Ь, на плоскость (х1 ,хп) приближает надграфик / с точностью е.
Сформулируем несколько утверждений, при помощи которых в п. 4 будут построены многогранники, приближающие надграфики некоторых элементарных функций.
Предположим, что у выпуклой функции / существует обратная /-1. Кроме того, пусть многогранник О С Мп задается системой неравенств Ах ^ Ь, а многогранник О' С Мп — системой А'х ^ Ь и при этом А' получается из А перестановкой первого и последнего столбцов.
Предложение 1. Если О приближает / на отрезке [а, Ь] снизу с точностью е, то О' приближает /-1 сверху на отрезке [/(а),/(Ь)] с той же точностью.
Доказательство утверждения очевидно, и мы его опускаем.
Далее, пусть многогранники О1 С Мп и О2 С Мк (п ^ к) приближают надграфики выпуклых функций /1 (х) и /2(х) с точностью е1 и е2 на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим О1 и О2 как многогранники в Мк+п-2 (дополнив матрицу нулевыми строками, если это нужно), при этом по-прежнему речь идет о проекции на плоскость первой и последней координат.
Предложение 2. Многогранник О = О1 П О2 С Мп+к-2 приближает выпуклую функцию /(х) = тах{/1(х),/2(х)} на отрезке [а, Ь] с точностью тах{е1, е2}.
Умея приближать многогранниками с некоторой точностью надграфики нескольких выпуклых функций, мы можем строить многогранник, приближающий их сумму. При этом размерность построенного многогранника равна сумме размерностей исходных многогранников, то же и с количеством неравенств системы. Сформулируем это в качестве предложения для двух функций (для большего числа функций формулировка и доказательство аналогичны).
Пусть многогранники О1 С Мп (А1 х ^ Ь1) и О2 С Мк (А2х ^ Ь2) приближают надграфики выпуклых функций /1 (х) и /2(х) с точностями е1 и е2 на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим многогранник О С Мп+к:
А1(х1 ,х2 ...,хп) ^ Ь1, А2(х1 ,хп+1, • • .,хп+А;-1) ^ Ь2,
хп + хп+к-1 ^ хп+к •
Предложение 3. Многогранник О С Мп+к приближает выпуклую функцию /(х) = Д(х) + /г(х) на отрезке [а, Ь] с точностью е1 + е2.
Доказательство. 1) Для любой точки (х,у) € ер1 /(х) существует прообраз из О. Пусть у ^ /(х) = /1(х) + /2 (х), тогда у можно представить в виде суммы: у = у1 + у2 так, что у1 ^ /1(х) и у2 ^ /2(х). По
условию существуют набор (х2, • • • ,хп_ 1), такой, что А1(х,х2, • • • ,хп_ 1,у) ^ Ь1, и набор (хп+1, • • • ,хп_к-2), такой, что А2(х, хп+1, • • • ,хп-к-2,у) ^ Ь2.
2) Для любой точки (х1,... ,хп+к) € О имеем хп+к ^ /(х1) — (е1 + е2), поскольку хп+к ^ хп+хп+к-1 ^ (/1(х1) — е1) + (/2(х 1) — е2) ^ (/1(х1) + /2(х 1)) — (е1 + е2).
Умея приближать надграфик выпуклой функции и надграфик выпуклой возрастающей функции, мы можем строить многогранник, приближающий их композицию. При этом количество переменных и количество неравенств суммируются.
Пусть /(х) : [а; Ь] ^ [/(а); /(Ь)] и д(х) : [а1; Ь1] ^ [^(а1); ^(Ь1)] — выпуклые функции, д неубывающая и Е(/) С ^(д). Проекция многогранника О1 С Мп на плоскость (х1,хп) приближает /(х) на отрезке [а; Ь] с точностью е1, проекция многогранника О^ С Мк на плоскость (х1, хк) приближает д(х) на отрезке [а1; Ь1] с точностью е2, и многогранники задаются системами неравенств А1(х1, •.. ,хп) ^ Ь1 и А2 (х1, • •., хк) ^ Ь2. Обозначим т = п + к — 1 и рассмотрим многогранники О1 С Мт и О2 С Мт, заданные системами неравенств А1(х1, •••, хп) ^ Ь1 и А2(хп,..., хт) ^ Ь2 соответственно; д'(х) — субдифференциал функции д в точке х.
Предложение 4. Проекция многогранника О — О1 П О2 на плоскость (х1,хт) приближает д(/(х)) на отрезке [а; Ь] с точностью е = е1 ■ вирхе[0,1] |д'(х)| + е2 = е1 ■ д'(1) + е2.
Доказательство. 1) Любая точка (х1,хт), такая, что д(/(х1)) ^ хт, является проекцией некоторой точки из О. Рассмотрим точку с тремя фиксированными координатами (первой, п-й и т-й): (х\,..., /(х\),..., Хт). Поскольку /(х\) ^ /(х\), то существует такой набор Щ, ..., хп-\, что для любых хп+\, ..., хт точка с координатами (Х\,Х2,..., хп-\, ¡{х\),хп+1,... ,хт) € ОТак как хт ^ д(/(х\)) = д(хп), то существует такой набор хп-^\, ..., жт-ъ что для любых Х\, ..., хп-\ точка с координатами (жьж2, • • •, /(ж1),ж^Г,... ,ж^ГТ,жт) е С2. Тогда (жьж^,... ,ж^ГТ, Дж1),ж^Т,... ,жт_ьжт) е С.
2) Поскольку (х1, • • • , хт) € О = О1 П О2, то одновременно выполняются неравенства хп ^ /(х1) — е1, хт ^ д(хп) — е2 .Тогда так как д возрастающая, то д(хп) ^ д(/(х1) — е1), откуда хт ^ д(хп) — е2 ^ д(/(х1) — е1) — е2. В силу выпуклости д имеем д(/(х1) — е^ ^ д(/(х1)) — е1 ■ вир |д'(х)| = д(/(х1)) — е1 ■ |д'(Ь1 )|,
т.е. хт ^ д(/(х1)) — е.
Замечание 3. Аналогичное утверждение можно сформулировать для случая, когда /(х) — вогнутая функция, д(х) — выпуклая невозрастающая дифференцируемая функция и композиция д(/) — выпуклая функция.
Замечание 4. Также верны два двойственных к сформулированным в предложении 4 и замечании 3 утверждения: 1) когда обе функции вогнутые и д неубывающая, мы можем приблизить композицию д(/) сверху; 2) когда / выпуклая, д вогнутая невозрастающая и при этом д(/) вогнутая, тогда д(/) приближается сверху.
Следствие 1. Пусть /: [0,1] ^ [0,1] — выпуклая неубывающая функция и многогранник О С Мп (Ах ^ Ь) приближает надграфик /(х) снизу с точностью е^ (Под /'(х) будем понимать субдифференциал функции / в точке ж.) Тогда /(... /(ж)...): [0,1] —[0,1] — выпуклая функция и многогранник
т
О' С Мтп-т+1, определяемый системой
А 0 ••• ••• 0 х1
0 А 0 ... 0 ■ ...
0 ••• ••• 0 А хтп-т+1
приближает надграфик /(... /(х)...) с точностью ет = е1 ([/'(1)]т-1 + [/'(1)]т-2 + ... + 1).
т
Следствие 2. Пусть /(х) = х2: [0,1] ^ [0,1] и О С Мп (Ах ^ Ь) — многогранник, приближающий надграфик функции х2 с точностью е1. Тогда соответствующий многогранник О' С Мтп-т+1 приближает х2 : [0,1] ^ [0,1] с точностью ет = е1 (2т — 1).
4. Приближение элементарных функций. В п. 1 было показано, как при помощи метода А. С. Не-мировского построить многогранник, приближающий х2. В этом пункте мы расширим класс приближаемых функций: мы предъявим алгоритмы для /(ж) = ж2™; еж; — 1пж; где р > 1.
Сформулируем вспомогательное предложение. Пусть О (Ах ^ Ь) приближает выпуклую функцию /(х) с точностью е на отрезке [0,1], с > 0, с € М; А1 — матрица, полученная из А умножением элементов последнего столбца на с; А2 — матрица, полученная из А умножением элементов первого столбца на К
Предложение 5. Многогранник О1, задающийся системой неравенств А1х ^ Ь, приближает выпук-
лую функцию на отрезке [0,1] с точностью а многогранник С2, задающийся системой неравенств А2х ^ Ъ, приближает, выпуклую функцию па отрезке [0, с] с точностью е.
Доказательство предложения элементарно, и мы его опускаем.
{А(хь ■■■,хп) ^ Ъ,
хп+1 ^ кх1 + й, приближает функцию д(х) = хп+2 ^ хп + хп+1
/ (х) + кх + I с точностью е на отрезке [0,1].
Далее покажем, как можно построить многогранники, приближающие некоторые элементарные функции.
1. Приближение высоких степеней. Пусть /(х) = х2 . Из следствия 2 получаем, что можно построить
т? I т |п 2 21п2 Ш £1 '
многогранник G С Кга, приближающий / с точностью Е\ на отрезке [0,1]. При этом п ^ + -тгЫ In —, а
количество неравенств не превосходит 2n.
Используем предложение 5 для того, чтобы построить многогранник G', приближающий x2 на отрезке [0, а] с точностью е. Пусть многогранник G С Rn, приближающий x2 на отрезке [0,1] с точностью ei, задается системой неравенств Ax ^ b. Рассмотрим матрицу A', полученную из A умножением элементов первого столбца на ^ и умножением элементов последнего столбца на Тогда многогранник, задаваемый системой A'x ^ b, приближает x2™ на отрезке [0, а] с точностью е = а2"1 ei. При этом размерность G'
не превосходит п' = + Tin 2 lna + 2Tn2 е> a количество неравенств системы не превосходит 2п'.
2. Приближение экспоненты. Пусть f (x) = ex. Сначала приблизим ex на отрезке [0,1]. Для этого воспользуемся асимптотическим соотношением
/ x x2 x3 x4 \ k / x x2 x3 x4 \ 2p
x
e = Д™ l1 + k + 2P + ^3 + Щ4у) = Д™ l1 + ^ + 2(^)2 + 6(^)3 + 24(2P)4
к
к Ш1 Ш 2Ш) ^Т?' Доказательство леммы легко проводится стандартными методами и предоставляется читателю.
Лемма. При х G [0,1] выполняется неравенство ех — + f + iruz + ins + ötct ) ^ 6
Таким образом, при фиксированном р функция /1(3;) = + ^ + 2(2р)^ 6(2р)3 24(2?)4 ) приближает ех на отрезке [0,1] с точностью = Преобразуем /1 следующим образом:
2Р
F 1
-,— - С, ТТгм^ГЛ^ГЧС! Г, Г> TTii ТТЛГТ^ЛТТТТТ1\/Г слегло о/~»т\/г •
24р
2Р
Ш= й
Построим многогранник, приближающий /\(х) на отрезке [0,1] с точностью е2 = (тогда он будет приближать ех с точностью е\ + е2 = Это возможно, поскольку /1 (ж) есть композиция нескольких
функций, каждую из которых мы приближать умеем. Выразив размерность N многогранника О С , приближающего /1 (ж) с точностью е2, в терминах получим
Предложение 6. Многогранник О приближает надграфик ех на отрезке [0,1] с точностью е, где N < 11п2 ^ + 11п ^ + Ю. При этом количество неравенств, задающих С, не превосходит 2И.
Замечание 5. Так как еа+х = еаех, то можно построить многогранник О1, приближающий ех на любом отрезке [а, а +1] длины 1 с точностью еае. Размерность и количество неравенств, задающих многогранники О и О1, одинаковы.
Пользуясь замечанием 5 и предложениями 4, 5, построим многогранники, приближающие ех на отрезках [—2т, 0] и [0, 2т].
1. Пусть О1 С ММеХ>[-2т>°1 — многогранник, приближающий ех на отрезке [—2т, 0]. Тогда
1, 2 1/ ч,1 т2 + т \-2гп 01 < 7 1п2 - + (ш + 3 1п - +---+ 9. 3
'1 ' J 4 е е 2
2. Пусть О2 С ММеХ,[°'2т 1 — многогранник, приближающий ех на отрезке [0, 2т]. Тогда
Д^,[о;2™] < ^ 1п2 ^ + + 2т~1 + 1п 1 + т2 + 2т + Зт • 2т~1 + 22т"2 + 2т+1 + 8. (4)
3. Логарифм. Пусть /(х) = — 1п х. Согласно предложению 1, умея приближать ех на отрезке [а, Ь] с точностью £, мы умеем приближать и 1п х на отрезке [еа, еь] с той же точностью. (Аналогично приближается — 1пх на том же отрезке с той же точностью.)
4. Отрицательные степени. Пусть /(ж) = где р > 1. Воспользуемся тем, что х~р = е-р1пж, и при этом — р 1п х — выпуклая функция. Покажем, как построить многогранник, проекция которого приближает /(ж) с точностью е на отрезке [а;е], где а <
Пусть С1 С М^1 — многогранник, приближающий ех с точностью £1 на отрезке [е-2™ ;0], где N1 оценивается по формуле (3). Пользуясь предложением 5, строим многогранник С1 С М^1, приближающий —р 1п х на отрезке [е-2™+1; е] с точностью ре^ь Пусть С2 С М^2 — многогранник, приближающий ех на отрезке [0; 2Ь] с точностью е2 (где Ь = +т + 1). При этом N2 оценивается по формуле (4). Пользуясь
предложением 5, строим многогранник С С М^1+^2-1, приближающий е-р 1пх на отрезке [е-2"+1; е] с 2ь
точностью е = ре£1 е2 + £2.
Для того чтобы приблизить х~р на отрезке [а;е], положим а = е-2т+1. Тогда 2т = 1п ^ + 1 и
т = • Чтобы в итоге получить приближение с точностью е, положим £2 = ре£\е2Ъ = §. Тогда раз-
мерность приближающего многогранника не будет превосходить = — 1п2 ^ + С\ 1п ^ + С2,
где С\ = 31п ^ + 2р2 + 13р + 11, С2 = 13 (1п ±)2 + 5(1п 2р)2 + 30.
Пример 1. Размерность многогранника, приближающего ж-5 на отрезке е] с точностью е = Ю-8, не превосходит 2616, с точностью е = 10-10 — не превосходит 3305. Для сравнения заметим, что если мы будем приближать надграфик этой функции многоугольником, то число его вершин оценивается как 4588 и 45874.
5. Приближение функций многих переменных. В предыдущих пунктах были приведены алгоритмы построения приближающих многогранников для некоторых элементарных функций одной переменной. В некоторых случаях задачу приближения надграфика выпуклой функции многих переменных можно свести к одномерной. Например, когда рассматриваемая функция раскладывается в прямую сумму выпуклых функций одной переменной, когда она представима в виде суммы выпуклых функций многих переменных, для каждой из которых соответствующая задача решена, или же когда она представима в виде композиции функции одной переменной и функции многих переменных, которые мы можем приблизить проекцией многогранника. Также мы покажем, что при помощи такого подхода можно эффективно решать нелинейные задачи минимизации.
В этом пункте приближающий многогранник С С Мк, к > п, для функции /: Мп ^ М проецируется на подпространство (х1 ,...,хга,хк;).
1) Пусть функция /(х1,..., хп): Мп ^ М представима в виде суммы двух выпуклых функций многих переменных, для которых соответствующая задача уже решена: / = /1 + /2. При этом многогранники С1 С М^1 (А1 х ^ 61) и С2 С М^2 (А^х ^ 62) приближают надграфики /1 и /2 на выпуклом множестве V С Мп снизу с точностью £1 и £2 соответственно. Тогда многогранник С С ММ1+М2-га+1, задаваемый системой неравенств
Аг(х1,.. .,х^1) ^ 61, А2(х1, . . . ,хп,х^1+1, . . .,х^1+М2-п) ^ 62,
х^1 + х^1 +^2-га ^ хМ1+М2-га+Ъ
приближает надграфик / (х1,..., хп) снизу на множестве V2 = V х V с точностью е = £1 + £2.
Аналогично формулируются утверждения для суммы нескольких многомерных функций и для функции многих переменных, представимых в виде суммы функций одной переменной. Доказательства этих утверждений аналогичны доказательству предложения 3, и мы их опускаем.
2) Пусть / (хь...,х„) : [а; 6]п ^ [а'; 6'] и д(х) : [01; 61 ] ^ [д(а1); д(&1)] — выпуклые функции, д — неубывающая функция и Е(/) С ^(д). Пусть проекция многогранника С1 С Мк (к > п, А^х ^ 61) приближает надграфик /(х1,...,хп) снизу с точностью £1, проекция многогранника С2 С Мт (А2х ^ 62) — надграфик д(х) снизу с точностью £2. Тогда многогранник С С Мт+к, задаваемый системой
{А1(х1,..., хк) ^ 61,
приближает д(/(х1, ...,хп)) на множестве [а; 6]п с точностью £ =
^2(хй,.. •, х^+т) ^ 62,
£1 ■ вир |д'(х)| + £2 = £1 ■ |д'(61)| + £2. (При этом д'(х) — субдифференциал функции д в точке х.)
х€[«1;Ь1 ]
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству предложения 4, и мы его опускаем.
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2010. №5
27
Пример 2. Рассмотрим функцию f (x\,..., xn) = ^Ce(bi'x), Ci > 0. В этом случае f (x) = ^fi(x). При этом каждую из выпуклых функций fi(x) = Cie(bi'x) можно приблизить проекцией многогранника Gi С Rki с точностью Si. Пусть n = 40, jbj| ^ 1, jcij ^ 1. Приблизим надграфик f (x) проекцией мно-
гогранника G С RN на единичном круге V = {(xi,... ,X4o) | x2 + ... + xj0 ^ 1}. Из результатов п. 4 и
сформулированных выше утверждений следует, что в этом случае < 4 ln2 — + 7, 51n —. Тогда размер_4
ность N = ki + ... + km — 40(m — 1) + 1, а точность приближения е = ^™i £í.
В качестве примера того, как можно свести нелинейную выпуклую задачу (1) к линейной, рассмотрим задачу (2). Пусть многогранники Gi С RNi (Aix ^ di) приближают надграфики функций fi на множестве V С R40 с точностью е. Тогда задачу (2) можно свести к следующей задаче линейного программирования в пространстве размерности N = No + ... + Nk — 40k:
xNo ^ mm,
Ao(xi,.. .,Xn0) ^ do,
A1(x1, x40 ,xN0+Ъ xN0 +N1-40 ) ^ d1,
Ak(x1,, •••, x40, •••, xN0+...+Nk-40k) ^ dk, xNo+Ni— 40 ^ a1,
ч хМ°+...+Мк-40к ^ ак■
В частности, когда 1Ъ^| ^ 1, |с^^| ^ 1, т = к = 5, а е = 10-3, получим N < 1520. В начале 60-х годов прошлого века, пытаясь решить эту задачу, А.Ю. Левин придумал метод центрированных сечений [14], из которого впоследствии возник метод эллипсоидов.
В заключение хочу выразить благодарность профессору В. Ю. Протасову за внимание к работе и множество ценных замечаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Boyd S, Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.
2. Nesterov Y., Nemirovsky A. Interior Point Polynomial Methods in Convex Programming // SIAM, Philadelphia, PA, 1994.
3. Ludwig M., Schiitt C., Werner El. Approximation of the Euclidean ball by polytopes // Stud. math. 2006. 173, N 1. 1-18.
4. Chen L. New analysis of the sphere covering problems and optimal polytope approximation of convex bodies //J. Approx. Theory. 2005. 133, N 1. 134-145.
5. Lopez M., Reisner S. Hausdorff approximation of convex polygons // Comput. Geom. 2005. 32, N 2. 139-158.
6. MUller J.S. Step by step approximation of plane convex bodies // Arch. math. (Basel). 1992. 58, N 6. 606-610.
7. Gruber P.M. Error of asymptotic formulae for volume approximation of convex bodies in Ed. Dedicated to Edmund Hlawka on the occasion of his 85th birthday // Monatsh. Math. 2002. 135, N 4. 279-304.
8. Schiitt C., Werner El. Random polytopes with vertices on the boundary of a convex body // C. r. Acad. sci. Paris. Ser. A. 2000. 331, N 9. 697-701.
9. Schneider R. Polyhedral approximation of smooth convex bodies //J. Math. Anal. and Appl. 1987. 128, N 2. 470-474.
10. McClure D.E., Vitale R.A. Polygonal approximation of plane convex bodies //J. Math. Anal. and Appl. 1975. 51, N 2. 326-358.
11. Протасов В.Ю. Совместный спектральный радиус и инвариантные множества линейных операторов // Фунд. и прикл. матем. 1996. 2, № 1. 205-231.
12. Горская Е.С. Об одном алгоритме линеаризации выпуклых экстремальных задач // Матем. сб. 2010. 201, № 4. 3-24.
13. Ben-Tal A., Nemirovski A. On polyhedral approximations of the second order cone // Math. Oper. Res. 2001. 26. 193-205.
14. Левин А.Ю. Об одном алгоритме минимизации выпуклых функций // Докл. АН СССР. 1965. 160, № 6. 12411243.
Поступила в редакцию 16.11.2009
