CC BY
20
УДК 517.982.274 DOI 10.18522/0321-3005-2015-3-41-46
ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВЕКТОРНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ*
© 2015 г. Н.Ю. Нестеров
Нестеров Никита Юрьевич - магистрант, Южный феде- Nesterov Nikita Yur'evich - Master Student, Southern Fed-ральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, eral University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, 344090, e-mail: [email protected] Russia, e-mail: [email protected]
Исследуются весовые пространства векторнозначных аналитических функций, определённых на области в комплексной плоскости. Для данных пространств рассмотрены задачи о нетривиальности, размерности и о вложениях одного пространства в другое.
Ключевые слова: весовые пространства, векторнозначные аналитические функции, непрерывное и компактное вложение.
We research weighted spaces of the vector-valued analytic functions defined on a domain in the complex plane. For these spaces we consider problems about nontriviality, dimension and inclusion of one space to another.
Keywords: weightеd spaces, vector-valued analytic functions, continuous and compact inclusion.
Различные весовые пространства непрерывных, гладких и аналитических функций изучаются достаточно давно. Наиболее близко относящимися к настоящему исследованию являются работы [1—3], в которых рассматривались некоторые общие вопросы для подобных пространств (нетривиальность, полнота, непрерывность и компактность вложений). Именно в [1] и [3] изучались весовые пространства (X) комплексно-значных функций, непрерывных на локально -компактном (хаусдорфовом) или произвольном метрическом пространстве X. Работа [2] посвящена пространствам Ау (О) комплекснозначных функций, аналитических в области О с С со значениями в С .
Не менее актуально изучение векторнозначных функций [4-9]. В связи с этим в настоящей работе рассматриваются весовые пространства Ау (О) функций, голоморфных в области О с С со значениями в произвольном банаховом пространстве В (в качестве В может выступать произвольная банахова алгебра с единицей или банахова алгебра ограниченных линейных операторов). Основной целью является перенос результатов из [2] на данные пространства.
Классы Ау (О) и их основные свойства
Пусть О - область в С ; В - некоторое банахово пространство. Напомним, что функция /: О ^В называется голоморфной в О , если для каждого существует конечный предел
/(2) /(2о). слабоголоморфной, если для всех
z0 6 G
lim
z - z0
zq e G и l eB' существует конечный предел
lim
I ° f (z) -1 ° f (zo)
т.е. если функция
I о / : О ^ С голоморфна в О. Согласно [4, с. 144], сильная и слабая голоморфность эквивалентны. Поэтому в дальнейшем мы будем использовать для функции /: О ^ В термин «голоморфная», или «аналитическая». Как известно, на векторнозначные аналитические функции переносятся все основные результаты теории функций комплексного переменного.
Через А(О, В) будем обозначать пространство всех аналитических функций /: О ^ В, наделённое топологией тсо равномерной сходимости на компактах. Отметим, что если / е А(О, В), то ||/(Ю||в является непрерывной субгармонической в О функцией.
0
z-z
0
о
* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ, проект № 14-01-31083.
Перейдём к определению весового пространства Ау (О). Под весом, как в [2], будем понимать непрерывную функцию у : О ^ . Положим
II/(^11 в
Av (G ):=-!f е A(G, В):||
= sup-"V zeGp v(z)
Из локальной ограниченности веса у на О, вытекающей из непрерывности у, как и в случае пространств непрерывных функций [3], следует полнота пространства Ау (О) относительно нормы Ц .
Таким образом, Ау(О) - банахово пространство. Очевидно, что нормированная топология в Ау (О) мажорирует топологию тС0.
Первые возникающие вопросы для пространств Ау (О) - это, как обычно, вопросы нетривиальности и неисчезаемости в точках из О. Напомним, что пространство Ау (О) нетривиально, если существует отличная от тождественного нуля функция / е Ау (О). Далее, говорят, что Ау (О) не исчезает в точке zo е О, если имеется / е Ау (О) такая, что / (zo )* 0.
Как известно [3], в случае пространств непрерывных функций тот факт, что весовое пространство не исчезает в каждой точке (и, как следствие, его нетривиальность), легко вытекает из локальной отграни-ченности веса от нуля. Для пространств Ау (О) голоморфных функций это уже не так. Действительно, пусть, например, О = В := {z е С: Щ < 1}. Вес
у(z) := 1 — Щ непрерывен на Б. Для произвольной функции / е Ау (б) имеем, что ||/(щ)||в <||/|у (1 —|Щ). По принципу максимума субгармонических функций ||/(= 0. Следовательно, пространство Ау(б) тривиально. Заметим, что окончательный ответ на вопрос о нетривиальности пространств Ау (О) даже в случае В = С до сих пор неизвестен.
Из локальной отграниченности от нуля веса у , обеспечиваемой непрерывностью веса у на О, вытекают свойства пространства Ау (О).
Если функция / е Ау (О) имеет нуль кратности р в точке X е О, то / так же, как и для стандартных аналитических функций, представима в виде /(щ)=(щ — Х)р , где £ е Ау О) и 0 . Как
но, то оно не исчезает ни в одной точке из О . Далее аналогично [2, лемма 2.3] проверяется, что функции из Ау (О) можно умножать на рациональные функции я(щ) = , degP < degQ, не вы-
в(щ)
ходя из пространства Ау (О).
В дальнейшем будем рассматривать только нетривиальные пространства Ау (О).
Перейдём к вопросу о размерности пространства Ау(О). Вновь отметим [3], что если весовое пространство Я"у(х) непрерывных функций на любом
бесконечном множестве X является бесконечномерным, то для пространств голоморфных функций это не так. Например, рассмотрев в области О = С
вес у(щ) = (1 + У , 5 е N , по обобщённой теореме
Лиувилля получим, что весовой класс Ау (с) совпадает с пространством всех полиномов степени не выше 5 , а значит, имеет размерность 5 + 1.
В данном направлении установлены следующие результаты.
Предложение 1. Следующие утверждения эквивалентны:
(г) Ау(О) конечномерно;
(п) хС0 индуцирует на Ау(О) нормированную топологию;
(ггг) ЭК сс О ЗС > 0: \/Ц < С -|| "
V/ еАу(О) (здесь
нк:
||к = sup|| f (z)|| В).
zeK
следствие, если пространство
A v(G)
нетривиаль-
Справедливость импликации (г) ^ (гг) очевидна, поскольку на конечномерном пространстве существует единственная отделимая локально-выпуклая топология. Условие (ггг) означает, что нормированная топология мажорируется топологией %С0 . Поскольку обратное всегда выполнено, то получаем (гг) о (ггг).
Докажем (гг) ^ (г). Единичный шар 8у(О) банахова пространства Ау(О) является равномерно ограниченным множеством на любом компакте в О . По теореме Монтеля тогда 8 у(О) — предком-пактное множество в А(О, в) , а значит, и в Ау (О). Поэтому Ау О) конечномерно.
Следующий результат является аналогом теоремы из [2, теорема 2.2] и содержит полное описание конечномерных весовых пространств. Обозначим через п(/) число нулей нетривиальной функции / е А(О, В) с учётом их кратностей.
Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:
(г) Ау (О) имеет размерность р е N;
p е N, то 1 +2 sk < Р, так что n(g) < p -1. Пред-
k=1
положим, что не существует функции f е Av (G)
(ii)
Av(g)= span{zk • f0(z):k = 0,...,p-l|, где такой, что n(f) = Р-1. Значит, n(g) <p-2 дга лю-
/о голоморфна в О и не имеет нулей в О ;
(т) п(g) < р -1 для всех g еАу (о)\ {о} и существует / е Ау (О) такая, что п(/) = р -1.
(т) ^ (ц). Проверим, что если д := шах{п^): g е Ау (о),g Ф 0}< да ,
то Ау(о)= 8рап{2к • /о (2): к = о,..., д}, где /о голоморфна в О и не имеет нулей в О. Так как д < да, то существует функция / е Ау (О) с п(/) = д . Она имеет вид /(2) = Ро (2) • /о (2), где —о _ полином степени д, а /о голоморфна в О и не имеет нулей в О. Зафиксируем точку а е О. Можем считать, что /о (а) = 1.
Произвольная нетривиальная функция g из Ау (о) имеет вид g(2) = д2) • g0(2), где д - полином степени, не превосходящей д, а gо еАу (О) не обращается в нуль на О . Снова будем считать, что gо (а) = 1. Рассмотрим функцию к(2) = Р(2) • /о(2) - gо (2), где Р - полином степени, не превосходящей д , определяемый равенствами
P(a ) = 1, P(k )(a) = g0k )(a)- ? P(j \a)f(k - j )(a),
j=0
k = 1,., q . Тогда h(k\a) = 0 , 1 < k < q . Так
где
как
р
P/о = — • / еАу (О), то к еау (о) . При этом Ро
п(к)> д +1. По определению д заключаем, что к = о. Поскольку gо не имеет нулей, то —(2) = 1 и gо = /о. Таким образом, g (2 ) = ^(2 )• /о (2). Так как это верно для произвольной функции g е Ау (О), то получим (гг).
(г) ^ (ггг). Рассмотрим нетривиальную функцию g еАу (О) и предположим, что она имеет нули 2!,...,2п кратностей 5!,...,5п , п е N (возможно, у неё есть и другие нули). Тогда функции
gk,m (z) :=
g (z )
(z - zk)
m+1
, 1 < k < n, 0 < m < sk -1, при-
надлежит Av (G). Положим go,o (z) = g(z). Стандартно проверяется, что система \gk,m(z)'-0 <к <n,0 <m < Sk_i} является линейно независимой. Так как Av (G) имеет размерность
бой g e Av (G) и, следовательно, q := max{n(g): g e Av (g), g Ф 0}< p _ 2 .
Исходя из доказательства импликации (iii) ^ (ii), получаем, что произвольная функция g eAv (G) представима в виде g = Q(z)fo (z), degQ < p _ 2 , т.е.
Av(g)= span{zk • f0(z) : к = 0,...,p _ 2}. Таким образом, dim Av(g) = p _1, что неверно.
(ii) ^ (i). Очевидно.
Следствие 1. Пространство Av (G) является бесконечномерным тогда и только тогда, когда для любого к e N существует нетривиальная функция f e Av (g) такая, что n(f) > к .
Следствие 2. Если существует нетривиальная функция f e Av (G), имеющая счётное число нулей, то A v (G) бесконечномерно.
Ассоциированный вес. Теоремы вложения
Настоящий параграф посвящён вопросам непрерывности и компактности вложения пространства Av (G) в пространство Aw (G). Как известно, эти вопросы не решаются в терминах самих весов, поэтому в [1-3] вводится понятие ассоциированного веса.
Определение 1. Пусть v - произвольный вес на G. Ассоциированным с v весом называется функция
~(z) := sup{|| f (z)||b : f e Av(G), ||f |v < 1}, z e G.
Нетрудно видеть, что 0 < ~(z) < v(z) для всех z e G. Как и в [1], проверяется, что ~ является субгармонической локально-липшицевой на G функцией. Таким образом, v~ также является весом на G . При этом ||f|= ||f| для всех f e A(G, B),
так что пространства A~ (G) и Av (G) совпадают и изометричны. Из этого вытекает, что при исследовании пространств Av (G) можно, вообще говоря, ограничиться субгармоническими локально-липшицевыми весовыми функциями.
Отметим ещё, что супремум в определении v~ достигается, т.е. для любого z e G существует такая функция f e Av (G) с | fv < 1, что \\f (z)|| b = ~(z) .
Рассмотрим
вопрос
о вложении
Ау(О )сА^О). Заметим сразу, что из теоремы Банаха о замкнутом графике вытекает, что если данное вложение имеет место, то оно обязательно является непрерывным.
Теорема 2. Пусть у, w - произвольные веса на О (задающие нетривиальные пространства Ау(О) и АМ,(О)). Следующие утверждения экви-
валентны:
(i) Ay(G) (непрерывно) вложено в Aw(G);
f е Ay (g)
< 1 и z е G. Значит, ~(z) < Cw(z),
~( z)
z e G. При этом sup ~y < N = llid
zeGw(z) 11
(ii) ^ (i). Пусть M := sup
zeG w(z)
Тогда имеем, что
<ж и f е Ay(G).
~(z)-||f(z)B , ~ (z) If(z)
, = suP-( \~( \ < suP^T • suP —~rr
zeG w(z)- ~(z) zeGw(z) zeG y (z)
b<M||
v(z) p
только тогда, когда sup-< ж . Если вес w так-
zeGw(z)
же канонический, то пространства Av(G)
и
Aw(G)
/■■i ~(z)
(II) sup—-<ж; zeG w(z)
/■■■I ~(z)
(III) sup-<ж .
zeG W(z)
В случае если вложение Av(G)с Aw(G) имеет место, норма тождественного оператора
id:Av(G)^Aw(G) совпадает с sup-~(z) .
zeG w(z)
(1) ^ (11). Пусть тождественный оператор id:Av(Gw(G) непрерывен и N - его норма.
Тогда \\f(z)\\в< /||vw(z) для любых f e AV(G) и z e G. Следовательно, /(z)||B < C w(z) при всех
w (g ) совпадают в том и только в том случае,
v(z) w(z) если sup-< ж и sup-< ж.
zeG w(z) zeG v(z)
Оставшаяся часть параграфа посвящена вопросу о компактности вложения Av(G) с Aw(G).
Заметим, что если пространство Av(G) конечномерно, то вложение Av(G) в Aw(G) обязательно является компактным. Таким образом, имеет место
Предложение 2. Пусть Av(G) - конечномерное пространство. Тогда для того чтобы Av(G) было компактно вложено в Aw G ) , необходимо и
с ~(z)
достаточно, чтобы sup-< ж .
zeG w(z)
Необходимость вытекает из теоремы 2. Достаточность. Пусть sup ~(z) <ж, т.е.
zeG w(z)
Av(G) непрерывно вложено в Aw(G). Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность {/n }neN в
AV(G). Пусть \/„\v < M , n e N. Так как вес v непрерывен на G , то последовательность {/n}neN равномерно ограничена на любом компакте КссG : ||fn(z) <M-v(z)<M-Mv,K для любого zeK , где Mv к = maxv(z). Следовательно,
zeK
по теореме Монтеля существует подпоследовательность {/n | . которая по топологии тсо
v p 'peN
Таким обрaзом, Ay(G) нетрертш вложено в сходится к некоторой функции фе Ay (G) . Учиты Aw(G),
причём id <М = sup
~(z)
zeG w(z)
Из равносильности условий (1) и (п) с учётом равенства A w(G )=Aw (G) вытекает, что (1) ^ (111).
В связи с доказанной теоремой 2, вслед за [2], введём понятие канонического веса. Вес v будем
v(z) ,,
называть каноническим, если sup-< ж. Соот-
zeG~(z)
ветственно, для канонических весов вопрос о вложении Av(G)с Aw(G) может быть решён в терминах самих весов. Именно справедливо
Следствие 3. Если v - канонический вес, то Av(G) (непрерывно) вложено в Aw(G) тогда и
вая предложение 1, получаем, что {/п } схо-
р реЫ
дится к Ф в Ау О). Но Ау О) непрерывно вложено в АМ,(О), значит, / ^Ф в Аw(О).
Таким образом, имеет смысл исследовать лишь случай бесконечномерного пространства Ау (О).
Общий функциональный критерий [10, лемма 2] компактности вложения содержится в следующей теореме.
Теорема 3. Ау(О) компактно вложено в А М,(О) тогда и только тогда, когда любая ограниченная последовательность {/п}пе^ ^ Ау(О) такая, что
/п ^ 0 в топологии тС0, сходится к нулю в А w(G ).
с
y
Необходимость. Пусть Ау (О) компактно вложено в АМ(О), а последовательность {/п}пеN ограничена в Ау (О) и сходится к нулю по тополо-
гии 1со . Предположим, что (/п ^ не стремится к нулю при п ^ да. Тогда существует подпоследовательность \/п | и С > о, такие что
y"p)pëN
(^ ) > С для любого р е N. Но {/пр }
II р м р pеN
ограничена в
Av (G) и id -
ЦфО
lim
В _ p
fn„ (z)
В
<м
для всех
z е G,
чтобы lim
~( z)
zw(z)
= 0, т.е. чтобы для любого е > 0
существовал компакт K в G такой, что
z) w( z)
< е
нение G не имеет одноточечных компонент, данное условие является и необходимым.
Доказательство достаточности является стандартным, а необходимость доказывается на основании [11, теорема 2]. Приведём коротко схему доказательства. Предположим, что Av (G) компактно вложено в Aw (G), но условие lim ~(z) = 0
zw(z)
нарушено. Тогда существует последовательность Z }^eN точек области G такая, что
компактный оператор,
поэтому {d(fn )} имеет сходящуюся подпосле-
v v p"peN
довательность в Aw (G). Можно для удобства считать, что сама последовательность {d (fn^ )} ^ сходится в Aw (G). Так как топология в Aw (G) мажорирует топологию %co и в %co данная последовательность сходится к нулю, получаем, что lim ||id(fn)| = 0 , что невозможно.
Достаточность. Рассмотрим ограниченную последовательность {fn}neN — Av (g) . Используя те же рассуждения и обозначения, что и в доказательстве достаточности предложения 2, заключаем, что существует подпоследовательность
{fn } 1>т, которая равномерно внутри G сходит-
p peN
ся к некоторой функции ф e A(G, В). При этом
zk-
->z0 е dG и
~(zk )
> C > 0, k е N. Граница
так
Ч2) А2)
что феАу (О). Таким образом, {/п -ф} -
р pеN
ограниченная последовательность в Ау (О), которая сходится к нулю по топологии 1 со. Тогда по условию /п ^ ф по топологии АМ (О). Поэтому
id : Ау(О) ^ АМ(О) - компактный оператор.
На основании теоремы 3 устанавливается следующий результат, представляющий собой аналог теоремы из [2, теорема 3.13].
Теорема 4. Пусть О - область в N. Для компактности вложения Ау (О) в АМ (О) достаточно,
к ^да 0 w( zk)
dG области G берётся в расширенной комплексной плоскости C*.
Пусть L - связная компонента дополнения
C* \ G области G. Рассмотрим множество
E:= C* \L . Тогда E - односвязная область в C* , причём граница dE области E содержит более одной точки и zq e dE . Следовательно, существует конформное отображение 0 области E на единичный круг D := {z e C : \z\ < l}, 0(zo ) = 1. Тогда wk =0(zk1 при к ^да. Согласно [12, с. 204], из последовательности }да=1 можно выделить интерполирующую подпоследовательность (определение интерполирующей последовательности [12]). Для простоты будем считать, что сама последовательность {wk }£eN является интерполирующей в
Нда (D) = |h e A(d) : = suph(t) < да|. Используя [13, с. 285], находим функции hj (z)e Нда(D) такие,
что
hj (wk) = 8jk, j е N, k е N, и 2\hj (w) < M при
для всех z е G \ K . В случае когда G Ф N и допол-
всех w е О . Из последнего условия вытекает, что к] М)——^ о . Таким образом, мы получили ограниченные аналитические в области Е функции к] о8 , причём (к] о 8)2) = 8^ , ] е N, к е N, и
(к] о 9)2—о. По обобщённой теореме Витали
тогда (к] о 9)2)—— > о равномерно. Далее по свойствам ассоциированного веса при каждом к е N найдётся функция gк из Ау (О) с |^к||у < 1
такая, что ~(2к ) = |(2к |В . Положим = gk • (кк о 8), к е N. Тогда последовательность {^>к }к^ ограничена в Ау (О) и {|^к }kеN сходится
к нулю в топологии %С0. По теореме 3 получаем, что ^ 0 в А^О). Но при всех к е N
= sup
zsG wz
> c.
(z) w( z£) w(z) w(z£) Получилось противоречие, доказывающее необходимость и теорему в целом.
Литература
1. Bierstedt K.D., Bonet J., Taskinen J. Associated weights and
spaces of holomorphic functions // Studia Math. 1998. Vol. 127. P. 137-168.
2. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Painleve null sets, dimen-
sion and compact embedding of weighted holomorphic spaces // Studia Math. 2012. Vol. 213. P. 169-187.
3. Нестеров Н.Ю. Весовые классы непрерывных функций
на метрических пространствах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2013. № 3. C. 9-13.
4. Dineen S. Complex аnalysis in locally convex spaces. Am-
sterdam, 1981. 506 p.
5. Grothendieck А. Sur certains espaces de fonctions holomor-
phes // J. Reine Angew. Math. 1953. Vol. 192. P. 35-64.
6. Gleason A.M. The abstract theorem of Cauchy - Weyl
// Pacif. J. Math. 1962. Vol. 12, № 2. P. 511-525.
7. Ryan R. Boundary values of analytic vector valued functions
// Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Ser. A. 1962. Vol. 65, № 5. P. 558-572.
8. Tillmann H. G. Vector-valued distributions and the spectral
theorem for selfadjoint operators in Hilbert spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 69, № 1. P. 67-72.
9. Jordi Juan Huguet. Iterates of differential operators and
vector valued functions on non quasi analytic classes: dissertation. Valencia, 2011.
10. Garcia D., Maestre M., Sevilla-Peris P. Weakly compact
composition operators between weighted spaces // Note di Mat. 2005/2006. Vol. 25. P. 205-220.
11. Bonet J., Domanski P., Lindstrom M. Essential norm and
weak compactness of composition operators on weighted Banach spaces of analytic functions // Canad. Math. Bull. 1999. Vol. 42. P. 139-148.
12. Hoffman K. Banach spaces of analytic functions. Prentice-
Hall, 1962. 226 p.
13. Garnett J. B. Bounded analytic functions. San Diego, 1981.
486 p.
References
1. Bierstedt K.D., Bonet J., Taskinen J. Associated weights and
spaces of holomorphic functions. Studia Math., 1998, vol. 127, pp. 137-168.
2. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Painleve null sets, dimen-
sion and compact embedding of weighted holomorphic spaces. Studia Math., 2012, vol. 213, pp. 169-187.
3. Nesterov N.Yu. Vesovye klassy nepreryvnykh funktsii na
metricheskikh prostranstvakh [Weight class of continuous functions on metric spaces]. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki, 2013, no 3, pp. 9-13.
4. Dineen S. Complex analysis in locally convex spaces. Am-
sterdam, 1981, 506 p.
5. Grothendieck A. Sur certains espaces de fonctions holomor-
phes. J. Reine Angew. Math., 1953, vol. 192, pp. 35-64.
6. Gleason A.M. The abstract theorem of Cauchy-Weil. Pacif.
J. of Math, 1962, vol. 12, no 2, pp. 511-525.
7. Ryan R. Boundary values of analytic vector valued func-
tions. Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Ser. A., 1962, vol. 65, no 5, pp. 558-572.
8. Tillmann H.G. Vector-valued distributions and the spectral
theorem for selfadjoint operators in Hilbert space. Bull. Amer. Math. Soc., 1963, vol. 69, no 1, pp. 67-72.
9. Jordi Juan Huguet. Iterates of differential operators and
vector valued functions on non quasi analytic classes : dissertation. Valencia, 2011.
10. Garcia D., Maestre M., Sevilla-Peris P. Weakly compact
composition operators between weighted spaces. Note di Mat, 2005/2006, vol. 25, pp. 205-220.
11. Bonet J., Domanski P., Lindstrom M. Essential norm and
weak compactness of composition operators on weighted Banach spaces of analytic functions. Canad. Math. Bull., 1999, vol. 42, pp. 139-148.
12. Hoffman K. Banach spaces of analytic functions. Prentice-
Hall, 1962, 226 p.
13. Garnett J. Bounded analytic functions. San Diego, 1981,
486 p.
Поступила в редакцию
29 мая 2015 г.
w
