К вопросу об аппроксимации выпуклых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ _PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES_

УДК 517.5 DOI 10.23683/0321-3005-2018-3-4-9

К ВОПРОСУ ОБ АППРОКСИМАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ © 2018 г. А.В. Абанин1, Ю.В. Кораблина1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия,

ON APPROXIMATION OF CONVEX FUNCTIONS

A.V. Abanin1, Yu.V. Korablina1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia,

Абанин Александр Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия; заведующий отделом математического анализа, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: avabanin@sfedu.ru

Кораблина Юлия Викторовна - студент, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Ворови-ча, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: russia.210150@mail.ru

Alexander V. Abanin - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Mathematical Analysis Department, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Head of the Mathematical Analysis Department, Southern Mathematical Institute -Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: avaba-nin@sfedu.ru

Yulia V. Korablina - Student, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: russia.210150@mail.ru

В теории роста голоморфных функций и ее приложениях важную роль играют аппроксимации выпуклых функций с помощью других выпуклых функций, обладающих дополнительными свойствами. Как правило, используются бесконечно дифференцируемые или даже вещественно-аналитические аппроксимации. Существование таких аппроксимаций исследовалось в работах Г.Г. Брайчева, Д. Азарги, Е. Абакумова и Е. Дубцова. Однако они имеют ограничения на степень приближения и не могут обеспечить высокую асимптотическую близость производных исходной и приближаемой функций. В то же время при изучении классических операторов дифференцирования и интегрирования в весовых пространствах голоморфных функций возникла необходимость в построении подобных аппроксимаций, позволяющих приближать одновременно выпуклую функцию и ее производную с произвольной степенью точности. Ясно, что этого можно добиться только за счет кусочно-линейных аппроксимаций. Ранее Г.Г. Брайчевым был разработан конструктивный метод построения подобных аппроксимаций, обеспечивающий бесконечно малую степень близости функций и их производных. В статье разработана модификация этого метода, позволяющая строить кусочно-линейные аппроксимации для выпуклых функций и их производных на отрицательной вещественной полуоси с произвольной степенью точности. Эти выпуклые функции образуют класс радиальных весов, задающих пространства Бергмана с равномерной нормой голоморфных в единичном круге функций.

Ключевые слова: выпуклые функции, кусочно-линейные аппроксимации.

The approximation of convex functions by some other convex ones with additional properties plays an important role in the theory of growth of holomorphic functions. As a rule, it is used infinitely differentiable or even real-analytic approxima-

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

tions. The existence of such approximations has been investigated by G. Braichev, D. Azarga, E. Abakumov and E. Doubtsov. However, they have some restrictions on the degree of proximity and cannot guarantee simultaneously the asymptotic proximity of the derivatives of the initial and constructed functions. At the same time, studying classical operators in weighted holo-morphic function spaces it is necessary to have an opportunity to approximate simultaneously and with an arbitrary proximity a convex function and its derivative by some convex function and its derivative. It is clear, that it is possible with the help of only piecewise linear approximations. G. Braichev has previously proposed a method to construct those approxim ations that guarantee infinitesimal proximity offunctions and their derivatives. In the paper it is developed a modification of this method which allow us to get desired piecewise linear approximations with an arbitrary degree of the proximity for convex functions and their derivatives on the negative real semiaxis. These convex functions form the class of radial weights defining Bergman spaces of holomorphic functions in the unit disc with sup-norms.

Keywords: convex functions, piecewise linear approximation.

Введение

Как известно [1], в теории весовых банаховых пространств голоморфных функций в единичном круге D или комплексной плоскости, задаваемых радиальными весами, можно ограничиться использованием log-выпуклых весов, т.е. таких весов v,

что функция фу (х) := log v(ex) выпукла на (-да,0) или R соответственно. Другими словами, при изучении многих задач данной теории имеется возможность использовать хорошо развитый аппарат выпуклых функций. Эта идея была эффективно реализована в работах [2-4] для получения ряда завершенных результатов о свойствах классических операторов в весовых пространствах Бергмана и Фока. Существенную роль в их доказательствах сыграли вспомогательные факты об аппроксимации выпуклых функций другими выпуклыми функциями, обладающими некоторыми дополнительными свойствами. Остановимся на этом подробнее.

Г.Г. Брайчевым [5, ч. II, гл. 3] были получены результаты о кусочно-линейной и гладкой аппроксимации выпуклых возрастающих функций на числовой прямой со степенью приближения о(1) на бесконечности. Для пониженной степени точности (о(1)) наиболее сильный результат был получен в [6, теорема 1.1], где показано, что для любой выпуклой функции ф на выпуклом открытом множестве

Q с RN и для любого s > 0 имеется такая выпуклая вещественно-аналитическая функция у на Q, что у<ф<у+sвсюду на Q . В случае одной переменной этот результат допускает дальнейшее уточнение с точки зрения дополнительных свойств аппроксимирующей функции [7, 8]. Мы ограничимся здесь формулировкой их результата, полученного для радиальных весов в единичном круге D .

Напомним, что радиальный вес на D - это функция v : D ^(0,да), для которой v(z) = v(z|), Vz e D, v(r) возрастает и непрерывна на [0,l),

lim v(r) = . Из [7] следует, что для любого log-

r ^1-0

выпуклого радиального веса v на D существуют аналитическая в D функция w(z)= 2 anzn с по-

n=0

ложительными тейлоровскими коэффициентами an (n > 0) и такая постоянная C > 1, что w(r) < v(r) < Cw(r) при всех r е [0,l). Переформулировка этого результата для выпуклых функций утверждает, что для любой выпуклой функции ф на (- да,0) с lim ф(х) = существуют

х ^-0

выпуклая функция у(х) = logl 2

ane

n=0

и число

С > 0 такие, что

у(х) < ф(х) < у(х) + С при всех х е (- <х>,0).

Этот результат гарантирует существование приближающей функции специального вида, обладающей дополнительными важными в приложениях свойствами [2, лемма 3.6; 4, теорема 2], хотя по сравнению с [6] мы слегка теряем в точности приближения.

С другой стороны, в некоторых вопросах требуются результаты, когда нужны либо дополнительные свойства аппроксимирующей функции, либо большая степень точности приближения. Например, при построении примеров на существенность используемых ограничений требуется одновременная аппроксимация и функции, и ее производной. Если не накладывать никаких предварительных условий на аппроксимируемую функцию, это возможно только при кусочно-линейной аппроксимации. В случае прямой для точности о(1) на бесконечности подобные результаты имеются в [5]. В настоящей работе мы не только распространяем их на случай луча (-да,0), но и предлагаем модификацию использованного в [5] метода, указываем способ построения таких аппроксимаций, для которых можно гарантировать степень близости о(х) вместо 0(1) при х ^ -0 .

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Кусочно-линейная аппроксимация выпуклых на луче функций

Пусть ф - выпуклая возрастающая на (-да,0) функция, для которой ф(х) = . Всякая такая

х ^-0

функция всюду на (-да,0) является непрерывной, имеет конечные левую ф'_ и правую ф'+ производные, которые возрастают на (-да,0) и

ф-(х)<ф'+(х) при всех х е(-да,0). При

этом

ф'_(х) = ф'+(х) всюду на (-да,0), за исключением не более чем счётного множества точек 3 . Таким образом, ф дифференцируема на (-да,0) \ 3, а в точках из 3, если они есть, ф' имеет разрывы первого рода. В дальнейшем, как обычно, мы будем обозначать правую производную через ф', опуская индекс « + ».

Положим ф(§) := sup(x^ - ф(х)), §> 0 . Как из-

х <0

вестно [4, доказательство теоремы 3], справедлива двойственная формула

ф(х) = sup(x^-<p(^)), х < 0 . (1)

§>0

Её можно также установить, если доопределить функцию ф , положив ф(х) = +да при х > 0 . Полученная таким образом функция будет выпуклой и полунепрерывной всюду на R . Тогда ее преобразование Юнга - Фенхеля - Лежандра

ф* (§) := sup (х§-ф(х)), §e R, обладает тем свой-

xeR

ством, что ф**=(ф*)=ф [9, теорема 12.2]. Ясно при этом, что ф* = ф на (0, да), откуда следует (1).

Заметим, что функция ф является выпуклой и убывающей на (0, да), причём lim ф(§) = 0 и

lim ф(§) = -да .

§^-+да

Для любого Х0 e (-да,0) конус опорных прямых к графику функции y = ф(х) в точке (Х0, ф(х0)) задаётся следующим образом: y(x) = § • х -ф(§), где § пробегает отрезок [ф- (х), ф'(х)].

Через y (х) будем обозначать прямую, соответствующую § = ф'(х0) . Для произвольных двух точек х! < х2 < 0 через yxi х2 (х) будем обозначать

уравнение двухзвенной ломаной, составленной из отрезков прямых y (х) и y (х). Ясно, что

(-да,0),

Ух

Дх) =

Ух1 (x), х е[х1,Ц]

Ух2 (4 х е[Ц х2.

где ц :=-

NATURAL SCIENCE.

ф(§ х2)-ф(§ х1)

2018. No. 3

§ -§

- абсцисса точки пересечения

указанных прямых в случае, когда они различны, и yxi х2 (х) = yxi = y^, когда они совпадают. В последнем случае график y = ф(х) на [xj, Х2 ] является отрезком, соединяющим точки (х1, ф(Х1)) и (Х2, ф(Х2)) • Следующая лемма доказана в [5, с. 126]. Лемма 1. Пусть xi < х2 < 0 и

d :=1 (х2 - xi)-|x2 ). Тогда для всех х £[xi, Х2 ]

справедливы неравенства:

У xi, х2 (Х) — Ф(Х) — Ух1,х2(Х)+ d ; (2)

|ф'(х)"Ух1,Х2(х) —^Х2 Х1 (3)

В теории весовых пространств голоморфных функций используются лишь такие ф, что

ф(-да) := lim ф(х)>-да. Поэтому наши дальней-

х^-да

шие рассмотрения мы ограничим, считая, что ф(- да) > -да. В таком случае можно принять без ограничения общности, что ф(-да) = 0 . Этого можно добиться, беря вместо ф(х) функцию ф(х)-ф(-да).

Теорема 1. Для любой выпуклой возрастающей на (- да,0) функции ф, для которой lim ф(х) = +да и ф(-да) > -да, существуют такие

кусочно-линейные выпуклые функции ф и ф2, что:

ф1(х)—ф(х)—ф2 (х), х е(-да,0); (4)

ф(х)= фг (х)+ о(х) при х ^ -0 ; (5)

ф'(х) = ф'(х)+о(1) при х ^ -0 (г = 1,2) • (6)

Доказательство. Доказательство проводится по схеме [5, теорема 1, с. 128] c естественными изменениями, вызванными заменой всей вещественной оси на полуось (-да,0) и более точной асимптотикой (5) (в [5] требовалось, чтобы степень приближения была о(1) при х ^+да). Поэтому здесь мы опишем только конструкцию функций ф1 и ф2 , опустив подробности.

Возьмём последовательность (kn )да=0 такую, чтобы 0 =k0<k1 <... и kn ^+да при n ^да. Проведём к графику Гф функции ф опорные прямые yn (х) = kn (х)-ф(кп). Через 9n+1 обозначим абсциссы точек пересечения прямых yn (х) и Уп+Дх). Заметим, что y0(х) = 0 на (-да,61], где 01 =ф(к1)/k1 • Пусть далее tn - максимальная точка касания пря-

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. мой yn (х) и Г„ на отрезке [9И, 9n+1]. Очевидно,

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

что последовательность (/п)"=1 не убывает и ф-(?и )< кп <ф'(?и). Отсюда, в силу свойств выпуклых функций, следует, что кп <ф'(/п )< кп+1, п > 1. Последнее влечет, в частности, что /п ^ -0 при п ^от.

Обозначим через N1 множество тех п е N, для которых /п < /п+1, и возьмём произвольную последовательность (еп)ОТ=1 с еп ^ 0 . Для каждого п е N1 выберем е N настолько большим, чтобы для Нп :=(/п+1 - /п )/имело место неравенство

Ип < —П . Ясно, что без ограничения общно-

кп+1 - кп

сти можно считать, что последовательность (кп убывает. Далее при каждом п е N1 образуем разбиение отрезка [/п, /и+1] на равные части точками

j,n

= tn + fin , j = 0X-Sn •

В качестве ф1(х) возьмём ломаную, составленную из опорных прямых к графику Гф, проведённых в точках (х^ п, ф(х^- п)). Выпуклость функции ф(х) влечёт выполнение условия (4), а неравенство (2) леммы 1 - неравенств

|ф(х)- фг (х) <1 (х7,п - х)-1,п)' (ф'(х},п)-ф'(х7-1,п))<

1 / , ч 1 , | 1 | |

<-Ип Лкп+1 -кп)<-£пКп+1 < ^пЦ при

х е [ху_1,п, ] и г = 1,2 ,

откуда следует (5). Чтобы получить (6), достаточно воспользоваться неравенством (3) леммы 1, в силу которого для всех х е [/п ,/„+1] и г = 1,2

|ф'(х)-фг (х)< кп+1 - кп ,

и изначально выбрать (кп )^=1 так, чтобы кп+\ - кп =0(1) при п ^от. Например, подходит

кп =4п или кп = 1п п .

Замечание. Из проведённого доказательства следует, что в условии (5) можно добиться любой наперёд заданной степени точности. В самом деле, пусть 8: (- от,0) ^ (0,+от) - любая функция с

5(х) ^ 0 при х ^ -0 . Если в процессе доказательства взять

•8(/п+1)

h <-Sn "и —

kn+1 kn

■, n eNj,

то

получим вместо (5) условие |ф(х)-фг (х) = о(8(х)) при х ^ -0 . С другой стороны,

применённый в доказательстве способ построения кусочно-линейных функций аппроксимацией ф из [5] принципиально не допускает улучшения условия (6). Главная причина отсутствия такой возможности - у ф могут быть точки излома, в которых ф'(х0)-ф'_(х0)> 0 (как и выше, через ф' обозначается правая производная функции ф ).

Одновременная кусочно-линейная аппроксимация выпуклых на луче функций и их производных

В связи с замечанием представляет интерес существование кусочно-линейных аппроксимаций выпуклых функций с одновременной более быстрой, чем в (6), аппроксимацией их производных. Исходя из потребностей теории операторов в весовых пространствах голоморфных функций, выявленных в [2] и [4], нам достаточно указать способ построения таких аппроксимаций, для которых в условии (6) можно гарантировать степень близости о(х) вместо 0(1) при х ^ -0 .

Теорема 2. Для любой выпуклой возрастающей на (- от,0) функции ф, для которой 1т ф(х) = +от и ф(- от) > -от, существует такая выпуклая кусочно-линейная функция ф1 на (-от,0), которая удовлетворяет условиям (4), (5) и

ф' (х) = ф'(х)+ о(х) при х ^ -0 . (7)

Доказательство. Как известно, имеется не более чем счётное множество 5 точек £ из (- от,0), в которых д(^):=ф'(^)-ф-(^)> 0. Отсюда следует, что для любого И > 0 на каждом отрезке [а, р] с (- от,0) расположено лишь конечное число точек £ , в которых Д(£) > И.

Зафиксируем произвольную последовательность (/п )от=1 из (- от,0) \ 5 , для которой

ф'(п) < ф'(и+1), V« > 1, и ф'(/п) ^ +от при п ^ от . Тогда, очевидно, /п Т 0 при п ^ от. Возьмём ещё последовательность (еп с е п ^ 0 и будем строить нужную кусочно-линейную функцию, аппроксимирующую ф .

Обозначим через £ п, г = 1,...,гп -1, те точки из

[п, tn+l], в которых +1, и положим

£0 п := /п, £г п = /п+1. Заметим, что в принятые обозначения укладывается и случай, когда на отрезке [/п,/п+1] нет точек £е5 со скачками Д^^-^^+1.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

В этом случае гп = 1 и £ п = ¿п+1. Для каждого 1 = 0,1,..., п -1 полагаем

£1,г,п := ^Р^е^п, £ + 1,п): ф' (£)<ф' (?/,п)+8 п\п + 1||-

В силу непрерывности ф' справа множество, по которому берётся супремум, не пусто, а в силу непрерывности ф - слева справедливо неравенство

ф ' -Ьип^ф ' (?1,п)+еп\п+1.

При этом либо £1 1 п = £г +1 п , либ° £ л,п < £+1 п

-'4, г,«)>ф' (§i, , n)+^rK

и ф -(£1,г,п)>ф (й.1-п/+— 1'п+11

В самом деле, в противном случае ф' (?1,1,п)= ф-(?1,1,п)+д(?1,1,п)< ф'(?1,п)+епкп+1, и поэтому существовала бы точка правее , в

которой ф' (£)<ф' (£у, г,п)+еп|/п+^, что противоречило бы определению £ 1 п .

Если £и п < п, аналогично выбираем точку

£2,1, п := ^ е (£1,1,п, £ +1, п): ф' (?)< V(?1,¿,п)+Бпкп+11}

и заключаем, что

ф' - (=2,г,п)~ ф'(?1,1,п)+Епкп+1 и либо £2,г,п = £г+1,п , ли^ £2,г,п < £г+1,п и

p'fe^J^'fcuJ+yM.

(8)

ф (&2,г,п)>ф 1

Продолжив этот процесс, получим конечное (в силу условий вида (8)) число тех £у,г,п,

У = 1,..., у (г, п), для которых

£г,п < £1,у,п < ... < £у(г,п),г,п < £J+1,п

и

Ф-(íj+1,г,и)¿ф'(íj,г,и)+Sи|tи+J. (9)

В последнем неравенстве используется обозначение £у(г,п)+1,г,п :=£г+1,п . По построенИю

а(£ у,1,п)<^т1/п+1 .

Образуем кусочно-линейную функцию ф1 (х), которая на отрезке [£ у г п, £ у+1 г п\ представляет собой двузвенную ломаную, составленную из опорных к Гф прямых, проходящих через

§

j,i, n

£у+1,г,п :

у\,п (х) = ф'(£ лп)' Х-ф(ф'(£ Мп);

У2+М,л(х) = ф' - (£у+1,1,п)- х - ф(ф' - (£у+1,г,п)) .

Полученная таким образом функция ф1(х) выпукла и с учётом (9) на каждом полуинтервале [£ у,г,п, £ у+1гп[ удовлетворяет условию

0 <ф'(§)-ф1(§)<ф-(§ j+UJ-

-ф'(§j,J<^n\tn+1\ <S„|§|.

(10)

Из него, очевидно, следует требуемое условие (7). Кроме того, по построению ф1(х)<ф(х), т.е. выполнено (4). Добиться выполнения (5) можно тем же способом, что и в теореме 1, за счёт достаточно частого дробления отрезков [£ у,г, п, £ у+11п\ и

построения соответствующей ломаной. Заметим, что условие (10) при этом полностью сохраняется. Теорема доказана.

Литература

1. Bierstedt K.D., Bonet J., Taskinen J. Associated weights and spaces of holomorphic functions // Studia Math. 1998. Vol. 127, № 2. P. 137-168.

2. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Differentiation and integration operations on weighted Banach spaces of holomorphic functions // Math. Nachr. 2017. Vol. 290, № 8-9. P. 1144-1162.

3. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Invariant subspaces for classical operators on weighted spaces of holomorphic functions // Integr. Equ. Oper. Theory. 2017. Vol. 89, № 3. P. 409-438.

4. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Compactness of classical operators on weighted Banach spaces of holo-morphic functions // Collect. Math. 2018. Vol. 69, № 1. P. 1-15.

5. Брайчев Г.Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005. 232 с.

6. Azagra D. Global and fine approximation of convex functions // Proc. London Math. Soc. 2013. Vol. 107, № 3. P. 799-824.

7. Abakumov E., Doubtsov E. Moduli of holomorphic functions and logarithmically convex radial weights // Bull. London Math. Soc. 2015. Vol. 47, № 3. P. 519532.

8. Abakumov E., Doubtsov E. Growth of proper holomorphic maps and tropical power series // C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 2016. Vol. 354, № 5. P. 465-469.

9. Рокафеллар P. Выпуклый анализ. M.: Мир, 1973. 469 с.

References

1. Bierstedt K.D., Bonet J., Taskinen J. Associated weights and spaces of holomorphic functions. Studia Math. 1998, vol. 127, No. 2, pp. 137-168.

2. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Differentiation and integration operations on weighted Banach spaces of holomorphic functions. Math. Nachr. 2017, vol. 290, No. 8-9, pp. 1144-1162.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

3. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Invariant subspaces for classical operators on weighted spaces of hol-omorphic functions. Integr. Equ. Oper. Theory. 2017, vol. 89, No. 3, pp. 409-438.

4. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Compactness of classical operators on weighted Banach spaces of holo-morphic functions. Collect. Math. 2018, vol. 69, No. 1, pp. 1-15.

5. Braichev G.G. Vvedenie v teoriyu rosta vypuklykh i tselykh funktsii [Introduction to the theory of growth of convex and entire functions]. Moscow: Prometei, 2005. 232 p.

6. Azagra D. Global and fine approximation of convex functions. Proc. London Math. Soc. 2013, vol. 107, No. 3, pp. 799-824.

7. Abakumov E., Doubtsov E. Moduli of holomor-phic functions and logarithmically convex radial weights. Bull. London Math. Soc. 2015, vol. 47, No. 3, pp. 519-532.

8. Abakumov E., Doubtsov E. Growth of proper hol-omorphic maps and tropical power series. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 2016, vol. 354, No. 5, pp. 465-469.

9. Rokafellar P. Vypuklyi analiz [Convex analysis]. Moscow: Mir, 1973, 469 p.

Поступила в редакцию /Received

17 апреля 2018 г. /April 17, 2018